两个r.v.的函数分布
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随机信号分析2习题(供参考)
2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3……（1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？（3）、求一、二维概率密度函数。
（1）（2） 所以是确定的。
（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1（1） 是确定性随机过程？（2 ） 求任意时刻X(t)的一维概密。
解：（1）是（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求X （t ）的一维概率密度。
解：发22x x cos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)d x p x t F x t p dx ωωω'==- 2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cos πt,出现正面，2t ，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解： x1 x2X ：（t=1/2） 0 1Y (t=1) 1 22.5 随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。
解：2.6 随机过程X(t)由如题 2.6图所示的三条样本函数曲线组成，并以等概率出现，试求E[X(2)], E[X(6)], E[X(2)X(6)], Fx(x;2),Fx(x;6),Fx(x1,x2;2,6).解：()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k kX1 x2 x3T1=2 3 4 6E[X(2)]=313)643(31=++ E[X(6)]=314)752(31=++ E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33++= [])6x ()4x ()3x (31)x,2(f -+-+-=δδδ2．7随机过程X(t)由三条样本函数构成，cost )3,t (X sint;)2,t (X ;1)1,t (X ===ξξξ ,并以等概率出现，求E （X(t)）,和 R(t1,t2)解：2.8 已知随机过程X(t) 的均值为m(t), 协方差函数为C(t1,t2), 又知f(t)是确定的时间函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。
概率论第三章 多维随机变量及其分布
1 3
概率论
y
y x
o
x
概率论
四、课堂练习
设随机变量(X,Y)的概率密度是
f
x,
y
k
6
x
y,
0,
0 x 2,2 y 4, 其它.
(1) 确定常数 k;
(2) 求概率 PX 1,Y 3 .
解 (1) 1 f x, ydxdy
R2
k
2 dx
46
0
2
x
y dy
k
2 dx
46
概率论
同理, Y的分布律为:
P{Y y j} pij ˆ p•j , j 1,2,, i1
分别称pi• (i 1, 2,), 和p• j , (j 1, 2,)为(X, Y)关于 X和关于Y的边缘分布律.
概率论
例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 和边缘分布律.
也就是说,对于给定的
不同的 对应
不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.
此例表明 由边缘分布一般不能确定联合分布.
概率论
五、小结
1. 在这一讲中，我们与一维情形相对照，介 绍了二维随机变量的边缘分布. 2. 请注意联合分布和边缘分布的关系: 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布.
随机变量维（X,Y )的概率密度 , 或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.
概率论
一维随机变量X
连续型
F x x
f tdt
x
X的概率密度函数
f x x R
概率论与数理统计第3章
试求常数a和b。
π F xlim F x a b 2 0 解： F lim F x a b π 1 x 2
1 1 a , b 2 π
P ( 2 4) P ( 2) P ( 2 4) 0.3 0.6 0.5 0.4
P ( 3) 1 P ( 3) 1 0.5 0.5
6
例3：设r.v. 的分布函数
F x a b arctan x
b a
因此求概率可从分布函数与密度函数两条途径入手。
5、密度的图像称分布曲线，相应有两个特征： ⑴ 曲线在x轴上方；
概率面积
y
f(x)分布曲线
⑵ 曲线于x轴之间的 面积是1。
x c o d
10
例4：设 的密度在[a,b]以外为0，在[a,b]内为
一常数 ，
， a x b f ( x) 0， 其它
x2 2
16
⑶ f(x)符合密度函数的两性质： ① f(x) > 0；②
f x d x 1。
x2 2
以标准正态分布为例， e
e d t e
t2 2 2 x2 2
d x 称为高斯积分。
dy
r2 2 0
从F(x)求f(x)： f x F x 从f(x)求F(x)： F x f t d t
x
9
4、对于连续型随机变量 ，
⑴ P a 0 ，即某指定点的概率为0； ⑵ Pa b Pa b
Pa b Pa b f x d x
精品课程《概率论》ppt课件(全)
2. 频率的基本性质：
(1)
(2)
0 f（ A ） 1 ； （非负性） n f n (S ) 1; （规范性）
（3）若A1，A 2， , Ak 两两互不相容 ,则 f n ( A1 A 2 A k ) fn ( A1 ) fn ( A 2 ) fn ( Ak ).(有限可加性）
1.离散样本空间:样本点为有限多个或 可列多个.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域 内取值.
