数学人教版九年级上册拓展提高
九年级数学上册(人教版)24.4弧长与扇形面积(第一课时)教学设计
"首先，我们来看弧长的计算公式。弧长等于圆周长的一部分，我们可以通过圆心角和半径来计算。其公式为：弧长= (圆心角/360) × 2πr。接下来，我们学习扇形面积的计算公式。扇形面积是圆面积的一部分，它等于圆心角所对的圆弧与半径所围成的图形。其公式为：扇形面积= (圆心角/360) × πr²。"
2.教师通过示例题，展示如何运用这些公式解决实际问题，让学生理解并掌握计算方法。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成小组，让学生合作讨论以下问题：
"如何计算一个圆的1/4弧长和扇形面积？如果圆的半径是10cm，圆心角是90度，你能计算出弧长和扇形面积吗？"
2.学生在小组内进行讨论，共同解决这些问题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.梯度练习，巩固知识
设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。针对学生的错误，进行及时反馈和指导。
4.理论联系实际，学以致用
通过解决实际问题，让学生感受数学的实用性。例如，计算一段弯曲的道路的长度、计算扇形门的面积等。
5.总结反馈，拓展提高
在课堂结束时，让学生总结本节课所学内容，并进行自我评价。教师对学生的表现给予肯定和鼓励，同时对学生的不足之处进行指导。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
"请同学们完成以下练习题：计算半径为5cm的圆的1/6弧长和扇形面积；计算圆心角为120度的扇形面积，半径为8cm。"
2.教师对学生的练习进行批改和反馈，针对错误进行讲解，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳，500字
人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 拓展训练(含答案)
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程拓展训练一．选择题1．已知方程x2﹣（k+1）x+3k＝0的一个根是2，则k为（）A．﹣2 B．﹣3 C．1 D．32．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A． B． C． D．3．设x1，x2是方程x2+10x﹣2＝0的两个根，则+的值是（）A．8 B．5 C．4 D．104．一元二次方程x2+11x﹣1＝0（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＞q C．p＝q D．不能确定6．已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x1x2为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．37．已知方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根，则（）A．m＜B．m＞C．m≤D．m≥8．某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从2018年起到2020年累计投入4250万元，已知2018年投入1500万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是（）A．1500 （1+2x）＝4250 B．1500 （1+x）2＝4250C．1500+1500x+1500x2＝4250 D．1500+1500 （1+x）+1500 （1+x）2＝42509．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2011x2，S2＝x12+2011x22，…，S n＝x1n+2011x2n，则aS2012+bS2011+cS2010的值为（）A．0 B．2011 C．2010 D．201210．三角形两边的长是6和8，第三边满足方程x2﹣24x+140＝0，则三角形周长为（）A．24 B．24或28 C．28 D．以上都不对二．填空题11．关于x的方程x2﹣x+c＝0的一个根是3，则c＝．12．若关于x的方程（m﹣1）x﹣x＝1是一元二次方程，则m＝．13．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为．14．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程．15．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有不相等实数根，则k的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程：（1）2x2﹣3x﹣1＝0；（2）x2﹣3x+2＝0．17．某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？18．汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加．据统计，2008年我市某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2010年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2008年开始五年内保持不变．（1）求年平均增长率；（2）求该品牌汽车2011年的年产量为多少万辆？19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2+b2＝6a+12b﹣45，求△ABC的周长．答案一．选择题1．A．2．C．3．B．4．A．5．A．6．C．7．A．8．D．9．A．10．A．二．填空题（共5小题）11．﹣6．12．﹣1．13．3．14．x2﹣6x+6＝0．15． k＞﹣1．三．解答题（共5小题）16．解：（1）2x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．（2）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝1；17．解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．答：这个花圃的长为10米，宽为8米．18．解：（1）设年平均增长率为x，依题意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：年平均增长率为25%．（2）100×（1+25%）＝125（万辆）．答：该品牌汽车2011年的年产量为125万辆．19．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，即a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．20．解：a2+b2＝6a+12b﹣45，a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，则a﹣3＝0，b﹣6＝0，解得，a＝3，b＝6，∵△ABC为等腰三角形，∴三边长分别为3、6、6，∴△ABC的周长为3+6+6＝15．。
人教版九年级数学上《一元二次方程》拓展练习 (1)
《一元二次方程》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．（5分）若方程x2+mx﹣3＝0的一根为3，则m等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4B．m＝2C．m＝2或m＝﹣2D．m＝﹣24．（5分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（）A．6B．9C．14D．﹣65．（5分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，则代数式2018﹣2a ﹣b的值为．7．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝．8．（5分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0的一个根是零，则m＝．9．（5分）已知a，b，c为实数，且a+b+c＝，a2+b2+c2＝2，则2a﹣b﹣c＝．10．（5分）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．12．（10分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．13．（10分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．14．（10分）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．15．（10分）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？《一元二次方程》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数m的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2+mx﹣6＝0得9+3m﹣6＝0，解得m＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（5分）若方程x2+mx﹣3＝0的一根为3，则m等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】把x＝3代入方程x2+mx﹣3＝0得9+3m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：把x＝3代入方程x2+mx﹣3＝0得9+3m﹣3＝0，解得m＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（5分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（）A．m＝4B．m＝2C．m＝2或m＝﹣2D．m＝﹣2【分析】根据常数项为0可得m2﹣4＝0，同时还要保证m﹣2≠0，再解即可．【解答】解：根据题意知，解得m＝﹣2，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c＝0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．（5分）已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，代数式a2﹣3a+4的值为（）A．6B．9C．14D．﹣6【分析】利用一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝5，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】解：∵x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，∴a2﹣3a﹣5＝0，∴a2﹣3a＝5，∴a2﹣3a+4＝5+4＝9．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（5分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0【分析】依据一元二次方程的定义进行判断即可．【解答】解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，则代数式2018﹣2a ﹣b的值为2021．【分析】把x＝﹣2代入方程，求出2a+b＝﹣3，再变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵x＝﹣2是关于x的一元二次方程ax2﹣bx+6＝0的一个根，∴代入得：4a+2b+6＝0，4a+2b＝﹣6，2a+b＝﹣3，∴2018﹣2a﹣b＝2018﹣（2a+b）＝2018﹣（﹣3）＝2021，故答案为：2021．【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2a+b＝﹣3是解此题的关键．7．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝2．【分析】把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得出4﹣2m+2n＝0，再求出即可．【解答】解：把x＝﹣2代入方程x2+mx+2n＝0得：4﹣2m+2n＝0，即﹣2m+2n＝﹣4，m﹣n＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．8．（5分）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0的一个根是零，则m＝2．【分析】把x＝0代入方程，求出m，再判断即可．【解答】解：把x＝0代入方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0得：0+0+m2﹣4＝0，解得：m＝±2，∵方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，即m≠﹣2，所以m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，能根据题意得出m2﹣4＝0和m+2≠0是解此题的关键．9．（5分）已知a，b，c为实数，且a+b+c＝，a2+b2+c2＝2，则2a﹣b﹣c＝0．【分析】利用换元法构造一元二次方程，然后利用根与系数的关系解答．【解答】解：由已知得a+b＝﹣c①（a+b）2+c2﹣2ab＝2 ②将①代入②得（﹣c）2+c2﹣2ab＝2，∴ab＝c2﹣c+2 ③由①③可知，a、b是关于t的方程t2﹣（﹣c）t+c2﹣c+2＝0 ④的两个实数根．∴△＝（﹣c）2﹣4（c2﹣c+2）≥0，化简得（c﹣）2≤0，而（c﹣）2≥0，∴c＝．将c＝代入④，解得t1＝t2＝，∴a＝b＝，∴a＝b＝c＝，∴2a﹣b﹣c＝0，故答案是：0．【点评】考查了利用换元法根据根与系数的关系构造一元二次方程，还涉及非负数的性质等内容，需要认真对待．10．（5分）已知a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，则a3﹣2017a2﹣＝﹣2017．【分析】由方程的根的定义得a2﹣2017a＝﹣1、a2+1＝2017a，代入原式＝a（a2﹣2017a）﹣逐步化简可得．【解答】解：∵a是方程x2﹣2017x+1＝0的一个根，∴a2﹣2017a+1＝0，即a2﹣2017a＝﹣1，a2+1＝2017a，则原式＝a（a2﹣2017a）﹣＝﹣a﹣＝﹣＝﹣＝﹣2017，故答案为：﹣2017．【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．【解答】解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形∴△ABC的腰为6，底边为2，∴△ABC的周长为6+6+2＝14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．12．（10分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0．（1）已知x＝2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC＝时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．【分析】（1）把x＝2代入方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2＝0得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x1＝m+2，x2＝m+1，则AC＝m+2，AB＝m+1．然后讨论：当AB＝BC时，有m+1＝；当AC＝BC时，有m+2＝，再分别解关于m 的一次方程即可．【解答】解：（1）∵x＝2是方程的一个根，∴4﹣2（2m+3）+m2+3m+2＝0，∴m＝0或m＝1；（2）∵△＝（2m+3）2﹣4（m2+3m+2）＝1，＝1；∴x＝∴x1＝m+2，x2＝m+1，∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，∴AC＝m+2，AB＝m+1．∵BC＝，△ABC是等腰三角形，∴当AB＝BC时，有m+1＝，∴m＝﹣1；当AC＝BC时，有m+2＝，∴m＝﹣2，综上所述，当m＝﹣1或m＝﹣2时，△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的判定．13．（10分）观察下列一组方程：①x2﹣x＝0；②x2﹣3x+2＝0；③x2﹣5x+6＝0；④x2﹣7x+12＝0；…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．（1）若x2+kx+56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；（2）请写出第n个方程和它的根．【分析】（1）直接利用连根一元二次方程得出k的值；（2）利用因式分解法得出符合题意的值．【解答】解：（1）由题意可得：k＝﹣15，则原方程为：x2﹣15x+56＝0，则（x﹣7）（x﹣8）＝0，解得：x1＝7，x2＝8；（2）第n个方程为：x2+（2n﹣1）x+n（n﹣1）＝0，（x﹣n）（x﹣n+1）＝0，解得：x1＝n﹣1，x2＝n．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法以及新定义，正确得出规律是解题关键．14．（10分）阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝4，＝14，＝194；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型．15．（10分）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？【分析】（1）根据二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．【解答】解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或，解得k＝﹣1或k＝0，当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1，当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．。
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》拓展练习
《实际问题与一元二次方程》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．＝30D．＝30 2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（）A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝1113．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝2154．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为．7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为．8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有名同学．9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给个人．10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元∕件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？12．（10分）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x 元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：销售单价（元）x销售量y（件）销售利润W（元）（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是公斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？《实际问题与一元二次方程》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）A．x（x﹣1）＝30B．x（x+1）＝30C．＝30D．＝30【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝30，把相关数值代入即可．【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为：x（x﹣1）＝30．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．2．（5分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（）A．1+x+x2＝111B．x+x2＝111C．2x+1＝111D．2x＝111【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝111，整理即可．【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1＝111，故选：A．【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x2表示是关键．3．（5分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由460元降为215，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．460（1+x）2＝215B．460（1﹣x）2＝215C．460（1﹣2x）2＝215D．460（1﹣x2）＝215【分析】设每次降价的百分率为x，根据该运动服的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：460（1﹣x）2＝215．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（5分）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（）A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m【分析】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据题意得：（30﹣2x）x＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．当x＝5时，30﹣2x＝20＞15，∴x＝5舍去．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．（5分）如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长），另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x米，则下列方程正确的为（）A．x（58﹣x）＝200B．x（29﹣x）＝200C．x（29﹣2x）＝200D．x（58﹣2x）＝200【分析】由建筑材料的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可表示出平行于墙的一边的长度，然后根据长方形的面积公式结合牛饲养室的面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（58﹣2x）m．根据题意得：x（58﹣2x）＝200，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：（1）根据建筑材料的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的面积公式列出一元二次方程．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1750吨列方程即可．【解答】解：依题意得二月份的产量是500（1+x），三月份的产量是500（1+x）（1+x）＝500（1+x）2，∴500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1750．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．7．（5分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为x（x+12）＝864．【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．