高考冲刺：空间向量在立体几何中的应用(提高)巩固练习
空间向量在立体几何中的应用（重点知识+高考真题+模拟精选）
空间向量在⽴体⼏何中的应⽤（重点知识+⾼考真题+模拟精选）空间向量在⽴体⼏何中的应⽤【重要知识】⼀、求平⾯法向量的⽅法与步骤：1、选向量：求平⾯的法向量时，要选取两个相交的向量，如AC AB ,2、设坐标：设平⾯法向量的坐标为),,(z y x n =3、解⽅程：联⽴⽅程组=?=?0AC n AB n ，并解⽅程组4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，⽽是⽐例关系。
设定某个坐标为常数得到其他坐标⼆、利⽤向量求空间⾓： 1、求异⾯直线所成的⾓：设b a ,为异⾯直线，点C A ,为a 上任意两点，点D B ,为b 上任意两点，b a ,所成的⾓为θ，则BDAC BD AC ??=θcos【注】由于异⾯直线所成的⾓θ的范围是：?≤设直线l 的⽅向向量为a ，平⾯α的法向量为n ，直线l 与平⾯α所成的⾓为θ，a 与n所成的⾓为?，则na n a ??==?θcos sin【注】由于直线与平⾯所成的⾓θ的范围是：?≤≤?900θ，因此0sin ≥θ 3、求⼆⾯⾓：设21,n n 分别为平⾯βα,的法向量，⼆⾯⾓βα--l 为θ，则>=<21,n n θ或><-21,n n π，其中212121,cos n n n n n n ??>=<三、利⽤向量求空间距离： 1、求点到平⾯的距离设平⾯α的法向量为n ，,α?A α∈B ，则点A 到平⾯α的距离为nn AB ?2、求两条异⾯直线的距离设21,l l 是两条异⾯直线，n 是公垂线段AB 的⽅向向量，D C ,分别为21,l l 上的任意两点，则21l l 与的距离为nn CD AB ?=【重要题型】1、（2012⼴东，理）如图所⽰，在四棱锥ABCD P -中，底⾯ABCD 为矩形，ABCD PA 平⾯⊥，点E 在线段PC 上，BDE PC 平⾯⊥（1）证明：PAC BD 平⾯⊥（2）若2,1==AD PA ，求⼆⾯⾓A PC B --的正切值2、（2013⼴东，理）如图①，在等腰三⾓形ABC 中，?=∠90A ，6=BC ，E D ,分别是AB AC ,上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点。
人教A版高中数学选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)(含答案解析)
选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (11)一、单选题1．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，090BAC BCD ∠=∠=，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30°的角，则线段PA 长的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．(]0,1D ．⎛ ⎝⎦2．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB CD O =，且AB CD ⊥，3SO OB ==，14SE SB =，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A B C ．1316D二、多选题3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，1160A AB DAB A AD ∠=∠=∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．线段1AC 的长度为B ．异面直线11BD B C ，夹角的余弦值为13C ．对角面11BBD D 的面积为D．平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为4．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，下列说法正确的是（ ） A ．平面1PAC ⊥平面11AB D B ．//DP 平面11AB DC ．异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤⎥⎦⎝D ．三棱锥11D APB -的体积不变5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 运动，则（ ）A ．三棱锥11P AC D -的体积为定值B ．异面直线AP 与1A D 所成的角的取值范围为45,90⎡⎤⎣⎦C ．直线1C P 与平面11ACD D ．过P 作直线1//l AD ，则l DP ⊥6．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别为BC ，CD ，BE 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于S ，得到四面体S AEF -(如图2).下列结论正确的是（ ）A ．四面体S AEF -B ．顶点S 在面AEF 上的射影为AEF 的重心C ．SA 与面AEFD ．过点G 的平面截四面体S AEF -的外接球所得截面圆的面积的取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、双空题7．边长为2的正方体1111ABCD A B C D -内（包含表面和棱上）有一点P ，M 、N 分别为11A B 、1DD 中点，且AP AM AN λμ=+（λ，R μ∈）． （1）若111D P tDC =（t R ∈），则t =______． （2）若11A P k AC =（k ∈R ），则三棱锥11A PD C -体积为______．四、填空题8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的高为4，底面边长为D 是11B C 的中点，P 是线段1A D 上的动点，过BC 作截面α，使得AP α⊥且垂足为E ，则三棱锥P BCE -体积的最小值为__________．9．如图所示，在三棱柱中，已知ABCD 是边长为1的正方形，四边形AA B B ''是矩形，平面AA B B ''⊥平面ABCD .若1AA '=，则直线AB 到面DA C '的距离为___________.10．设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA ⊥平面ABCD ，3AB =，4BC =，1PA =，则点P 到直线BD 的距离为___________.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，12CA CB CC ===，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，则BM 与AN 所成的角的余弦值为___________.12．已知正四面体A BCD -的外接球半径为3，MN 为其外接球的一条直径，P 为正四面体A BCD -表面上任意一点，则PM PN ⋅的最小值为___________．五、解答题13．如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面互相垂直，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l .（1）求l 与AC 所成角的大小； （2）求二面角A CE D --的余弦值.14．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，24AB AD CD ===，平面PBC ⊥平面ABCD ，E 是PB 的中点，且12CE PB =.（1）求证：PC ⊥平面ABCD ；（2）若直线PA 与平面ABCD P AC E --的余弦值. 15．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的正弦值.16．如图，正三棱锥P ABC -中，PA 与底面ABC ．（1）证明：PA ⊥面PBC ；（2）设O 为ABC 的中心，延长AO 到点E 使得3AE AO =，求二面角A PC E --的平面角的大小． 17．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2P A ＝2，对角线AC 与BD 交于O 点，连接PO .（1）求证：AC ⊥PB ；（2）过B 点作一直线l 平行于PC ，设Q 为直线l 上除B 外的任意点，设直线PQ 与平面P AC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.18．如图，在七面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，其中60BAD ∠=，,,BCE CEF CDF 为等边三角形，且AB BE ⊥，G 为CD 的中点.（1）证明：AB ⊥平面EFG ；（2）求平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.19．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD ，1AB AA =证明：1AC ⊥平面11BB D D .20．如图是矩形ABCD 和边AB 为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿AB 折叠，使平面ABCD 垂直于半圆所在的平面，若点E 是折后图形中半圆O 上异于,A B 的点．（1）证明：EA EC ⊥；（2）若22AB AD ==，且异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值．21．如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1的长度为2，且⊥A 1AB =⊥A 1AD =120°.求：（1）AC 1的长；（2）直线BD 1与AC 所成角的余弦值.22．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒，E 是AD 的中点．（1）求证：BE ⊥平面PAD ；（2）求平面PAB 与平面PBC 所成角的余弦值．23．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB ⊥AD ，CD =PD =P A =AD =12AB =2.（1）求证：平面PBC ⊥平面P AB ； （2）求二面角D —PC —B 的正弦值.24．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =．（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --？若存在，求出E 点位置，若不存在，请说明理由．25．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//PD QA ，M 为PC 中点，222PD QA AB ===.（1）证明：//QM 平面ABCD ； （2）求二面角Q BP A --的余弦值.26．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．27．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点，（1）过D B E ''､､三点作正方体的截面α； （2）半平面B BE '与平面α所成的二面角的大小；28．如图⊥所示，在边长为12的正方形'11'AA A A 中，点B ，C 在线段'AA 上，且3AB =，4BC =．作11//BB AA ．分别交'11A A ，'1AA 于点1B ，P ；作11//CC AA ，分别交'11A A ，'1AA 于点1C ，Q ．现将该正方形沿1BB ，1CC 折叠，使得'1'A A 与1AA 重合，构成如图⊥所示的三棱柱111ABC A B C -．（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：⊥AP BC ； （2）求平面PAQ 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．29．如图，在三棱锥P ABC -，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为棱AC 的中点,M 为棱DP 的中点，N 为棱PC 上靠近点C 的三等分点，2PA PC AB BC ====，AB BC ⊥.（1）若点H 在线段BD 的延长线上，且DB DH =，问：在棱AP 上是否存在点E ，使得HE 与BN 垂直？请说明理由；（2）求平面BMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是PC ，PD 上的动点，且PE FD PF EC ⋅=⋅．（1）求证：EF ⊥平面PAD ；（2）若13PE PC =，且PC 与底面ABCD 所成角的正弦值为35，求二面角C AE D --的余弦值． 31．如图，菱形ABCD 与正三角形DEF 所在平面互相垂直，60BCD ∠=︒，E ，G 分别是线段AB ，CF 的中点．（1）求证：//BG 平面DEF ；（2）求直线BC 与平面DEG 所成角的正弦值．32．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，A ，D ，B 分别在x ，y ，z 轴的正半轴上，C 在平面BOD 内.（1）若OE CD ⊥，证明：CD AE ⊥.（2）已知3OA OD ==，2OB =，C 的坐标为()0,2,4，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 33．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，PD 的中点为F .（1）求证：//PB 平面ACF .（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.⊥四棱锥P ABCD -，⊥FC 与平面ABCD 所成的角为6π，⊥BD =若___________，求二面角F AC D --的余弦值.34．某直四棱柱被平面AEFG 所截几何体如图所示，底面ABCD 为菱形，（1）若⊥BG GF ，求证：BG ⊥平面ACE ；（2）若1BE =，2AB =，60DAB ∠=︒，直线AF 与底面ABCD 所成角为30º，求直线GF 与平面ABF 所成角的正弦值.35．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//AB CD ，3PD BC CD ===，4AB =．过点D 做四棱锥P ABCD -的截面DEFG ，分别交PA ，PB ，PC 于点E ，F ，G ，已知14AE AP =，13CG CP =．(1) 求直线CP 与平面DEFG 所成的角；(2) 求证：F 为线段PB 的中点．36．如图1所示，在菱形ABCD 中，AB AC ==AC 与BD 相交于点O ，现沿着对角线AC 折成一个四面体ABCD ，如图2所示．（1）在图2中，证明：AC BD ⊥；（2）若图2中BD =点P 是线段BD 的三等分点（靠近点D ），求二面角P AC D --的余弦值． 37．已知四棱锥E ABCD -中，三角形ADE 所在平面与正三角形ABE 所在平面垂直，四边形ABCD是菱形，2,AE BD ==（1）求证：平面ABCD ⊥平面ACE ；（2）求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值.38．已知P A 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，2PA AB ==．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）当12AC CB =时，求二面角C PB A --的余弦值．39．如图，在三棱柱111ABCA B C ﹣中，1BCC 为正三角形，AC BC ⊥，12AC AA ==，1AC =点P 为1BB 的中点．（1）证明：1CC ⊥平面11AC P ；（2）求平面1ABC 与平面11AC P 所成锐二面角的余弦值．40．如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱,,PC AC AB 的中点．已知PA AC ⊥，6PA =，（1）求证：平面BDE⊥平面ABC；--的平面角的余弦值；（2）求二面角A PC B-分为两个几何体，则他（3）延展平面DEF与棱PB交于H点，则四边形EFHD把三棱锥P ABCV V=_____．（此问仅写结果，不需写出过程）们的体积比:PAEFHD BCEFHD41．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，ABC为正三角形，AB=AA1=2，E是BB1的中点.（1）求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C；（2）求二面角B﹣AC1﹣E的余弦值.-中，平面ABE⊥平面BCDE，四边形BCDE是边长为4的正方形，42．如图，在四棱锥A BCDEM，N分别为AE，AC的中点.MN平面BCDE；（1）求证：//43．如图所示，已知长方形ABCD 中，2AB AD ==M 为DC 的中点，将ADM △沿AM 折起，使得AD BM ⊥．（1）求证：平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）若E 点满足23BE BD =，求二面角E AM D --的大小？ 44．如图，四边形ABEF 为正方形，//AD BC ，AD ⊥DC ，AD =2DC =2BC ，（1）求证：点D 不在平面CEF 内；（2）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，求二面角A ﹣CF ﹣D 的余弦值．45．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E 为棱AB 的中点．（1）证明：AC PE ⊥；（2）若PA AD =，60BAD ∠=︒，求二面角E PC B --的余弦值．46．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A AC E --的正弦值．47．如图，在四棱锥РABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，//AD BC ，90ADC ∠=︒，112BC AD ==，CD =Q ，M 分别为AD ，PC 的中点，（1）求证：Q ，P ，C ，B 四点在同一球面上，并说明球心及半径；（2）画出平面PAB 与平面PDC 的交线（不需要写画法）．（3）设平面PAB 与平面PDC 的交线为l ，直线l 与平面ABCD 求平面MQB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小．48．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122,,AC AA AB BC D ===为AC 的中点.（1）证明：1DC ⊥平面1A BD .（2）若1BD =，求二面角11B DB C --的余弦值.49．在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，若2,3AD QD QA QC ====．（1）证明：平面QAD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角B QD A --的平面角的余弦值．50．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形SD ⊥底面,2ABCD DC SD ==，点M 是侧棱SC 的中点，AD =（1）求异面直线CD 与BM 所成角的大小；（2）求二面角S AM B --的正弦值.【答案与解析】1．C【解析】向量法. 以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，根据各点的坐标写出向量(1,1,1)AD =--，点(),0,0Q q ()01q ≤≤，对于点P 的设法，采用向量式AP AB λ=，而后利用异面直线所成的角的向量计算公式列方程求解.如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，(1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，||cos30||||PQ AD PQ AD q ⋅∴===⋅ 22182516q q λ∴+=-+，201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得λ≤≤01,0λλ<≤∴<≤可得||||2(0,1]PA AP λ==∈.故选：C.2．D【解析】以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．由题意以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，(0,3,0)A -，(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，(0,0,3)S ， 又14SE SB =， 1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444OE OS SE OS SB =+=+=+-=． (3,0,3)SC =--，则274cos ,3OE SCOE SC OE SC -⋅<>===， 设异面直线SC 与OE 所成角为θ，则3cos cos ,10OE SC θ=<>=，θ为锐角，sin θ=sin tan cos θαθ== 故选：D ．3．AD【解析】设1,,AB a AD b AA c ===，求得2222,4a b a b c ⋅====，根据1AC a b c =++，求得1AC 的值，可判定A 正确；由110BD BC ⋅=，可判定B 错误；由ABD △为正三角形，根据10DD DB ⋅=，得到对角面11BDD B 为矩形，可判定C 错误；由16A ABD V V -=，可判定D 正确.设1,,AB a AD b AA c ===，则22222cos 602,4a c b c a b a b c ⋅=⋅=⋅=⨯====， 对于A 中，因为1AC a b c =++，可得2221=22224AC a b c a b c a b a c b c =+++++⋅+⋅+⋅== 所以A 正确；对于B 中，因为2211()()0BD B C b c a b c c b a c a b ⋅=+-⋅-=-++⋅-⋅=， 可得异面直线1BD 与1B C 夹角的余弦值为0，所以B 错误；对于C 中，因为2,60AB AD DAB ==∠=，所以ABD △为正三角形，可得2BD =， 因为1()0DD DB c a b c a c b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以1DD BD ⊥，所以对角面11BDD B 为矩形，其面积为22=4⨯≠C 错误； 对于D 中，设AC 与BD 交于点O ，连接1OA ，取1AA 的中点M ，连接OM ，可得11116622232A ABD AA OV V SBD -==⨯⋅=⨯⨯=，所以D 正确. 故选：AD.4．ABD 【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为1，则()1,0,0A ，()11,1,1B ，()10,0,1D ，()0,1,0C ，()11,0,1A ，()0,0,0D ，因为点P 在线段1BC 上运动，设(),1,1P t t -，[]0,1t ∈，则(),1,1DP t t =-， 所以()10,1,1AB =，()11,0,1AD =-，()11,1,1CA =-，所以()110111110AB CA ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()110111110AD CA ⋅=⨯-+⨯-+⨯=，所以11AB CA ⊥，11AD CA ⊥，因为11AB AD A ⋂=，11,AB AD ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，因为1AC ⊂平面1PA C ，所以平面1PAC ⊥平面11AB D ，故A 正确；显然()11,1,1CA =-可以作为平面11AB D 的法向量，因为()1111110CA DP t t ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以1CA DP ⊥，因为DP ⊄平面11AB D ，所以//DP 平面11AB D ，故B 正确；因为11//AB D C 且11=AB D C ，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，所以直线DP 与1BC 所成角即为异面直线DP 与1AD 所成角，显然当P 在1BC 的两端点时所成的角为3π，当P 在1BC 的中点时所成的角为2π，故异面直线DP 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 因为11//AD BC ，1AD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ，所以1//B C 平面11AB D ，所以1B C 到平面11AB D 距离即为P 到平面11AB D 的距离，故P 到平面11AB D 的距离为一定值，设P 到平面11AB D 的距离为h ， 则11111113D APB P D AB D AB V V Sh --==⋅为定值，故D 正确；故选：ABD5．