专题26+应用AD=xAB+yAC解题探秘-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展+Word版含解析
2019年高考数学专题复习含解析 (30)
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：□01sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：□02sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .2.三角函数的诱导公式1.概念辨析(1)对任意α，β∈R ，有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( ) (3)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.小题热身(1)若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝________. 答案 －12解析 因为sin α＝55，π2<α<π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝－255， 所以tan α＝sin αcos α＝－12. (2)化简：cos 2α－1sin αtan α＝________. 答案 －cos α解析 原式＝－sin 2αsin α·sin αcos α＝－cos α. (3)sin2490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________.答案 －12 －12解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－12. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3 ＝－cos π3＝－12.(4)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________. 答案 －45解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－45.题型一同角三角函数关系式的应用1.已知cosα＝15，－π2<α<0，则1tanα＝()A.2 6 B．－2 6 C．－612 D.612答案 C解析因为cosα＝15，－π2<α<0，所以sinα＝－1－cos2α＝－265，所以1tanα＝cosαsinα＝15－265＝－612.2.已知tan x＝3，则sin x＋3cos x2sin x－3cos x＝________.答案 2解析因为tan x＝3，所以sin x＋3cos x2sin x－3cos x＝tan x＋32tan x－3＝3＋32×3－3＝2.3.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.答案44.5解析因为sin(90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.1.已知△ABC 中，cos A sin A ＝－125，则cos A 等于( ) A.1213 B.513 C ．－513 D ．－1213 答案 D解析 因为A 是三角形内角，且cos A sin A ＝－125<0， 所以cos A <0且5cos A ＝－12sin A ， 则25cos 2A ＝144sin 2A ＝144(1－cos 2A ) 解得cos 2A ＝144169，所以cos A ＝－1213.2.若α是第二象限角，则tan α1sin 2α－1化简的结果是( )A.－1 B ．1 C.－tan 2α D ．tan 2α答案 A解析 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以tan α1sin 2α－1＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.3.(2018·绵阳诊断)已知2sin α＝1＋cos α，则tan α的值为( ) A.－43B.43C.－43或0 D.43或0答案 D解析 因为2sin α＝1＋cos α，所以4sin 2α＝1＋2cos α＋cos 2α，又因为sin 2α＝1－cos 2α，所以4(1－cos 2α)＝1＋2cos α＋cos 2α，即5cos 2α＋2cos α－3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝35.当cos α＝－1时，sin α＝0，tan α＝0，当cos α＝35时，sin α＝45，tan α＝43.题型 二 诱导公式的应用1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A.1 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 C解析 原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3的值为( )A.12B.13C.32D.22 答案 A 解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 3.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________．答案 0解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.条件探究1 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝a ”，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π12.解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π12＝－a .条件探究2 若举例说明3的条件“cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ”改为“cos(α－17°)＝a ”，求sin(α－107°)．解 sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°) ＝－cos(α－17°)＝－a .(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为π2的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中π6－θ＋5π6＋θ＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝π2.1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝( )A.－45 B ．－35 C.35 D.45 答案 B解析 因为角α的终边经过点P (3,4)． 所以cos α＝332＋42＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2017π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2－1008π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos α＝－35. 2.(2018·石家庄模拟)已知k ∈Z ，化简： sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝________.答案 －1解析 当k 为偶数时，原式＝sin (－α)cos (－π－α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，原式＝sin (π－α)cos (－α)sin αcos (π＋α)＝sin αcos αsin α(－cos α)＝－1.综上知，原式＝－1.题型 三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用角度1 化简与求值1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13 答案 C解析 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝31010.角度2 sin α＋cos α、sin αcos α、sin α－cos α三者之间的关系2.(2018·长沙模拟)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin x －cos x ＝( )A.－75B.75C.57 D ．－57 答案 A解析 因为sin(π＋x )－cos x ＝－15，所以－sin x －cos x ＝－15，所以sin x ＋cos x ＝15∈(0,1)．又因为－π<x <0，所以－π2<x <0，所以sin x －cos x <0.sin x ＋cos x ＝15，两边平方得1＋2sin x cos x ＝125，所以2sin x cos x ＝－2425.所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.所以sin x －cos x ＝－75.角度3 常值代换问题3.