《概率统计》期末a卷考试题1(有答案)

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08-09概率论期末考试试卷A (1)

《概率论与数理统计》期末考试试卷（A1）2、下列叙述中正确的是( A ). (A) ()1X EX D DX -= (B) ~(0,1)X EXN DX- (C) 22)(EX EX = (D) 22()EX DX EX =-3、设θ是总体X 中的参数，称),(θθ为θ的置信度a -1的置信区间，下面说话正确的是（ D ）.(A) 以),(θθ估计θ的范围，不正确的概率是a -1 (B) θ 以概率a -1落入),(θθ (C) θ以概率a 落在),(θθ之外 (D) ),(θθ以概率a -1包含θ4、设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积分别为,G D S S ,则{(,)}(B )P x y D ∈=.(A)GD S S (B) ⎰⎰Ddxdy y x f ),( (C) (,)G g x y dxdy ⎰⎰ (D) G G D S S5、设总体分布为),(2σμN ,若μ未知,则要检验20:100H σ≥,应采用统计量( B ).(A)nS X /μ- (B)100)(21∑=-ni iX X(C)100)(21∑=-ni iXμ (D)22)1(σS n -6、有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ A ）.(A)157 (B)4519 (C)135(D)3019 7、设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( B ). (A) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((B) ∑⎰-=-adx x f a F 0)(21)((C) )()(a F a F =- (D) 1)(2)(-=-a F a F题目一二三四五六七八九十总分得分一．填空题：（本大题共7小题，每小题3分，共21分）1. 已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体(3,1)N ，X 为样本均值，已知{}0.5P X λ<=，则=λ 3 。

南方科技大学《概率论与数理统计》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷

南方科技大学2016~2017学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参考答案一．（本题满分10分）一航空公司根据以往的资料统计知预定该公司航班的人中有%5最终不来搭乘航班．因此，他们的政策是对于一个能容纳50位乘客的航班出售52张机票．求每位登机的乘客都有位置的概率是多少？解：设X 表示该航班机票的乘客的最终登机人数，则()95.0,52~B X ．所求概率为()50≤X P ． ()()50150>-=≤X P X P ()()52511=-=-=X P X P0525252151515205.095.005.095.01⨯⨯-⨯⨯-=C C 7405030709.0=．二．（本题满分10分）装有()3≥m m 个白球和n 个黑球的罐子中失去一个球，但不知是什么颜色．为了猜测它是什么颜色，随机地从罐中摸出2个球，发现都是白球，问失去的球是白球的概率是多少？解：设{}失去的球是白球=A ，{}摸出的两个球都是白球=B ，则所求的概率为()B A P ．由Beyes 公式，得()()()()()()()21221212121-+-+--+-⋅++⋅+⋅+=+=n m m n m m n m mC C n m n C C n m m C C n m m A B P A P A B P A P A B P A P B A P()()()()()()()()()()()21121212121-+-+-⋅++-+-+--⋅+-+-+--⋅+=n m n m m m n m n n m n m m m n m m n m n m m m n m m 22-+-=n m m ．三．（本题满分10分）设随机变量()1,0~N X ，X Y =．试求随机变量Y 的密度函数()y f Y ．解：随机变量X 的密度函数为()2221x X ex f -=π()+∞<<∞-x ．设随机变量X Y =的分布函数为()y F Y ，则 (){}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=．⑴ 当0≤y 时，(){}{}0=≤=≤=y X P y Y P y F Y ． ⑵ 当0>y 时，(){}{}{}y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤= ()⎰⎰⎰----===yx yyx yyXdx edx edx x f 022222221ππ所以，()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-00022022y y dxe y F y x Y π．所以，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0002222y y e y F y f yY Y π．四．（本题满分10分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它010421,22y x y x y x f ．⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数()y f Y ；⑵ 求随机变量X 关于Y 的条件密度函数()y x f Y X ．解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y f Y ；当10<<y 时， ()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yy y yY dx x y ydx x dx y x p y f 22421421,2503022731221221y x y dx x y yy=⋅==⎰ 所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y y y f Y ．当10<<y 时，()02725>=y y f Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y f y x f y x f Y Y X ,=2322522327421-==y x y y x 即当10<<y 时，()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x f Y X ．五．（本题满分10分）一商店经销某种商品，假设该商品每周的进货量X 以及顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，而且都服从区间[]20,10上的均匀分布．商店每销售一个单位这种商品可得利润1000元，如果需求量超过了进货量，则可从其它商店调剂供应，这时该商店每销售一个单位这种商品可得利润500元．试求此商店每周销售该商品所得的平均利润()()()Y X g E Z E ,=．解：随机变量X 的分布列为 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它02010101x x f X ，随机变量Y 的分布列为 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它02010101y y f Y ．由于随机变量X 与Y 相互独立，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==其它02010,20101001,y x y f x f y x f Y X ．设Z 表示该商店每周销售该商品所得的利润，则有()()⎩⎨⎧>-+≤==X Y X Y X X Y YY X g Z 50010001000,()⎩⎨⎧>+≤=X Y Y X X Y Y5001000．所以有()()()()()⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxdy y x f y x g Y X g E Z E ,,,()()()⎰⎰⎰⎰>≤++=xy xy dxdy y x p y x dxdy y x yp ,500,1000()⎰⎰⎰⎰++=yydx y x dy ydx dy 102010202010510()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-=20102201010210052010dy y y y dy y y 67.14166=（元）．六．（本题满分10分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在区域G 内服从均匀分布．求：⑴ X 与Y 各自的数学期望()X E 与()Y E ；⑵ X 与Y 各自的方差()X D 与()Y D ；⑶ X 与Y 的相关系数YX ,ρ．解：由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-，所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y Y E Y，所以，()()()()1813161222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ， ()()()()923232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ， ()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===12202220102,dx yx xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181,cov ,-=-==Y D X D Y X YX ρ．七．（本题满分10分）一家有800间客房的宾馆的每间客房内装有一台kW 2的空调机．若该宾馆夏季的开房率为70 %，试用中心极限定理计算，至少应供应多少千瓦的电力，才能使该宾馆至少以99 %的概率保证有充足的电力开动空调机（假设该宾馆各个房间是否开房是相互独立的）？（已知()9901.033.2=Φ，其中()x Φ是正态分布()10，N 的分布函数．）解：设该宾馆至少供应s 千瓦的电力，才能使该宾馆至少以99 %的概率保证有充足的电力开动空调机．再设X 为该宾馆中开房的数目，则()7.0800~，B X ．所以，()5607.0800=⨯=X E ，()1683.07.0800=⨯⨯=X D ．因此，s 需满足下面的不等式： {}99.02≥≤s X P 由中心极限定理计算，可知{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤168560216856022s X P s X P s X P因此，有 99.01685602168560≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-s X P查表，得33.21685602≥-s．因此，()4005.1180216833.2560=⨯⨯+≥s ，因此，由中心极限定理计算，可知该宾馆至少要供应1180.4005千瓦的电力，才能使该宾馆至少以99 %的概率保证有充足的电力开动空调机．八．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的最大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值．（3分）解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =．所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ．九．（本题满分10分）设总体()2~σμ，N X ，其中μ与2σ都是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，∑==ni i X X 1是样本均值，2≥n ．求常数C ，使得∑=-=ni i X X n C T 1是总体标准差σ的无偏估计量．解：令∑≠-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=i j j i i i X n X n X X Y 111，则()()()()0=-=-=-=μμX E X E X X E Y E i i i ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠ij j i i X n X n Y 111var var ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠i j j i X n X n var 1var 1122222221111σσσn n n n n -=-+⎪⎭⎫⎝⎛-=．所以，⎪⎭⎫⎝⎛-21,0~σn n N Y i ．为此，我们假设()2,0~σN Y ，我们求⎰⎰+∞-+∞∞--=⋅=2222222221dy yedy e y Y E y y σσσπσπ，令222σy u =，则2σydydu =，代入上式，得 σππσ2220==⎰+∞-du e Y E u．所以，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==ni i ni i X X E n C XX n C E T E 11()()σπσπnn C n n n n C X X E n C n i i 12211-⋅=-⋅=-=∑= 所以，令()12-=n nC π，则∑=-=ni i X X n C T 1是总体标准差σ的无偏估计量．十．（本题满分10分）某超市出售一批大米，假设每袋重量X 服从正态分布，规定每袋重量为kg 25．现从中随机抽取6袋，测得其重量分别为：26.123.623.125.423.724.5试在显著性水平05.0=α下检验，这批大米的每袋重量与规定是否有显著性差异？解：建立假设0H ：25=μ，（1H ：25≠μ）．取检验统计量 n SX T 25-=．当原假设0H 成立时，()1~-n t T ．因此检验的拒绝域为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=-125,,2111n tn s x x x W n α：．对于给定的显著性水平05.0=α，以及6=n ，查表得 ()()5706.251975.021==--t n t α，因此拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=5706.225,,11n s x x x W n ：．由观测值得4.24=x ，88.3578612=∑=i i x ，因此有()344.14.24688.35785111226122=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=x n x n s i i ，因此有267731382.16344.1254.24252=-=-n sx ，并且 5706.2267731382.1<．所以，不拒绝0H ，可以认为这批大米每袋重量与规定没有显著性差异．。

