【高中教育】湖南省师大附中2019届高考数学模拟卷二文.doc

湖南省师大附中2019届高考数学模拟卷（二）文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设A、B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A且x B}，若A＝{x ∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝(D)A．{0，1} B．{1，2}C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}2．已知a、b是实数，则“a2b>ab2”是“1a<1b”的(C)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由a2b>ab2，得ab(a－b)>0，若a－b>0，即a>b，则ab>0，则1a<1 b成立，若a－b<0，即a<b，则ab<0，则a<0，b>0，则1a<1b成立，若1a<1b，则b－aab<0，即ab(a－b)>0，即a2b>ab2成立．即“a2b>ab2”是“1a<1b”的充要条件，故选C.3．已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a2·a6·a10＝33，b 1＋b6＋b11＝7π，则tanb2＋b101－a3·a9的值是(D)A ．1 B.22C ．－22D ．－ 3 【解析】{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 2·a 6·a 10＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3，3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tan b 2＋b 101－a 3·a 9＝tan 2b 61－a 26＝tan 2×7π31－（3）2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.故选D. 4．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1，200]的人做试卷B ，编号落在[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为(B)A ．10B ．12C ．18D ．285．执行如图的程序框图，则输出的S 值为(D)A ．1 B.32 C ．－12D ．0【解析】由图知本程序的功能是执行S ＝cos 0＋cosπ3＋cos 2π3＋…＋cos 2 019π3，此处注意程序结束时n ＝2 019，由余弦函数和诱导公式易得：cos 0＋cos π3＋cos 2π3＋cos 3π3＋cos 4π3＋cos 5π3＝0，周期为6，2 020＝336×6＋4，S ＝cos 0＋cos π3＋cos 2π3＋…＋cos 2 019π3＝336×0＋1＋12－12－1＝0，故选D.6．多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正(主)视图和侧(左)视图如图，其中正(主)视图为等腰梯形，侧(左)视图为等腰三角形，则AM 的长为(C)A. 3B. 5C. 6 D ．2 27．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点(D)A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变8．若3x＝2，y＝ln 2，z＝5－12，则(C)A．x<y<z B．y<z<x C．z<x<y D．z<y<x【解析】∵x＝log32>log33＝12，y＝ln 2>ln e＝12，x＝log32＝ln 2ln 3<ln 2＝y，z＝5－12<4－12＝12，∴z<x<y.故选C.9．已知平面α∩平面β＝直线l，点A、C∈α，点B、D∈β，且A、B、C、D l ，点M、N分别是线段AB、CD的中点，则下列说法正确的是(B)A．当|CD|＝2|AB|时，M、N不可能重合B．M、N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB、CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB、CD异面时，MN可能与l平行【解析】对于A，当|CD|＝2|AB|时，若A、B、C、D四点共面且AC∥BD时，则M、N两点能重合．故A不对；对于B，若M、N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，故B对；对于C，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对；对于D，当AB、CD是异面直线时，MN不可能与l平行，从而D不对，故选B.10．若存在实数x ，y 使不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是(B)A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥3【解析】作出不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝F (x ，y )＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z 最大值＝F (4，2)＝0；当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z 最小值＝F (3，3)＝－3，因此，z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]，∵存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，∴－m 大于或等于z ＝x －2y 的最小值，即－3≤－m ，解之得m ≤3，故选B.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为l ，圆C ：x 2＋(y －b )2＝4与l 交于第一象限A 、B 两点，若∠ACB ＝π3，且||OB ＝3||OA 其中O 为坐标原点，则双曲线的离心率为(D)A.2133 B.133C.2135D.213【解析】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为：y ＝ba x ，圆C ：x 2＋(y－b )2＝4的圆心坐标为(0，b )，半径为2，由∠ACB ＝π3所以三角形ABC 是边长为2的等边三角形，故AB ＝2，OA ＝1，圆心到直线y ＝b ax 的距离为3，在△OBC ，△OAC 中，由余弦定理得cos ∠BOC ＝b 2＋1－42b ＝32＋b 2－46b ，解得b 2＝7圆心到直线y ＝b a x 的距离为3，有ab c ＝3，∴c a ＝73＝213，故选D. 12．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f (y )＝f (x ＋y )成立，若数列{}a n 满足f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎪⎫11＋a n ＝1()n ∈N *，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是(A)A ．f ()a 2 016>f ()a 2 018B ．f ()a 2 017>f ()a 2 020C ．f ()a 2 018>f ()a 2 019D ．