余弦定理(2)
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第二节
例1：已知ABC中，a 8, b 7, B 60 , 求c
0
例1：已知ABC中，a 8, b 7, B 60 , 求c
0
c 3或5(用解的个数帮助分析 sin A b a, 两个解）
8 3 4 3 1, 7 2 7
练习： 1：已知在ABC中b 8, c 3，A 60 则a ( ) )
2 2
最大角
3、在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+ca)=3bc,那么A等于（ ） A.30° B.60° C.120° D.150°
4、在⊿ABC中，如果 (a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且sinA=2sinBcosC,试确定 ⊿ABC的形状。
3、在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+ca)=3bc,那么A等于（ Ｂ ） A.30° B.60° C.120° D.150°
2 2 2
sin C 2(1 cosC ) C 4 tan 2, tanC 2 3
6、已知⊿ABC中，∠A=60°,最大 边和最小边的长是方程 3x² －27x+32=0的两实根，那么BC
边长等于______.
7.在ABC中，角A, B, C对边分别为a, b, c, a b sin( A B) 证明： 2 c sin C
2 2
a b a cos B b cos A a b cos B cos A 2 c c c c a b c a sin A b sin B , , , sin A sin B sin C c sin C c sin C 2 2 a b sin A cos B sin B cos A sin( A B ) 2 c sin C sin C
4、在⊿ABC中，如果 (a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且sinA=2sinBcosC,试确定 ⊿ABC的形状。
5、已知⊿ABC中，三个内角A,B,C的对边分
别是a,b,c,若⊿ABC的面积为S,
且2S=(a+b)² －c² ,求tanC的值。
ab sin C a b c 2ab ab sin C 2ab cosC 2ab
2 2
A
B
2 整理得： x
10 x 96 0
x 2 6 （舍去）
解之： x1 16
BC BD 由正弦定理： sin CDB sin BCD
16 BC sin 30 8 2 sin 135
练习5 如图所示,在△ABC中,已知B=450, D是BC边上的一点,AD=5,AC=7, DC=3,求AB
练习：判定三角形的形 状 cos A b 4 （ 1 ）ABC中, cos B a 3 sin A (2)ABC中, 2 sin C cos B (3)ABC中, a cos A b cos B c cosC
随堂练习 a (b c) 1：已知三角形满足 1，求A bc 2 :已知三角形中 a 3, b 4, c 37，求
2 2
法（）：由余弦定理得， 1 a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B, a 2 b 2 b 2 a 2 2c (a cos B b cos A), a b c(a cos B b cos A)
1 cos 2 A 1 cos 2 B 2 2 (3)左 sin 2 C cos 2 B cos 2 A 2 2 sin C cos( B A) ( B A) cos( B A) ( B A) 2 2 sin C 2 sin(B A) sin(B A) sin( A B) 2 2 sin C sin C
2 2
sin( A B) sin A cos B cos A sin B (2) : sin C sin C sin A sin B sin( A B) cos B cos A, sin C sin C sin C 2 2 2 2 2 2 a a c b b b c a c 2ac c 2bc 2 2 2 2 2 2 a c b b c a 2 2c 2c 2 2 2 2 2 2(a b ) a b 2 2 2c c
D
C
A
B
4、如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x 则 BA 2 BD 2 AD 2 2 BD AD cos BDA
D
C
即源自文库14 2
x 10 2 10 x cos 60
A
B
D
C
练习5 如图所示,在△ABC中,已知B=450, D是BC边上的一点,AD=5,AC=7, DC=3,求AB
A
5 6 2
B
D C
a b c 2 例2：已知三角形满足 c abc 3 , sin A sin B , 判定三角形的形状 4
3 3 3
1 3 C , cos(A B ) , sin A sin B , 3 2 4 1 cos A cos B , cos(A B ) 1, A B 4 ( , ), A B 0, A B, 等边
四类解三角形问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边 和角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两个角； （4）已知三边，求三个角。
0
2：已知在ABC中a 3 1, b 3 1 c 10, 则ABC的最大角的度数 (
练习3：ABC中, BC a, AC b, a, b 是x 2 3 x 2 0的二根，且
2
2 cos(A B) 1, 求(1)角C (2) AB长
4、如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长
例1：已知ABC中，a 8, b 7, B 60 , 求c
0
例1：已知ABC中，a 8, b 7, B 60 , 求c
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c 3或5(用解的个数帮助分析 sin A b a, 两个解）
8 3 4 3 1, 7 2 7
练习： 1：已知在ABC中b 8, c 3，A 60 则a ( ) )
2 2
最大角
3、在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+ca)=3bc,那么A等于（ ） A.30° B.60° C.120° D.150°
4、在⊿ABC中，如果 (a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且sinA=2sinBcosC,试确定 ⊿ABC的形状。
3、在⊿ABC中，如果(a+b+c)(b+ca)=3bc,那么A等于（ Ｂ ） A.30° B.60° C.120° D.150°
2 2 2
sin C 2(1 cosC ) C 4 tan 2, tanC 2 3
6、已知⊿ABC中，∠A=60°,最大 边和最小边的长是方程 3x² －27x+32=0的两实根，那么BC
边长等于______.
