2019-2020学年高二数学下学期 二项式定理 概率的加法公式 事件的独立性校本作业 理.doc
二项式定理知识点总结
![二项式定理知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/1159b6d35ff7ba0d4a7302768e9951e79a896957.png)
二项式定理知识点总结二项式定理是数学中的一个基本定理,它描述了一个二次方的展开式中的每一项的系数。
二项式定理的公式如下:(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n)b^n其中,C(n,k)表示从n个元素中选取k个的组合数,也可以记作为“n选择k”。
二项式定理的核心思想是展开一个二次方的多项式,并找到每一项的系数。
该定理在概率论、组合数学、统计学等领域具有广泛的应用。
二项式定理的重要性二项式定理在数学中具有重要的地位,而且在很多高级数学的分支中都起到了关键的作用。
以下是二项式定理的重要性:1. 展开多项式:二项式定理可以用来展开一个多项式,从而求得每一项的系数。
这对于解决复杂的数学问题非常有帮助。
2. 概率计算:二项式定理在概率论中应用广泛。
例如,在进行多次独立试验时,计算某些事件发生的概率可以通过二项式定理来实现。
3. 组合数学:组合数学是二项式定理的一个重要分支。
二项式系数被称为“组合数”,用于计算对象之间的排列组合情况。
4. 统计学应用:二项式分布是概率论中一种重要的离散概率分布,它在统计学中有广泛的应用。
二项式定理可以用来计算二项式分布的概率。
二项式定理的发展历程二项式定理最早是由17世纪的法国数学家Pascal在他的著作《论算术三角形》(Traité du triangle arithmétique)中首次提出的。
后来,德国数学家Newton将其进一步发展,并给出了二项式的系数计算公式。
随着数学研究的深入,二项式定理逐渐被推广到更一般的形式。
例如,当指数n为实数,而非整数时,也可以使用二项式定理展开。
这被称为泰勒展开,是微积分中的一种重要工具。
应用举例1. 计算多项式的展开式:利用二项式定理,我们可以展开一个二次方、三次方或更高次方的多项式,从而求得每一项的系数。
例如,利用二项式定理展开(x + y)^3:(x + y)^3 = C(3,0)x^3 + C(3,1)x^2y + C(3,2)xy^2 + C(3,3)y^3= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^32. 计算概率:二项式定理在概率论中有广泛的应用。
二项式定理(binomialtheorem)
![二项式定理(binomialtheorem)](https://img.taocdn.com/s3/m/468e8c40df80d4d8d15abe23482fb4daa48d1d71.png)
例子
例如,(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 是一个二 项式的展开式。
小常识
二项式來源于对“二”的组合数。
二项式定理的公式表述
1
公式1
(a+b)^2 = a^2 + 2ab a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
3
公式3
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
二项式定理的性质
对称性
(a+b)^ n = (b+a)^ n
二项式系数的对称性
在二项式定理中,第k(k为整数) 个系数等于第(n-k)个系数。
常数的系数
二项式定理中,每一项系数的 和为2的n次方。
二项式定理的证明方法
数学归纳法
适用于证明二项式定理的基本形式。
杨辉三角形
通过观察杨辉三角形的性质,可以推导出二项式定理。
二项式系数与对称性质
二项式系数具有对称性,即第k个系数等于第n-k个系数。通过对称性质的使用,可以简化二项式定理中 的系数。
二项式定理的推广与应用:多项式定理
在二项式定理的基础上,我们可以进一步推广并建立多项式定理。多项式定理适用于(x+y+z)^n的展开, 同样具有广泛的应用于组合数学等领域。
利用二项式定理求逆元
在计算机科学中,在模m下,a的逆元定义为b等于a乘以b模m余1。利用二项 式定理,可以推导出求逆元的通用公式。
投掷硬币问题与二项式定理
二项式定理可应用于投掷硬币的问题。例如,考虑抛掷硬币n次,期望得到k个正面的概率,可以使用二 项式系数计算。
概率的加法公式与事件的独立性
![概率的加法公式与事件的独立性](https://img.taocdn.com/s3/m/3c4a426baf1ffc4ffe47ac76.png)
A1 + A2 + L + An
n
∑A 或
n
i
U Ai
n =1
例如,掷两枚匀称的硬币,设A=“正好一 个正面朝上”,B=“两个都是正面朝上”, C=“至少一个正面朝上”,则 C=A+B 又如,向一目标连续射击30次,设 30 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标” 则
例如,掷两枚匀称的硬币,A=“两枚都是 正面朝上”,B=“两枚都是反面朝上”, 则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正 面朝上”,则A,B,C互不相容。
事件的互不相容性相当于集合的互不相 交性。
概率的可加性: 若事件A与B互不相容,则 P(A+B)=P(A)+P(B)
直观上,概率的可加性可由概率的统计 定义推得。
例7 从10件产品(7件正品,3件次品)中 每次取一件,有放回地取两次。设B=“第一 次取到正品”,A=“第二次取到正品”。问: P(A|B)=P(A)成立吗?