ACD 【解析】对三棱锥11P AC D -转化顶点可判定选项A ，找到异面成角的最小值的情况即可判断选项B,转化直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,进而判断选项C ，利用线面垂直的性质判定可判定选项D. 如图，对于选项A ，1111P A C D C A PD V V --=,因为点P 在线段1B C 上运动,所以1112A DP S A D AB =⋅,面积为定值,且1C 到平面11A PD 的距离即为1C 到平面11A B CD 的距离,也为定值,故体积为定值,故A 正确； 对于选项B ，当点P 与线段1B C 的端点重合时,AP 与1A D 所成角取得最小值为60︒, 故B 错误； 对于选项C ，因为直线1BD ⊥平面11AC D ,所以若直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值最大,则直线1C P 与直线1BD 所成角的余弦值最大,则P 运动到1B C 中点处,即所成角为11C BD ∠,设棱长为1,在11Rt D C B 中,1111cos C B C BD BD ∠===,故C 正确; 对于选项D ，连接1B D ,由正方体可得11BC B C ⊥,且DC ⊥平面11B C CB ,则1DC BC ⊥,所以1BC ⊥平面1CDB ,故1BC DP ⊥，过P 作直线1//l AD ，则1//l BC ,所以l DP ⊥；故D 正确.故选：ACD 6．ACD 【解析】折叠问题，关键是抓住其中的不变量.选项A ：说明SA ､SE ､SF 两两垂直，将四面体的外接球问题，转化为长方体的外接球问题； 选项B ：由于SA ､SE ､SF 两两垂直，可证S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心； 选项C ：线面角的定义法求解；选项D ：将四面体补成长方体，找出球心，将问题转化为过一定点作球的截面求截面圆面积最值问题.对于A 项，易知SA ､SE ､SF两两垂直，故可以补成长方体，其体对角线长l ，外接球半径R =，故外接球体积为34π3V ==⎝⎭， 故A 项正确；对于B 项，由于SA ､SE ､SF 两两垂直，故S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心， 理由如下:如图，过点S 作SO ⊥平面AEF ，交平面AEF 于点O ， 因为SO ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以SO EF ⊥，又因为SA SE ⊥，SA SF ⊥，SE ，SF 都在平面SEF 内，且相交于点S ， 所以SA ⊥平面SEF ，又EF ⊂平面SEF ，所以SA EF ⊥，又SO SA A =，所以EF ⊥平面SAO ，又AO ⊂平面SAO ，所以AO ⊥EF . 同理可证EO AF ⊥，FO AE ⊥，所以S 在面AEF 上的射影为AEF 的垂心.故B 项错误；对于C 项，设M 为EF 中点，则EF SM ⊥，AM EF ⊥，SM AM M ⋂=，故EF ⊥平面SAM ，故平面AEF ⊥平面SAM ，所以SA 在平面AEF 上的射影为AM ，SA 与平面AEF 所成角为SAM ∠，2SA =，2SM =，π2ASM ∠=，tan SAM ∠=故C 项正确；对于D 项，设O 为四面体S AEF -的外接球球心，OM ⊥平面SEF ，连接MG ，OG ，当过点G 的截面经过球心O 时截面圆面积最大，面积为3π2；当OG 垂直截面圆时，截面圆面积最小，此时1122GM SF ==，1OM =，OG ==12r ===，截面圆面积为π4， 得截面圆面积取值范围是13π,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故D 项正确. 故选：ACD.方法点睛：求解几何体的外接球问题或空间角问题一般从以下角度出发：(1) 外接球问题，关键是找出球心，规则图形的球心在对称中心；不规则图形，能补成规则图形最好，若不能，则利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，可做出球心，再利用几何知识求解. (2) 空间角的处理一般是建系，用向量法求解；若图形中垂直关系明显，空间角容易找出，也可用空间角的定义求解. 7．14 47【解析】（1）以AB ，AD ，1AA 为基底，把向量1D P ，11DC 分别用基底表示，利用两个向量相等的条件即可算出；（2）由11A P k AC =得，1A ，P ，C 三点共线，利用（1）把k 求出来，再利用等体积法1111A PD C P AD C V V --=算出P 到面11AD C 的距离，三角形11AD C 的面积，即可算出体积. 如图，（1）111()D P D A AP AM A DD AN D λμ=+=-+++111()()AA AD AA AM AD DN λμ++-+=-+ 11111()()22AA AA AB AD AD AA λμ=-+-+++ 1111112(()1)2A AB u u AA tD C t A D B λλ=+-+-=+=, 所以12101102t u u λλ⎧=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩，所以14t =.（2）11111(11(1)1)22A P A D D AB P AD AD u u AA λλ+=+=++-+-111)22(1AD AB u u AA λλ=+++-， 111AC A A AB BC AB AD AA =++=+-， 因为11A P k AC =，所以11111)(22()AD AB AD AA AB u u AA k λλ++-=++-，所以12112k u k u kλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=-⎩，所以27k =，如图，连接1A D ，1A C ，分别与1AD ，1AC 交于点E ，O ， 连接EO ，过点P 作1//PG A E ，在正方体1111ABCD A B C D -中，易证1A E ⊥面11AD C ， 所以PG ⊥面11AD C ，因为1112A E A D = 因为1112477A P AC AO ==，所以137OP AO =，所以137PG A E ==1111111222AD C S AD D C =⋅=⋅=△，所以1111111143377A PD C P AD C AD C V V S PG --==⋅⋅=⋅=，故答案为：（1）14；（2）47.8．【解析】由P BCE P ABC E ABC V V V ---=-，可得当E ABC V -最大时，P BCE V -最小，建立空间直角坐标系求E 到底面距离的最大值，则答案可求．解：设BC 中点为O ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，得(6A ，0，0)，设(E x ，0，)z ，则(6,0,)AE x z =-，(,0,)OE x z =，AP α⊥，∴AE OE ⊥，得2(6)00x x z -++=，则z当3x =时，3max z =， 又1(4)3P BCE P ABC E ABC ABCV V V Sz ---=-=⋅-，∴三棱锥P BCE -体积的最小值为116132V =⨯⨯⨯=故答案为：9【解析】建立空间直角坐标系，设(11,)DA a '=-，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，利用空间向量数量积求得法向量，由直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，利用射影的求解公式求解即可得出结论.如图建立空间坐标系A xyz -，设(11,)DA a '=-，，(010)DC =，，，设面DA C '的法向量为1(1)n x y =，，，则有1100DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'，得1(01)n a =，，， 直线AB 到面DA C '的距离d 就等于点A 到面DA C '的距离，也等于向量AD 在面DA C '的法向量上的投影的绝对11||22||AD nd n ⋅==. 故答案为：2. 10．135【解析】求出BP 在BD 上的射影长再利用勾股定理可得答案.因为，，⊥⊥⊥BA BC AP BC AP BA ， 所以00=0，，⋅⋅=⋅=BA BC AP BC AP BA ， ()()⋅=+⋅+BP BD BA AP BC BA()229=⋅++⋅+⋅==BA BC BA AP BC AP BA AB ，22225=+=BD BC CD ，22210=+=BP BA AP ，所以5BD =，210=AP ，因为·95=PB BD BD，所以BP 在BD 上的射影长为95， 所以点P 到直线BD 的距离22·13105=-==PB BD d AP BD .故答案为：135. 11【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线所成的角．如图所示，建立空间直角坐标系，可得(2A，0，0)，(0B ，2，0)，(1M ，1，2)，(1N ，0，2).∴(1AN =-，0，2)，(1BM =，1-，2)，cos AN ∴<，1||||5AN BM BM AN BM ⋅->==⋅12．8- 【解析】设正四面体外接球球心为O ，把,PM PN 用,,PO OM ON 表示并计算数量积后可得． 设正四面体外接球球心为O ， 正四面体A BCD -的外接球半径为3，设正四面体A BCD -内切球半径为r ，一个面的面积为S ，高为h ，则11433ABCD V Sr Sh =⨯=，所以4h r =，显然34r h r +==，所以1r =，即min 1PO =．22()()9198PM PN PO OM PO ON PO OM ON PO ⋅=+⋅+=+⋅=--=-．故答案为：8-． 13．（1）45°；（2）57.【解析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得//AB CD ，再由线面平行的判定定理可得//AB 平面CDE ，由线面平行的性质定理可得//l AB ，由45BAC ∠=︒可得l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ，可得OA 、OE 、OF 两两垂直，所以以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值解：（1）⊥四边形ABCD 为正方形，⊥//AB CD ， ⊥AB ∉平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，⊥//AB 平面CDE ， 又⊥AB平面ABE ，且平面ABE 平面CDE =直线l ，⊥//l AB ，⊥四边形ABCD 为正方形，⊥45BAC ∠=︒， 故l 与AC 所成角的大小是45︒；（2）分别取AB 、CD 的中点O 、F ，连接EO ， 由ABE △为等边三角形，可知EO AB ⊥， 由四边形ABCD 为正方形，知FO AB ⊥，⊥平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD 平面ABE AB =， 且FO ⊂平面ABCD ，⊥FO ⊥平面ABE ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OE 、OF 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB =，则()1,0,0A ，()1,0,2C -，()E ，()1,0,2D ， 于是()2,0,2AC =-，()1,2CE =-，()2,0,0CD =， 设平面ACE 的一个法向量为(),,m x y z =， 由20220m CE x z m AC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，可得(3,1,m =；设平面CDE 的一个法向量为()111,,n x y z =，由11112020n CE x z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取12y =，可得(0,2,3n =.⊥025cos ,77m n m n m n⋅+===⨯⋅. 由图可知，二面角A CE D --为锐二面角，则其余弦值为57.14．（1）证明见解析；（2【解析】（1）依题意可得PCB 为直角三角形，即可得到PC BC ⊥，根据面面垂直的性质定理即可证明； （2）由（1）可知PAC ∠即为直线PA 与平面ABCD所成角，即可得到PC PA =求出PC ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：（1）在PCB 中，因为E 是PB 的中点， 且12CE PB =，所以CE EB PE ==， 所以PCB 为直角三角形，所以PC BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，PC ⊂平面PBC ， 所以PC ⊥平面ABCD（2）因为PC ⊥平面ABCD ，所以直线PA 与平面ABCD 所成角为PAC ∠，所以sin PC PAC PA ∠==又222AC AD DC =+，4=AD ，2DC =，所以AC =在Rt PAC △中，设PC x =，则PA =，所以222PA PC AC =+，即)(222x =+，解得2x =，即2PC =，作//CF DA 交AB 于点F ，因为AB AD ⊥，所以AB CF ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()4,2,0A ，()4,2,0B -，()002P ,,，()2,1,1E -，()4,2,0CA =，()2,1,1CE =-，()0,0,2CP =，设面PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以42020n CA x y n CP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1x =，则2y =-，0z =，所以()1,2,0n =-，设面EAC 的法向量为()111,,m x y z =，所以1111142020m CA x y m CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则12y =-，14z =-，所以()1,2,4m =--，设二面角P AC E --为θ，显然二面角为锐二面角，所以5cos 5n m n mθ⋅===⨯⋅；15．（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，证明出AE ⊥平面POB ，进而可得出AE PB ⊥； （2）证明出PO ⊥平面ABCE ，然后以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. （1）设AE 的中点为O ，连接OP 、OB ，翻折前，因为1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 的中点，则1AD DE ==， //AB CE 且1AB CE ==，故四边形ABCE 为平行四边形，则BC AE =，故AD DE AE ==，所以，ADE 为等边三角形， O 为AE 的中点，则OD AE ⊥，因为//AB CD ，则3BAE AED π∠=∠=，翻折后，则有OP AE ⊥，在ABO 中，1AB =，12AO =，3BAO π∠=， 由余弦定理可得22232cos34OB AB AO AB AO π=+-⋅=，222AO OB AB ∴+=， 所以，OB AE ⊥，OP OB O =，AE ∴⊥平面POB ，PB ⊂平面POB ，故AE PB ⊥；（2）在平面POB 内作PQ OB ⊥，垂足为Q ， AE平面POB ，PQ ⊂平面POB ，所以，PQ AE ⊥，PQ OB ⊥，AE OB O =，PQ ∴⊥平面ABCE ，所以，直线PB 与平面ABCE 所成角为4PBO π∠=，因为，OP OB =，则4OPB π∠=，所以，OP OB ⊥，故O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴、OB 为y 轴、OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭、C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,0,2PE ⎛= ⎝⎭，12EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCE 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令x =()13,1,1n =-，易知平面PAE 的一个法向量为()20,1,0n =，所以，121212cos ,n n n n n n ⋅<>==-=⋅212122sin ,1cos ,5n n n n <>=-<>=. 因此，二面角A PE C --16．（1）证明见解析；（2）3π4.【解析】（1）取底面中心O ，不妨设2AO =，根据线面角可得AC =PA PB ⊥，根据正棱锥的性质可得PA PC ⊥，进而可得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，易得面PAC 的法向量，求出面PCE 的法向量，求出法向量夹角的余弦值即可得结果.（1）由题意知：取底面中心O ，则有PO ⊥面ABCD ， 所以PAO ∠即为PA 与底面ABC 所成角， 不妨设2AO =，则有PO=PA 在正ABC 中，因为2AO =，所以AC =在PAB △中，因为222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥⊥ 又因为正三棱锥，所以PA PC ⊥⊥所以PA PB PA PCPA PB PC P ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪⋂=⎩面PBC ． （2）因为ABC 为等边三角形，取BC 中点D ，则AD BC ⊥， 作//l PO ，则l ⊥面ABC ．以D 为原点，DB ，DE ，l 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则有：()0,0,0D，)B，(0,P -，()0,3,0A -，()C ，()0,1,0O -，所以()30,6,0AE AO ==，所以()0,3,0E ． 因为PB ⊥面PAC，所以(13,1,n =为面PAC 的法向量，设面PCE 的法向量为()2,,n x y z =，所以由(2032,0n PC n n PE ⎧⋅=⇒=-⎨⋅=⎩．所以12121236cos ,2n n n n nn ⋅===⋅，所以二面角的大小为3π4．17．（1）证明见解析；（2）⎛ ⎝⎦.【解析】（1）延长BA 、CD 交于一点R ，根据平面几何知识得CA ⊥BA ，根据线面垂直的判定和性质可得证； （2）由（1）得，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，设PQ PB tPC =+，其中,0t t ∈≠R ，根据线面角的向量求解方法表示sin θ=，再由二次函数的性质可求得范围.（1）延长BA 、CD 交于一点R ，因为AD ⊥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2DC ＝2，所以RBC △为正三角形，且AD 为三角形RBC 的中位线，即A 为BR 边的中点，所以CA ⊥BA ，因为P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ， 因为 AB P A ＝A ，所以AC ⊥平面P AB ，PB ⊥平面P AB ， 所以AC ⊥PB ；（2）由（1）得，AP ，AB ，AC 两两垂直，故以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间坐标系，则平面P AC 的法向量为1(1,0,0)n =，P （0，0，1），C （00），B （1，0，0），所以PC ＝（01），PB ＝（1，0，－1），因为l ⊥PC ，所以可设(1,0,1)1),(1))PQ PB tPC t t =+=-+-=-+，其中,0t t ∈≠R ，2||sin ||||1n PQ n PQ θ⋅===⋅因为,0t t ∈≠R ，所以27422,4t t ∞⎡⎫++∈+⎪⎢⎣⎭，所以sin θ⎛=⎝⎦，当且仅当14t =-时，sin θ=18．(1) 证明见解析； (2) 79. 【解析】(1)利用线面垂直的判定证AB ⊥ 平面BEG ，得到AB EG ⊥，再证AB ⊥平面EFG ； (2)几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角. (1) 连接BG ，FG ，因为G 为菱形ABCD 的边CD 上的中点，所以1122CG CD CB ==，又60BCD BAD ∠=∠=︒，由余弦定理得222232cos604BG CG CB CG CB CB =+-⋅=，由222223144CB CB BG CG CB ++==，知BG CG ⊥，即BG CD ⊥， 又//AB CD ，所以AB BG ⊥ . 根据题意，有AB BE ⊥又BG ，BE 都在平面BGE 内，且相交于点B 所以AB ⊥ 平面BEG又EG ⊂平面BEG ，所以AB EG ⊥.在等边三角形CDF 中，因为G 为CD 的中点，所以CD GF ⊥. 又在菱形ABCD 中，//AB CD ，所以AB GF ⊥. 因为EG ，GF 都在平面EFG 内，且相交于点G ， 所以AB ⊥ 平面EFG .(2) 因为平面 ABCD 与平面CDF 的交线为CD ， 由(1)知，BG CD ⊥，FG CD ⊥，所以BGF ∠为二面角A CD F --的平面角， 设2AB = ，则有2BE EF == ，BG GF = 由(1)知，AB ⊥ 平面BEG ，又AB平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥ 平面BEG ，过点E 作EM BG ⊥交BG 于点M ，则有EM ⊥平面ABCD ，又BEC △ 为等边三角形，所以BM CM =，GM =EM =，EG =.在BEG 和EFG 中，由余弦定理得2221cos 23BG EG BE BGE BG EG +-∠==⋅，2221cos 23EG FG EF EGF EG FG +-∠==⋅，所以BGE EGF ∠=∠则27cos cos 22cos 19BGF BGE BGE ∠=∠=∠-=-，所以平面CDF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为7cos 9BGF ∠= . 立体几何图形证明线面、面面位置关系或求线面、面面角可从以下几点考虑：(1)证明线面、面面位置关系的一般方法是利用相关的判定定理和性质定理，需注意二者的相互转化.若有坐标系也可利用向量法证明.(2)求线面、面面角的一般方法是向量法，若图形容易确定所求角，也可利用几何法，结合解三角形知识求角. 19．证明见解析 【解析】以O 为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得向量坐标，利用空间向量数量积证得1AC BD ⊥，11AC BB ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得结论.⊥OA ､OB ､1OA 两两垂直，以O 为原点建立空间直角坐标系，⊥1AB AA =⊥11OA OB OA ===，⊥(100)A ，，､(010)B ，，､(100)C -，，､(010)D -，，､1(001)A ，，， 由11AB A B =易得1(101)B -，，，⊥1(101)AC =--，，､(020)BD =-，，､1(101)BB =-，，， ⊥10AC BD ⋅=，110AC BB ⋅=，⊥1AC BD ⊥，11AC BB ⊥， 又1BD BB B ⋂=，且BD ､1BB ⊂平面11BB D D ，⊥1AC ⊥平面11BB D D .20．（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）由面面垂直的性质得BC ⊥圆O ，由线面垂直的性质得BC EA ⊥，根据线面垂直的判定可得EA ⊥面EBC ，再由线面垂直的性质可证EA EC ⊥.（2）法一：以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，首先求得1,0)2E ，再分别求平面DCE 和平面AEB 的法向量，利用法向量求二面角的余弦值；法二：首先作出两个平面的交线，再作出二面角的平面角，再求二面角的余弦值.（1）⊥平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC AB ⊥，⊥BC 垂直于圆O 所在的平面．又EA 在圆O 所在的平面内，⊥BC EA ⊥． ⊥AEB ∠是直角，⊥BE EA ⊥．而BE BC B =，⊥EA ⊥平面EBC ． 又⊥EC ⊂平面EBC ，⊥EA EC ⊥． （2）法1（向量法）：如图，以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC 知6BAE π∠=，⊥3BOE π∠=，⊥1,0)2E ． 由题设可知(0,1,1)C ，(0,1,1)D -，⊥33(,1)2DE =-，31(,1)2CE =--． 设平面DCE 的一个法向量为000(,,)p x y z =， 由0DE p ⋅=，0CE p ⋅=000000302102x y z x y z +-=--= 得00z =，00y =，取02x =，得0z⊥p =．又平面AEB 的一个法向量为(0,0,1)q =，⊥21cos ,7p q p q p q ⋅<>==．故平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7法2（几何法）：如图，过点E 作直线//m DC ， 则m 是平面DCE 与平面AEB 的交线． 再过点B 作BP m ⊥，P 为垂足，连接CP ，则BPC ∠是平面DCE 与平面AEB 所成锐二面角的平面角．在直角三角形AEB 中，6BAE π∠=，2AB =，所以 1.BE =在直角三角形PEB 中，,13BEP BE π∠==，所以BP =．在直角三角形PBC 中，BP PC BPC PC =∠==故平面DCE 与平面AEB ．21．（1）1AC （2 【解析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出1AC 的长；（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD 的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值． 解：（1）111111AC AA A B BC =++，()22222111111111111111111111222AC AA A B B C AA A B B C AA A B AA B A C B B C ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos120212cos120211cos902=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=1AC ∴=（2）AC AB BC =+222222()21102AC AB BC AB BC AB BC ∴=+=++⋅=++=2AC ∴=111111BD BB B A A D =++()22222111111111111111111111222BD BB B A A D BB B A A D BB B A BB A D B A A D ∴=++=+++⋅+⋅+⋅222211212cos60212cos120211cos906=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=16BD ∴=()()1111112AC BD AB BC BB B A A D ∴⋅=+⋅++=-111cos ,2AC BD AC BD ACBD ⋅∴===⋅所以直线BD 1与AC 22．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）由面面垂直的性质定理得PE ⊥平面ABCD ，故PE BE ⊥，再结合菱形的性质得BE AD ⊥，进而得BE ⊥平面PAD ；（2）由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，故以E 为原点，EA EB EP ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.解：（1）证明：由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ， 又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，又因为四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒， 所以BE AD ⊥， 又PEAD E =，且PE ，AD ⊂平面PAD ，所以BE ⊥平面PAD ；()2解：由()1可知EA EB EP ，，两两垂直，。