(二) 随机事件 样本空间S的子集称为随机事件，简 称为事件。
E2:将一枚硬币抛两次,观察正反面出现的情况.
事件发生:在一次试验中，当且仅当这 一子集中的一个样本点出现时，称这一 事件发生。
基本事件:由一个样本点组成的单点集. 必然事件: 样本空间S是自身的子集，在 每次试验中总是发生的，称为必然事件。 不可能事件：空集φ不包含任何样本点， 它在每次试验中都不发生，称为不可能 事件。
起源：
17世纪中叶法国贵族梅勒 赌博问题 帕斯卡(1623-1662)
成为数学分支：
瑞士人 雅克比-贝努力(1654-1705)
费马(1601-1665)
荷兰人惠更斯(1629-1695)：1657年<<论赌博中的计算>>
这一时期称为组合概率阶段
大数定理(LLN) 成为数学分支
Black-Scholes期权定价模型：1973年首次在 政治经济学杂志(Journal of Political Economy)发表， 1997年获诺贝尔经济学奖 彭实戈(1947-): 1995年“倒向随机微分方程”获得国家自然科学二等奖(一等奖空缺)。 许宝禄(1910-1970)，陈希孺(1934-2005)，严加安(1941---) 马志明(1948----)，陈木法 (1946---)
1-4随机变量的函数及其分布
例 若X ,Y 相互独立, 且均服从标准正态分布 N(0, 1),
U X Y V X Y
试求U ,V 的联合密度函数,问U,V 是否相互独立?
应用：求边缘密度 p U (u) ——增补变量法. 例 设二维随机变量 ( X ,Y ) 在矩形
G {( x, y ) | 0 x 2,0 y 1}
1.4 随机变量函数的分布
一维随机变量的函数及其分布
问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 例如，已知圆柱截面直径 d 的分布， 2 d 求截面面积 A= 的分布. 4 一般地、设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) ( 设g是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分 布？
u g ( x, y ) 设 存在唯一的反函数： v r ( x, y ) h h x h(u , v) 记 J u v s s y s (u , v)
u v
h , s 有连续的偏导数, 则
pUV (u, v) pXY [h(u, v), s(u, v)]| J |
思路 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件.
离散型随机变量函数的分布 例 已知 X 的概率分布为
X P -1 0 1 2
1 8
1 8
1 4
1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律。
注：形式做法 Y2 1 0 1 4
pi
Y2 pi
1 8
0
1 8
1
1 4
4
1 2
1 8
3 8
1 2
一、二维离散型r.v.函数的分布 例1 设二维r.v. ( X, Y ) 的概率分布为 Y X -1 2 求X Y , X Y , 的概率分布.