8．（5分）在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有11名同学．【分析】设参加聚会的有x名学生，根据“在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【解答】解：设参加聚会的有x名学生，根据题意得：x（x﹣1）＝110，解得：x1＝11，x2＝﹣10（舍去），即参加聚会的有11名同学，故答案为：11．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．9．（5分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给7个人．【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．故答案为：7．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（5分）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为x（x﹣1）＝110．【分析】设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，根据共送礼物110件，列出方程．【解答】解：设有x人参加聚会，则每人送出（x﹣1）件礼物，由题意得，x（x﹣1）＝110．故答案是：x（x﹣1）＝110．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：销售单价x（元∕件）…30405060…每天销售量y（件）…500400300200…（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元？【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得．【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意可得，解得：，则y＝﹣10x+800；（2）根据题意，得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，整理，得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60，∵销售单价最高不能超过45元/件，∴x＝40，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．12．（10分）列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x 元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为（1120﹣2x）个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【分析】（1）根据每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，可得现在销售数量为[160+2（480﹣x）]个，化简即可；（2）根据单件利润×销售量＝总利润，列方程求解即可．【解答】解：（1）根据题意，可得现在销售数量为160+2（480﹣x）＝（1120﹣2x）个．故答案为（1120﹣2x）；（2）由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]＝20000，整理，得：x2﹣920x+211600＝0，解得：x1＝x2＝460，答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程的解法，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程是解题的关键．13．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；（2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．【解答】解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：×1+8＝14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得：（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90，解得x1＝1，x2＝5，当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）；当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．14．（10分）利民商场经营某种品牌的T恤，购进时的单价是300元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是400元时，销售量是60件，销售单价每涨10元，销售量就减少1件．设这种T恤的销售单价为x元（x＞400）时，销售量为y件、销售利润为W元．（1）请分别用含x的代数式表示y和W（把结果填入下表）：销售单价（元）x销售量y（件）﹣x+100销售利润W（元）﹣x2+130x﹣30000（2）该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是多少？【分析】（1）根据销售单价每涨10元，销售量就减少1件，可以表示出y与x的关系，根据利润＝每件的利润×销售量，即可表示出W与x的关系．（2）列出方程即可解决问题；【解答】解：（1）由题意y＝60﹣＝﹣x+100．W＝（x﹣300）•（﹣x+100）＝﹣x2+130x﹣30000．故答案为﹣x+100，﹣x2+130x﹣30000．（2）由题意﹣x2+130x﹣30000＝10000，解得x＝500或800，为了尽可能增加销售量，x＝500．答：该商场计划实现销售利润10000元，并尽可能增加销售量，那么x的值应当是500．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，记住利润、销售量、每件的利润之间的关系．15．（10分）某水果店以每公斤2元的价格购进某种水果若干公斤，然后以每公斤4元的价格出售，每天可售出100公斤．通过市场调查发现，这种水果每公斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20公斤．为了保证每天至少售出260公斤，该水果店决定降价销售．（1）若将这种水果每公斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+200x公斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，售价应为多少？【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（公斤）；故答案为：100+200x；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，解得：x＝或x＝1，当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；当x＝1时，销售量是100+200＝300（公斤）．∵每天至少售出260公斤，∴x＝1．则4﹣1＝3（元）答：售价应为3元．【点评】题主要考查的是一元二次方程的应用，明确利润、销售量、售价之间的关系是解题的关键．。
9914拓展训练 2020年人教版 九年级 上册 数学 专项综合全练附答案
拓展训练 2020年人教版 九年级 上册 数学 专项综合全练一选择题1．对于实数a,b 定义一种新运算“★”：当a ≥b 时，a ★b=a ²+ab;当a<b 时，以a ★b=b ²+ab;若2★m= 24，则实数m 等于( )A.10B.4C.4或-6D.4或-6或102.（2018内蒙古赤峰中考,10，★☆☆）2017 - 2018赛季中国男子篮球职业联赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为( ) A.21x(x-1)= 380B.x （x-1）=380C.21x(x+1)= 380D.x(x+1)=3803.(2016内蒙古包头中考,7,★☆☆)若关于x 的方程x ²+(m+1)x+21=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A.25-B.21C.25-或21D.14.（2017浙江温州中考）我们知道方程x ²+2x-3=0的解是x ₁=1，x ₂= -3.现给出另一个方程(2x+3)²+2（2x+3）-3=0，它的解是( )A.x ₁=1,x ₂ =3B.x ₁=l,x ₂=-3C.x ₁= -1,x ₂ =3D.x ₁=-1,x ₂= -35.（2014山东枣庄中考，10，★★☆）x ₁，x ₂是一元二次方程3（x-1）²= 15的两个解，且x ₁<x ₂，下列说法正确的是( )A.x ₁小于-1，x ₂大于3B.x ₁小于-2，x ₂大于3C.x ₁，x ₂在-1和3之间D.x ，x ₂都小于36.（2017河北石家庄桥西一模）常数a ，b ，c 在数轴上的位置如图21-2-2-1所示，则关于x 的一元二次方程ax ²+bx+c=0根的情况是( )图21-2 - 2-1A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定7.（2015四川达州中考）方程(m-2)x ²-041m 3=+-x 有两个实数根，则m 的取值范围为( ) A.25m >B.25m ≤且m ≠2 C.m ≥3D.m ≤3且m ≠2二、填空题1.定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n= mn+n;当m<n 时，m ★n= mn-n ．若2x ★（x+2）=0，则x=____．2.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算，a*b=a(a+b)，如：3*2=3x(3+2)= 15．若x*4=12，则x 的值是___________，3.（2018江西抚州南城期中）对于实数a ，b ，定义运算“*”：例如5*2，因为5>2，所以5*2=5²-5x2=15.若x ₁，x ₂是一元二次方程x ²-5x+6=0的两个根，则x ₁*x ₂=_____．4.（2018江苏无锡崇安期末）对于实数p 、q ，我们用符号min{p ，q}表示p 、q 两数中较小的数，如min{1，2}=1，若imn{（x-1）²，x ²} =1，则x=________________．5.（2018江苏宿迁沭阳月考）对于实数p 、q ，我们用符号max{p ，q}表示p ，q 两数中较大的数，如max{1，2}=2，若max{（x-1）²，x ² }=9，则x=____________．6.（2018四川南充中考,14,★女☆）若2n （n ≠0）是于x 的方程x ²-2mx+2n=0的根，则m-n 的值为___________．7.（2016山东菏泽中考,12,★★)已知m 是关于x 的方程x ²-2x-3=0的一个根，则2m ²-4m=____．8.（独家原创试题）WER2018赛季世界锦标赛于2018年12月15日在上海举行，北城中学赵超凡同学认识了多个外国的小朋友，且每两人都互送礼物，所有人共互送礼物30件，设共有x 人互送礼物，则列出方程为____________．化为一般形式为___________.三、按要求做题1.在实数范围内定义一种新运算，规定：a ★b=a ²-b ²，求方程（x+2）★5=0的解．2.若x ₁，x ₂是关于x 的方程x ²+bx+c=o 的两实根，且或（k 为整数），则称方程x ²+bx+c=0为“B 系二次方程”，如：x ²+2x-3=0,x ²+2x-15=0,x ²+3x-427=0,x²+x-415=0,x ²-2x-3 =0,x ²-2x-15=0等，都是“B 系二次方程”．请问：对于任意一个整数b ．是否存在实数c ．使得关于x 的方程x ²+bx+c=0是“B 系二次方程”，并说明理由．3.（2018福建漳州华安月考）阅读理解：为解方程( x ²-1) ²-5（x ²-1）+4 =0，我们可以将x ²-1视为一个整体，设x ²-1=y 。
人教版九年级数学上册《圆》拓展练习
《圆》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（）A．L A＞L B＞L C B．L A＜L B＜L C C．L B＞L C＞L A D．L C＜L A＜L B 3．（5分）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（5分）下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短5．（5分）下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是．7．（5分）在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成个部分．8．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是．9．（5分）如图，直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为cm2．10．（5分）半径为5的⊙O中最大的弦长为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．12．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．13．（10分）已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．14．（10分）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．15．（10分）如图所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O 于B，且AB＝OC，求∠A的度数．《圆》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）以下说法正确的个数有（）①半圆是弧．②三角形的角平分线是射线．③在一个三角形中至少有一个角不大于60°．④过圆内一点可以画无数条弦．⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据各小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：圆的任意一条直径的端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，故①正确；根据三角形角平分线的定义可知，三角形的角平分线是一条线段，故②错误；在一个三角形中至少有一个角不大于60°，故③正确；过圆内一点可以画无数条弦，故④正确；矩形的四个角都相等，都等于90°，而矩形不是正四边形，故⑤错误；故选：C．【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是明确题意，正确的命题说出根据，错误的命题说出错误的原因或者举出反例．2．（5分）如图中正方形、矩形、圆的面积相等，则周长L的大小关系是（）A．L A＞L B＞L C B．L A＜L B＜L C C．L B＞L C＞L A D．L C＜L A＜L B 【分析】设相同的面积为未知数，进而判断出相应的周长，比较即可．【解答】解：设面积是S．则正方形的边长是，则周长L A＝4＝＝4；长方形的一边长x，则另一边长为，则周长L B＝2（x+），∵（x+）2≥0∴x+≥2，∴L B≥4，即L B≥；圆的半径为，L C＝2π×＝，∵＜，∴L C＜L A＜L B．故选：D．【点评】考查圆的认识的相关知识；应用（a+b）2≥0这个知识点进行解答是解决本题的难点．3．（5分）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）半径相等的圆是等圆，（3）等弧能够重合，（4）半径是圆中最长的弦，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等弧、等圆、弦的定义即可一一判断．【解答】解：（1）长度相等的弧是等弧，错误；（2）半径相等的圆是等圆，正确；（3）等弧能够重合，正确；（4）半径是圆中最长的弦，错误；故选：B．【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．4．（5分）下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短【分析】根据圆的有关概念根据圆周角定理及其推论进行逐一分析判断．【解答】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故本选项错误；B、必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理，等弧、等圆以及优弧、劣弧的定义．注意掌握各定理定义的前提条件：在同圆或等圆中是解此题的关键．5．（5分）下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据等弧的定义，直径、弦的定义、等圆进行分析，解答即可．【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径；（5）圆上任意两点间的部分叫弧．错误；故选：B．【点评】本题主要考查圆的相关知识点，关键在于熟练掌握等弧的定义、直径的定义，圆的面积计算公式．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是28°．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB的关系，∠BEO与∠EBO的关系，根据三角形外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由AB＝OC，得AB＝OB，∠A＝∠AOB．由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO．由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A，∠BEO＝∠EBO＝2∠A．由∠DOE是△AOE的外角，得∠A+∠AEO＝∠EOD，即∠A+2∠A＝84°，∠A＝28°．故答案为：28°．【点评】本题考查了圆的认识，利用了等腰三角形的性质，利用三角形外角的性质得出关于∠A的方程是解题关键．7．（5分）在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成8个部分，4个圆把平面最多分成14个部分，那么10个圆把平面最多分成92个部分．【分析】根据所的结论3个圆把平面最多分成的部分＝2+2+4＝2+2（1+2）＝8，4个圆把平面最多分成的部分＝2+2（1+2+3）＝14，于是可得到n个圆把平面最多分成2+2（1+2+3+…+n﹣1）个部分，然后把n＝10代入计算即可．【解答】解：∵1个圆把平面分成部分＝2，2个圆把平面最多分成的部分＝2+2＝4，3个圆把平面最多分成的部分＝2+2+4＝2+2（1+2）＝8，4个圆把平面最多分成的部分＝2+2（1+2+3）＝14，∴10个圆把平面最多分成的部分＝2+2（1+2+3+4+5+6+7+8+9）＝92．故答案为92．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了规律型问题的解决方法．8．（5分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是10．【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求出AB的长．【解答】解：连接OC，∵CD＝4，OD＝3，在Rt△ODC中，∴OC＝＝＝5，∴AB＝2OC＝10，故答案为：10．【点评】此题考查了圆的认识，解题的关键是根据勾股定理求出圆的半径，此题较简单．9．（5分）如图，直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为11cm2．【分析】先求出OA，OB，进而求出AB，再判断出△P AB的AB边上的高最大时必过⊙O 的圆心O，最后利用面积求出OC即可得出CP即可．【解答】解：如图，∵直线y＝x+3与坐标轴交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB＝5，∵△P AB中，AB＝5是定值，∴要使△P AB的面积最大，即⊙O上的点到AB的距离最大，∴过点O作OC⊥AB于C，CO的延长线交⊙O于P，此时S△P AB的面积最大，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OC，∴OC＝＝＝，∵⊙O的半径为2，∴CP＝OC+OP＝，∴S△P AB＝AB•CP＝×5×＝11．故答案为11．【点评】此题考查了圆的性质，圆中最大的弦，一次函数图象上点的坐标特征，解本题的关键是确定出三角形P AB的AB边上的高．10．（5分）半径为5的⊙O中最大的弦长为10．【分析】直径是圆中最大的弦．【解答】解：半径为5的⊙O的直径为10，则半径为5的⊙O中最大的弦是直径，其长度是10．故答案是：10．【点评】本题考查了圆的认识．需要掌握弦的定义．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．【分析】分别连接ME、MF，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得到ME＝MD＝MC＝MB，可证得结论．【解答】证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到ME＝MF＝MC＝MB是解题的关键．12．（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．【分析】连接OD，根据等边对等角可得∠ODC＝∠C＝40°，再根据AB＝2DE，OD＝AB 可得OD＝DE，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数，进而可得∠AOC的度数．【解答】解：连接OD，∵OC＝OD，∠C＝40°，∴∠ODC＝∠C＝40°，∵AB＝2DE，OD＝AB，∴OD＝DE，∵∠ODC是△DOE的外角，∴∠E＝∠EOD＝∠ODC＝20°，∵∠AOC是△COE的外角，∴∠AOC＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．【点评】此题主要考查了圆的认识，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握同圆中的半径是相等的．13．（10分）已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．【分析】首先证明OC＝OD，再证明△OCB≌△ODA，进而得到AD＝BC．【解答】解：∵OA、OB是⊙O的两条半径，∴AO＝BO，∵C、D分别是半径OA、BO的中点，∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，，∴△OCB≌△ODA（SAS），∴AD＝BC．【点评】此题主要考查了圆的认识，以及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS．14．（10分）如图，半圆O的直径AB＝8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．【分析】连接OD，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形DEOF是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．【解答】解：连接OD．∵OC⊥AB DE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，∴四边形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【点评】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形DFOE为矩形．15．（10分）如图所示，线段AD过圆心O交⊙O于D，C两点，∠EOD＝78°，AE交⊙O 于B，且AB＝OC，求∠A的度数．【分析】连接OB，构造两个等腰三角形并利用三角形内角和外角的关系解答．【解答】解：如右图所示，连接OB，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∠1＝∠A，又OB＝OE，∠E＝∠2＝∠1+∠A＝2∠A，∴∠EOD＝∠E+∠A＝3∠A，即3∠A＝78°，∴∠A＝26度．【点评】作出辅助线OB是解答此题的关键，要充分利用同圆半径相等的特征来构造等腰三角形．。
拓展训练 2020年人教版数学九年级上册 专项综合全练(二)附答案