第6节 空间向量在立体几何中的应用--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第六节空间向量在立体几何中的应用1．空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l01平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔02n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔03n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔04n·m＝0 l⊥αn∥m⇔05n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔06n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔07n·m＝02．设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则3.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝10|cos 〈a ，n 〉|＝11|a ·n ||a ||n |．4．(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝12〈AB →，CD →〉．(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝13|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角的大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．5．用向量法求空间距离(1)点到直线的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点．则点P 到直线l 的距离为14__AP →2－（AP →·u ）2．(2)点到平面的距离已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．则点P 到平面α的距离为15|AP →·n ||n |．(3)线面距和面面距可以转化为点面距求解．1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|.2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(4)直线l的一个方向向量为a＝(－1，2，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1，1)，l⊄α，则l∥α.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册1.4.1练习T1改编)已知直线l的一个方向向量为a＝(－3，2，5)，平面α的一个法向量为b＝(1，x，－1)，若l∥α，则x＝()A．4B．3C．2D．1答案A解析因为l∥α，所以a⊥b，即a·b＝0，即－3＋2x－5＝0，解得x＝4.故选A.(2)已知两条异面直线的方向向量分别是m＝(－2，1，2)，n＝(3，－2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足()A．sinθ＝－147B．sinθ＝147C．cosθ＝147D．cosθ＝－147答案C解析因为θ，π2，所以cosθ＝|cos〈m，n〉|＝|m·n||m||n|＝63×14＝147，sinθ＝1－cos2θ＝357.故选C.(3)若平面α的法向量为a＝(3，－1，2)，平面β的法向量为n＝(－6，2，－4)，则() A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．无法确定答案A解析由题意，得n＝－2a，则n∥a，α∥β.故选A.(4)已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为() A．2B．5C．23D．25答案B解析因为AB →＝(2，－1，2)，AC →＝(1，－2，4)，所以AC →在AB →方向上的投影数量为AB →·AC →|AB →|＝2＋2＋84＋1＋4 4.设点C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|AC →|2－42＝1＋4＋16－16＝ 5.故选B.考点探究——提素养考点一利用空间向量证明平行、垂直例1如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP＝2，AB ＝1，E 为棱PC 的中点．证明：(1)BE ⊥DC ；(2)BE ∥平面PAD ；(3)平面PCD ⊥平面PAD .证明依题意，以A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)因为BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，BE →·DC →＝0，所以BE ⊥DC .(2)因为AB →＝(1，0，0)为平面PAD 的一个法向量，而BE →·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以BE ⊥AB ，又BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(3)由(2)知平面PAD 的一个法向量为AB →＝(1，0，0)，PD →＝(0，2，－2)，DC →＝(2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·PD →＝0，·DC →＝0，y －2z ＝0，x ＝0，取y ＝1，得n ＝(0，1，1)．因为n ·AB →＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以n ⊥AB →.所以平面PCD ⊥平面PAD .【通性通法】利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤【巩固迁移】1．(2023·山东青岛二中模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形B 1C 1CB 的中心．求证：(1)AC 1⊥平面A 1BD ；(2)EF ∥平面A 1BD ；(3)平面B 1EF ∥平面A 1BD .证明(1)设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C 1(2，2，2)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，D (0，2，0)，AC 1→＝(2，2，2)，A 1B →＝(2，0，－2)，A 1D →＝(0，2，－2)，因为AC 1→·A 1B →＝0，AC 1→·A 1D →＝0，所以AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D ，由于A 1B ∩A 1D ＝A 1，所以AC 1⊥平面A 1BD .(2)由(1)知，AC 1→＝(2，2，2)是平面A 1BD 的一个法向量．E (1，1，2)，F (2，1，1)，EF →＝(1，0，－1)，AC 1→·EF →＝0，EF ⊄平面A 1BD ，所以EF ∥平面A 1BD .(3)由(1)，得B 1(2，0，2)，B 1F →＝(0，1，－1)，设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·EF →＝x －z ＝0，·B 1F →＝y －z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，1，1)．AC 1→＝2n ，显然，平面B 1EF 与平面A 1BD 不重合，所以平面B 1EF ∥平面A 1BD .考点二利用空间向量求空间角(多考向探究)考向1求异面直线所成的角例2(2024·河南洛阳模拟预测)如图四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为()A ．36B ．63C ．13D ．12答案A解析连接AC 与BD 交于点O ，连接PO ，由题意，得AC ⊥BD ，且PO ⊥平面ABCD ，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设四棱锥P －ABCD 各棱长均为2，则AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝2，PO ＝2，可得A (2，0，0)，B (0，2，0)，C (－2，0，0)，P (0，0，2)，则，22，则AE →－2，22，PC →＝(－2，0，－2)，设异面直线AE 与PC所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AE →，PC →〉|＝|AE →·PC →||AE →||PC →|＝|（－2）×（－2）＋22×（－2）|2＋12＋12×2＋0＋2＝36.故选A.【通性通法】向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系．(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．【巩固迁移】2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝1，P 是DF 的中点，则异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为________．答案4515解析因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，交线为AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF .又AF ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥AF，因为∠BAF ＝90°，所以AF ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以以A 为原点，AB →，AD →，AF →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)0，，1C (1，2，0)，所以BE →－12，0，CP →1，－1所以cos 〈BE →，CP →〉＝BE →·CP →|BE →||CP →|＝4515，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515.考向2求直线与平面所成的角例3在如图所示的几何体ABCED 中，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，CE ＝CA ＝CB ＝2DB ，∠ACB ＝90°，M 为AD 的中点．(1)证明：EM ⊥AB ；(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．解(1)证明：由EC ⊥平面ABC ，AC ，BC ⊂平面ABC ，得EC ⊥AC ，EC ⊥BC ，又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，故以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB ＝1，则CE ＝CA ＝CB ＝2.∴A (2，0，0)，B (0，2，0)，E (0，0，2)，D (0，2，1)，，1∴EM →，1，AB →＝(－2，2，0)，则EM →·AB →＝－2＋2＋0＝0，∴EM →⊥AB →，即EM ⊥AB .(2)由(1)，知BM →，－1AE →＝(－2，0，2)，DE →＝(0，－2，1)，设平面ADE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AE →＝－2x ＋2z ＝0，·DE →＝－2y ＋z ＝0，取x ＝2，得y ＝1，z ＝2，∴n ＝(2，1，2)，设直线BM 与平面ADE 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BM →，n 〉|＝|BM →·n ||BM →||n |＝49.因此直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为49.【通性通法】向量法求线面角的两种方法(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线与平面所成的角．【巩固迁移】3．(2023·全国甲卷)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝2，A 1C ⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，A 1到平面BCC 1B 1的距离为1.(1)求证：AC ＝A 1C ；(2)若直线AA 1与BB 1的距离为2，求AB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．解(1)证明：如图，∵A 1C ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴A 1C ⊥BC ，又BC ⊥AC ，A 1C ∩AC ＝C ，A 1C ，AC ⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1.过A 1作A 1O ⊥CC 1于点O ，又平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝CC 1，A 1O ⊂平面ACC 1A 1，∴A 1O ⊥平面BCC 1B 1.∵A 1到平面BCC 1B 1的距离为1，∴A 1O ＝1.在Rt △A 1CC 1中，A 1C ⊥A 1C 1，CC 1＝AA 1＝2，A 1O ＝1，∴O 为CC 1的中点，∴CO ＝C 1O ＝1，又A 1O ⊥CC 1，∴AC ＝A 1C ＝A 1C 1＝2，∴AC ＝A 1C .(2)连接A 1B ，AC 1，∵AC ＝A 1C ，BC ⊥A 1C ，BC ⊥AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △A 1CB ，∴BA ＝BA 1.过B 作BD ⊥AA 1于点D ，则D 为AA 1的中点，又AA 1＝2，∴A 1D ＝AD ＝1，∵直线AA 1与BB 1的距离为2，∴BD ＝2，∴A 1B ＝AB ＝5，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝ 3.解法一：以C 为原点，CA ，CB ，CA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图所示，则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，3，0)，B 1(－2，3，2)，C 1(－2，0，2)，∴CB →＝(0，3，0)，CC 1→＝(－2，0，2)，AB 1→＝(－22，3，2)，设平面BCC 1B 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·CB →＝0，·CC 1→＝0，0，＋2z ＝0，取x ＝1，则y ＝0，z ＝1，∴平面BCC 1B 1的一个法向量为n ＝(1，0，1)．设AB 1与平面BCC 1B 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB 1→〉|＝|n ·AB 1→||n ||AB 1→|＝1313.∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为13 13 .解法二：延长AC，使AC＝CM，连接C1M，由CM∥A1C1，CM＝A1C1，知四边形A1CMC1为平行四边形，∴C1M∥A1C，∴C1M⊥平面ABC，又AM⊂平面ABC，∴C1M⊥AM，在Rt△AC1M中，AM＝2AC＝22，C1M＝A1C＝2，∴AC1＝（22）2＋（2）2＝10.在Rt△AB1C1中，AC1＝10，B1C1＝BC＝3，∴AB1＝（10）2＋（3）2＝13.又A到平面BCC1B1的距离为1，∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为113＝1313.考向3求二面角例4(2024·九省联考)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，AA1＝2，∠C1CB＝∠C1CD，∠C1CO＝45°.(1)证明：C1O⊥平面ABCD；(2)求二面角B－AA1－D的正弦值．解(1)证明：连接BC1，DC1.因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以BC＝DC，又因为∠C 1CB ＝∠C 1CD ，CC 1＝CC 1，所以△C 1CB ≌△C 1CD ，所以BC 1＝DC 1，又点O 为线段BD 的中点，所以C 1O ⊥BD .在△C 1CO 中，CC 1＝2，OC ＝12AC ＝2，∠C 1CO ＝45°，所以cos ∠C 1CO ＝22＝C 1C 2＋OC 2－C 1O 22×C 1C ×OC，解得C 1O ＝2，则C 1C 2＝OC 2＋C 1O 2，所以C 1O ⊥OC .又OC ∩BD ＝O ，OC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以C 1O ⊥平面ABCD .(2)由题知正方形ABCD 中AC ⊥BD ，又C 1O ⊥平面ABCD ，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0，2，0)，D (0，－2，0)，A (2，0，0)，C (－2，0，0)，C 1(0，0，2)，则AA 1→＝CC 1→＝(2，0，2)，AB →＝(－2，2，0)，AD →＝(－2，－2，0)，设平面BAA 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，1·m ＝0，·m ＝0，＋2z 1＝0，1＋2y 1＝0，令x 1＝1，则m ＝(1，1，－1)，设平面DAA 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，1·n ＝0，·n ＝0，＋2z 2＝0，2－2y 2＝0，令x 2＝1，则n ＝(1，－1，－1)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13×3＝13，设二面角B －AA 1－D 的大小为θ，则sin θ＝223，所以二面角B －AA 1－D 的正弦值为223.【通性通法】向量法求二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意有时需要结合实际图形判断所求角是锐二面角还是钝二面角．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【巩固迁移】4.(2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4.点A 2，B 2，C 2，D 2分别在棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1上，AA 2＝1，BB 2＝DD 2＝2，CC 2＝3.(1)证明：B 2C 2∥A 2D 2；(2)点P 在棱BB 1上，当二面角P －A 2C 2－D 2为150°时，求B 2P .解(1)证明：以C 为原点，CD ，CB ，CC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则C (0，0，0)，C 2(0，0，3)，B 2(0，2，2)，D 2(2，0，2)，A 2(2，2，1)，∴B 2C 2→＝(0，－2，1)，A 2D 2→＝(0，－2，1)，∴B 2C 2→∥A 2D 2→，又B 2C 2，A 2D 2不在同一条直线上，∴B 2C 2∥A 2D 2.(2)设P (0，2，λ)(0≤λ≤4)，则A 2C 2→＝(－2，－2，2)，PC 2→＝(0，－2，3－λ)，D 2C 2→＝(－2，0，1)，设平面PA 2C 2的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，·A 2C 2→＝－2x 1－2y 1＋2z 1＝0，·PC 2→＝－2y 1＋（3－λ）z 1＝0，取z 1＝2，得y 1＝3－λ，x 1＝λ－1，∴n ＝(λ－1，3－λ，2)．设平面A 2C 2D 2的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，·A 2C 2→＝－2x 2－2y 2＋2z 2＝0，·D 2C 2→＝－2x 2＋z 2＝0，取x 2＝1，得y 2＝1，z 2＝2，∴m ＝(1，1，2)．又二面角P －A 2C 2－D 2为150°，∴|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝6（λ－1）2＋（3－λ）2＋22×6＝|cos150°|＝32，化简可得，λ2－4λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝3，∴P (0，2，1)或P (0，2，3)，∴B 2P ＝1.考点三利用空间向量求空间距离例5如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DA ，DC 和DD 1的长分别为1，2，1.求：(1)顶点B 到平面DA 1C 1的距离；(2)直线B 1C 到平面DA 1C 1的距离．解(1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)．设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，因为DA 1→＝(1，0，1)，DC 1→＝(0，2，1)，·DA 1→＝0，·DC 1→＝0，＋z ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝1，得x ＝2，z ＝－2，则n ＝(2，1，－2)．而向量C 1B →＝(1，0，－1)，所以顶点B 到平面DA 1C 1的距离d ＝|n ·C 1B →||n |＝|2＋0＋2|4＋1＋4＝43.(2)直线B 1C 到平面DA 1C 1的距离等于点B 1到平面DA 1C 1的距离．因为C 1B 1→＝(1，0，0)，所以点B 1到平面DA 1C 1的距离d 1＝|n ·C 1B 1→||n |＝|2＋0＋0|4＋1＋4＝23.