f ()a 2 016>f ()a 2 019【解析】由题意可知，不妨设f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (0)＝1，∵f (a n ＋1)f ⎝⎛⎭⎪⎫11＋a n ＝1＝f (0)，∴则a n ＋1＋11＋a n ＝0，即a n ＋1＝－11＋a n 且a 1＝1，当n ＝1时，a 2＝－12；当n ＝2时，a 3＝－2；当n ＝3时，a 4＝1，所以数列{}a n 是以3为周期的周期数列；a 2 016＝a 3＝－2，a 2 017＝a 1＝1，a 2 018＝a 2＝－12，a 2 019＝a 3＝－2，a 2 020＝a 1＝1，又因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是单调递减函数，所以f ()a 2 016>f ()a 2 018.故答案选A.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知a ＝(3，4)，b ＝(t ，－6)，且a ，b 共线，则向量a 在b 方向上的投影为__－5__．14．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为__75°__．【解析】由3(a cos C －c cos A )＝b 及正弦定理得3(sin A cos C －sin C cosA )＝sinB ，即3sin(A －C )＝32，sin (A －C )＝12，∴A －C ＝30°，又∵A ＋C ＝180°－B ＝120°，∴2A ＝150°，得A ＝75°.15．已知点A (－2，0)、B (0，2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为__1或－5__．【解析】圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a ，0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或a ＝－5.16．已知函数g (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是__[1，e 2－2]__．【解析】因为函数g (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，等价于a －x 2＝－2ln x a ＝2ln x －x 2，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设f (x )＝2ln x －x 2，求导得f (x )＝2x －2x ＝2（1＋x ）（1－x ）x ，∵1e ≤x ≤e ，∴f ′(x )＝0在x ＝1有唯一的极值点，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，f (x )max ＝f (1)＝－1，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，f (e)＝2－e 2，f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，f (x )的值域为[2－e 2，－1]，故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而a 的取值范围是[1，e 2－2]，故答案为[1，e 2－2]．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知数列{}a n 前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ，(n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝(4n －2)a n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和T n . 【解析】(1)⎩⎪⎨⎪⎧S n＝12a n ＋1＋n ，S n －1＝12a n＋（n －1），(n ≥2)时，a n＝12an ＋1－12a n ＋1， 即a n ＋1＝3a n －2(n ≥2)，即(a n ＋1－1)＝3(a n －1)，当a 1＝2时，a 2＝2，a 2－1a 1－1＝1≠3，故{a n －1}是以a 2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，∴a n －1＝1·3n －2，即a n ＝3n －2＋1，n ≥2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，3n －2＋1，n ≥2.6分(2)b n ＝(4n －2)a n ＋1＝(4n －2)·(3n －1＋1)＝(4n －2)3n －1＋(4n －2) 记s n ′＝2·30＋6·31＋10·32＋…＋(4n －2)3n －1， ① 3s n ′＝2·31＋6·32＋…＋(4n －6)3n －1＋(4n －2)3n ， ②由①－②得，－2s n ′＝2·30＋4·(31＋32＋…＋3n －1)－(4n －2)·3n ， ∴s n ′＝2＋(2n －2)3n ，∴T n ＝2＋(2n －2)·3n ＋（4n －2＋2）n2＝2＋(2n －2)·3n ＋2n 2.12分18．(本题满分12分)如图所示，四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为四边形，AC ⊥BD ，BC ＝CD ，PB ＝PD ，平面PAC ⊥平面PBD ，AC ＝23，∠PCA ＝30°，PC ＝4.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)若四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ⊥BC ，M 为PC 上一点，且PMMC ＝2，求三棱锥M －PBD 体积．【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，连接PO ， ∵BC ＝CD ，AC ⊥BD ，∴O 为BD 中点．又∵PB ＝PD ，∴PO ⊥BD ，∵平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ， ∴BD ⊥平面PAC ，PAPAC ，∴PA ⊥BD ，在△PCA 中，由余弦定理得PA 2＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 30°，PA 2＝16＋12－2×4×23×32＝4，而PA 2＋AC 2＝PC 2，⎭⎬⎫∴PA ⊥AC ，PA ⊥BD ，BD ∩AC ＝O ，PA ⊥平面ABCD .6分(2)因为PM MC ＝2，可知点M 到平面PBD 的距离是点C 到平面PBD 的距离的23，∴V M －PBD ＝23V C －PBD ＝23V P －BCD ，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ⊥BC ，则∠BAC ＝60°，AB ＝AC sin 30°＝3，BC ＝3，则S △BCD ＝34×32＝934， ∴V M －PBD ＝23V P －BCD ＝23×13×934×2＝ 3.12分19．(本题满分12分)某公司计划购买1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维修次数，得如下统计表：记x 表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示1台机器在维修上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购买的维修服务次数．