拓展训练 2020年人教版数学九年级上册 专项综合全练（二）求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．（2018福建龙岩上杭月考）已知二次函数的图象经过点(0，3)、（-3，0）、（2，-5）．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P （-2，3）是否在这个二次函数的图象上．2．（2017上海闵行一模）已知：在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=ax ²+bx+c 经过点A(3，0)，B （2，-3），C(0，-3)．(1)求抛物线的表达式；(2)设点D 是抛物线上一点，且点D 的横坐标为-2，求△AOD 的面积．3．（2019广东广州越秀月考）已知抛物线y= ax ²+bx+c 过点A(-1,1)，B （4,-6），C(0,2).(1)求此抛物线的函数解析式；(2)该抛物线的对称轴是__________，顶点坐标是____；(3)选取适当的数据，并在直角坐标系内描点画出该抛物线．类型二利用“顶点式”求二次函数解析式4．（2019四川广安月考）某抛物线的对称轴为直线x=3，y 的最大值为-5，且与2x 21=y 的图象开口大小相同，则这条抛物线的解析式为( ) A.y=21-（x+3）²+5 B ．y=21-(x-3)²-5 C.y=21（x+3）²+5D ．y=21(x-3)2²-55．（2017江苏南京秦淮一模）已知二次函数y= ax ²+bx +c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该函数的表达式；(2)当y<5时，x 的取值范围是________．6．（2017浙江杭州上城期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为（2，-2），且经过点(3，1)，求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与，，轴的交点坐标．类型三利用“交点式”求二次函数解析式7．（2019安徽合肥包河月考）已知二次函数图象经过A （-5，0），B(3，0)，C （-1，16）三点，求该抛物线的解析式．8．（2017天津河北期中）如图22-5-1，抛物线y=ax ²+bx+c 经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，求抛物线的解析式．图22-5-19．（2017山东临沂临沭青云中学月考）已知二次函数y= ax ²+bx+c 的图象过点A(1，0)，B （-3，0），C （0，-3）．(1)求此二次函数的解析式：(2)在抛物线上存在一点P ，使△ABP 的面积为6，求点P 的坐标．（写出详细的解题过程）图22-5-2类型四利用“平移规律”求二次函数解析式10.（2017江苏盐城中考）如图22-5-3．将函数y=21(x-2) ²+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)、B （4，n ）平移后的对应点分别为A ‘、B ’．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是( )图22-5-3A ．y=21(x-2) ²-2B.y=21(x-2) ²+7C ．y=21(x-2)²-5D ．y=21(x-2)² +411.（2016黑龙江绥化中考）将抛物线y=3（x-4）²+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是______________.12．（2017山东临沂蒙阴一模）如图22-5-4，抛物线y=x²沿直线y=x向上平移2个单位后，顶点在直线y=x上的M处，则平移后抛物线的解析式为_______________．图22-5-413.（2017陕西模拟）如图22-5-5，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为(3，4)且OB= BA.(1)求经过A，B，0三点的抛物线的解析式：(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A’，B’，若四边形ABB’A’为菱形，求平移后的抛物线的解析式．图22-5-514.如图22-5-6所示，直线L经过点A(4，0)和B(O，4)两点，它与二次函数y= ax²的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4．(1)求点P的坐标：(2)求二次函数的解析式：(3)能否将抛物线y=ax²上下平移，使平移后的抛物线经过点A?如果能，请求出平移后抛物线的解析式：如果不能，请说明理由，图22-5-6答案求二次函数解析式类型一利用“三点式”求二次函数解析式1．解析(1)设此二次函数的解析式为y=ax ²+bx+c ，将(0，3)、（-3，0）、（2，-5）代入y=ax2 +bx+c ，得解得∴此二次函数的解析式是y=-x ²-2x+3．(2)当x=-2时，y=-（-2）²-2x （-2）+3 =3，∴点P( -2，3)在这个二次函数的图象上．2．解析(1)把A(3，0)，B （2，-3），C （0，-3）代入y=ax ²+ bx+ 得 解得∴该抛物线的解析式为y=x ²-2x-3.(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5，即D （-2，5），∵A(3，0)，∴OA=3， ∴2155321S AOD =⨯⨯=∆． 3．解析(1)抛物线的解析式为y=ax ²+bx+c ，将点A （-1，1），B （4，-6），C(0，2)分别代入，得解得 则此抛物线的解析式为． (2)对称轴为直线； ∵．∴抛物线的顶点坐标为． (3)其函数图象如下，类型二利用“顶点式”求二次函数解析式4. B解析；因为抛物线的对称轴为x=3,y 的最大值为-5，所以设抛物线解析式为y=a(x-3)²-5，因为所求抛物线与221y x -=的图象开口大小相同，而y 有最大值，所以221a x =，所以这条抛物线的解析式为5)3(21y 2---=x ．故选B ．5．解析(1)由题表易得二次函数y=ax ²+bx+c 的图象的顶点坐标为(2，1)，设函数的表达式为y=a （x-2）²+1．由题意得函数的图象经过点(0，5)，所以5=a ·（-2）²+1．所以a=1．所以该函数的表达式为y=（x-2）2+1（或y=x ²-4x+5）．(2)由题表所给数据可知二次函数图象的对称轴为x=2．∴(0，5)和(4，5)均在该函数图象上．又a=1>0．∴当y<5时，对应的x 的取值范围为0<x<4．故答案为0<x<4．6．解析根据题意，可设二次函数的解析式为y=a （x-2）²-2(a ≠0)，把(3，1)代入y=a （x-2）²-2，得a(3-2)²-2=1，解得a=3，所以二次函数的解析式为y=3（x-2）²-2(或y=3x ²-12x+10).当x=0时，y= 3x4-2= 10，所以该函数图象与y 轴的交点坐标为(0，10)．类型三利用“交点式”求二次函数解析式7．解析 ∵A （-5，0），B(3，0)，∴设抛物线解析式为y=a （x-3）（x+5），把C （-1，16）代入得a ·（-1-3）×（- 1+5）=16，解得a= -1,∴抛物线的解析式为y=-（x-3）(x+5)，即y= -X ²-2x+15．8．解析根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-4）(n ≠0)，把c(0，3)代入得a ．（-1）×（-4）=3，解得a=43，所以抛物线的解析式为y=43（x-1）（x-4），即y=43x ²-x 415+3．9．解析(1)根据题意，可设抛物线的解析式为y=a （x-1）(x+3)(a ≠0)，把C （0，-3）代入得a ·（-1）x3= -3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x-1）·（x+3）=x ²+2x-3．(2)∵A(1,0),B( -3,0)．∴AB=4.设P(m ，n)，∵△ABP 的面积为6． ∴21AB ·lnl =6，即21×4xlnl =6,解得n=±3．当n=3时，m ²+2m-3=3．解得m= - 1+7或-1-7，∴P(-1+7，3)或P(-1-7，3)．当n= -3时，m ²+2m-3= -3,解得m=0或m=-2,∴P(0，-3)或P( -2，-3)．故P （-1+7，3）或P （-1-7，3）或P(0，-3)或P （-2，-3）．类型四利用“平移规律”求二次函数解析式10. D解析：如图，连接AB 、A'B'，则，由平移可知AA ’= BB ’，AA ’∥BB ’，∴四边形ABB'A ’是平行四边形，分别延长A ’ A 、B ’ B 交x 轴于点M 、N.∵A(1，m)、B （4，n ），∴MN=4-1=3．∵,∴9= 3AA ’，解得AA ’=3,即原函数图象沿y 轴向上平移了3个单位， ∴新图象的函数表达式为y=21(x-2) ²+4．11．答案y=3（x-5）²-1解析抛物线y=3（x-4）²+2的顶点坐标为(4，2)，将其向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度所得点的坐标为（5，-1），所以平移后抛物线的解析式为y=3（x-5）²-1．12.答案y=（x-1）²+1解析抛物线y=x ²沿直线y=x 向上平移2个单位后，顶点在直线y=x 上的M 处．∴M(1，1)，则平移后抛物线的解析式为y=( x-1)²+1．13．解析(1) ∵B 点坐标为(3，4)且OB= BA ，∴A(6，0)．设所求抛物线的解析式为y=ax （x-6），将(3，4)代入，可得4=a ．3x( 3-6)= -9a ，∴94a -=，∴x x x x 3894)6(94y 2+-=--=．(2)∵ B(3，4)，A(6，0)，∴．∵四边形ABB'A ’为菱形，∴BB'= BA=5．①若抛物线沿x 轴向右平移，则B ’(8，4)，∴平移后抛物线的解析式为y=94-（-8）²+4； ②若抛物线沿x 轴向左平移，则B ’（-2，4），∴平移后抛物线的解析式为y=94-(x+2)²+4． 14．解析(1)设直线l 的解析式为y=kx+b(k ≠0)，∵直线l 过A(4，0)和B(0，4)两点，∴∴ ∴y=-x+4设,∵△AOP 的面积为4． ∴∴， ∴2= -+4，解得=2．∴点P 的坐标为(2，2)．(2)把点P(2，2)代入y=ax ²，得2=ax2²，解得21a =， 故二次函数的解析式为221y x =． (3)能．设将抛物线221y x =上下平移后的解析式为221y x =+m,把点A(4，0)代入，得0=21×4²+m ，解得m= -8．故将抛物线y= ax ²向下平移8个单位长度时，平移后的抛物线经过点A ． 平移后抛物线的解析式为221y x =-8．。
人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》拓展练习
《垂直于弦的直径》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．64．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为．7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面米．8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是mm．10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为m．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？《垂直于弦的直径》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC 中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，∵AB＝16，∴BC＝AB＝×16＝8，在Rt△OBE中，∵OB＝10，BC＝8，∴OC＝＝6，∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．故选：C．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．6【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，由垂径定理得AD＝5米，设圆的半径为r，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，即（7﹣r）2+52＝r2，解得r＝米．故选：D．【点评】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为1米．【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可．【解答】解：设该圆形门洞的半径为r，∵AB过圆心O，且垂直CD于点B，连接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（1.8﹣r）2+0.62，解得：r＝1，故答案为：1米【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面 6.3米．【分析】连接OA．由垂径定理可知AD＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD即可解决问题．【解答】解：连接OA．∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝2.1米，在Rt△AOD中，OD＝＝＝2.8（米），∴CD＝OC+OD＝6.3（米）故答案为6.3．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于26寸．【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD 的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．故答案为：26．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是200mm．【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径为1000mm，∴OA＝OA＝500mm．∵OD⊥AB，AB＝800mm，∴AC＝400mm，∴OC＝＝300mm，∴CD＝OD﹣OC＝500﹣300＝200（mm）．答：水的最大深度为200mm．故答案为：200．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为5m．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：连接OA，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝3，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即OC2＝（9﹣OC）2+32，故答案为：5．【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC ∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．【分析】（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．解直角三角形分别求出OG，OH即可解决问题；（2）设盒子的高为xcm．根据S MNPQ＝9，构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．∵EF∥BC，∴OH⊥EF，∴BG＝BC，EH＝EF∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．（2）设盒子的高为xcm．由题意：（22﹣2x）•＝9解得x＝8或12.5（舍弃），∴MQ＝6，MN＝1.5∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，∴能装入盒子．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，翻折变换，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，∴OE＝0.8m，∵水管水面上升了0.2m，∴OF＝0.8﹣0.2＝0.6m，∴CF＝＝0.8m，∴CD＝1.6m．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？【分析】如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O 于F，连接OF．求出FK的值与4.9比较即可判断．【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．易知四边形OHKN是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝OD＝5，在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，∵HK＝BC＝2.5，∴FK＝2.5+3＝5.5，∵5.5＞4.9，∴这辆卡车能安全通过这个隧道．【点评】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【分析】①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理求出AF的长，根据勾股定理求出OF，计算即可；②连接OC，根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出答案．【解答】解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，∴AF＝AB＝8，由勾股定理得，OF＝＝15，则GF＝OG﹣OF＝2dm；②连接OC，∵OE⊥CD，∴CE＝EF＝15，OE＝＝8，则EF＝OG﹣OE﹣FG＝7dm，答：油的最大深度上升了7dm．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．。
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练(一)(含答案)
人教版九年级数学上册第22章二次函数拓展训练（一）（含答案）一．选择题（共10小题）1．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y＝x2﹣x（x+2）B．y＝x2﹣C．x＝y2 D．y＝（x﹣1）（x+3）2．已知二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1；③当x＝1时，y＝2a；④当m＜﹣2时，am2+bm＞0．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．14．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+36．抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）过点A（1，m），点A到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，则实数m的取值范围是（）A．m≥3B．m≤2C．2＜m＜3D．m≤37．如果二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，那么一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限8．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上两点，若x1＜x2且x1+x2＝2﹣a．则（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1与y2大小不能确定10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．点P1（﹣2，y1），P2（0，y2），P3（1，y3）均在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．12．二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有2个交点，则a的取值范围是．13．抛物线y＝2x2﹣ax+b与x轴相交于不同两点A（x1，0），B（x2，0），若存在整数a，b使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，则ab＝．14．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．15．已知二次函数y＝mx2+nx与y＝nx2+mx（其中m，n为常数），若这两个函数图象的顶点关于x轴对称，则m和n满足的关系为．三．解答题（共5小题）16．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣3．（1）写出二次函数图象的开口方向和对称轴；（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值．17．如图，已知二次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求线段BC的长；（2）当0≤y≤3时，请直接写出x的范围；（3）点P是抛物线上位于第一象限的一个动点，连接CP，当∠BCP＝90°时，求点P的坐标．18．某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份，设该店每份套餐的售价为x元（x为正整数），每天的销售量为y份，每天的利润为w元．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）求出w与x的函数关系式；并求出利润w的最大值．19．已知二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的顶点坐标为（5，9）．（1）求a，c的值；（2）二次函数y＝ax2+10x+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，求△ABC的面积．20．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、y＝x2﹣x（x+2）＝﹣2x为一次函数；B、y＝x2﹣不是二次函数；C、x＝y2 不是函数；D、y＝（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3为二次函数．故选：D．2．解：∵二次函数y＝mx2+（1﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．3．解：∵抛物线经过原点，∴c＝0，所以①正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（﹣2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以②正确；即x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴当x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+0＝3a，所以③错误；当x＜﹣2或x＞0时，y＞0，∴m＜﹣2时，am2+bm＞0．所以④正确．故选：B．4．解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a＞c＞b，故选：D．5．解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．6．解：∵抛物线y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0），∴对称轴为直线x＝﹣，∵点A（1，m）到抛物线对称轴的距离记为d，满足0＜d≤，∴0＜|1+|≤，∴0＜≤，∴a≥1，把A（1，m）代入y＝ax2+（1﹣2a）x+3（a＞0）得：a+1﹣2a+3＝m，∴4﹣a＝m，∴a＝4﹣m，∴4﹣m≥1，∴m≤3，故选：D．7．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（m，n），且在第四象限，∴m＞0，n＜0，则一次函数y＝mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．8．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．9．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵x1＜x2且x1+x2＝2﹣a，∴＝1﹣a＜1，∴点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）的距离，∴y1＞y2，故选：A．10．解：∵y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象经过二，三，四象限．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的二次项系数a＝﹣1，∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．12．解：令y＝（a﹣1）x2+2x﹣1＝0，∵y＝（a﹣1）x2+2x﹣1是二次函数，∴a﹣1≠0，∴a≠1，∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2x﹣1的图象与x轴有两个交点，∴△＝4+4（a﹣1）＞0，∴a＞0，∴a的取值范围是a＞0且a≠1，故答案为：a＞0且a≠1．