故直线B 1C 到平面DA 1C 1的距离为23.【通性通法】1．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点．过点P 作平面α的垂线l ，交平面α于点Q ，则n 是直线l 的方向向量，且点P 到平面α的距离就是AP →在直线l上的投影向量QP →的长度．PQ ＝|AP →·n |n ||＝|AP →·n |n ||＝|AP →·n ||n |.2．点到直线的距离(1)设过点P 的直线l 的单位方向向量为n ，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－（PA →·n ）2.(2)若能求出点在直线上的投影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．(3)线面距和面面距直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离进行求解．【巩固迁移】5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为()A ．2B ．3C ．23D ．33答案D 解析由正方体的性质，得AB 1∥DC 1，D 1B 1∥DB ，AB 1∩D 1B 1＝B 1，DC 1∩DB ＝D ，且AB 1⊂平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，DC 1⊂平面BDC 1，DB ⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，则两平面间的距离可转化为点B 到平面AB 1D 1的距离．以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由正方体的棱长为1，得A (1，0，0)，B (1，1，0)，A 1(1，0，1)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，所以CA 1→＝(1，－1，1)，BA →＝(0，－1，0)，AB 1→＝(0，1，1)，B 1D 1→＝(－1，－1，0)．连接A 1C ，由CA 1→·AB 1→＝(1，－1，1)·(0，1，1)＝1×0＋(－1)×1＋1×1＝0，CA 1→·B 1D 1→＝(1，－1，1)·(－1，－1，0)＝1×(－1)＋(－1)×(－1)＋1×0＝0，所以CA 1→⊥AB 1→，即CA 1⊥AB 1，CA 1→⊥B 1D 1→，即CA 1⊥B 1D 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，可知CA 1⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝CA 1→＝(1，－1，1)，则两平面间的距离d ＝|BA →·n ||n |＝|0×1＋（－1）×（－1）＋0×1|12＋（－1）2＋12＝13＝33.故选D.6.(2024·云南大理期中)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝2AB ＝2BC ＝2，E 为线段DD 1的中点，F 为线段BB 1的中点．(1)求直线FC 1到直线AE 的距离；(2)求点A 1到平面AB 1E 的距离．解(1)根据题意，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，E (0，0，1)，C 1(0，1，2)，B 1(1，1，2)，F (1，1，1)，B 1E →＝(－1，－1，－1)，A 1B 1→＝(0，1，0)，FC 1→＝(－1，0，1)，AE →＝(－1，0，1)，故FC 1→∥AE →，又EF→＝(1，1，0)，设直线FC 1到直线AE 的距离为d 1，则d 1即为点F 到直线AE 的距离，因此d 1＝62，则直线FC 1到直线AE 的距离为62.(2)设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·AE →＝－x ＋z ＝0，·B 1E →＝－x －y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，所以n ＝(1，－2，1)．设点A 1到平面AB 1E 的距离为d 2，可得d 2＝|A 1B 1→·n ||n |＝|（0，1，0）·（1，－2，1）|1＋4＋1＝63，则点A 1到平面AB 1E 的距离为63.课时作业一、单项选择题1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 与直线A 1D 和AC 都垂直，则直线PQ 与BD 1的关系是()A ．异面直线B ．平行直线C ．垂直不相交D ．垂直且相交答案B 解析设正方体的棱长为1，以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(1，0，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，B (1，1，0)，DA 1→＝(1，0，1)，AC →＝(－1，1，0)，BD 1→＝(－1，－1，1)，∵BD 1→·DA 1→＝0，BD 1→·AC →＝0，∴BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，∴BD 1与直线A 1D和AC 都垂直，又PQ 与直线A 1D 和AC 都垂直，∴PQ ∥BD 1.故选B.2．若直线l 的一个方向向量为m ，平面α的一个法向量为n ，则可能使l ∥α的是()A ．m ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．m ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)，C ．m ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．m ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)答案D 解析要使l ∥α成立，需使m ·n ＝0，将选项一一代入验证，只有D 满足m ·n ＝1×0－1×3＋3×1＝0.故选D.3．已知v 为直线l 的方向向量，n 1，n 2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，给出下列说法：①n 1∥n 2⇔α∥β；②n 1⊥n 2⇔α⊥β；③v ∥n 1⇔l ∥α；④v ⊥n 1⇔l ⊥α.其中说法正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B 解析n 1∥n 2⇔α∥β，故①正确；n 1⊥n 2⇔α⊥β，故②正确；v ∥n 1⇔l ⊥α，故③错误；v ⊥n 1⇔l ∥α或l ⊂α，故④错误．故选B.4.(2023·山东临沂模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 的中点，则下列说法正确的是()A ．直线PB 与直线A 1D 垂直，直线PB ∥平面B 1D 1CB ．直线PB 与直线D 1C 平行，直线PB ⊥平面A 1C 1DC ．直线PB 与直线AC 异面，直线PB ⊥平面ADC 1B 1D ．直线PB 与直线B 1D 1相交，直线PB ⊂平面ABC 1答案A 解析连接DB ，A 1B ，D 1B 1，D 1C ，B 1C .由正方体的性质可知BA 1＝BD ，P 是A 1D 的中点，所以直线PB 与直线A 1D 垂直．由正方体的性质可知DB ∥D 1B 1，A 1B ∥D 1C ，所以平面BDA 1∥平面B 1D 1C ，又PB ⊂平面BDA 1，所以直线PB ∥平面B 1D 1C ，故A 正确；以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，0PB →1，D 1C →＝(0，1，－1)，显然直线PB 与直线D 1C 不平行，故B 不正确；直线PB 与直线AC 异面，正确，因为DA →＝(1，0，0)，PB →·DA →＝12≠0，所以直线PB 与平面ADC 1B 1不垂直，故C 不正确；直线PB 与直线B 1D 1异面，不相交，故D 不正确．故选A.5.(2023·四川眉山高三校考模拟预测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ⊥平面ACC 1A 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与AB 1所成角的余弦值为()A ．225B ．53C ．55D ．35答案C 解析在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ，AB ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AC ，CC 1⊥AB ，又BC ⊥平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC ，所以CA ，CC 1，CB 互相垂直，以C 为原点，CA ，CC 1，CB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设CA ＝CC 1＝2CB ＝2，则C (0，0，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，可得AB 1→＝(－2，2，1)，BC 1→＝(0，2，－1)，所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→||AB 1→|＝4－13×5＝55，所以直线BC 1与AB 1所成角的余弦值为55.故选C.6.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为()A ．3B ．22C ．23D ．55答案D 解析以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则G(1，λ，1)，D1(0，0，1)，，0，1所以D1E→，0，D1F→，1，GE→，－λ，设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则·D1E→＝x－12z＝0，·D1F→＝x＋y－12z＝0，令x＝1，则y＝0，z＝2，所以平面D1EF的一个法向量为n＝(1，0，2)．点G到平面D1EF的距离为|GE→·n||n|＝|－12×2|5＝55.故选D.7．(2024·湖北武汉模拟)已知圆锥的顶点为S，O为底面中心，A，B，C为底面圆周上不重合的三点，AB为底面的直径，SA＝AB，M为SA的中点．设直线MC与平面SAB所成的角为α，则sinα的最大值为()A．3－1B．2－1C．3＋1D．2＋1答案A解析以AB的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA＝AB＝4，则M(0，－1，3)，设C(x，y，0)，且x2＋y2＝4，由对称性不妨设0<x<2，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1，0，0)，据此有sinα＝MC→·m|MC→||m|＝xx2＋（y＋1）2＋3＝12×－（y＋4）－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上可得，sinα的最大值为3－1.8.(2024·山西长治期末)如图，将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC 的中点，O 是AC 的中点，∠ABC ＝2π3，则折后平面OEF 与平面ABC 夹角的余弦值为()A ．217B ．1111C ．31313D ．31111答案A解析连接OB ，OD .因为菱形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，所以平面ADC ⊥平面ABC ，因为四边形ABCD 是菱形，O 是AC 的中点，所以OD ⊥AC ，OB ⊥AC ，而平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，OD ⊂平面ADC ，所以OD ⊥平面ABC ，而OB ⊂平面ABC ，所以OD ⊥OB .以O 为原点，OB ，OC ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则D (0，0，1)，，－32，，32，OE →，－32，OF →＝，32，设平面OEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·OE →＝0，·OF →＝0，－32y ＋12z ＝0，＋32y ＝0，取y ＝1，则x ＝－3，z ＝3，则n ＝(－3，1，3)，易得平面ABC 的一个法向量为OD →＝(0，0，1)，所以平面OEF 与平面ABC 夹角的余弦值为|n ·OD →||n ||OD →|＝217.故选A.二、多项选择题9．(2023·贵州名校联考)下列命题正确的是()A ．已知a ＝(－1，1，2)，b ＝(0，2，3)，直线l 1的方向向量为k a ＋b ，直线l 2的方向向量为2a －b 且l 1⊥l 2，则k ＝－34B ．若直线l 的方向向量为e ＝(1，0，3)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－6)，则直线l ∥αC ．已知直线l 过P 0(x 0，y 0，z 0)，且以u ＝(a ，b ，c )(abc ≠0)为方向向量，P (x ，y ，z )是直线l 上的任意一点，则有x －x 0a ＝y －y 0b ＝z －z 0cD ．已知平面α的法向量为n ＝(1，1，1)，A (－1，1，1)为平面α上一点，P (x ，y ，z )为平面α上任意一点，则有x ＋y ＋z ＋1＝0答案AC解析对于A ，a ＝(－1，1，2)，b ＝(0，2，3)，k a ＋b ＝(－k ，k ＋2，2k ＋3)，2a －b ＝(－2，0，1)，因为l 1⊥l 2，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝4k ＋3＝0，所以k ＝－34，故A 正确；对于B ，直线l 的方向向量为e ＝(1，0，3)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－6)，则有n ＝－2e ，所以n ∥e ，所以l ⊥α，故B 错误；对于C ，直线l 过P 0(x 0，y 0，z 0)，且以u ＝(a ，b ，c )(abc ≠0)为方向向量，P (x ，y ，z )是直线l 上的任意一点，则有P 0P →＝(x －x 0，y －y 0，z －z 0)，P 0P →∥u ，即P 0P →＝λu ，－x 0＝λa ，－y 0＝λb ，－z 0＝λc ，则x －x 0a ＝y －y 0b ＝z －z 0c，故C 正确；对于D ，平面α的法向量为n＝(1，1，1)，A (－1，1，1)为平面α上一点，P (x ，y ，z )为平面α上任意一点，则有AP →＝(x ＋1，y －1，z －1)，则n ·AP →＝x ＋y ＋z －1＝0，故D 错误．故选AC.10.(2024·四川成都调研)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝π3，AB＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则()A ．PA ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成的角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为255D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为77答案ABC解析对于A ，因为∠DAB ＝π3，AB ＝2AD ，由余弦定理可得BD ＝AD 2＋4AD 2－2AD ×2AD ×12＝3AD ，从而BD 2＋AD 2＝AB 2，即BD ⊥AD ，由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，可得BD ⊥PD ，又AD ∩PD ＝D ，AD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA ⊥BD ，故A 正确；对于B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PBD 就是PB 与平面ABCD 所成的角，又tan ∠PBD ＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝π6，故B 正确；对于C ，显然∠PCD (或其补角)为异面直线AB 与PC 所成的角，易得cos ∠PCD ＝CD PC ＝255，故C 正确；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD ＝1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1)，AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)，设平面PAB的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，·AB →＝0，·PB →＝0，1＋3y 1＝0，1－z 1＝0，取y 1＝1，则x 1＝z 1＝3，即n＝(3，1，3)，设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，·PB →＝0，·BC →＝0，2－z 2＝0，2＝0，取y 2＝1，则x 2＝0，z 2＝3，即m ＝(0，1，3)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为277，故D 不正确．故选ABC.三、填空题11．已知点A (1，0，2)，B (－1，1，2)，C (1，1，－2)，则点A 到直线BC 的距离是________．答案1055解析BA →＝(2，－1，0)，BC →＝(2，0，－4)，BA →·BC →＝4，|BA →|＝5，|BC →|＝25，cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝45×25＝25，又0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，所以sin 〈BA →，BC →〉＝＝215，所以点A 到直线BC 的距离为d ＝|BA →|sin 〈BA →，BC →〉＝5×215＝1055.12.(2024·湖南新化县第一中学期末)如图，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，PA ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝________．答案23解析如图所示，以A 为原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意可得C (2，2，0)，O (1，1，0)，F (1，0，1)，E (0，1，1)，所以FC →＝(1，2，－1)，FE →＝(－1，1，0)，设平面EFC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·FC →＝0，·FE →＝0，＋2y －z ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n ＝(1，1，3)．设G (0，0，a )，0≤a ≤2，则OG →＝(－1，－1，a )，因为OG ∥平面EFC ，则n ·OG →＝0，所以－1－1＋3a ＝0，解得a ＝23所以，0即AG ＝23.13．(2024·山东泰安期末)设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ.当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．答案解析以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)，则D 1B →＝(1，1，－1)，所以D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以PA →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于PA →·PC →<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1，因此λ14.(2023·湖北武汉华中师大附中二模)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，CC 1＝2，D ，E 分别是线段AC ，CC 1的中点，C 1在平面ABC 内的射影为D .若点F 为线段B 1C 1上的动点(不包括端点)，则锐二面角F －BD －E 的余弦值的取值范围为________．答案解析连接C 1D ，因为C 1在平面ABC 内的射影为D ，所以C 1D 垂直于平面ABC 内DB ，AD 这两条线段，又因为底面是边长为2的等边三角形，D 是线段AC 的中点，所以DB ⊥AD ，因此建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，B (3，0，0)，C (0，－1，0)，C 1(0，0，3)，B 1(3，1，3)，，－12，C 1B 1→＝(3，1，0)，DE →，－12，DB →＝(3，0，0)，设F (x ，y ，z )，C 1F →＝λC 1B 1→(0<λ<1)，则(x ，y ，z －3)＝(3λ，λ，0)，故F (3λ，λ，3)，所以DF →＝(3λ，λ，3)，设平面BDE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，·DE →＝0，·DB →＝0，即＋32c ＝0，0，取b ＝3，得a ＝0，c ＝3，所以m ＝(0，3，3)．设平面BDF 的法向量为n ＝(d ，e ，f )，·DF →＝0，·DB →＝0，＋λe ＋3f ＝0，＝0，取e ＝3，得d ＝0，f ＝－λ，所以n＝(0，3，－λ)，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝|33－3λ|32＋（3）2×（3）2＋（－λ）2＝|3－λ|23＋λ2＝12（3－λ）23＋λ2，令3－λ＝t (t ∈(2，3))，所以|cos 〈m ，n 〉|＝12t 212－6t ＋t 2＝设s则|cos〈m，n〉|＝12112s2－6s＋1，二次函数y ＝12s2－6s＋1＝＋14的图象开口向上，对称轴为直线s＝14，所以当s，该二次函数单调递增，又－6×13＋1＝13，－6×12＋1＝1，所以12s2－6s＋1所以112s2－6s＋1∈(1，3)，即|cos〈m，n〉|即锐二面角F－BD－E的余弦四、解答题15.(2023·新课标Ⅱ卷)如图，三棱锥A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC ＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF→＝DA→，求二面角D－AB－F的正弦值．解(1)证明：连接AE，DE，因为E为BC的中点，DB＝DC，所以DE⊥BC，①因为DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形，所以AC＝AB，所以AE⊥BC，②由①②，且AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE，而DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA.(2)不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为BD⊥CD，所以BC＝22，DE＝2，因为△ACD 与△ABD 均为等边三角形，所以AC ＝AB ＝2，所以AE ⊥BC ，AE ＝2，所以AE 2＋DE 2＝4＝DA 2，所以AE ⊥DE ，又DE ∩BC ＝E ，DE ，BC ⊂平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD .以E 为原点，ED ，EB ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E (0，0，0)，D (2，0，0)，A (0，0，2)，B (0，2，0)，设平面DAB 与平面ABF 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，二面角D －AB －F 的平面角为θ，而AB →＝(0，2，－2)，因为EF →＝DA →＝(－2，0，2)，所以F (－2，0，2)，即有AF →＝(－2，0，0)，1·DA →＝0，1·AB →＝0，1＋2z 1＝0，－2z 1＝0，取x 1＝1，所以n 1＝(1，1，1)．2·AB →＝0，2·AF →＝0，－2z 2＝0，2＝0，取y 2＝1，所以n 2＝(0，1，1)，所以|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23×2＝63，所以sin θ＝1－69＝33，所以二面角D －AB －F 的正弦值为33.16.(2024·浙江台州模拟)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为6，截面ACC 1A 1的面积为6.(1)求点B 到平面ACC 1A 1的距离；(2)若AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，AA 1＝6，求直线BD 1与平面CC 1D 1D 所成角的正弦值．