二维离散型Rv的边缘分布如果二维离散型随机变量(X,Y)
边缘分布 marginal distribution
二维随机变量 (X ,Y ) ,是两个随机变量视为 一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。
F(x, y) P{X x,Y y}
问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？
解
1
f
(
x,
y)
(b
a)(d
c)
a x b ,c y d
0
其他
axb 时
d
1
1
fX ( x)
f ( x, y)dy
dy c (b a)(d c) b a
x (a,b) 时 fX (x) 0
于是
1
f
X
(
x)
b
, y0 y0
6e(2x3y) , (x 0, y 0)
X
(
x)
Y
(
y)
0,
其它
(x , y)
所以 X 与 Y 相互独立。
例3 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。
解 （X,Y）的密度函数为
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
二维随机变量 (X ,Y ) ,是两个随机变量视为 一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布 函数来描述其取值规律。
F(x, y) P{X x,Y y}
问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个 一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？
解
1
f
(
x,
y)
(b
a)(d
c)
a x b ,c y d
0
其他
axb 时
d
1
1
fX ( x)
f ( x, y)dy
dy c (b a)(d c) b a
x (a,b) 时 fX (x) 0
于是
1
f
X
(
x)
b
, y0 y0
6e(2x3y) , (x 0, y 0)
X
(
x)
Y
(
y)
0,
其它
(x , y)
所以 X 与 Y 相互独立。
例3 已知二维随机变量（X，Y）服从区域D上的均匀分 布，D为x轴，y轴及直线y=2x+1所围成的三角形区 域。判断X，Y是否独立。
解 （X,Y）的密度函数为
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
二维随机变量的条件分布
定义 设X和Y的联合概率密度为 f (x,y), 边缘概率密度为 f X ( x), fY ( y)，则对一切使
f X ( x) 0 的x , 定义已知 X=x下，Y 的条件
密度函数为 f ( x, y ) f ( x, y) fY | X ( y | x) f X ( x) f ( x, y )dy 同样，对一切使 fY ( y) 0的 y, 定义
离散型r.v的条件分布
定义 设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对 定义 于固定的 j，若P(Y=yj)>0，则称 联合分布 P ( X xi ,Y y j ) pi j P(X=xi|Y=yj)= ，i=1,2, … P (Y y j ) p j 边缘分布 为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.
连续型 卷积公式
或f Z ( z )
f X
②若X与Y独立，求Z=aX+bY的概率
密度(a,b为非负常数)
例3.3.5：若X与Y是两个独立的随机变量，都 服从N(0,1)分布。证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。
一般
2 , 2 ) 1 , 2 2 2 2 则aX+bY~N( a1 b2 , a 1 b 2 )
f ( x, y ) f ( x, y ) f X |Y ( x | y) fY ( y) f ( x, y )dx
为已知 Y=y下，X的条件密度函数 .
条件密度函数的直观意义
f X |Y ( x | y)dx
P( x X x dx | y Y y dy )
称 FY(y)为( X ,Y )关于Y的边缘分布函数
(2).边缘分布密度
多维随机变量及其分布,随机变量相互独立性,条件概率
P {Y0X1 }P {X1 ,Y0} 0.030 , P {X1 } 0.045
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
P {Y1X1 }P {X1 ,Y1 } 0.010 , P {X1 } 0.045
P {Y2X1 }P {X1 ,Y2} 0.005 , P {X1 } 0.045
三、连续型随机变量的条件分
布
定义 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
xp 0(,xy,y ) 0p X(x)p Y(y) 其它 故X,Y 独立
问X和Y是否独立？
解：pX(x)
xe(xy)dy
0
xex
x>0
pY(y)0x e(xy)dx e y
y >0
即：
xex, x0
pX(x)0, 其它
ey,
pY
(
y)
0,
y0 其它
例3 设随机X变 和Y量 相互独 ,并立 且 X服从 N(a,σ2)Y , 在[b,b]上服从均,求 匀 (X分 ,Y)布 的联合概. 率密度
对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有
P ( X x i,Y y j) P ( X x i) P ( Y y j)
则称X和Y相互独立.
例1 已知(X,Y)的分布律为
(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
1
1
1
1
p ij
6
9 18
3
(1)求 与 应满足;的条件
(1)求在 X1的条件 ,Y的 下条件分 ; 布律
(2)求在 Y0的条件 ,X的 下条件分 . 布律
解 Y X 0 1 2 3P{Yj}
0 0 .84 0 .0 03 0 .0 02 0 .0 0100 .900 1 0 .06 0 .0 01 0 .0 00 0 .0 8002 .080 2 0 .01 0 .0 00 0 .0 50 0 .0 4001 .020 P{Xi} 0 .91 0 .0 04 0 .0 53 0 .0 2113 .000
概率论与数理统计 第2章
5
§2.2 一维离散型随机变量及其分布律
一、一维离散型随机变量的分布律
定义：设 ～离散型r.v.，它可能取的数值是 x1,x2,…,xn,…，又设
P xi pi i 1,2,, n,
则称下表
P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk
… …
为离散型r.v.的分布律或概率分布。
k
k!