13．解：∵抛物线y＝2x2﹣ax+b，∴抛物线开口向上，∵1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立，∴当x＝1时，y＞0；当x＝3时，y＞0；1＜对称轴x＜3；判别式△≥0．∴∴4＜a＜12，∵a是整数，则a＝5，6，7，8，9，10，11当a＝5时，无整数解；当a＝6时，无整数解；当a＝7时，b＝6；当a＝8时，b＝7；当a＝9时，无整数解；当a＝10时，b＝9；当a＝11时，无整数解，综上所述，整数a＝7，b＝6或a＝8，b＝7或a＝10，b＝9时，使得1＜x1＜3和1＜x2＜3同时成立．故答案为：42或56或90．14．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y ＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．15．解：函数y＝mx2+nx＝m（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），y＝nx2+mx＝n（x+）2﹣的顶点坐标为（，﹣），∵这两个函数图象的顶点关于x轴对称，∴，解得，m＝﹣n，故答案为：m＝﹣n．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在y＝（x﹣1）2﹣3中，∵a＝＞0，∴二次函数图象开口向上，且对称轴为x＝1；（2）∵二次函数开口向上，∴函数y有最小值，∵其顶点坐标为（1，﹣3），∴y的最小值为﹣3．17．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，当y＝0时，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，在Rt△BOC中，BC＝＝5，（2）由（1）可知y＝0时，x＝﹣1或4，当y＝3时，x＝0或3，观察图象可得当0≤y≤3时，x的取值范围是：﹣1≤x≤0或3≤x≤4．（3）过点P作PD⊥y轴，设点P坐标为（x，），则点D坐标为（0，），∴PD＝x，CD＝﹣3＝，∵∠BCP＝90°，∴∠PCD+∠BCO＝90°，∵∠PCD+∠CPD＝90°，∴∠BCO＝∠CPD，∵∠PDC＝∠BOC＝90°，∴△PDC∽△COB，∴，∴，∴x＝或x＝0（舍去），当x＝时，y＝，∴点P坐标为（，）．18．解：（1）∵每份售价超过10元且每天的销售量不为负数，∴y＝300﹣30（x﹣10）＝﹣30x+600，∵﹣30x+600≥0，∴x≤20．（2）当7≤x≤10时，w＝300（x﹣7）﹣200＝300x﹣2300；当10＜x≤20时，w＝（﹣30x+600）（x﹣7）﹣200＝﹣30x2+810x﹣4400．∴w＝，∵当7≤x≤10时，∵k＝300＞0，y随x增大而增大，∴当x＝10时，w最大值＝700元；∵当10＜x≤20时，∵a＝﹣30＜0，w有最大值，∴当时，∵x取整数，∴x应取13或14，w最大，∴x＝13时，w取最大值：元．∵700＜1060，∴每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．19．解：（1）根题意，得，，解得；故a＝﹣1，c＝﹣16；（2）由（1）可知该二次函数的解析式为y＝﹣x2+10x﹣16，今x＝0，则y＝﹣16．∴点C的坐标为（0，﹣16），令y＝0，则﹣x2+10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，AB＝8﹣2＝6．∴S△ABC＝AB•OC＝×6×16＝48．20．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），∴﹣＝1，＝2，解得m＝﹣2，n＝3；（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，∴﹣2≤x Q≤2，由图象可知，2≤y Q≤11即2≤b≤11．（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，∴n＝0，∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．。
人教版九年级数学上《正多边形和圆》拓展练习
《正多边形和圆》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）老师在微信群发了这样一个图：以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG，连接AC、DG，交点为F，下列四位同学的说法不正确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．（5分）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）A．B．C．2D．3．（5分）如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm4．（5分）如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（）A．9个B．10个C．11个D．12个5．（5分）如图，将正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2018次翻转之后，点C的坐标是（）A．（4034，0）B．（4034，）C．（4033，）D．（4033，0）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知正方形的外接圆的半径为，则正方形的周长是．7．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，四边形DEFG是⊙O的内接正方形，EF ∥BC，则∠AOF的度数为°．8．（5分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分別与AB、BC交于点G、H，且∠EOF ＝90°，有下列结论：①＝②△OGH是等腰直角二角形；③四边形OGBH的面积不随点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4﹣．其中错误的是．（把你认为错误结论的序号填上）9．（5分）如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m．10．（5分）如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．12．（10分）如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）求证：AE＝FB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与△ABM全等的三角形．13．（10分）如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB＝EF；（2）若BF＝2，求正五边形ABCDE的边长．14．（10分）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．15．（10分）已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距γ6，面积S6．《正多边形和圆》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）老师在微信群发了这样一个图：以线段AB为边作正五边形ABCDE和正三角形ABG，连接AC、DG，交点为F，下列四位同学的说法不正确的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】利用对称性可知直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，再利用正五边形、等边三角形的性质一一判断即可；【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，△ABC是等边三角形，∴直线DG是正五边形ABCDE和正三角形ABG的对称轴，∴DG垂直平分线段AB，∵∠BCD＝∠BAE＝∠EDC＝108°，∴∠BCA＝∠BAC＝36°，∴∠DCA＝72°，∴∠CDE+∠DCA＝180°，∴DE∥AC，∴∠CDF＝EDF＝∠CFD＝72°，∴△CDF是等腰三角形．故丁、甲、丙正确，故选：B．【点评】本题考查正多边形的性质、等边三角形的性质、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（5分）如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）A．B．C．2D．【分析】设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．因为BC、CD、MN是切线，可得BE＝CE＝CF＝DF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，在Rt △CMN中，因为MN＝x+y，CN＝a﹣y，CM＝a﹣x，可得到（x+y）2＝（a﹣y）2+（a ﹣x）2，推出ax+ay+xy＝a2，根据S△AMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN，构建方程求出a即可解决问题．【解答】解：设⊙O与MN相切于点K，设正方形的边长为2a．∵BC、CD、MN是切线，∴BE＝CE＝CF＝DF＝a，MK＝ME，NK＝NF，设MK＝ME＝x，NK＝NF＝y，在Rt△CMN中，∵MN＝x+y，CN＝a﹣y，CM＝a﹣x，∴（x+y）2＝（a﹣y）2+（a﹣x）2，∴ax+ay+xy＝a2，∵S△AMN＝S正方形ABCD﹣S△ABM﹣S△CMN﹣S△ADN＝4，∴4a2﹣12×2a×（a+x）﹣12（a﹣x）（a﹣y）﹣12×2a×（a+y）＝4，∴32a2﹣12（ax+ay+xy）＝4，∴a2＝4，∴a＝2或﹣2（负值舍去），∴AB＝2a＝4，∴⊙O的半径为2．故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．（5分）如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∵OB＝OC，OG⊥BC，∴∠BOG＝∠COG＝＝30°，∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，∴BG＝BC＝×2＝1cm，∴OB＝＝2cm，∴OG＝＝＝，∴圆形纸片的直径为2cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．4．（5分）如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正六边形ABCDEF，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（）A．9个B．10个C．11个D．12个【分析】先根据正六边形的特点，结合等腰三角形性质得出所有点即可．【解答】解：如图所示：圆与直线的交点以及圆心位置都是符合题意的点，故在直线AB 上会发出警报的点P有：11个．故选：C．【点评】此题考查了正多边形和圆的知识，解答此题的关键是利用P点为顶点或底边上的点进行分析得出即可．5．（5分）如图，将正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，A（﹣2，0），点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2018次翻转之后，点C的坐标是（）A．（4034，0）B．（4034，）C．（4033，）D．（4033，0）【分析】根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2018除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转前进的距离，过点C作CG⊥x于G，求出∠CBG＝60°，然后求出CG、BG，再求出OG，然后写出点C的坐标，最后翻转两次得出坐标即可．【解答】解：∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2018÷6＝336…2，∴经过2018次翻转为第336循环，点C在开始时的位置，∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转前进的距离＝2×2016＝4032，如下图，过点C作CG⊥x于G，则∠CBG＝60°，∴AG＝2×＝1，BG＝2×＝，∴OG＝4032+1＝4033，∴点C的坐标为（4033，），再经过2次翻转，点C的坐标为（4034，0）故选：A．【点评】本题考查的是点的坐标，涉及到坐标与图形变化﹣旋转，正六边形的性质，根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点B所在的位置是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知正方形的外接圆的半径为，则正方形的周长是16．【分析】根据正方形的性质求出对角线，再求出正方形的边长，最后求出面积即可．【解答】解：∵正方形的外接圆的半径为，∴正方形的对角线长为4，∴正方形的边长为4＝4，∴正方形的周长为4×4＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了正方形的性质，能熟记正方形的性质的内容是解此题的关键．7．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，四边形DEFG是⊙O的内接正方形，EF ∥BC，则∠AOF的度数为135°．【分析】由⊙O是△ABC的外接圆可知AO⊥BC，根据EF∥BC，四边形DEFG是正方形可知DG∥EF，故AO⊥DG，故AO是DG的垂直平分线，故可求出∠AOG的度数，由圆内接正多边形的性质求出∠GOF的度数，进而可得出结论．【解答】解：连接OG，∵⊙O是△ABC的外接圆，∴AO⊥EF，∵EF∥BC，∴AO⊥EF，∵四边形DEFG是正方形，∴DG∥EF，∴AO⊥DG，∴AO是DG的垂直平分线，∴∠AOG＝360°×＝45°，∵四边形DEFG是正方形，∴∠GOF＝90°，∴∠AOF＝∠AOG+∠GOF＝45°+90°＝135°．故答案为135．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，得出AO是DG的垂直平分线是解答此题的关键．8．（5分）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分別与AB、BC交于点G、H，且∠EOF＝90°，有下列结论：①＝②△OGH是等腰直角二角形；③四边形OGBH的面积不随点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4﹣．其中错误的是④．（把你认为错误结论的序号填上）【分析】连接OA、OB，如图，利用正方形的性质得OA＝OB，∠AOB＝90°，∠OAB ＝∠OBC＝45°，根据等角的余角相等得到∠AOG＝∠BOH，则利用圆心角、弧、弦的关系可对①进行判断；根据“ASA”判断△AOG≌△BOH得到OG＝OH，S△AOG＝S△BOH，则可对②③进行判断；由于△AOG≌△BOH，则AG＝BH，利用等线段代换和等腰直角三角形的性质得△BGH的周长＝AB+OG＝4+OG，利用垂线段最短得到当OG⊥AB 时，OG的长最小，此时OG＝2，从而可对④进行判断．【解答】解：连接OA、OB，如图，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴OA＝OB，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠EOF＝90°，∴∠AOG＝∠BOH，∴＝，所以①正确；在△AOG和△BOH中，∴△AOG≌△BOH，∴OG＝OH，S△AOG＝S△BOH，∴△OGH为等腰直角三角形，所以②正确；四边形OGBH的面积＝S△AOB＝×42＝4，所以③正确；∵△AOG≌△BOH，∴AG＝BH，∴△BGH的周长＝BG+BH+GH＝BG+AG+OG＝AB+OG＝4+OG，当OG⊥AB时，OG的长最小，此时OG＝2，∴△GBH周长的最小值为4+2，所以④错误．故答案为④．【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．熟练掌握正多边形的有关概念．也考查了正方形的性质．9．（5分）如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为m．【分析】设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的摊位长是2xm，在直角△OAD和直角△OBC中，利用勾股定理和三角函数表示出OC和OD的长，根据OC﹣OD＝即可列方程求得．【解答】解：设圆心是O，连接OA，OB，作OC于BC垂直．设长方形的摊位长是2xm，在直角△OAD中，∠AOD＝30°，AD＝xm，则OD＝xm，在直角△OBC中，OC＝＝，∵OC﹣OD＝CD＝，∴﹣x＝，解得：x＝或（舍弃）则2x＝．故答案是：．【点评】本题考查了正多边形的计算，解正多边形的问题最常用的方法是转化为直角三角形的计算问题，解方程是本题的关键．10．（5分）如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝+1．【分析】根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，推出四边形JHBG是平行四边形，推出JH＝BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，推出CD＝FB，推出FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，设FG＝x，由△AFG∽△BF A，推出AF2＝FG•FB，由此构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，∴四边形JHBG是平行四边形，∴JH＝BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，∴CD＝FB，∴FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，设FG＝x，∵∠AFG＝∠AFB，∠F AG＝∠ABF＝36°，∴△AFG∽△BF A，∴AF2＝FG•FB，∵AF＝AG＝BG＝1，∴x（x+1）＝1，∴x＝（负根已经舍弃），∴BF＝+1＝，∴FG+JH+CD＝+1．故答案为+1．【点评】本题考查正多边形与圆、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．【分析】（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE ＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠P AC，得到△BEC≌△APC，所以P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得P A＝PC+PB；【解答】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴P A＝AE+PE＝PC+PB；【点评】本题主要考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质和全等三角形的判定方法才能灵活运用解决综合性的习题．12．（10分）如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）求证：AE＝FB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与△ABM全等的三角形．【分析】（1）证明△AFE与△BAF全等，利用全等三角形的性质证明即可；（2）先证明△ABM≌△DEN，同理得出△ABM≌△FEM≌△CBN，【解答】证明：（1）∵正六边形ABCDEF，∴AF＝EF＝AB，∠AFE＝∠F AB，在△AFE与△BAF中，，∴△AFE≌△BAF（SAS），（2）与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝DE，∠BAF＝120°，∴∠ABM＝30°，∴∠BAM＝90°，同理∠DEN＝30°，∠EDN＝90°，∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN，在△ABM和△DEN中，，∴△ABM≌△DEN（ASA）．同理利用ASA证明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM．【点评】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定，掌握正多边形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．13．（10分）如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB＝EF；（2）若BF＝2，求正五边形ABCDE的边长．【分析】（1）根据正多边形的性质解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB＝AE，∠BAE＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，同理：∠BAF＝∠BCA＝36°，∴∠F AE＝∠AFE＝72°，∴AE＝EF，（2）设AB＝x，由（1）知；∠BAF＝∠AEB，∵∠ABF＝∠ABE，∴△ABF∽△EBA，∴，即，解得：（舍去），∴五边形ABCDE的边长为1+．【点评】此题考查正多边形的问题，关键是根据正多边形的性质解答．14．（10分）如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为：1；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．【分析】（1）计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出；（2）首先求得∠EOB的度数，然后利用360°除以∠EOB度数，若所得的结果是整数的即可．【解答】解：（1）设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R＝：1；故答案为：：1；（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，∠AOB＝90°，在正六边形AEFCGH中，∠AOE＝60°，∴∠BOE＝30°，∵n＝＝12，∴BE是正十二边形的边．【点评】考查了正多边形和圆，解决圆的相关问题一定要结合图形，掌握基本的图形变换．找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．15．（10分）已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距γ6，面积S6．【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形＝6S△ABC求得答案．【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝6，即R＝6，∵OA＝OB＝6，OG⊥AB，∴AG＝AB＝×6＝3，∴在Rt△AOG中，r6＝OG＝cm，∴S6＝×6×6×3＝54cm2．【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．第21页（共21页）。
人教版数学九年级上学期课时练习- 解一元二次方程39题(拓展篇)(人教版)
