6 金融数理模型
数据金融学模型
数据金融学模型
数据金融学是一门融合了金融学、计量经济学和统计学的学科，旨在利用大数据和计算方法来研究金融市场和金融交易的模式和动态。
以下是一些常见的数据金融学模型：
1.随机漫步模型：随机漫步模型将金融市场的价格变动视为随
机过程，假设价格变动在不同时间点上是独立且随机的。
该模型常用于解释价格的随机性和市场走势。
2.ARCH/GARCH模型：ARCH（自回归条件异方差模型）和
GARCH（广义自回归条件异方差模型）是用来描述金融时间序列数据中的波动性和异方差性的模型。
它们可以帮助预测金融资产价格的波动性，并进一步用于风险管理和衍生品定价等领域。
3.因子模型：因子模型是一种用于解释和预测资产收益的统计
模型。
它通过将资产收益分解为系统性因素和特殊性因素，来探究不同因素对资产收益的影响。
常见的因子模型包括
CAPM（资本资产定价模型）和Fama-French三因子模型。
4.VAR模型：VAR（向量自回归模型）是用于描述多个变量之
间相互依赖关系的模型。
在数据金融学中，VAR模型可以用于分析金融市场中多个相关资产的变动和冲击效应，从而帮助风险管理和投资组合优化。
5.机器学习模型：随着大数据和计算能力的发展，机器学习在
数据金融学中的应用越来越广泛。
例如，支持向量机
（SVM）、随机森林（Random Forest）、深度学习神经网络等机器学习算法可以用于预测股票价格、交易策略的优化和金融风险识别等方面。
金融学十大模型
金融学十大模型金融学是研究资金在时间和空间上的配置和交换的学科，它关注的是资源的配置和风险的管理。
在金融学中，有许多重要的模型被广泛应用于理论研究和实际应用。
本文将介绍金融学领域里的十大模型，并分别进行详细的解析。
1. 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是描述资本市场证券价格与其预期收益之间关系的理论模型。
它将资产的预期收益与市场风险相关联，通过风险溢酬来衡量资产的预期收益。
2. 期权定价模型（Black-Scholes模型）期权定价模型是用来计算期权价格的数学模型。
Black-Scholes模型是最为著名的期权定价模型之一，它通过考虑股票价格、期权行权价格、波动率、无风险利率等因素，来估计期权的公平价格。
3. 资本结构理论（Modigliani-Miller定理）资本结构理论是研究公司资本结构选择和公司价值之间关系的模型。
Modigliani-Miller定理指出，在没有税收和破产成本的情况下，公司的价值与其资本结构无关。
4. 有效市场假说（EMH）有效市场假说认为市场价格已经充分反映了所有可得到的信息，投资者无法通过分析市场数据获得超额收益。
EMH对于投资者的决策和资产定价具有重要的指导意义。
5. 金融工程模型（Black-Scholes-Merton模型）金融工程模型是应用数学和计量经济学方法来研究金融市场的模型。
Black-Scholes-Merton模型是其中最为著名的模型之一，它被广泛应用于期权定价、风险管理和金融衍生品的设计与定价等领域。
6. 信息传播模型（Diffusion Model）信息传播模型用于解释市场中信息的传播和价格的形成过程。
它假设市场参与者根据自身的信息和观点进行交易，通过交易行为将信息传递给其他参与者，从而影响市场价格的变动。
7. 多因素模型（Multi-Factor Model）多因素模型是用来解释资产收益率与市场因素和其他因素之间关系的模型。
它考虑了多个因素对资产收益率的影响，有助于投资者理解资产价格波动的原因。
金融数据分析的统计模型使用教程
金融数据分析的统计模型使用教程金融数据分析是对金融市场中各种数据进行统计、分析和建模的过程。
统计模型是其中一种常用的分析工具，通过建立数学模型，可以帮助金融从业者了解金融市场的特点和规律，并做出相应的决策。
在本教程中，我们将介绍金融数据分析中常见的统计模型，以及它们的使用方法。
一、线性回归模型线性回归模型是最简单也是最常用的统计模型之一。
它用于研究两个或多个变量之间的线性关系。
在金融数据分析中，线性回归模型可以用来预测股票价格、汇率波动等。
使用线性回归模型，需要收集相关的数据，包括自变量和因变量，然后通过最小二乘法来估计模型的参数。
例如，我们可以通过线性回归模型来分析股票价格与相关指数之间的关系。
首先，我们需要确定自变量（如收盘价、成交量等）和因变量（股票价格）之间的关系。
然后，通过收集历史数据，进行模型拟合，得到相关指数对股票价格的影响程度。
二、时间序列模型时间序列模型是一种用于分析时间序列数据的统计模型。
在金融数据分析中，时间序列模型被广泛应用于预测股票价格、汇率走势等。
常见的时间序列模型包括AR（自回归）模型、MA（移动平均）模型和ARMA（自回归移动平均）模型。
AR模型是用来描述时间序列数据与其自身过去观测值之间的关系。
MA模型则是用来描述时间序列数据与其过去观测误差之间的关系。
ARMA模型是将AR模型和MA模型相结合，用来描述时间序列数据与其自身过去观测值和过去观测误差之间的关系。
三、方差分析模型方差分析模型是用于比较两个或多个样本均值之间差异的统计模型。
在金融数据分析中，方差分析模型常用于比较不同投资组合之间的风险和收益差异。
例如，我们可以使用方差分析模型来比较不同股票组合的平均收益率是否存在显著差异。
首先，我们需要确定不同股票组合的收益率数据，并进行方差分析假设检验。
通过比较各组间的平均收益率和组内的方差，可以判断不同股票组合的收益率是否存在统计学上的显著差异。
四、Logistic回归模型Logistic回归模型是一种用于描述二分类或多分类问题的统计模型。
经济学思维：公司金融6个模型
经济学思维：公司金融6个模型
近期研究公司金融，
模型一：经济利润模型
很多时候，我们只计算会计上的盈亏，但很少考虑同样资金投入，我们的机会成本。
如果我们只追求资金的会计利润，其实并不是最优解，考虑机会成本之后，我们才能实现最大化经济利润。
模型二：投融资平衡模型
任何时候，避免短债长投。
当资金只能短期持有时，切勿用来投资长期项目。
很多投资并非项目本身不成功，而是资金可持有周期太短，没有等到项目成功，资金链断裂，导致投资失败。
最佳的投资是风险、时间与融资、投资相匹配。
模型三：冰山价值模型
很多时候，我们的投资决策只考虑冰山上的短期价值，常常忽略冰山下的长期价值，只有完整的评估才能做出最合理的决策。
模型四：底线思维模型
在金融的世界里，收益与风险永远是成正比的。
每一个投资，我们都要先明确投资底线，高于底线的值得投资，低于底线的坚决不碰。
模型五：净现值估算模型
贴现大于0就是底线。
同样一个项目，同样的投资本金，不考虑贴现率可能收益为正，判断值得投资。
但贴现率是客观存在的，一旦考虑贴现率，收益可能就是负，不值得投资。
模型六：代理问题模型
高管与股东利益互斥，企业高管具有挪用企业资产满足个人效用的动机，因为相比不挪用，挪用资金对自己收益更大，而挪用损失的是股东利益。
股东和债权人利益互斥，因为企业必须先还债，之后才能给股东，所以债权人会追求债前最大收益，而股东则追求债后最大收益。
最后的话，
公司金融决策考虑的维度更多，相比个人金融决策要更复杂。
个体与集体，短期与长期，风险与收益，都需要平衡。
金融学十大模型
金融学十大模型一、现金流量模型现金流量模型是金融学中最基本的模型之一。
它描述了企业或个人在一定时期内的现金流入和现金流出情况，帮助人们了解企业的经济状况和财务健康度。
现金流量模型可以帮助决策者在做出投资决策时更加明晰地了解投资项目的现金流量预测。
二、资本资产定价模型资本资产定价模型是用来确定资产的预期回报率的模型。
它基于风险和收益的关系，通过考虑市场风险和个体资产风险之间的权衡关系，计算出资产的合理价格。
资本资产定价模型可以帮助投资者评估资产的风险与收益，并做出相应的投资决策。
三、股票评估模型股票评估模型是用来确定股票的合理价格的模型。
它考虑了公司的盈利能力、成长潜力、市场需求等因素，通过对这些因素的综合分析，计算出股票的内在价值。
股票评估模型可以帮助投资者判断股票的价值是否被低估或高估，并作出相应的投资决策。
四、期权定价模型期权定价模型是用来确定期权的合理价格的模型。
它考虑了期权的行权价格、到期时间、标的资产价格、波动率等因素，通过对这些因素的综合分析，计算出期权的内在价值和时间价值。
期权定价模型可以帮助投资者评估期权的风险与收益，并做出相应的投资决策。
五、债券定价模型债券定价模型是用来确定债券的合理价格的模型。
它考虑了债券的票面利率、到期时间、市场利率等因素，通过对这些因素的综合分析，计算出债券的内在价值。
债券定价模型可以帮助投资者判断债券的价值是否被高估或低估，并作出相应的投资决策。
六、资本结构模型资本结构模型是用来确定企业资本结构的最优化模型。
它考虑了企业的债务成本、股权成本、税收政策等因素，通过对这些因素的综合分析，帮助企业找到最适合自身情况的资本结构。
资本结构模型可以帮助企业降低资金成本，提高企业价值。
七、投资组合模型投资组合模型是用来确定投资组合的最优化模型。
它考虑了投资者的风险偏好、预期收益率、资产之间的相关性等因素，通过对这些因素的综合分析，帮助投资者构建最适合自身情况的投资组合。
金融学十大模型
金融学十大模型引言：金融学作为一门研究经济资源配置和金融市场运作的学科，涉及的内容广泛而复杂。
在这个领域中，有许多重要的模型被广泛应用于金融市场的分析和预测。
本文将介绍金融学领域中的十大重要模型，帮助读者更好地理解金融市场的运作和决策过程。