(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 答案 A解析 当tan α＝34时，原式＝cos 2α＋4sin αcos α ＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34916＋1＝6425， 故选A.同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos x c sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝….1.1＋2sin (π－3)cos (π＋3)化简的结果是( ) A.sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C.±(sin3－cos3) D ．以上都不对 答案 A解析 因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3·cos3＝(sin3－cos3)2＝|sin3－cos3|.因为π2<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.2.已知tan100°＝k ，则sin80°的值等于( ) A.k 1＋k 2 B ．－k1＋k 2C.1＋k 2k D ．－1＋k 2k 答案 B解析 由已知得tan100°＝k ＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k ，又因为tan80°＝sin80°cos80°＝sin80°1－sin 280°，所以sin 280°1－sin 280°＝k 2，注意到k <0，可解得sin80°＝－k 1＋k2.3.若sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，则cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝( )A.25 B ．－25 C.23 D ．－23 答案 B解析 由sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，得sin x ＝2cos x ，即tan x ＝2，则cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x sin x ＝－sin x cos xsin 2x ＋cos 2x ＝－tan x 1＋tan 2x ＝－21＋4＝－25.。
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第 1 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量一、选择题1 ．（2019年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=A P A Bλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （ ）A ．12B．12CD．32-± 2 ．（2019年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |3 ．（2019年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=（ ）ABC．D ．104 ．（2019年高考（四川理））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =5 ．（2019年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b6 ．（2019年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =.（ ）ABC． D 7 ．（2019年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b（ ）A ．12B ．1C ．32D ．528 ．（2019年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（ ）第 2 页A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--9 ．（2019年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 10．（2019年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是（ ）A．(- B．(-C．(2)--D．(2)-二、填空题11．（2019年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;则_____b =[来源:shulihuashulihua]12．（2019年高考（浙江理））在∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ⋅=______________. 13．（2019年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .[来源:shulihua]14．（2019年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.15．（2019年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________; DE DC ⋅的最大值为________.16．（2019年高考（安徽理））若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____第 3 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--,=CP AP AC -=AB AC λ-, [来源:数理化网] 又∵3=2BQ CP ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ. 2. 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 3. 【答案】B【解析】由0240a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.4. [答案]D[解析]若使||||a ba b =成立,则方向相同，与选项中只有D 能保证,故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 5. 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. [来源:shulihua]C第 4 页6. 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,解得BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7. 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b ba a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=>,所以12a b <<,故有32a b =,选 C. 【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 12θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥>,所以123,1k k ==,于是32a b =,选C. [来源:数理化网] 8. 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--. 9. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用. [来源:shulihua]【解析】由0ab ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得CD =,所以AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D 10. 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin)cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== [来源:数理化网]则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- C第 5 页【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=- 二、填空题[来源:shulihuashulihua] 11. 【解析】b=12. 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法.假设∆ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,AM =3,BC =10,AB =ACcos∠BAC =3434100823417+-=-⨯.AB AC ⋅=cos 16AB AC BAC ⋅∠=-13. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23),C (25,23).t CD BC ==||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2t ,23t ),N (25-2t ,23),故AN AM ⋅=(2+2t)(25-2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,(AN AM ⋅)max = f (0)=5,(AN AM ⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!14. .【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由2AB AF=,得cos ABAF FAB ∠=由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.15. 【答案】1;1 [来源:shulihuashulihua]【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. [来源:shulihuashulihua]16. 【解析】a b的最小值是98第 6 页。