专题21.27 解一元二次方程39题（拓展篇）（专项练习）一、解答题1．解方程：231213x x -=-2．解方程2233937x x x x +-=+-．3．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =，原方程化为260y y --=①，解①得12y =-，23y =．当12y =-时，22x =-无意义，舍去；当23y =时，23x =，解得x =①原方程的解为1x =2x =； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：（1）()222251060x x x x --++=； （2）23152x x ++=．4．解方程(2)(1)(4)(7)19x x x x -+++=．5．用适当方法解下列方程：（1）21329505100x x +=； （2）527x x -=-；（3）1320.50.25()0.75323x x x x ⎧⎫⎡⎤----=+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭； （4）若x 为整数，252464x x +⋅-=；6．解关于x 的方程：4322102(11)2(56)20x x a x a x a a ---++++=．7．解方程：(1)43229280x x x x +--+=；(2)12234x x x -+-+-=；(3)22330x y xy y ++-+=．8．先阅读下面的内容，再解决问题例题：若m 2+2mn +2n 2-6n +9=0，求m 和n 的值．解：①m 2+2mn +2n 2-6n +9=0①m 2+2mn +n 2+n 2-6n +9=0①(m +n )2+(n -3)2=0①m+n=0，n-3=0①m=-3，n=3问题（1）若x2+2y2-2xy-4y+4=0，求x y的值（2）已知a，b，c是①ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b-41，且c是①ABC中最长的边，求c的取值范围．9．阅读下列材料：解方程：x4﹣6x2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5＝0…①，解这个方程得：y1＝1，y2＝5．当y＝1时，x2＝1，①x＝±1；当y＝5时，x2＝5，①x＝所以原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3x4在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，若设y＝x2﹣x，则原方程可转化为；求出x（2）利用换元法解方程：224224x xx x-+-＝2．10．解方程：2232mx x-=+()1m≠11．解方程：22261810 32x xx x-+-+= +-12．解方程：2(1)x+-2（x+1）=313．按要求解方程：（1）直接开平方法：4(t-3)2=9(2t-3)2（2）配方法：2x2-7x-4=0（3）公式法：3x2+5(2x+1)=0（4）因式分解法：3(x-5)2=2(5-x)（5）abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)（6）用配方法求最值：6x2-x-1214．（1）解方程组：221104100x yy⎧+-=⎪-+=（2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x yx y x y+-=-+⎧⎨-+=++⎩15．已知22,2,2x y x x y y≠-=-=，求5225x y x y-的值16．阅读理解：解方程：30-=x x ．解：方程左边分解因式，得()()110x x x +-=，解得10x =，21x =，31x =-．问题解决：（1）解方程：324120x x x --=．（2）解方程：()()22230x x x x ---=． （3）方程()()222212250x x x x -+---=的解为 ．17．解方程（1）236160x -= （2）()3811x -=（3）()225920x --= （42=-18．若实数a,b 分别满足2880a a ++=和2880b b ++=，求19．用适当的方法解方程 2(23)3(23)t t +=+ ．20．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x 2–3|x|+2=0．解：设|x|=y ，则原方程可化为：y 2–3y+2=0．解得：y 1=1，y 2=2．当y=1时，|x|=1，①x=±1；当y=2时，|x|=2，①x=±2．①原方程的解是：x 1=1，x 2=–1，x 3=2，x 4=–2．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：x 4–10x 2+9=0．(2)解方程：21x x +–221x x +=1． (3)若实数x 满足x 2+21x –3x–3x =2，求x+1x的值．21．解方程：22103703x x x x +++=+.22．解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭.23．解方程：22110x x x x+++=24x 的一元二次方程291350244a x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的解．252+=这里a b c ===①224432b ac -=-=．①2x ==．①1222x x ==，．请你分析以上解答有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果．26．观察下列方程：①2227910x x -+=；①2223660x x -+=；①2219450x x -+=；①2215280x x -+=；①2211150x x -+=；…上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程24b ac -的值均为1．（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．（2）对于一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0，24b ac -≥0），能否作出一个新方程20ax b x c '+'+=，使24b ac -与24b ac '-'相等？若能，请写出所作的新的方程（b '，c '需用a ，b ，c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．27．解方程：（1）224x x -=．（2）2(3)2(3)0x x x -+-=．28．解关于x 的一元二次方程：5(3)(1)(3)x x x x -=+-．29．解方程：(1)x (x ＋8)＝16;(2)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7.30x 的方程（a ﹣2）x 2+2x ﹣3=0的解．31．解方程（1）x2+4x﹣5＝0（2）（x﹣3）（x+3）＝2x+6．32．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.33．解方程：（3x+1）2=9x+3．34．如果x2－4x+y2，求（xy）z的值．35．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．36．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.37．用适当的方法解方程(1) ()2136x-=(2) 2870++=x x(3) 25x += (4) ()()22452x x -=-38．解方程：（1）（2）39．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．参考答案1．123,1x x ==【分析】将原方程整理，移项，令)0t t ≥，然后解关于t 的一元二次方程，获得t 的值，代回原方程即可求解．解：231213x x -=-移项，整理得：()234780x x -+-=令)0t t ≥，原式变为23280t t --= 解得12t =，243t =-（舍去）2，即2430x x -+= 解得13x =，21x = 故答案为 13x =，21x =．【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，问题的关键是令)0t t ≥，然后解关于t 的一元二次方程，一定要注意舍去不合理的根． 2．12x =，25x =-，33332x ，43332x ．【分析】将2233937x x x x +-=+-化为223372037x x x x ，设237ax x ，则原方程可化为320aa，解得13a =，21a =-，即：2373x x +-=或2371x x +-=-，分别求解即可得到结果．解：①2233937x x x x +-=+-，①22339037x x x x ①223372037x x xx设237ax x ，则原方程可化为320aa，化简得：2230a a --= ①310a a①13a =，21a =-，即：2373x x +-=或2371x x +-=- 解之得：12x =，25x =-，或33332x ，43332x ，经检验，12x =，25x =-，33332x ，43332x 都是原方程得解，则原方程得解为：12x =，25x =-，33332x ，43332x ．【点拨】本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键．3．（1）11x =21x =33x =，41x =-；（2）10x =，25x =-． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令22y x x =-，即原方程=2560y y -+=，求解即可．（2y =，即原方程=23250y y ，求解即可． 解：（1）设22y x x =-，得：2560y y -+=， 解得：12y =，23y =．当12y =时，222x x -=，解得：1x = 当23y =时，223x x -=，解得：3x =，1-．①原方程的解为11x =21x =33x =，41x =-．（2y ，则方程可变成23250y y ， ①(35)(1)0y y +-=， 153y =-，21y =．当153y =-53=-，所以无解．当21y =1=， ①250x x +=， ①10x =，25x =-．经检验10x =，25x =-是原方程的解．【点拨】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键．4．1234x x x x ====【分析】把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得22(514)(54)19x x x x +-++=，然后设222(514)(54)552x x x x y x x +-+++==+-，解得y 的值，最后解得x 的值．解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得（x 2+5x -14）（x 2+5x +4）=19．设222(514)(54)552x x x x y x x +-+++==+-，①则（y -9）（y +9）=19， 即y 2-81=19．解得1210y =±，，将y 1、y 2的值代入①式得， 255=10x x +-或255=10x x +--，解得1234x x x x ====【点拨】本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法降次解之，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心． 5．（1）152x =，212x =；（2）12x =，24x =；（3）149114x =-；（4）14x =，22x =【分析】（1）先把方程化为系数为整数的一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解即可； （2）根据两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可；（3）采用从外往里逐步去分母的方法，同时把其中系数为小数的数化为分数，最后变为系数为整数的一元一次方程，解方程即可；（4）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，转化为关于2x 的一元二次方程，用换元法解即可． 解：（1）原方程化简得：2229600x x -+=分解因式得：(25)(12)0x x --= 即2x －5=0或x －12=0 ①152x =，212x = （2）由题意得：x －5=±(2x －7) 即x －5=2x －7或x －5=－（2x －7）①12x =，24x =（3）方程两边同乘3，得：3290.50.25()3234x x x x ⎡⎤----=+⎢⎥⎣⎦即3350.50.25()2212x x x ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦方程两边同乘12，得：136()243542x x x ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦即336()243522x x x -+-=+即33()303522x x -=+ 方程两边同乘4，得：69120140x x -=+ 即114x =－149 即：149114x =-（4）原方程可化为：2(2)202640x x -⨯+= 设2x X =，则方程可化为：220640X X -+= 即(X －16)(X －4)=0 ①116X =，24X =当116X =时，42162x ==，14x = 当24X =时，2242x ==，22x =即原方程的解为14x =，22x =【点拨】本题是解一元二次方程、含绝对值的方程、一元一次方程及含指数的方程，题目有一定的难度，重要的是转化思想及换元思想的应用． 6．当6a ≥-时，方程的解为：1239,39,x a x a 3426,26,x a x a 当96a时，方程的解为：1239,39,x a x a 当9a <-时，方程无解.【分析】 先把方程变形为224322511022120,a x x ax x x x 再分解因式可得226420,ax xax x 再分两种情况解一元二次方程即可.解：把原方程变形为：224322*********,a x x ax x x x226420,ax xax x解得：26a x x 或242,ax x 当26ax x 时，则260,xx a当=36+40a 时，即9,a方程的解为：1239,39,x a x a当242a x x 时，则2420,xx a当16420a时，即6,a方程的解为：1226,26,x a x a 综上：当6a ≥-时，方程的解为：1239,39,x a x a 3426,26,x a x a 当96a -≤<时，方程的解为：1239,39,x a x a 当9a <-时，方程无解.【点拨】本题考查的是利用因式分解法解高次方程，一元二次方程根的判别式的应用，熟练的进行因式分解是解本题的关键. 7．(1)12341,1,4,2x x x x (2)52x =或12x =(3)12x y =-⎧⎨=⎩【分析】（1）利用拆项分组的方法把左边分解因式，再化为一次方程即可； （2）分四种情况去绝对值，化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；（3）先整理为关于y 的一元二次方程，根据根的判别式求解1,x =- 再代入原方程求解y 即可.(1)解：43229280x x x x +--+=432228280,x x x x x 22228+280,x x x x x221280,x x x11420,x x x x解得：12341,1,4,2x x x x(2)解：12234x x x -+-+-=当2x ≥时，原方程为：12234,x x x 即410,x解得：5,2x = 经检验符合题意；当322x ≤<时，原方程为：12234,x x x 即26,x = 解得：3x =，经检验不符合题意舍去， 当312x ≤<时，原方程为：12324,x x x 即424,x 解得：0,x = 经检验不符合题意，舍去，当1x <时，原方程为：12324,x x x 即42,x 解得：12x =，经检验符合题意； 综上：方程的解为52x =或12x = (3)解：22330x y xy y ++-+=整理为：22330,yx y x 222343310,x x x2310,x 则2310,x1,x ∴=-所以原方程化为：2440,y y 解得：2,y =所以方程的解为：12x y =-⎧⎨=⎩ 【点拨】本题考查的是利用因式分解解高次方程，分段去绝对值符号解绝对值方程，利用一元二次方程根的判别式解二元二次方程，熟练的掌握解方程的合适的方法是解本题的关键. 8．（1）4；（2）5≤c ＜9． 【分析】（1）将原式变形为x 2-2xy+y 2+y 2-4y+4=0，得到：（x -y ）2+（y -2）2=0，利用非负数的性质求得x 、y ，从而确定代数式的值；（2）根据a 2+b 2=10a+8b -41，可以求得a 、b 的值，由a ，b ，c 为正整数且是△ABC 的三边长，c 是△ABC 的最长边，可以求得c 的值，本题得以解决． 解：（1）①x 2+2y 2-2xy -4y+4=0，①x 2-2xy+y 2+y 2-4y+4=0 ①（x -y ）2+（y -2）2=0 ①x -y=0，y -2=0 ①x=2，y=2 ①x y =22=4（2）①a 2+b 2=10a+8b -41，①a 2-10a+25+b 2-8b+16=0 ①（a -5）2+（b -4）2=0 ①a -5=0，b -4=0 ①a=5，b=4 ，①a ，b ，c 是△ABC 的三边， ①c 的取值为：1＜c ＜9 又①c 是△ABC 中最长的边，且a=5 ①c 的取值为：5≤c ＜9．【点拨】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确配方法和三角形三边的关系．9．（1）y 2﹣4y ﹣12＝0，x 1＝-2，x 2＝3；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设y=224xx -把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x 的值． 解：（1）设y ＝x 2﹣x ，原方程可变形为：y 2﹣4y ﹣12＝0故答案为：y 2﹣4y ﹣12＝0 ， ①(6)(2)0y y -+=， ①6y =或2y =-， ①26x x -=或22x x -=- 解得：x 1＝-2，x 2＝3．（2）设y ＝224xx -，则2412x x y -=， 原方程变形为：120y y+-=，去分母，得y 2﹣2y +1＝0， 即（y ﹣1）2＝0 解得，y 1＝y 2＝1经检验，y ＝1是分式方程的根． ①224xx -＝1， 即x 2﹣2x ﹣4＝0解得：x 1＝x 2＝1经检验，①原分式方程的解为：x 1＝x 2＝1【点拨】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．10．当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.解：移项得：2223mx x -=+，化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-，1x ∴=2x ==∴当1m 时，原方程的解是x =当1m <时，原方程无实数解．【点拨】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键. 11．原方程的解为2x =-或4x = 【分析】令223x y x -=+，将方程转化为260y y +-=，解出2y =或3y =-，再代回223x y x -=+中，即可解答．解：令223x y x -=+，则原方程转化为：610y y -+=，整理得：260y y +-=， 解得：2y =或3y =-，经检验：2y =或3y =-都是方程的根， 当2y =时，即2223x x -=+， 去分母得：222(3)x x -=+，解得：2x =-或4x = 经检验，2x =-或4x =是方程2223x x -=+的根，当3y =-时，2233x x -=-+， 去分母得：223(3)x x -=-+， 整理得： 2370x x ++= ①947190∆=-⨯=-<， ①方程无解，综上，原方程的解为2x =-或4x =．【点拨】本题考查了利用换元法解分式方程，解题的关键是通过换元将方程转化为610y y-+=． 12．122,2x x ==- 【分析】先将2(1)x + -2（x+1）=3化成2(1)x + -2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x ．解：①2(1)x + -2（x+1）=3化成2(1)x + -2（x+1）-3=0①（x+1-3）(x+1+1)=0 ①x+1-3=0或x+1+1=0 ①122,2x x ==-【点拨】本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键．13．（1）12315,48t t ==；（2）1214,2x x ==-；（3）12x x ==（4）12135,3x x ==；（5）12,b a x x a b ==；（6）112x =时，有最小值28924-【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）等式两边同时除以2，然后移项，将常数项移到等式右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方求解即可；（3）整理为一般式后，代入求根公式求解即可；（4）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可； （6）将原式进行配方变形即可得出答案． 解：（1）4(t -3)2=9(2t -3)2开方得：2(3)3(23)t t -=±-，①2(3)3(23)t t -=-或2(3)3(23)t t -=--， ①12315,48t t ==；（2）2x 2-7x -4=0 方程两边同时除以2得： 27202x x --=， 2722x x -=， 222777()2()244x x -+=+，2781()416x -=，7944x -=±，①1214,2x x ==-； （3）3x2+5(2x+1)=0方程整理为一般式为：231050x x ++=，①3,10,5a b c ===，①2241043540b ac -=-⨯⨯=，①x =，①12x x =（4）3(x -5)2=2(5-x)方程变形为：23(5)2(5)0x x -+-=，①[](5)3(5)20x x --+=，①(5)(313)0x x --=， ①12135,3x x ==； （5）abx 2-(a 2+b 2)x+ab=0()()0ax b bx a --=，①0ab ≠，①0,0a b ≠≠， ①12,b a x x a b==； （6）6x 2-x -12222211112896(2)6()()26()612121224x x x x ⎡⎤=--=---=--⎢⎥⎣⎦， ①当112x =时，原式有最小值28924-． 【点拨】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握解一元二次方程的多种方法是解此题的关键．14．（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.解：（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①② 由①410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=解得：3y =或139y = 将3y =代入①12100-+=，解得：x 将139y =代入①1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点拨】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.15．36±【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系可得：x+y=1，xy=-2，对代数式进行因式分解变形整体代入即可.解：根据题意得：x+y=1，xy=-2①224189x y x y xy①3-=±x y()()()()()()()()()223322225222223336x y x y xy x y x xy y xy x y x y y x x yy x =-=-++⎡⎤=-+-⎣-⎦=-⨯±⨯=±【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式的求值，能根据根与系数的关系求出x 与y 的和与积，并能根据公式对算式进行分解变形是关键.16．（1）10x =，2x =，3x （2）10x =，21x =，3x =，4x =（3）1x =2x = 【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．解：（1）324120x x x --=，①()241210x x x --=， ①0x =，241210x x --=，解得：10x =，2x =，3x （2）()()22230x x x x ---=，①()()2230x x x x ---=， ①20x x -=，230x x --=，解得：10x =，21x =，3x =，4x = （3）()()222212250x x x x -+---=，整理得：()2224x x -=，开方得：222x x -=±，①2220x x --=，2220x x -+=，解方程2220x x --=得：1x =2x = 方程2220x x -+=中150∆=-<，此方程无解，所以原方程的解为：1x =2x =故答案为1x =2x = 【点拨】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．17．()()()()21332211133346x x x x x =±====-或【分析】(1) 方程变形后，利用平方根的定义开立方即可求出解;(2) 把x -1看作一个整体，再把方程变形后，利用立方根的定义开立方即可求出解;(3) 把x -2看作一个整体，在利用平方根的定义开方即可求出解;(4) 根据立方根的定义解答即可;解：（1）①36x 2-16=0，①36x 2=16，①4263x ==±=±; （2）① 38(1)1x -= , ①31(1)8x -=,①112x -==, ①32x = .（3）①2259(2)0x --=, ①225(2)9x -=,①523x -=±, ①552233x x -=-=-或, ①11133x x ==或 .（4）2,2=--=①28x -=- ;①6x =- .【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．18．【分析】把a 、b 看作方程2880x x ++=的两个根，根据根与系数的关系得到8,8a b ab +=-=，得出0,0a b <<，利用二次根式的性质化简，然后利用整体代入的方法进行计算即可.