《概率论与数理统计》期末考试试题及答案-（最新版-已修订）

《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：姓名：学号：题号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3分共18分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B（1）.0)(,0)(;;0)(0)();(( ).,0)(=>===A B P A P (D)B A (C)B P A P (B)B A (A)AB P B A 则同时出现是不可能事件与或互不相容互斥与则以下说法正确的是适合、若事件（2）设随机变量X 其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则（）。

=≤}5.1{X P (A)0.6 (B) 1 (C) 0 (D)21（3）设事件与同时发生必导致事件发生，则下列结论正确的是（）1A 2A A （A ）（B ）)()(21A A P A P =1)()()(21-+≥A P A P A P （C ）（D ）)()(21A A P A P =1)()()(21-+≤A P A P A P （4）).54,0);46,0();3,0();5,0(~,72,),1,2(~),1,3(~(D)N (C)N (B)N (A)Z Y X Z Y X N Y N X 则令相互独与且设随机变量+-=-(N 立).(（5）设为正态总体的一个简单随机样本，其中n X X X ,,2,1 ),(2σμN μσ,2=未知，则（）是一个统计量。

(A) (B)212σ+∑=ni iX 21)(μ-∑=ni i X (C) (D)μ-X σμ-X （6）设样本来自总体未知。

统计假设n X X X ,,,21 22),,(~σσμN X 为则所用统计量为（）。

：已知）（：01000μμμμμ≠=H H (A) (B) nX U σμ0-=nSX T 0μ-=(C) (D)222)1(σχS n -=∑=-=ni iX1222)(1μσχ二、填空题(每空3分共15分)1. 2. , 3. 4. )(B P ⎩⎨⎧≤>=-00)(x x xe x f x23-e1-)9(t （1）如果，则 .)()(,0)(,0)(A P B A P B P A P =>>=)(A B P （2）设随机变量的分布函数为X ⎩⎨⎧>+-≤=-.0,)1(1,0,0)(x e x x x F x则的密度函数，.X =)(x f =>)2(X P （3）.ˆ,________,ˆ3ˆ2ˆˆ,ˆ,ˆ,ˆ321321是的无偏估计量也时当的无偏估计量是总体分布中参数设θθθθθθθθθθ=+-=a a （4）设总体和相互独立,且都服从，是来自总体的X Y )1,0(N 921,,X X X X 样本，是来自总体的样本，则统计量 921,,Y Y Y Y 292191Y Y X X U ++++= 服从分布（要求给出自由度）。

概率统计A解答(1)

湖州师范学院 2010 — 2011 学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（A 卷）适用班级 090126 090127 考试时间 120 分钟学院班级学号姓名成绩题号一二三四五六七八九总分得分一、填空题（本题共20分，每空格2分）1．设A 、B 、C 表示三个随机事件，则事件“A 、B 、C 中恰有一个发生”可表示为C B A C B A C B A ++，事件“A 、B 、C 中至少发生二个”可表示为AC BC AB ++。

2．把5本书任意地放在书架上，其中指定的3本书放在一起的概率为103。

3．进行独立重复试验，每次试验成功的概率为p ,则在首次试验成功时共进行了m 次试验的概率为()11--m p p 。

4．若随机变量X 服从正态分布)21,1(N ，则X 的密度函数为=)(x ϕ2)1(1--x e π。

5．一批为产品共20个，其中3个次品，从中任取的3个中次品数不多于一个的概率为32013217317C C C C +。

6．设事件A 、B 、A ⋃B 的概率分别为p 、q 、r ,则=)(AB P r q p -+，=)(B A P q r -。

7．若随机变量X 服从泊松分布，)2()1(===X P X P ，则=≤)1(X P 23-e8．进行独立重复试验，每次试验事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中事得分件A 恰好发生()n k k ≤≤0次的概率为()kn kk np p C --1。

9．已知随机变量X 服从标准正态分布)1,0(N ，=≤)96.1(X P 0.975, 则=<)96.1(X P 0.95 。

10.加工在全产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.9、0.95、0.8，若假定各工序是否出废品是相互独立的，则经过三道工序生产出的产品是废品的概率是 0.316 。

11.设随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布，则=EX np ，DX =()p np -1。