2019年高考数学高考题和高考模拟题分章节汇编专题09不等式、推理与证明理
专题09 不等式、推理与证明1．【2019年高考全国II 卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点2L 的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距2L 离为R ，点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：2L .设，由于的值很小，因此在近似计算中，121223()()M M M R r R r r R +=++r Rα=α34532333(1)ααααα++≈+则r 的近似值为AB 212M R MCD 2313M R M 【答案】D【解析】由，得r R α=r R α=因为，121223()()M M M R r R r r R +=++所以，12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++即，543232221133[(1)3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++解得，3α=所以3.r R α==【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．2．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =，所以，故选C ．a b >33a b >【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3．【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为|1|x y ≤-A ．−7B ．1C ．5D ．7【答案】C 【解析】由题意作出可行域如图阴影部分所示. 1,11y y x y -≤⎧⎨-≤≤-⎩设,3,3z x y y z x =+=-当直线经过点时,取最大值5.故选C ．0:3l y z x =-()2,1-z【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大,注重了基础知识､基本技能的考查.4．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=lg ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星5221E E 的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg10.1D ． 10–10.1【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,12125lg 2E m m E -=211.45,26.7m m =-=-.()10.111212222lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.5．【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值,x y 20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……4z x y =-+为A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，4y x z =+y 故目标函数在点处取得最大值.A 由，得，20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩(1,1)A -所以.max 4(1)15z =-⨯-+=故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．6．【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的x ∈R 250x x -<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】化简不等式，可知推不出，05x <<11x -<由能推出，11x -<05x <<故“”是“”的必要不充分条件，250x x -<|1|1x -<故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.7．【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是,x y 3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩32z x y =+A ．B ． 11-C ． 10D ． 12【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题26 应用AD=xAB+yAC解题探秘
专题26 应用AD x AB y AC =+ 解题探秘【热点聚焦与扩展】高考对平面向量基本定理的考查，往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．要特别注意基底的不唯一性-----只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+.其中12,e e 称为平面向量的一组基底. （1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量（2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则1122λμλμ=⎧⎨=⎩2、“爪”字型图及性质：B（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在,x y ，使得AD x AB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间 当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n mAD AB AC m n m n=+++ 3、AD x AB y AC =+中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y=+，可考虑两边对同一向量作数量积运（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD x AB y AC算，从而得到关于,x y的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y的方程，再进行求解【经典例题】=+ (m( )例1.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若CD mBA nBCA. －3B.【答案】A【点睛】当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程.若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量例2.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．C D．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.3例3.【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】如图三点共线，∵是的重心，故当且仅当等号成立故选D例4.【2018届北京市朝阳区一模】在平面直角坐标系xOy 中,, ()1,2B ,动点P 满足OP =OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2C. 【答案】C5【解析】设(),P x y ,则(3OP OA OB λμλ=+=y所有点P 构成图形如图所示（阴影部分）,故选C .【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.例5.【2018年4月湖南G10教育联盟高三联考】平行四边形ABCD 中， 3AB =， 2AD =， 120BAD ∠=︒，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =，如AP x AB y AD =+，则32x y +的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】∵AP x AB y AD =+， ∴2AP =()2xAB y AD+22194232x y xy =++⨯⨯⨯（﹣）2223323?3?232324x y x y x y x y =+≥+⨯+（）﹣（）﹣（）232x y +）；故选：B．例6.【2018届四川省雅安市三诊】在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系：则，，，，，即，，. ∵7∴∴∴故选A.例7.在ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若,AM xAB AN yAC==，则4x y +的最小值是（ ）A.94B. 21 【答案】【解析】若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系。
