〖中考数学专题〗中考数学总复习《第23讲：与圆有关的计算》同步讲练(含答案)
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案
中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径 点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点 且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图 在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上 以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径 弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点） 过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图 则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不 合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图 取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值 最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。
中考数学复习课件：第23课时 与圆有关的计算(共36张PPT)
第23课时 与圆有关的计算
例考7 (点20演16练·泉州)如图，圆锥的底面半径为r cm，母
考点演练
考点五 求阴影部分的面积
例8(2016·深圳)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形 CDEF的顶点C是A⌒B的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，
当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为( A )
A. 2π－4 B. 4π－8 C. 2π－8 D. 4π－4
第23课时 与圆有关的计算
第23课时 与圆有关的计算
考点演练
误区警示 此类问题容易出错的地方是不知道几何体侧面展 开图的形状，以及几何体侧面展开图与几何体各个部分之间的 关联，再有就是没有掌握相关的计算公式．圆锥的侧面展开图 的相关公式：S圆锥侧＝πrl；S圆锥全＝πrl＋πr2.其中r为底面圆的 半径，l为母线长．
第23课时 与圆有关的计算
为2，∠C＝40°，⌒则 AB 的89长 为________．
思路点拨 首先由圆心角是圆周角的 2倍，算出圆心角，再由弧长公式可 直接算出弧长．
第23课时 与圆有关的计算
考点演练
∵ ∠C＝40°，∴ ∠AOB＝80°. ∵ ⊙O的半径为2，
∴ A⌒Bnr802.8
180 180 9
故填 8 . 9
方法归纳 解决正多边形的计算问题时要记住以下内容：正
n边形的每一个内角的度数为 (180 360)，相邻两个顶点与中心的 n
连线均构成顶角为
(360 ) n
中考数学复习课件第23题：圆综合题(解答题)
（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径.
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陕西中考十年真题精讲第23题：圆综合题（解答题）
【例4】 （陕西省，2013年）如图，直线l与⊙O相切于点D，过圆心O作EF∥l
交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE、AF，并分别延长交直线l于 B、C 两点.
（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°； （2）当⊙O的半径R=5，BD=12时，求tan∠ABC的值.
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陕西中考十年真题精讲第23题：圆综合题（解答题）
【例5】（陕西省，2016年）如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交 ⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作 EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
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布置作业：
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《中考内参（数学）综合题（解答题）
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(全国通用版)2021年中考数学复习第六单元圆第23讲与圆相关的位
（全国通用版）2021年中考数学复习第六单元圆第23讲与圆相关的位第23讲与圆相关的位置关系重要和困难切线的性质和判断(2021郴州t23，8分)已知bc是⊙o的直径，点d是bc延长线上一点，ab＝ad，ae 是⊙o的弦，∠aec＝30°.（1）验证：直线ad是⊙ o；(2)若ae⊥bc，垂足为m，⊙o的半径为4，求ae的长．【思路】（1）先计算∠ 那么ABC=30°∠ 坏=120°，然后计算∠ OAB=30°与OA=ob 成反比，证明结论；（2）第一次发现∠ AOC=60°，使用三角函数求am，然后使用垂直直径定理得出结论解：(1)∵∠aec＝30°，∴∠abc＝30°.∵ab＝ad，∴∠d＝∠abc＝30°。
根据三角形的内角和定理，得∠bad＝120°.2分连接oa.∵oa＝ob.∴∠oab＝∠abc＝30°。
∴∠oad＝∠bad－∠oab＝90°.∴oa⊥ad.⊙ a点开始了⊙ 哦，∴直线ad是⊙o的切线.4分(2)∵∠aec＝30°，∴∠aoc＝60°.∵bc⊥ae于点m，——AE＝凌晨2点，∠ OMA＝90°。
6分在rt△aom中，am＝oasin∠aom＝4×sin60°＝23.∴ae＝2am＝43.8分（2022江西）如图所示△ ABC，O是AC上面的点，以O点为圆心，OC为半径，在C 点与BC相切，交叉点a作为ad的延长线⊥ Bo在D点与Bo相交，以及∠ AOD=∠ 令人不快的(1)求证：ab为⊙o的切线；四(2)若bc＝6，tan∠abc＝，求ad的长．三【思路点拨】(1)作oe⊥ab，先由∠aod＝∠bad求得∠abd＝∠oad，再由∠bco＝∠d ＝90°及∠boc＝∠aod求得∠obc＝∠oad＝∠abd，最后证△boc≌△boe得oe＝oc，依据切线的判定可得；(2)先求得∠eoa＝∠abc，在在RT中△ 根据切线长度定理，得出ABC，AC=8，ab=10，be=BC=6，AE=4，OE=3，然后得出Bo=35，然后△ 阿布德 ABC被证明得奥运会组委会＝，据此可得答案．adab一【自主解答】解：(1)证明：过点o作oe⊥ab于点e，∵ad⊥bo于点d，∴∠d＝90°.∴∠坏的＋∠abd＝90°∠aod＋∠载荷＝90°。
中考数学复习 第6章 圆 第23讲 与圆有关的计算课件
∵OD⊥EF，∠F＝30 °，∴∠DOF＝60 °.
∠COD＝180 °－∠AOC－∠DOF＝60 °.
∵∠CAD＝∠ADO， ∴CD∥AB.∴S△ACD＝S△COD.
第十八页，共二十二页。
5．[2013·潍坊，23,12分]为了改善市民的生活环境，我市在某河滨 空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水 池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分 别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)， 两弯新月部分栽植(zāizhí)花草；其余空地铺设地砖．其中，AB＝24 米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．3
2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一 平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E，点F，且EF＝2(EF
与AB在圆心(yuánxīn)O1和O2的同侧)，则由
AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于
.
