平面向量的坐标表示(课堂PPT)
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《平面向量的坐标表示》课件
解析
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
《平面向量的坐标表示》ppt课件
OM 2i， ON 3j．
由平行四边形法则知
OA OM ON 2i 3 j．
图7－17
动脑思考
探索新知
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， (1) 设点 M ( x, y)，则 OM xi + yj（如图7－18(1)）；
(2) 设点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) （如图 7－ 18(2)） ，则
运用知识
组合表示向量OA．
强化练习
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i与j的线性
OA 2， 3 =-2i 3 j．
2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4 ．
运用知识
强化练习
， BA 的坐标． 已知A，B两点的坐标，求 AB
动脑思考
探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对 有序实数 ( x, y )， 使得 a xi yj ．有序实数对 ( x, y ) 叫做向量a的坐标，记作
a ( x, y )．
巩固知识
典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示 向量a、b, 并写出它们的坐标．
（3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
略.
创设情境
兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥ b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考
探索新知
设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 由 a b ，有
运用知识
强化练习
3．已知A，B两点坐标，求 AB， BA 的坐标及模． (1) A (5,3)， (2) A (1,2)， (3) A (4,0)， B (3，−1)； B (2，1)； B (0，−3)．
由平行四边形法则知
OA OM ON 2i 3 j．
图7－17
动脑思考
探索新知
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， (1) 设点 M ( x, y)，则 OM xi + yj（如图7－18(1)）；
(2) 设点 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 ) （如图 7－ 18(2)） ，则
运用知识
组合表示向量OA．
强化练习
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量OA 的坐标，并用i与j的线性
OA 2， 3 =-2i 3 j．
2． 设向量 a 3i 4 j,写出向量e的坐标．
a 3， 4 ．
运用知识
强化练习
， BA 的坐标． 已知A，B两点的坐标，求 AB
动脑思考
探索新知
由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对 有序实数 ( x, y )， 使得 a xi yj ．有序实数对 ( x, y ) 叫做向量a的坐标，记作
a ( x, y )．
巩固知识
典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i、j表示 向量a、b, 并写出它们的坐标．
（3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
略.
创设情境
兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥ b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考
探索新知
设 a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 由 a b ，有
运用知识
强化练习
3．已知A，B两点坐标，求 AB， BA 的坐标及模． (1) A (5,3)， (2) A (1,2)， (3) A (4,0)， B (3，−1)； B (2，1)； B (0，−3)．
平面向量的坐标表示使用共25页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
平面向量的坐标表示使用
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入Байду номын сангаас网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
中职数学基础模块下册《平面向量的坐标表示》课件
中职数学基础模块下册 《平面向量的坐标表示》 ppt课件
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
