高考数学易忘公式及结论

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sn
n(a1 an ) 2
na1
n(n 1) 2
d
.
等比数列的通项公式
an
a1q
n1
; a1 q
qn (n N*)
其前 n 项的和公式为
sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,q
1或
sn
a1 an 1 q
q
,q
1.
na1, q 1
na1, q 1
分期付款(按揭贷款)
每次还款
x
ab(1 b)n (1 b)n 1
3
3
三角形五“心”向量形式的充要条件
设 O 为 ABC 所在平面上一点,角 A, B,C 所对边长分别为 a,b, c ,则
(1) O

ABC
的外心(中垂线)
2
OA
2
OB
2
OC
.
(2) O 为 ABC 的重心(中线) OA OB OC 0 .
(3) O 为 ABC 的垂心(高) OAOB OB OC OC OA.
x
x1 x2 1
y
y1 y2
OP OP1 OP2 1
1
OP
tOP1
(1 t)OP2
(t
1 1
).
三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1)、 B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC 的重
心的坐标是 G( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 ) .
若 x (0, ) , 则 2
asin bcos = a2 b2 sin( ) (辅助角 所在象限由点 (a,b) 的象限决
定, tan b ). a
二倍角公式
sin 2 sin cos . cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
tan
2
2 tan 1 tan2
(4) O 为 ABC 的内心(角平分线) aOA bOB cOC 0 . 不等式
常用不等式: (1) a,b R a2 b2 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
(2) a,b R a b ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2
(3)柯西不等式 (a1b1 a2b2 )2 (a12 a22 )(b12 b22 ) ,(当且仅当 ai bi 时 取“=”号).

不是
至少有一个
都是
不都是 至多有一个
大于
不大于 至少有 n 个
小于
不小于 至多有 n 个
对所有 x , 存在某 x ,
成立
不成立
p 或q
对任何 x , 存在某 x ,
不成立
成立
p 且q
反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n 1)个 至少有( n 1)个
p 且 q
p 或 q
P :否定一个含有量词( 或 )的命题,不但要改变量词( 改为 ),还
闭区间上函数的最值 只能在 f (x) 0 处及区间的两端点处取得。
二次函数 f (x) ax2 bx c 0 恒成立的充要条件
是 简易逻辑
b 2
a0 4ac
. 0
真值表 p q 非p p或q p且q
真真假