当P(A|B)=P(A)时,表明事件B的发生并不 影响事件A发生的概率。 而当P(B|A)=P(B)成立时,表明事件A的发 生并不影响事件B发生的概率。 这就是事件A与B的所谓独立性。
古典概型中的条件概率计算公式:
在B发生的前提下 A包含的基本事件数 P( A | B) = 在B发生的前提下基本事件 总数
AB包含的基本事件数 = B包含的基本事件数
例4 盒中装有16个球,其中6个玻璃球, 另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红 色的,4个是蓝色的;木质球中有3个是红 色的,7个是蓝色的。现从中任取一个。已 知取到的是蓝色球,求取到的是玻璃球的 概率。
由条件概率计算公式不难知, P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 这三个等式是相互等价的。 于是我们引入 定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称 事件A与B相互独立(简称独立)。
二项式定理
![二项式定理](https://img.taocdn.com/s3/m/eded460f182e453610661ed9ad51f01dc28157a6.png)
二项式定理
二项式定理又被称作伯努利公式,它是探究连续抛硬币的实验中事件发生概率的数学描述。
伯努利二项式定理告诉我们在n次独立实验中,每次实验出现成功的概率是p,失败的概率是q=1-p时,x次成功、y次失败的概率的公式为:
P(x,y)=C (x+y) p*x *q*y
其中,x和y的取值依据n,不超过n,当x = 0 时,y不能超过n,当y=0时,x也不能超过n。
二项式定理是统计学中重要的一个定理,在很多研究中经常会用到。
它可以说明很多现象,甚至是极端事件。
比如,股票市场的大幅波动,有可能是一次大的事件,这种概率通常由二项式分布函数来进行描述。
另外,二项式定理还可以用来解释如何解决使用连续估计量进行统计检验的问题。
假设有一个概率实验,它由一系列n次独立实验组成,要预言每次实验结果,可以尝试利用二项式定理。
比如,在一系列独立实验中,出现成功概率和失败概率为p和q,要求给定n次实验中,出现x次失败概率,可以用二项式公式求出。
二项式定理的灵活运用,被广泛应用在不同的研究领域中。
因此,二项式定理是概率论中基本且重要的定理,它的分析有助于更好的理解独立实验的结果,以及大量实验中各种可能情况的发生概率。
此外,二项式定理也广泛被应用在保险、金融、微观经济学中,为研究及其评估等活动提供了有力的支持。
高中二项式定理公式(二)
![高中二项式定理公式(二)](https://img.taocdn.com/s3/m/5451a7e3ac51f01dc281e53a580216fc700a5320.png)
高中二项式定理公式(二)高中二项式定理公式1. 二项式定理公式二项式定理公式是数学中常用的公式之一,其形式如下: (a +b )n=(n 0)a n b 0+(n 1)a n−1b 1+(n 2)a n−2b 2+⋯+(n n −1)a 1b n−1+(n n)a 0b n 其中,a 和b 为任意实数,n 为非负整数,(n k)表示从n 个不同元素中取出k 个元素的组合数。
2. 二项式系数的计算公式二项式系数计算公式用于计算二项式定理中的组合数(n k ),其计算公式如下:(n k )=n!k!(n −k )!其中,n!表示n 的阶乘,即n!=n ×(n −1)×…×2×1。
3. 二项式定理的应用二项式定理在数学中具有广泛的应用,以下是其中几个常见的应用场景及相关公式示例:二项式定理的展开通过使用二项式定理公式,我们可以将一个二项式高次幂展开成多个单项式的和。
例如,展开(x+y)3:(x+y)3=(3)x3y0+(31)x2y1+(32)x1y2+(33)x0y3简化后可得:(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3二项式系数的性质二项式系数具有一些重要的性质,例如:•(nk )=(nn−k),即组合数的对称性质。
•(nk )=(n−1k)+(n−1k−1),即组合数的递推性质。
这些性质在计算中经常用到,能够简化计算过程。
二项式定理的应用举例(1)计算(2x+3y)4的展开式。
根据二项式定理公式,展开式可以表示为:(2x+3y)4=(4)(2x)4(3y)0+(41)(2x)3(3y)1+(42)(2x)2(3y)2+(43)(2x)1(3y)3+(44)(2x)0(3y)4化简后可得:(2x+3y)4=16x4+96x3y+216x2y2+216xy3+81y4(2)计算(62)的值。
根据二项式系数的计算公式,可以得到:(62)=6!2!(6−2)!=6×52×1=15因此,(62)的值为15。
概率加减法乘法公式
![概率加减法乘法公式](https://img.taocdn.com/s3/m/ed646a7ab207e87101f69e3143323968011cf4d4.png)
概率加减法乘法公式概率是概率论中的一个基本概念,用于描述某个事件发生的可能性大小。
概率加减法乘法公式是概率论中常用的计算方法,用于求解多个事件的概率。
一、概率加法公式概率加法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
设A、B为两个事件,P(A)表示事件A发生的概率,P(B)表示事件B发生的概率,P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率,则概率加法公式可以表示为:P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中,P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
这个公式的含义是,两个事件同时发生的概率等于两个事件各自发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
二、概率减法公式概率减法公式用于计算一个事件不发生的概率。
设A为一个事件,P(A)表示事件A发生的概率,P(A')表示事件A不发生的概率,则概率减法公式可以表示为:P(A') = 1 - P(A)其中,1表示必然发生的概率。
这个公式的含义是,一个事件不发生的概率等于必然发生的概率减去事件发生的概率。
三、概率乘法公式概率乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
