最新冲刺高考数学二轮复习核心考点：立体几何中的平行与垂直问题(含解析)

专题12 立体几何中的平行与垂直问题【自主热身，归纳总结】1、设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β.其中正确命题的序号为________．【答案】.④【解析】：对于①，直线m可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m与n相交的条件，故②错误；对于③，m与n也可能异面，故③错误．2、已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________(填序号)．【答案】③④如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因为平面ABC1D1与平面ADC1B1不垂直，故①不正确；因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故②不正确．同理，我们以正方体的模型观察，可得③④正确．3、若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．【答案】：②④4、已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号．．．．．．．．．．．)．【答案】：①④【解析】：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m⊂β，所以m∥α.5、设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)【答案】：④【解析】：①b和c可能异面，故①错；②可能c⊂α，故②错；③可能c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．6、在所有棱长都相等的三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：(1) BC∥平面PDF； (2) DF∥平面PAE；(3) 平面PDF⊥平面ABC； (4) 平面PDF⊥平面PAE.其中正确命题的序号为________．【答案】：(1)(4)【解析】由条件可证BC∥DF，则BC∥平面PDF，从而(1)正确；因为DF与AE相交，所以(2)错误；取DF中点M(如图)，则PM⊥DF，且可证PM与AE不垂直，所以(3)错误；而DM⊥PM，DM⊥AM，则DM⊥平面PAE.又DM⊂平面PDF，故平面PDF⊥平面PAE，所以(4)正确．综上所述，正确命题的序号为(1)(4)．7、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，正确结论的序号是________．【答案】：①③【解析】过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确．【问题探究，变式训练】例1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：(1) 平面AB1E⊥平面B1BCC1；(2) A1C∥平面AB1E.【解析】： (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AE⊂平面ABC，所以CC1⊥AE因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为BC⊂平面B1BCC1，CC1⊂平面B1BCC1，且BC∩CC1＝C，所以AE⊥平面B1BCC1.因为AE⊂平面AB1E，所以平面AB1E⊥平面B1BCC1(2) 如图，连结A1B，设A1B∩AB1＝F，连结EF.在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C因为EF⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E.【变式1】、【如图，在三棱锥PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点，点N在棱PC上，点D是BN 的中点．求证：(1) MD∥平面PAC；又因为CE⊂平面BEC，所以AH⊥CE.(14分)【变式6】、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点．求证：(1) B1M∥平面A1BN；(2) AD⊥平面A1BN.【解析】： (1) 如图，连结MN，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形A1ACC1是矩形．因为M，N分别是棱A1C1，AC的中点，所以四边形A1ANM也是矩形，从而MN∥A1A.(2分)又因为A1A∥B1B，所以MN ∥B1B.所以四边形B1BNM是平行四边形，则B1M∥BN.(4分)因为B1M⊄平面A1BN，BN⊂平面A1BN,所以B1M∥平面A1BN.(6分)(2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，所以AA1⊥BN.因为N是正三角形ABC的边AC的中点，所以AC⊥BN.又因为A1A∩AC＝A，A1A，AC⊂平面A1ACC1，所以BN⊥平面A1ACC1.因为AD⊂平面A1ACC1，所以BN⊥AD.(10分)在平面A 1ACC 1中，tan ∠A 1NA ·tan ∠DAC ＝61·632＝1，所以∠A 1NA 与∠DAC 互余，得AD⊥A 1N.(12分)因为AD⊥BN，AD ⊥A 1N ，BN ∩A 1N ＝N ，且A 1N ，BN ⊂平面A 1BN ，所以AD⊥平面A 1BN.(14分) 【关联1】、 如图，正三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，点D ，E 分别是A 1C ，AB 的中点． (1) 求证：ED ∥平面BB 1C 1C ；(2) 若AB ＝2BB 1，求证：A 1B⊥平面B 1CE.【解析】 (1) 连结AC 1，BC 1，因为AA 1C 1C 是矩形，D 是A 1C 的中点，所以D 是AC 1的中点．(2分) 在△ABC 1中，因为D ，E 分别是AC 1，AB 的中点， 所以DE ∥BC 1.(4分)因为DE ⊄平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ， 所以ED ∥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 因为△ABC 是正三角形，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB.又因为正三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，平面ABC∩平面ABB 1A 1＝AB ，CE ⊂平面ABC ， 所以CE ⊥平面ABB 1A 1.从而CE ⊥A 1B.(9分)在矩形ABB 1A 1中，因为A 1B 1B 1B ＝2＝B 1BBE，所以Rt △A 1B 1B ∽Rt △B 1BE ，从而∠B 1A 1B ＝∠BB 1E.因此∠B 1A 1B ＋∠A 1B 1E ＝∠BB 1E ＋∠A 1B 1E ＝90°，所以A 1B ⊥B 1E. 又因为CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ，CE∩B 1E ＝E ， 所以A 1B ⊥平面B 1CE.(14分) 例2、如图，在四棱锥P ABCD -中，，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．