解(1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABC －A 1B 1C 1是三棱柱，V B －ACC 1A 1＝23V ABC －A 1B 1C 1＝13V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝2，设点B 到平面ACC 1A 1的距离为d ，则V B －ACC 1A 1＝13S 四边形ACC 1A 1·d ＝13×6d ＝2，所以d ＝1，即点B 到平面ACC 1A 1的距离为1.(2)在▱ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，所以四边形ABCD 是菱形，连接BD 交AC 于点O ，则BO ＝1，由(1)知点B 到平面ACC 1A 1的距离为1，所以BO ⊥平面ACC 1A 1.设点A 1在直线AC 上的射影为点H ，则S ▱ACC 1A 1＝AC ·A 1H ＝23A 1H ＝6，则A 1H ＝3，且BO ⊥A 1H ，AH ＝AA 21－A 1H 2＝（6）2－（3）2＝3，所以点O 与点H 重合，即A 1O ⊥AO .以O 为原点，OA ，OB ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则B (0，1，0)，A (3，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，3)，根据AA 1→＝DD 1→＝(－3，0，3)，AB →＝DC →＝(－3，1，0)，则D 1(－3，－1，3)，BD 1→＝(－3，－2，3)，设平面CC 1D 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，1→·n ＝－3x ＋3z ＝0，·n ＝－3x ＋y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1，3，1)，设直线BD 1与平面CC 1D 1D 所成的角为α，则sin α＝|cos 〈BD 1→，n 〉|＝|BD 1→·n ||BD 1→||n |＝|－3－23＋3|10×5＝65，所以直线BD 1与平面CC 1D 1D 所成角的正弦值为6517.(2024·海南华侨中学模拟)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝1，AA 1>AB ，E ，F 分别是侧棱BB 1，DD 1上的动点，且平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为30°，则线段BE 的长度的最大值为()A ．13B ．33C ．12D ．22答案B解析依题意，AB ，AD ，AA 1两两互相垂直，以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BE ＝m ，DF ＝n (m ≥0，n ≥0，且m ，n 不同时为0)，则A (0，0，0)，E (1，0，m )，F (0，1，n )，所以AE →＝(1，0，m )，AF →＝(0，1，n )．设平面AEF 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，·AE →＝（x ，y ，z ）·（1，0，m ）＝x ＋mz ＝0，·AF →＝（x ，y ，z ）·（0，1，n ）＝y ＋nz ＝0，取z ＝1，得x ＝－m ，y ＝－n ，则u ＝(－m ，－n ，1)，显然v ＝(0，0，1)为平面ABC 的一个法向量．因为平面AEF 与平面ABC 所成角的大小为30°，所以cos30°＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |＝|（－m ，－n ，1）·（0，0，1）|m 2＋n 2＋1＝1m 2＋n 2＋1，即32＝1m 2＋n 2＋1，得m 2＋n 2＝13，所以m＝13－n2，所以当n＝0时，m取得最大值，为33.故选B.18.(2024·云南昆明一中高三开学考试)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB⊥AC，AA1＝AB＝AC＝2，∠A1AC＝60°，过A1A的平面交线段B1C1于点E(不与端点重合)，交线段BC于点F.(1)证明：AA1∥EF；(2)若BF＝2FC，求直线A1C1与平面AFC1所成角的正弦值．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1∥CC1，AA1⊄平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以AA1∥平面BCC1B1，又过A1A的平面AA1EF∩平面BCC1B1＝EF，所以AA1∥EF.(2)在平面AA1C1C内过A作AP⊥AC，因为平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以AP⊥平面ABC，又AB⊥AC，则可构建以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，又AA1＝AB＝AC＝2，∠A1AC＝60°，且BF＝2FC，所以A (0，0，0)，A 1(0，1，3)，C 1(0，3，3)，，43，则A 1C 1→＝(0，2，0)，AC 1→＝(0，3，3)，AF →，43，设m ＝(x ，y ，z )为平面AFC 1的法向量，·AC 1→＝3y ＋3z ＝0，·AF →＝23x ＋43y ＝0，取y ＝1，则x ＝－2，z ＝－3，则m ＝(－2，1，－3)，所以cos 〈m ，A 1C 1→〉＝22×22＝24，所以直线A 1C 1与平面AFC 1所成角的正弦值为24.19.(2023·河北石家庄二模)如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，P 为棱A 1B 1上一点，且PA ＝PB ，F 为CD 的中点．(1)证明：AB ⊥PF ；(2)若AB ＝AD ＝PD ＝2.当直线PB 与平面PCD 所成的角为45°，且二面角P －CD －A 的平面角为锐角时，求三棱锥B －APD 的体积．解(1)证明：取AB 的中点E ，连接PE ，EF ，∵PA ＝PB ，∴PE ⊥AB ，∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF ∥BC ，∴EF ⊥AB ，又PE ∩EF ＝E ，∴AB ⊥平面PEF ，∵PF ⊂平面PEF ，∴AB ⊥PF .(2)如图，以F 为原点，FC →，EF →的方向分别为x ，y 轴正方向，过F 与平面ABCD 垂直的直线向上的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (－1，－2，0)，B (1，－2，0)，C (1，0，0)，D (－1，0，0)，设P (0，a ，h )，h 为P 到平面ABCD 的距离，则PB →＝(1，－2－a ，－h )，PD →＝(－1，－a ，－h )，CD →＝(－2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·PD →＝0，·CD →＝0，x －ay －hz ＝0，2x ＝0，取y ＝－h ，则z ＝a ，∴n ＝(0，－h ，a )，又PD ＝2，∴a 2＋h 2＝3，(*)设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，sin θ＝|PB →·n ||PB →||n |＝|2h |1＋（2＋a ）2＋h 2×3＝22，解得a ＝0或a ＝－32，当a ＝0时，平面PCD 的法向量为n ＝(0，－h ，0)，则平面PCD 与平面ABCD 垂直，此时二面角P －CD －A 的平面角为直角，∴a ＝0舍去，∴a ＝－32，代入(*)可得h ＝32，∴V B －APD ＝V P －ABD ＝13×12×2×2×32＝33.20.(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝22，PB ＝PC ＝6，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，AD ＝5DO ，点F 在AC 上，BF ⊥AO .(1)证明：EF ∥平面ADO ；(2)证明：平面ADO ⊥平面BEF ；(3)求二面角D －AO －C 的正弦值．解(1)证明：设AF ＝tAC ，则BF →＝BA →＋AF →＝(1－t )BA →＋tBC →，AO →＝－BA →＋12BC →，因为BF ⊥AO ，则BF →·AO →＝[(1－t )BA →＋tBC →BA →＋12BC (t －1)BA →2＋12tBC →2＝4(t －1)＋4t ＝0，解得t ＝12，则F 为AC 的中点，因为D ，E ，O ，F 分别为BP ，AP ，BC ，AC 的中点，于是EF ∥PC ，DO ∥PC ，即EF ∥DO ，又EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO .(2)证明：因为D ，O 分别为BP ，BC 的中点，所以DO ＝12PC ＝62，则AD ＝5DO ＝302，因为AO ＝AB 2＋BO 2＝6，所以DO 2＋AO 2＝AD 2＝152，则DO ⊥AO ，由(1)可知EF ∥DO ，所以EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ，BF ∩EF ＝F ，BF ，EF ⊂平面BEF ，则AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .(3)如图，以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，则B (0，0，0)，A (2，0，0)，O (0，2，0)，AO →＝(－2，2，0)．因为PB ＝PC ，BC ＝22，所以设P (x ，2，z )，z ＞0，则BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋12AP →＝(2，0，0)＋12(x －2，2，z )，22，由(2)知AO ⊥BE ，所以AO →·BE →＝(－2，2，，22，0，所以x ＝－1.又PB ＝6，BP →＝(x ，2，z )，所以x 2＋2＋z 2＝6，所以z ＝3，则P (－1，2，3)．由D 为BP 的中点，得－12，22，则AD →－52，22，设平面DAO 的法向量为n 1＝(a ，b ，c )，1·AD →＝0，1·AO →＝0，－52a ＋22b ＋32c ＝0，2a ＋2b ＝0，取a ＝1，则n 1＝(1，2，3)．易知平面CAO 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，设二面角D －AO －C 的大小为θ，则|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝36＝22，所以sin θ＝1－12＝22，故二面角D －AO －C 的正弦值为22.。
空间向量在立体几何中的应用知识点大全、经典高考题带解析、练习题带答案[2]演示教学
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空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题；3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；【知识梳理】一、空间向量的运算 1、向量的几何运算 （1）向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质：① ；② ；③．（2）向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．2、向量的坐标运算 （1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若 ， ，则 ，，，；，．（3）夹角公式：（4）两点间的距离公式：若，，则二、空间向量在立体几何中的应用2.利用空间向量证明平行问题对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．3.利用空间向量证明垂直问题对于垂直问题，一般是利用进行证明；4.利用空间向量求角度（1）线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围[00,900]）（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（3）二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）5.利用空间向量求距离（1）平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
（2）利用法向量求空间距离（a）点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。
（b）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
（c）两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【经典例题】【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-1111A B C D中，B1B与平面AC1D所成角的余弦值为（）（A）23（B）33（C）23（D）63【解析】D【例2】（2010全国卷2文）已知三棱锥S ABC-中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）（A）3(B)5(C)7(D)34【解析】D【例3】（2012全国卷）三棱柱111ABC A B C-中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA∠=∠=o，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为____________。
高中数学空间向量在立体几何中的应用题库
§3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学习目标 1.了解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角．知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)在直线l 上给定一个定点A 和它的一个方向向量a ，对于直线l 上的任意一点P ，则有AP →＝t a 或OP →＝OA →＋t a 或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(AB →＝a )，上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程．向量a 称为该直线的方向向量． 2．线段AB 的中点M 的向量表达式OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔v 1∥v 2.2．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.3．已知两个不共线向量v 1，v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得 α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β.知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1．用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设两条直线所成的角为θ，v 1和v 2分别是l 1和l 2的方向向量，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.2．求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v 1，v 2，所以cos 〈v 1，v 2〉＝v 1·v 2|v 1||v 2|.但要注意，两直线的夹角与〈v 1，v 2〉并不完全相同，当〈v 1，v 2〉为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角．1．直线l 的方向向量是唯一的．( × )2．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( √ )3．若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( × ) 4．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．( × )题型一 空间中点的位置确定例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：(1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标． 解 (1)由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，即x ＝43＋13＝53，y ＝83＋33＝113，z ＝0＋1＝1.因此，P 点的坐标是⎝⎛⎭⎫53，113，1. (2)因为AQ ∶QB ＝2∶1，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)，OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ′，y ′，z ′)，则上式换用坐标表示， 得(x ′，y ′，z ′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ′＝0，y ′＝2，z ′＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6)．反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得．跟踪训练1 已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B.⎝⎛⎭⎫38，－3，2 C.⎝⎛⎭⎫103，－1，73 D.⎝⎛⎭⎫52，－72，32 答案 C解析 设C (x ，y ，z )，∵C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，∴AC →＝13AB →，即(x －4，y －1，z －3)＝13(－2，－6，－2)，∴x ＝103，y ＝－1，z ＝73.题型二 向量方法处理平行问题例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点．求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，所以MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c )．因为MN 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′—→， 所以MN →＝12AD ′—→，所以MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理．(2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．跟踪训练2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点，求证：MN ∥RS . 证明 方法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则 MN →＝MB 1→＋B 1A 1→＋A 1N →＝13c －a ＋12b ，RS →＝RC →＋CD →＋DS →＝12b －a ＋13c ，∴MN →＝RS →，∴MN →∥RS →，又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .方法二 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，则根据题意得M ⎝⎛⎭⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，RS →＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，MN →＝RS →， ∴MN →∥RS →，∵M ∉RS ，∴MN ∥RS . 题型三 两直线所成的角的求解例3 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°，∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点．求直线MN 与AC 所成角的余弦值．解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a ， 所以|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉|＝|MN →·AC →||MN →||AC →|＝454454×5 ＝3510.所以直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2，故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0. 跟踪训练3 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝BB 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1与平面B 1BCC 1的中心，求异面直线AF 与BE 所成角的余弦值． 解 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (2,0,0)，B (2,4,0)， C 1(0,4,2)，A 1(2,0,2)， ∴E (1,2,2)，F (1,4,1)， AF →＝(－1,4,1)， BE →＝(－1，－2,2)，∴|AF →|＝18＝32，|BE →|＝9＝3， AF →·BE →＝1－8＋2＝－5，∴cos 〈AF →，BE →〉＝－532×3＝－5218.∵异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 设AF 与BE 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AF →，BE →〉|＝5218.即异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为5218.1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则( ) A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1，l 2相交但不垂直D ．不能确定答案 B解析 ∵a·b ＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.2．设l 1的方向向量a ＝(1,3，－2)，l 2的方向向量b ＝(－4,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( ) A ．1 B.52 C.12 D ．3答案 B解析 因为l 1⊥l 2，所以a ·b ＝0，即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m ＝0，所以2m ＝9－4＝5，即m ＝52.3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1) 答案 A解析 ∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A. 4．已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)，b ＝(4,2－2m,2－2m )，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确答案 C解析 因为b ＝(4,2－2m,2－2m )≠0， 所以“a ∥b 的充要条件是a ＝λb ”， 得⎩⎪⎨⎪⎧4－2m ＝4λ，m －1＝λ(2－2m )，m －1＝λ(2－2m )，显然m ＝1符合题意，当m ≠1时，由m －1＝λ(2－2m )，得λ＝－12，代入4－2m ＝4λ，得m ＝3.5．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝______，y ＝______. 答案 －14 6解析 ∵l 1∥l 2，∴－7x ＝3y ＝48(x ≠0，y ≠0)，∴x ＝－14，y ＝6.1．利用向量可以表示直线或点在直线上的位置．2．线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空间向量共线、共面定理．3．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量．共分三步：(1)建立立体几何与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．一、选择题1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y (xD ＝/0，yD ＝/0)，解得x ＝6，y ＝152.2．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( ) A ．－25 B.25 C ．－255 D.255答案 B解析 设l 1与l 2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a ·b ||a||b|＝|－4|5×20＝25.3．