欢迎来到中职数学基础模块下册的《平面向量的坐标表示》课程！本课件将 带你了解向量的定义与基本概念，向量的坐标表示方法，向量的运算规则与 性质，向量的数量积与夹角的关系，平面向量的平行与垂直，平面向量的共 线与共面以及平面向量的应用举例。
向量的定义与基本概念
数量积的定义
数量积是两个向量的乘积，表示为向量的点乘， 结果是一个实数。
向量夹角的计算方法
向量夹角可以通过数量积的定义和余弦定理来计 算。
平面向量的平行与垂直
在本节课中，你将学习如何判断两个平面向量的平行与垂直关系。
1 平行向量
两个向量的方向相同或相反时，它们是平行的。
2 垂直向量
两个向量的数量积为0时，它们是垂直的。
平面向量的共线与共面
在本节课中，你将学习如何判断平面上的向量的共线与共面关系。
1
共线向量
当三个向量可以表示同一条直线时，它们是共线的。
2
共面向量
当三个向量可以表示同一平面时，它们是共面的。
3
应用举例
我们将通过实际例子来演示共线向量和共面向量的应用。
平面向量的应用举例
在本节课中，我们将了解平面向量在实际生活中的应用。
建筑设计
平面向量在建筑设计中可以用 于计算不同构件的相对位置。
物理学
平面向量在物理学中可以用于 描述物体的运动和力的作用。
导航系统
平面向量在导航系统中可以用 于确定位置和计算航向。
在本节课中，你将学习如何使用向量的坐标表示方法，包括向量的坐标形式和分解形式。
向量的坐标形式
向量的坐标形式是指将向量表示成一个有序数 对。
向量的分解形式
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
《平面向量的基本定理及坐标表示》(课件)
怎样构造平行四边形？
C
M
a
e1
A
e1 e1O
A'
A
e2B a
N
N B' e2 O e2 B M
C
【例1】 已知 e1 , e2不共线，AB e1 e2，BC
2e1 - 3e2 ,CD 2e1 - ke2 , 且A、C、D三点共 线，试确定实数k的值.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考：给定平面内任意两个向量 e1、
e2 ，请你作向量 3e1 和2e2 e1. 2e2
思考：给定平面内任意两个向量 e1、
e2 ，请你作向量 3e1 和2e2
e.1 2e2
平面内的任意一向量是否都可以用
形如 1e1 的2向e2量表示？
探究（一）：平面向量基本定理
观察如图三个不共线向量e1、a、e2 ,
y
Aa
A(x, y) j
Oi
x
相等向量的坐标必然相等，作向量 OA a,
则 OA (x，y)，此时点A是坐标是什么？
y
Aa
向量坐标不 等同于终点
A(x, y) 坐标。 j
Oi
x
【例4】如图，分 别用基底i, j表示向 量a，b， c，d， 并 求 出 它们的坐标.
课堂小结
1. 平面向量基本定理是建立在向量加法和 数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向 量坐标表示的理论依据, 是一个承前起后的重 要知识点.
怎样构造平行四边形？
C
a
e1
A
B' e2 O e2 B
e1
O
A
e2B
a
C
(2) 改变a的位置如下图两种情况时，
平面向量的坐标表示-PPT课件
3、分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i , j作为基 底， 我们可以用坐标来表示向量吗？
y
P(4, 5)
5
r
e2
3 2
O (1,3) P(3, 2)
r j
r O i1
3
4
rx
e1
uuur r r
OP 3i 2 j
uuuur
r
r
OP (4 1)i (5 3) j
rr
3i 2 j
平面向量的坐标表示
复习回顾
1、平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理:
如么果对于er1 这, er2一是平同面一内平的面任内一的向两量个ar不，共有线且的只向有量一，对那实
数 1, 2 使得 ar 1er1 2er2 。
2、类比力的正交分解新,当知基探底索er1 er2时,你联想r 到r了什么？
一一 对应
r j
O
r i
P( x, y)
x
【 且|例a|＝2】2，|在b|直＝角3，坐| c标|＝系例4x，O题分y 中别讲，计解向算量出它a, b们, c的的坐方标向．如图所示，
例题讲解
【例3】已知点A（1，0）, B（0, 2），C（-1，- 2），求YABCD的顶点D的坐标。
思考：1.如量的方法该如何解答？
B
解：
oA
x
C
D
得（0,2）（- 1,0）（-1，- 2）（- x, y）
即（-1,2）（-1 - x,2 y）
所 以-12-x
1 ,
y2
x y
0 4
即点D的坐标为（0，-4）。
平面向量运算的坐标表示
若a
(
x1,
y
P(4, 5)
5
r
e2
3 2
O (1,3) P(3, 2)
r j
r O i1
3
4
rx
e1
uuur r r
OP 3i 2 j
uuuur
r
r
OP (4 1)i (5 3) j
rr
3i 2 j
平面向量的坐标表示
复习回顾
1、平面向量基本定理的内容是什么？
平面向量基本定理:
如么果对于er1 这, er2一是平同面一内平的面任内一的向两量个ar不，共有线且的只向有量一，对那实
数 1, 2 使得 ar 1er1 2er2 。
2、类比力的正交分解新,当知基探底索er1 er2时,你联想r 到r了什么？
一一 对应
r j
O
r i
P( x, y)
x