【解析】： 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，， 因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又，所以BD ⊥平面PCO ．因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥，又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．【变式1】、如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．【解析】：（1）因为BD ∥平面AEF ， BD平面BCD ，平面AEF∩平面BCD ＝EF ，所以 BD ∥EF ． 因为BD 平面ABD ，EF 平面ABD ，所以 EF∥平面ABD．（2）因为AE⊥平面BCD，CD平面BCD，所以 AE⊥CD．因为 BD⊥CD，BD∥EF，所以 CD⊥EF，又AE∩EF＝E ，平面AEF，EF平面AEF，所以 CD⊥平面AEF．又 CD平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．【变式2】、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB EF∥；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF EF⊥．A B CD EFP(第16题)【变式3】、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD， M，N 分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．【解析】（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB．又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，M为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD= AD，又因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD，PD⊂平面PCD，，所以AM⊥平面PCD．【易错警示】立几的证明必须严格按教材所给的公理、定理、性质作为推理的理论依据，严禁生造定理，在运用定理证明时必须在写全定理的所有条件下，才有相应的结论，否则会影响评卷得分.【变式4】、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．(1) 求证：PC∥平面BDE；(2) 若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.易错警示 在立体几何中，一定要用课本中允许的有关定理进行推理论证，在进行推理论证时，一定要将定理的条件写全，不能遗漏，否则，在评分时将予以扣分，高考阅卷对立体几何题证明的规范性要求较高．【关联1】、如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC ⊥平面ABCD ，E 为棱PA 上一点． (1) 求证：BD ⊥OE ；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO ∥平面PBC.【解析】(1) 因为平面PAC ⊥ 平面ABCD ，平面PAC∩ 平面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAC.又因为OE ⊂平面PAC ，所以BD ⊥OE.(6分) (2) 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于点O ， 所以CO ∶OA ＝CD ∶AB ＝1∶2.又因为AE ＝2EP ，所以CO ∶OA ＝PE ∶EA ， 所以EO ∥PC.又因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄平面PBC ， 所以EO ∥平面PBC.(14分)【关联2】、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝2AB ，D 是AB 的中点． (1) 求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2) 若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD.【解析】 (1)连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD.因为四边形AA 1C 1C 是矩形，所以O 是AC 1的中点. (2分)在△ABC 1中， O ，D 分别是AC 1，AB 的中点，所以OD ∥BC 1. (4分)又因为OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(6分)(2) 因为CA ＝CB ，D 是AB 的中点，所以CD ⊥AB ﹒又因为在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥侧面AA 1B 1B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥平面AA 1B 1B ﹒ (8分)因为AP ⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AP. (9分)因为BB 1＝AA 1＝2BA ，BP ＝14BB 1， 所以BP BA ＝24＝AD AA 1，所以Rt △ABP ∽Rt △A 1AD ， 从而∠AA 1D ＝∠BAP ，所以∠AA 1D ＋∠A 1AP ＝∠BAP ＋∠A 1AP ＝90°，所以AP ⊥A 1D.(12分)又因为CD∩A 1D ＝D ，CD ⊂平面A 1CD ，A 1D ⊂平面A 1CD ，所以AP ⊥平面A 1CD.(14分)【关联3】、如图，在三棱锥PABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点．(1) 求证：PB ∥平面MNC ；(2) 若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC.【解析】 (1) 因为M ，N 分别为AB ，PA 的中点，所以MN ∥PB.(2分)因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC,所以PB ∥平面MNC.(4分)(2) 因为PA ⊥PB ，MN ∥PB ，所以PA ⊥MN. (6分)因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB. (8分)因为平面PAB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面PAB∩平面ABC ＝AB ，所以CM ⊥平面PAB. (12分) 因为PA ⊂平面PAB ，所以CM ⊥PA.因为PA ⊥MN ，MN ⊂平面MNC ，CM ⊂平面MNC ，MN∩CM＝M ，所以PA ⊥平面MNC. (14分)【关联4】、如图，已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 是AD 的中点，N 是PC 的中点．(1) 求证：MN ∥平面PAB ；(2) 若平面PMC ⊥平面PAD ，求证：CM ⊥AD.【解析】 (1) 如图，取PB 的中点E ，连结AE ，NE.因为E ，N 分别是PB ，PC 的中点，所以EN ∥BC 且EN ＝12BC. 