设A、B为两个事件,P(A)表示事件A发生的概率,P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率,则概率乘法公式可以表示为:P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中,P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
这个公式的含义是,两个事件同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
在实际应用中,概率加减法乘法公式可以帮助我们计算各种复杂事件的概率。
通过对事件的分解和组合,可以灵活运用这些公式来求解问题。
总结:概率加减法乘法公式是概率论中常用的计算方法,用于求解多个事件的概率。
概率加法公式用于计算两个事件同时发生的概率,概率减法公式用于计算一个事件不发生的概率,概率乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
在实际应用中,我们可以根据具体的问题,灵活运用这些公式来求解概率问题。
二项式定理知识点总结
![二项式定理知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/1107b85aa66e58fafab069dc5022aaea988f4112.png)
二项式定理知识点总结一、二项式的定义:二项式是指两个数的和或差,可以用如下形式表示:(a+b)^n或(a-b)^n其中,a和b是常数,n是正整数,n称为指数。
二、二项式的展开:1.二项式定理(加法形式):(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-2)a^2b^(n-2)+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中,C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数,也称为二项系数。
2.二项式定理(减法形式):(a-b)^n=C(n,0)a^nb^0-C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2-...+(-1)^(n-2)C(n,n-2)a^2b^(n-2)-(-1)^(n-1)C(n,n-1)a^1b^(n-1)+(-1)^nC(n,n)a^0b^n注意,在减法形式的展开中,减号和负号交替出现。
三、二项式的性质:1.二项式展开的项数为n+1个;2.二项式展开的项之和为2^n;3.二项式展开式中各项的指数和为n;4.二项式展开式中各项的系数为C(n,k)。
四、二项式系数的计算:使用组合数的性质可以计算二项系数:C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中,!表示阶乘。
五、二项式定理的应用:另外,二项式展开还可以用于解决数学中的各种问题,如排列组合、概率论、代数等等。
在组合数学中,二项式系数有很多应用,例如计算排列数、二项式系数的性质等。
六、帕斯卡三角形与二项式系数:帕斯卡三角形是由二项式系数构成的一种数列,其性质如下:1.三角形的第n行有n+1个数;2.三角形的边界数都是1;3.三角形的每个数等于它上方两个数之和;4.三角形的第n行第k个数等于C(n,k)。
通过帕斯卡三角形可以方便地计算二项系数,也可以获得二项式展开的各项系数。
综上所述,二项式定理是数学中的重要概念,它描述了二项式的展开形式,可以方便地计算逐项系数和整个展开式。
二项式定理公式高中
![二项式定理公式高中](https://img.taocdn.com/s3/m/70f1371832687e21af45b307e87101f69f31fb4f.png)
二项式定理公式高中好嘞,以下是为您生成的关于“二项式定理公式高中”的文章:在高中数学的学习中,二项式定理公式就像是一把神奇的钥匙,能帮咱们打开好多数学难题的大门。
这玩意儿听起来好像挺高深莫测,但实际上,只要咱掌握了窍门,也能轻松应对。
咱先来说说二项式定理公式到底是啥。
它的表达式是这样的:(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n - 1)b^1 + C(n, 2)a^(n - 2)b^2 + … +C(n, r)a^(n - r)b^r + … + C(n, n)a^0 b^n 。
这一堆字母和符号看着眼晕吧?别慌,咱慢慢捋。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候,有个同学一脸迷茫地问我:“老师,这东西到底有啥用啊?”我笑了笑,跟他们说:“同学们,想象一下,咱们要开一家水果店,店里有苹果和香蕉两种水果。
现在咱们要搞促销,有 n 种组合方式,每种组合里苹果和香蕉的数量都不一样,那怎么快速算出有多少种不同的组合呢?这二项式定理公式就能派上用场啦!”就拿 (x + 1)^3 来说吧,用二项式定理公式展开就是:C(3,0)x^3×1^0 + C(3, 1)x^2×1^1 + C(3, 2)x^1×1^2 + C(3, 3)x^0×1^3 ,算出来就是 x^3 + 3x^2 + 3x + 1 。
再比如说,求 (2x - 3y)^4 的展开式。
咱们一步一步来,先算出各项的系数 C(4, 0)、C(4, 1) 、C(4, 2) 、C(4, 3) 、C(4, 4) ,然后再把对应的项组合起来,经过一番计算,就能得到 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4 。
在做练习题的时候,不少同学容易在系数的计算上出错。
这可得小心,一个不留神,答案就跑偏啦。
还有啊,展开式中各项的指数也要搞清楚,别张冠李戴。
2019-2020人教B版数学必修3 第3章 3.1.4 概率的加法公式课件PPT
![2019-2020人教B版数学必修3 第3章 3.1.4 概率的加法公式课件PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/68d7071a915f804d2b16c14d.png)
A∪B
对立 两个事件叫做互为对立事件,事件 A 的对立事件
事件 记作__是对立事件,那么它们是互斥事件吗? [提示] 是.
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2.互斥事件的概率加法公式 (1)若 A,B 是互斥事件,则 P(A∪B)= P(A)+P(B). (2)若 A 是 A 的对立事件,则 P( A )= 1-P(A) . (3) 若 A1 , A2 , … , An 两 两 互 斥 , 则 P(A1∪A2∪…∪An) = _P__(A_1_)_+__P_(_A_2_)_+__…__+__P_(_A_n_)_.