1.资本资产定价模型（CAPM）CAPM是金融学中最基本、最重要的模型之一。
它描述了资产定价的原理，通过衡量资产的系统风险和市场风险，预测资产的预期回报率。
CAPM模型对于投资组合的构建和风险管理具有重要意义。
2.有效市场假说（EMH）EMH认为金融市场是高度有效的，即市场上的价格反映了所有可获得的信息。
这一模型对于投资者来说具有重要的指导意义，告诉他们不应该试图通过分析市场来获得超额收益，而应该追求市场上的均衡投资组合。
3.期权估值模型期权估值模型用于计算金融衍生品（如期权）的价格。
著名的期权估值模型包括布莱克-斯科尔斯模型和它的变体。
这些模型对于金融市场中的风险管理和投资决策非常重要。
4.资本结构理论资本结构理论研究公司资本结构的最优化问题，即确定债务和股权的比例。
这个模型帮助企业决定最佳的资本结构，以最大化股东权益和降低成本。
5.股票定价模型股票定价模型用于估计股票的公允价值，帮助投资者决定是否购买或出售股票。
常见的股票定价模型包括股票的相对估值模型和基本估值模型。
6.利率期限结构模型利率期限结构模型研究不同期限的债券收益率之间的关系。
这个模型对于利率预测和债券投资具有重要的参考价值。
7.国际资本资产定价模型（ICAPM）ICAPM是CAPM的扩展，它考虑了国际金融市场的影响。
这个模型对于跨国投资和国际资产配置具有重要的意义。
8.风险管理模型风险管理模型帮助金融机构识别、测量和管理风险。
常见的风险管理模型包括价值-at- risk 模型和条件风险模型。
9.货币供给模型货币供给模型研究货币供应对经济活动和通货膨胀的影响。
这个模型对央行制定货币政策具有重要的参考价值。
数学金融的分数次BlackScholes模型及应用
湖南师范大学博士学位论文数学金融的分数次Black-Scholes模型及应用姓名：***申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：***20041001摘要１９７３年，两位伟大的金融理论家与实务家ＦｉｓｈｃｒＢｌａｃｋ和ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ发表了他们的著名论文“期权定价与公司债务”（Ｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｏｆｏｐｔｉｏｎｓａｎｄｃｏｒｐｏｒａｔｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ），给出了欧式期权定价的显式表达式，即著名的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式．这是现代金融数学的一项具有里程碑意义的突破性成果．从此，金融数学的研究得到了蓬勃的发展，取得了非常丰硕的成果．特别是Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型，不仅在理论研究上出现了一大批成果，而且应用于金融市场，受到广泛的欢迎．２０世纪９０年代，全世界金融衍生证券市场每年的交易量已达５０万亿美元．本文在分数次布朗运动的积分理论的基础上，对数学金融的具有任意Ｈｕｒｓｔ参数的分数次Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型进行了全面系统的研究．在绪论中，介绍了金融数学的发展历史，特别对期权定价理论主要研究内容、成果及目前研究热点进行了较为详尽的综述．第二章，我们首先介绍了分数次布朗运动的定义、性质及其积分理论的主要成果．然后，给出了拟一条件期望及拟一鞅的定义，并得到了分数次布朗运动函数的拟一条件期望的计算公式．在第三章中，我们研究了分数次Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型，提出了利用拟一条件期望的分数次风险中性定价；得到了不同条件下欧式未定权益在到期前任意时刻的一般定价公式；并在无风险利率和红利率为时间的非随机函数的条件下，求出了欧式期权在到期前任意时刻的定价公式．第四章，我们研究了几种常见的奇异期权，在无风险利率和红利率分别为常数或为时间的非随机函数的条件下，得到欧式双向期权、混合期权、上限型买权、抵付型买权、后定选择权在到期前任意时刻的定价公式．在第五章中，我们研究了多维分数次Ｂｌａｚ＆－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型，在单资产多噪声、多资产单噪声和多资产多噪声三种情况下，得到欧式未定权益在初始时刻的定价公式．第六章，我们讨论了分数次Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型中的最优资产组合和最优消费资产组合问题，得到在给定效应函数条件下的最优资产组合和最优消费资产组合问题的显式解．第七章总结ｒ本文主要结果，并提出还需要进一步研究的一些问题．关键词：分数次布朗运动，衍生证券，期权，奇异期权，Ｗｉｃｋ积，拟一条件期望，拟一鞅，分数次Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ模型，多维分数次Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｃｓ模型，最优资产组合，最优消费资产组合．中国图书资料分类号：０２１１，Ｆ８３０９ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎ１９７３，ｔｗｏｇｒｅａｔｆｉｎａｎｃｉａｌｔｈｅｏｒｉｓｔｃｓａｎｄｐｒａｃｔｉｃｅｒｓＦｉｓｈｅｒＢｌａｃｋａｎｄＭｙ－ｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓｐｕｂｌｉｓｈｅｄｔｈｅｉｒｆａｍｏｕｓｐａｐｅｒ“ＴｈｅＰｒｉｃｉｎｇｏｆＯｐｔｉｏｔｍａｎｄＣｏｒｐｏ－ｒａｔｅＬｉａｂｉｌｉｔｙ”ｗｈｉｃｈｇａｖｅｔｈｅｔｈｅＢｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓｆｏｒｍｕｌａ，ａｎｅｘｐｌｉｃｉｔｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｏｆＥｕｒｏｐｅａｎＯｐｔｉｏｎ．ＴｈｉｓｉｓａｂｒｅａｋｔｈｒｏｕｇｈｏｆｍｏｄｅｒｎＭａｔｈｅ－ｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅ．Ｆｒｏｍｔｈｅｎｏｎ，ｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｏｆｍｏｄｃｒｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＦｉｎａｎｃｅｇａｉｎｅｄｒａｐｉｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｗｉｔｈｔｒｅｍｅｎｄｏｕｓａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓ．Ｍｏｓｔｒｅｍａｒｋｅａｂｌｅｏｆ８ｊ１．ｔｈｅＢｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓｍｏｄｅｌｈａｓｎｏｔｏｎｌｙｂｅｅｎｏｂｔａｉｎｅｄｐｌｅｎｔｉｆｕｌｒｅｓｕｌｔｓｉｎｔｈｅ－ｏｒｅｔｉｃａｌｒａｓｅａｒｃｈ，ｂｕｔａｌｓｏｂｅｅｎａｐｐｌｉｅｄｉｎｆｉｎａｎｃｉａｌｍａｒｋｅｔｂｒｏａｄｌｙ．Ｉｎ１９９０ｓｔｈｅａｎｎｕａｌｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｖｏｌｕｍｅｉｎｇｌｏｂａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓｅｃｕｒｉｔｉｅｓｍａｒｋｅｔａｃｈｉｅｖｅｄ５０，０００ｂｉｌｌｉｏｎｄｏｌｌａｒｓ．Ｉｎｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，ｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｔｈｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｉｎｔｅｇｒａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎＭｏｔｉｏｎ．ｗｅｓｔｕｄｉｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｌａｃｋ－ＳｃｈｏｌｅｓＭｏｄｅｌｏｆｍａｔｈ－ｅｍａｔｉｃａｌｆｉｎａｎｃｅｗｉｔｈａｒｂｉｔｒａｒｙＨｕｒｓｔｐａｒａｍｅｔｅｒａｒｅｓｔｕｄｉｅｄｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙａｎｄｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｌｙ．Ｉｎｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｔｈｅｈｉｓｔｏｒｙｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｆｉｎａｎｃｅ，ｅｓｐｉｃａｌｌｙｉｔｓｉｎａＪｎｒｅｓｅａｒｃｈｃｏｎｔｅｎｔ，ｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｈｏｔｔｏｐｉｃｓｏｆｏｐｔｉｏｎｐｒｉｃｉｎｇｔｈｅｏｒｙ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ２，ｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓａｎｄｉｔｓｉｎｔｅｒｇａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｆｉｒｓｔｌｙ．Ｔｈｅｎｗｃｇａｖｅｔｈｅｄｅｆｔｎｉｔｉｏｎｏｆｑｕ嬲ｉ—ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎａｎｄｑｕａｓｉ－ｍａｒｔｉｎｇａｌ，ａｎｄｇｏｔｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｏｆｔｈｅｑｕ８８ｉ—ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ３，ｍｓｔｕｄｉｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓｍｏｄｅｌ，ｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌｒｉｓｋｎｅｕｔｒａｌｐｒｉｄｎｇｆｏｒｍｕｌａｂｙｕｓｉｎｇｑｕａｓｉ－ｃｏｄｉｔｉｏｎａｌｅｘｐｅｃ－ｆｏｒｍｕｌａｓｏｆＥｕｒｏｐｅａｎｃｏｎｔｉｇｅｎｔｃｌａｉｍａｔｔｉｏｎ，ｔｈｅｎｏｂｔａｉｎｅｄｇｅｎｅｒａｌｐｒｉｃｉｎｇａｒｂｉｔｒａｒｙｔｉｍｅｂｅｆｏｒｅｍａｔｕｒｉｔｙｕｎｄｅｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ａｎｄａｌｓｏｏｂｔａｉｎｅｄｐｒｉｃｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｓｏｆＥｕｒｏｐｅａｎｏｐｔｉｏｎｓａｔａｒｂｉｔｒａｒｙｔｉｍｅｂｅｆｏｒｅｍａｔｕｒｉｔｙｕｎｄｅｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎｔｈａｔｒｉｓｋ－ｆｒｅｅｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅａｎｄｄｅｖｉｄｅｎｄｓｒａｔｅｗｅｒｅｔｈｅｎｏｎ－ｒａｎｄｏｍｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｉｍｅ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ４ｗｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｓｅｖｅｒａｌｃｏｍｍｏｎｓｉｎｇｕｌａｒｏｐｔｉｏｎｓ，ｕｎｄｅｒ７ｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｔｈａｔｒｉｓｋ－ｆｒｅｅｉｎｔｅｒｅｓｔｒａｔｅａｎｄｄｅｖｉｄｅｎｄｓｒａｔｅｗｅｒｅｃｏｎｓｔａｎｔｏｒｔｈｅｎｏｎ－ｒａｎｄｏｍｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｉｍｅ，ＷｅｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｓｏｆＢｉ－ｄｉｒｅｃｔｉｏｎＥｕｒｏｐｅａｎｏｐｔｉｏｎ，Ｃｏｍｐｏｕｎｄｏｐｔｉｏｎ，Ｃａｐｐｃ）［１Ｃａｌｌｓ，ＤｅｄｕｃｔｉｂｌｅＣａｌｌｓａｎｄＣｈｏｏｓｅＯｐｔｉｏｎｓａｔａｒｂｉｔｒａｒｙｔｉｍｅｂｅｆｏｒｅｍａｔｕｒｉｔｙＩｎＣｈａｐｔｅｒ５．ｗ℃ｓｔｕｄｉｅｄＭｕｌｔｉ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＦｒａｃｔｉｏｎａｌＢｌａｃｋ－ＳｃｈｏｌｅｓｍｏｄｅｌＩｎｓｉｎｇｌｅａｓｓｅｔａｎｄｍｕｌｔｉ—ｎｏｉｓｅ，ｍｕｌｔｉ—ａｓｓｅｔａｎｄｓｉｎｇｌｅｎｏｉｓｅ，ｍｕｌｔｉ－ａｓｓｅｔａｎｄｍｕｌｔｉ－ｎｏｉｓｅ，ｗｅｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｅｐｉｃｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｏｆＥｕｒｏｐｅａｎｃｏｎｔｉｇｅｎｔｃｌａｉｍａｔｉｎｉｔｉａｌｔｉｍｅ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ６．ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｏｒｔｆｏｌｉｏａｎｄｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎａｎｄｐｏｒｔｆｏｌｉｏｏｆｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｎｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｅｅｘｐｌｉｃｔｓｏｌｕ—ｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｐｏｒｔｆｏｌｉｏａｎｄｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎａｎｄｐｏｒｔｆｏｌｉｏｐｒｏｂｌｅｍｓｕｎｄｅｒｔｈｅｇｉｖｅｎｔｈｅｕｔｉｌｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＩｎＣｈａｐｔｅｒ７，ｗｅｓｕｍｍａｒｉｚｅｄｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎａｎｄｐｏｉｎｔｅｄｏｕｔｓｏｍｅｉｓｓｕｅｓｒｅｍａｉｎｉｎｇｕｎｓｏｌｖｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎＭｏｔｉｏｎ，ＤｅｒｉｖａｔｉｖｅＳｅｃｕｒｉｔｉｅｓ，Ｏｐｔｉｏｎ，ＥｘｏｔｉｃＯｐｔｉｏｎｓ，ＷｉｃｋＰｒｏｄｕｃｔ，Ｑｕａｓｉ－ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌＥｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，Ｑｕａｓｉ－ｍａｒｔｉｎｇａｌｅ，ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＢｌａｃｋ－ＳｃｈｏｌｅｓＭｏｄｅｌ，Ｍｕｌｔｉ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＢｌａｒ．ｋ－ＳｃｈｏｌｅｓＭｏｄｅｌ，ｏｐｔｉｍａｌｐｏｒｔｆｏ－ｈ０．０ｐｒｉｍａｌＣｏｎｓｕｍｐｔｉｏｎａｎｄＰｏｒｔｆｏｌｉｏ．第一章绪论§１１金融数学研究的历史与现状近年来，金融数学（也称数学金融学或数理金融）正在蓬勃发展．雍炯明、刘道百（㈨指出：数学金融学是运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科；其主要内容有：市场的描述以及一些基本性质的讨论、资产（包括各种金融衍生证券）的定价、投资消费效益的最优化等等．金融数学的历史最早可追溯到１９００年．法国学者ＬｏｕｉｓＢａｃｈｅｌｉｅｒ在这一年发表了他的博士论文《投机理论》，“这宣告了数学金融学的诞生”（［１】）．１９５２年，Ｈ．Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ（［２］）发表了题为“资产组合选择的均值方差理论”（Ｍｅａｎ－ｖａｒｉａｎｃｅｔｈｅｏｒｙｏｆｐｏｒｔｆｏｌｉｏｓｅｌｅｃｔｉｏｎ）的论文．他将投资组合的价格看作是随机变量，以其均值衡量收益，以其方差衡量风险，其主要思想是，给定风险水平使得期望收益最大，或者给定期望收益水平使得风险最小，即为一个带约束的最优化问题．Ｗ．ＦＳｈａｒｐｃ（［３］）（１９６４）和Ｊ．Ｌｉｎｔｎｅｒ（［４］）（１９６５）提出了著名的“资本资产定价模型”（Ｃａｐｉｔａｌａｓｓｅｔｐｒｉｃｉｎｇｍｏｄｅｌ，简称为ＣＡＰＭ），即所有风险资产的期望收益率是它们与市场证券组合协方差的线性函数．１９７３年，两位伟大的金融理论家与实务家ＦｉｓｈｅｒＢｌａｃｋ和ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ（［５］）发表了他们的著名论文“期权定价与公司债务”（Ｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｏｆｏｐｔｉｏｎｓａｎｄｃｏｒｐｏｒａｔｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ），给出了欧式期权定价的显式表达式，即著名的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公式．这是现代金融数学的一项具有里程碑意义的突破性成果．不久，ＲＭｅｒｔｏｎ（［６］）减弱了该理论所依赖的条件，使其更符合实际．１９７６年，ｓ．