真假假


假真真


假假真


常见结论的否定形式
原结论
反设词 原结论

S
是锥体的底面积、
h
是锥体的高).
组合数公式
C
m n
=
Anm Amm
=
n(n
1)(n 1 2
m m
1)
=
n! . m! (n m)!
双曲线
双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1) x2 a2
y2 b2
1
渐近线方程:
x2 a2
y2 b2
0
yb x. a
(2)若渐近线方程为 y b a
x
x a
y b
0
双曲线可设为 x2 a2
y2 b2
.
(3)若双曲线与 x2 y 2 1有公共渐近线,可设为 x2 y 2 ( 0 ,焦
要对量词后面的命题加以否定,但作用范围不变。
函数的单调性
(1)设 x1 x2 a,b, x1 x2 那么
(x1 x2 ) f (x1) f (x2) 0
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
f (x)在a,b
上是增函数;
(x1 x2 ) f (x1) f (x2) 0
直线l 的方向向量为 a,直线l 与平面所成的角为 ,平面的法向量为 u, 直线l 与平面法向量的夹角为 ,则
au sin cos
au
二面角的两个面的法向量的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的 大小。
异面直线间的距离
d
|
CD n |n|
|
( l1, l2
是两异面直线,其公垂向量为
n
, C、D
若 将 函 数 y f (x) 的 图 象 右 移 a 、 上 移 b 个 单 位 , 得 到 函 数
y f (x a) b 的图象;若将曲线 f (x, y) 0 的图象右移 a 、上移 b 个单
位,得到曲线 f (x a, y b) 0 的图象.
指数式与对数式的互化式
loga N b ab N (a 0, a 1, N 0) . 对数的换底公式
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
f (x)在a,b上是减函数.
第1页共8页
(2)设函数 y f (x) 在某个区间内可导,如果 f (x) 0 ,则 f (x) 为增函数;
如果 f (x) 0 ,则 f (x) 为减函数.
f (a mx) f (b mx)
f (a b mx) f (mx) .
设 a= (x1, y1) ,b= (x2, y2 ) ,且 b 0,则 a∥b(b 0) x1 y2 x2 y1 0
第3页共8页
a b(a 0) a·b=0 x1 x2 y1y2 0 . 线段的定比分公式
设 P1(x1, y1) ,P2 (x2, y2 ) ,P(x, y) 是线段 P1P2 的分点, 是实数,且 P1P PP2 , 则
同角三角函数的基本关系式
sin2 cos2 1, tan = sin , tan cot 1. cos
和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos sin sin ;
tan( ) tan tan . 1 tan tan
设函数 f (x) logm (ax2 bx c)(a 0) ,记 b2 4ac .若 f (x) 的定义
域为 R ,则 a 0 ,且 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a 0 ,且 0 .对于
a 0 的情形,需要单独检验. 数列
等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d ;dn a1 d(n N*) 其前 n 项和公式为
面积定理
S 1 absin C 1 bc sin A 1 ca sin B
2
2
2
向量.
a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ.
a·b 的几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
设 a= (x1, y1) ,b= (x2, y2 ) ,则 a·b= (x1x2 y1y2 ) . 向量的平行与垂直
球的半径是 R,则其体积V 4 R3 ,其表面积 S 4 R2 . 3
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 6 a ,外接球的半径为 12
6 a. 4 柱体、锥体的体积
V柱体
S1hS(h 3
S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高).
V锥体
1 3
Sh
三角函数的周期公式
函 数 y sin(x ) , x ∈ R 及 函 数 y cos(x ) 的 周 期 T 2 ; 函 数
y tan(x ) 的周期T .
正弦定理 a b c 2R . sin A sin B sin C
余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A;
(4) a b a b a b .
直线方程
两条直线的平行和垂直
① l1 || l2 k1 k2,b1 b2 ; ② l1 l2 k1k2 1.
两直线垂直的充要条件是
点到直线的距离
A1A2 B1B2 0 ;即: l1 l2 A1A2 B1B2 0
d
|
Ax0
By0 A2 B2
A( x1, y1), B( x2 , y2 ),中点M( x0, y0), 则有 :
x12 a2
y12 b2
1(1)
x2 2 a2
y22 b2
1(2)
(1) (2)
y1 y2 x1 x2
x1 x2 y1 y2
(第 5ba页22 ) 共
8xy00页
(
b2 a2
)
(1)-(2) k y1 y2 x0 ( b2 ) x1 x2 y0 a 2 立体几何
抛物线 y2 2 px( p 0) ,C
(x0, y0 ) 为抛物线上一点,焦半径 CF
x0
p 2
.
过 抛 物 线 y2 2 px ( p>0) 的 焦 点 F 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于
A(x1, y1)B(x2, y2 ),则有y1y2 p2, x1x2 4 p2,
即x1kOxA .2 KOBp=-2 /144(,O即为kO原A 点K)OB 4 。 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB (1 k2)(x2 x1)2 | x1 x2 | 1 tan2 | y1 y2 | 1 比如在椭圆中:
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集合 包含关系
A B A A BB AB 集合{a1, a2, , an} 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集
有 2n –1 个;非空的真子集有 2n –2 个. 二次函数,二次方程
方程 f (x) 0 在 (k1, k2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1) f (k2 ) 0 不等价, 前者是后者的一个必要而不是充分条件
元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
第2页共8页
数列的通项公式与前 n 项的和的关系
an
s1, sn
n 1 sn1, n
2
三角函数
常见三角不等式
( 1 ) 若 x (0, ) , 则 sin x x tan x .(2) 2
1 sin x cos x 2 . (3) | sin x | | cos x |1.
两个函数图象的对称性 (1)函数 y f (x) 与函数 y f (x) 的图象关于直线 x 0 (即 y 轴)对称.
(2)函数 f (mx a) 与函数 y f (b mx) 的图象关于直线 x a b 对称. 2m
(3)函数 y f (x) 和 y f 1(x) 的图象关于直线 y=x 对称.
为参数)
焦点三角形:P
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上一点,则三角形 PF1F2 的面

S=
b2
tan
PF1F2 2
;
特别地,若
PF1
PF2
,
此三角形面积为
b2

在椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上存在点
P,使 PF1
PF2 的条件是
c≥b,即
椭圆的离心率 e 的范围是[ 2 ,1) ; 2
a2 b2
a2 b2
点在 x 轴上, 0 ,焦点在 y 轴上).
焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值)
抛物线
焦点与准线
抛物线y2 ax(a 0),焦点是( a , 0),准线x a ;
4
4
抛物线x2 ay(a 0),焦点是(0,a ),准线y a ;
4
4
焦半径公式
loga
N
logm N logm a
.
推论
logam
bn
n m
loga
b
.
对数的四则运算法则
若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1) loga (MN) loga M loga N ;(2)
loga
M N
loga
M
loga
N
;
(3) loga M n n loga M (n R) .
分别是 l1, l2
上任一
点, d 为 l1,l2 间的距离).
.点 B 到平面 的距离 d | AB n | ( n 为平面 的法向量, AB 是经 |n|
过面 的一条斜线, A ).
面积射影定理 S S ' .(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 cos
S ' ,它们所在平面所成锐二面角的为 ).
C
|
(点
P( x0 ,
y0 )
,直线 l

Ax
By
来自百度文库
C
0
).

直线的参数方程
x
y
x0 y0
t cos t sin
.
(t 为参数)
圆的参数方程
x y
a b
r r
cos sin
.
( 为参数)
第4页共8页
椭圆
椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的参数方程是
x
y
a b
cos sin
.(
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