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4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 0.2,两人下成和棋的概率 为 0.4,则甲不输的概率是________.
0.6 [若设甲获胜为事件 A,两人下成和棋为事件 B,则甲不输 为 A∪B,因为 A、B 为互斥事件,故 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.4 =0.6.]
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合作探究 提素养
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互斥事件和对立事件的判定方法,1利用基本概念,要判断两个事 件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之 间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生, 可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含 义,明晰它们对事件结果的影响.
2利用集合观点,设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别为 A, B.,①若事件 A 与 B 互斥,则集合 A∩B=∅;,②若事件 A 与 B 对立, 则集合 A∩B=∅且 A∪B=Ω.
[提示] 事件 A、B 的基本事件中没有重复的.(没有交集) 3.在一次试验中,对立的两个事件会都不发生吗?它们的和事 件是什么事件? [提示] 在一次试验中,事件 A 与它的对立事件只能发生其一, 且必然发生其一,不能两个都不发生.其和事件是必然事件.
二项式定理课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
![二项式定理课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册](https://img.taocdn.com/s3/m/daf1ab7959fb770bf78a6529647d27284a73374d.png)
小五结、:小结
1. 二项式定理:
(a
b)n
C n0a n
Cn1an1b Cn2a n2b2
C
k n
a
n
k
b
k
Cnnbn .
n
N* .
2. 通项公式:
Tk1 Cnk ank bk .
3. 二项式系数:
C
0 n
,C
1 n
,C
2 n
,
,Cnk
,
,Cnn
.
三、二项式定理
(a
b)n
C n0a n
Cn1an1b Cn2a n2b2
C
k n
a
n
k
b
k
Cnnbn .
n N* .
定理的特征:
1.
系数规律:Cn0
,Cn1
,Cn2
,
,C
n n
.
2. 指数规律:(1)各项的次数均为n; (2)各项里a的指数由n降到0,b的指数由0升到n.
3. 项数规律:两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 .
4. 通项公式: Tk1 Cnkankbk . (k 0,1,2, ,n)
二项展开式中的指数、项数、系数的变化,是二项式定理的核心, 它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广 泛应用 .
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnkankbk Cnnbn . n N* .
D.3
解析 二项式mx-x126的展开式的通项为 Tr+1=Cr6(mx)6-rx-2r·(-1)r =Cr6m6-rx6-3r·(-1)r,0≤r≤6,且 r∈N. 令 6-3r=0,得 r=2, 所以 C26m6-2(-1)2=60, 即 15m4=60.
高中二项式定理公式
![高中二项式定理公式](https://img.taocdn.com/s3/m/590763ff2dc58bd63186bceb19e8b8f67c1ceff8.png)
高中二项式定理公式
在高中数学中,二项式定理是一个重要的公式,它描述了对两个数进行幂次运
算所得到的结果。
二项式定理公式如下:
(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2
+ ... + C(n, n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n
其中,a、b为实数,n为非负整数。
C(n, k)代表组合数,表示从n个元素中取
k个元素的排列组合方式的数量。
二项式定理公式的重要性在于它可以扩展幂次运算的结果,并给出了每一项的
系数。
这个公式可以通过二项展开的方法来推导得到。
在应用中,二项式定理公式常用于二元多项式的展开与求值,特别是在概率论、组合数学和统计学等领域中有广泛的应用。
它提供了一种便捷的求解幂次运算结果的方法。
在高中数学学习中,二项式定理公式是一个重要的概念,学生需要掌握其推导
方法和应用技巧。
通过理解和熟练运用二项式定理公式,学生可以更好地解决涉及幂次运算的问题,并且为后续数学学习奠定坚实的基础。
总之,高中二项式定理公式是一项重要的数学概念,它在计算幂次运算的结果
和解决相关问题中起到了关键作用。
通过深入理解和掌握这个公式,学生能够更好地应用数学知识解决实际问题。
高中概率所有公式
![高中概率所有公式](https://img.taocdn.com/s3/m/1e9aaaa118e8b8f67c1cfad6195f312b3169eb37.png)
高中概率所有公式全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:高中概率是数学的一个重要分支,它研究的是随机现象发生的规律。
在高中数学课程中,概率理论是必不可少的一部分,学生需要掌握各种计算概率的公式。
本文将为大家总结整理高中概率所有的公式,希望能够帮助大家更好地理解和应用概率知识。
我们来学习一下概率的基本概念。
概率是描述随机事件发生可能性大小的一种数值,通常用P(A)来表示。
P(A)为事件A发生的概率。
在概率计算中,有一些基本的概率公式,接下来我们将逐一介绍。
1. 加法公式加法公式是指当两个事件不相容时,它们的概率之和等于这两个事件发生的概率之和。
P(A或B) = P(A) + P(B)5. 全概率公式全概率公式是指当事件A可以由若干互斥事件B1、B2、B3...组成时,事件A的概率可以表示为各事件Bi发生的概率与相应条件下事件A发生的概率之积的和。
P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + P(A|B3) × P(B3) + ...6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是一种先验概率与后验概率之间的关系,它可以用于在已知某一情况下,推断另一情况的概率。
P(Bi|A) = P(A|Bi) × P(Bi) / P(A)以上就是高中概率所有的公式,通过掌握这些公式,我们可以更加灵活地运用概率知识解决各种问题。
希望本文的内容对大家有所帮助,祝大家学习进步!第二篇示例:概率是数学中一个重要的分支,它研究的是随机事件的可能性和规律性。
在高中数学中,概率是一个重要的内容,学生需要掌握一定的概率知识。
在高中概率的学习中,我们需要掌握一些基本的概率公式,这些公式可以帮助我们计算各种随机事件的概率。
下面我们就来介绍一些高中概率中常用的公式。
1.基本概率公式在概率的学习中,我们首先需要了解两个基本的概率公式:1)事件A发生的概率:P(A) = n(A) / n(S),其中n(A)表示事件A 发生的次数,n(S)表示样本空间S中的元素个数。