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系A 1xyz ，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0， C 1(0，2，0)，B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对答案 C解析 ∵AB →＝(－3，－2，－5)，BC →＝(2,6,4)， AC →＝(－1,4，－1)．∴AB →·AC →＝－3×(－1)＋(－2)×4＋(－5)×(－1)＝0， ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形． 又|AB →|≠|AC →|， 故选C.5．已知点A (3,3，－5)，B (2，－3,1)，C 为线段AB 上一点，且AC →＝23AB →，则点C 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫72，－12，52 B.⎝⎛⎭⎫38，－3，2 C.⎝⎛⎭⎫73，－1，－1 D.⎝⎛⎭⎫52，－72，32 答案 C解析 设C 点坐标为(x ，y ，z )，则AC →＝(x －3，y －3，z ＋5)，AB →＝(－1，－6,6)．由AC →＝23AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－23，y －3＝23×(－6)＝－4，z ＋5＝23×6＝4，解得x ＝73，y ＝－1，z ＝－1.即C 点坐标为⎝⎛⎭⎫73，－1，－1.6．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( ) A ．(－9，－7,7) B ．(18,17，－17) C ．(9,7，－7) D ．(－14，－19,31)答案 B解析 设B (x ，y ，z )，则AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A 答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1.则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1， ∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1，－1,0)， A 1D →＝(－1,0，－1)，A 1A →＝(0,0，－1)． ∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .8.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上结论中正确的是( ) A ．①③④ B ．①②③④ C ．①③ D ．③④答案 A解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂平面D 1PQB 1，A 1M ⊄平面D 1PQB 1， ∴A 1M ∥平面D 1PQB 1.又D 1P ⊂平面DCC 1D 1，A 1M ⊄平面DCC 1D 1，∴A 1M ∥平面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 二、填空题9．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)，A (1，－3,2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________. 答案 16解析 P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )， 则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.10．已知空间三点A (0,0,1)，B (－1,1,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，12，1 解析 设M (x ，y ，z )，则由已知，得 AM →＝λAB →＝λ(－1,1,0)＝(－λ，λ，0)． 又AM →＝(x ，y ，z －1)，∴x ＝－λ，y ＝λ，z ＝1. 又CM →·AB →＝0，CM →＝(－λ－1，λ－2,4)， ∴(－λ－1，λ－2,4)·(－1,1,0)＝0， ∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝12.∴M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 11．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，则AB 连线与xOz 平面的交点坐标是____________． 答案 ⎝⎛⎭⎫53，0，13 解析 设交点坐标为P (x,0，z )，则由A ，P ，B 三点共线可设AP →＝λAB →，得(x －1,2，z －3)＝λ(1,3，－4)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝λ，2＝3λ，z －3＝－4λ，解得⎩⎨⎧x ＝53，z ＝13.故AB 连线与xOz 平面的交点坐标是⎝⎛⎭⎫53，0，13.三、解答题12.如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．证明：EF ∥平面SAD .证明 如图所示，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz . 设A (a,0,0)，S (0,0，b )，则B (a ，a,0)，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，b 2.所以EF →＝⎝⎛⎭⎫－a ，0，b 2. 取SD 的中点G ⎝⎛⎭⎫0，0，b2， 连接AG ，则AG →＝⎝⎛⎭⎫－a ，0，b 2. 因为EF →＝AG →，所以EF ∥AG ， 又AG ⊂平面SAD ， EF ⊄平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD .13.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 上的动点．若异面直线AD 1与EC 所成角为60°，试确定此时动点E 的位置．解 以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E (1，t,0)(0≤t ≤2)，则A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)，D 1A →＝(1,0，－1)，CE →＝(1，t －2,0)， 根据数量积的定义及已知得，1＋0×(t －2)＋0＝2×1＋(t －2)2·cos 60°，所以t ＝1，所以点E 的位置是AB 的中点．14．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，0，－23 解析 因为AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)， P A →＝(－x,1，－z )，由P A →·AB →＝0，P A →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，得x ＝13，z ＝－23，所以P ⎝⎛⎭⎫13，0，－23. 15.如图所示，在正方体AC 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO .解 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1， 则O ⎝⎛⎭⎫12，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，12， A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， 则Q (0,1，z )，则OP →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，12， BD 1→＝(－1，－1,1)， ∴OP →∥BD 1→，∴OP ∥BD 1.AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12，BQ →＝(－1,0，z )， 当z ＝12时，AP →＝BQ →，即AP ∥BQ ，又AP ∩OP ＝P ，BQ ∩BD 1＝B ， 则有平面P AO ∥平面D 1BQ ，∴当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .。
空间向量在立体几何中地应用(重点知识+高考真题+模拟精选)
空间向量在立体几何中的应用【重要知识】一、求平面法向量的方法与步骤：1、选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如AC AB ,2、设坐标：设平面法向量的坐标为),,(z y x n =3、解方程：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，并解方程组 4、定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。
设定某个坐标为常 数得到其他坐标二、利用向量求空间角：1、求异面直线所成的角：设b a ,为异面直线，点C A ,为a 上任意两点，点D B ,为b 上任意两点，b a ,所成的角为θ，则=θcos【注】由于异面直线所成的角θ的范围是：︒≤<︒900θ，因此0cos ≥θ2、求直线与平面所成的角：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 所成的角为ϕ，则==ϕθcos sin 【注】由于直线与平面所成的角θ的范围是：︒≤≤︒900θ，因此0sin ≥θ3、求二面角：设21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 为θ，则>=<21,n n θ或><-21,n n π，其中212121,cos n n n n n n ⋅>=<三、利用向量求空间距离：1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为n ，,α∉A α∈B ，则点A 到平面α的距离为n nAB ⋅2、求两条异面直线的距离设21,l l 是两条异面直线，n 是公垂线段AB 的方向向量，D C ,分别为21,l l 上的任意两点，则21l l 与的距离为n nCD AB ⋅=【重要题型】1、（2012广东，理）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 平面⊥，点E 在线段PC 上，BDE PC 平面⊥（1）证明：PAC BD 平面⊥（2）若2,1==AD PA ，求二面角A PC B --的正切值2、（2013广东，理）如图①，在等腰三角形ABC 中，︒=∠90A ，6=BC ，E D ,分别是AB AC ,上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点。
高三数学一轮专题复习空间向量在立体几何中的应用(有详细答案)
空间向量在立体几何中的应用1. (选修21P97习题14改编>若向量a＝(1，λ，2>，b＝(2，－1，2>且a与b的夹角的余弦值为错误!，则λ＝________．答案：－2或错误!2. (选修21P89练习3>已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且错误!＝a, 错误!＝b, 错误!＝c，用a，b，c表示向量错误!＝________．b5E2RGbCAP答案：错误!(b＋c－a>3. (选修21P101练习2改编>已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1>，平面α的法向量为错误!，则m＝________.p1EanqFDPw答案：－84. (选修21P86练习3改编>已知a＝(2，－1，3>，b＝(－1，4，－2>，c＝(7，5，λ>，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于________．DXDiTa9E3d答案：错误!5. (选修21P110例4改编>在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．RTCrpUDGiT答案：错误!1. 直线的方向向量与平面的法向量(1> 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．(2> 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．5PCzVD7HxA2. 线面关系的判定直线l1的方向向量为e1＝(a1，b1，c1>，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，c2>，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1>，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2>．jLBHrnAILg (1> 如果l1∥l2，那么e1∥e2e2＝λe1a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝λc1．(2> 如果l1⊥l2，那么e1⊥e2e1·e2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(3> 若l1∥α，则e1⊥n1e1·n1＝0a1x1＋b1y1＋c1z1＝0．(4> 若l1⊥α，则e1∥n1e1＝kn1a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1．(5> 若α∥β，则n1∥n2n1＝kn2x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2．(6> 若α⊥β，则n1⊥n2n1·n2＝0x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3. 利用空间向量求空间角(1> 两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是错误!.xHAQX74J0X②向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|.(2> 直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是错误!.LDAYtRyKfE②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ.Zzz6ZB2Ltk(3> 二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ> 若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①>．dvzfvkwMI1(ⅱ> 设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角>的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③>．rqyn14ZNXI题型1 空间向量的基本运算例1 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝________.EmxvxOtOco答案：－错误!a＋错误!b＋c错误!已知空间三点A(－2，0，2>，B(－1，1，2>，C(－3，0，4>．设a＝错误!，b＝错误!.SixE2yXPq5(1> 求a和b的夹角θ；(2>若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．题型2 空间中的平行与垂直例2 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝错误!，AF＝1，M是线段EF的中点．6ewMyirQFL求证：(1> AM∥平面BDE；(2> AM⊥平面BDF.错误!如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1> 试证：A1、G、C三点共线；(2> 试证：A1C⊥平面BC1D；题型3 空间的角的计算例3(2018·苏锡常镇二模>如图，圆锥的高PO＝4，底面半径OB＝2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE.kavU42VRUs(1> 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2> 求二面角OOFE的正弦值．错误!(2018·江苏卷>如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．y6v3ALoS89(1> 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2> 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．1. 设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同的点，则使错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝0成立的点M的个数为________．M2ub6vSTnP答案：1 个2. (2018·连云港模拟>若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1>，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3>，则l与α所成角的正弦值为________．0YujCfmUCw答案：错误!3. (2018·新课标全国卷Ⅱ>如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝错误!AB.eUts8ZQVRd(1> 证明：BC1∥平面A1CD；(2> 求二面角DA1CE的正弦值．4. (2018·重庆>如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝错误!，F为PC的中点，AF⊥PB.sQsAEJkW5T(1> 求PA的长；(2> 求二面角B-AF-D的正弦值．5. (2018·连云港调研>在三棱锥SABC中，底面是边长为2错误!的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．GMsIasNXkA(1> 若D为侧棱SB上一点，当错误!为何值时，CD⊥AB；(2> 求二面角S-BC-A的余弦值大小．1. 在直四棱柱ABCD错误!-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点．TIrRGchYzg(1> 求二面角D1错误!-AE-错误!C的大小；7EqZcWLZNX(2> 求证：直线BF∥平面AD1E.2. (2018·苏州调研>三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中点．lzq7IGf02E(1> 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2> 求二面角B1-A1D-C1的正弦值．3. (2018·南通二模>如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.zvpgeqJ1hk(1> 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2> 在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为错误!.NrpoJac3v1 4. (2018广东韶关第二次调研>如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙>，设点E、F分别为棱AC、AD的中点．1nowfTG4KI(1> 求证： DC⊥平面ABC；(2> 求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3> 求二面角B－EF－A的余弦值．申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
巩固练习_空间向量在立体几何中的应用(提高)
【巩固练习】1．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a λ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ） A ．2 B ．2-C ．2-或552 D ．2或552- 2．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值是（ ）A 、36B 、46C 、66D 、863.（2014 合肥二模）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，线段B 1A 1，B 1C 1上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且B 1P=B 1Q ，下列说法中，不正确的是（ ）A ．A ，C ，P ，Q 四点共面B ．直线PQ 与平面BCC 1B 1所成的角为定值C ．＜∠PAC ＜D ．设二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为θ，则tan θ的最小值为4．如图直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60︒ ，P 是棱A 1D 1的中点，则BP 的长等于（ ）A 、32B 、6C 、14D 、45.（2014秋 临海市校级期中）A 是锐二面角α﹣l ﹣β的α内一点，AB ⊥β于点B ，AB=，A 到l 的距离为2，则二面角α﹣l ﹣β的平面角大小为 ．6. 已知=（1，5，-2），=（3，1，z ），若⊥，=（x-1，y ，-3），且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为 .7. 若|a |=17,b =(1,2,-2),c =(2,3,6),且a ⊥b ,a ⊥c ,则a = .8. 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值等于 .9．如图，已知四棱锥P-ABCD ，PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，且PA=AB=a ，点M 是PC 的中点，(1)求异面直线BP 与MD 所成角的大小；(2)求二面角M-DA-C 的大小。
111【提高】高考冲刺：空间向量在立体几何中的综合应用知识讲解
（2）由题意，可求得
AO
2
3
,|
AO
|
6，
2
2
BC AC AB ， AO BC 1， | BC | 2 ，
cos AO, BC
3，
3
∴异面直线 AO 与 BC 所成的角的余弦值为 3 3
（3）取
BC
的中点
E
，连结
AE
，则
AE
1
( AB
AC )
1
(a
b)
2
2
∵ AB AC ，∴ AE BC ，
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
考点二：立体几何中有关角的求解
利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求
的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式
cos
|
aa|
b |b
|
。
考点三：立体几何中有关距离的计算
【解析】建立空间直角坐标系如图，并设 AB=2，
则 A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) ，D1(0,2, 0), D1F (1, 0, 2)
∴ AD D1F =0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD⊥D1F
总复习：空间向量在立体几何中的应用
【考纲要求】
编稿：辛文升 审稿：孙永钊
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量.
2. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.
4. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解
知识讲解 空间向量在立体几何中的应用提高
平面
，所以平面
平面
．
故
平面
．
（Ⅱ）解：因为
，
，
所以
，
，从而
.
z.
-
解得
．所以
，
．
设
与平面
垂直，
则
，
，解得
．
又因为
平面
，
，
所以
，得到
．
所以当
为
时，二面角
的大小为
． 类型六：空间距离 【例 5】如图，△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD⊥平面 BCD，AB⊥平面 BCD，AB＝2 .求点 A 到平面 MBC 的距离． 【解析】
塔吊平安保险装置
力矩限制器：塔机应安装起重力矩限制器，如设有起重力矩显示装置，则其数值误差不
应大于实际值的 。当起重量大于相应工况下的额定值并小于该额定值的时，
应切断上升和幅度增大方向的电源，但机构可作下降和减少幅度方向的运动。起重量限
制器：塔机应安装起重量限制器，如设有起重量显示装置，则其数值误差不应大于实际
.
z.
