分式方程的几种特殊解法

分式方程的几种特殊解法

白云中学：孙权兵

解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；

（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。

一、加减相消法。

例1、解方程：2017

2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式

2017

201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：11

2=+x 去分母，得：12+=x

解得：1=x

经检验，1=x 是原分式方程的解。

二、巧用合比性质法。

例2：解方程：7

81222++=++x x x x 。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得：7

7-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 7

1112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （

解得：23-==x x 或

经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。

三、巧用等比性质法。

例3、解方程：1

3242344++=++x x x x 。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。 解：由等比性质可得：

1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。 ∴ 13242++=

x x 化简得： 02=x

∴ 0=x

经检验，0=x 是原分式方程的解。

四、分组化简法。

例4、解方程：4

1315121+++=+++x x x x 。 分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。 解：原方程可化为：5

1413121+-+=+-+x x x x 分别通分并化简，得：)3)(2()5)(4++=++x x x x （

解得：5.3=x

经检验，5.3=x 是原分式方程的解。

五、倒数法。

例5、解方程：2

111201711

+-=-++x x x x 。 分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。 解：原方程两边取倒数，得：

121-120171-+=++x x x x 移项化简，得：1

120171-=x 方程两边取倒数，得：12017-=x

解得：2018=x

经检验，2018=x 是原分式方程的解。

六、列项变形法。

例6、解方程：24

1)100)(99(1)2)(1(1)1(1=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++x x x x x x 。 分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。。 解：原方程可化为：24

110019912111111=+-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+++-

x x x x x x ∴ 24110011

=+-x x 去分母化简得：020120024001002=-+=-+）

）（，即（x x x x 解得：20120=-=x x 或

经检验，20120=-=x x 或是原分式方程的解。

七、换元法。

例7、解方程：2699622=+++x

x x x 。 分析：注意到9

62+x x 与x x 692+互为倒数，因此可考虑换元法，化繁为简，化难为易。 解：令9

62+=x x y ，则y x x 1692=+，故原方程可化为：

21

=+y

y 去分母化简得：0101222=-=+-）

，即（y y y 解得： 1=y

∴ 19

62=+x x 所以化简得：0)3,09622=-=+-x x x 即（

解得：3=x

经检验，3=x 是原分式方程的解。

八、化为整式部分和分式部分之和的变形法。

例8、解方程：12

6412222-+++=+++x x x x x x 。 分析：若一个方程的分子的次数高于或等于分母的次数，则可把这个分式化为化为整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分式方程。 解：原方程可化为：12

12111-+++=++

+x x x x ∴ 2211+=+x x 去分母得：222+=+x x

解得：0=x

经检验，0=x 是原分式方程的解。

九、巧用特殊方程法。

例9、解方程：2

53113=-+-x x x x 。 分析：对于方程a a x x 11

+=+，我们易知它的根为a x a x 1,21==。而本题可化为a a x x 11+=+的形式，所以利用上述结论可巧妙将方程解出。。 解：原方程可化为：

2123113+=-+-x x x x ∴ 213=-x x 或2

113=-x x 解得：51

2-=-=x x 或 经检验，5

12-=-=x x 或是原分式方程的解。

十、设辅助元法。

例10、解方程：42)113(1132=+-++-x x x x x x 。 分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分繁杂。如果我们观察到原方程的特殊结构，采用设辅助元，令1

13+-=x x y ，则可得13)(=++y x xy ，而原方程则可化为42)(=+•y x xy ，进一步可构造xy 和y x +为根的一元二次方程，然后在求出xy 和y x +的基础上获得原方程的解。 解：设1

13+-=x x y ，则可得13)(=++y x xy ① 又原方程则可化为42)(=+•y x xy ②