数学二项式定理知识点
![数学二项式定理知识点](https://img.taocdn.com/s3/m/96e6ef23773231126edb6f1aff00bed5b9f37305.png)
数学二项式定理知识点
二项式定理是李斯特等人发现的最实用的定理之一,主要用于描述一些具有概率性质的问题,它根据事件A、B分别发生n次和m次,它们同时发生r次的概率之间的一种关系。
事件A、B可以表示投掷一次骰子、投掷两次骰子,扔掷一次硬币、扔掷两次硬币等不确定的事件。
二项式定理可以说明:事件A、B发生r次的概率可以表示为:
其中nCr表示从n个无序的不同元素中任取r个元素,并且按顺序排列起来所组成组合的个数。
特别的,当n=1时,二项式定理可以用下式表示:pA+pB=1,其中pA、pB分别代表对应事件发生的概率。
例如,投掷一次硬币的事件A和B分别是“正面”和“反面”发生的概率,则pA+pB=1,其中pA=pB=0.5。
二项式定理是概率统计中的重要定理,它的特点是可以解决一次(或多次)不确定事件发生次数的问题,即多次试验的随机变量(如抛硬币)。
在实际应用中,它也可以用来处理一次事件内容有n种可能情况,其中r种发生情况出现的概率,以及多个事件发生概率的关系等问题。
二项式定理可以也可以用来解决医学、金融等实际问题,例如药物副作用、金融期权等。
在医学上,它可用来表示某种药物给患者发作的概率reg=pA*pB*...,这就是某种长期服用的药物发作的情况;在金融上,它可以用来研究一定期限内可以购买某种期权的概率,即根据资本金额,在期限内获利的概率,即reg=pA*pB*...,可以表示投资者在某段期间获取获利的概率。
高二数学下学期二项式定理概率的加法公式事件的独立性校本作业理试题
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二项式定理(一)1、化简(x -1)4+4(x -1)3+6(x -1)2+4(x -1)+1得( ) A .x 4B .(x -1)4C .(x +1)4D .x 52、在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为( ) A .30 B .20 C .15 D .103、假设C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n能被7整除,那么x ,n 的值可能为( ) A .x =5,n =5 B .x =5,n =4 C .x =4,n =4 D .x =4,n =3 4、假设(1+2)5=a +b 2(a ,b 为有理数),那么a +b 等于( ) A .45 B .55 C .70 D .805、假设x >0,设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 5的展开式中的第三项为M ,第四项为N ,那么M +N 的最小值为________.6、(1+x +x 2)(x -1x)6的展开式中的常数项为______.7、假设(1+2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,那么x 的取值范围是________. 8、求230-3除以7的余数.9、假设n xx )214⋅+(的展开式中前三项系数成等差数列,求:(1)展开式中含x 的一次幂的项;(2)展开式中所有x 的有理项.二项式定理(二) 班级__________学生__________ 1、在(1+x )2n(n ∈N *)的展开式中,二项 式系数最大的项是第〔 〕项. A .n-1 B .n C .n+1 D .n+2 2、在(x -1x)10的展开式中,系数最大的项是第______项.A .5B .6C .7D .5或者7 3、n ∈N *,那么1+3C 1n +32C 2n +…+3n C nn =______. A .4nB .2nC .14n + D .12n +4、在(x +y )n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,那么展开式中系数最大的项是 第________项.5、(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n,假设a 1+a 2+a 3+…+a n -1=29-n ,那么n =________. 6、在(x -y )11的展开式中,求(1)通项T r +1; (2)二项式系数最大的项; (3)项的系数绝对值最大的项;(4)项的系数最大的项; (5)项的系数最小的项; (6)二项式系数的和;(7)各项系数的和.7、(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.概率的加法公式1、给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率;⑤事件A 与B 互斥,那么有P〔A〕=1-P〔B〕。
高中数学概率公式定理整理归纳
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高中数学概率公式定理整理归纳高中数学一直是理科生眼中比较难的一门学科,其实高中数学有许多易混淆知识。
下面是小编为大家整理的关于高中数学概率公式定理整理,希望对您有所帮助!高中数学概率公式定理一、事件1.在条件SS的必然事件.2.在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件.3.在条件SS的随机事件.二、概率和频率1.用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据.2.在相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nAnA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A 出现的频率.3.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)P(A),P(A).三、事件的关系与运算四、概率的几个基本性质1.概率的取值范围:2.必然事件的概率P(E)=3.不可能事件的概率P(F)=4.概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B).5.对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)=1,P(A)=1-P(B).概率性质与公式(1)加法公式:P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB),特别地,如果A与B 互不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B);(2)差:P(A-B)=P(A)-P(AB),特别地,如果B包含于A,则P(A-B)=P(A)-P(B);(3)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B),特别地,如果A与B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B);(4)全概率公式:P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果,贝叶斯公式:P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因;如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生,则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生,要求它是由Aj引起的概率,则用贝叶斯公式.