信号与系统3_1

N=5 N=11
N=7
N=21
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
6
•振荡逐渐衰减，振荡的幅度与不连续点的跳变 振荡逐渐衰减， 振荡逐渐衰减 跳变值的9%。 大小有关，最大幅度约为跳变值的 大小有关，最大幅度约为跳变值的 。这个现 象称为吉布斯振荡或吉布斯现象。 吉布斯振荡或吉布斯现象 象称为吉布斯振荡或吉布斯现象。 •随着级数的项数增加，吉布斯振荡的频率增加， 随着级数的项数增加， 随着级数的项数增加 吉布斯振荡的频率增加， 幅度不会减小。 但最大幅度不会减小 但最大幅度不会减小。
∞
•
•
频谱是离散的，谱线间隔ω1， T1 ↑ → ω1 ↓，谱 线加密 各频率分量的幅度大小 正比于脉幅E和脉宽τ， ， 反比于周期 1 反比于周期T 周期
0 .1 2 |C n | 0 .1 0 .0 8
ω1
=2π/T1
0 .0 6
0 .0 4
Biblioteka Baidu
0 .0 2
0
-0 .0 2
0
2
4
2π/τ
6
8
1 0
1 2
哈尔滨工业大学（威海）
29
1 .2
f( t ) 1
E
0 .8
脉冲宽度τ 脉冲宽度 重复周期T 重复周期 1
0 .6
0 .4
0 .2
τ
-8 -6 -4 -2
0
傅立叶级数展开
f (t) = E[u(t + ) −u(t − )] 2 2
τ
τ
-0 . 2 -1 0
T1
0
2
4
6
8
1 0
直流分量
a0 1 τ / 2 = ∫ Edt = 2 T1 −τ / 2 T 1
1
2
3
4
5
6
7
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海） 2
8
奇对称方波
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 - 0 . 2 - 0 . 4 - 0 . 6 - 0 . 8 - 1 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
f (t) =
∞
Eτω1 nω1τ 1 τ / 2 − jnω1t Eτ nπ τ cn = ∫ Ee dt = Sa( )= Sa( ) −τ / 2 T T T 2π 2 1 1 1
n=−∞
∑cne
jnω1t
Eτ ∞ nπ jnω1t τ = ∑ Sa( T )e T n=−∞ 1 1
给定τ 给定τ、T1(或ω1)、E 或 、 可直接求出直流分量、基波、 可直接求出直流分量、基波、各次谐波分量的幅度
2π/τ
6
8
10
4π/τ
12
14
16
6π/τ
18
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哈尔滨工业大学（威海）
35
• 能量 无数条谱线 主要能量集中在第一零点(双边:正负第一零点)之内
0.12 |Cn|
• 矩形信号频带宽度 B=2π/τ， 能量集中在0~2π/τ内
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
0
2
4
-3
-2
-1
0
1
有
-2 -1 0 t 1 2 3
有
有
0.5
f(t)
0
-0 . 5
-1
-3
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
24
3.1 周期信号的频谱
f (t )
t
(a)1/4周期
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
25
3.1 周期信号的频谱
f (t ) f (t ) f (t )
t
t
t
0.12 |C n| 0.1 3.5 pi 4 0.08
单边幅度谱
3 2.5 2 1.5 1
单边相位谱
0.06
0.04
0.02 0.5 0 0 -0 .5
-0.02
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.12 Cn 0.1
0.08
单边频谱
0 . 1 2 F n 0 . 1 0 . 0 8 0 . 0 6 0 . 0 4
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哈尔滨工业大学（威海） 31
Eτω1 ∞ nω1τ jnω1t = ∑ Sa( 2 )e 2π n=−∞
a0 c 0 = A0 = 2 c n = (a n − jb n )/ 2
矩形脉冲的级数分解
1
2
3
4
5
6
7
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哈尔滨工业大学（威海） 32
8
周期矩形函数的频谱图
2E
π
1 f3 (t) = [cos( 1t) + cos(3ω1t + π )] ω π 3 2E 1 1 f5 (t) = [cos( 1t) + cos(3ω1t + π ) + cos(5ω1t)] ω π 3 5
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哈尔滨工业大学（威海） 1
2E
1 1 f (t) = [cos( 1t) + cos(3ω1t + π ) + cos(5ω1t) +L ω ] π 3 5 2E