《概率论与数理统计》期末考试试卷(A)答案

2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (A)一、填空题（每小题4分，共32分）.1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = _________.2．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 3} = ______________. 3．设随机变量 X的分布函数为,2,1 21 ,6.011 ,3.01 ,0 )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} =_________ .5．设随机变量 X 服从二项分布 b (50, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________.6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X - 2Y ) = _________.7．设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) =σ2, 则由切比雪夫不等式有P{|X -μ| < 3σ} ≥_________________.8．从正态总体N(μ, 0.12) 随机抽取的容量为16 的简单随机样本, 测得样本均值5=x，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示).二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）1．设A, B, C是三个随机变量，则事件“A, B, C不多于一个发生”的逆事件为( ).(A) A, B, C都发生(B) A, B, C至少有一个发生(C)A, B, C都不发生(D)A, B, C 至少有两个发生2．设随机变量X的概率密度为f (x), 且满足f (x) = f (-x), F(x) 为X 的分布函数, 则对任意实数a, 下列式子中成立的是( ).(A)(B)(C)(D)3．设随机变量 X , Y 相互独立, 与分别是X 与 Y 的分布函数, 则随机变量 Z = max{X ,Y } 分布函数为 ( ).(A) max{,} (B)+ -(C)(D)或4. 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N (0, 1) 和 N (1, 1), 则 ( ).21}0{ )A (=≤+Y X P 21}1{ )B (=≤+Y X P 21}0{ )C (=≤-Y X P21}1{ )D (=≤-Y X P 5．对任意两个随机变量 X 和 Y , 若 E (XY ) = E (X )E (Y ), 则 ( ).(A) X 和 Y 独立 (B) X 和 Y 不独立(C) D (XY ) = D (X )D (Y ) (D) D (X + Y ) = D (X ) + D (Y )6．设 X 1, X 2, …, X n (n ≥ 3) 为来自总体 X 的一个简单随机样本, 则下列估计量中不是总体期望 μ 的无偏估计量的是 ( ). (A)X(B) 0.1⨯ (6X 1 + 4X 2) (C)(D) X 1 + X 2 - X 3三、解答（本题 8 分）某大型连锁超市采购的某批商品中, 甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂商的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件产品，(1) 求这件产品是次品的概率; (2) 若这件产品是次品, 求它是甲厂生产的概率?四、解答（本题8分）设连续型随机变量 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<= ,0 0,sin )(πx x A x f求: (1) 常数 A 的值; (2) 随机变量 X 的分布函数 F (x ); (3)}.23{ππ≤≤X P五、解答（本题10分）设二维随机变量 (X , Y ) 的联合概率密度为求: (1) 求 X , Y 的边缘概率密度 f X (x ), f Y (y ), 并判断 X 与 Y 是否相互独立(说明原因)? (2) 求 P { X + Y ≤ 1}.六、解答（本题8分）已知随机变量 X 分布律为X k -1 0 2 4 P k0.10.50.30.1求 E (X ), D (X ).七、（本题6分）设某供电区域中共有10000 盏电灯，夜晚每盏灯开着的概率均为 0.7，假设各灯开、关时间彼此独立，求夜晚同时开着的灯的数量在6800 至 7200 间的概率.(其中999999.0)36.4()2120(=≈ΦΦ).八、(10分) 设总体 X 的概率密度为，其他⎩⎨⎧<<+= ,010 ,)1()(x x x f θθ其中θ > -1 是未知参数， X 1,X 2, …, X n 为来自总体的一个简单随机样本，x 1, x 2, …, x n 为样本值, 求 θ 的矩估计量和极大似然估计量.参考答案：一、填空题 1． 0.5 ；0.58 2． 2/5 3．4． 0.3 ；0.5 5． 10 ；8 6． 21 7． 8/9 8． )41.05,41.05(025.0025.0z z +-详解：4.因为0.5+0.2+a=1,所以 a=0.3 Y = 2X + 3所以P {Y > 5} =0.2+0.3=0.5二、选择题1. D2. A3. C4. B5. D6. C 详解：2. 因为⎰∞-=xtt f x F d )()( 故⎰-∞-=-att f a F d )()( 令u =-t⎰∞+--=-a u u f a F d )()(⎰+∞=au u f d )(⎰+∞=at t f d )(⎰-=at t f 0d )(21 (21d )(0=⎰+∞t t f ) 详解：4.因为X ~)1,0(N ,Y ~)1,1(N 所以 1)(=+Y X E ，2)(=+Y X D 故)()(Y X D Y X E Y X ++-+21-+=Y X ~)1,0(N 所以21}021{=≤-+Y X P 即 21}01{=≤-+Y X P 21}01{=≤-+Y X P三、解答题解：设A 事件表示“产品为次品”，B 1事件表示“是甲厂生产的产品”，B 2事件表示“是乙厂生产的产品”，B 3事件表示“是丙厂生产的产品”(1) 这件产品是次品的概率:)()()()()()()(332211B P B A P B P B A P B P B A P A P ++= 035.02.005.035.002.045.004.0=⨯+⨯+⨯=(2) 若这件产品是次品，求它是甲厂生产的概率:3518035.045.004.0)()()()(111=⨯==A PB P B A P A B P 四、解答题解：(1) A x x A x x f 2d sin d )(10===⎰⎰∞∞-π21=∴A (2) ⎰∞-=xt t f x F d )()(0d 0d )()(0===≤⎰⎰∞-∞-xxt t t f x F x 时，当)cos 1(21d sin 210d d )()(00x t t t t t f x F x xx-=+==<<⎰⎰⎰∞-∞-时，当π 10d d sin 210d d )()(0=++==≥⎰⎰⎰⎰∞-∞-x xt t t t t t f x F x πππ时，当所以⎰∞-=xt t f x F d )()(=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤ππx x x x ,10),cos 1(210,0(3)414121)3()2(}23{=-=-=≤≤ππππF F X P 五、解答题 (1)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=-==⎰⎰∞∞-其它，020),2(21d )2(d ),()(10x x y y x y y x f x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-==⎰⎰∞∞-其它，010,2d )2(d ),()(20y y x y x x y x f y f Y因为 ),()()(y x f y f x f Y X =⋅，所以X 与Y 是相互独立的.(2)247d )1)(2(21d )2(d }1{1021010=--=-=≤+⎰⎰⎰-x x x y y x x Y X P x六、解答题1.043.025.001.01)(⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =0.9 1.043.025.001.0)1()(22222⨯+⨯+⨯+⨯-=X E =2.9 2229.09.2])([)()(-=-=X E X E X D =2.09七、解答题解：设X 为夜晚灯开着的只数，则X ~)7.0,10000(b}72006800{≤≤X P }3.07.0100007.010********.07.0100007.0100003.07.0100007.010*******{⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=X P}21203.07.0100007.010*******{≤⨯⨯⨯-≤-=X P 1)2120(2)]2120(1[)2120()2120()2120(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ≈999998.01999999.02=-⨯=八、解答题解：(1) 矩估计法21d )1()(101++=+==⎰θθθμθx x x X E 11112μμθ--=∴∑===ni iX n X A 111 所以θ的矩估计量∧θXX --=112(2) 最大似然法似然函数θθi ni x L )1(1+∏==，10<<ixθθi ni x L )1(1+∏==θθi n i n x 1)1(=∏+=∑=++=ni ix n L 1ln )1ln(ln θθ∑=++=ni ix nL 1ln 1d ln d θθ 令0d ln d =θL得θ的最大似然估计值 ∧θ1ln 1--=∑=ni ixnθ的最大似然估计量 ∧θ1ln 1--=∑=ni iXn。