解：①实数a ,b 分别满足2880a a ++=和2880b b ++=①a 、b 看作方程2880x x ++=的两个根，①8,8a b ab +=-=①0,0a b <<①====【点拨】本题主要考查根与系数的关系以及二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.19．123,02t t =-=． 试题分析：先移项，再因式分解后，变为ab=0，解方程即可.解：， ①， ① ，①， ① 123,02t t =-= 20．(1)x=±1或x=±3；(2)x=1或x=–12；(3)x+1x=4． 【分析】（1）设x 2=a ，则原方程可化为a 2–10a +9=0，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（2）设21x x +=m ，则原方程可化为m –2m=1，即m 2–m –2=0，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解；（3）设x +1x=y ，则原方程可化为y 2–3y –4=0，解方程求得y 的值，即可求得x+1x的值． 解：（1）设x 2=a ，则原方程可化为a 2–10a +9=0，即（a –1）（a –9）=0，解得：a =1或a =9，当a =1时，x 2=1，①x =±1；当a =9时，x 2=9，①x =±3；（2）设21x x +=m ，则原方程可化为m –2m=1，即m 2–m –2=0， ①（m +1）（m –2）=0，解得：m =–1或m =2，当m =–1时，21x x +=–1，即x 2+x +1=0，由Δ=1–4×1×1=–3＜0知此时方程无解； 当m =2时，21x x+=2，即2x 2–x –1=0，解得：x =1或x =–12， 经检验x =1和x =–12都是原分式方程的解；（3）设x +1x=y ，则原方程可化为：y 2–2–3y =2，即y 2–3y –4=0， ①（y +1）（y –4）=0，解得：y =–1或y =4，即x +1x =–1（方程无解，舍去）或x +1x=4， 故x +1x=4． 【点拨】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．21．1x =-或2-．【分析】利用换元法，根据方程的特点设23x x y +=，则原方程可化为1070y y++=，解方程求y ，再求x 即可.解：设23x x y +=，则原方程可化为1070y y ++= 解得12y =-，或25y =-．当12y =-时，232x x +=-，解得11x =-,22x =-.当25y =-时，235x x +=-，方程无解．经检验11x =-,22x =-都是原方程的根，①原方程的根是11x =-,22x =-.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根 22．2x =或1-．【分析】 根据方程的特点用完全平方公式将分式化为2224522x x x x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，设22x y x =+，原方程化为2450,y y +-=解一元二次方程求y ，再求x 即可. 解：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 2224522x x x x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭， 2224()522x x x x +=++， 设22x y x =+，原方程化为2450,y y +-= 解得15y =-，21y =-.当5y =-时，252x x =-+，方程无解，后者解得2x =或1-． 当1y =-时，212x x =+，解得2x =或1-． 经检验：2x =或1-都是原方程的根，①原方程的根是12x =,21x =-.【点拨】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根． 23．x ＝－1.【分析】 设1 y x x=+，用完全平方公式将方程化为关于y 的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，即为1x x+的值，进而求出x 的值，将x 的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 解：设1 y x x =+，则222211()22x y x x x+=+-=-， 原方程化成220y y +-=，解这个方程，得11y =，22y =-，当y ＝1时，1x x+=1，即210x x -+=．由30=-＜知，此方程无实根， 当y ＝－2时，12x x +=-，即2210x x ++=， 解得121x x ==-经检验，x ＝－1是原分式方程的解.原方程的解为x ＝－1. 【点拨】此题考查了换元法方程，关键是利用22211()2x x x x+=+-进行转化，进而设1 y x x=+，将原方程转化为一元二次方程． 24．52或1.3 【分析】先求出a 的值，再代入求出方程的解即可.解：①①2612a a a -=-，解得3a =或4，当3a =时，2913530244x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，化简得261350x x -+-=，解得52x =或13， 当4a =时，两个二次根式不是最简二次根式故舍弃. 故答案为：52或13. 【点拨】本题主要考查了同类二次根式及因式分解法，解题的关键是正确的求出a 的值. 25．见解析.【分析】这位同学没有把方程化为一般式就使用了求根公式，导致c 的值错误，整个解题错误.解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式，c 应为-6-±【点拨】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程公式法应用的前提是解决此题的关键.26．（1）答案不唯一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，见解析.【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案. （2）根据（1）可得出一个新方程20ax b x c '+'+＝，使24b ac -与24b ac '-'相等.解：（1）答案不唯一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，所作的新方程为2(2)()0ax b a x a b c +++++=．通过观察可以发现2b b a c a b c ''=+=++，．【点拨】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.27．(1) 11x =21x =(2) 13x =，21x =．解：分析：（1）先移项，化为一元二次方程的一般式，然后根据公式法求解即可； （2）根据因式分解法把方程化为ab=0的形式进行解答即可.（1）224x x -=．解：原式可化为2240x x --=，()()2242414200b ac ∆=-=--⋅⋅-=>，①x ==①11x =21x =（2）()()23230x x x -+-=．解：()()3320x x x --+=， ()()3330x x --=，①13x =，21x =．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点合理选择：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法解方程是解题关键.28．13x =，214x =解：由()()()5313x x x x -=+-得，()()()53130x x x x --+-=，因式分解，得()()3510x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，即()()3410x x --=，于是得30x -=或410x -=，解得13x =，214x =．29．(1)x 1＝－4＋，x 2＝－4－(2)x 1＝2，x 2＝4.分析：（1）先把方程化为一般式，然后确定a 、b 、c ，然后利用公式法求解；（2）先把方程化为一般式，然后根据因式分解法解方程即可.解：(1)x(x ＋8)＝16;x 2+8x -16=0①a=1，b=8，c=-16①①=b 2-4ac=128＞0=-即x 1＝－4＋x 2＝－4－(2)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－74x 2-4x+1=3x 2+2x -7x 2-6x+8=0（x-2）（x-4）=0x-2=0或x-4=0①x1＝2，x2＝4.【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是先化简方程为一般式，然后选择公式法、配方法、因式分解法、直接开平方法求解即可.30．x=1、x=﹣3或x=32．整体分析：由同类二次根式的定义求出a的值，再把a的值代入到方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0中求解.解：①①a2﹣a=4a﹣6，解得：a=2或a=3，当a=2时，关于x的方程为2x﹣3=0，解得：x=32，当a=3时，关于x的方程为x2+2x﹣3=0，解得；x=1，x=﹣3，①关于x的方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x=32．31．（1）x=1或x=﹣5；（2）x=﹣3或x=5．试题分析：（1）根据因式分解—十字相乘法，分解因式后，由ab=0的性质求解即可；（2）通过移项，添括号，构成能因式分解的一元二次方程，因式分解后由ab=0的性质求解即可.解：（1）①x2+4x﹣5=0，①（x﹣1）（x+5）=0，则x﹣1=0或x+5=0，解得：x=1或x=﹣5；（2）①（x﹣3）（x+3）﹣2（x+3）=0，①（x+3）（x﹣5）=0，则x+3=0或x﹣5=0，解得：x=﹣3或x=5．32．x1x 2试题解析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.解：(x ＋1)(x －1)＝x 2-x -1=0①a=1，b=-c=-1①①=b 2-4ac=8+4=12＞0①x1x 233．x1=﹣13，x2=23． 试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.解：方程整理得：（3x +1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x +1）（3x+1﹣3）=0，可得3x +1=0或3x ﹣2=0，解得：x 1=﹣13，x2=23． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.34．（xy ）z =136. 试题分析：观察分析可知，原式可化为：22(44)(69)0x x y y -++++，即：22(2)(3)0x y -+++，由此可求得“三个未知数”的值，再代入式子：()z xy 中计算即可.解：①2246x x y y -++，①22(44)(69)0x x y y -++++，①22(2)(3)0x y -++，①203020x y z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ，解得：232x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ①221()[2(3)](6)36z xy --=⨯-=-=. 【点拨】象本题这种一个方程中含有多个“未知数”的情形，通常需先把原方程转化为：几个非负数的和等于0的形式；然后根据“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”列出方程组就可求出未知数的值.35．原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩或2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，然后分别解方程组即可求解． 解：由题意得：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029， 方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2， ①原方程最多有两个实数解，①原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．36．原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13. 解：本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋26x ＝0,然后分组提公因式可得: 6221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－351x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＋62＝0,此时设 y ＝1x x +, 则221x x+＝y 2－2,原方程可化为: 6(y 2－2)－35y ＋62＝0,解方程求出y ,然后把求出的y 值代入y ＝1x x+,得到关于x 的方程,然后解方程即可求解. 经验证x ＝0不是方程的根，原方程两边同除以x 2，得6x 2－35x ＋62－35x ＋26x ＝0， 即6221x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－351x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＋62＝0.设y ＝1x x +，则221x x+＝y2－2， 原方程可变为6(y 2－2)－35y ＋62＝0.解得y 1＝52，y2＝103. 当1x x +＝52时，解得x1＝2，x2＝12； 当1x x +＝103时，解得x 3＝3，x4＝13. 经检验，均符合题意．原方程的解为x 1＝2，x 2＝12，x 3＝3，x 4＝13.37．（1）127,5x x ==- ；（2）127,1x x ；（3）12x x ==；（4）123,1x x == =试题分析：根据一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法直接求解即可.解：（1）()2136x -=x -1=±6127,5x x ==- ； （2）2870x x ++=（x+7）（x+1）=0127,1x x =-=-；（3）25x +=移项得250x -+=2(0x -=12x x =；（4）()()22452x x -=-移项得()()224520x x ---=（x -4+5-2x ）（x -4-5+2x ）=0解得123,1x x ==38．(1) 122,43x x ==- (2)；解：（1）利用一般式求出a 、b 、c 的值，代入根的判别式判断方程的解的情况，然后用公式法其解即可；（2）根据完全平方公式因式分解，然后可求解.试题解析：(1)231080x x +-=解：a=310,8b c ==-，()224104381960b ac -=-⨯⨯-=>①10146x -±== 即122,43x x ==- （2）2210x x --=解：①； 39．x=15或x=1 【分析】设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y -3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y -3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,①3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ①原方程的解是x=15或x=1． 【点拨】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．。
人教版九年级数学上册《图形的旋转》拓展练习
《图形的旋转》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若点A、D、E在同一直线上，∠ACB＝n°，则∠ADC的度数是（）A．（m﹣n）°B．C．D．（180﹣2n﹣m）°2．（5分）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12B．6C．3D．13．（5分）如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB 互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④MN的长度保持不变；⑤△PMN的周长保持不变；其中说法正确的是（）A．①②⑤B．②③⑤C．①③④D．①②③4．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去…，若点A（，0），B（0，4），则点B2019的横坐标为（）A．5B．12C．10070D．100965．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点CD，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是（）A．30°B．45°C．50°D．60°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在菱形ABCD中，AD＝8，点E在边CD上，且DE＝6，△AED与△AEF 关于AE所在的直线成对称图形．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转60°，得到△ABG，连接GF，则线段GF的长为．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点BB1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去…．若点A（3，0），B（0，4），则点B2018的坐标为．8．（5分）如图，边长为3的正方形纸片ABCD的相邻边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，E在纸片上，E的坐标是（1，2），将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，此时E的对应点为E1，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，此时E1的对应点为E2，以此类推，这样连续旋转2018次，则E2018的坐标是．9．（5分）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC 绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为．10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD 与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．12．（10分）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，则∠AOE＝；（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．13．（10分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的矩形CEFD 拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D．14．（10分）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．15．（10分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD 上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）求证：DF＝PG；（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．《图形的旋转》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若点A、D、E在同一直线上，∠ACB＝n°，则∠ADC的度数是（）A．（m﹣n）°B．C．D．（180﹣2n﹣m）°【分析】根据旋转的性质即可得到∠ACD和∠CAD的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC．∴∠DCE＝∠ACB＝n°，∠ACE＝m°，AC＝CE，∴∠ACD＝m°﹣n°，∵点A，D，E在同一条直线上，∴∠CAD＝（180°﹣m°），∵在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝180°﹣（180°﹣m°）﹣（m°﹣n°）＝90°+n°﹣m°＝（90+n﹣m）°，故选：B．【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．2．（5分）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12B．6C．3D．1【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH＝BG，再求出∠HBN ＝∠MBG，根据旋转的性质可得MB＝NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN＝MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH＝30°求解即可．【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵MB旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，∴MG＝CG＝×12＝6，∴HN＝6，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．3．（5分）如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB 互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④MN的长度保持不变；⑤△PMN的周长保持不变；其中说法正确的是（）A．①②⑤B．②③⑤C．①③④D．①②③【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF，在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故③正确，∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故②正确，∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故④错误，∵PM＝PN，∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，∵MN的长度是变化的，∴△PMN的周长是变化的，故⑤错误．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去…，若点A（，0），B（0，4），则点B2019的横坐标为（）A．5B．12C．10070D．10096【分析】由图象可知点B2019在x轴上，求出B2，B4，B6的坐标，探究规律后即可解决问题．【解答】解：由图象可知点B2019在x轴上，∵OA＝，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…∴B2018（10090，4）．∴点B2019横坐标为10090++＝10096．故选：D．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．5．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点CD，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝30°，求出∠DAE＝∠CAE＝30°，再求出∠DAC的度数即可．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝30°∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝30°，∵AE垂直平分CD于点F，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠DAC＝30°+30°＝60°，即旋转角度数是60°，故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，能求出∠DAE＝∠CAE＝30°是解此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在菱形ABCD中，AD＝8，点E在边CD上，且DE＝6，△AED与△AEF 关于AE所在的直线成对称图形．