(5)二项概率公式:Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n. 当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件:n次重复,每次只有A 与A的逆可能发生,各次试验结果相互独立)时,要考虑二项概率公式.古典概率公式P(A)=A所含样本点数/总体所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算附:由概率定义得出的几个性质:1、02、P(Ω)=1,P(φ) =0[1]概率的加法法则定理:设A、B是互不相容事件(AB=φ),则:P(A∪B)=P(A)+P(B)推论1:设A1、A2、…、An互不相容,则:P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)推论2:设A1、A2、…、An构成完备事件组,则:P(A1+A2+...+An)=1推论3: P(A)=1-P(A')推论4:若B包含A,则P(B-A)= P(B)-P(A)推论5(广义加法公式):对任意两个事件A与B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)[1]条件概率条件概率:已知事件B出现的条件下A出现的概率,称为条件概率,记作:P(A|B)条件概率计算公式:当P(A)>0,P(B|A)=P(AB)/P(A)当P(B)>0,P(A|B)=P(AB)/P(B)[1]乘法公式P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)推广:P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[1]全概率公式设:若事件A1,A2,…,An互不相容,且A1+A2+…+An=Ω,则称A1,A2,…,An构成一个完备事件组。
概率论的加法公式
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概率论的加法公式摘要:1.引言2.加法公式的定义3.加法公式的性质4.加法公式的证明5.加法公式的应用6.结论正文:1.引言概率论是研究随机现象的理论,它为我们提供了一种量化和描述不确定性的方法。
在概率论中,加法公式是一个非常重要的公式,它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。
本文将介绍概率论的加法公式,包括其定义、性质、证明以及应用。
2.加法公式的定义加法公式是指,对于任意两个事件A 和B,它们的联合概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中,P(A) 表示事件A 的概率,P(B) 表示事件B 的概率,P(A∩B) 表示事件A 和B 的交集概率。
3.加法公式的性质加法公式具有以下几个性质:(1) 完备性:对于任意事件A,有P(A)=P(A∪Φ),其中Φ表示全集。
(2) 可数性:对于任意可数个事件A1,A2,…,An,有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。
(3) 分配律:对于任意事件A、B、C,有P(A∪B∪C)=P(A∪B)+P(A∪C)+P(B∪C)。
4.加法公式的证明为了证明加法公式,我们需要引入一个重要的概念——事件的和事件。
设A 和B 是两个事件,A∪B 表示事件A 和事件B 的和事件,即包含在事件A 中或者包含在事件B 中的所有可能结果的集合。
我们可以通过以下步骤证明加法公式:(1) 证明P(A∪B)A∪B(2) 证明P(A∪B)A∩B(3) 证明P(A∩B)A∪B(4) 得出P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)5.加法公式的应用加法公式在实际应用中有很多重要作用,例如在概率论的计算、风险管理、数据分析等领域都有广泛的应用。
通过加法公式,我们可以更方便地计算多个事件同时发生的概率,从而更好地描述和分析随机现象。
6.结论概率论的加法公式是一个非常重要的公式,它可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率。
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2019-2020学年高二数学下学期 二项式定理 概率的加法公式 事件的独立性校本作业 理1、化简(x -1)4+4(x -1)3+6(x -1)2+4(x -1)+1得( ) A .x 4B .(x -1)4C .(x +1)4D .x 52、在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为( ) A .30 B .20 C .15 D .103、若C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n能被7整除,则x ,n 的值可能为( )A .x =5,n =5B .x =5,n =4C .x =4,n =4D .x =4,n =3 4、若(1+2)5=a +b 2(a ,b 为有理数),则a +b 等于( ) A .45 B .55 C .70 D .805、若x >0,设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 5的展开式中的第三项为M ,第四项为N ,则M +N 的最小值为________.6、(1+x +x 2)(x -1x)6的展开式中的常数项为______.7、若(1+2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,则x 的取值范围是________. 8、求230-3除以7的余数.9、若n xx )214⋅+(的展开式中前三项系数成等差数列,求:(1)展开式中含x 的一次幂的项; (2)展开式中所有x 的有理项.二项式定理(二) 班级__________学生__________ 1、在(1+x )2n(n ∈N *)的展开式中,二项 式系数最大的项是第( )项. A .n-1 B .n C .n+1 D .n+2 2、在(x -1x)10的展开式中,系数最大的项是第______项.A .5B .6C .7D .5或7 3、已知n ∈N *,则1+3C 1n +32C 2n +…+3n C nn =______. A .4nB .2nC .14n + D .12n +4、在(x +y )n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是 第________项.5、已知(1+x )+(1+x )2+(1+x )3+…+(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n,若a 1+a 2+a 3+…+a n -1=29-n ,则n =________. 6、在(x -y )11的展开式中,求(1)通项T r +1; (2)二项式系数最大的项; (3)项的系数绝对值最大的项;(4)项的系数最大的项; (5)项的系数最小的项; (6)二项式系数的和;(7)各项系数的和.7、已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7.求: (1)a 1+a 2+…+a 7;(2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6;(4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.概率的加法公式1、给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立; ④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率;⑤事件A 与B 互斥,则有P (A )=1-P (B )。