2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A(含答案)

2020-2021大学《概率论与数理统计》期末课程考试试卷A适用专业：考试日期：试卷类型：闭卷考试时间：120分钟试卷总分：100分一.填空题（每题2分，共10分）1设事件A,B 互不相容，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为_________。

设事件A,B 相互独立，若P (A )=0.3,P (B )=0.7,则P (AB )为______.3.设母体X 服从正态分布N (μ,σ2)，X 1,X 2⋯,X n 为取自母体的子样，X̄为子样均值，则X ̄服从的分布为__________.4.设X 1,X 2⋯,X n 相互独立，且都服从正态分布N (0,1)，则∑X i 2n i=1服从的分布为_____________.5. 将一枚硬币重复掷N 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于__________.二、选择题（每小题2分共10分）1.设A,B 为互不相容事件，且P (A )>0,P (B )>0,则结论正确的有（）（A ）P (A |B )>0 （B ）P (A |B )>P(A) (C) P (A |B )=0 (D) P (A |B )=P (A )P (B ) 2、设随机变量ξ,η相互独立，且有Dξ=6,Dη=3.则D (2ξ+η)为（）（A ）9 （B ）15 （Ｃ）21 （Ｄ）27 3、设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，则随着σ的增大，P (|X −μ|<σ)（）（A ）单调增大（B ）单调减少（C ）保持不变（D ）增减不定4、任一连续型随机变量的概率密度函数ϕ(x )一定满足（）（A ）0≤ϕ(x )≤1；（B ）定义域内单调不减；（C ）∫ϕ(x )+∞−∞dx =1；（D ）lim x→+∞ϕ(x )=1。

5、设随机变量ξ,η满足条件D (ξ+η)=D (ξ−η)，则有（）事实上（A ） Dη=0 （B ）ξ,η不相关（C ）ξ,η相互独立（D ）Dξ⋅Dη=0三、综合题（每小题5分共30分）1.某射击小组共有20名射手，其中一级射手4名，二级射手8名，三级射手7名，四级射手1名，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9,0.7,0.5,0.2，求在小组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

概率论与数理统计期末试卷及答案 A

第 1 页共 5 页班级姓名准考证号‥‥‥‥‥‥密‥‥‥‥‥‥封 ‥‥‥‥‥ 线 ‥‥‥‥内 ‥‥‥‥‥不 ‥‥‥‥‥准 ‥‥‥‥‥答 ‥‥‥‥‥题 ‥‥‥‥‥‥期末考试试卷参考答案学年学期：课程名称：《概率论与数理统计》适用专业：（满分：100分时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的备选项中选择符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡上相应的位置，错涂、多涂或未涂均无分。

1．设二项分布的随机变量，其数学期望与方差之比为4：3，则该分布的参数p =（）.A ．0.5B ．0.25C ．0.75D ．不能确定2．设随机变量X 与Y 的关系为21Y X =+，如果()D X =2,则()D Y =（）．A ．4B ．6C ．8D ．103．若X 服从区间[]2,6上的均匀分布，则{23}P x <<=（）.A ．0．2B ．0．75C ．0．5D ．0．254．若随机变量X 的期望EX 存在，则()E aX b +=（）.A ．aEXB ．2a EXC ．aEX b +D ．2a EX b +5．当随机变量X 的可能值充满（）时，则()cos f x x =可以成为随机变量X 的密度函数.A ．π[0,]2B ．π[,π]2C ．[0,π]D ．3π7π[,]226．矿砂中铜含量服从正态分布),(~2σμN X ，2μσ，未知，现从总体中抽取样本521,,,X X X ，5115i i X X ==∑，52211()5i i S X X ==-∑，在显著水平α下检验00:μμ=H ，则所取的统计量为（）.A ．5/0σμ-X B ．5/0S X μ- C ．4/0σμ-X D ．4/0S X μ-7．事件表达式A B +的表示（）.A ．事件A 与事件B 同时发生 B ．事件A 发生但事件B 不发生C ．事件B 发生但事件A 不发生D ．事件A 与事件B 至少有一个发生8．样本空间S 中的事件A 与B 相互独立的充要条件是（）. A ．A B S += B ．()()()P AB P A P B =C ．AB =∅D ．()()()P A B P A P B +=+9．设1X 、2X 是总体X 的样本，则下列统计量不是总体X 的期望的无偏估计量的是（）.A ．1XB ．121233X X + C ．121()2X X + D ．121()3X X +10．任何一个连续型随机变量X 的密度函数()f x 一定满足（）.A 卷第 2 页共 5 页‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 密 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 封 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥A ．0()1f x ≤≤B ．() d 1f x x +∞-∞=⎰C ．在定义域内单调不减D ．lim ()1x f x →+∞= 11．袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，无返回的取两次，A =第一次取新球，B =第二次取新球．求P （B|A ）=（）.A ．12B ．23C ．35D ．1312．已知事件A 和B 互不相容，()0,()0P A P B >>，下式成立的是（）. A ．()()()P A B P A P B =+ B ．()()()P AB P A P B =C ．()1P A B =D ．()0P AB >13．若随机变量2(,),3,1,X N EX DX μσ==则11}P X ≤≤={-（）.A ．2(1)1A Φ-、 B ．(4)(2)B Φ-Φ、C ．(4)(2)Φ--Φ-C 、 D ．(2)(4)Φ-ΦD 、 14．参数为λ的指数分布的方差是（）.A ．1λB ．2λC ．λD ．21λ15．设X 为连续型随机变量，则{1}P X ==（）. A ．1B ．0C ．不能确定D ．以上都不对二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）判断正误，正确代码为A ，错误代码为B ，请将正确的答案代码涂在答题卡相应的题号下。

《概率论与数理统计》课程期末考试试卷A(试)