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转60°，得到△ABG，连接GF，则线段GF的长为2．【分析】如图，连接BE，作EH⊥BC于H．只要证明△GAF≌△EAB（SAS），可得FG ＝BE，解直角三角形求出BE即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE，作EH⊥BC于H．由题意：∠EAD＝∠EAF＝∠GAB，AG＝AE，AD＝AF＝AB，∴∠GAF＝∠EAB，∴△GAF≌△EAB（SAS），∴FG＝BE，∵把△ADE顺时针旋转60°，得到△ABG，∴∠DAB＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ECH＝60°，∵DC＝8，DE＝6，∴EC＝2，∴CH＝1，EH＝，BH＝8﹣1＝7，在Rt△BEH中，BE＝＝＝2．故答案为2．【点评】本题考查旋转变换，轴对称，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．（5分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点BB1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去…．若点A（3，0），B（0，4），则点B2018的坐标为（12108，4）．【分析】然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差12个单位长度，根据这个规律可以求得B2018的横坐标，进而可得点B2018的坐标．【解答】解：∵点A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，观察图象可知，点B2018的纵坐标为4，∵2018÷2＝1009，∴点B2018的横坐标为1009×12＝12108，∴点B2018的坐标为（12108，4）．故答案为（12108，4）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是循环探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．8．（5分）如图，边长为3的正方形纸片ABCD的相邻边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，E在纸片上，E的坐标是（1，2），将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，此时E的对应点为E1，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，此时E1的对应点为E2，以此类推，这样连续旋转2018次，则E2018的坐标是（6056，1）．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：∵正方形的边长为3，∴OB＝3，∵E的坐标是（1，2），∴BE＝＝2，将正方形纸片绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，∴BE1＝2，∴E1，（5，2），∴FE2＝2，∴E2（8，1），∴E2G＝E3G＝，∴E3（10，1），∴E3H＝E4H＝＝，∴E4（13，2），…，观察可知：纵坐标的变化规律是四次一个循环（2，2，1，1），2018÷4＝504余2，∴E2018的纵坐标与E2相同，纵坐标为1，横坐标＝3×2018+2＝6056，∴E2018的坐标为（6056，1）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．9．（5分）平面直角坐标系中，C（0，4），K（2，0），A为x轴上一动点，连接AC，将AC 绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点B的坐标为（3，﹣1）．【分析】如图，作BH⊥x轴于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，构建方程组确定交点M坐标即可解决问题；【解答】解：如图，作BH⊥x轴于H．∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，∵AC＝AB，∵AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，∴点B在直线y＝x﹣4上运动，设直线y＝x﹣4交x轴于E，交y轴于F，作KM⊥EF于M，则直线KM的解析式为y＝﹣x+2，由，解得，∴M（3，﹣1），根据垂线段最短可知，当点B与点M重合时，BK的值最小，此时B（3，﹣1），故答案为：（3，﹣1）【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点B的运动轨迹，学会利用垂线段最短解决最短问题．10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为．【分析】连接MC，M'C，先利用勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出CM＝AB，然后连接CM、CM′，再根据旋转的性质求出∠MCM′＝90°，CM＝CM′，再利用勾股定理列式求解即可．【解答】解：如图，连接MC，M'C，∵AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝＝2，∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝，∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，∴∠A′CM′＝∠ACM，∵∠ACM+∠MCB＝90°，∴∠MCB+∠BCM′＝90°，又∵CM＝C′M′，∴△CMM′是等腰直角三角形，∴MM′＝CM＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理进行计算．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形ABCD 与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．【分析】（1）由正方形的性质可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得∠AGD＝∠AEB，延长EB交DG于点H，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论；由正方形的性质和等量代换可证△ADG≌△ABE（SAS），因此可证得DG＝BE；（2）过点A作AM⊥DG交DG于点M，根据正方形的性质可证得DM＝AM＝，然后根据勾股定理可求得GM的长，进而可求得BE＝DG＝DM+GM；【解答】解：（1）四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE在△ADG和△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD＝∠AEB，如图1，延长EB交DG于点H，∵△ADG中∠AGD+∠ADG＝90°，∴∠AEB+∠ADG＝90°，∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE＝180°，∴∠DHE＝90°，∴DG⊥BE；（2）∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，∴∠DAG＝∠BAE，在△ADG和△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴DG＝BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD＝∠AMG＝90°，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠MDA＝∠MDA＝∠MAB＝45°，BD＝2，∴AM＝BD＝1，在Rt△AMG中，∵AM2+CM2＝AG2，∴GM＝2，∵DG＝DM+GM＝1+2＝3，∴BE＝DG＝3．【点评】本题主要考查了正方形的性质，锐角三角函数，解本题的关键是全等三角形的性质和判定以及勾股定理的综合应用．12．（10分）如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，△ODE中，∠ODE＝90°，∠EOD＝60°，先将△ODE一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转．（1）当OD在OA与OC之间，且∠COD＝20°时，则∠AOE＝130°；（2）试探索：在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；（3）在△ODE的旋转过程中，若∠AOE＝7∠COD，试求∠AOE的大小．【分析】（1）求出∠COE的度数，即可求出答案；（2）分为两种情况，根据∠AOC＝90°和∠DOE＝60°求出即可；（3）根据∠AOE＝7∠COD、∠DOE＝60°、∠AOC＝90°求出即可．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵OD在OA和OC之间，∠COD＝20°，∠EOD＝60°，∴∠COE＝60°﹣20°＝40°，∴∠AOE＝90°+40°＝130°，故答案为：130°；（2）在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，有两种情况：①如图1、∵∠AOD+∠COD＝90°，∠COD+∠COE＝60°，∴∠AOD﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°，②如图2、∵∠AOD＝∠AOC+∠COD＝90°+∠COD，∠COE＝∠DOE+∠DOC＝60°+∠DOC，∴∠AOD﹣∠COE＝（90°+∠COD）﹣（60°+∠COD）＝30°，即△ODE在旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；（3）如图1、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，∴90°+60°﹣∠COD＝7∠COD，解得：∠COD＝18.75°，∴∠AOE＝7×18.75°＝131.25°；如图2、∵∠AOE＝7∠COD，∠AOC＝90°，∠DOE＝60°，∴90°+60°+∠COD＝7∠COD，∴∠COD＝25°，∴∠AOE＝7×25°＝175°；即∠AOE＝131.255°或175°．【点评】本题考查了角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键，题目比较好，难度不大．13．（10分）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的矩形CEFD 拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D．【分析】（1）根据旋转的性质得CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，则∠CD′E＝30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α＝30°；（2）由G为BC中点可得CG＝CE，根据旋转的性质得∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE ＝CE′CE，则∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′＝E′D．【解答】（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′＝CD＝2，在Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°，∵CD∥EF，∴∠α＝30°；（2）证明：∵G为BC中点，∴CG＝1，∴CG＝CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG，∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′＝E′D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质．14．（10分）在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC＝150°，然后利用旋转的定义可判断旋转中心为点A，旋转角为150°；（2）根据旋转的性质得到∠DAE＝∠BAC＝150°，AB＝AD＝4，AC＝AE，利用周角定义可得到∠BAE＝60°，然后利用点C为AD中点得到AC＝AD＝2，于是得到AE＝2．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB＝30°，∴∠BAC＝150°，当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，∴∠DAE＝∠BAC＝150°，AB＝AD＝4，AC＝AE，∴∠BAE＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵点C为AD中点，∴AC＝AD＝2，∴AE＝2．【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．15．（10分）如图，已知ABCD是边长为3的正方形，点P在线段BC上，点G在线段AD 上，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连接EF．（1）求证：DF＝PG；（2）若PC＝1，求四边形PEFD的面积．【分析】（1）根据四边形ABCD为正方形得AD＝AB，由四边形ABPM为矩形得AB＝PM，则AD＝PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH＝∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF＝PG；（2）利用旋转的性质得∠EPG＝90°，PE＝PG，所以PE＝PD＝DF，再利用DF⊥PG 得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，根据勾股定理得到PD＝＝，DF＝PG＝PD＝，根据相似三角形的性质得到GH＝＝，于是得到结论．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∵四边形ABPM为矩形，∴AB＝PM，∴AD＝PM，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠GDH+∠DGH＝90°，∵∠MGP+∠MPG＝90°，∴∠GDH＝∠MPG，在△ADF和△MPG中，∴△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG；（2）作PM⊥DG于M，如图，∵PD＝PG，∴MG＝MD，∵四边形ABCD为矩形，∴PCDM为矩形，∴PC＝MD，∴DG＝2PC＝2；∵△ADF≌△MPG（ASA），∴DF＝PG，而PD＝PG，∴DF＝PD，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF，而DF⊥PG，∴DF∥PE，即DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，∴PD＝＝，∴DF＝PG＝PD＝，∵四边形CDMP是矩形，∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，∵PD＝PG，PM⊥AD，∴MG＝MD＝1，DG＝2，∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，∴△DHG∽△PMG，∴，∴GH＝＝，∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，∴四边形PEFD的面积＝DF•PH＝×＝8．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
九年级数学人教版上册24.3正多边形和圆教学设计
1.学生需独立完成作业，确保作业质量。
2.作业完成后，认真检查，确保解答过程正确、书写规范。
3.教师批改作业后，学生要认真对待反馈，及时改正错误，巩固知识点。
4.鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己的学习心得和作业成果。
4.通过正多边形在实际生活中的应用，让学生认识到数学与生活的紧密联系，增强学生学以致用的意识。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识和逻辑思维能力，他们已经熟悉了三角形、四边形等基本多边形的性质和计算方法。在此基础上，学习正多边形和圆的相关知识，对学生来说是几何学习的深入和拓展。学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，对新鲜事物充满探索欲望。因此，本章节的教学应注重激发学生的兴趣，引导他们通过观察、思考、实践，发现正多边形的规律和性质，提高学生的几何素养和解决问题的能力。同时，考虑到学生的个体差异，教学中应关注不同层次学生的需求，设置适宜的难度，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.小组合作：
-以小组为单位，讨论以下问题：正多边形与圆有哪些互为内外切的关系？这些关系在实际问题中如何应用？
-小组共同完成一份关于正多边形与圆的性质、应用的研究报告。
5.创新思维：
-鼓励学生运用正多边形的知识，设计一个独特的几何图案，并说明其寓意。
-学生可以尝试利用正多边形制作一个简易的装饰品或模型，培养动手能力和创新能力。
2.讨论主题：正多边形的性质、正多边形与圆的关系、正多边形周长与面积的计算方法等。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，引导学生发现规律，解答学生的疑问。
（四）课堂练习
1.设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
-基础题：计算给定正多边形的周长、面积。
人教版九年级数学上册教案
人教版九年级数学上册教案人教版九年级数学上册教案精选篇1教学目标：1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想。
培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力。
3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学。
逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力。
教学重点：初步理解数形结合的数学思想教学难点：初步理解数形结合的数学思想教学用具：微机教学方法：探究式、小组合作学习教学过程：例1、已知：抛物线y=x2－（m2－1）x－2m2－2⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？解：△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)=m4－2m2＋1＋8m2＋8=m4＋6m2＋9=(m2＋3)2m2≥0∴m2＋3＞0∴△＞0∴抛物线与x轴有两个交点问题：为什么说当△＞0时，抛物线y =ax2+bx+c与x轴有两个交点。
（能否从数和形两方面说明）设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高。
②学会合作，消除个人中心。
③发现自我，提高参与度。
④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性。
数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程。
反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上。
抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上。
所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式。
设交点坐标为（x，y）∴这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解。
代入y =0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题。
根据以前学过的知识，当△＞0时， ax2+bx+c=0有两个不相等的实根。
∴y =ax2+bx+cy =0有两个不等的实数解∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点。
形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下。
或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上。
设计意图：渗透解析几何的基本思想使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性。
拓展训练 2020年人教版数学九年级上册 第二十二章 本章检测附答案
拓展训练 2020年人教版数学九年级上册 第二十二章 本章检测一、选择题1．（2019福建龙岩新罗月考）下列函数中，是二次函数的为( )A ．y=21（x-3）xB ．y=（x+2）（x-2）-x ²C.y=x43D.y= 3x2.（2018湖南岳阳中考）抛物线y=3（x-2）²+5的顶点坐标是( )A ．（-2，5）B （-2，-5）C. (2，5)D ．（2，-5）3．（2017黑龙江哈尔滨松北二模）已知将二次函数y=x ²+bx+c 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x ²-4x-5，则b ，c 的值为( )A.b=0，c=6B.b=0．c= -5C.b=0．c= -6D.b=0,c=54．（2016湖北荆门中考）若二次函数y=x ²+mx 图象的对称轴是x=3，则关于x 的方程X ²+m x=7的解为( )A.x ₁=0，x ₂=6B.x ₁=1，x ₂=7C.x ₁=1,x ₂= -7D.x ₁= -1,x ₂ =75．（2017江苏泰州姜堰期末）如图22-4-1，二次函数y= ax ²+bx+c(o>0)的图象与直线y=1的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax ²+bx+c-1>0的解集为( )图22-4-1A.x>1B.1<x<3C.x<1或x>3D.x>36．(2Q18山东临沂河东二模)若二次函数y= ax ²+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则下列说法错误的是( )A．二次函数图象与x轴的交点有两个B.x≥2时，y随x的增大而增大C.二次函数图象与x轴交点的横坐标一个在-1~0之间，另一个在2~3之间D．对称轴为直线x= 1.57．（2017辽宁阜新中考）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图22-4-2所示，则一次函数，= ax+c的图象可能是( )图22-4-2A.B.C.D.8．（2018山东潍坊中考）已知二次函数y=-(x-h)²（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为( )A.3或6B.1或6C.1或3D.4或69．（2018贵州贵阳中考）已知二次函数y= -X²+x+6及一次函数y=-x+m，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图22 -4-3所示）．当直线y= -x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是( )图22 -4-3A．3 425<<-mB．2 425<<-mC．-2<m<3D.-6<m<-210.（2017贵州黔南州中考）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图22-4-4所示，以下结论：①abc>0;②4ac<b²；③2a+b>0；④其顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-221，,⑤当21x<时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c>0．正确的有( )图22-4-4A.3个B.4个C.5个D.6个二、填空题11.（2018上海长宁一模）若抛物线y=（a-2）x²的开口向上，则a的取值范围是____．12．（2018江苏淮安中考）将二次函数y=X²-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是___________.13．（2019安徽合肥包河月考）二次函数y =x²-3x+2的图象不经过第________象限．14．（2019江苏泰州期中）已知抛物线y= X²-4x +a与坐标轴有两个公共点，则a=____．15.