Ｒｏｓｓ（Ｊ７］）提出了比资本资产定价模型更具一般性的套利定价理论（ＡｒｂｉｔｒａｇｅＰｒｉｃｉｎｇＴｈｅｏｒｙ，简记为ＡＰＴ）．Ｊ．Ｃ．Ｃｏｘ和ｓ．Ａ．ＲＤｓｓ（【８】）于１９７６年首先提出无套利定价的鞅方法．１９７９年，Ｊ．Ｃ．Ｃｏｘ，Ｓ．Ａ．Ｒｏｓｓ和ＭＲｕｂｉｎｓｔｅｉｎ（［９］）建立了二叉树模型．Ｄ．Ｍ．Ｋｒｅｐｓ（［１０］）提出无套利定价的均衡方法．１９７９年，Ｊ．Ｍ．Ｈａｒｒｉｓｏｎ和Ｄ．Ｍ．Ｋｒｅｐｓ（［１１］）证明了套利机会的缺失等价于风险中性概率分布的存在性．彭实戈和ＥＰａｒｄｏｕｘ（［１２１）于１９９０年发现了一般非线性倒向随机微分方程的研究方法，他们的理论在一般未定权益的定价理论中有着非常重要的应用．对于远期、期货、期权、互换等金融工具，由于其交易价格衍生于其标的资产的价格（商品价格、利率、汇率、股票价格、股价指数等），故统称为金融衍生证券．金融衍生证券既可用来套期保值和避免风险，也用来作高风险、高收益的投资，因此受到广泛的欢迎．２０世纪９０年代，全世界金融衍生证券市场每年的交易量已达５０万亿美元．金融衍生证券是一种关于某种标的资产的双边合约，合约的价值取决于这种标的资产的价格及其变化．按照合约买方的权利与义务的不同，衍生证券可分为远期类和期权类（【１３］）如果合约的买方只有执行合约的义务，则为远期类，如远期合约、期货合约、互换；如果合约的买方有执行合约的权利而无义务，则为期权类，如期权合约、利率上限与下限、互换期权．金融衍生证券及相关概念的详细介绍可参见文献［１４］一【１８】期权是一类非常重要的金融衍生证券，．期权的买方有权在将来的某一约定时间或某一约定时间段内以约定的价格（称为执行价格）购买或出卖某种约定的标的资产．如果是购买标的资产，则为看涨期权；如果是出卖标的资产，则为看跌期权．如果只能在期权到期时执行期权，则为欧式期权；如果可以在到期时之前任意时刻执行，则为美式期权．股票期权就是以股票为标的资产的期权，这是最早出现的期权．１９７３年美国芝加哥创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集中市场，随后，美国股票交易所、太平洋股票交易所及费城股票交易所纷纷效仿，１９７７年开始了看跌期权的交易，短短几年，期权市场发展非常迅猛．在Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式发表后不久，Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｃｓ期权定价公式被编成了计算机程序，交易者只需键入标的资产价格、标的资产价格的波动率、货币利率、期权到期日等几个变量就可计算出期权的价格．在Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型中，对市场的基本假设为：交易连续进行；不存在套利机会；借贷利率相同为常数，且无借贷限制；所有证券无限可分；市场无摩擦，也就是无交易费用和税收，且无卖空限制；标的资产价格服从几何布朗运动．要得到期权定价的显式解和期权的套期保值策略，首先要利用Ｉｔ６随机积分来构造无套利市场模型（【１９］－【２４】），由此得到期权的无套利价格所满足的Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ偏微分方程，解此偏微分方程即得期权定价的Ｂｌａｃｋ．Ｓｃｈｏｌｅｓ公式（【１９】一【２４】）．由此可见，随机分析理论在期权定价乃至金融数学中起着非常重要的作用，正如ＲＭｅｒｔｏｎ的名著Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ．ＴｉｍｅＦｉｎａｎｃｃ（［２５］）序言中所说“把默顿推向拜伦式显赫的杠杆就是维纳和伊藤的连续概率的数学工具，曾是复杂的近似一下子变成了漂亮且简单的真理”（Ｉｌ】）．期权定价理论经过几十年的发展，在以下几方面取得了丰硬的成果：一、Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价模型的修正及进一步研究．这一方面的研究主要表现在以下几个方面：１．对Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅａ模型作实证研究（１２６１一【２８】）与理论研究（１６】＇［８】，【２９卜ｆ３２１），从理论与实际两方面取得了进一步的成果，并仍然被一些研究者作深入的研究．２．对Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型进行修正，有考虑红利支付的如文献【２３ｌ，【３３】等；有考虑交易费用的如文献［３４１一【４３】等；有考虑随机无风险利率ｒ或随机瞬时波动率ａ的如文献【４４］－【５２１；有考虑标的资产为各种不同类型的资产，如期货期权（【５３】）＇外汇期权（ｆ５４ｌ一【ｓｓｌ），实物期权（【５６】），利率未定权益（｜５７１．｛５８１）等；甚至有以天气温度为标的的气象衍生期权（ＷｅａｔｈｅｒＤｅｒｉｖａｔｉｖｅＯｐｔｉｏｎ）（［５９］一【６３】）．二、离散时间模型的研究．ｓｈＥｒｐｅ（【６４】）（１９７８）和Ｒｅｎｄｌｅｍａｎ＆Ｂ砒ｔ盯（１６５】）（１９７９）独立地提出了两状态期权定价模型．１９７９年，Ｃｏｘ，Ｒｏｓｓ，Ｒｕｂｉｎｓｔｅｉｎ（［９］）提出了二叉树期权定价模型，文献【６６１对此进行了推广．随后，文献［６７１一【６９】考虑了含交易费用的二叉树期权定价模型．文献【７０］一【７１】考虑了三叉树期权定价模型．对于一般离散模型，有研究有限状态（【７２】）和无限状态（［７３】一【７５】）．还有一批学者如Ｈｅ，Ａｍｉｎ，Ｗｉｌｌｉｇｅｒ＆Ｔａｑｑｕ，Ｄｕｆｌｉｅ＆Ｐｒｏｔｔｅｒ等研究了离散时间金融模型到连续时间模型的收敛问题（【７６卜８０１）．三、美式期权及奇异期权定价理论的研究．由于美式期权可在到期时刻前的任意时刻执行，所以其价格必然与最优执行时间联系在一起．Ｍｅｒｔｏｎ于１９７３年提出并研究了美３式期权的基本特征（㈤Ｂｅｒｎｎａｎ，ＢａｒｏｎｃｕＮｉｅｌｓｅｎ，Ｋａｒａｔｚａｓ，Ｂｒｏａｄｉｅ，Ｊｏｈｎｓｏｎ等对美式期权及其最优停时、美式期权价格的逼近等方面进行了深入的研究（Ｉｓｌ］一【９５］）．对美式看涨期权，Ｇｅｓｋｃ和Ｒｏｌｌ确定了其定价公式（［９６１），并且我们可以证明：提前执行不付红利的美式看涨期权决不是最佳选择（［１７］ｐ１６０），即在标的资产不支付红利时美式看涨期权与欧式看涨期权的价格相等．比欧式期权和美式期权盈亏状态更复杂的衍生证券称为奇异期权（［１４］）（Ｅｘｏｔｉｃｏｐｔｉｏｎｓ）或新型期权（［１７】），主要有打包期权（Ｐａｃｋａｇｅｓ）、复合期权、任选期权（Ａｓｙｏｕｌｉｋｅ）、障碍期权（Ｂａｒｒｉｅｒｏｐｔｉｏｎ）、亚式期权（Ａｓｉａｎｏｐｔｉｏｎ）、俄式期权（Ｒｕｓｓｉａｎｏｐｔｉｏｎ）、以（色列）式期权（Ｉｓｒａｅｌｉｏｐｔｉｏｎ）等（【１４】ｊ１９７】一【１１２】）．四、标的资产服从非几何布朗运动时的期权定价理论研究．这一方面的研究主要有：１）考虑标的资产价格在服从几何布朗运动的基础上存在异常变动跳跃，如文献ｆ１１３］．［１２０ｉ．２）考虑标的资产价格服从０．Ｕ过程、半鞅、适应随机过程、一般过程等，如文献ｆ１２１］．［１２６］．３）考虑标的资产价格服从分数次布朗运动的期权定价，这正是目前国际上研究的热点，也是本文研究的内容．五、各种衍生证券定价理论的研究．利用期权定价理论来研究各种衍生证券定价同题已有不少结果，如债券、认股权证、可转换债券等的定价（［１２ｖｌ一【１删）六、期权定价的数学理论和数学方法的研究．由彭实戈等提出的倒向随机微分方程理论（１１２１，［１３５］一［１ａｓ］）是期权定价中起非常重要作用的一种数学理论，为不完全市场定价理论奠定了一定的基础．而在最优资产组合和无套利定价中，随机最优控制（或动态随机规划）是十分必要的工具（［１删一［１４５１）．另外，蒙特卡罗模拟法（［１４６］．［１４ｓ］）及偏微分方程的有限差分法（ｆ１４９１一［１ｓ０１）也是常用的数学方法．４§１．２选题依据经典的Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｃｓ模型及其大部分推广都是在假定标的资产的价格满足一个简单的线性且受布朗运动扰动的随机微分方程：ｄＳ（ｉ）＝肛Ｓ（ｔ）ｄｔ－Ｉ－口ｓ（￡）ｄＢ（ｔ），（１．２．１）其中Ｂ（ｔ）为标准布朗运动．但由于布朗运动的性质（马氏性，鞅性等）导致标的资产的价格也满足此类性质，如未来某时刻的标的资产价格只与现在的价格有关，与过去的价格无关，这就与人们直觉上感觉有点矛盾，并与统计数据的厚尾性矛盾．因此考虑用分数次布朗运动代替布朗运动，使之更符合实际．用分数次布朗运动而非其他随机过程的原因有以下几点：１．分数次布朗运动既不是半鞅，也不是马氏过程，所以它能够用来描述半鞅随机过程和马氏过程描述不了的现象．这样，就决定了分数次布朗运动在金融、水文、气象、交通、国际互联网中的重要应用．２．分数次布朗运动是一类高斯过程，而高斯过程是大家非常熟悉的过程．３．标准布朗运动是分数次布朗运动的特殊情形，它是Ｈｕｒｓｔ参数为｛的分数次布朗运动．４．分数次布朗运动具有长程关联性，这与人们对金融市场的直观感觉一致，即未来某时刻股票的价格不仅与其现在的价格有关，还与过去相当一段时间的价格有关．并且Ｅ．Ｅ．Ｐｅｔｅｒ验证了从１９７２年１月到１９９０年１２月的美元与日元的日汇率服从Ｈｕｒｓｔ参数Ｈ的估计值为疗＝０．６４２的分数次布朗运动，而对Ｓ＆Ｐｔｉｃｋ数据其膏“０．６（【１５１】）；Ｉ．Ｓｉｍｏｎｓｅｎ和Ｋ．