第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。设圆柱的高为h，底面半径为R，则有：。技法点拨►解决此类问题时要紧紧抓住两 者之间的对应关系：(1)圆锥的母线长等于(děngyú)侧面展开图的扇形半径。(2)圆锥的底面周长等于 (děngyú)侧面展开图的扇形弧长．。解：(1)证明：如图，连接OD.。(2)如图，连接OC，CD.。最大面积 是多少
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ (3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩 形DEFG的面积等于两弯新月面积的 ?
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(2021年整理)2019年中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系(含详细参考答案)
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2019年中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内〈＝〉点P在圆上〈＝> 点P在圆外 <＝〉2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点,有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。
⑶三角形外心的形成:三角形的交点，外心的性质：到相等【名师提醒：锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是钝角三角形的外心在三角形】二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线,直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆这时直线叫圆的线.2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,则：直线l与⊙O相交<＝>d r，直线l与⊙O相切<＝〉d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理:经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时,用判定定理证明。
2020年中考数学第一轮复习专题 第23课 圆的证明(含答案)
..第 23 课 圆的证明本节内容主要考查点与圆、直线与圆的位置关系 ，特别是切线的性质与判定，一直都 是热点。
广东省近 5 年试题规律：极少考查点与圆的位置关系，切线的性质与判定是必考内 容，年年考，并且经常渗透到圆的综合题中，近几年这类试题难度加大，题型也有所变化。
知识清单知识点一 位置关系 点与圆的位置关系点在圆内 点在圆上点在圆外数量关系 d ＜r 知识点二 直线与圆的位置关系d ＝rd ＞r位置关系公共点个数公共点的名称数量关系知识点三圆的切线相离无d ＞r相切1切点d ＝r 相交2交点d ＜r切线的判定切线的性质切线长切线长定理知识点四(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(定义法)； (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； (3)过半径外端点且垂直于半径的直线是圆的切线.切线垂直于经过切点的半径 .过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角. 三角形与圆确定圆的条件 不在同一直线的三个点确定一个圆.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的 三角形的外心外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心到三角形三个顶点的距 离相等.三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形三边的距离相等课前小测1．（点与圆的位置关系）已知⊙O 的半径为 5，若 PO =4，则点 P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点 P 在⊙O 内B ．点 P 在⊙O 上C ．点 P 在⊙O 外D ．无法判断2．（直线与圆的位置关系）已知⊙O 的半径为 3，圆心 O 到直线 L 的距离为 2，（ ⊙ （则直线 L 与⊙O 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定3．（切线的性质）如图，AB 是⊙O 的切线，点 B 为切点，若∠ A =30°，则∠ AOB =．4．（切线长的性质）如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，且∠ APB =40°，下列说法 不正确的是（ ）A ．PA =PBB ．∠ APO =20°C ．∠ OBP =70°D ．∠ AOP =70°5．切线的性质）如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A ， O 的半径为 2，若∠ OBA =30°，则 AB 的长为（）A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2经典回顾考点一 圆的位置关系【例 1】 2018•湘西州）已知⊙O 的半径为 5cm ，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm ， 则直线 l 与⊙O 的位置关系为（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定【点拨】直线和圆的位置关系：若 d ＜r ，则直线与圆相交；若 d =r ，则直线于圆相切；若 d ＞r ，则直线与圆相离．（考点二切线的性质与判定【例2】2019•雅安）如图，已知AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，OE∥AC 交BC于E，过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA 的延长线于点F．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，AB＝8，求线段CF的长．【点拔】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．对应训练1．（2019•广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条2．（2019•阜新）如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°3．（2019•哈尔滨）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）（A．60°B．75°C．70°D．65°4．（2019•河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．5．（2019•盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）若⊙O的半径为5，AC＝6，求BN的长；2（2）求证：NE与⊙O相切．中考冲刺夯实基础1．2019•无锡）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（）（A．20°B．25°C．40°D．50°2．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B 的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．2019•福建）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB ＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°4．（2019•包头）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC 与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为．5．（2019•济宁）如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC＝的面积是．，AC＝3．则图中阴影部分6．（2019•陕西）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AB＝BE；（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．7．（2019•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C 作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．能力提升8．（2019•烟台）如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B 分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足为点D，E，连接AC，BC，若AD＝则AC的长为（），CE＝3，3B．3C．2D．A．233π3π233π9．（2019•贺州）如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是（）A．23B．2C．33D．43 10．（2019•齐齐哈尔）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．11．（2019•黄石）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O 上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝2，求弦AC的长．第23课圆的证明课前小测1．A．2．A．3．60°．4．C．5．C．经典回顾考点一圆的位置关系【例1】B．考点二切线的性质与判定【例2】（1）证明：连接OC，∵OE∥AC，OC ，∴∠1＝∠ACB，∵AB是⊙O的直径，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE，又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，即∠DBO＝∠OCD，∵DB为⊙O的切线，OB是半径，∴∠DBO＝90°，∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°，又OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠COF＝60°，在Rt△COF中，tan∠COF＝CF∴CF＝43．对应训练1．C．2．D．3．D．4．76．5．解：（1）连接DN，ON∵⊙O的半径为5，2∴CD＝5∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10，∴BC＝10262＝8∵CD为直径∴∠CND＝90°，且BD＝CD∴BN＝NC＝4（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点，∴CD＝DA＝DB＝1AB，2∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC，∴∠ONC＝∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线．中考冲刺夯实基础1．B．10＝8，2．B．3．B．4．26．5．6．6．（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE（2）解：连接BC∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝8，∵BE＝AB＝BM，∴EM＝12，由（1）知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM∴∠C＝∠AME，EM＝AM，AC BC即12AM11∴»AD=CD=BC，∴»AD=CD=BC，＝△SCOD，360＝3．∴AM＝485又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD∴AD＝AM＝48．57．（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，»»∴∠BOC＝∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；（2）解：连接OD，OC，»»∴∠COD＝1×180°＝60°，3∵CD∥AB，∴△S ACD∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝60π⨯222π能力提升8．D．9．A．10．（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，12＝OA•AD＝1∴2×2×23＝23，2360＝3π，3π．∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OA⊥AD，即CD是⊙O的切线；（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，∴OD＝2OA＝4，AD＝23，1△S OAD∵∠COA＝60°，∴S扇形COA＝60π⨯222∴S阴影＝△SOAD﹣S扇形COA＝23﹣211．解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，131=2，3，∴∠CAD+∠ABC＝90°，∵CE＝CB，∴∠CAE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠CAE，∴∠CAB＝∠BCD，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠OCD＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB＝CF，又∵CB＝CE，∴CE＝CF；（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，∴△CBD∽△DCA，∴CD=AD=AC，BD CD BC∴2AD∴DA＝2，∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，设BC＝a，AC＝2a，由勾股定理可得：a2+(2a)2=12，解得：a＝3∴AC=6．31415。