[推荐学习]2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形-3-7a
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[推荐学习]2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形-3-7aD在△AMC中，AM＝ABsin15°＝206，∠AMC＝105°，∠ACM＝30°，∴ACsin105°＝206sin30°，∴AC＝60＋203，∴CE＝30＋103，∴CD＝30－103＋30＋103＝60.故选B.5．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/h答案 B解析设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝0.61＝35，从而cosθ＝45，∵客船从码头A到B所用的最短时间为6 min，∴客船实际航行速度为1÷110＝10 km/h. 在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2＋EB2－2AB·EB·cosθ，即v2＝102＋22－2×10×2×45＝72，解得v＝62(km/h)．故选B.6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m答案 A解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．故选A.7．(2017·临沂质检)在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033 mC.200 33 mD.2003 m 答案 A解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°，又AB ＝200，∴AC ＝40033.在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin120°＝DCsin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)．故选A.8. (2017·广州调研)如图所示长为3.5 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁，木棒的一端A 在离堤足C 处1.4 m 的地面上，另一端B 在离堤足C 处2.8 m 的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于( )A.2315 B.516 C.23116 D.115答案 A解析 由题意，可得在△ABC 中，AB ＝3.5 m ，AC ＝1.4 m ，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝516，所以sinα＝23116，所以tanα＝sinαcosα＝2315.故选A.9．(2018·长春模拟)某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B 处30 km的C处有一人正沿此公路骑摩托车以40 km/h的速度向A 城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为810 km，则此人到达A城还需要()A．40 min B．42 min C．48 min D．60 min答案 C解析由题意可知，CD＝40×1560＝10，∠BAD＝45°，cos∠BDC＝102＋(810)2－3022×10×810＝－1010，∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝10 10，∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝25 5.在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝BDsin∠BAD，∴AD255＝81022，∴AD＝32，∴所需时间t＝3240＝0.8 h，∴此人还需要0.8 h即48 min到达A城．故选C.10．(2014·浙江高考)如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是()A.305 B.3010 C.439 D.539答案 D解析由题意，在Rt△ABC中，sin∠ACB＝ABAC＝1525＝35，则cos∠ACB＝45.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，如图所示．设PH＝x，则CH＝3x，在△ACH中，由余弦定理，得AH＝AC2＋CH2－2AC·CH·cos∠ACB ＝625＋3x2－403x，tan∠PAH＝PHAH＝1625x2－403x＋3⎝⎛⎭⎪⎫1x>0，故当1x＝43125时，tanθ取得最大值，最大值为539.故选D.二、填空题11．某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.答案3 2解析如题图，由题意知AB＝24×1560＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知BSsin30°＝ABsin45°，∴BS＝AB·sin30°sin45°＝3 2.12．(2017·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．答案0.6解析依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CEsin∠EAC＝ACsin∠CEA，∴AC＝CEsin∠EAC·sin∠CEA＝20 3 m.∴在Rt△ABC中，AB＝AC sin∠ACB＝203×32＝30 m．∵国歌时长为50 s，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s.13．(2018·浙江适应性考试)如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110 m，∠DEF的余弦值为________．答案16 65解析作DM∥AC交BE于N，交CF于M. DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150. 在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF2 2DE×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.14．(2017·尖山区校级期中)设甲、乙两楼相距10 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的仰角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案10 3 m，403 3 m解析设甲，乙两楼为AB，CD，由题意可知BC＝10，∠ACB ＝60°，∠DAE＝30°，∵tan∠ACB＝ABBC＝3，∴AB＝103，由AE＝BC＝10，tan∠DAE＝DEAE＝33，∴DE＝1033，∴CD＝CE＋DE＝AB＋DE＝4033.三、解答题15．(2018·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D)．当返回舱在距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)求D救援中心与着陆点A间的距离．解(1)由题意知PA⊥AC，PA⊥AB，则△PAC，△PAB均为直角三角形．在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝33，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝3，又∠CAB＝90°，BC ＝AC2＋AB2＝303万米．(2)sin∠ACD＝sin∠ACB＝310，cos∠ACD＝－110，又∠CAD＝30°，所以sin∠ADC＝sin(30°＋∠ACD)＝33－1 210，在△ADC中，由正弦定理，ACsin∠ADC＝ADsin∠ACD，得AD＝AC sin∠ACDsin∠ADC＝9＋313万米．16．(2018·南昌模拟)某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)解 (1)在△ABC 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.在△ABD 中，由余弦定理，得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D .∴AB ＝7，∴AB 长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD ·sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C .∵AD ·BD >AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 建造环境标志费用较低．∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5000×17.32＝86600(元)．。