【 且|例a|＝2】2，|在b|直＝角3，坐| c标|＝系例4x，O题分y 中别讲，计解向算量出它a, b们, c的的坐方标向．如图所示，
例题讲解
【例3】已知点A（1，0）, B（0, 2），C（-1，- 2），求YABCD的顶点D的坐标。
思考：1.如量的方法该如何解答？
B
解：
oA
x
C
D
得（0,2）（- 1,0）（-1，- 2）（- x, y）
即（-1,2）（-1 - x,2 y）
所 以-12-x
1 ,
y2
x y
0 4
即点D的坐标为（0，-4）。
平面向量运算的坐标表示
若a
(
x1,
公开课平面向量的坐标表示课件
2023
PART 04
平面向量坐标表示的实例 分析
REPORTING
力的合成与分解的实例分析
力的合成
当有两个力同时作用在一个物体上时，其总作用力可以用向量表示。例如，当一个物体受到两个力$F_1$和 $F_2$的作用，其合力的向量表示为$F = F_1 + F_2$。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力。分力的大小和方向可以通过向量的分解得到。例如，一个力$F$可以分解为 两个分力$F_1$和$F_2$，其向量表示为$F = F_1 + F_2$。
练习题 三
总结词
理解向量的数量积与坐标之间的 关系
详细描述
通过计算给定向量的数量积，理 解数量积的计算方法，掌握数量
积与坐标之间的关系。
答案
给定向量$vec{a}=(x_1, y_1)$和 $vec{b}=(x_2, y_2)$，其数量积
的坐标表示为$x_1x_2 + y_1y_2$。
2023
REPORTING
力的矩的实例分析
定义
力矩是一个向量，表示力对物体转动效果的影响。在二维平面中，如果一个力$F$作用 在一个点上，其力矩向量表示为$M = F times d$，其中d是该点到转动轴的距离。
实例
假设有一个门，我们想打开它。作用在门上的推力可以看作是一个力$F$，而门轴到推 力作用点的距离可以看作是d。如果我们知道推力和门轴的距离，就可以计算出打开门
加速度的向量表示
物体的加速度可以表示为速度向量的时间导数。在二维平面中，如果物体的速度向量为 $overset{longrightarrow}{v} = x' vec{i} + y' vec{j}$，则其加速度向量为 $overset{longrightarrow}{a} = x'' vec{i} + y'' vec{j}$。
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a (x1, y1 )
例1:已知
r
r
a (2 ,1 ),b ( 3 ,4 )
r rr r r r
求 a b ,a b ,3 a 4 b的坐标。
解求：uAu A u例u BurB ur2 的.如O u 坐图uB ur标， 。这已O uu知A 是r A 一(x个1,y重1),要By(结x2论,y2！)
QAB(1,3)(2,1)(1,2)
D
uuur
A
DC(3,4)(x, y) (3x,4y) uuur uuur
O
x
且AB DC
13 x
(1,2)(3x,4y)
24 y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
r 平面向量共线的坐标表r 示
a 1.
向量 与非零向量 只有一个实数 ,
使b 得平a行r (共线br)的等价条件是有且
向量 a 的（直角）坐标，记作
r a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在
y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
1 、把 a=x i+y j 称为向量坐标形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标表示.
3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
(x2,y2)(x1,y1) A
B
(x2x1,y2y1)
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
Y 例3.如图，已知 A B C D 的三个顶点A、B、C的
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标。
y
解法１：设点D的坐标为（x,y） B
C
uuur
复习回顾
向量的加法 OB
B
OA-OB= BA
力的正交分解
F1
F2
F3
那么是否任意向量也能表示为 一个水平方向向量和一个竖直方
向向量之和呢
思考1:
X轴正方向上的单位向量为i，y轴正方向上的单位向量为j，
任一向量a ，用这组单位向量 能不能表示?
y
a
j
Oi
x
思考：如图，在直角坐标系中， y
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
uur ruuu r r
7
D
设 O Ai,O B，j 填空：
r
r
（1）|i|__1___,| j|1______,
F4
C
B
（2）|O u O 若uu C uu r Cur用 |_ 3ri u_ _,iur_ _5rj_ _来_ 4__ u_u表j_ r__ ;示, O u u D u r Ouu Cur5,_ Ou_ uiuur_ Dur_ _ ，7_ _ u则_ ujr_ j：o.i A
5单. 位a r = 向x i 量r i y =r j （的 1求 ，模 0）公 ，式 j =为 （： 0，a r1 ） x 2 y 2 .
