2020年北师大版数学必修二课时作业1.7.3

第一章 §7 7.3
A 级 基础巩固
一、选择题
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为( C ) A ．8∶27 B ．2∶3 C ．4∶9
D ．2∶9
[解析] 设这两个球的半径分别是r ，R ，则4π3r 3
4π3R 3＝827，所以r R ＝2
3.则两个球的表面积之
比为4πr 24πR 2＝(r R )2＝49
．
2．圆柱的高与底面直径都和球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积的比是( D )
A ．6∶5
B ．5∶4
C ．4∶3
D ．3∶2
[解析] 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，母线长为2R ，则圆柱的表面积为2πR 2
＋2πR ×2R ＝6πR 2，球的表面积为4πR 2，所以圆柱的表面积与球的表面积的比是6πR 2∶4πR 2＝3∶2．
3．直径为6的球的表面积和体积分别是( D ) A ．144π，144π B ．144π，36π C ．36π，144π
D ．36π，36π
[解析] 球的半径为3，S 球＝4π×32＝36π． V 球＝4
3
π×33＝36π．
4．正方体的全面积为54，则它的外接球的表面积为( A ) A ．27π B ．823π
C ．36π
D ．932
π
[解析] S 正＝54，∴边长a ＝3,2R ＝33， ∴S 球＝4πR 2＝π(2R )2＝π×(33)2＝27π．
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( A )
A ．81π4
B ．16π
C ．9π
D ．27π4
[解析] 本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积运算．设球的半径是r ，根据题意可得(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以球的表面积是S ＝4πr 2＝4π(94)2＝81π
4
．
6．球面上四点P 、A 、B 、C ，已知P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，则球的表面积为( B )
A ．2πa 2
B ．3πa 2
C ．4πa 2
D ．6πa 2
[解析] 可将P A 、PB 、PC 作为正方体从同一点引出的三条棱，则正方体的对角线长为正方体外接球的直径．
∴有3a ＝2R ，∴R ＝3
2
a ，∴S ＝4πR 2＝3πa 2． 二、填空题
7．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为__2πa 2__．
[解析] 气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长2a ，则此时气球的半径r ＝
22a ，则表面积为4πr 2＝4π×(2
2
a )2＝2πa 2． 8．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为__9
2
π__．
[解析] 本题考查球的表面积计算．结合图形利用截面与大圆构成的直角三角形，由勾股定理求解．
如图设球O 半径为R ，则BH ＝43R ，OH ＝R
3，截面圆半径设为r ，
则πr 2＝π，r ＝1，即HC ＝1，由勾股定理得R 2－(R 3)2＝1，R 2＝9
8，S 球
＝4πR 2＝9
2
π．
三、解答题
9．正方体的全面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积． [解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，∴a ＝2， 正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r ＝2，r ＝1， 故内切球的体积V 内＝43πr 3＝4
3π．
外接球的直径等于正方体的对角线长， ∴2R ＝3a ，∴R ＝3，
故外接球的体积V 外＝43πR 3＝4
3π×(3)3＝43π．
10．一倒置圆锥体的母线长为10cm ，底面半径为6cm ． (1)求圆锥体的高；
(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间． [解析] (1)设圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为l ，则h ＝l 2－R 2＝
102－62＝
8(cm)．
(2)球放入圆锥体后的轴切面如图所示，设球的半径为r ， 由△OCD ∽△ACO 1得OD O 1A ＝OC
AC ．
∴r 6＝8－r 10
，解得r ＝3． 圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即 V 锥－V 球＝13×π×62×8－4
3
π×33＝96π－36π＝60π(cm 3)．
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( C )
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
[解析] 如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积
最大，设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝1
6R 3＝36，故R ＝6，则球O
的表面积为S ＝4πR 2＝144π，故选C ．
2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π
3
，则它的表面积是( A )
A ．17π
B ．18π
C ．20π
D ．28π
[解析] 由三视图可得此几何体为一个球切割掉1
8后剩下的几何体，设球的半径为r ，故
78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋3
4
πr 2＝17π，选A ． 二、填空题
3．(2017·天津理，10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为__9π
2
__．
[解析] 设正方体的棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝3． 设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，
∴R ＝32
．
故球的体积V ＝43πR 3＝43π×(32)3＝9π
2
．
4．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比
值为__1
3
__．
[解析] 本题主要考查了球、球的截面问题，同时考查了学生解决实际问题的能力． 依据题意画出示意图：
设球半径R ，圆锥底面半径r ，则 πr 2＝
316
·4πR 2， 即r 2＝34R 2，在Rt △OO 1C 中，由OC 2＝OO 21＋O 1C 2
得OO 1＝12R ． 所以，高的比为13.
三、解答题
5．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S 1、S 2、S 3，试比较它们的大小．
[解析] 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2．
由题意知，4
3πR 3＝a 3＝πr 2·2r ，
∴R ＝334πa ，r ＝312π
a ，
∴S 2＝4π⎝ ⎛⎭⎪⎫334πa 2
＝4π·3916π2
a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝ ⎛⎭⎪⎫312πa 2
＝6π·314π2a 2＝354πa 2， ∴S 2<S 3．
又6a 2>332πa 2＝3
54πa 2，即S 1>S 3． ∴S 1、S 2、S 3的大小关系是S 2<S 3<S 1．
6．两个球的体积之和为12π，这两个球的大圆周长之和为6π，求大球半径与小球半径之差．
[解析] 设两球的半径为R ，r (R >r )．由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
43πR 3＋43πr 3＝12π2πR ＋2πr ＝6π
，得⎩⎪⎨⎪⎧
R 3＋r 3＝9R ＋r ＝3
∵R 3＋r 3＝(R ＋r )(R 2－Rr ＋r 2)＝9， ∴R 2－Rr ＋r 2＝3，
∴(R ＋r )2－3Rr ＝3，得Rr ＝2， ∴(R －r )2＝(R ＋r )2－4Rr ＝1，
∴R －r ＝1.故大球半径与小球半径之差为1．
7．设四面体的各条棱长都为1，若该四面体的各个顶点都在同一个球的球面上，求球的表面积．
[解析] 如图，由已知四面体的各条棱长都为1，得各个面都是边长为1的正三角形，过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连接BO .在Rt △AOB 中，
AB ＝1，BO ＝32×23＝3
3
， 所以AO ＝
1－13＝63
． 设球的半径为R ，球心为O 1，则O 1在线段AO 上，OO 1＝AO －R ＝6
3
－R ，O 1B ＝R ，BO ＝
33
， 在Rt △O 1OB 中，O 1B 2＝OB 2＋OO 21， 即R 2＝⎝⎛
⎭⎫332＋⎝⎛⎭
⎫63－R 2，解得R ＝64．
所以球的表面积为S ＝4πR 2＝
3π
2
．。