押新课标全国卷第23题-备战2019年高考数学(理)临考题号押题 Word版含解析
姓名，年级：时间：押新课标全国卷第23题高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆1．(2018新课标全国卷Ⅰ理）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1）当1a =时,求不等式()1f x >的解集；(2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1)1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<,所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．（2018新课标全国卷Ⅱ理)设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】(1）{|23}x x -≤≤；(2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．3．（2018新课标全国卷Ⅲ理）设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图象；（2）当[)0x +∞∈，,()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【答案】(1)见解析；（2）5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图象如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当3a ≥且2b ≥时,()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立， 因此a b +的最小值为5．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； (2）利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．已知函数()|1|f x x =-，()|23|g x x =+． （1)求不等式()()2f x g x -≥的解集；（2）若对任意的x ∈R ，不等式2()()f x g x m ≤+恒成立，求实数m 的最小值． 【答案】（1）4[2,]3--；（2）5．【解析】（1）由题可得()()|1||23|f x g x x x -=--+,当32x ≤-时，不等式()()2f x g x -≥可化为1232x x -+++≥，解得322x -≤≤-； 当312x -<<时，不等式()()2f x g x -≥可化为1232x x -+--≥，解得3423x -<≤-; 当1x ≥时，不等式()()2f x g x -≥可化为1232x x ---≥，无解． 综上,423x -≤≤-，故不等式()()2f x g x -≥的解集为4[2,]3--． （2）因为对任意的x ∈R ，不等式2()()f x g x m ≤+恒成立， 即对任意的x ∈R ，不等式|22||23|x x m --+≤恒成立， 所以max (|22||23|)m x x ≥--+，因为|22||23||22(23)|5x x x x --+≤--+=，所以5m ≥， 故实数m 的最小值为5．2．已知函数()||f x x a a =--+,()|21||24|g x x x =-++． （1）求不等式()6g x <的解集;(2）若对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ,使得12()()g x f x =-，求实数a 的取值范围．【答案】（1)93(,)44-；(2)[5,)-+∞． 【解析】（1）()6g x <即|21||24|6x x -++<， 当2x ≤-时，21246x x -+--<，解得924x -<≤-; 当122x -<<时，21246x x -+++<，解得122x -<<； 当12x ≥时，21246x x -++<，解得1324x ≤<． 综上，不等式()6g x <的解集为93(,)44-．(2)因为对任意的1x ∈R ，存在2x ∈R ，使得12()()g x f x =-, 所以函数()g x 的值域是函数()f x -的值域的子集， 因为()||f x x a a -=--，所以()[,)f x a -∈-+∞， 因为()|21||24||(21)(24)|5g x x x x x =-++≥--+=， 所以5a -≤,即5a ≥-，故实数a 的取值范围为[5,)-+∞． 3．已知函数()|21|3||f x x x =+-． (1）求不等式()20f x +>的解集;（2）设()f x 的最大值为m ,若,a b 均为正实数，且114m a b+=，求证:44a b +≥． 【答案】（1）(1,3)-;（2）证明见解析．【解析】（1)当12x <-时，()1f x x =-，由()20f x +>，即120x -+>,解得112x -<<-；当102x -≤≤时，()51x f x =+，由()20f x +>，即5120x ++>，解得102x -≤≤; 当0x >时,()1x x f =-+，由()20f x +>，即120x -++>,解得03x <<． 综上，可得不等式()20f x +>的解集为(1,3)-．（2）由（1）易得函数()f x 的最大值为(10)f =，即1m =，所以1114ab+=， 因为,a b 均为正实数，所以由基本不等式可得1144()(4)22444b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当44b a a b =，即2a =,12b =时取等号，故44a b +≥．1．解绝对值不等式的常用方法有：（1)基本性质法：对,||,||a x a a x a x a x a x a +∈<⇔-<<>⇔<->R 或． （2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组)求解．（4）几何法:利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法(1）分享参数法：运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题．求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象,求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值．(2）更换主元法：不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度,将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．（3)数形结合法:在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维和抽象思维各自的优势,可直接解决问题．3．比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论．其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号．个别题目也可用柯西不等式来证明．1．已知函数1()||||f x x x a a=++-，其中0a >． （1）若(2)1f a <+，求正实数a 的取值范围；(2)若对任意的(0,)a ∈+∞，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）)+∞(2）(,2]-∞． 【解析】(1)由题可得1(2)|2||2|f a a=++-，所以12|2|1a a a++-<+,即21221a a a a ≥⎧⎪⎨+-+<+⎪⎩或21221a a a a<⎧⎪⎨++-<+⎪⎩,解得2a ≥或324a <<，故正实数a的取值范围为3()4+∞． (2）由题可得111()||||||f x x x a x x a a aaa=++-≥+-+=+， 因为0a >,所以12a a +≥,当且仅当1a =时取等号， 因为对任意的(0,)a ∈+∞,()f x m ≥恒成立，所以2m ≤, 故实数m 的取值范围为(,2]-∞．2．已知函数a x a x x f +++=)1()(2，()||g x x a =-，其中0a >。