Ｓｎｅｐｐｅｎ验证了电费价格可用Ｈｕｒｓｔ参数约为０．４的分数次布朗运动来建模（１１５２］）．５．由于分数次布朗运动不是半鞅，极其丰富的半鞅随机积分理论不能直接应用，而需要建立一套与之相符的随机积分理论．目前，ＹａｏｚｈｏｎｇＨｕ（胡耀忠）、ＢｅｒｎｔＯｋｓｅｎｄａｌ、ＣｈｒｉｓｔｉａｎＢｅｎｄｅｒ、ＲｏｂｅｒｔＪ．Ｅｌｌｉｏｔｔ和Ｊ．ＶａｎｄｅｒＨｏｅｋ建立了关于分数次布朗运动的新的随机积分的一些基本理论（［１５ｓ］．［１６０１），如对应的Ｉｔ６公式及Ｇｉｒｓａｎｏｖ公式等．５因此，利用关于分数次布朗运动的新的随机积分的一些基本理论来研究数学金融的分数次Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｌｏｃｓ模型既有理论意义，又有实际意义．§１．３拟研究的主要内容本文拟研究的主要内容有：１．拟一条件期望及拟一鞅２．分数次布朗运动环境中欧式未定权益的一般定价公式、各种不同条件下的欧式期权定价．３．分数次布朗运动环境中各种奇异期权的定价公式．４．多维分数次Ｂｌａｅｋ－Ｓｅｈｏｌｅｓ模型及应用５．分数次布朗运动环境中最优资产组合和最优消费．资产组合．６第二章分数次布朗运动及其随机积分§２．１分数次布朗运动的定义及性质分数次布朗运动最初是Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖ于１９４１年在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间框架中定义和研究的，并命名为Ｗｉｅｎｅｒ螺线（ｈｅｌｉｘ）．Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ和ＶａｎＮｅｓｓ（［１６１］）于１９６８年首次提出“分数次布朗运动”这一名字，并给出了分数次布期运动的构造．定义２．１．１设（ｎ，，，Ｐ）为一概率空间，Ｈ∈（０：１）为一常数．具有Ｈｕｒｓｔ参数Ｈ的（１维）分数次布朗运动（ＦＢＭ）是一Ｇａｕｓｓｉａｎ过程｛鼬（ｔ））锄＋＝｛ＢＨ（ｔ，ｕ）；ｔ∈肘．ｕ∈Ｑ），且满足：（１）粕（ｏ）＝Ｅ【岛㈣＝０，对所有ｔ∈Ｒ＋；（２）Ｅ［Ｂｎ（ｔ）ＢＨ（ｓ）】＝§｛Ｉｔｌ２世＋Ｉｓｌ２日一Ｊｔ—ｓＪ２日）；ｓ，ｔ∈肘这里Ｅ表示关于概率测度Ｐ的期望，其中Ｒ＋＝｛ｓ：ｓ≥ｏ｝．如果日＝｛，则Ｂｎ（ｔ）为标准布朗运动，用Ｂ（ｔ）表示．如果日＞｛，则ＢＨ（ｔ）是持久的（ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ）或有长程关联性（１０ｎｇ－ｒａｘｌｇｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ），即ｒ（ｎ）一Ｅ｛Ｂ片０）．［Ｂｎ（ｎ＋１）一口Ｈ（ｎ）１｝＞０，对所有ｎ＝１，２，．．．且＋ｏｏ∑ｒ（ｎ）＝ＯＯ．ｒＩ＝１如果Ｈ＜；，则Ｂｕ（ｔ）是反持久的【ａｎｔｉ—ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ），即ｒ（件）＜０且＋∞∑Ｉｒ（ｎ）Ｉ＝ｏ。
数理金融学基本知识
随机漫步模型
03
CHAPTER
金融衍生品定价
期权定价模型
期权定价是数理金融学中的重要内容，通过建立数学模型来预测期权的合理价格。常见的期权定价模型有Black-Scholes模型、二叉树模型等。
期权价格影响因素
期权价格受到多种因素的影响，如标的资产价格、行权价格、剩余到期时间、波动率等。这些因素通过影响期权内在价值和时间价值来决定期权的最终价格。
风险评估
对借款人的信用风险进行评估和管理。
信贷风险
市场风险
操作风险
01
02
04
03
对金融机构运营过程中可能出现的风险进行管理和预防。
对金融机构的整体风险进行评估和监控。
对金融市场风险进行识别、测量和管理。
大数据分析在风险管理中的应用
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详细描述
与CAPM模型类似，APT模型认为资产的预期回报率与多个因素相关。这些因素可以是市场、行业、公司规模、盈利能力等。APT模型认为，如果两个投资组合在所有因素上的敏感性相同，那么它们应该有相同的预期回报率。
套利定价理论
VS
随机漫步模型认为股票价格的变动是随机的，不受过去价格的影响。
详细描述
随机漫步模型认为股票价格的变动是不可预测的，因为它们是由许多随机事件和投资者情绪决定的。根据这一模型，投资者无法通过分析过去的价格数据来预测未来的价格变动。这一模型与技术分析方法相反，后者试图通过分析价格图表来预测未来的价格走势。
信用衍生品定价模型
02
信用衍生品的定价通常采用结构化模型或简化模型。结构化模型基于公司价值和违约边界来评估信用风险，而简化模型则基于违约概率和风险利差来评估信用衍生品的价值。
金融数学模型
04
金融数学模型的典型案 例
股票价格预测模型
总结词
股票价格预测模型是用于预测股票价格走势的数学模型。
详细描述
该模型基于历史数据和相关因素，通过统计分析、时间序列 分析等方法，预测股票价格的未来走势。常见的股票价格预 测模型包括线性回归模型、神经网络模型和支持向量机模型 等。
债券定价模型
总结词
债券定价模型是用于确定债券公平价值的数学模型。
模型泛化能力问题
过拟合与欠拟合
在训练模型时，过拟合和欠拟合是常见 的问题。过拟合是指模型过于复杂，导 致在训练数据上表现良好但在测试数据 上表现较差；欠拟合则是指模型过于简 单，无法捕捉到数据的复杂模式，导致 预测精度较低。
VS
泛化能力
金融数学模型的泛化能力是指模型在未知 数据上的表现，如何提高模型的泛化能力 是当前研究的重点之一。通过调整模型参 数、选择合适的模型结构等方法，可以提 高模型的泛化能力。
03
金融数学模型的建立与 实现
数据收集与处理
1 2
数据来源
从金融机构、市场交易平台等获取金融数据，确 保数据的真实性和准确性。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值处理、 数据格式统一等。
3
数据转换
将原始数据转换为适合建模的格式，如时间序列 数据、特征工程等。
模型选择与参数估计
模型评估
数据来源
金融数学模型依赖于大量的数据输入，但数据的来源可能 存在不准确、不完整或过时的问题，影响模型的预测精度。
数据清洗
数据中可能存在异常值、缺失值或重复值，需要进行数据 清洗和预处理，以确保数据的质量和准确性。
数据处理方法
对于不同类型的数据，需要采用不同的数据处理方法，如 时间序列分析、回归分析、聚类分析等，以提高模型的预 测能力。
数学模型在金融领域的应用
数学模型在金融领域的应用金融领域是一个充满风险和不确定性的领域，而数学模型的应用为金融行业提供了一种强大的工具，能够帮助金融机构优化决策、管理风险，并预测市场走势。
本文将探讨数学模型在金融领域的应用，并讨论几个典型的数学模型。
一、黑-斯科尔数学模型黑-斯科尔模型是金融领域中一个非常重要的数学模型，它被广泛应用于期权定价理论。
该模型基于两个关键假设：市场效率和连续对冲。
市场效率是指市场上的资产价格反映了所有可得到的信息。
黑-斯科尔模型假设市场是高度有效的，信息传递是瞬间的。
根据这个假设，该模型能够基于市场上的信息，计算出期权的合理价格。
连续对冲是指投资者通过动态调整一定的投资组合来抵消风险。
黑-斯科尔模型利用Delta来衡量动态对冲策略，通过对Delta进行连续对冲，可以使投资组合的风险最小化。
该模型不仅可以用于期权定价，还可以在金融工程中进行风险管理。
二、卡利-维纳数学模型卡利-维纳模型是一种常微分方程模型，广泛应用于固定收益证券的定价和利率模型中。
该模型通过对债券收益率进行建模，可以计算出债券的合理价格，并且可以估计出市场利率的变化趋势。
卡利-维纳模型的核心思想是利用随机过程来描述利率的波动，在建模时考虑市场利率的变化速度和风险。
基于该模型，金融机构可以制定更为合理的固定收益产品定价策略，帮助投资者做出明智的决策。
三、布莱克-曼顿数学模型布莱克-曼顿模型是一种用于期权定价的模型，是黑-斯科尔模型的一个衍生模型。
该模型通过建立股票价格与期权价格之间的关系，可以计算出期权的合理价格，并用于衡量期权的风险。
布莱克-曼顿模型基于几个关键假设：市场效率、连续对冲和标的资产的对数正态分布。
通过这些假设，该模型可以提供投资者对期权价格的估计，并帮助投资者进行期权交易。
四、马尔科夫链模型马尔科夫链是一种用于描述状态转移的概率模型，被广泛应用于金融领域中的市场预测和投资组合优化。
马尔科夫链模型假设未来的市场状态只与当前状态有关，而与历史状态无关。
《金融数学》课件
，防范系统性风险等。
03
金融市场法规
为了实现监管目标，政府或监管机构会制定一系列的金融市场法规，包
括证券法、银行法、保险法等，对市场参与者的行为进行规范和约束。
CHAPTER
06
金融数学案例分析
基于金融数学的资产组合优化
总结词
通过数学模型和优化算法，对资产组合进行 合理配置，实现风险和收益的平衡。
《金融数学》PPT课件
CONTENTS
目录
• 金融数学概述 • 金融数学基础知识 • 金融衍生品定价 • 风险管理 • 金融市场与机构 • 金融数学案例分析
CHAPTER
01
金融数学概述
定义与特点
定义
金融数学是一门应用数学方法来 研究金融经济现象的学科，旨在 揭示金融市场的内在规律和预测 未来的发展趋势。
数值计算方法
数值积分
数值积分是用于计算定积分的近似值的方法，它在金融领域中用于计算期权价格和风险 值等。
数值优化