e
e
k!
k 0
k
e e 1
13
⑶ 泊松分布亦是一个重要分布，它是一种散
点子分布，如布匹上的瑕疵点数；放射粒子
数；一段时间内的电话呼唤数及侯车人数等都
服从泊松分布。 例7：设书的某页中印刷错误的个数 服从 0.1 的泊松分布，试求该页中有印刷错误的概率。 例8：设 服从参数为 的泊松分布，已知
1
2、具体而言： 变量的值取决于试验的结果～随机变量，用 希腊字母 , , 表示。 以前所学的变量～普通变量，用英文字母 x,y,z,a,b,c等表示。 随机变量所取的值用普通变量表示。 3、～随机变量；a～数；
a 或 a ～随机事件，或发生或不发生； P a ～它的概率。
3
4、按取值的不同，随机变量可分为两类： ⑴ 离散型随机变量～它可能取的值是有限数 组和可数无穷多个值。 ⑵ 连续型随机变量～它可以在一个区间或数 轴上任意取值。 二、二维随机变量 在某些实际问题中，需用两个或两个以上的随 机变量来描述随机试验的结果。
4
定义：设某个随机试验的基本事件空间为
， 和 是定义在该基本事
19
§2.3 二维离散型随机变量及其分布律 一、联合分布律与边缘分布律 定义：设二维r.v. , 只能取有限对或者最多
§2.2 一维离散型随机变量及其分布律
一、一维离散型随机变量的分布律
定义：设 ～离散型r.v.，它可能取的数值是 x1,x2,…,xn,…，又设
P xi pi i 1,2,, n,
则称下表
P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk
… …
为离散型r.v.的分布律或概率分布。
k
k!
e
e
k!
k 0
k
e e 1
13
⑶ 泊松分布亦是一个重要分布，它是一种散
点子分布，如布匹上的瑕疵点数；放射粒子
数；一段时间内的电话呼唤数及侯车人数等都
服从泊松分布。 例7：设书的某页中印刷错误的个数 服从 0.1 的泊松分布，试求该页中有印刷错误的概率。 例8：设 服从参数为 的泊松分布，已知
1
2、具体而言： 变量的值取决于试验的结果～随机变量，用 希腊字母 , , 表示。 以前所学的变量～普通变量，用英文字母 x,y,z,a,b,c等表示。 随机变量所取的值用普通变量表示。 3、～随机变量；a～数；
a 或 a ～随机事件，或发生或不发生； P a ～它的概率。
3
4、按取值的不同，随机变量可分为两类： ⑴ 离散型随机变量～它可能取的值是有限数 组和可数无穷多个值。 ⑵ 连续型随机变量～它可以在一个区间或数 轴上任意取值。 二、二维随机变量 在某些实际问题中，需用两个或两个以上的随 机变量来描述随机试验的结果。
4
定义：设某个随机试验的基本事件空间为
， 和 是定义在该基本事
19
§2.3 二维离散型随机变量及其分布律 一、联合分布律与边缘分布律 定义：设二维r.v. , 只能取有限对或者最多
《概率论》第3章§2边缘分布解析
(关X ,于Y ) 的 第三Y章 多边维缘随密机变度量(及函其数分)布
例 设随机变量 X 和Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
y
(1,1)
当 0 x 1时,
y x
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,.
j 1
i 1
2020年11月24日星期二
§2 边缘分布
6/29
设 从r.v X 四1个, 2数,3,中4 等可能取值,又设
2020年11月24日星期二
例 设( X ,Y ) 的联合密度为
f
(x,
y)
kxy,
0,
0 x y,0 y 1, 其他
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘密度与边缘分布函数
1
0.5
y
dy 1 y
8xydx
5
/
6.
y
1
y=x
yy 11
0.5 00
y y==x x xx
0
0.5
2020年11月24日星期二
P( X 0.5)
x
0.5
1
0 dxx8xydy 7 /16.