（3）正态分布（4）泊松分布布 12、t 分布的极限分布是【】。

（1）)1,0(N （2）)(2n χ （3）),(2σμN （4）),1(n F13、如果样本观测值为60，70，80，那么总体均值μ的无偏估计是【】。

（1）70 （2）10 （3）60 （4）80 14、以下关于矩估计法的叙述中正确的是【】。

（1）充分利用总体分布（2）理论依据是k Pk A μ−→−（3）利用样本分布信息（4）一定是有偏估计15、总体均值μ置信度为99%的置信区间为（1ˆμ，2ˆμ），置信度的意义为【】（1）μ落入（1ˆμ，2ˆμ）的概率为0.99 （2）（1ˆμ，2ˆμ）不包含μ的概率为0.99 （3）（1ˆμ，2ˆμ）包含μ的概率为0.99 （4）μ落出（1ˆμ，2ˆμ）的概率为0.99 二、多项选择题（从每题后所备的5个选项中，选择至少2个正确的并将代码填题后的括号内，每题1分，本题共5分）。

16、如果随机事件、A B 互斥，且30.0)B (P ,40.0)A (P ==，那么【】。

（1）0.40)B -A (P = （2）0.70)B A (P = （3）0B)/P(A = （4）0)AB (P = （5）1)B /A (P =17、设随机变量X~e （10）,那么【】。

（1）10.0)X (E = （2）10)X (E = （3）2e 1)0.2X (P --=≤ （4）0.01)X (D = （5）)100X (P )100X |220X (P >=>>18、设总体是样本。

，，未知，已知，），，（n X X X N X ,~2122 μσσμ下列不是统计量的有【】。

（1）n Xni i/1∑= （2）221/)(σX X ni i -∑= （3） σμ/)(-i X（4）n X ni i /)(21μ-∑= （5）∑=-ni i n X X 12/)(19、以下关于最大似然估计方法的说法中正确有【】。

大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案

大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为（2分）由概率公式（4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分）（2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解：（3分）（5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数（2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分）可得（1分）(2), , （3分）（2分）由可知与不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数（4分）由可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略解：（2分）检验统计量，拒绝域（2分）而（1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。

概率论与数理统计期末试卷及答案(最新6)

八、（本题7分）叙述大数定理，并证明下列随机变量序列服从大数定理。
，n=2,3,4…
2005级概率论与数理统计试卷A卷参考答案
一、
1.C
注释：由“A B成立”得P(A)=P(AB)
2.C
3.B
注释：参考课本86页
4.B
?5.
6.B
A项参见课本64页，D项参见课本86页
二、
1.2
注释：若X服从Poisson分布，则EX= ，DX= 。（课本84页）
A. f(z)= B. f(z)=
C. f(z)= D. f(z)=
6.设（，）服从二维正态分布，则下列说法中错误的是（）
A.（，）的边际分布仍然是正态分布
B.由（，）的边际分布可完全确定（，）的联合分布
C.（，）为二维连续性随机变量
D. 与相互独立的充要条件为与的相关系数为0
A） B）
C） D）
3、设是一个连续型变量，其概率密度为(x)，分布函数为F(x)，则对于任意x值有( )
A）P(=x) = 0 B）F(x) =(x)
C）P(= x) =(x) D）P(= x) = F(x)
4、对于任意两个随机变量和，若，则（）
A） B）
C）和独立D）和不独立
5、设的分布律为
五、（本题8分）已知产品中96%为合格品。现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05.求在这种简化检查下被认为是合格品的一个产品确实是合格品的概率？
六、（本题8分）一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成。在运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，而为了使整个系统正常工作，至少必须有85个部件工作。求整个系统正常工作的概率。

2013-2014学年《概率论与数理统计》期末考试试卷-(A)答案

1． 0.5 ；0.58 2． 2/5 3．4． 0.3 ；0.5 5． 10 ；8 6． 21 7． 8/9 8． )41.05,41.05(025.0025.0z z +-《概率论与数理统计》期末考试试卷 (A)一、填空题（每小题4分，共32分）.1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A ⋃B ) = __0.5_____; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A ⋃B ) = ____0.58____.2．设随机变量 X 在区间 [1, 6] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 3} = _____2/5_________.3．设随机变量 X 的分布函数为,2,1 21 ,6.011 ,3.01,0 )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为___________________________ .4．若离散型随机变量 X 的分布律为则常数 a = _0.3________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _0.5________ .5．设随机变量 X 服从二项分布 b (50, 0.2), 则 E (X ) = ___10_____, D (X ) = _8__________.6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X - 2Y ) =___21______.7．设随机变量 X 的数学期望 E (X ) = μ, 方差 D (X ) = σ 2, 则由切比雪夫不等式有 P {|X - μ | < 3σ } ≥ _________________.8．从正态总体 N (μ, 0.1 2) 随机抽取的容量为 16 的简单随机样本, 测得样本均值5=x ，则未知参数 μ 的置信度为0.95的置信区间是 ____________________________. (用抽样分布的上侧分位点表示). 1. D 2. A 3. C 4. B 5. D 6. C详解：2.因为⎰∞-=xt t f x F d )()( 故⎰-∞-=-at t f a F d )()( 令u =-t ⎰∞+--=-a u u f a F d )()(⎰+∞=au u f d )(⎰+∞=at t f d )(⎰-=a t t f 0d )(21 (21d )(0=⎰+∞t t f )详解：4.因为X ~)1,0(N ,Y ~)1,1(N 所以 1)(=+Y X E ，2)(=+Y X D 故)()(Y X D Y X E Y X ++-+21-+=Y X ~)1,0(N 所以21}021{=≤-+Y X P 即 21}01{=≤-+Y X P 21}01{=≤-+Y X P二、选择题（只有一个正确答案，每小题3分，共18分）1．设A , B , C 是三个随机变量，则事件“A , B , C 不多于一个发生” 的逆事件为( D ).(A) A , B , C 都发生 (B) A , B , C 至少有一个发生 (C) A , B , C 都不发生 (D) A , B , C 至少有两个发生2．设随机变量 X 的概率密度为 f (x ), 且满足 f (x ) = f (-x ), F (x ) 为 X 的分布函数, 则对任意实数 a , 下列式子中成立的是 ( A ). (A) 错误!未找到引用源。

《概率论与数理统计》期末考试(A)卷答案与评分标准

海南师范大学物理、电子、自动化、地理、城规、计算机专业《概率论与数理统计》 2009—2010学年度第一学期期末考试（A ）卷答案与评分标准注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷 4. 本试卷共五大题，满分100分，考试时间100分钟一、单项选择题（本题共六小题，每小题3分，共18分。