数值优化是用于寻找函数最优解的方法，它在金融领域中用于投资组合优化和风险管理 等。
CHAPTER
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
描述期权定价模型的基本原理和计算方法。
详细描述
期权定价模型是金融数学中的重要内容，用于确定期权的合理价格。常见的期权定价模型包括Black-Scholes模 型和二叉树模型。这些模型基于无套利原则和随机过程，通过求解偏微分方程或递归公式，得出期权的理论价格 。
金融市场的分类
按照交易标的物，金融市 场可分为货币市场、资本 市场、外汇市场和衍生品 市场等。
金融市场的功能
金融市场的主要功能包括 价格发现、风险管理、资 源配置和宏观调控等。
金融学十大模型
金融学十大模型金融学作为一门应用性较强的学科，为我们理解和解决金融市场中的各种问题提供了重要的理论和实践工具。
在金融学的研究中，有一些重要的模型被广泛应用于实证研究和决策分析中。
本文将介绍金融学中的十大模型，分别是CAPM模型、期权定价模型、股票定价模型、无风险利率模型、国际资本资产定价模型、利率期限结构模型、债券定价模型、货币供应量模型、货币需求量模型和经济增长模型。
一、CAPM模型CAPM模型是一种用于计算资产预期收益率的模型，它基于资产的风险和市场整体的风险之间的关系，可以帮助投资者制定投资组合和风险管理策略。
二、期权定价模型期权定价模型是一种用于计算期权价格的模型，它基于期权的标的资产价格、行权价格、到期时间、波动率等因素，可以帮助投资者合理定价和评估期权的价值。
三、股票定价模型股票定价模型是一种用于计算股票价格的模型，它基于公司的盈利能力、成长潜力、风险等因素，可以帮助投资者理解和预测股票的价格走势。
四、无风险利率模型无风险利率模型是一种用于计算无风险投资收益率的模型，它基于国债等无风险资产的利率水平，可以帮助投资者确定投资回报的最低标准。
五、国际资本资产定价模型国际资本资产定价模型是一种用于计算跨国投资收益率的模型，它考虑了不同国家之间的货币汇率、利率差异和风险溢价等因素，可以帮助投资者评估和管理跨国投资的风险和回报。
六、利率期限结构模型利率期限结构模型是一种用于解释不同期限债券利率之间的关系的模型，它基于市场对未来利率变动的预期，可以帮助投资者理解和预测债券市场的走势。
七、债券定价模型债券定价模型是一种用于计算债券价格的模型，它基于债券的票面利率、到期时间、市场利率等因素，可以帮助投资者合理定价和评估债券的价值。
八、货币供应量模型货币供应量模型是一种用于解释货币供应量对经济活动和通胀的影响的模型，它基于货币供应量和经济增长之间的关系，可以帮助央行制定货币政策和预测经济走势。
九、货币需求量模型货币需求量模型是一种用于解释货币需求量对经济活动和通胀的影响的模型，它基于货币需求量和经济增长之间的关系，可以帮助央行制定货币政策和预测经济走势。
金融数学模型的解析
金融数学模型的解析作者简介：吕奕柔女 1999 汉族广东茂名广东金融学院金融数学摘要：在分析金融行业投资问题时，金融数学模型可以为决策者提供市场经济的一般走向指示，对不同的投资组合进行风险预估，进而给出相应的收益评估。
基于此，本文围绕着常见的三种一般金融数学模型进行解析并给出应用场景，来研究风险与收益的关系。
关键词：金融数学模型；风险；收益；1.前言本文先对投资组合进行现值和终值计算，得出投资组合内在价值，而不同类型的市场参与者对待风险的不同的态度，也分别决定了其效用函数，从而确定未来财富。
在某些特定条件下，可以利用CAPM模型去研究分散化投资后，投资组合的资产收益与风险的关系。
1.模型解析1.现值终值模型对资产进行估值，首先要了解投资组合的价值。
现值是在给定的利率水平下，未来的现金流折现到现在的价值，终值则是在某一时点上的现金流上折合到未来的价值。
两者都考虑了时间因素。
设现值为 ,终值为，为报酬率，则复利公式为，并且得出。
复利模型一般用于银行存款时存入本金后，在前面所赚取的利息在后期会转换成新的本金继续赚取新的利息，即“利滚利”。
1.风险厌恶模型人们对风险的接受程度与风险容忍系数有关。
表现为财富水平越高，能容忍损失的财富就越高，因而能接受的风险程度就越高。
人们对风险的偏好可以分为风险厌恶、风险中性、风险爱好三种类型。
风险喜爱型的人，会偏好对高风险事件，他们对高风险下的高收益的高回报更感兴趣，即便高回报是非常小概率的事件。
例如掷骰子游戏，规定同时掷五枚骰子，掷到总和为5可获得100000元，每回需缴费100元。
风险厌恶者会因对成本100元更在乎而拒绝参与，风险爱好者因对获利更在乎而多次尝试，风险中性者会权衡两边得失才会考虑参与并且参与次数较少。
一般来说，大部分人都是风险厌恶型的，即对于不同的投资组合，风险厌恶型的人会愿意投资风险小的项目，我们用定义来解释风险厌恶。
记为投资者参与公平赌博的事件，。
经济学中的数学模型
经济学中的数学模型在经济学领域，数学模型是一种重要的分析工具，能够帮助经济学家解释和预测各种经济现象。
数学模型的建立利用了数学的抽象思维和逻辑推理，使得经济学理论更加精确和可操作。
本文将探讨经济学中常见的数学模型，并介绍其在解决经济问题时的应用。
一、线性回归模型线性回归模型是经济学中最常见的数学模型之一。
利用该模型，经济学家可以研究不同变量之间的关系，并进行预测和政策分析。
线性回归模型假设变量之间的关系可以用线性函数来表示，即y = β₀ +β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ。
其中，y表示因变量，x₁、x₂...xₙ表示自变量，β₀、β₁、β₂...βₙ表示模型的参数。
例如，经济学家可以利用线性回归模型分析收入与消费之间的关系。
他们将收入设为自变量x，消费设为因变量y，通过统计数据建立一个线性回归模型。
模型的参数可以帮助他们判断不同收入水平下的平均消费水平，并进一步得出政策建议。
二、供求模型供求模型是研究市场供给和需求之间关系的重要数学模型。
该模型可以帮助经济学家分析市场均衡价格和数量，并预测市场的供求变动。
供求模型通常基于市场的供给曲线和需求曲线，供给曲线表示生产者愿意提供的商品数量与价格之间的关系，需求曲线表示消费者愿意购买的商品数量与价格之间的关系。
例如，经济学家可以利用供求模型分析市场上某种商品的价格和数量变动。
他们通过调查和数据分析，绘制出供给曲线和需求曲线，并求得两条曲线的交点，这个交点就表示市场均衡的价格和数量。
经济学家可以利用该模型来评估政府干预的影响，或者预测市场的供求变动。
三、成本-收益模型成本-收益模型是经济学中用来分析企业决策的数学模型。
该模型可以帮助企业计算其生产和投资的成本，并评估其带来的收益。
成本-收益模型通常包括固定成本、可变成本、总成本、边际成本和边际收益等概念，企业可以通过分析这些指标来做出最优的决策。
例如，企业可以利用成本-收益模型来评估是否应该增加生产规模。
金融学十大模型
金融学十大模型引言金融学作为一门重要的学科，研究了资金的配置和利用方式，涵盖了广泛的主题，如投资、风险管理、资本市场等。
在金融学的研究中，有许多重要的模型被提出来帮助我们理解和分析金融市场的运作。
本文将介绍金融学领域中的十大经典模型，帮助读者更好地了解金融学的核心概念。
一、资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是现代金融学中最重要的模型之一。
它描述了资产的期望收益与其风险之间的关系。
该模型认为，资产的期望收益率应该等于无风险利率加上风险溢价，该风险溢价与资产的系统风险相关。
CAPM模型为投资者提供了一种评估资产回报和风险之间关系的工具，被广泛应用于投资决策和资产定价。
二、有效市场假说（EMH）有效市场假说认为，金融市场是高效的，即市场上的资产价格已经反映了所有可得到的信息。
根据EMH的观点，投资者无法通过分析公开信息来获得超额收益，因为这些信息已经被市场充分反映在价格中。
EMH的三种形式分别是弱式有效市场、半强式有效市场和强式有效市场。
EMH对于理解金融市场的运作方式以及投资者的行为具有重要意义。
三、资本结构理论资本结构理论研究了企业如何选择债务和股权融资来最大化股东财富。
这个理论的核心是税收优惠和财务杠杆的概念。
通过债务融资，企业可以减少税收负担，并提高股东收益。
然而，过多的债务融资也会增加财务风险。
资本结构理论为企业的融资决策提供了一个理论框架，帮助企业找到最佳的资本结构。
四、期权定价模型期权定价模型是衡量和计算期权价值的工具，其中最著名的是布莱克-斯科尔斯模型。
这个模型基于无套利原则，利用股票价格、期权行权价格、无风险利率、期权到期时间和股票波动率等因素来计算期权的理论价值。
期权定价模型在金融衍生品市场中具有重要的应用价值，为期权交易者提供了参考。
五、现金流量贴现模型（DCF）现金流量贴现模型是评估投资项目价值的常用方法。
该模型将未来的现金流量折现到现值，以确定投资项目的净现值。
DCF模型基于时间价值的概念，认为未来的现金流量价值低于现在的现金流量价值。
金融学十大模型
金融学十大模型1. 市场有效性模型 (Efficient Market Hypothesis, EMH): 该模型主张市场因素和信息已经被完全反映在股票价格中，因此股票价格是公正和公平的。
2. 资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM): 该模型主张，资本资产的回报率与资产的风险和市场回报率相关。
3. 选股模型 (Stock Picking Model): 该模型是一种将公司的财务数据、市场趋势、产业趋势、公司治理、领导等多种因素进行综合考虑的投资模型。