的分段区域 y
x0
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第4章 多维随机变量(r.v.)及其分布
fY
(
y
)
=
π2
1− y2, 0,
− 1 ≤ y ≤ 1. 其它
28
2. 二维正态分布 p97
(X,Y)的概率密度为
f (x, y) =
1
e 2(
−1 1− ρ
2
)
(
x
− µ1 σ2
1
)2
−2
ρ
(
x
−
µ1 )( σ 1σ
y
2
−
µ2
)
+
(
y
− µ2 σ2
2
)2
2πσ σ 1 − ρ 2 12
f ( x, y)dy
−∞
称为(X,Y)关于X的边缘概率密度。
∫ fY ( y) =
+∞
f ( x, y)dx
−∞
称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度。
20
例p102 设 ( X ,Y )的概率密度是
f
(
x,
y)
=
cy(2 −
0,
x
),
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x ,
其它
求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度; (3) P{X<1/2}.
…
pi j
…
p.j
… … … … ….. … …
∑
p1 . p2 .
…
pi . …
1
18
3
例 将一枚硬币掷 3 次, 以X表示前 2 次中出现 H的次数, 以Y表示 3 次中出现H的次数. 求X,Y 的联合分布律以及(X,Y)的边缘分布律.
19
三、连续型(X,Y)的边缘概率密度
概率论与数理统计2.4节 r.v. 函数的分布
dx xxn
特别地，若g(x)为单调函数，则
Ch2-108
fY ( y)
f X (x1) dy
dx xx1
y = g(x)
其中x1= g 1(y)
y
x1
x
例6
设
f
X
(
x)
(1
1
x2
)
,
Ch2-109
x
Y 13 X
y 13 x
求 f Y (y)
y
解
fY ( y)
f X (1 dy
a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y )
解
FY ( y) P(Y y)
P(aX b y)
当a > 0 时，
FY
( y)
P
X
1 a
(y
b)
FX
1 a
(
y
b)
fY
( y)
1 a
fX
1 a
(
y
b)
Ch2-99
当a < 0 时，
FY
( y)
P X
1(y a
b)
1
FX
1 a
(
y
b)
fY
( y)
1 a
fX
1 a
(y
b)
故
fY
( y)
|
1 a
|
fX
1 a
(y
b)
Ch2-100
例如 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
fY
(
y)
|
1 a
|
fX
1 a
(
y
特别地，若g(x)为单调函数，则
Ch2-108
fY ( y)
f X (x1) dy
dx xx1
y = g(x)
其中x1= g 1(y)
y
x1
x
例6
设
f
X
(
x)
(1
1
x2
)
,
Ch2-109
x
Y 13 X
y 13 x
求 f Y (y)
y
解
fY ( y)
f X (1 dy
a, b为常数，且 a 0, 求 fY ( y )
解
FY ( y) P(Y y)
P(aX b y)
当a > 0 时，
FY
( y)
P
X
1 a
(y
b)
FX
1 a
(
y
b)
fY
( y)
1 a
fX
1 a
(
y
b)
Ch2-99
当a < 0 时，
FY
( y)
P X
1(y a
b)
1
FX
1 a
(
y
b)
fY
( y)
1 a
fX
1 a
(y
b)
故
fY
( y)
|
1 a
|
fX
1 a
(y
b)
Ch2-100
例如 设 X ~ N ( ,2) , Y = a X +b, 则
fY
(
y)
|
1 a
|
fX
1 a
(
y
3.4二维随机变量的分布函数、边缘分布
(1) 求常数 A; (2) （X，Y）落在由 y x, x y 及 2 所围区域G内的概率
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
《概率论》第3章§2边缘分布
F (x,y) =
2x2–x4 , 0 x <1, y 1 y4 , x 1, 0 y < 1 1, x 1, y 1