因为底面ABCD 是平行四边形，M 是AD 的中点，所以AM ∥BC 且AM ＝12BC ，(3分) 所以EN ∥AM 且EN ＝AM ，四边形AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE ，(5分)因为MN ⊄平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，所以MN ∥平面PAB.(7分)(2) 如图，在平面PAD 内，过点A 作AH ⊥PM ，垂足为H.因为平面PMC ⊥平面PAD ，平面PMC∩平面PAD ＝PM ，因为AH ⊂平面PAD ，AH ⊥PM ，所以AH ⊥平面PMC ，从而AH ⊥CM.(10分)因为PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CM.(12分)因为PA∩AH＝A ，PA ，AH ⊂平面PAD ，所以CM ⊥平面PAD ，因为AD ⊂平面PAD ，所以CM ⊥AD.(14分)例3、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．(1) 若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；(2) 若A 1B ∥平面ADC 1，求BD DC的值．【解析】： (1) 因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC.(2分)因为ABC-A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC.因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD.(4分)因为BC∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(6分)(2) 连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点．(8分)因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD.(12分)因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BD DC＝1.(14分)【变式1】、如图，在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝DB ＝DC ，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AF AC＝λ.(1) 若EF ∥平面ABD ，求实数λ的值；(2) 求证：平面BCD ⊥平面AED.【解析】 (1) 因为EF ∥平面ABD ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC∩平面ABD ＝AB ，所以EF ∥AB.(3分) 又E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，所以F 为AC 的中点．由AF AC ＝λ得λ＝12.(6分) (2) 因为AB ＝AC ＝DB ＝DC ，E 是BC 的中点，所以BC ⊥AE ，BC ⊥DE.(9分)又AE∩DE＝E ，AE ，DE ⊂平面AED ，所以BC ⊥平面AED.(12分)而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED.(14分)【变式2】、如图，在四棱锥PABCD 中，AD ＝CD ＝12AB ，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD. (1) 求证：BC ⊥平面PAC ；(2) 若M 为线段PA 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与PB 交于点N ，求PN ∶PB 的值．【解析】 (1) 连结AC.不妨设AD ＝1.因为AD ＝CD ＝12AB ，所以CD ＝1，AB ＝2. 因为∠ADC ＝90°，所以AC ＝2，∠CAB ＝45°.在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2. 所以BC ⊥AC.(3分)因为PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥PC.(5分)因为PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PC∩AC＝C ，所以BC ⊥平面PAC.(7分)(2) 因为AB ∥DC ，CD ⊂平面CDMN ，AB ⊄平面CDMN ，所以AB ∥平面CDMN.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB∩平面CDMN ＝MN ，所以AB ∥MN.(12分)在△PAB 中，因为M 为线段PA 的中点，所以N 为线段PB 的中点，即PN ∶PB 的值为12.(14分) 【关联1】、 如图，在三棱锥PABC 中，D 为AB 的中点．(1) 与BC 平行的平面PDE 交AC 于点E ，判断点E 在AC 上的位置并说明理由；(2) 若PA ＝PB ，且锐角三角形PCD 所在平面与平面ABC 垂直，求证：AB ⊥PC.【解析】(1) E 为AC 的中点．理由如下：平面PDE 交AC 于点E ，即平面PDE∩平面ABC ＝DE ，而BC ∥平面PDE ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ∥DE.(4分)在△ABC 中，因为D 为AB 的中点，所以E 为AC 的中点．(7分)(2) 因为PA ＝PB ，D 为AB 的中点，所以AB ⊥PD ，如图，在锐角三角形PCD 所在平面内过点P 作PO ⊥CD 于点O ，因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD∩平面ABC ＝CD ，所以PO ⊥平面ABC.(10分)因为AB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥AB.又PO∩PD＝P ，PO ，PD ⊂平面PCD ，所以AB ⊥平面PCD.又PC ⊂平面PCD ，所以AB ⊥PC.(14分)【关联2】、 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，且PB ＝PD.(1) 求证：BD⊥PC；(2) 若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.【解析】 (1) 如图，连结AC，交BD于点O，连结PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.(2分)又因为O为BD的中点，PB＝PD，所以BD⊥PO.(4分)又因为AC∩PO＝O，所以BD⊥平面APC.又因为PC⊂平面APC，所以BD⊥PC.(7分)(2) 因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.(9分)因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.(11分)又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l.所以BC∥l.(14分)【关联3】、如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.(1) 若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：CP⊥PA：(2) 若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.。