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海） 15
3.1 周期信号的频谱
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
16
3.1 周期信号的频谱
a0 ≠ 0 an ≠ 0 bn = 0
a0 = 0
f (t)
t
T1
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哈尔滨工业大学（威海）
17
3.1 周期信号的频谱
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
函数 波形举例 偶 函数 奇 函数 奇谐 函数
1.2 f( t ) 1 E
直流 余弦 正弦 偶次项 奇次项 分量
0.8
有
T/2 t 1 2 3
有
有
有
0.6
0.4
0.2
0
-T/2
-0 . 2
-3
-2
-1
0
f(t ) 1 E /2
0.5
有
T/2 t 1 2 3
有
有
0
-T / 2
-0 . 5
-1
-E / 2
6
8
10
12
14
16
18
通信系统为了减小带宽,允许失真 通信系统为了减小带宽 允许失真 B=2π/τ
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哈尔滨工业大学（威海） 36
0.6
0.4
0.2
0
-T/2
T/2
t
-0 . 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t ) 1 E /2
0.5
0
-T / 2
T/2
t
-0 . 5
-1
-E / 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
0.5
f(t)
0
-0 . 5
-1
-3
-2
-1
0 t
1
2
3
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
23
函数的对称性与傅立叶系数的关系
9%
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
7
3.1 周期信号的频谱
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
8
3.1 周期信号的频谱
f (t)
t
T 1
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哈尔滨工业大学（威海） 9
傅立叶级数
a0 f (t) = + 2
∑[an cos(nω1t) + bn sin(nω1t)]
n=1
脉冲宽度τ 脉冲宽度 重复周期T1 重复周期
单极性 双极性
d=
占空比
τ
T 1
周期矩形脉冲 • 对称脉冲 • 移位 周期方波 占空比=0.5 占空比 • 偶对称 • 奇对称
2011-7-16
1 0 0 0 0 . 8 . 6 . 4 . 2 0 - 0 - 0 - 0 - 0 . 2 . 4 . 6 . 8 - 1 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0
3.1 周期信号的频谱
f (t)
t
−T1 / 2 T1 / 2
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哈尔滨工业大学（威海）
21
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
22
函数的对称性与傅立叶系数的关系
函数 波形举例 偶 函数 奇 函数 奇谐 函数
1.2 f( t ) 1 E
直流 余弦 正弦 偶次项 奇次项 分量
0.8
f (t )
t
t
(e)奇函数偶次谐波(4)
f (t )
(f)奇函数奇偶次谐波(6)
f (t )
t
t
(g)奇函数奇次谐波(5)
(h)奇函数奇偶次谐波(6)
27
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
3.2 典型周期信号的频谱
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哈尔滨工业大学（威海）
28
3.2 典型周期信号的频谱
一、周期矩形脉冲 极性
双边幅度谱
arg( n) c
ϕn
ω
0 0
ω
单边相位谱
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
双边相位谱
12
3.1 周期信号的频谱
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
13
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
14
3.1 周期信号的频谱
• 周期函数的对称性与傅立叶级数的关系 整周期对称：决定傅立叶级数的正、 整周期对称：决定傅立叶级数的正、余弦项 偶函数： 偶函数：f (t) = f (-t) 奇函数： 奇函数：f (t) = -f (-t) 半周期对称：决定傅立叶级数的奇、 半周期对称：决定傅立叶级数的奇、偶次项 奇谐函数： 奇谐函数：f (t) = -f (t ± T1/2)
1 4
1 6
1 8