中考数学专题复习第23章 与圆有关的计算(含解析)
第二十三章 与圆有关的计算18. （ 山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC=3，则»BC的长为（ ）A.πB.2π D.3π D.5π【解析】连接OB ，因为AB 是⊙O 的切线，所以OB ⊥AB ，∠ABO=90°，因为ABC ∠=120°，所以OBC ∠=30°.因为OB=OC ，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以»BC的长l »BC=12032180ππ=.【答案】B.【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180n r l π=的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。
14.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π)解析：根据弧长公式ππ2180660=⨯=l . 答案：π2点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系.14．( 重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）解析：根据扇形的面积公式即可求出。
答案：3π点评：注意单位要统一，如果题目中没单位，答案也不带单位。
12．( 山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．12． 【解析】每段弧的长为180n Rl π=＝1×26π=3π，故三段弧总长为π．【答案】π【点评】此题主要考查圆的弧长公式180n Rl π=．此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆．8．（ 四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3【解析】如下图所示，取AB 与CD 的交点为E ，由垂径定理知CE而∠COB ＝2∠CDB ＝60°，所以OC ＝sin 60CEo＝2，OE ＝12OC ＝1，接下来发现OE ＝BE ，可证△OCE ≌△BED ，所以S 阴影＝S 扇形COB ＝16π·22＝2π3．B图2【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．23.（ 贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）解析： （1）由CA 切⊙O 于A ，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD ，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB ×cos45°=2×cos45°=2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD 的面积.解：（1）填2；（2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD 的面积=弓形AD 的面积，故阴影部分的面积=△ACD 的面积. ∵CD=AD=BD=2，∴S △ACD =21CD ×AD=21×2×2=1，即阴影部分的面积是1.点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.B图2第23题图AC13. ( 山东省临沂市，13，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A.1 B.23C. 3D. 32【解析】由图得，四边形ABED 是圆内接四边形，∴∠B=∠D=∠DEC=600，∴弓形BE 的面积等于弓形DE 的面积，又∵AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，∴BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=S △CDE,又△CDE ∽△ABC ，∴S △ABC=34, S △CDE=41S △ABC=.3【答案】选C 。
中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《圆的证明与计算》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解圆的相关知识的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，考查切线的性质及判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形、求阴影面积等．解题时要先分析题干中的条件，然后从图象中挖掘隐含条件，最后再解题．类型一切线的判定判定一条直线是圆的切线，首先看圆的半径是否过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直．例1 (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD.(1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值；(2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；（2）连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得⊥OCA=⊥CAD，即可得到OC⊥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．【自主解答】（1）解：⊥AB是⊥O直径，C在⊥O上，⊥⊥ACB=90°，又⊥BC=3，AB=5，⊥由勾股定理得AC=4；（2）证明：⊥AC是⊥DAB的角平分线，⊥⊥DAC=⊥BAC，又⊥AD⊥DC，⊥⊥ADC=⊥ACB=90°，⊥⊥ADC⊥⊥ACB，⊥⊥DCA=⊥CBA，又⊥OA=OC，⊥⊥OAC=⊥OCA，⊥⊥OAC+⊥OBC=90°，⊥⊥OCA+⊥ACD=⊥OCD=90°，⊥DC是⊥O的切线．变式训练1．(2017·白银) 如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB==，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．类型二切线的性质已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质解题．例2 (2016·资阳) 如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD.(1)求证：∠A＝∠BDC；(2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长．【分析】(1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长．【自主解答】(1)如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠BDC＋∠ODB＝90°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC.(2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM.∵∠A＝∠BDC，∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM.即∠DMN＝∠DNM.∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1，∴MN＝变式训练2．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，=（1）求证：OA=OB；（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．解：（1）连接OC，∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°，由于=，∴∠AOC=∠BOC，∴∠A=∠B∴OA=OB，（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，∴BC=AB=2，∴sin∠COB==，∴∠COB=60°，∴∠B=30°，∴OC=OB=2，∴扇形OCE的面积为：=，△OCB的面积为：×2×2=2=2﹣π∴S阴影类型三圆与相似的综合圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定与性质综合考查，求线段长或半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径．例3 (2017·兰州) 如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求EF的长．【分析】（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【自主解答】解：（1）∵BC是⊙O的直径，∴∠BAF+∠FAC=90°，∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，∴∠D+∠AOD=90°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）连接BF，∴∠FAC=∠AOD，∴△ACE∽△OCA，∴，∴，∴AC=AE=，∵∠CAE=∠CBF，∴△ACE∽△BFE，∴，∴=，∴EF=．变式训练3．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：∠BDC＝∠A；(2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长．(1)证明：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO.∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A.(2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC.∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE.∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)，∴AD＝6.。
中考数学总复习 第一部分 考点全解 第六章 圆 第23讲 与圆有关的计算课件
11．(2018·信阳一模)如图，在▱ABCD 中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则图中阴影部分的面积是 ___3_－__π3___ (结果保留 π)．
12/10/2021
12．(2018·新乡一模)如图所示，半圆 O 的直径 AB＝4，以点 B 为圆心，2 3为半 径作弧，交半圆 O 于点 C，交直径 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是___3_－__π3___.