其中正确命题的个数为( ) A. 0 B.1 C.2 D.32、某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是( ) A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶3、某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件,恰好是正品的概率为( ) A.0.99 B.0.98 C.0.97 D.0. 964、甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中6个选择题,4个判断题,甲、乙二人依次各抽一题,则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是( ) A .1513 B.152 C.158D.535、抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数点,事件B 为出现2点,已知P (A )=12,P (B )=16,则出现奇数点或2点的概率为_______. 6、 某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为_______.9、从一箱产品中随机抽取一件产品,设事件A 为“抽到的是一等品”,事件B 为“抽到的是 二等品”,事件C 为“抽到的是三等品”,且已知P (A )=0.7,P (B )=0.1,P (C )=0.05, 求下列事件的概率:(1)事件D 为“抽到的是一等品或三等品”;(2)事件E 为“抽到的是二等品或三等品”.条件概率 班级__________学生_______1、下列说法正确的是( )A .P (B |A )=P (AB ) B. P (B |A )=)()(A P B P 是可能的 C. 0<P (B |A )<1 D. P (A |A )=02、已知P (B |A )=21,P (AB )=83,则P (A )等于( )A.163 B.1613C.43D.41 3、4张奖券中只有1张能中奖,现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券,则最后一名同学抽到中奖券的概率是( ) A .1 B.21 C.31D.414、甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的纪录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则甲市为雨天,乙市也为雨天的概率为( ) A .0.6B .0.7C .0.8D .0.665、抛掷一枚骰子,观察出现的点数,若已知出现的点数不超过3,则出现的点数是奇数的概率为_____________ 。
6、袋中有5个小球(3白2黑),现从袋中每次取一个球,不放回地抽取两次,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是____________.7、假定生男、生女是等可能的,一个家庭中有2个小孩,已知这个家庭有1个女孩,则这时另一个小孩是男孩的概率是___________.8、有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,求这粒种子能成长为幼苗的概率___________。
9、现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.事件的独立性(一) 班级__________学生_______1、若事件A ,B 相互独立,则( )A .P (A )+P (B )=1 B.P (A+B )=P (A )+P (B ) C.P (AB )=P (A )P (B ) D.)()()(B P A P B A P +=+2、有一批书共100本,其中文科书40本,理科书60本,分为精装、平装两种,精装书70本,“某人从这100本书中任取一书,恰是文科书,放回后再任取1本,恰是精装书”这一事件的概率是( ) A.257 B. 2518 C. 507 D. 2593、甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是1p ,乙解决这个问题的概率是2p ,那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A .21p p B.)1()1(1221p p p p -+- C.21-1p p D.)1)(1(-121p p -- 4、加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为( ) A.368 B.369 C. 370 D.1705、甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为_________.(答案用分数表示)6、 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次,至少出现一次6点朝上的概率是_________。
7、甲袋中有8个白球,2个红球;乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中任取一个球,则取得同色球的概率_______________.8、某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为54,乙当选的概率为53,丙当选的概率为107.(1)求恰有一名同学当选的概率;(2)求至多有两名同学当选的概率.事件的独立性(二) 班级__________学生_______ 一、选择题1、已知A ,B 是两个相互独立事件,P (A ),P (B )分别表示它们发生的概率,则:1P (A )P (B )是下列哪个事件的概率( )A .事件A ,B 同时发生 B.事件A ,B 至少有一个发生 C.事件A ,B 至多有一个发生 D.事件A ,B 都不发生2、甲、乙、丙3人射击命中目标的概率分别为1214121,,。
现3人互不影响的情况下同时射击一个目标,目标被击中的概率为( ) A.961 B.3221 C.9647 D.65 3、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A ,“骰子向上的点数是3”为事件B ,则事件A ,B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.34 4、一个电路如图所示,A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关,其闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( ).A.164B.5564C.18D.116 二、填空题5、某一批花生种子,如果每一粒发芽的概率为45,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是____________6、某气象站预报天气的准确率是0.8,在两次预报中恰有一次准确的概率是________。
三、解答题7、三支球队中,甲队胜乙队的概率为0.4,乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6,比赛顺序是:第一局是甲队对乙队,第二局是第一局的胜者对丙队,第三局是第二局胜者对第一局的败者,第四局是第三局胜者对第二局败者,求:乙队连胜四局的概率。
8、三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分别为51,41 ,31,且他们是否破译出密码互不影响,设“密码被破译”的概率为,“密码未被破译”的概率为, 试比较,的大小关系。