【2019年整理】高考数学试题分类汇编及答案解析22个专题
高考数学试题分类汇编及答案解析（22 个专题）目录专题一集合 (1)专题二函数 (2)专题三三角函数 (7)专题四解三角形 (10)专题五平面向量 (12)专题六数列 (14)专题七不等式 (18)专题八复数 (21)专题九导数及其应用 (23)专题十算法初步 (27)专题十一常用逻辑用语 (31)专题十二推理与证明 (32)专题十三概率统计 (33)专题十四空间向量、空间几何体、立体几何 (43)专题十五点、线、面的位置关系 (53)专题十六平面几何初步 (54)专题十七圆锥曲线与方程 (56)专题十八计数原理 (62)专题十九几何证明选讲 (63)专题二十不等式选讲 (65)专题二十一矩阵与变换 (66)专题二十二坐标系与参数方程 (66)专题一集合1.（ 15 年北京文科）若集合 x 5 x 2 ， x 3 x 3 ，则（ ）A ． x 3 x 2B ． x 5 x 2C ． x3 x 3D． x 5 x 32.(15 年广东理科 ) 若集合M = { x |( x + 4)( x +1) = 0} ， N = { x | ( x - 4)( x - 1) = 0} ，则 M N =A ．B ． 1, 4C ． 0D ． 1,4 3.(15 年广东文科 ) 若集合 1,1 ， 2,1,0 ，则（） A ． 0, 1B ． 0C ． 1D ．1,14.（ 15 年广东文科）若集合 p, q, r ,s 0p s 4,0 q s 4,0r s 4且p, q,r , s，F t,u, v, w 0 t u 4,0 v w 4且 t ,u,v, w，用 card 表示集合 中的元素个数，则 cardcard F（）A ． 50B ． 100C ． 150D ． 200 5.（ 15 年安徽文科）设全集 U 1，2，3，4，，5 6 ， A 1，2 ， B2，3，4 ，则 AC U B ( )（ A ） 1，2，5，6 （B ） 1 （ C ）2（ D ） 1，2，3，46.（ 15 年福建文科）若集合Mx 2 x 2 ， N0,1,2 ，则 M N 等于（） A ． 0B ． 1C ． 0,1,2D 0,17.(15 年新课标 1 文科 ) 1、已知集合 A { xx3n 2,nN}, B {6,8,10,12,14} ，则集合 A B 中的元素个数为()（ A ） 5 （ B ）4 （C ） 3 （ D ） 28.(15 年新课标 2 理科 ) 已知集合 A= ｛ -2， -1,0， 1,2｝， B=｛ x|（ X-1 ）（ x+2 ）＜ 0｝ ,则 A ∩ B=（）（ A ）｛ --1,0｝ （B ）｛ 0,1｝ （C ）｛ -1,0,1｝ （ D ）｛ ,0,，1，2｝ 9.(15 年新课标 2 文科 ) 已知集合 A x | 1 x 2 , B x | 0x3 ,则 A B（）A ． 1,3B ． 1,0C ． 0,2D ． 2,310.(15 年陕西理科 ) 设集合 M { x | x2x}， N { x | lg x 0} ，则M N （）A． [0,1] B． (0,1] C． [0,1) D ． (,1]11.(1 5 陕西文科 ) 集合 M { x |x2x} ，N{ x | lg x 0} ，则 MN （）A． [0,1] B． (0,1] C． [0,1) D ．( ,1]12.(15 年天津理科 ) 已知全集 U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 A 2,3,5,6 ，集合 B 1,3,4,6,7 ，则集合A e BU（A） 2,5 （ B ） 3,6 （ C） 2,5,6 （ D） 2,3,5,6,813.(15 年天津理科) 已知全集U = {1,2,3,4,5,6},集合,集合,则集合A （ e U B）=A = {2, 3,5} B = {1, 3, 4, 6}（）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}14.(1 5 年浙江理科 )1. 已知集合 P { x x22x0} ，Q{ x 1 x2} ，则 (e RP) Q （）A. [0,1)B.(0,2]C. (1,2)D. [1,2]15.(1 5 年山东理科 ) 已知集合 A= { x |x24x 3 0}, B{ x |2x 4} ，则 A B (A)(1,3) (B)(1 ，4) (C)(2 ， 3) (D)(2 ， 4)16.(15 年江苏 ) 已知集合 A 1,2,3， B 2,4,5 ，则集合 A B 中元素的个数为 _______.专题二函数1. （ 15 年北京理科）如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式yf x ≥ log 2 x 1 的解集是A． x | 1 x ≤ 0 B． x | 1≤ x ≤ 1C． x | 1 x≤ 1 D． x | 1 x≤22 CAOBx-1 22.（ 15 年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况 . 下列叙述中正确的是A ．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，消耗10 升汽油D ．某城市机动车最高限速 80 千米 / 小时 . 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油3.（ 15 年北京理科）设函数 f x2xa ? x 1 ?4 x a x 2a x≥ 1.① 若 a 1 ，则 fx 的最小值为 ；② 若 f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 4.（ 15 年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）A ． y x 2sin xB ． y x 2cosxC ． y ln xD． y 2 x3 ， 15.(15 年北京文科 )2 32 ， log 2 5 三个数中最大数的是 ．6.（ 15 年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ． y x e xB ． y x1 C ． y 2x 1 D ． y1 x2 x 2x(12 )x 。
2019年高考考前押题密卷-理科数学(全解全析)
(3t 2)2 4(2t 1) 0
r2
(3t
2)r
2t
1,
r
[0,
)
，则
h(0) 2t h(1) t
1 0
0
0
3t
2
2
1
，得 1 t 4 ，故实数 t 的取值范围为
2
9
高三理科数学 第 3 页（共 8 页）
( 1 , 4) . 29
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）当 n 1 时， 3a1 2a1 m 0 ，即 a1 m ；（1 分）
设平面
CEF
的法向量为
n
(
x,
y,
z)
，则
n
FC
0
，即
2x
y
3z 0 ，
n FE 0 x 2 y 0
4 令 y 1 ，可得 x 2 ， z 3 ，所以平面 CEF 的一个法向量为 n (2,1, 3) ，（10 分）
38 设直线 AD 与平面 CEF 所成的角为 ，
75 92 则 sin | cos<n, AD> |
（2）由题意可得，销售单价共有 5 个，其中使得月销售量不低于 10 万件的有 2 个，月销售量不低于 8
万件且不足 10 万件的有 1 个，月销售量低于 8 万件的有 2 个.
故 X 的可能取值只有 2，1.5，1， 0.5 ，0.
则 P( X 2) C22 1 ； P( X 1.5) C12C11 1 ； P( X 1) C12C12 2 ；
当n
2 时，3Sn
2an
m
0 ，3Sn1
2an1
m
0 ，两式相减，可得 3an
2019年高考数学专题复习含解析 (41)
答案 D
答案
解析 知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案①③可以确定 A，B 间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案②可以确定 A，B 间的距离．
解析
3．(2019·东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
解析
7．如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的 两个测点 C 与 D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点 C 处 测得塔顶 A 的仰角为 60°，则塔高 AB 等于( )
A．5 6 B．15 3 C．5 2 D．15 6 答案 D
答案
解析 在△BCD 中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得siBn3C0°＝sin31035°， 所以 BC＝15 2. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝15 2× 3＝15 6.
答案 1
答案
解析 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝ 45°，所以∠ADB＝105°.