2013年8月5日星期一
(4)
0, 2x2–x4 , 1, 0,
x < 0， 0 x < 1, x1 y<0
FX ( x) F ( x,) =
FY ( y ) F (, y ) =
y4 ,
1,
0 y < 1,
y1
2013年8月5日星期一
4 x 4 x , 0 x 1 f X ( x) 其他 0,
3
4 y , 0 y 1 fY ( y ) 其他 0,
3
2013年8月5日星期一
当然也可直接由联合密度求边缘密度，例 如
6/29
§2
故 X , Y的联合分布律为
Y X
P{X i, Y j} P{Y j | X i} P{X i} 1 1 (1 j i) i 4
1 1/ 4 0 0 0
1 4
1 2 3 4
pi
2 1/ 8 1/ 8 0 0
1 4
3 1/12 1/12 1/12 0
y
故 r.v X的密度函数为 同理 Y的分布函数为
Y的密度函数为
( x )
FY ( y ) f ( x, v)dxdv
fY ( y ) f ( x, y )dx
( y )
称 f X ( x)为 ( X , Y )关于 X的边缘密度(函数) 称 f Y ( y) 为 ( X , Y )关于 Y 的边缘密度(函数) 第三章 多维随机变量及其分布
2.3随机变量的独立性
问X和Y是否独立？
解：fX (x)
xe( x y)dy xe x ,
0
x>0
fY ( y)
xe( x y)dx e y ,
0
y >0
即：
xex , x 0
fX (x)
0,
其它
e y , y 0
fY
(
y)
0,
其它
若(X,Y)的概率密度为
2, 0 x y,0 y 1
f
f(x,y)= fX(x)fY(y)
特别,取 x=u1 , y=u2 代入上式有 f(u1,u2)= fX(u1)fY(u2)
即:
1
11
21 2 1 2
2 1 2 2
对比两边 ∴ =0
例3 设(X,Y)的概率密度为
xe( x y) , f (x, y)
0,
x其它0f,(对yx,一y故切)0Xx,,YfyX,独(均x立)有fY：( y)
如果两个随机变量不独立，讨论它们的 关系时，除了前面介绍的联合分布和边缘 分布外，有必要引入条件分布的概念，这 将在下一讲介绍.
45 x5
[
1
dy]dx
15 x5 1800
10
0 15 y 45
x
=1/6
60
xy
P(X<Y)
45 60
[
1
dy]dx
15 x 1800
40
=1/2
10
0 15 45
x
y
解二：P(| X-Y| 5)
60
1 dxdy
40
1
|xy|5 1800
[60 30 2(10 30 30 30 / 2)]
rv的函数的分布
概率论
P{Y 4} P{ X 4} P{ X 2或X 2}
2
P{ X 2} P{ X 2} P{ X 2} 1 / 5 P{Y 9} P{ X 2 9} P{ X 3或X 3} P{ X 3} P{ X 3} P{ X 3} 11 / 30
二、设 X～N（0，1） （1）求 Y=eX 的概率密度 （2）求 Y=2X2+1 的概率密度。 （3）求 Y=| X |的概率密度。
概率论
三、设随机变量 X 在（0，1）上服从均匀 分布 X （1）求 Y=e 的分布密度 （2）求 Y=－2lnX 的概率密度。
概率论
一、 设随机变量 X 的 分布律为： X －2 －1 0 1 3 P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求 Y=X 2 的分布律
P{ X h( y )}
h( y )
x h( y )
x
f X ( x )dx
故定理成立
概率论
1 , 求 Y =eX 的分布. 例6 设 X ~ f X ( x ) 2 (1 x )
解： y = ex 单调可导,值域y>0, 反函数 x = h(y) = lny,
h( y ) 1 , y
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反 函数 F-1 存在且严格递增.
概率论
对0≤y≤1,
G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤
(1 y))= y F (y)) =F( F
1
即Y的分布函数是
y0 0, G ( y) y, 0 y 1 1, y 1
=P{ X
于是Y 的密度函数
相互独立的随机变量
故 X , Y 独立 .