-
要点二、空间向量在立体几何中的应用
1. 立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．
对于垂直问题，一般是利用 a b a b 0 进行证明；
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的
(k 2,5k 3, k 5) (7, 4, 16) 0 ，
即 3k 106 0 ，解得 k 106 ； 3
(3) k a b (k 2)2 (5k 3)2 (k 5)2
高考数学高考题年模拟题分类汇编专题空间向量在立体几何中的应用
第三节 空间向量在立体几何中的应用一、填空题1.若等边ABC ∆的边长为23，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA MB •=_________2．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A与到B 的距离相等，则M 的坐标是________。
【解析】设(0,,0)M y 由222141(3)1y y ++=+--+可得1y =-故(0,1,0)M - 【答案】(0,-1，0)二、解答题3.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。
如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点。
设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ⎪⎭⎫⎝⎛，，（I ）()，，，解：101B F -= ()，，，110DE -= .2122100DEBF DE cos =•++==，于是BF所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为060.（II ）证明：，，，由⎪⎭⎫ ⎝⎛=21121 ()，，，101-= ()0020=•=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=•.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥⊂（III ）⎪⎩⎪⎨⎧=•=•=.0D 0)(CDE E u CE u z y x u ，，则，，的法向量为解：设平面.111(1.00），，，可得令，于是==⎩⎨⎧=+-=+-u x z y z x又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，=v.3313100cos =•++=•=v u v u v u ，所以， 4．（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-，因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =，(4,4,3FG =--得0n FG ⋅=，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE6.（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点 。
空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)PDF.pdf
A(0,0,1) B(,0,1) C(0,,1)
M ( ,0, 1) N( , ,1)
22
22
n1 = (x1, y1, z1)
A MN
n1 AM = 0 n1 MN = 0
2
x1
−
1 2
z1
=
0
2
y1
+
1 2
z1
=
0
n1 = (1,−1,)
n2 = (x2 , y2 , z2 )
x1 = 1 y1 = −1, z1 = 0 n1 = (1,−1,0)
PBC
BC
n2
=
0
BP n2 = 0
n2 = (x2 , y2 , z2 ) y2 = 0 − 2x2 + z2 = 0
x2 = 1 y2 = 0, z2 = 2 n2 = (1,0,2)
cos n1, n2 = n1 n2 = n1 n2
所以 B(4,0,0), C(2, 2 3,0), D(0, 4 3 ,0), P(0,0, 4) ………………10 分 3
由（2）可知， DB = (4, − 4 3 ,0) 为平面 PAC 的法向量………………11 分 3
z
PC = (2, 2 3, −4) ， PB = (4,0, −4)
P
设平面 PBC 的一个法向量为 n = ( x, y, z) ,
S(1, 1 ,0) 2
CM = (1,−1, 1), SN = (− 1 ,− 1 ,0)
2
22
CM SN = − 1 + 1 + 0 = 0 22
CM ⊥ SN
2 NC = (− 1 ,1,0) 2
人教A版高中数学选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (18)(含答案解析)
选修一第一章《空间向量与立体几何》提高训练题 (18)一、单选题1．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，11145,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠====，则1AC =（ ）A ．1BC ．9D ．32．长方体1111ABCD A B C D -，1AB BC ==，12BB =，点P 在长方体的侧面11BCC B 上运动，1AP BD ⊥，则二面角P AD B --的平面角正切值的取值范围是（ ） A ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点N 在AC 上，点M 在1A D 上，且1A M //MN 面11AA B B ，则MN 的长为（ ）．A B C ．2D5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1A C 所成的角的余弦值为（ ）A B C D二、多选题6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点.则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 与点G 到平面AEF 的距离相等7．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是棱AD 、CD 上的动点，满足AE DF =，则（ ）A ．四棱锥1B BEDF -的体积为定值 B ．四面体1D DEF 表面积为定值C ．异面直线1B E 和AF 所成角为90D ．二面角11D EF B --始终小于608．已知四棱柱1111ABCD A B C D -为正方体.则下列结论正确的是（ ） A ．()11//AD BB BC +B ．()11110AC A B A A ⋅-= C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．()2211111113A A A D A B A B ++=9．如图，菱形ABCD 边长为2，60BAD ∠=︒，E 为边AB 的中点．将ADE 沿DE 折起，使A 到A '，且平面A DE '⊥平面BCDE ，连接A B '，A C '．则下列结论中正确的是（ ） A ．BD A C '⊥B ．四面体A CDE '的外接球表面积为8πC ．BC 与AD '所成角的余弦值为34D ．直线A B '与平面ACD '10．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）A ．过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体1111ABCD ABCD -B ．点P 到平面1A BDC ．直线PD 与1B C 所成角的范围是,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．如图线段1PA 和PB 的长度之和为t ，则2t 的最小值为2+11．如图所示，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -中，,EF 分别为棱11A D ，1DD 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）A ．1AC ⊥平面BEFB ．//EF 平面11B CDC ．异面直线BE 和AD 所成的角的正切值为D ．若P 为直线11B D 上的动点，则三棱锥E BFP -的体积为定值12．已知正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，点P 是1AA 的中点，点M 是侧面11AA B B 内的动点，且满足1D M CP ⊥，下列选项正确的是（ ）A ．动点M 轨迹的长度是B ．三角形11A D M 在正方体内运动形成几何体的体积是323C ．直线1D M 与BC 所成的角为α，则tan α D ．存在某个位置M ，使得直线1BD 与平面11A D M 所成的角为π4三、解答题13．如图所示，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ADC CPD ∠=∠=︒，平面PCD ⊥平面ABCD ，点E 为线段PB 靠近P 的三等分点，45ACD ABC PCD ∠=∠=∠=︒．（1）求证：//PD 平面ACE ； （2）求二面角P AC E --的余弦值．14．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，90,DAB PA ∠=︒⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成角的余弦值； （2）求四棱锥M PAC -的体积．15．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，90,DAB PA ∠=︒⊥底面ABCD ，且1,12PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成角的余弦值；（2）求面AMC 与面BMC 所成夹角的余弦值．16．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2CD FG =，DG ⊥平面,2ABCD DA DC DG ===.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；（2）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长.17．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ； （2）求二面角E BC F --的正弦值； （3）求直线AD 到平面EBC 的距离．18．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1ACD ；（Ⅱ）若直线1DD 与底面ABCD 所成的角为π4，求平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．19．如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为2，点E 为1BB 的中点．（1）求直线1AA 与平面1D AE 所成角的大小；（2）作出过1D ，A ，E 三点的平面截正方体所得的截面α，并求截面α与侧面11ADD A 所成的锐二面角的大小；（3）点F 为1CC 的中点，动点P 在底面正方形ABCD （包括边界）内，若//FP 平面1D AE ，求线段1C P 长度的取值范围．20．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足：(0)PM MC λλ=>．（1）当13λ=时，求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值；（2）若二面角M AB C --的大小为4π，求λ的值． 21．如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD ，//PA DE ，P 与E 在平面ABCD 的同侧且22PA AD DE ==.（1）证明：//BD 平面PCE ；（2）若PC 与平面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角D CE P --的正弦值.22．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且14AA =，120BAD ∠=︒，11D A DC ==.（1）求证：1AC BD ⊥；（2）求1AB 与平面1ACD 所成角的正弦值.23．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝4，CC 1＝，∠ACB ＝90°，点M 在线段A 1B 1上．（1）若A 1M ＝3MB 1，求异面直线AM 和A 1C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，试确定点M 的位置．24．如图//AD BC ，且2AD BC =，//AD EG ，且AD EG =，//CD FG ，且2CD FG =，AD CD ⊥，DG ⊥平面ABCD ，2AD CD DG ===．（1）求二面角E BC F --的余弦值；（2）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为4π，求线段DP 的长． 25．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，四边形CDEF 为矩形，平面CDEF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：ED BC ⊥；（Ⅱ）若22BC AD ==，AB CF ==BF 与平面ABE 所成角的正弦值．26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，侧面11BCC B 是正方形，2AC BC ==，160A AC ∠=︒，M 是11B C 的中点.（1）证明：11AC B C ⊥；（2）求直线1A M 与平面1A BC 所成角的正弦值.27．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，2=AD AB ，M 为BC 中点，平面11A D DA ABCD ⊥，11AA A D ⊥且11A A A D =．（1）证明：1190B A D ∠=︒．（2）若此四棱柱的体积为2求二面角1A A B M --的正弦值．28．如图1，在边长为2等边ABC 中，点D ､E 分别为边AB ､AC 上的中点.将ADE 沿DE 翻折到MDE 的位置并使得平面MDE ⊥平面DECB ，连接MB ，MC 得到图2，点N 为MC 的中点.（1）证明：//EN 平面MBD ；（2）求二面角B MD E --的余弦值大小.29．已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ︒∠=且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使AD =②所示的四棱锥A BCDE -，在四棱锥A BCDE -中，求解下列问题：（1）求证：BC ⊥平面ABE ；（2）若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.30．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 的长为2，且1160A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求异面直线1AD 与1A B 所成角的余弦值； （2）求三棱锥1A ABD -的体积．31．如图，四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，SBC 为等边三角形，平面SBC ⊥平面ABCD ．（1）证明：BC SD ⊥；（2）若E 是线段SA 的中点，求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值．32．如图①所示，平面五边形ABCDE 中，四边形ABCD 为直角梯形，∠B =90°且AD ∥BC ，若AD =2BC =2，AB △ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE 沿AD 折起，连接EB ，EC 得如图②的几何体．图① 图②（1）若点M 是ED 的中点，求证：CM ∥平面ABE ；（2）若EC =2，在棱EB 上是否存在点F ，使得二面角E -AD -F 的大小为60°？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由．33．在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．（Ⅰ）已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；（Ⅱ）已知12EF FB AC ===AB BC =，求平面FBC 与平面ABC 的夹角的余弦值． 34．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，BC CD ⊥，PAB △是等边三角形，E 是棱AB 的中点，2AB PD ==，1BC CD ==.（1）证明：PE ⊥平面ABCD ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值.35．如图，四棱锥S ABCD -的底面是矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，点E 在线段SB 上，30ASB ABS ∠=∠=︒，2AB AD =．（1）当E 为线段SB 的中点时，求证：平面DAE ⊥平面SBC ； （2）当4SB SE =时，求锐二面角C AE D --的余弦值．36．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面是边长为2的正方形，PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，PB =E 、O 分别为PA ，BD 中点．（1）求证：//OE 面PDC（2）求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值．37．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2的菱形，AB =160CBB ∠=︒，且1ABB ABC ∠=∠.（Ⅰ）证明：1AB CB ⊥；（Ⅱ）若二面角1A CB B --的平面角为60︒，求1CA 与平面1ACB 所成角的正弦值.38．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，60BAD ∠=︒，122AB AD CD ===，E 为棱PD 上的一点，且22DE EP ==.（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）求二面角A EC D --的余弦值.39．在三棱锥A BCD -中，已知2AB AD BD ===，BC CD ==A 在面BCD 上的射影位于BD 的中点.（1）求证：BD AC ⊥；（2）若点P 为AC 中点，求直线BP 与平面ACD 所成的角的余弦值.40．已知四棱锥S ABCD -，SD SB =，在平行四边形ABCD 中AD CD =，Q 为SC 上的点，过AQ 的平面分别交SB ，SD 于点E ，F ，且//BD 平面AEQF ．（1）证明：EF AC ⊥；（2）若25SA SC ==，2AB =，Q 为SC 的中点，SA 与平面ABCD SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值．41．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，,E F 分别为11,CC AA 的中点．（1）求证：1//D F 平面BDE ；（2）求直线1D E 与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求直线1D F 与平面BDE 之间的距离．42．已知在六面体P ABCDE 中，P A ⊥平面ABCD ，ED ⊥平面ABCD ，且P A ＝2ED ，底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°.（1）求证：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成角为45°，试问：在线段PE 上是否存在点M ，使二面角P ﹣AC﹣M 为60°？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. 43．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知1,13BCC BC π∠==，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：BC ⊥平面1ABC ；（2）求直线AC 与平面1AEB 所成角的正弦值．44．如图，在三棱锥P ABC -中，PBC 是正三角形，AC BC ⊥，D 是AB 的中点.（1）证明：BC PD ⊥；（2）若2AC BC ==，PA =D PA C --的余弦值.45．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190ABC B BA ∠=∠=︒，160B BC ∠=︒，1AB =，1BB BC ==（Ⅰ）证明：平面ABC ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1B CC A --的余弦值．46．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，1,2AB AD ==，PD E 为BC 的中点，PE DE ⊥.（1）证明:PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值.47．已知正方形ABCD 的边长为2，沿AC 将ACD △折起至ACP △位置（如图），G 为PAC △的重心，点E 在边BC 上，且2CE EB =．（1）证明：//GE 平面PAB ；（2）若GE PA ⊥，求二面角A EC G --的余弦值．48．如图，直角梯形ABCD 中，//,90,2,,AD BC BAD AB AD BD CD EA ∠=︒===⊥底面ABCD ，FD ⊥底面ABCD ，且有EA FD ==（1）求证：CD BF ⊥；（2）若线段AE 的中点为G ，求直线CG 与平面CBEF 所成角的正弦值． 49．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11C D 的中点．（1）求二面角D AC M --的余弦值；（2）在棱1CC （包含端点）上是否存在点E ，使//BE 平面ACM ，给出你的结论，并证明．【答案与解析】1．D 【解析】根据图形，利用向量的加法法则得到11AC AB AD AA =++， 再利用()211AC AB AD AA =++求1AC 的模长.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，有AC AB AD =+，111AC AC AA AB AD AA =+=++，由题知，1AB AD ==，1AA ，1145BAA DAA ∠∠==，60BAD ∠=， 所以1AB AD ==，12AA =，AB 与AD 的夹角为60BAD ∠=︒，AB 与1AA 的夹角为145BAA ∠=︒，AD 与1AA 的夹角为145A AD ∠=︒， 所以21AC()21AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅112211cos6021cos4521cos45=+++⨯⨯⨯︒+⨯︒+⨯︒9=.所以13AC =. 故选：D. 2．B 【解析】根据题中的线面关系建立空间坐标系，运用空间向量求解即可. 如图以点D 为坐标原点建立空间坐标系设点P 的坐标为(),1,x z 图中各点的坐标表示如下： B (1，1，0)，D 1(0，0，2)，A (1，0，0)()()11,1,2,1,1,D B AP x z ∴=-=-，又11·0D B AP D B AP ⊥∴=即，1120x z -+-=，所以20x z -=所以点P 在平面BCC 1B 1内的轨迹为由点C 到BB 1四等分点（靠近B 点）的一条线段， 且点P 由C 点向BB 1四等分点移动过程中，二面角B -AD-P 逐渐增大 当点P 位于C 点处时，二面角B-AD-P 最小，最小值为0 当点P 为与BB 1四等分点处时，二面角B-AD-P 最大，此时，PAB ∠即为二面角B-AD-P 的平面角，111142tan 12BB PAB AB ∠===所以二面角B-AD-P 正切值的取值范围为[0，12].选项ACD 错误，选项B 正确故选：B. 3．B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，写出点的坐标，用向量法确定线线平行与垂直，由向量与平行法向量的平行与垂直确定线面的平行与垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0)A ，1(0,0,1)D ，1(,1,0)2E ，设(0,1,)F z （(01)z ≤≤，则11(,1,1)2D E =-，(1,1,)AF z =-，因为11211≠-，所以1,AF D E 不可能平行，即1,AF D E 不可能平行，又11102AF D E z ⋅=-+-=，12z =，因此1,AF D E 可以垂直，即AF 与1D E 可能垂直．