思考:
1．以原点O为起点作 OA=a
，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
2．点A的坐标与向量a
的坐标的关系？
y
若a以为原点起点,两者相同
a
A(x, y)
向量a 一 一 对 应 A（x ，y）
E
3
5
x
（3）向量
u C
u ur D
能否uu由ur
r i
,
rjuur表示u出ur 来？
CD 2 i 3 j
探索1:
以O为起点， P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
yP a
o
x
4
注意观察，发现一个位置向量,只要它的终点确定了,那这个位置向量也就确定了.
3
P（ 3，2）
2
1
j
-2
Oi
-1
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标
的和与差
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向
量的相应坐标．
19
向量的坐标运算法则
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ) 则：a b ( x1 x2 , y1 y 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
yA a
a
ox
y
r rr
axi +yj y
r a
A
uur r r
O A xi +y j
r j
r
Oi x
x
平面向量的坐标表示
y
如图，ri ,
r j
是分别与x轴、y轴方向相同
a
C
D
的单位向量，则
rA
对于该平面内的任一向量a ，j
x
有且只有一对实数x、y，可使 o i B
rr r a=xi +yj
这里，我们把（x,y）叫做
a j
Oi
x
例1 写出下列向量的坐标表示：
rrr (1) a 5 i 3 j
rr (2)b 4i
rr (3)c j
y
例2 如图，已知 A(-1,3),B(1,-3)u，ur Cu(ur4,1)，A D(3,4)，求向量OA,OB, uAuOr,OuuDur,CuuOuv的坐标。
O
D
C x
B
学生练习 P52 练习1,2,3.
课堂小结：
1.向量的坐标形式 2.向量的坐标表示 3.向量的模计算公式
作业布置
练习册 7.3节
平面向量的坐标运算
rr
r r r rr
思 考 ： 已 知 ： a ＝ ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 求 向 量 a b , a b ， a .
rr r r
rr
解： ab=（rx1i+ry1j） r +（rx2i+y2j）
=x1i+y1j+xr2i+y2j r
r r=（x1+x2） i+（y1+y2） j
rr
即 r： ab＝r(x1+rx2,y1+yr2); 同理 r 可得： ar b＝(x1-x2,y1-y2)
a（x1i+y1j）x1i+y1j;即：a(x1,y1)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件?
会得r到什么样的重r要结论? 设 a(x1,y1), b(x2,y2)
r ,b
即 x2 , y2 中,至少有一个r不为0 ,则由
r
r 0 a
r
b
得
(交 x1, y叉 1)相 (x乘 2, y2)(ax2,y(2x) 1 , y1 )
xy11
x2……(1) y2……(2)
-2
2
4
6
uuur r r OP3i2j
-3
向量的坐标表示4
3
2
uuur r r OPxiyj(x,y)
P（ x， y）
1
j
-2
2
4
6
Oi
-1
u uur
O 向量 P
-2
一 一 对 应P（x ，y）
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标
原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的 平移，将向量的起点 移到坐标的原点O处.
例1:已知
r
r
a (2 ,1 ),b ( 3 ,4 )
r rr r r r
求 a b ,a b ,3 a 4 b的坐标。
解求：uAu A u例u BurB ur2 的.如O u 坐图uB ur标， 。这已O uu知A 是r A 一(x个1,y重1),要By(结x2论,y2！)
QAB(1,3)(2,1)(1,2)
D
uuur
A
DC(3,4)(x, y) (3x,4y) uuur uuur
O
x
且AB DC
13 x
(1,2)(3x,4y)
24 y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
r 平面向量共线的坐标表r 示
a 1.
向量 与非零向量 只有一个实数 ,
使b 得平a行r (共线br)的等价条件是有且
向量 a 的（直角）坐标，记作
r a (x, y) ①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在
y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。
1 、把 a=x i+y j 称为向量坐标形式.
2 、把(x , y)叫做向量a的（直角）坐标, 记为：a=(x , y) , 称其为向量的坐标表示.
3、 a=x i+y j =( x , y) 4、其中 x、 y 叫做 a 在X 、Y轴上的坐标.
