【精品】高等数学12数列的极限

以 xn
1 (1)n1 n
为例.
lim
n
xn
1
（1）用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程 度：
用 xn 1 表示数列与常数值的距离，另用正数
ε表示两者接近的程度.
xn
1
1 (1)n1 n
1
(1)n1 1 n
1 n
随着n的增加，1n 会越来越小.
xn
1
1 n
给定 1 ,
100
由1 1 , n 100
2 3 4 n1
n 1
2,4,8,,2n ,;
{2n}
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
{1} 2n
1,1,1,,(1)n1,; {(1)n1}
2, 1 , 4,, n (1)n1 ,;
23
n
{n (1)n1} n
数列的几何意义：
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取 数轴上的点 x1, x2, x3, , xn , .
任意给定 0, 只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
只要n无限增大，xn 就会与1无限接近.
确保
nN
xn 1
定义 设{xn}为一数列，如果存在常数 a，对于任意 给定的正数 （不论它多么小）总存在正整数 N ， 使得当 n>N时，不等式
xn a
都成立，那么称常数 a 是数列{xn}的极限，或者称 数列{xn}收敛于 a ，记为
0（不妨设
0）, 要使xn
a
sin n (n 1)2
(n
1 1)2
取 N [ 1 1] ，则当n > N时，就有
sin n 0
称为数列. 记为： f (n) （n =1，2，…,)
若记：xn f (n) , n Z ，则数列记为：
x1, x2,, xn ,
或 xn
（n=1，2，…，），或
{ xn }，或
(
xn
) n1
数列中的每一项称为数列的项，其中第n项xn叫 做数列的通项或一般项.
1 , 2 , 3 ,, n ,; { n }
n
r
当n无限增大时, 无限逼近S. 如何用数学语言来描述这一逼近过程呢？ 回答：需要引入数列极限的概念，用它来刻画 这个过程.
一、数列极限的定义
定义 一个以正整数为定义域的函数 y=f(n) 称为整标 函数. 当自变量n按正整数增大顺序依次取值时，所 得一串有序的函数值：
f (1), f (2),, f (n),
1,
所以, 取N [1],
则当n N时,
就有n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
【例2】已知 x sin n n (n 1)2
，证明 lim x 0 . n n
证：由于 x a sin n 0 sin n 1
n
(n 1)2
(n 1)2 (n 1)2
只要
n
100时, 有
xn
1
1, 100
给定 1 ,
1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定
1, 10000
只要
n
10000时,
有
xn
1
1, 10000
引入 (不论多么小的正数)来刻划接近程度，即
给定 0,
只要 n N( [1])时,
有 xn 1 成立.
（2） 引入符号N和来刻化无限增大和无限接近：
lim
n
xn
a
或
xn a (n )
如果数列没有极限，就说数列是发散的. 也说 极限不存在.
N 定义 (其中 ：任意，：存在.)
lim
n
xn
a
0,
N
0,
当n
N时，有xn
a
.
说明：N 与任意给定的整数 有关，且不是唯
一的.
几何解释:
a 2 a x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
数列的极限
观察数列{1 (1)n1} 当 n 时的变化趋势. n
当n 无限增大时,
xn
1
(1)n1 nຫໍສະໝຸດ 无限接近于1.问题: （1） 当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于某一确 定的数值. “无限接近” 如何用数学语言来刻划；
（2） 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近于某 一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述?
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意： N定义只能用于证明极限,不能用来求极限.
【例1】 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证： xn 1
n (1)n1 1 1
n
n
任给
0,
要使xn 1 ,
只要 1 n
,
或n
1，8，27，…，n3，…
无界，因为无论正数M取多大，当 n [3 M 1]时，
必有：
xn M
无界
数列有上界有下界
若存在实数M，有：
xn M
(n 1,2,)
称数列{ xn}有上界, 否则称为无上界.
若存在实数m，有：
xn m
(n 1,2,)
称数列{ xn}有下界，否则称为无下界.
例如数列 1，2，3，…，n，…
例如数列 1, 1, 1, , (1)n1, .
0, 1 1 , 1 1, , 1 (1)n ,
23
n
（2）有界性
如果对任何的正整数n，恒有：
xn M
其中，M为与n无关的正数，那么称数列{ xn}有界， 否则无界.
例如数列 1 , 2, , n ,
23
n 1
xn
n n 1
1
有界
数列
x1
xn x4 x3 x5 x2
数列的性质 (1) 单调性
xn xn1 xn xn1
单调增数列 单调减数列
例如数列 2, 4, 8, , 2n ,
{21n }
:
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,
单调增与单调减数列统称为单调数列，单调数 列在数轴上的点随n的增大朝着一个方向移动.
非单调增与非单调减数列称为摆动数列.
有下界但无上界. 数列有界的充分必要条件是既有上界又有下界.
由于数列每一项与数轴上的点一一对应，故当 数列有界时，因为：
xn M
M xn M
所以，数列对应的点都落在有限区间[-M，M]内.
[
]
-M
0
M
讨论的问题：当n无限增大时（即n→∞时），
对应的 xn=f (n) 是否能无限接近于某个确定的数值？ 如果能，这个数值等于多少？
第二节 数列的极限
典型问题 圆面积问题
割圆术：
“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”
——刘徽 （公元3世 纪，魏晋）
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
r
正 6 2n1 形的面积 An
A1, A2, A3,, An ,
S
如图所示,由正弦定理可知