9、甲、乙两人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果是相互独立的.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.参考答案二项式定理(一)1.A2.C3.B4.C5.5226.-57.}51121<<x x {8.解:230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3=C 010710+C 11079+…+C 9107+C 1010-3=7(C 01079+C 11078+…+C 910)-2=7(C 01079+C 11078+…+C 910)-7+5.∴余数为5.9.解:由已知条件得:C 0n +C 2n ·122=2C 1n ·12,解得n =8或n =1(舍去).(1)r rr rrrr xC xx C T 434848812)21()(---+⋅⋅=⋅=,令4-34r =1,得r =4,∴含x 的一次幂的项为T 4+1=C 48·2-4·x =358x .(2)令4-34r ∈Z(r ≤8),则只有当r =0,4,8时,对应的项才是有理项,有理项分别为:T 1=x 4,T 5=358x ,T 9=1256x2. 二项式定理(二)1.C 2.D 3.A 4.6 5.4 6.解:(1)T r +1=(-1)r C r11x11-r y r.(2)二项式系数最大的项为中间两项:T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项:T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(4)因为中间两项系数的绝对值相等,一正一负,第7项为正,故T 7=C 611x 5y 6. (5)项的系数最小的项为T 6=-C 511x 6y 5.(6)二项式系数的和为C 011+C 111+C 211+…+C 1111=211. (7)各项系数的和为(1-1)11=0.7.解:令x =1,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1.① 令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37.② (1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2.(2)(①-②)÷2,得a 1+a 3+a 5+a 7=-1-372=-1 094.(3)(①+②)÷2,得a 0+a 2+a 4+a 6=-1+372=1 093.(4)∵(1-2x )7展开式中,a 0、a 2、a 4、a 6都大于零,而a 1、a 3、a 5、a 7都小于零, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7), ∴由(2)、(3)即可得其值为2 187. 概率的加法公式1.C ,2.C ,3.D ,4.A ;5.23; 6.0.40 ;7.解:(1)事件A 为“抽到的是一等品”与事件C 为“抽到的是三等品”是互斥事件,由概率加法公式得:P (D )=P (A )+P (C )=0.7+0.05=0.75.(2事件B 为“抽到的是二等品”与事件C 为“抽到的是三等品”是互斥事件,由概率加法公式得:P (E )=P (B )+P (C )=0.1+0.05=0.15. 条件概率1.B ,2.C ,3.C ,4.A ;5.32;6.12;7.32;8. 0.72.9.解:设第1次抽到舞蹈节目为事件A ,第2次抽到舞蹈节目为事件B , 则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的事件数为30)(26==ΩA n根据分步计数原理有20)(1514=⋅=A A A n ,于是323020)()()(==Ω=n A n A P (2)因为12)(24==A AB n ,于是523012)()()(==Ω=n AB n AB P (3)方法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P (B |A )533252)()(===A P AB P方法二:因为n (AB )=12,n (A )=20,所以P (B |A )532012)()(===A n AB n 事件的独立性(一)1.C ,2.A ,3.B ,4.C ;5.91; 6.3611; 7.解:从甲袋中取白球为事件A ,则54108)(==A P , 从乙袋中取白球为事件B ,则21126)(==B P ,取得同色球为B A AB +, 2121512154)()()()()()()(=⨯+⨯=+=+=+B P A P B P A P B A P AB P B A AB P8.解:设甲、乙、丙当选的事件分别为A 、B 、C,则有.107)(,53)(,54)(===C P B P A P (1)因为事件A 、B 、C 相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为)()()(C B A P C B A P C B A P ++)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=25047107525110353511035254=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (2)至多有两名同学当选的概率为1258310753541)()()(1)(1=⨯⨯-=-=-C P B P A P ABC P 事件的独立性(二)1.C ,2.B ,3.C ,4.B ;5.48125; 6.0.32; 7解: 设乙队连胜四局为事件A ,有下列情况:第一局中乙胜甲(A 1),其概率为1-0.4=0.6;第二局中乙胜丙(A 2),其概率为0.5;第三局中乙胜甲(A 3),其概率为0.6;第四局中乙胜丙(A 4),其概率为0.50,因各局比赛中的事件相互独立,故乙队连胜四局的概率为:P(A)=P(A 1A 2A 3A 4)=0.62×0.52=0.09.8.解:记“第i 个人破译出密码”为事件i A (i =1,2,3), 依题意有31)(,41)(,51)(321===A P A P A P ,且321,,A A A 相互独立. 设“密码被破译”为事件B ,“密码未被破译”为事件C ,则321A A A C ⋅⋅=,且321,,A A A 相互独立,故52324354)()()()(3212=⨯⨯=⋅⋅==A P A P A P C P P , 而53)(1)(1=-==C P B P P ,故21P P >. 9.解:记A i 表示事件:第i 局甲获胜,i =3,4,5,B j 表示事件:第j 局乙获胜,j =3,4.(1)记A 表示事件:再赛2局结束比赛.则A =A 3A 4+B 3B 4.由于各局比赛结果是相互独立的, P (A )=P (A 3A 4+B 3B 4)=P (A 3A 4)+P (B 3B 4)=P (A 3)P (A 4)+P (B 3)P (B 4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.(2)记B 表示事件:甲获得这次比赛的胜利.因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B =A 3A 4+B 3A 4A 5+A 3B 4A 5, 由于各局比赛结果是相互独立的,故P (B )=P (A 3A 4)+P (B 3A 4A 5)+P (A 3B 4A 5)=P (A 3)P (A 4)+P (B 3)P (A 4)P (A 5)+P (A 3)P (B 4)P (A 5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.。