(x2,y2)(x1,y1) A
B
(x2x1,y2y1)
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
Y 例3.如图，已知 A B C D 的三个顶点A、B、C的
坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），
试求顶点D的坐标。
y
解法１：设点D的坐标为（x,y） B
C
uuur
复习回顾
向量的加法 OB
B
OA-OB= BA
力的正交分解
F1
F2
F3
那么是否任意向量也能表示为 一个水平方向向量和一个竖直方
向向量之和呢
思考1:
X轴正方向上的单位向量为i，y轴正方向上的单位向量为j，
任一向量a ，用这组单位向量 能不能表示?
y
a
j
Oi
x
思考：如图，在直角坐标系中， y
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).
uur ruuu r r
7
D
设 O Ai,O B，j 填空：
r
r
（1）|i|__1___,| j|1______,
F4
C
B
（2）|O u O 若uu C uu r Cur用 |_ 3ri u_ _,iur_ _5rj_ _来_ 4__ u_u表j_ r__ ;示, O u u D u r Ouu Cur5,_ Ou_ uiuur_ Dur_ _ ，7_ _ u则_ ujr_ j：o.i A
5单. 位a r = 向x i 量r i y =r j （的 1求 ，模 0）公 ，式 j =为 （： 0，a r1 ） x 2 y 2 .
思考:
1．以原点O为起点作 OA=a
，点A的位置由谁确定?
由a 唯一确定
2．点A的坐标与向量a
的坐标的关系？
y
若a以为原点起点,两者相同
a
A(x, y)
向量a 一 一 对 应 A（x ，y）
E
3
5
x
（3）向量
u C
u ur D
能否uu由ur
r i
,
rjuur表示u出ur 来？
CD 2 i 3 j
探索1:
以O为起点， P为终点的向量能 否用坐标表示？如何表示？
yP a
o
x
4
注意观察，发现一个位置向量,只要它的终点确定了,那这个位置向量也就确定了.
3
P（ 3，2）
2
1
j
-2
Oi
-1
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标
的和与差
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向
量的相应坐标．
19
向量的坐标运算法则
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ) 则：a b ( x1 x2 , y1 y 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
yA a
a
ox
y
r rr
axi +yj y
r a
A
uur r r
O A xi +y j
r j
r
Oi x
x
平面向量的坐标表示
y
如图，ri ,
r j
是分别与x轴、y轴方向相同
a
C
D
的单位向量，则
rA
对于该平面内的任一向量a ，j
x
有且只有一对实数x、y，可使 o i B
rr r a=xi +yj
这里，我们把（x,y）叫做
a j
Oi
x
例1 写出下列向量的坐标表示：
rrr (1) a 5 i 3 j
rr (2)b 4i
rr (3)c j
y
例2 如图，已知 A(-1,3),B(1,-3)u，ur Cu(ur4,1)，A D(3,4)，求向量OA,OB, uAuOr,OuuDur,CuuOuv的坐标。
O
D
C x
B
学生练习 P52 练习1,2,3.
课堂小结：
1.向量的坐标形式 2.向量的坐标表示 3.向量的模计算公式
作业布置
练习册 7.3节
平面向量的坐标运算
rr
r r r rr
思 考 ： 已 知 ： a ＝ ( x 1 , y 1 ) , b ( x 2 , y 2 ) , 求 向 量 a b , a b ， a .
rr r r
rr
解： ab=（rx1i+ry1j） r +（rx2i+y2j）
=x1i+y1j+xr2i+y2j r
r r=（x1+x2） i+（y1+y2） j
rr
即 r： ab＝r(x1+rx2,y1+yr2); 同理 r 可得： ar b＝(x1-x2,y1-y2)
a（x1i+y1j）x1i+y1j;即：a(x1,y1)
2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件?
会得r到什么样的重r要结论? 设 a(x1,y1), b(x2,y2)
r ,b
即 x2 , y2 中,至少有一个r不为0 ,则由
r
r 0 a
r
b
得
(交 x1, y叉 1)相 (x乘 2, y2)(ax2,y(2x) 1 , y1 )
xy11
x2……(1) y2……(2)
-2
2
4
6
uuur r r OP3i2j
-3
向量的坐标表示4
3
2
uuur r r OPxiyj(x,y)
P（ x， y）
1
j
-2
2
4
6
Oi
-1
u uur
O 向量 P
-2
一 一 对 应P（x ，y）
-3
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标
原点O的向量如何用坐标来表示?
解决方案:
可通过向量的 平移，将向量的起点 移到坐标的原点O处.