4. 投资组合理论 (Portfolio Theory): 该模型主张通过投资不同种类的资产，如股票、债券、房地产等，可以实现投资组合的最优化。
5. 期权估值模型 (Option Pricing Model): 该模型主张通过衡量期权的内在价值和时间价值，来预测期权价格。
6. 金融衍生品估值模型 (Financial Derivative Pricing Model):该模型主张通过计算金融衍生品的未来现金流，来预测其价格。
7. 财务报表分析模型 (Financial Statement Analysis Model): 该模型主张通过对公司的财务报表进行分析，来评估公司的健康状况和投资价值。
8. 风险管理模型 (Risk Management Model): 该模型主张通过对潜在风险进行识别、量化和控制，来最大程度降低风险对投资组合的影响。
9. 信贷风险模型 (Credit Risk Model): 该模型主张通过对借款人的信用记录、资产负债表、现金流等进行分析，来评估借款人的信贷风险。
10. 财务规划模型 (Financial Planning Model): 该模型主张通过对个人或家庭的收入、支出、资产、负债等进行综合考虑，来制定长期财务规划和投资决策。
金融数学的基础知识
金融数学的基础知识一、概率论概率论是研究随机现象的规律和统计规律的数学分支。
在金融中，概率论常被用于建立各种金融模型。
例如，布朗运动模型就是基于概率论建立的。
概率论的基本概念有样本空间、事件、概率三要素。
概率是描述随机事件发生可能性大小的数字，其取值范围在0到1之间。
事件的概率越大，其发生的可能性也越大。
二、数理统计数理统计是利用数学方法对概率分布进行研究和分析的一门学科，它的研究对象是大量随机数据的普遍规律性。
在金融中，数理统计常用于分析市场波动的性质和规律。
数理统计中的重要概念包括样本、总体、参数、统计量、抽样分布等。
其中，样本是指从总体中选取出的一部分数据，总体是指所有数据的集合。
参数是总体的某种特征，统计量是样本的某种特征。
抽样分布是样本统计量的分布规律。
三、微积分微积分是以极限为基础的数学分支，主要研究变化过程及其规律性。
在金融中，微积分常用于建立金融模型和计算金融导数。
微积分的基本概念包括导数、微分、积分。
其中，导数是函数变化率的度量，微分是函数值与自变量变化量之间的关系，积分是函数曲线下面积的度量。
四、线性代数线性代数是研究线性方程组和线性变换的数学分支，常用于解决金融数据处理中的特征分析和多元统计问题。
例如，金融时间序列分析中，使用协方差矩阵对多个证券价格的关联程度进行分析。
线性代数的基本概念有向量、矩阵、行列式、特征值与特征向量等。
其中，向量是有大小和方向的量，矩阵是由多个向量排列而成的矩形阵列，行列式是一个数，用于表示矩阵的某些性质。
特征值与特征向量是矩阵特有的特性，用于描述线性变换对向量的影响。
五、随机过程随机过程是研究一组随机变量在时间上的演化规律的数学分支。
在金融中，随机过程常用于研究金融市场中价格的随机演化规律。
随机过程的基本概念有状态空间、时间集合、随机变量、过程等。
其中，状态空间是描述随机变量取值范围的集合，时间集合是描述随机过程时间演化范围的集合。
随机变量是随机过程中的各个状态变量。
金融经济学主要模型及其发展
金融经济学主要模型及其发展在二十世纪后半期，数学规划和随机方程等数学工具和方法在金融实践中的应用得到了很大的发展。
1952年，Harry·M·Markowitz发表了著名的论文“Portfolio Selection”，该论文提出的均值-方差分析首次定量地分析了投资组合中风险与收益之间的内在关系，使人们可以系统地描述和解决投资组合的最优化问题，它在投资组合理论中具有关键作用。
1964-1966年，Sharp、Lintner和Mossin分别独立地发现了资本资产定价模型(CAPM)，这是一个一般均衡模型，它试图为这些问题提供较为明确的答案。
CAPM不仅使人们提高了对市场行为的了解，而且还提供了实践上的便利，同时也为评估风险调整中的业绩提供了一种实用的方法。
因此CAPM为投资组合分析的多方面的应用提供了一种原始的基础。
1974年，罗斯（Stephen Ross）在资本资产定价模型基础上提出了一种新的资本资产均衡模型——套利定价模型APT(Arbitrage Pricing Theory)。
套利定价理论导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。
套利定价理论以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。
事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现套利定价理论形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。
因此，套利定价理论可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。
马科维茨提出的现代资产组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价模型等一起构成了现代金融学的理论基础。
为提高模型的适用性，后来的学者又对这些模型有了各自的研究，提出了一些新的看法。
本章将对这些模型及其演变进行系统的介绍。
现代资产组合理论马柯维茨(Markowitz)“资产组合”理论始创于1952年。
金融模型
金融问题的差分方程模型1．贷款模型问题：设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。
模型假设：设贷款后第 k个月后的欠款数是元，月还款为元，月贷款利息为。
模型建立：关于离散变量，考虑差分关系有：，即：（3.15）这里已知有：模型求解：令，则这就是差分方程（3.15）的解。
把已知数据代入中，可以求出月还款额。
例如：时，可以求出：元。
模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。
如果令，则，并且当时，总有，即表明：每月只还上了利息。
只有当时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。
2.养老保险模型问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。
也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。
模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。
过程的结果在条件一定时是确定的。
整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。
假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为，每月收益率为，用分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。
模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足：，在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M个月时，能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。
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Test if a series is white noise H0 : τ1 = τ2 = ...τs = 0 H1 : at least one of them is not zero. Box-Ljung Statistic (or modified Q-statistic): Q ∗ = T (T + 2)
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Calculation of PACF: Regression Approach Given a time series yt , Fit AR(1) model: yt = τ11 yt −1 + εt Fit AR(2) model: yt = τ21 yt −1 + τ22 yt −2 + εt ... Fit AR(s) model: yt = τs1 yt −1 + ... + τss yt −s + εt
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Example: Hang Seng Index from 1980M10 to 2009M09 H0 : τ1 = τ2 = ...τ4 = 0 H1 : at least one of them is not zero. Box-Ljung Statistic (or modified Q-statistic): Q ∗ = T (T + 2)
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In Eviews: ˆs ) ≈ Standard error (large sample): SE (τ