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
34
•
各谱线幅度按Sa(ωτ/2)包络线的规律变化 当ω=2mπ/τ时，包络线经过零点 当ω≈(2m+1)π/τ时，包络线经过极值点
0 .1 2 |C n | 0 .1
0 .0 8
0 .0 6
0 .0 4
0 .0 2
0
-0 . 0 2
0
2
4
∞
A0 f (t) = + 2
f (t) =
∞
∑An cos(nω1t +ϕn )
n=1
∞
n=−∞
cne− jnω1t ∑
是否都可以 画频谱？ 画频谱？
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
10
3.1 周期信号的频谱
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
11
An
| cn |
ω
0 0
ω
单边幅度谱
18
3.1 周期信号的频谱
bn ≠ 0 a0 = 0 a = 0 n
f (t)
t
T1
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哈尔滨工业大学（威海） 19
3.1 周期信号的频谱
f (t )
t
−T1 / 2 T1 / 2
f (t )
f (t )
f (t )
t
t
t
ω
ω
哈尔滨工业大学（威海）
ω
20
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a0 ∞ f (t) = + ∑[an cos(nω1t) + bn cos(nω1t)] 2 n=1 Eτ
nπτ ) T1 nπτ T1
余弦分量 an = 2 ∫τ / 2 E cos(n 2π t)dt = 2E sin( nπτ ) −τ / 2
T1 T 1 nπ T 1
Sa(
2Eτ nπτ Eτω1 nω1τ = Sa( )= Sa( ) T T 2 π 1 1 正弦分量 bn = 0 a0 ∞ τ Eτ 2Eτ ∞ nπ f (t) = + ∑an cos(nω1t) = + ω ∑Sa( T1 ) cos(n30 1t) 2 n=1 哈尔滨工业大学（威海） T1 n=1 T1 2011-7-16
3
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哈尔滨工业大学（威海）
4
2011-7-16
哈尔滨工业大学（威海）
5
• 理论上周期脉冲信号是无穷项复指数之和，用有限项级数逼近 理论上周期脉冲信号是无穷项复指数之和， 将会产生误差。 时，将会产生误差。 • 项数越多近似程度越好，误差越小， 项数越多近似程度越好，误差越小， • 从频谱的角度，N项级数逼近，相当于信号的频谱宽度为 Nω1 。 从频谱的角度， 项级数逼近 项级数逼近， • 当周期矩形脉冲信号存在间断点时，无论多高频率的正弦波也 当周期矩形脉冲信号存在间断点时， 不可能完全逼近间断点的情况，会在间断点的两侧形成振荡。 不可能完全逼近间断点的情况，会在间断点的两侧形成振荡。
nπτ )= T1
sin(
a0 ∞ Eτ 2Eτ ∞ nπ τ f (t) = + ∑ancos(nω1t) = + Sa( ∑ T1 )cos(nω1t) 2 n=1 T1 T1 n=1 Eτω1 Eτω1 ∞ nω τ = + Sa( 1 ) cos(nω1t) ∑ 2 2π π n=1
指数形式
偶对称方波
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 - 0 . 2 - 0 . 4 - 0 . 6 - 0 . 8 - 1 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0
1 1 f (t) = [cos( 1t) + cos(3ω1t + π ) + cos(5ω1t) +L ω ] π 3 5 2E f1(t) = [cos( 1t)] ω
双边频谱
0.06
0.04
0.02
0
0 . 0 2
0
-0.02 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0 . 0 2 -1 5 -1 0 -5 0 5 1 0 1 5
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哈尔滨工业大学（威海）
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Eτ 2Eτ ∞ nπ τ f (t) = a0 + ∑an cos(nω t) = + ∑Sa( T ) cos(nω1t) 1 T T n=1 1 1 1 n=1
(a)1/4周期
(b)偶函数
(c)奇函数
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哈尔滨工业大学（威海）
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3.1 周期信号的频谱
f (t ) f (t )
t
− T1 / 2 T1 / 2
t
(a)偶函数偶次谐波(1)
f (t )
(b)偶函数奇偶次谐波(3)
f (t )
t
t
(c)偶函数奇次谐波(2)
f (t )
(d)偶函数奇偶次谐波(3)