(1)若n ＝10，求y 关于x 的函数解析式．(2)若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值． (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？【解析】(1)依题意得y ＝⎩⎨⎧200×10＋50x ，x ≤10，250×10＋500（x －10），x >10，(x ∈N )，即y ＝⎩⎨⎧50x ＋2 000，x ≤10，500x －2 500，x >10(x ∈N ).4分(2)因为“维修次数不大于10”的频率为10＋20＋30100＝0.6<0.8，“维修次数不大于11”的频率为10＋20＋30＋30100＝0.9>0.8，所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，则n的最小值为11.8分(3)若每台都购买10次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y 1＝2 400×10＋2 450×20＋2 500×30＋3 000×30＋3 500×10100＝ 2730(元)．若每台都购买11次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为y 2＝2 600×10＋2 650×20＋2 700×30＋2 750×30＋3 250×10100＝ 2750(元)．因为y1<y2，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务.12分20．(本题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)设P(2，0)，过椭圆Γ左焦点F的直线l交Γ于A、B两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式PA →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，求λ的最小值．【解析】(1)依题意，a ＝2b ，c ＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆Γ的标准方程为x 22＋y 2＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则PA →·PB →＝(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2， 当直线l 垂直于x 轴时，x 1＝x 2＝－1，y 1＝－y 2且y 21＝12，此时PA →＝(－3，y 1)，PB →＝(－3，y 2)＝(－3，－y 1)， 所以PA →·PB →＝(－3)2－y 21＝172，7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，所以PA →·PB →＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－2)(x 1＋x 2)＋4＋k 2＝(1＋k 2)2k 2－21＋2k 2－(k 2－2)·4k 21＋2k 2＋4＋k 2＝17k 2＋22k 2＋1＝172－132（2k 2＋1）<172. 要使不等式PA →·PB →≤λ(λ∈R )恒成立，只需λ≥(PA →·PB →)max ＝172，即λ的最小值为172.12分21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a 为实常数) (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，求不等式f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x >0的解集；(3)若存在两个不相等的正数x 1、x 2满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2>2a.【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－axx，①当a ≤0时，恒有f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a >0时，由f ′(x )>0得0<x <1a ，故f (x )在(0，1a )上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减；综上①②可知：当a ≤0时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.4分(2)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x >0且2a －x >0，而a >0，故0<x <2a.设F (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x ＝ln x －ax －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x ＝ln x －ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x －2ax ＋2，F ′(x )＝1x ＋12a －x －2a ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x ≥0，且当且仅当x ＝1a 时取等号，6分所以F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递增，又因为x ＝1a 时，F (x )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，F (x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2a 时，F (x )>0，故f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2a .8分(3)由(1)知a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝x 2，不合题意，故a >0，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，若存在两个不相等的正数x 1、x 2满足f (x 1)＝f (x 2)，则x 1、x 2必有一个在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上，另一个在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，不妨设0<x 1<1a <x 2，则2a －x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.10分 又由(2)知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，F (x )<0，即f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x <0，所以f (x 1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1. 因为f (x 1)＝f (x 2)，所以f (x 2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减，所以x 2>2a －x 1，即x 1＋x 2>2a .12分 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。