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3．正多边形都是轴对称图形．一个正 n 边形共有____n___条对称轴，每条对称轴 都通过正 n 边形的___中__心____；边数为___偶__数__的正多边形还是中心对称图形，它的对 称中心是正多边形的____中__心___.
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)
3．(2018·河南 14 题)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC
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类型三 阴影部分面积的计算 (2018·安顺)如图，C 为半圆内一点，点 O 为圆心，直径 AB 的长为 2 cm，
∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△B′OC′，点 C′在 OA 上，则边 BC 扫过的区域(图中阴影部分)的面积为________ cm2.(结果保留 π)
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3．弓形的面积 (1)由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． (2)弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得．如果弓形的弧是劣 弧，则弓形面积等于扇形面积__减__去_____三角形面积；若弓形的弧是优弧，则弓形面 积等于扇形面积___加__上____三角形面积．
中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第六章 圆 课时23 与圆有关的计算课件
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图2
图3
• (3)变换转化法：利用图形在平移、旋转、对称变换前后面积不变的性
质，可将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算．如图 4，三角形经对称、旋转变换后所得阴影部分的面积等同于一个扇形的 面积．
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图4
• (4)整体转化法：当整个图形由较多规则图形组成时，如果整个图形除
例1 (2018·湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上
的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
(1)求证：AE＝ED；
︵
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求AC 的长．
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• ☞ 思路点拨
• (1)根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可；
• (2)根据弧长公式计算即可．
对应劣弧的弓形
对应优弧的弓形
对应半圆的弓形
S弓形＝S扇形－⑨_S_△_A_O_B_ S弓形＝S扇形＋⑩__S_△_A_O_B_ S弓形＝⑪_____12_π_r_2____＝S扇形
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• (1)加减转化法：对图形适当分割，将阴影部分的面积看成是规则图形 面积的和或差．
• 如图1，S阴影＝S△AOC－S扇形AOB．
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【错解分析】混淆了扇形的面积公式和弧长公式，扇形面积公式 S 扇形＝n3π6r02，弧
长公式为 l＝n18π0r.
• 【正解】如答图，连接OE，ED，OD． • ∵BC是⊙O的切线，D为切点， • ∴OD⊥BC． • 又∵AC⊥BC，∴OD∥AC， • ∴∠ADO＝∠CAD．
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第23讲 与圆有关的计算A 组 基础题组一、选择题1.(2017广东广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若圆锥的底面圆半径是√5,则圆锥的母线长为( )A.√5B.2√5C.3√5D.52.(2018浙江衢州)如图,AB 是圆锥的母线,BC 为底面半径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15π cm 2,则sin∠ABC 的值为( )A.34B .35C .45D .533.(2017临沂)如图,AB 是☉O 的直径,BT 是☉O 的切线,若∠ATB=45°,AB=2,则阴影部分的面积是( )A.2B.32-14πC.1D.12+14π4.(2017甘肃兰州)如图,正方形ABCD 内接于半径为2的☉O,则图中阴影部分的面积为( )A.π+1B.π+2C.π-1D.π-25.(2018四川绵阳)蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m2,圆柱高为3 m,圆锥高为2 m的蒙古包,则需要毛毡的面积是( )A.(30+5√29)π m2B.40π m2C.(30+5√2D.55π m26.(2018东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )A.3√1+πB.3√2D.3√1+π2C.3√4+π227.如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部分的面积为( )A.πB.2πC.3πD.4π二、填空题8.一块等边三角形的木板边长为1,将木板沿水平翻滚如图所示,那么B点从开始到结束所经过的路线长为.9.(2017湖南永州)如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm,高为12cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是cm2(结果保留π).⏜10.(2018甘肃兰州)如图,△ABC的外接圆圆O的半径为3,∠ACB=55°,则劣弧AB的长是.(结果保留π)11.(2017烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇⏜于点D,点F是AB⏜上一点.形AOB.已知OA=6,取OA的中点C,过点C作CD⊥OA交AB若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为.三、解答题12.(2018湖南衡阳)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.(1)求证:EF是☉O的切线;⏜的长.(结果保留π)(2)若AC=4,CE=2,求BDB组提升题组一、选择题1.若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )A.90°B.120°C.150°D.180°2.(2018山西)如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB、AD的延长线于点E、F,则图中阴影部分的面积为( )A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8二、填空题3.(2018广东)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于E,连接BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)4.(2017盘锦)如图,☉O的半径OA=3,OA的垂直平分线交☉O于B,C两点,连接OB,OC,用小扇形OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为.5.(2017德州)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1 m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为.6.(2017江苏无锡)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交⏜,EF,FB⏜,AB所围成图于点E、点F,且EF=2(EF与AB在圆O1和O2的同侧),则由AE形(图中阴影部分)的面积等于.三、解答题7.已知,圆锥底面半径为10 cm,高为10√15 cm.(1)求圆锥的表面积;(2)若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离.第23讲与圆有关的计算A组基础题组一、选择题1.C 圆锥的侧面展开图是扇形,且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径长等于圆锥的母线长,即120π×l180=2π×√解得l=3√故选C.2.C 设圆锥的母线长为R cm,由题意得15π=π×3×R,解得R=5.