1 √ T .96 √ The 95% non-rejection region is computed as ± 1 . T
If the sample autocorrelation is within these bounds, it is not significantly different from zero at e 5% significance level.
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Example: Hang Seng Index from 1980M10 to 2009M09 We are given observations on the logarithmic real Hang Seng Index and want to find out whether those observations have been generated by a random walk. We can compute the log returns rt and find out whether those observations could have been generated by a white noise process.
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If the true model is MA(1): yt = εt + θ1 εt −1 , it can be rewritten as
2 3 yt = θ1 yt −1 − θ1 yt −2 + θ1 yt −3 − .. + εt
2 ˆk / (T − k ) ∑τ k =1 s
= 347 ∗ (347 + 2) ∗ [0.0532 /(347 − 1) + (−0.016)2 /(347 − 2) + (−0.041)2 /(347 − 3) + (−0.108)2 /(347 − 4)] = 5.783 The test statistic follows a χ 2 distribution with 4 degrees of 2 freedom under the null hypothesis, χ0 .05,4 = 9.48. Since 5.783 < 9.48, we fail to reject the null against the alternative at the 5% significance level.
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Autocorrelation Function (ACF)
For a stationary process yt , the autocovariance function γs = Cov (yt , yt −s ) = E [(yt − µ ) (yt −s − µ )] . the autocorrelation is τs = corr (yt , yt −s ) = Properties of ACF τ0 = 1 |τs | ≤ 1 τs = τ−s , ∀s
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Model Identification
We have studied a large class of linear parametric models for stationary time series processes. Now, the question is how can we find the best suitable model for a given observed series. How to choose the appropriate model?
Lecturer: Dr George Milunovich
Email: unovich@.au Phone: 9850 8543 Office: E4A Bld Room 436 Lecture: Friday 6- 8pm at C5C T1 Theater Consultation: Monday 10:00-12:00noon in teaching weeks
ECON334: Financial Econometrics Lecture 6: Model Identification Tools
April, 2015
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Organization Issues: Lectures
Unit Convenor: Dr Shuping Shi
Email: Shuping.shi@.au Phone: 9850 8501 Office: E4A Bld Room 441 Lecture: Thursday 12- 2pm at C5C T1 Theater Consultation: Friday 1-3pm in teaching weeks
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Hypothesis Testing: ˆs is distributed For large samples it can be shown that τ 1 approximately as a N (τs , T ). H0 : τs = 0 H1 : τs = 0 Test statistics: Zτs = Reject H0 if |Zτs | > zα /2 ˆ τ s − τs 1/T
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Partial Autocorrelation Function
Partial Autocorrelation (PACF) is the correlation between yt and yt −s after their mutual linear dependency on the intervening variables yt −1 , yt −2 , ..., yt −s+1 has been removed. The conditional correlation corr (yt , yt −s |yt −1 , yt −2 , ..., yt −s+1 ) = τss is usually referred as the partial autocorrelation in time series.
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Model Identification
ACF and PACF show specific properties for specific models. Using the patterns of sample ACF and sample PACF, we can identify the model.
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If the true model is AR(1): yt = φ1 yt −1 + εt Fit AR(1) model: τ11 = φ1 Fit AR(2) model: τ21 = φ1 , τ22 = 0 Fit AR(3) model: τ31 = φ1 , τ32 = 0, τ33 = 0 If the true model is AR(2): yt = φ1 yt −1 + φ2 yt −2 + εt Fit AR(1) model: τ11 =?, nonzero Fit AR(2) model: τ21 = φ1 , τ22 = φ2 Fit AR(3) model: τ31 = φ1 , τ32 = φ2 , τ33 = 0 Property: For AR(p) model, τss = 0 for all s > p and τpp = 0.
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γs ⇒ ACF γ0
Autocorrelation Function (ACF)
Sample ACF: ˆs = τ ¯ ) (yt −s − y ¯) ∑T t =s+1 (yt − y 2 ¯) ∑T t =1 (yt − y
Variance of the sample ACF (large sample): ˆs ) = T −1 . Var (τ
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Eviews: open the data series/view/correlogram/level (lags to include: 10)
√ ˆ Notice that |τ 4 | = 0.108 > 1.96/ T = 0.105.
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1 Zτ1 = √τˆ 2 Zτ2 = √τˆ 3 Zτ3 = √τˆ