在△DAB 中，由正弦定理得sin∠DBDAB＝sin∠ABADB， 所以 DB＝ABsi·nsi∠n∠ADDBAB＝53＋sin130·5s°in45°＝10 3(海里)． 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
解析
BC＝20 3海里， 在△DBC 中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1200－2×10 3×20 3×21＝900， 所以 CD＝30 海里，则该救援船到达 D 点需要的时间 t＝3300＝1(小时)．
2019西部地区卷高考数学应用题真题解析
2019西部地区卷高考数学应用题真题解析【2019西部地区卷高考数学应用题真题解析】一、卷面题解析：本次真题主要内容为数学的应用题，要求考生在实际问题中运用数学知识进行分析和解决问题。
以下将就每一道应用题进行详细的解析。
题目一：某矿区爆破控制中心需要在最短的时间内避免爆破事故的发生，为此需要安装一种声音探测装置，据测定，该装置能测出到达矿区的地震波到达强度的时间关系为y=5t^2-20t+30（0≤t≤5），其中t用分钟表示，y用声音波强度表示。
解析：题目中给出了一个关系式y=5t^2-20t+30，我们可以通过这个关系式来分析问题。
根据题目所述，需要在最短的时间内避免爆破事故的发生，即需要找到最小值。
在这里，y代表声音波强度，t代表时间，0≤t≤5表示时间的范围。
解题思路：首先，我们可以对关系式进行求导，由于t的范围是0≤t≤5，所以我们可以排除极值发生于端点的情况。
关系式的导数为dy/dt = 10t-20，令dy/dt=0求得极值的t值为t=2。
然后，我们可以求得t=2时的声音波强度为y=5*2^2-20*2+30=10。
所以，该装置在t=2分钟时，能够测出到达矿区的地震波到达强度的最小值为10。
题目二：小明本学期前三次数学考试的成绩分别为89分、92分和x分，三次考试的满分都是100分。
为了保持本学期的数学成绩在90分以上，小明需要取得多少分及以上的成绩。
解析：这是一个比较典型的约束条件问题，通过已知信息，我们需要找到未知数x的取值范围。
解题思路：为了保持本学期的数学成绩在90分以上，我们可以假设x分数及以上为90分。
由此，在题目中给出了三次考试成绩的和为x+89+92。
根据题目要求，x+89+92的平均数要大于等于90分。
所以，(x+89+92)/3 ≥ 90。
解这个不等式，我们可以得到x ≥ 89。
所以，小明取得89分及以上的成绩，就可以保持本学期的数学成绩在90分以上。
二、解题技巧总结：本次真题主要考察了数学应用题的解题技巧和分析能力。
2019年高考数学大二轮复习第三篇考前回扣查缺补漏回扣落实三三角函数与平面向量课件理ppt版本
[回扣问题 2] ______．
函数 y＝12sinπ4 －23x的单调递减区间为
答案 3kπ －3π8 ，3kπ ＋9π8 (k∈Z)
3．图像平移变换把握不准．
由 f(x)＝Asin ω x(ω＞0)变换到 y＝A sin(ωx＋φ)
＝Asinω
x＋ωφ 的图像．当
4．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，
可能有一解、两解或无解，在△ABC 中，A＞B⇔sin A
＞sin B.
[回扣问题 4] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的
边分别为 a，b，c，且 a＝1，c＝ 3.
(1)若角 C＝π3 ，则角 A＝________；
(2)若角 A＝π6 ，则 b＝________．
答案
π (1) 6
(2)2 或 1
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谢谢
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2．求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，容易出现以 下错误：
(1)不注意 ω 的符号，把单调性弄反，或把区间左 右的值弄反；
(2)忘掉写＋2kπ ，或＋kπ 等，忘掉写 k∈Z； (3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如 [0，90°]应写为0，π2 .
φ＞0
时，向左平移φω
个单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ；当 φ＜0 时向右平移φω 个单位，而不是|φ|个长 度单位．
[回扣问题 3] 已知函数 f(x)＝sin2x＋π4 ，为了得 到函数 g(x)＝cos 2x 的图像，只要将 y＝f(x)的图像
2019年部分数学高考题的源与流
柯西不等式的背景、证明、变式及应用，可参见《高考数学命题探秘》第 39 课“柯西 不等式 百炼千锤”.
真题解答(1)由柯西不等式，可得
(x
1)2
(y
1)2
(z
1)2
1 3
(x
1)2
(y
1)2
( z +1) 2
(12
12
12 )
1 (x 1) 1 ( y 1) 1 (z+1) 12 1 (x y z+1)2 4 ，
这类问题的课本背景有三处，分别是 1、普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》（人民教育出版社2007年2 月第2版）（以下简称课本）第41页例3:
背景1 如图1，设点 A, B 的坐标分别为 (5,0),(5,0) ，直线 AM , BM 相交于点 M , 且
它们的斜率之积是 4 , 求点 M 的轨迹方程. 9
求证： p2 q2 r2 3 .
变式题2 (2013年高考湖南卷理科第10题) a,b, c R, a 2b 3c 6, a2 4b2 9c2
的最小值是 .
变式题3 (2014年全国高中数学联赛陕西省预赛第7题)若实数 a,b, c 满足 a 2b 3c 6，a2 4b2 9c2 12 ，则 abc _______.
1(x
a) .
(1)若 0 且 1，则动点的轨迹方程为椭圆(除去A、B两点)；
积等于 m (m 0) .试探求顶点 C 的轨迹.