即AB=5 cm,又BO=12BC=3 cm,∴AO=4 cm,∴sin∠ABC=AOAB =4 5 ,故选C.3.C 设AT交☉O于D,连接BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,而∠ATB=45°,BT是☉O的切线,∴△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,∴AD=BD=TD=√22AB=√2,∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积,∴阴影部分的面积=S△BTD=12×√2×√2=1.故选C.4.D 连接AC,OD,则AC=4,∴正方形ABCD 的边长为2√2,∴正方形ABCD 的面积为8.由题意可知,☉O 的面积为4π.根据图形的对称性,知S 阴影=S 扇形OAD-S △OAD =π-2.故选D.5.A ∵圆柱和圆锥的底面积为25π m 2, ∴圆柱和圆锥的底面半径为5 m. ∵圆锥的高为2 m, ∴圆锥的母线长为√29 m,∴毛毡的面积=圆柱的侧面积+圆锥的侧面积 =2π×5×3+π×5×√29 =30π+5√29π=(30+5√29)π(m 2),故选A. 6.C 圆柱的侧面展开图如下,由题意可知AB=3,BB'=3π, ∴AC=√AB 2+BC 2=√32+(3π2)2=√9+9π24=3√4+π22.故选C.7.B 根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA'的面积加上半圆面积再减去半圆面积,即S 阴影=S 扇形ABA'+S 半圆-S 半圆=S 扇形ABA'=45×π×42360=2π.故选B.二、填空题 8.答案 43π解析 ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ACB=∠BAC=60°,∴两次旋转的角度都是180°-60°=120°,∴B 点从开始到结束所经过的路线长=2×120π×1180=43π.9.答案 65π解析 PB=√(102)2+122=13(cm).做这个玩具所需纸板的面积等于展开后扇形的面积,S=12×10π×13=65π.10.答案11π6解析 根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB, ∵∠ACB=55°,∴∠AOB=110°,所以劣弧AB ⏜的长为110×π×3180=11π6.11.答案 36π-108 解析 如图,∵CD⊥OA, ∴∠DCO=∠AOB=90°, ∵OA=OD=OB=6,OC=12OA=12OD,∴∠ODC=∠BOD=30°. 作DE⊥OB 于点E,则DE=12OD=3,∴S 弓形BD =S 扇形BOD -S △BOD =30·π·62360-12×6×3=3π-9,则剪下的纸片面积之和为4×3×(3π-9)=36π-108. 三、解答题12.解析 (1)证明:如图,连接OD,交BC 于点P,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD 平分∠EAF, ∴∠DAE=∠OAD, ∴∠DAE=∠ODA, ∴OD∥AE, ∵AE⊥EF,易知OD 为☉O 的半径, ∴OD⊥EF,易知OD 为☉O 的半径, ∴EF 是☉O 的切线. (2)∵AB 是☉O 的直径, ∴∠ACB=90°, 又∵∠E=∠PDE=90°, ∴四边形CEDP 是矩形, ∴PD=CE=2.又∵OD∥AE,点O 是AB 的中点, ∴OP 是△ACB 的中位线, ∴OP=12AC=12×4=2,∴OD=OB=2+2=4.在Rt△OPB 中,OP=2,OB=4, ∴∠POB=60°, ∴BD⏜的长=60×π×4180=43π.B 组 提升题组一、选择题1.D 设正圆锥的底面半径是r,则母线长是2r,底面周长是2πr. 设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°,则n ·π·2r 180=2πr,解得n=180.故选D.2.A ∵四边形ABCD 为正方形,∴∠BAD=90°,因为圆和正方形是中心对称图形, ∴S 阴影=S 扇形AEF -S △ABD =90π·42360-AO ·BD 2=90π·42360-2×42=4π-4,故选A.二、填空题 3.答案 π 解析 连接OE.阴影部分的面积=S △BCD -(S 正方形OECD -S 扇形OED )=12×2×4-(2×2-14π×22)=π.4.答案 2√2 解析 连接AB,AC.∵BC 为OA 的垂直平分线, ∴OB=AB,OC=AC, ∴OB=AB=OA,OC=OA=AC,∴△OAB 和△AOC 都是等边三角形, ∴∠BOA=∠AOC=60°, ∴∠BOC=120°, 设圆锥的底面半径为r, 则2πr=120π×3180,解得r=1,∴这个圆锥的高为22√2. 5.答案√2(π+2)8解析 设☉O 与矩形ABCD 的另一个切点为M, 连接OM,OG,则M,O,E 共线.由题意得∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1 m,∴S 透明区域=180π×12360+2×12×1×1=π2+1(m 2). 过O 作ON⊥AD 于N,∴ON=12FG=√22, ∴AB=2ON=2×√22=√2, ∴S 矩形=2×√2=2√2,∴S 透光区域S 矩形=π2+12√2=√2(π+2)8.6.答案 3-5√34-π6解析 如图,连接AE,BF,延长FE 交AD 于G,则EG⊥AD.∵AB=3,EF=2,∴EG=12. ∵AD=2,∴O 1A=O 1E=1. ∴∠AO 1E=30°.∴O 1G=√32.∴AG=1-√32=2-√32. ∵弓形AE 的面积=扇形AO 1E 的面积-△O 1AE 的面积=30·π·12360-12O 1A·EG =π12-12×1×12 =π12-14,∴图中阴影部分的面积=梯形AEFB 的面积-2×弓形AE 的面积=12(EF+AB)·AG -2×(π12-14) =12×(2+3)×2-√32-π6+12 =52×2-√32-π6+12 =10-5√34+24-π6=3-5√34-π6.三、解答题7.解析 (1)圆锥的母线长SA=√OA 2+OS 2=√102+(10√15)2=40(cm), 圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2π×OA=2π×10=20π(cm),∴S 侧=12l×SA=12×20π×40=400π(cm 2), 又S 底=π×OA 2=π×102=100π(cm 2),∴S 表=S 底+S 侧=500π(cm 2).(2)沿母线SA 将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段AM 的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知SA=40(cm),弧AA'的长=20π(cm),∠ASA'=90°.又SA'=SA=40(cm),SM=3A'M,∴SM=34SA'=30(cm), ∴在Rt△ASM 中,AM=2+SM 2=2+302∴蚂蚁所走的最短距离是50 cm.。
2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第六章 圆 第23讲 与圆有关的计算精练
第23讲与圆有关的计算A组基础题组一、选择题1.(2017广东广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若圆锥的底面圆半径是,则圆锥的母线长为( )A. B.2 C.3 D.52.(2018浙江衢州)如图,AB是圆锥的母线,BC为底面半径,已知BC=6 cm,圆锥的侧面积为15π cm2,则sin∠ABC的值为( )A. B. C. D.3.(2017临沂)如图,AB是☉O的直径,BT是☉O的切线,若∠ATB=45°,AB=2,则阴影部分的面积是( )A.2B.-πC.1D.+π4.(2017甘肃兰州)如图,正方形ABCD内接于半径为2的☉O,则图中阴影部分的面积为( )A.π+1B.π+2C.π-1D.π-25.(2018四川绵阳)蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m2,圆柱高为3 m,圆锥高为2 m的蒙古包,则需要毛毡的面积是( )A.(30+5)π m2B.40π m2C.(30+5)π m2D.55π m26.(2018东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )A.3B.3C. D.37.如图,AB为半圆的直径,且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°,点A旋转到A'的位置,则图中阴影部分的面积为( )A.πB.2πC.3πD.4π二、填空题8.一块等边三角形的木板边长为1,将木板沿水平翻滚如图所示,那么B点从开始到结束所经过的路线长为.9.(2017湖南永州)如图,这是某同学用纸板做成的一个底面直径为10 cm,高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计),则做这个玩具所需纸板的面积是cm2(结果保留π).10.(2018甘肃兰州)如图,△ABC的外接圆圆O的半径为3,∠ACB=55°,则劣弧的长是.(结果保留π)11.(2017烟台)如图1,将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB.已知OA=6,取OA的中点C,过点C作CD⊥OA交于点D,点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折,点B恰好与点F重合,用剪刀沿着线段BD,DF,FA依次剪下,则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为.