在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分）1、设B A ,为随机事件, 若4.0)(,6.0)(==B P A P , 则有（ D ）. A ：1)(=B A P ； B ：24.0)(=AB P ； C ：6.0)(≤B A P ； D: 4.0)(≤AB P .2、设随机变量X 服从正态分布)1 ,0(N , )(x Φ为其分布函数，则}4{2<X P =（ A ） . A ：1)2(2-Φ ； B ：1)4(2-Φ ； C ： )2(21Φ-； D ：)2(1Φ-.3、己知二维随机变量),(Y X 具有分布函数),(y x F ，则（ D ）. A ：}{),(x X P x F <=+∞； B ：1),(=+∞x F ； C ：1),(=+∞-∞F ； D ：0),(=-∞x F .4、己知随机变量X 服从二项分布)2.0 ,5(B , 则=)(2X E （ C ）. A ：1； B ：0.8； C ：1.8； D ：0.2.5、设n X X X ,,,21 是来自总体) ,(2σμN 的简单随机样本，则∑==n i i X n X 11服从正态分布（ A ）. A ：) ,(2n N σμ； B ：) ,(2σn n N ； C ：) ,(2σμN ； D ：)1 ,0(N .6、设n X X X ,,,21 是来自总体) ,(2σμN 的简单随机样本，2 σ未知，检验假设 00μμ=：H ，对01μμ≠：H 时，需用到检验统计量是（ B ）. A ：n X Z σμ0-=； B ：n S X T 0μ-=； C ：222)1(σχS n -=； D ：n S X T n 0μ-=. 二、填空题（将答案直接填入栝号内，本题共六小题，每小题3分，共18分） 1、设事件B A 与相互独立,7.0)(,5.0)(==B A P A P ，则=)(B P ( 0.4 ) 第1页（共6页）第2页（共6页）2、设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它，,0,10,3)(2x x x f X 的概率分布函数为)(x F ，则=)5.0(F （ 0.125 ）.3、已知随机变量Y X 与的联合分布律为则概率==}1),{max(Y X P （ 0.6 ）；4、设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-，0,0,0,)(x x e x f x则X e Y 3-=的数学期望=)(Y E （ 41）.5、己知随机变量X 的期望,20)(=X E 方差,8)(=X D ,则≤≥-}620{X P ( 92);.6、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，2σ未知，X 是样本均值, 2S 是样本均值,则μ的置信度为1-α的单侧置信下限为（）三、解答题（本题共 4小题，每小题8分，共32分）1、9.0)(,7.0)(,5.0)(===B A P B P A P ,试计算：)(AB P ,)(B A P -及)(B A A P 的值。

(完整word版)2013-2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北京交通大学2013〜2014学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（ A 卷）某些标准正态分布的数值X 0.34 0.53 0.675 1.16 1.74 1.96 2.33 2.58 Q(x )0.66310.70190.750.8770.95910.9750.990.995其中①［X 是标准正态分布的分布函数.一.（本题满分8分）某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为0.4、0.35和0.25，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为 0.5、0.65和0.45 •如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率.解：设B = “钥匙被找到”.A 二“钥匙掉在宿舍里”，A ?二“钥匙掉在教室里”，A 3二“钥匙掉在路上”.由Bayes 公式，得PA 3B = 3PA 3PBA3Z P （A P （B A ）i 10.25 0.450.2083 .0.4 0.5 0.35 0.65 0.25 0.45二.（本题满分8分）抛掷3枚均匀的硬币，设事件A 」「至多出现一次正面 \B =「正面与反面都出现1判断随机事件 A 与B 是否相互独立（4分）？如果抛掷 4枚均匀的硬币，判断上述随机事件 A 与B 是否相互独立（4分）？100解:⑴如果抛掷3枚硬币，则样本点总数为21 2 3=8 .P A 丄丄，P B 丄丄，P AB ，8 28 4 8所以有 P AB =- =1 3二PAPB ，因此此时随机事件A 与B 是相互独立的. 8 2 4⑵ 如果抛掷4枚硬币，则样本点总数为24=16.514 74 1P A ， P B， P AB 二1616 8 16 4P AB — - =P A P B ，因此此时随机事件 A 与B 不是相互独立的. 416 8.（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为0 ： x :: 1其它E X (4 分)；⑵ plx E X / (4 分).解::: 1E (X )= J xf (x dx = J x 4(1 - x j dx1⑵ P 〈XE X ［；-P a 0.2 ； = j 41 -x 3dx0.2所以有求：⑴ 1=4 x - 3x 2 3x 3ddx=4 丄1 3」124 5 丿 10.2.52013-2014学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（ A 卷）答案 Page 2 of 9100四.（本题满分8分）某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量度函数为0 ： x :: 100 其它1=4 1 _3x 3x 2dx =40.2 X-3X 2x 」x 2 4 0.2 25 60.409662 5 X （单位：千升）是一随机变量，其密试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在2%以下?解：设该加油站每次的储油量为a •则由题意，a应满足0 ：：： a ::: 100 ,而且P X a <0.02 .而P(X > a )= [ f (x dx = [ f (x dx + [ f (x )dx = [—x 1 -a 20 I 100丿1」100100所以，应当有,1」兰0.02.、一 100 丿所以，得 1 一上 <V0.02，即 1 —1002 兰 2 , 100 100 因此有 a -100 1 -5 0.02 =54.2694948因此可取a = 55 （千升）,即可使一周内断油的概率控制在5%以下.五.（本题满分8分）设平面区域D 是由双曲线 , x 0以及直线y =x , x =2所围，二维随机变量 xX, Y 服从区域D 上的均匀分布.求：⑴ 二维随机变量 X, Y 的联合密度函数f x, y （4分）；⑵随机变量丫的边缘密度函数 f Y y （4分）.解：⑴区域D 的面积为2* 1 2 A = J x-— dx =（2x 2- In x ） = 6- In 2 ,x 丿 r 1所以，二维随机变量 X, Y 的联合密度函数为10 (x, y 弹 D1 ⑵当丄"£1时，2-be 2 / 、 1 1 1fY (y )— J f (X, ydx- f dx -2——“ h —1— (x, y )^ D f (x ，y )=【6-l n2y6—1 n2 ；6—In 2 I y 丿y所以，随机变量Y 的边际密度函数为必求出Y 的密度函数，只需指出Y 是哪一种分布，以及分布中的参数即可.）解：由于X 1 ~ N 0,匚2 , X 2~N0,-2，而且X 1与X 2相互独立，所以X 1 X 2 ~ N 0,2；「2 , X 1—X 2~N0,2匚2 .-be卜八f x.y dx =16 —In 22dx1 6 —In 22-y •六.（本题满分8分）f Y（y ）=«其它设随机变量 X 与Y 满足：var X =2 , var Y =4 , cov X ,Y = 1 ,再设随机变量U = 2X - 3Y ,V =3X -2丫，求二维随机变量 U, V 的相关系数:-U ,V .解：var U = var 2X -3Y =4 var X 9 var Y -12cov X, Y [=4 2 9 4 -12 =32 , var V =var3X-2Y = 9var X i 亠 4 var Y -12 cov X, Y ]=9 24 4-12 =22 ,cov U , V =cov 2X -3Y, 3X - 2Y^6var X 6var X -4cov X, Y -9cov X, Y [=6 26 4-13 1 =23.所以，二维；U ,V_covU,_V . 23 =23“8668451157、var U var V . 32 . 228、1123七.（本题满分8分）设X 1, X 2是取自正态总体 N 0,匚2中的一个样本.试求随机变量X^X 2 “―X22的分布（不1 6 — l n21 < y ::: 1 2由于covX1 X2,X r _X2= v a rX1-v a rX2=0 ,所以, 广X1 +X2 2＜屈丿21，_X2相互独立.所以，Y二乂+x2丫l X1- X2 丿「X1 +X2 22 X1 二X2 i占b八.（本题满分8分）某射手射击，他打中10环的概率为0.5，打中9环的概率为0.3，打中8环的概率为0.1，打中7环的概率为0.05，打中6环的概率为0.05 .他射击100次，试用中心极限定理近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率.x 1.25 1.30 1.35 1.40①(x)0.8944 0.90230 0.91149 0.91924解:设X k表示该射手射击的第则X k的分布律为X k 10 9 8 7 6P 0.5 0.3 0.1 0.05 0.05所以，E X k1=10 0.5 9 0.3 8 0.1 7 0.05 6 0.05 715,=102 0.5 92 0.3 82 0.1 - 72 0.05 62 0.05 =84.95,所以，D X k二EX： -Ex k2=84.95-9.152=1.2275.因此，X1, X2,…，X100是独立同分布的随机变量，故1 0 0P 9002X k 兰930『P1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0900、E X k ' X k-' E X k 930、E X k k £.：：：k =1km.：：：k T一,1 0 0 — 110 0「D X k ' D X k[k d . k=11 0 0' D X kk =12,而且X1 X2, X1 —X2服从二元正态分布，所以X1 X2与X1 —X2相互独立./ 100送 X k —100x9.15=P —1.35388 兰 7 l J100 汉 1.2275「Q1.35 ］尬［1.35 U 1.35 -1 =2 0.91149 -1 =0.82289 .九.(本题满分9分)设随机变量X 与Y 相互独立而且同分布，其中随机变量X 的分布列为P^X =1 j p 0, P 「X =0 =1 - p 0 ,再设随机变量”1 X +Y 为偶数 Z =」0 X +Y 为奇数■-⑴ 写出随机变量 X, Z 的联合分布律以及 X 与Z 各自的边缘分布律；⑵ 问p 取什么值时，随机变量X 与Z 相互独立？解：⑴X 与Z 的联合分布列以及X 与Z 各自的边际分布列为其中 P 〈X =0, Z =0丄 P 「X =0,Y =1丄 P 〈X =0：PY =1、p 1 - p ； P 〈X =0, Z =1 丄 P 「X =0,Y =0 .；S x "pY =0 .；h ［1 - p 2；P ：X =1, Z =0 ； = P ：X =1, Y =0 ； = P ：X =1P "Y =0^= p 1 — p ； P^X =1, Z =1 ； = P 「X =1, Y =1 ；S x=1 ；=P 2 ；900-100 9.15 J00 1.2275100X k -100 9.15•：：：一k -J100x 1.2275930-100 9.15 -<1 00 1.2275<1.35388)第6页共9页⑵如果X 与Z 相互独立，则有P ：X =1, Z =0、p 1 一 p 二 P 「X =＜：piz =0、p 2p 1 一 p ， 1 1解方程 p1-P 二p ・2p1 — p ，得p =—.并且当p =-时，有221Pi • X1 1 1 044211 1 1 4 4 21 1 p j22可以验证，此时X 与Z 是相互独立的.十.（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为冬-5的指数分布.X 的密度函数为由题意，知 ^X Y ，设T 的密度函数为f T t ，则-be-bef T t = f X x f Y t - x dx 二 5e _5x f Y t - x dx-:作变换 u=t-x ，贝U du =-dx ，当x =0时，u =t ；当x - 时，u —；匚.代入上式，得f （x5e _5xx 0 xE0现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止.令: T :从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数.解:5e*xX 的密度函数为fx （x ）=」x 0 x 乞0丫的密度函数为fY （y ）= “ 5e^ytf r (t )= - \5e~^~ F Y (U du =5e~ Je 5u fY(u dut-20当仁0时，由f Y y =0，知f r t =o ；当t 0时，tf T t =5e® e 5u 5e“u du =25te^综上所述，可知随机变量T 的密度函数为（本题满分9分）设总体X 的密度函数为1 _ixf x;e 二，-：：:x26其中二0是未知参数. X 1，…，X n 是从中抽取的一个样本•求解：r 的似然函数为1_（日）=口 f （X i ；日 Ay^exh —4 送 X i ；＞， y（2日）I 日-‘ 则有‘ / 1 nIn L （e ）=—nln （2&）— —为 x i ，对。