（2016浙江台州中考）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=____．16．（2017江苏常州中考）已知二次函数y=ax²+bx-3自变量x的部分取值和对应的函数值y 如下表：则在实数范围内能使得y-5>0成立的x 的取值范围是___________.17．（2017新疆建设兵团中考）如图22-4-5，在边长为6 cm 的正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别从点A 、B 、C 、D 同时出发，均以1cm/s 的速度向点B 、C 、D 、A 匀速运动，当点E 到达点B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为_______s 时，四边形EFGH 的面积最小，其最小值是________cm ²．图22-4-518．如果函数y=（a-1）x ²+3x+15a -+a 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范围是________．三、解答题19．（2017山东济南历城模拟）已知抛物线y=x ²+bx+c 经过点（1，-4）和（-1，2），求这个抛物线的顶点坐标．20.（2018天津宁河月考）已知抛物线y=a （x-3）²+2经过点（1，-2）．(1)求a 的值；(2)若点A （2，y ₁），B(4，y ₂)，C(0，y ₃)都在该抛物线上，直接写出y ₁，y ₂，y ₃的大小关系．21.（2016贵州黔南州中考）已知二次函数y=x ²+bx+c 的图象与y 轴交于点C （0，-6），与x 轴的一个交点坐标是A （-2，0）．(1)求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移25个单位长度后，求当y<0时，x 的取值范围．图22-4-622.（2018江西中考）某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元／千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y （千克）与销售单价x （元／千克）之间的函数关系如图22-4-7所示．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围：(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．图22-4-723.（2018浙江衢州中考）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合，如图22-4-8所示，以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．图22-4-8(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式：(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．24.（2018贵州黔西南州兴义期末）如图22-4-9，在直角坐标系中，抛物线y=-(x+1)2+4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)写出抛物线顶点D 的坐标：____；(2)点D ₁是点D 关于y 轴的对称点，判断点D ₁是否在直线AC 上，并说明理由：(3)若点E 是抛物线上的点，且在直线AC 的上方，过点E 作EF ⊥x 轴交线段AC 于点F ，求线段EF 的最大值．图22-4-9答案一、选择题1．A解析：由y=21(x-3)x 整理得y= 21x ²-23x ，是二次函数；由y=( x+2)（x-2）-x ²整理得y= -4，不是二次函数;y=43x 和y=3x 都是一次函数．故选A ．2. C解析：抛物线y=3（x-2）²+5的顶点坐标为(2，5)．故选C ．3. C解析： ∵y=x ²-4x-5=x ²-4x+4-9=（x-2）²-9，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得y=（x-2+2）² -9+3，即y=x ²-6，∴b=0，c=-6．故选C ．4. D解析：∵二次函数y=x ²+mx 图象的对称轴是x=3．∴32m =-，解得m=-6,∴关于x 的方程上x ²+mx =7可化为x ²-6x-7 =0，即(x+1)（x-7）=0，解得x ₁=-1，x ₂=7．故选D ．5. C解析：∵二次函数y=ax ²+bx+c( a>0)的图象与直线y=1的交点坐标为(1，1)，(3，1)，又ax ²+bx+c-1>0，即y>1，故该不等式的解集为x<1或x>3．故选C ．6. D 解析：由题表数据可知抛物线开口向上，顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-491，，所以该抛物线与x 轴有两个交点，故A 正确；根据题表知，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，故B 正确；抛物线的开口向上，结合题表知二次函数图象与x 轴交点的横坐标一个在-1~0之间，另一个在2~3之间，故C 正确：因为x=0和x=2时的函数值相等，所以抛物线的对称轴为直线x=1，故D 错误，故选D ．7. B解析：从二次函数的图象可知a<0，c>0，所以直线y=ax+c 经过第一、二、四象限，只有选项B 符合题意，故选B ．8. B解析：二次函数y= -(x-h)²，当x=h 时，有最大值0，因为当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，所以h<2或h>5.当h<2，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而减小，故当x=2时，y 有最大值，此时-（2-h ）²=-1，解得h ₁=1，h ₂ =3（舍去）；当h>5，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，故当x=5时，y 有最大值，此时-（5-h ）²=-1，解得h ₃=6，h ₄=4（舍去）．综上可知h=1或6．故选B ．9. D解析：如图，当y=0时，-x ²+x+6=0，解得X ₁=-2，x ₂=3，则A （-2，0），B(3，0)，二次函数y=-X ²+x+6在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)．（x-3）(2≤x ≤3)，即y=x ²-x-6(-2≤x ≤3)，当直线y= -X+m 经过点A （-2，0）时，2+m=0，解得m=-2;当直线y= -x+m 与抛物线y=X ² -x-6（-2≤x ≤3）有唯一公共点时，方程X ²-x-6= -x+m 有两个相等的实数解，即x ²-6-m=0有两个相等的实数解，△= 0² -4x （-6-m ）=0，解得m= -6，所以当直线y=-x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为-6<m<-2故选D ．10．B解析：∵抛物线开口向上．∴a>0，∵顶点在y 轴右侧．∴b<0，∵与y 轴交于负半轴．∴c<0．∴abc>0，故①正确；∵函数图象与x 轴有两个不同的交点．∴b ²-4ac>0，即4ac<b ²，故②正确；由题图可知，抛物线对称轴为．∴2b=-2a ，2a+b= -b>0．故③正确；由题图看出，抛物线顶点在第四象限，顶点纵坐标小于-2，故④错误；∵抛物线的对称轴为x=21，且开口向上，∴当x<21时，y 随x 的增大而减小，故⑤正确；当x=1时，y=a ＋b+c<0，故⑥错误，综上可得，正确的是①②③⑤，故选B ．二、填空题11．答案a>2解析：∵抛物线y=（a-2）x ²的开口向上．∴a-2>0，解得a>2.12．答案y=x ²+2解析：二次函数y=X ²-1的图象的顶点坐标为（0，-1），把点（0，-1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为(0，2)，所以平移后的抛物线的解析式为y=x ²+2．13.答案三解析：∵y=x ²-3x+2=4123x 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-，该函数图象的顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4123，且经过点(0，2)，函数图象开口向上，∴该函数图象不经过第三象限．14．答案0或4解析：∵抛物线y=x ²-4x+a 与坐标轴有两个公共点，∴△=（-4）²-4x1xa=0或a=0，解得a=4或a=0．15．答案1.6解析：各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，设这个最大高度为h ，则小球的高度y=a （t-1.1）²+h ．由题意，得a （t-1.1）²+h=a （t-1-1.1）²+h ，解得t=1.6．故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故填1.6.16.答案x<-2或x>4解析：因为x=0时，y=-3;x=2时，y=-3，所以二次函数图象的对称轴为直线x=1，又因为x=-2时，y=5，所以x=4时，y=5，易知二次函数图象开口向上，所以当-2<x<4时，y<5；当x<-2或x>4时，y>5，即在实数范围内能使得y-5>0成立的x 的取值范围是x<-2或x>4.17.答案3;18解析：设运动时间为t(0≤t ≤6)s ，则AE =t cm ，AH=（6-t ）cm ，根据题意得= 6x6-4x 21t(6-t)=2t ²-12t+36=2(t-3)²+18，∴当t=3时，四边形EFGH的面积取最小值，最小值为18 cm ². 18．答案a<-5 解析：∵y=(a-1)x ²+3x+15a -+a 的图象经过平面直角坐标系的四个象限,∴y=（a-1）x ²+3x+15a -+a 需满足下列两个条件：(1)函数图象与x 轴有两个交点， 有，且a-1≠0，解得，由于，故抛物线的对称轴x=，画出草图．(2)函数图象与y 轴交点的纵坐标大于0，即，解得a>1或a<-5． 综上可知，a<-5．三、解答题19．解析：把点（1，-4）和（-1，2）代入y=X2+ bx +c 得解得所以这个抛物线的解析式为y=X ²-3x-2．，所以这个抛物线的顶点坐标为． 20．解析：(1)把点（1，-2）代入抛物线的解析式得a(1-3) ²+2= -2．解得a= -1,即a 的值为-1．(2)y ₂>y ₁>y ₃21.解析(1)把C （0，-6）代入抛物线的解析式得c= -6,把A （-2，0）代入y=x ²+bx-6，得（-2）²+bx （-2）-6=0，即b=-1．∴抛物线的解析式为y=x ²-x-6.∴∴抛物线的顶点D 的坐标为．(2) 二次函数的图象沿x 轴向左平移25个单位长度后，得到新的抛物线的解析式为y=（x+2）²-425．令y=0，则(x+2)²-425=0，解得．∵a>0． ∴当y<0时，x 的取值范围是2129<<-x ． 22.解析：(1)设y 与x 的函数关系式为y=kx+b(k ≠0)，将（10，200）和(15，150)代入，得解得∴y 与x 的函数关系式为y = - 10x+300．由-10x+300≥0．得x ≤30,∴x 的取值范围为8≤x ≤30．(2)设该品种蜜柚定价为x 元／千克时，每天销售获得的利润为w 元，依题意，得W=（x-8）（-10x+300）=-10（x-19）²+1 210． ∵-10<0，∴当x= 19时，1210W =最大值．因此，该品种蜜柚定价为19元／千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1 210元．(3)不能.理由：按(2)中每天获得最大利润的方式销售，由(1)得y=-10x19+300=110,∵110x40=4 400<4 800,∴该农户不能销售完这批蜜柚．23.解析(1)设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x-3）²+5（a ≠0，且x>0）， 将(8，0)代入y=a （x-3）²+5，得25a+5=0．解得51a -=,∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=51-(x-3)²+5(0<x<8)．(2)当y= 1.8时，有51-（x-3）²+5 =1.8，解得x ₁=-1（舍去），x ₂=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．(3)当x=0时，y=51 (x-3) ²+5=516，设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，∵该函数图象过点(16，0)，∴，解得b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为20289米．24.解析：(1)（-1，4）．(2)点D ₁在直线AC 上．理由如下：∵抛物线y=-(x+1)²+4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，∴当y=0时，-（x+1）²+4=0，解得x=1或x=-3,∴A （-3，0），B(1，0)，当x=0时，y= -1+4=3，∴C(0，3)．设直线AC 的解析式为y=kx+6．由题意得解得∴直线AC 的解析式为y=x+3．∵点D ₁是点D 关于y 轴的对称点，D （-1，4）．∴D ₁(1，4)，∵x=1时，y=1+3=4，∴点D ₁在直线AC 上．(3)y=-（x+1)²+4= -x ²- 2x+3.设点E(a ，-a ² -2a+3)（-3<a<0），则F(a ，a+3)，∵EF=(-a ² -2a+3)-(a+3)=-a ²-3a=-(a+1.5)²+2.25.∴线段EF 的最大值是2.25．。
人教版数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程 专项拓展练习
21.3【实际问题与一元二次方程】专项拓展练习一．选择题1．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%，设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正确的是（）A．64.2%（1+x）2＝70.8%B．64.2%（1+2x）＝70.8%C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8%D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8%2．某商品原售价200元，连续两次降价后售价为168元，若平均每次的降价率为m，则下列所列方程正确的（）A．200（1+m）2＝168B．200（1﹣m）2＝168C．200（1﹣2m）＝168D．200（1+m2）＝1683．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3（1+x）＝10B．3（1+x）2＝10C．3+3（1+x）2＝10D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝104．如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（）A．（40+2x）（26+x）＝40×26B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×65．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝4426．据报道，为推进福州绿色农业发展，2018﹣2020年，福州市将完成农业绿色发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元，假设后两年该项目投资的平均增长率为x，依题意可列方程为（）A．100+100（1+x）+100（1+x）2＝616B．100（1+x）2＝616C．100（1+x）3＝616D．100（1+x2）＝6167．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100D．81（1﹣x）2＝1008．某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时，可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个．如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元，设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为（）A．（22+x﹣15）（40﹣3x）＝156B．（x﹣15）[40﹣3（x﹣22）]＝156C．（22+x）（40﹣3x）＝156D．（22+x）（40﹣3x）﹣15×40＝1569．我省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，今年第一季度的总营业额是3640万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（）A．1000（1+x）2＝3640B．1000（1+2x）＝3640C．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640D．1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝364010．某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．400（1+x2）＝900B．400（1+2x）＝900C．900（1﹣x）2＝400D．400（1+x）2＝900二．填空题11．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为．12．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为．13．如图，有一张矩形纸片，长15cm，宽9cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是48cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为．14．国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得．15．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为．三．解答题16．某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部分为草坪）．请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．①甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600平方米．②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米．③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米．17．如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米．（1）求道路宽多少米；（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？18．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？19．某校九年级二班的一个数学综合实践小组去沃尔玛超市调查某种商品“十•一”节期间的销售情况，下面是调查后小阳与其他两位同学交流的情况：小阳：据调查，该商品的进价为12元/件．小佳：该商品定价为20元时，每天可售出240件．小欣：在定价为20元的基础上，涨价1元，每天少售出20件；降价1元，则每天多售出40件．根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920元时，应该怎样定价更合理？20．如图，在一个长10cm，宽6cm的矩形铁皮的四角各截去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方形盒子．若长方形盒子的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求截去的小正方形的边长．参考答案一．选择题1．解：设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，由题意，得64.2%（1+x）2＝70.8%．故选：A．2．解：第一次降价后的价格为200（1﹣m），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低m，为200（1﹣m）（1﹣m），则列出的方程是：200（1﹣m）2＝168，故选：B．3．解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．故选：D．4．解：设道路的宽为xm，由题意得：（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．故选：D．5．解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2＝461，故选：B．6．解：设后两年该项目投资的平均增长率为x，则2019年该项目投资的100（1+x）亿元，2020年该项目投资的100（1+x）2亿元，依题意，得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝616．故选：A．7．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．8．解：根据题意知，每件商品的利润为（22﹣15+x）元，销售量为（40﹣3x）件，则可列方程为（22﹣15+x）（40﹣3x）＝156，故选：A．9．解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3640．故选：C．10．解：设月平均增长率为x，根据题意得：400（1+x）2＝900．故选：D．二．填空题11．解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）＝20．故答案为：（x﹣3）（x﹣2）＝20．12．解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：＝45，故答案是：．13．解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（15﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据题意得：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．故答案是：（15﹣2x）（9﹣2x）＝48．14．解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：9（1﹣x）2＝1，故答案是：9（1﹣x）2＝1．15．解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x（x﹣12）＝864．故答案为：x（x﹣12）＝864．三．解答题16．解：①设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣2x）＝600；②设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣x）（20﹣x）＝600；③设道路的宽为x米．依题意得：（35﹣2x）（20﹣x）＝540．17．解：（1）设道路宽x米，根据题意得：（50﹣2x）（30﹣x）＝1392，整理得：x2﹣55x+54＝0，解得：x＝1或x＝54（不合题意，舍去），故道路宽1米．（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据题意得：300×0.8y+200×[50×1+（30﹣1）×1×2﹣y]≤23600，解得：y≤50．故最多选A种类型步道砖50平方米．18．解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．（2）设每杯售价定为a元，由题意得：（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，解得：a1＝21，a2＝20．∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．19．解：当涨价时，设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，根据题意，得[240﹣20（x﹣20）]×（x﹣12）＝1920整理，得x2﹣44x+480＝0解得，x1＝20，x2＝24当降价时，设每件商品定价为y元，则每件商品的销售利润为（y﹣12）元，根据题意，得[240+40（20﹣y）]×（y﹣12）＝1920整理，得y2﹣38y+360＝0解得，y1＝20，y2＝18，综上所述，比较两种方案后，定价为18元更合理．20．解：设截去的小正方形边长是xcm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，解得：x1＝1，x2＝7（舍去）．答：截去的小正方形边长是1cm．。