三、解答题12.(2018湖南衡阳)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交☉O于点D,过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.(1)求证:EF是☉O的切线;(2)若AC=4,CE=2,求的长.(结果保留π)B组提升题组一、选择题1.若圆锥的轴截面为等边三角形,则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )A.90°B.120°C.150°D.180°2.(2018山西)如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB、AD的延长线于点E、F,则图中阴影部分的面积为( )A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8二、填空题3.(2018广东)如图,矩形ABCD中,BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于E,连接BD,则阴影部分的面积为.(结果保留π)4.(2017盘锦)如图,☉O的半径OA=3,OA的垂直平分线交☉O于B,C两点,连接OB,OC,用小扇形OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为.5.(2017德州)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1 m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为.6.(2017江苏无锡)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,AD=2,分别以边AD,BC为直径在矩形ABCD 的内部作半圆O1和半圆O2,一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F,且EF=2(EF与AB在圆O1和O2的同侧),则由,EF,,AB所围成图形(图中阴影部分)的面积等于.三、解答题7.已知,圆锥底面半径为10 cm,高为10 cm.(1)求圆锥的表面积;(2)若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处,且SM=3AM,求它所走的最短距离.第23讲与圆有关的计算A组基础题组一、选择题1.C 圆锥的侧面展开图是扇形,且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径长等于圆锥的母线长,即=2π×,解得l=3.故选C.2.C 设圆锥的母线长为R cm,由题意得15π=π×3×R,解得R=5.即AB=5 cm,又BO=BC=3 cm,∴AO=4 cm,∴sin∠ABC==,故选C.3.C 设AT交☉O于D,连接BD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,而∠ATB=45°,BT是☉O的切线,∴△ADB,△BDT都是等腰直角三角形,∴AD=BD=TD=AB=,∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积,∴阴影部分的面积=S△BTD=××=1.故选C.4.D 连接AC,OD,则AC=4,∴正方形ABCD的边长为2,∴正方形ABCD的面积为8.由题意可知,☉O的面积为4π.根据图形的对称性,知S阴影=-S△OAD=π-2.故选D.5.A ∵圆柱和圆锥的底面积为25π m2,∴圆柱和圆锥的底面半径为5 m.∵圆锥的高为2 m,∴圆锥的母线长为 m,∴毛毡的面积=圆柱的侧面积+圆锥的侧面积=2π×5×3+π×5×=30π+5π=(30+5)π(m2),故选A.6.C 圆柱的侧面展开图如下,由题意可知AB=3,BB'=3π,∴AC====.故选C.7.B 根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA'的面积加上半圆面积再减去半圆面积,即S阴影=S扇形ABA'+S半圆-S半圆=S扇形ABA'==2π.故选B.二、填空题8.答案π解析∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠BAC=60°,∴两次旋转的角度都是180°-60°=120°,∴B点从开始到结束所经过的路线长=2×=π.9.答案65π解析PB==13(cm).做这个玩具所需纸板的面积等于展开后扇形的面积,S=×10π×13=65π.10.答案解析根据圆周角定理可得∠AOB=2∠ACB,∵∠ACB=55°,∴∠AOB=110°,所以劣弧的长为=.11.答案36π-108解析如图,∵CD⊥OA,∴∠DCO=∠AOB=90°,∵OA=OD=OB=6,OC=OA=OD,∴∠ODC=∠BOD=30°.作DE⊥OB于点E,则DE=OD=3,∴S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD=-×6×3=3π-9,则剪下的纸片面积之和为4×3×(3π-9)=36π-108.三、解答题12.解析(1)证明:如图,连接OD,交BC于点P,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠EAF,∴∠DAE=∠OAD,∴∠DAE=∠ODA,∴OD∥AE,∵AE⊥EF,易知OD为☉O的半径,∴OD⊥EF,易知OD为☉O的半径,∴EF是☉O的切线.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,又∵∠E=∠PDE=90°,∴四边形CEDP是矩形,∴PD=CE=2.又∵OD∥AE,点O是AB的中点,∴OP是△A CB的中位线,∴OP=AC=×4=2,∴OD=OB=2+2=4.在Rt△OPB中,OP=2,OB=4,∴∠POB=60°,∴的长==π.B组提升题组一、选择题1.D 设正圆锥的底面半径是r,则母线长是2r,底面周长是2πr.设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°,则=2πr,解得n=180.故选D.2.A ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,因为圆和正方形是中心对称图形,∴S阴影=S扇形AEF-S△ABD=-=-=4π-4,故选A.二、填空题3.答案π解析连接OE.阴影部分的面积=S△BCD-(S正方形OECD-S扇形OED)=×2×4-=π.4.答案2解析连接AB,AC.∵BC为OA的垂直平分线,∴OB=AB,OC=AC,∴OB=AB=OA,OC=OA=AC,∴△OAB和△AOC都是等边三角形,∴∠BOA=∠AOC=60°,∴∠BOC=120°,设圆锥的底面半径为r,则2πr=,解得r=1,∴这个圆锥的高为=2.5.答案解析设☉O与矩形ABCD的另一个切点为M, 连接OM,OG,则M,O,E共线.由题意得∠MOG=∠EOF=45°,∴∠FOG=90°,且OF=OG=1 m,∴S透明区域=+2××1×1=+1(m2).过O作ON⊥AD于N,∴ON=FG=,∴AB=2ON=2×=,∴S矩形=2×=2,∴==.6.答案3--解析如图,连接AE,BF,延长FE交AD于G,则EG⊥AD.∵AB=3,EF=2,∴EG=.∵AD=2,∴O1A=O1E=1.∴∠AO1E=30°.∴O1G=.∴AG=1-=.∵弓形AE的面积=扇形AO1E的面积-△O1AE的面积=-O1A·EG=-×1×=-,∴图中阴影部分的面积=梯形AEFB的面积-2×弓形AE的面积=(EF+AB)·AG-2×=×(2+3)×-+=×-+=+-=3--.三、解答题7.解析(1)圆锥的母线长SA===40(cm), 圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2π×OA=2π×10=20π(cm),∴S侧=l×SA=×20π×40=400π(cm2),又S底=π×OA2=π×102=100π(cm2),∴S表=S底+S侧=500π(cm2).(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开,得圆锥的侧面展开图,则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离,由(1)知SA=40(cm),弧AA'的长=20π(cm),∠ASA'=90°.又SA'=SA=40(cm),SM=3A'M,∴SM=SA'=30(cm),∴在Rt△ASM中,AM===50(cm),∴蚂蚁所走的最短距离是50 cm.。
中考总复习数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆
第二十三讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l 于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y．(1)试建立以x为自变量的函数y的解析式；(2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则：(1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ； (2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+ 6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC 交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) A ．5 B ．52 C ．52+ D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A ．一定内切B ．一定外切C ．相交D ．内切或外切9．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ；(2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．10．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ，求证：(1)CD 是⊙O l 的直径；(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( ) A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。
人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第23讲与圆有关的计算
第23讲与圆有关的计算一、知识清单梳理知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【答案】A【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题.【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵140.753CNDN==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=AM EM，∴0.45=866AB +，∴AB=21.7（米），故选A．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．反比例函数y=a x （a ＞0，a 为常数）和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M 在y=ax 的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y=2x 的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y=2x的图象于点B ，当点M 在y=ax 的图象上运动时，以下结论： ①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点． 其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据反比例函数的性质和比例系数的几何意义逐项分析可得出解. 【详解】①由于A 、B 在同一反比例函数y=2x图象上，由反比例系数的几何意义可得S △ODB =S △OCA =1,正确；②由于矩形OCMD 、△ODB 、△OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确； ③连接OM ，点A 是MC 的中点，则S △ODM =S △OCM =2a，因S △ODB =S △OCA =1,所以△OBD 和△OBM 面积相等，点B 一定是MD 的中点．正确； 故答案选D ．考点：反比例系数的几何意义.3．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B【解析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小. 【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径， ∴90ADB ∠=︒． ∵40BCD ∠=︒， ∴40A BCD ∠=∠=︒， ∴904050ABD ∠=︒-︒=︒． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握. 4．函数y=ax 2+1与ay x=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】试题分析：分a ＞0和a ＜0两种情况讨论：当a ＞0时，y=ax 2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；ay x =位于第一、三象限，没有选项图象符合； 当a ＜0时，y=ax 2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；ay x=位于第二、四象限，B 选项图象符合．故选B ．考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140°B．160°C．170°D．150°【答案】B【解析】试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.考点：角度的计算6．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴12 AC ADAB AC==，∴2ACDABCS ADS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2 112ABCS⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△ABC=4，∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.7．如图，△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交BC于点D，连结AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【答案】A【解析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【详解】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=65°，故选A．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．8．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状．选项C左视图与俯视图都是，故选C.9．A、B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A、B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为A ．1801801(150%)x x -=+ B ．1801801(150%)x x-=+C ．1801801(150%)x x-=- D ．1801801(150%)x x-=-【答案】A【解析】直接利用在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ，利用时间差值得出等式即可．【详解】解：设原来的平均车速为xkm/h ，则根据题意可列方程为：180x﹣180150%x +（）=1． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题的关键． 10．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第23讲与圆有关的计算
第23讲与圆有关的计算一、知识清单梳理知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率【答案】C【解析】解：A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误；B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；C．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11123=+≈0.33；故此选项正确；D．任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误．故选C．2．某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35、37、38、40、42、42、74，这组数据的众数是（）A．74 B．44 C．42 D．40【答案】C【解析】试题分析：众数是这组数据中出现次数最多的数据，在这组数据中42出现次数最多，故选C.考点：众数.3．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A ．3π+B ．3π-C ．23π-D ．223π-【答案】D【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可． 【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，33 ∴△ABC 的面积为12BC•AD=1232⨯3 S 扇形BAC =2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣2×3﹣3 故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．4．