上述三道课本题的一般情形可归结为下面的结论（可理解为有心圆锥曲线的第三定义）：
定理 与两个定点 A(a,0), B(a,0) 连线的斜率之积为定值 ( 0) 的动点 P 的轨迹
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题26 应用AD xAB yAC =+ 解题探秘【热点聚焦与扩展】高考对平面向量基本定理的考查，往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．要特别注意基底的不唯一性-----只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+.其中12,e e 称为平面向量的一组基底. （1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量 （2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则1122λμλμ=⎧⎨=⎩2、“爪”字型图及性质：B（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在,x y ，使得AD xAB yAC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间 当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n mAD AB AC m n m n=+++ 3、AD xAB yAC =+中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB yAC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解【经典例题】例1.在梯形ABCD 中，AD∥BC，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD mBA nBC =+ (m ，n∈R)，则mn＝( ) A. －3 B. －13 C. 13D. 3【答案】A【点睛】当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程.若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量例2.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.例3.【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知错误！未找到引用源。
是错误！未找到引用源。
的重心，过点错误！未找到引用源。
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【答案】D【解析】如图错误！未找到引用源。
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的重心，故错误！未找到引用源。
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等号成立 故选D例4.【2018届北京市朝阳区一模】在平面直角坐标系xOy 中,已知点)A, ()1,2B ,动点P 满足OP =OA OB λμ+,其中][,0,1,1,2λμλμ⎡⎤∈+∈⎣⎦,则所有点P 构成的图形面积为( )A. 1B. 2【答案】C【解析】设(),P x y ,则()()3,2,OP OA OB x y λμλμμ=+=+=,2x yμμ+=∴= 2{ 2y y x μλ=∴⎫=-⎪⎝⎭,012{01 21222y y x y y x ≤≤⎫∴≤-≤⎪⎝⎭⎫≤-≤⎪⎝⎭)02{02 21y x y x y≤≤∴≤-≤≤+≤,所有点P 构成图形如图所示（阴影部分）,122S ==故选C . 【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.例5.【2018年4月湖南G10教育联盟高三联考】平行四边形ABCD 中， 3AB =， 2AD =， 120BAD ∠=︒，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1AP =，如AP xAB yAD =+，则32x y +的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】∵AP xAB yAD =+， ∴2AP =()2xAB yAD+221942322x y xy =++⨯⨯⨯（﹣）2223323?3?232324x y x y x y x y =+≥+⨯+（）﹣（）﹣（）=14232x y ⨯+（）；故选：B．例6.【2018届四川省雅安市三诊】在直角梯形错误！未找到引用源。
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上变动（如图所示）.若错误！未找到引用源。
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的取值范围是（）A. 错误！未找到引用源。
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【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系：则错误！未找到引用源。
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故选A.例7.在ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若,A M xA B A N yA C ==，则4x y +的最小值是（ ）A.94B. 21 【答案】【解析】若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系。
由,,M H N 共线可想到“爪”字型图，所以AH mAM nAN =+，其中1m n +=，下面考虑将,m n 的关系转为,x y 的关系。
利用条件中的向量关系：12AH AD =且()12AD AB AC =+，所以()14AH AB AC =+，因为,AM xAB AN yAC ==，所以AH mxAB nyAC =+，由平面向量基本定理可得：11441144m mx x n ny y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以111144m n x y +=⇒+=，所以()11144414444y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而44y x x y +≥=，所以944x y +≥ 答案：A例8.【2017天津，文理】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________. 【答案】311【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基底很重要，本题的,AB AC 已知模和夹角，选作基底易于计算数量积.例9.【2018年衡水金卷调研卷三】如图所示，已知在ABC ∆中， 23AE AC =， 13BD BC =， BE 交AD 于点F ， AF AB AC λμ=+，则λμ+=__________．【答案】67【解析】设()0AD k AF k =≠,()121332AD AB BD AB AC AB AB AE =+=+-=+, 即2132k AF AB AE =+，∴2132AF AB AE k k =+，由F B E 、、三点共线，得21132k k+=，解得76k =.又214342327777AF AB AE AB AE AB AC k k =+=+=+ ∴4277λμ==，∴67λμ+=例10.【2018届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】点M 为ABC ∆所在平面内一动点，且M 满足： ()12133AM AB AC λλ=+-， 3AC =， 3A π=若点M 的轨迹与直线,AB AC 围成封闭区域的，则BC =__________． 【答案】3 【解析】设13AD AB =， 23AE AC =，则2AE =.∵M 满足： ()12133AM AB AC λλ=+-∴1AD =，即3AB =.∴AB AC =∴ABC ∆为等边三角形 ∴3BC = 故答案为3.点睛：本题考查学生的是三角形面积公式与向量的交汇处，属于中档题目.由()12133AM AB AC λλ=+-为突破点，构造出()1AM AD AE λλ=+-是解题的关键，由系数和为1得出三点共线，可得M 的轨迹为直线，结合三角形面积公式即可.【精选精练】1．【2018届辽宁省朝阳市普通高中一模】在错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
的重心，过错误！未找到引用源。
点的直线分别交错误！未找到引用源。