例4 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为 (1)
4 xy, 0 x 1,0 y 1 f1 ( x, y ) 其他 0,
8 xy, 0 x y, 0 y 1 f 2 ( x, y ) 其他 0,
概率论
(2)
讨论X ,Y 是否独立？
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y )
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
X ,Y 相互独立，则 -1 pij X Y 0.25 -1 0.25 1
P (X = Y ) = 0.5, 故不能说 X = Y .
概率论
练习： 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
4 x(1 x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 0, 其他
1
1
4 y 3 , 0 y 1, fY ( y ) 其他 0, 显然， f 2 ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
故X ,Y 不独立
概率论
判断连续型二维随机变量相互独立的
fY ( y ) xe
0
( x y )
y e , dx
概率论
即
xe x , x 0 f X ( x) , 0, x 0 e y , y 0 fY ( y ) , 0, y 0
例4 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为 (1)
4 xy, 0 x 1,0 y 1 f1 ( x, y ) 其他 0,
8 xy, 0 x y, 0 y 1 f 2 ( x, y ) 其他 0,
概率论
(2)
讨论X ,Y 是否独立？
1 18
1 3
(1) 求 与 应满足的条件 ; (2) 若 X 与 Y 相互独立, 求 与 的值.
解 将 ( X ,Y )
Y
1 1 6 1 3
2 1 9
3 1 18
1 9
1 18
pi P{ X xi } 1 3 1 3
X ,Y 相互独立，则 -1 pij X Y 0.25 -1 0.25 1
P (X = Y ) = 0.5, 故不能说 X = Y .
概率论
练习： 已知 ( X ,Y ) 的分布律为
( X ,Y ) (1,1) (1,2) (1,3) ( 2,1) ( 2, 2 ) ( 2, 3 )
pij
1 6
1 9
4 x(1 x 2 ), 0 x 1, f X ( x) 0, 其他
1
1
4 y 3 , 0 y 1, fY ( y ) 其他 0, 显然， f 2 ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
故X ,Y 不独立
概率论
判断连续型二维随机变量相互独立的
fY ( y ) xe
0
( x y )
y e , dx
概率论
即
xe x , x 0 f X ( x) , 0, x 0 e y , y 0 fY ( y ) , 0, y 0
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f(zyy),ydy -
得 fZ(z)- f (zyy),ydy.
特别地, 当X,Y相互独立时,
fZ (z)-fX (z)y fY (y)ydy.
例4.设X,Y分 别 表 示 两 只 不 同的型灯号泡 的 寿, 命
X,Y相 互 独 立 ,它 们 的 概 率 密 度 依 次 为
e-x, x 0,
2e-2y,y 0,
fX(x)
0,
, 其 他,
fY(y)
0,
其 他,
试 求Z X的 概 率 密 度 函. 数 Y
解 :由 fZ (z) y fX (y)fz Y (y)d y 有
fZ(z)0yeyz2e2ydy
2yey(z2)dy
0
2
(2 z)2 , 当z0时;
fZ (z)0,当 z0 时 . 即fZ(z)
令tx-
2z,得fZ(z)
1 2π
z2
e4
e t2 dt
2 1 πez42
1
z2
e4.即 Z~N (0,2).
2
结论:
设Xk ~N(k,k2)(k1,2, n)且X1, X2,,Xn相互 独 立 ,则 它 们 的 和 X1 Xn ~N(1 2 n,12 22 n2). 进一,步 有限个相互独立 r.v的 的 . 线 正性 态组合 服从正态. 分布
例1. (P86)设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1),
解 求::Z由 =XX +和 Y的Y 都 分布密服 度N .(0,1 从 )知()0 x1exdx
fX(x)
1 2π
x2
e
2
,
fY(y)
1 y2 e 2,x,y ,
2π
由2卷 1π积 公 ex2式 2 ef有 Z((zz2)x)2d- x fX(2x1π)feY(zz42 -x )edxx2z2 dx
注意:（1）上例中“独立性”条件不可缺少。 （2） X, Y同分布，不一定有X=Y。
例如： Ｘ服从Ｎ(0,1)分布，则Y=-X也服从Ｎ(0,1)分布 显然不满足X=Y.