如图，某小区计划在一块长为31m ，宽为10m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 1．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（31﹣1x ）（10﹣x ）=570B ．31x+1×10x=31×10﹣570C ．（31﹣x ）（10﹣x ）=31×10﹣570D ．31x+1×10x ﹣1x 1=570【答案】A【解析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm ，根据草坪的面积是570m 1，即可列出方程:(31−1x)(10−x)=570， 故选A.5．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．60050x -＝450xB ．60050x +＝450xC ．600x ＝45050x + D ．600x＝45050x - 【答案】B【解析】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．【详解】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，由题意得：60045050x x=+． 故选B ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．6．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A ．91032π⎛⎫-⎪⎝⎭米2 B ．932π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2 C ．9632π⎛⎫-⎪⎝⎭米2 D ．()693π-米2 【答案】C【解析】连接OD ，∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC=12OA=12×6=1． ∵∠AOB=90°，CD ∥OB ，∴CD ⊥OA ．在Rt △OCD 中，∵OD=6，OC=1，∴2222CD OD OC 6333=-=-=． 又∵CD 333sin DOC OD 62∠===，∴∠DOC=60°． ∴2606193336336022DOC AOD S S S ππ∆⋅⋅=-=-⨯⨯=-阴影扇形（米2）． 故选C ．7．如图所示的几何体是由4 个大小相同的小立方体搭成，其俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：根据三视图的意义，可知俯视图为从上面往下看，因此可知共有三个正方形，在一条线上. 故选C. 考点：三视图8．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>；230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02bx a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确. ③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
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第23讲与圆有关的计算
一、选择题
1．(2017·株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是
(A)
A．正三角形B．正方形
C．正五边形D．正六边形
2．(2017·沈阳)正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是(B)
A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3
第2题图第3题图
3．(2017·兰州)如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为(D)
A．π＋1 B．π＋2 C．π－1 D．π－2 4．(2017·南宁)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧BC
︵的长等于(A)
A.2π
3 B.
π
3 C.
23π
3 D.
3π
3
第4题图第5题图
5．(2017·山西)如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)
A．5π cm2B．10π cm2
C．15π cm2D．20π cm2
6．(2017·天门)一个扇形的弧长是10π cm，面积是60π cm2，则此扇形的圆心角的度数是(B)
A．300°B．150°
C．120°D．75°
7．(2017·包头)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O 交BC于点D，若BC＝42，则图中阴影部分的面积为(B)
A．π＋1 B．π＋2
C．2π＋2 D．4π＋1
第7题图第8题图
8．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是(D)
A．4π－4 B．2π－4
C．4π D．2π
9．(2017·齐齐哈尔)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为(A)
A．120°B．180°
C．240°D．300°
10．(2017·丽水)如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是(A)
A.4π
3－ 3 B.
4π
3－2 3
C.2π
3－ 3 D.
2π
3－
3
2
二、填空题
11．(2017·菏泽)一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm 2，则此扇形的半径长为 36 cm.
12．(2017·吉林)如图，分别以正五边形ABCDE 的顶点A ，D 为圆心，以AB 长为半径画BE ︵，CE ︵.若AB ＝1，则阴影部分图形的周长为 6π5＋1 (结果保留π)．
第12题图第13题图
13．(2017·白银)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，AB ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 边于点D ，则CD ︵的长等于___π
3_____.(结果保留π)
14．(2017·黑龙江)圆锥底面半径为3 cm ，母线长3 2 cm ，则圆锥的侧面积为 92π cm 2.
15．(2017·苏州)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC ＝3，∠BOC ＝2∠AOC .若用扇形OAC (图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 12 .
一、选择题
1．(2017·咸宁)如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵
的长为( C ) A ．π B.3
2π C ．2π
D ．3π
第1题图第2题图
2．(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8.则图中阴影部分的面积是( A )
A.25π
2 B ．10π C ．24＋4π D ．24＋5π 二、填空题
3．(2017·恩施州)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，以直角边AB 为直径作半圆交AC 于点D ，以AD 为边作等边△ADE ，延长ED 交BC 于点F ，BC ＝23，则图中阴影部分的面积为 33－3
2π .(结果不取近似值)
第3题图 第4题图
4．(2017·贵港)如图，在扇形OAB 中，C 是OA 的中点，CD ⊥OA ，CD 与AB ︵
交于点D ，以O 为圆心，OC 的长为半径作CE ︵
交OB 于点E ，若OA ＝4，∠AOB ＝120°，则图中阴影部分的面积为 4
3π＋23 (结果保留π)． 三、解答题
5．(2017·张家界)在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F . (1)求证：DF 是⊙O 的切线；
(2)分别延长CB ，FD ，相交于点G ，∠A ＝60°，⊙O 的半径为6，求阴影部分的面积．
(1)证明：连接OD，CD，如解图所示．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
即CD⊥AB.
∵AC＝BC，
∴CD平分AB，即点D是AB的中点．又∵点O是BC的中点，
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵∠A＝60°，AC＝BC，
∴∠OBD＝∠A＝60°.
∵OD＝OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°.
∵⊙O的半径为6，
∴OD＝6.
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODG＝90°，
∴tan 60°＝DG
OD，
∴DG＝tan 60°·OD＝6 3.
∴S
阴影＝S
△ODG
－S
扇形BOD
＝1
2·OD·DG－
60
360·π·OD
2
＝1
2×6×63－
1
6×π×6
2
＝183－6π.。