7.在ABC中，角A, B, C对边分别为a, b, c, a b sin( A B) 证明： 2 c sin C
2 2
a b a cos B b cos A a b cos B cos A 2 c c c c a b c a sin A b sin B , , , sin A sin B sin C c sin C c sin C 2 2 a b sin A cos B sin B cos A sin( A B ) 2 c sin C sin C
4、在⊿ABC中，如果 (a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且sinA=2sinBcosC,试确定 ⊿ABC的形状。
5、已知⊿ABC中，三个内角A,B,C的对边分
别是a,b,c,若⊿ABC的面积为S,
且2S=(a+b)² －c² ,求tanC的值。
ab sin C a b c 2ab ab sin C 2ab cosC 2ab
2 2
A
B
2 整理得： x
10 x 96 0
x 2 6 （舍去）
解之： x1 16
BC BD 由正弦定理： sin CDB sin BCD
16 BC sin 30 8 2 sin 135
练习5 如图所示,在△ABC中,已知B=450, D是BC边上的一点,AD=5,AC=7, DC=3,求AB
练习：判定三角形的形 状 cos A b 4 （ 1 ）ABC中, cos B a 3 sin A (2)ABC中, 2 sin C cos B (3)ABC中, a cos A b cos B c cosC
随堂练习 a (b c) 1：已知三角形满足 1，求A bc 2 :已知三角形中 a 3, b 4, c 37，求
2 2
法（）：由余弦定理得， 1 a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B, a 2 b 2 b 2 a 2 2c (a cos B b cos A), a b c(a cos B b cos A)
1 cos 2 A 1 cos 2 B 2 2 (3)左 sin 2 C cos 2 B cos 2 A 2 2 sin C cos( B A) ( B A) cos( B A) ( B A) 2 2 sin C 2 sin(B A) sin(B A) sin( A B) 2 2 sin C sin C
2 2
sin( A B) sin A cos B cos A sin B (2) : sin C sin C sin A sin B sin( A B) cos B cos A, sin C sin C sin C 2 2 2 2 2 2 a a c b b b c a c 2ac c 2bc 2 2 2 2 2 2 a c b b c a 2 2c 2c 2 2 2 2 2 2(a b ) a b 2 2 2c c
D
C
A
B
4、如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长 解：在△ABD中，设BD=x 则 BA 2 BD 2 AD 2 2 BD AD cos BDA
D
C
即源自文库14 2
x 10 2 10 x cos 60
A
B
D
C
练习5 如图所示,在△ABC中,已知B=450, D是BC边上的一点,AD=5,AC=7, DC=3,求AB
A
5 6 2
B
D C
a b c 2 例2：已知三角形满足 c abc 3 , sin A sin B , 判定三角形的形状 4
3 3 3
1 3 C , cos(A B ) , sin A sin B , 3 2 4 1 cos A cos B , cos(A B ) 1, A B 4 ( , ), A B 0, A B, 等边
四类解三角形问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边 和角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他 两个角； （4）已知三边，求三个角。
0
2：已知在ABC中a 3 1, b 3 1 c 10, 则ABC的最大角的度数 (
练习3：ABC中, BC a, AC b, a, b 是x 2 3 x 2 0的二根，且
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2 cos(A B) 1, 求(1)角C (2) AB长
4、如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长