(二) 商(Z=X/Y)的分布:
设 (X ,Y )的 密 度 f(xy,)函 求 ,Z 数 X (Y 为 0)的 分. Y
仍"用 分布函 ",先 数Z 求 法 的分布函数
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}+ P{X=-1,Y=1} =5/18
P{Z=1}=P{X=-1,Y=2}+ P{X=0,Y=1} +P{X=1,Y=0} =6/18
P{Z=2}=P{X=0,Y=2}+ P{X=1,Y=1} =5/18
P{Z=3}=P{X=1,Y=2} =1/18 Z=X+Y的分布列:
2 (2z)2
,z
0,
0, z0.
(三) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:
设X,Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y). 首先求M=max(X,Y)的分布.
对于任意 z,X 的,中 Y 实的 数大者z小 ,必于 X 有 和 等 Y都小于 z,等于
类 似 ,fZ(z 地 )- f(zx-x,d)x.
当 X 与 Y 相 互 独 ,f(y x 立 f )X ,(x fY ( 时 )y 有 )
fZ(z) - fX(x)fY(z-x)dx- f X(z-y)fY(y)dy
称 为 卷 积 ,记公 为 fX式 *fY.
结论: 若X, Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y 也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数 的卷积.
Z -1 0
1
23
-1 1/18 5/18 6/18 5/18 1/18
离散型r.v. 的和函数的分布:
设X,Y是离散型r.v.且相互独立, 其分布律分别为:
P{X=i}=pi,i=0,1,2,3,…, 求 Z=X+Y的分布律.
P{Y=j}=qj,j=0,1,2,3,…,
k
解: P{Z=k}=P{X+Y=k}P{Xi,Yki}
FZ(z)
G
f(x,y)dxdy f(x,y)dxdy
xyz
- -z -yf(xy,)ddxy
假设积分与求导可交换次序,
F Z (z - ) -z -y f(x y )d , x d y - f(z -yy ) d ,y
由此 Z 的 得 密 到 fZ (度 z )- 函 f (z-yy 数 ,d y ) .
§3.5 两个r.v.的函数的分布
(一) 和(Z=X+Y)的分布 (1) 和(Z=X+Y)的分布(离散型)
已知r.v.(X,Y)的联合分布列, 求Z=X+Y的分布列
Y X0 -1 1/18 0 3/18 1 2/18
1
2
2/18 3/18
1/18 2/18
3/18 1/18
解：Z的可能取值：-1，0，1，2，3 P{Z=-1}=P{X=-1,Y=0}=1/18
FZ (z)
ห้องสมุดไป่ตู้P
X Y
z
P {X (,Y ) G }其 , G 中 (xy,)y xz ,
如图,于是 FZ(z) f(xy, )dxdy x/yz
0 -y fz(y x d) ,d x y-0 y z f (y x d) ,d xy
0
F Z ( z ) 0f ( zy y )d y , y - f ( zy y ) ( y ,) d y
k
i0
P{Xi}P{Yki} (X与Y相互独立)
i0 k
于是有: P {XYk} piqki,k0,1,2,...
i0
这就是Z=X+Y的分布律.
例 设X,Y是相互独立, 分别服从参数为1,2的泊 松证分明布: 已, 试知证明P{ZX=Xi}+Y服i!1i e从参1, 数为i1+0,21指,数分布.
e(12)
k!
(1
2)k
从而证明Z=X+Y也服从指数分布.
（2） Z=X+Y的分布(连续型):
已知(X,Y)的联合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的 分布密度. 先求 ZXY的分布. 函数
FZ(z)P{Z z}P{X Yz}P{(X,G Y)},
其G 中 {(X,Y Y z )}.|如 X 图
P{Y j}2j e2,
j 0,1,
j! k
由上式知,P{Z=k} P {X Y k} piqki,k0,1,2,..
i0
P {Zk}i k0 i!i1e1(k k 2ii)e !2e(12)
k i0
i1k2i i!(ki)!
k 1!e(12)i k0i!(k k !i) !i1k 2i