2）《概率统计》试题A卷答案

广州大学2008-2009学年第二学期考试卷概率论与数理统计（A 卷）参考解答与评分标准一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1．对于任意两个事件A 与B,若A ⊆B,则P(A −B)= ( B )。

A. P(A)−P(B) B. 0 C. 1 D. P(A)2．设B A ,是两个概率不为0且互不相容的事件，则下列成立的是（ D ）。

A. A 与B 互不相容 B. A 与B 独立C.)(B A P = )()(B P A PD. )(B A P = )(A P3．设)(x f 为某连续型随机变量的概率密度函数, 则必有( B )。

A ．1)(0≤≤x f B. 1)(=⎰+∞∞-dx x fC. 在定义域内单调不减D.1)(lim =+∞→x f x4．设一个连续型随机变量的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=a x a x k x x x F 1000)(则（ C ）。

A. 21,0==a kB. 21,21==a kC. 1,0==a kD. 1,21==a k学院专业班级姓名学号5．设二维随机变量()的联合分布概率为若X 与Y 独立,则}3{=+Y X P =( A )。

A. 1/3 B. 5/6 C. 1/6 D. 2/3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）(1) 三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a A 000000中的c b a ,,取3,2,1,0的概率都相同，则该阵为可逆阵的概率为_27/64____。

(2) 某人射击某一个目标的命中率为0.6，现不停的射击，直到命中为止，则第3次才命中目标的概率为_0.096__。

(3)设)6,1(~U X ，则方程012=++Xx x 有实数根的概率为__5/6 。

(4)设X 和Y 是相互独立的两个随机变量，且)3,2(~-U X ，)4,1(~N Y ，则=+)(Y X E __1.5__。

安徽大学2020-2021第一学期概率论与数理统计论与数理统计A期末考试卷及参考答案

安徽大学2020—2021学年第一学期《概率论与数理统计A 》期末考试试卷（A 卷）参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共15分） 1．0.8； 2．011122Y⎛⎫⎪⎪⎝⎭； 3．12；4．22σμ+； 5．1.65二、选择题（每小题3分，共15分）6．C ； 7．B ； 8．C ； 9．A ； 10．D三、计算题（每小题10分，共60分） 11．解：(1) 由121d )(02==−⎰k x x kααα 2 =⇒k ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分(2) 22 0 02()()d , 0 1 x x x x F x f t t x x αααα−∞<⎧⎪⎪==−≤<⎨⎪≥⎪⎩⎰，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分12．解：(1) Z 的密度函数为 ⎩⎨⎧≤≤−=其他 , 022 , 4/1)(z z f ，,41}1{}1,1{}1,1{=−≤=≤−≤=−=−=Z P Z Z P Y X P,0}1,1{}1,1{=>−≤==−=Z Z P Y X P,21}11{}1,1{}1,1{=≤<−=≤−>=−==Z P Z Z P Y X P,41}1{}1,1{}1,1{=>=>−>===Z P Z Z P Y X P所以X．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分(2) ,324321}1{}1,1{}1|1{===−====−=X P Y X P X Y P.31}1{}1,1{}1|1{=======X P Y X P X Y P．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分13．解：此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为2510e d e 51)10(−−∞+==>⎰x X P x，故 )e ,5(~2−B Y .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分他一周内至少有一次步行上班的概率为52)e 1(1)1(−−−=≥Y P .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分14．解：（1）),(Y X 的联合密度为⎩⎨⎧∈=其他 , 0),( , 1),(Dy x y x f ，所以X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⋅==⎰⎰−∞+∞−其它, 0 10 , 2d 1d ),()(x x y y y x f x f x x X ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）32d 210=⋅=⎰x x x EX ，21d 21022=⋅=⎰x x x EX ，181)(22=−=EX EX DX ，所以92)(4)12(==+X D X D .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分15．解：⎰∞+∞−−=x x z x f z f Z d ),()(，⎩⎨⎧<−<<<−−−=−其他,010,10),(2),(x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<−=其他,01,10,2xz x x z ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分当0≤z 或2≥z 时, 0)(=z f Z ；当10<<z 时, ⎰−=zZ x z z f 0d )2()()2(z z −=；当21<≤z 时, ⎰−−=11d )2()(z Z x z z f 2)2(z −=；故Y X Z +=的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−=其他 ,021 ,)2(10 ,2)(22z z z z z z f Z .．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分16．解：（1）⎰−⋅=1d 11)(θθx x X E 21θ+=，由1)(2−=X E θ，所以θ的矩估计量为 12ˆ−=X θ，其中∑==ni i X n X 11。

理工(本)各专业线性代数与概率统计期末试卷(A)(1)

滁州学院2012 /2013学年度第一学期期末考试试卷理工（本）各专业2011级《线性代数与概率统计》A卷（时间120分钟）一、填空题（每小题3分，共18分）1、已知003042217A，则A。

2、在仅由0,1,2,3,4,5组成且每个数字至多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数，则该数是奇数的概率为。

3、已知三阶方阵A的特征值为1,2,3，求23A A E-+=。

4、已知,A B相互独立，且()0.5,()0.3,P A P B==则()P AB=。

5、已知治疗某种疾病的药物的治愈率为0.8，以X表示10位患有该种疾病的人服用该药后治愈的人数，则2()E X=。

6、设(,)X Y的密度函数为,0(,)0,ye x yf x y其他，则边缘密度函数()Yf y。

二、选择题（每小题3分，共18分）7、设矩阵53(),()ij ij x yA aB b⨯⨯==，矩阵TBA为45⨯矩阵，则B是（）阶矩阵。

()a45()b34()c43()d538、,A B为任意两事件，下列结论正确的是（）。

()a若()0P AB=，则AB=Φ()b,A B对立，则,A B必互斥()c,A B独立，则,A B必对立()d若()1P A B⋃=，则A B⋃=Ω9、设X、Y为两随机变量，下面各命题等价，除了（）。

()a(,)0Cov X Y=()b X与Y不相关()c X与Y独立()d()()()D X Y D X D Y10、设随机变量(1,4)X N，则下列命题正确的是（）。

()a(1)0.5P X≤<()b(0)0.5P X≤>()c232(3)xP X dx-≤=⎰()d212(3)xP X dx-≤=⎰11、设BA,均为n阶可逆方阵，则（）不成立。

()a AB也可逆()b A B+也可逆()c**A B也可逆()d()TAB也可逆12、设1234,,,X X X X为来自总体(1,)X B p的样本，则（）是p的无偏估计。

《概率统计》期末考试题(有答案)

《概率论》期末 A 卷考试题一填空题(每小题 2分，共20 分)1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0。

8，则目标被击中的概率为（）.2．设()0.3,()0.6P A P AB ==，则()P AB =（ ).3．设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a （），()6P X π>=（）.4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则=-)1(2X E （）。

5．若随机变量X的概率密度为236()x X p x -=,则(2)D X -=（）6．设Y X 与相互独立同服从区间（1，6）上的均匀分布，=≥)3),(max(Y X P （）。

7．设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为X Y 1 2 •i p0 a 121 61 131b 则 ( ), ( ).a b ==8．设二维随机变量(X ，Y ）的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(2y x ae y x f yx ,则=a （）9．若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-,则X 与Y 的相关系数XY ρ=（ )。

10。

设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ,则=-)52(Y X D （ ).二．选择题（每小题 2分，共10 分)1．设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生，则有( ）。

)()()(1)()()()(1)()()()()()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥=2．假设事件B A 和满足1)|(=B A P ，则( ）. (a ） B 是必然事件（b ）0)(=-A B P （c) B A ⊂ （d ) 0)|(=B A P 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ）.（a ）sin 0()20 x x p x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它（b ） ⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x p（c) sin 0()0 x x p x π<<⎧=⎨⎩，，其它 (d) ⎩⎨⎧<<=其它103)(2x x x p4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则概率==)(EX X P ( ).112211()()2 () ()222a eb ec ede ---- 5．若二维随机变量（X ，Y ）在区域{(,)/01,01}D x y x y =<<<<内服从均匀分布,则1()2P X Y X ≥>=（）。

概率论与数理统计期末考试试题(答案)

B的意思是与事件B发生但事件A B的定义可知。

与事件B B(是不可能事件(B) 是可能事件1 (D) 是必然事件，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

X,Y相互独立，且都服从标准正态分布，则(B) 自由度为答：填0.18, 由乘法公式P (A B )=P (A )P (B |A )=0.6⨯0.3=0.18。

2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1-0.216=0.784。

3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____ 答：填0.25或14，由古典概型计算得所求概率为31053210.254C ⨯⨯==。

4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它则P {X ≤1.5}=_______答：填0.875，因P {X ≤1.5} 1.50()d 0.875f x x ==⎰。

5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (X +Y )=__________答：填4.5，因E (X )=5⨯0.5=2.5, E (Y )=2, E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2.5+2=4.56. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝________答：填0.4，因为总体X 的方差为4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。

三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。

由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。

（10分）解：设从甲袋取到白球的事件为A ，从乙袋取到白球的事件为B ，则根据全概率公式有()()(|)()(|)211150.417323412P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯== 四、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。