1(0,1,1)C ，11(0,1,0)DC =， 设平面11C D E 的一个法向量为(,,)n x y z =，则111012n D C y n D E x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取2x =，则(2,0,1)n =， AF 与n 不可能平行，因此AF 与平面11C D E 不可能垂直，2[2,1]AF n z ⋅=-+∈--，因此AF 与n 不可能垂直，因此AF 与平面11C D E 不可能平行，故选：B ．4．A 【解析】根据几何体为正方体，先以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，再根据//MN 平面11AA B B ，得MN 与平面11AA B B 的法向量垂直，利用垂直关系的坐标表示，求出N 点的坐标，进而求得MN 的长.因为该几何体1111ABCD A B C D -为正方体，所以以D 为坐标原点， DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以()0,0,0D ，()2,0,0A ， 平面11AA B B 的一个法向量为()2,0,0DA =.因为点M 在1A D 上，且1A M ()1,0,1M .因为点N 在AC 上，所以设(),2,0N m m -()02m <<，则()1,2,1MN m m =---， 因为//MN 平面11AA B B ，所以DA MN ⊥， 有()21000m -++=，1m =，故()0,1,1MN =-，20MN MN ==故选：A. 5．A 【解析】建立空间直角坐标系，写出1CA ，1BC 的坐标，由夹角公式可得结果.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()13,0,3A ，()0,4,0B ，()10,0,3C ， 所以()13,0,3CA =，()10,4,3BC =-，所以111111cos ,103CA BC CABC CA BC ⋅===⋅，所以直线1BC 与1A C 故选：A. 6．BC 【解析】对于A ：由11//CC DD ,而直线1C C 与直线AF 不垂直即可判断；对于B ： 取11B C 的中点N ，连结GN ,A 1N ,可以证明//GN 面AEF ，1//A N 面AEF ，利用面面平行的判定定理证明面1//A GN 面AEF 即可得到直线1A G 与平面AEF 平行.对于C ：连结11,AD FD ,先判断出平面AEF 截正方体所得的截面为面1AEFD ，是一个为等腰梯形，求出各边长，求出高，即可计算出面积；对于D ：假设C 与G 到平面AEF 的距离相等,得到矛盾，则假设不成立,即可判断.对于A ：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CC DD ,因为直线1C C 与直线AF 不垂直，所以直线1D D 与直线AF 不垂直.故A 错误；对于B ： 取11B C 的中点N ，连结GN ,A 1N ,因为,,E F G ，N 分别为11,,BC CC BB ,11B C 的中点,所以由三角形中位线定理得：11//,//,BC GN BC EF 所以//,GN EF 因为GN面AEF ，EF 面AEF ，所以//GN 面AEF .同理可证：1//A N 面AEF .又GN 面1A GN ，1A N 面1A GN ，1GNA N N =，所以面1//A GN 面AEF ,所以直线1A G 与平面AEF 平行.故B 正确；对于C ：连结11,AD FD ,由上面证明过程可知1//EF AD ,所以平面AEF 截正方体所得的截面为面1AEFD .因为1EF AD1AE D F ==, 所以1AEFD 为等腰梯形，如图示：过E 、F 分别作EP 、FQ 垂直AD 1于P 、Q，则22AP ==所以4EP , 所以等腰梯形1AEFD的面积为9228. 故C 正确.对于D ：假设C 与G 到平面AEF 的距离相等,即平面AEF 将CG 平分,则平面AEF 必过CG 的中点,连接CG 交EF 于H,而H 不是CG 中点,则假设不成立,故D 错误. 故选：BC（1）立体几何中几何关系的证明，用判定定理；（2）作多面体的截面方法（交线法）：关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面； 7．ABC 【解析】利用锥体的体积公式可判断A 选项的正误；利用锥体的表面积公式可判断B 选项的正误；证明AF ⊥平面1BB E 可判断C 选项的正误；取E 为AD 的中点，利用二面角的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，()111122ABE BCF BEDF S S S AE CF =--=-⨯+=△△四边形，因为四棱锥1B BEDF -的高为定值，故四棱锥1B BEDF -的体积为定值，A 对； 对于B 选项，过点D 在平面ABCD 内作DH EF ⊥，垂足为点H ，连接1D H ，设AE DF x ==，则1DE x =-，EF ==所以，1x x DE DFDH EF-⋅==1D H =1112D EFS D H EF =⋅=△()1112x x ==--⎡⎤⎣⎦， 所以，四面体1D DEF 的表面积为()()()111111111222S x x x x x x =-+⨯⨯+-+--=⎡⎤⎣⎦，B 对； 对于C 选项，设BE AF O =，AE DF =，AB AD =，90BAE ADF ∠=∠=，故BAE ADF ≅，所以，AEB AFD ∠=∠，故90DAF AEB DAF AFD ∠+∠=∠+∠=，AF BE ∴⊥， 1BB ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，1AF BB ∴⊥， 1BEBB B =，AF ∴⊥平面1BB E ，1B E ⊂平面1BB E ，1AF B E ∴⊥，C 对；对于D 选项，当点E 为AD 的中点时，F 为CD 的中点，则//EF AC ，因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，故EF BD ⊥， 1DD ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，1EF DD ∴⊥， 1BD DD D ⋂=，EF ∴⊥平面11BB D D ，设EF BD H ⋂=，则H 为EF的中点，故1124DH EF AC ===，BH = 1D H 、1B H ⊂平面11BB D D ，故1EF D H ⊥，1EF B H ⊥，所以，二面角11D EF B --的平面角为11B HD ∠， 在11B D H △中，11B D1D H =1B H =由余弦定理可得222111111111cos 22B H D H B D B HD B H D H +-∠==<⋅， 因为110180B HD <∠<，故1160B HD >，故D 错. 故选：ABC. 8．ABD 【解析】先设正方体的棱长为1，再以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.选项A 利用11BB BC AD +=，说明两向量平行；选项B 为数量积的坐标运算；选项C 为坐标法求向量的夹角；选项D 为向量的加法法则与向量模长的计算.不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,0D ，()11,0,1A ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，()10,0,1D .选项A ：()11,0,1AD =-，()()()10,0,11,0,01,0,1BB BC +=+-=-， 因为11BB BC AD +=，所以()11//AD BB BC +，故选项A 正确；选项B ：()11,1,1AC =--，()()()1110,1,00,0,10,1,1A B A A -=--=， 有()()1111011110AC A B A A ⋅-=+⨯+-⨯=，故选项B 正确； 选项C ：()11,0,1AD =-，()10,1,1A B =-有12AD =12A B =110011AD A B ⋅=+-=-， 记向量1AD 与向量1A B 的夹角为θ，[]0,θπ∈， 则11111cos 22AD A B AD A Bθ⋅===-⋅，又[]0,θπ∈，所以21203πθ==︒，故选项C 错误；选项D ：因为111111111A A A D A B A A AC AC ++=+=，又()11,1,1AC =--， 所以()()()()222221111111113A A A D A B AC ++==-++-=又()110,1,0A B =，所以2111A B =，有()2211111113A A A D AB A B ++=，故选项D 正确；故选：ABD. 9．BCD 【解析】根据题意知EB ，ED ，EA‘两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求得异面直线，线面夹角问题.由题知，ABD △为正三角形，DE AB ⊥，将ADE 沿DE 折起，使A 到A '，且平面A DE '⊥平面BCDE ，则EB ，ED ，'EA 两两垂直，以E 点坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，对于A ，(1,0,0)B，D ，'(0,0,1)A，C，(BD →=-，'1)A C →=-， 则'2310BD A C →→⋅=-+=≠，故BD 与'A C 不垂直，故A 错误； 对于B ，取CE 的中点F ，联结DF ，又DE DC ⊥，则12FE FD FC CE ====， 过F 作FO ⊥平面CDE ，四面体A CDE '的外接球球心O 在FO 上，作'OM A E ⊥， 设OF x =，'OD OA R ==，在Rt OFD ，'Rt OMA 中，有22222(1)R x x =+=+-，解得12x =，R =故四面体A CDE '的外接球表面积为248R ππ=，故B 正确；对于C，BC →=，'1)A D →=-，设BC 与A D '所成角为θ，则'33cos 224'BC A DBC A Dθ→→→→⋅===⨯⋅，故C 正确； 对于D ，'(1,0,1)A B →=-，'1)A C →=-，'1)A D →=-， 设平面'A CD 的法向量n (x,y,z)→=则'20'30n A C x z n A D y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取z =则n →=，则'cos ,''n A Bn A B n A B→→→→→→⋅<>===⋅ 故直线A B '与平面ACD 'D 正确； 故选：BCD 10．BCD 【解析】由三角形面积与等体积法可判断AB 的正误，建立空间直角坐标系，用向量法结合导数，可判断C 的正误，把三角形111A B D 绕11B D 旋转到与矩形11BB D D 共面时，可判断D 的正误 对于A ：此平面为平面11B D C ，故三角形11B D C2，故A 错误； 对于B：111111326P A BD A PBD V V --===，12A BDS==，11111336P A BD A BDV Sd d -=⨯==， 点P 到平面1A BD的距离为d =B 正确； 对于C ：如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则由题意可知：()()()()()()()11,,101,0,0,0,1,0,1,1,1,0,1,1,1,0,1,0P a a a D A B B C ≤≤，()()1,,1,1,0,1DP a a B C ==--，设直线PD 与1B C 所成角的为θ，则()11cos 012a DP B C DP B Cθ===≤≤⋅令()()22211a f a a +=+，()01a ≤≤，则()()()22242142211a a a f a a a ++-'==++，由()0f a '>得112a <≤，由()0f a '<得102a ≤<， 所以()min 1223f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()()301,14f f ==，故()()max 01f a f ==，cos θ≤，64ππθ∴≤≤，故C 正确； 对于D ：把三角形111A B D 绕11B D 旋转到与矩形11BB D D 共面时，如图：则11t PA PB A B =+≥所以22t ≥D 正确； 故选：BCD 11．BC 【解析】对于A ：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，通过计算得1102AC BE ⋅=≠，即可判断A 是否正确； 对于B ：连接11,A D B C ，由于EF 是11A DD 的中位线，则1//EF A D ，又11//A D B C ，则1//EF B C ，即可判断B 是否正确；对于C ：先计算出cos BE <，AD >，再计算tan BE <，AD >，即可判断C 是否正确；对于D ：分两种情况：当点P 为(0，0，1)时，当点P 为(1，1，1)时，计算点P 到平面BEF 的距离，即可判断D 是否正确．解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系：则(1A ，0，0)，1(0C ，1，1)，(1B ，1，0)，1(2E ，0，1)，(0F ，0，1)2， 所以1(1AC =-，1，1)，1(2BF =-，1-，1)，1(2EF =-，0，1)2-， 因为1102AC BE ⋅=≠， 所以1AC 不垂直于BE ，所以1AC 不垂直于平面BEF ，故A 错误； 对于B ：连接11,A D B C ，因为E ，F 分别是11A D ，1DD 中点， 所以EF 是11A DD 的中位线， 所以1//EF A D ， 因为11//A D B C ，所以1//EF B C ，又EF ⊄平面11B CD ，1B C ⊂平面11B CD ， 所以//EF 平面11B CD ，故B 正确；对于C :(1AD =-，0，0)，1(2BE =-，1-，1)，所以cos BE <，113AD =，所以tan BE <，2AD >=因为异面直线BE 和AD 所成的角0,2π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ： 设平面BEF 的法向量(u x =，y ，)z ， 则00BF EF μμ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即10211022x y z x z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，可取(2u =，3-，2)-，当点P 为(0，0，1)时，(1BP =-，1-，1)，|cos BP <，||11u >==+，所以|||cos hBP BP =⋅<，|3u >=⋅，当点P 为(1，1，1)时，(0BP =，0，1)，|cos BP <，|2|4u ->=+，所以|||cos h BP BP =⋅<，2|117u >=⋅所以点P 到平面BEF 的距离不是定值，所以三棱锥E BFP -的体积不是定值，故D 错误． 故选：BC ． 12．ABC 【解析】建立坐标系，由1D M CP ⊥可得出动点动点M 轨迹为线段1B N ，然后结合勾股定理，异面直线所成角，线面角，体积公式等逐一判断即可以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()114,,,0,0,4,4,0,2,0,4,0,4,0,4,4,4,0M y z D P C A B ，()()14,,4,4,4,2D M y z CP =-=-，1D M CP ⊥，10D M CP ∴⋅=，即24y z -=，取AB 得中点N ，则动点M 轨迹为线段1B N ，对于A ：动点M 轨迹为线段1B N，且1B N =A 正确； 对于B ：三角形11A D M 在正方体内运动形成几何体为三棱锥111D A NB -， 且()111111132111124424324332D A NB A NB A VS D -⎡⎤=⨯+⨯-⨯⨯⎢⎥⎦⨯⎣⨯==，故B 正确； 对于C ：11//BC A D ，∴直线1D M 与BC 所成的角为11A D M α，又1min4485525AM ，则tan α的最小值是1min 1125545A M A D ，故C 正确； 对于D ：易知M 与1B 重合时，直线1BD 与平面11A D M 所成的角最大， 且为11BD B ，1111142tan 1tan2442BB BD B B D π，114BD B π，所以不存在某个位置M ，使得直线1BD 与平面11A D M 所成的角为π4，故D 错误；故选：ABC13．（1）见解析；（2）13【解析】（1）如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，要证//PD 平面ACE ，只要证明平面ACE 的法向量与PD 垂直即可，求出平面ACE 的法向量，经过计算即可得证；（2）结合（1），求出平面PAC 的一条法向量，，然后求出两法向量所成角的余弦值，结合图像，即可求出二面角P AC E --的余弦值． （1）证明：取CD 的中点O ，因为90CPD ∠=︒，45PCD ∠=︒，则45PDC ∠=︒， 所以PD PC =，所以CD PO ⊥，过点O 作z 轴垂直平面PCD ，则z 轴垂直CD ，z 轴垂直PO ， 因为平面PCD ⊥平面ABCD ，则z 轴在平面PCD 中， 如图，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 设2AD =，则1OP OC OD ===，因为//AD BC ，90ADC ∠=︒，45ACD ABC ∠=∠=︒，所以24BC BD ===，因为点E 为线段PB 靠近P 的三等分点，所以13PE PB =，则()()()()()1,0,0,0,1,2,0,1,0,0,1,0,0,1,4P A C D B --，()()()()1,1,0,0,2,2,1,1,0,1,1,4PD CA CP PB =-===--，1114,,3333PE PB --⎛⎫== ⎪⎝⎭，则224,,333CE CP PE ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设()111,,n x y z =是平面ACE 的一条法向量， 则11111220224333n CA y z n CE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，可取()1,1,1n =-， 则110n PD ⋅=-+=，所以n PD ⊥， 因为PD ⊄平面ACE ， 所以//PD 平面ACE ； （2）解：由（1）知，设()222,,m x y z =是平面PAC 的一条法向量， 则22222200m CA y z m CP x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()1,1,1m =-，则111cos ,33m n m n m n⋅-===-⨯，由图，因为二面角P ACE --为锐角， 所以二面角P AC E --的余弦值为13.14．（1；（2）16.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解直线所成角；（2）由M 是PB 的中点可得四棱锥M PAC -的体积1122B PAC P ABC V V V --==，进而可得结果.（1）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示. 则各点坐标为(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C P ，则()()1,1,0,0,2,1AC PB ==-， 故2,5,2AC PB AC PB ==⋅=，所以cos ,2AC PB AC PBAC PB⋅===⋅ 故AC 与PB（2）因为M 是PB 的中点，所以四棱锥M PAC -的体积 111111*********B PAC P ABC V V V --⎛⎫===⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.15．（1（2）23.【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量求解直线所成角；（2）分别求出两个平面的法向量，利用法向量所成角求得平面所成角.证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为1(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),0,1,2A B C D P M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）因(1,1,0),(0,2,1)AC PB ==- 故||2,||5,2AC PB AC PB ==⋅=，所以10cos ,5||||AC PB AC PB AC PB ⋅<>==⋅ （2）平面AMC 的一个法向量设为()1111,,,(1,1,0),0,1,2n y z AC AM ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴11110102y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴(1,1,2)n =-平面BMC 的一个法向量设为()2211,,,(1,1,0),0,1,2m y z BC BM ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭；∴22210102y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴()1,1,2n =，∴2cos ,3m n 〈〉== ∴面AMC 与面BMC 所成夹角的余弦值为2316．（1）证明见解析；（2【解析】（1）依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE 的法向0n 量及MN ，由00MN n =，结合直线MN ⊂平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）设线段DP 的长为h ，([0,2])h ∈，则点P 的坐标为(0，0，)h ，求出(1,2,)BP h =--，而(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量，由直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，可得线段DP 的长． （1）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．可得(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0C ，2，0)，(2E ，0，2)，(0F ，1，2)，(0G ，0，2)，(0M ，32，1)，(1N ，0，2)． 设0(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则00·20·220n DC y n DE x z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)n =-；又3(1,,1)2MN =-，可得00MN n =．又直线MN ⊂平面CDE ，//MN ∴平面CDE ；（2）解：设线段DP 的长为h ，([0,2])h ∈，则点P 的坐标为(0，0，)h ， 可得(1,2,)BP h =--，而(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量， 故|||cos ,|||||BP CD BP DC BPDC h <>==sin 60=︒，解得[0h =，2]．∴线段DP17．（1）见解析；（2（3【解析】（1）依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE 的法向0n 量及MN ，由00MN n =，结合直线MN ⊂平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）分别求出平面BCE 与平面平面BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E BC F --的正弦值；（3）根据//AD BC ，得BC ⊂平面EBC ，则直线AD 到平面EBC 的距离即为点D 到平面EBC 的距离，利用向量法求出点D 到平面EBC 的距离，即可得出答案.（1）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．可得(0D ，0，0)，(2A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0C ，2，0)，(2E ，0，2)，(0F ，1，2)，(0G ，0，2)，(0M ，32，1)，(1N ，0，2)． 设0000(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则0000020220n DC y n DE x z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令01z =-，可得0(1,0,1)n =-；又3(1,,1)2MN =-，可得00MN n =．所以0MN n ⊥，又直线MN ⊂平面CDE ，//MN ∴平面CDE ；（2）解：依题意，可得(1,0,0)BC =-，(1,2,2)BE =-，(0,1,2)CF =-． 设111(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，不妨令11z =，可得(0,1,1)n =． 设222(,,)m x y z =为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，不妨令21z =，可得(0,2,1)m =．因此有310cos ,||||10m n m n m n <>==10sin ,10m n <>= ∴二面角E BC F --（3）解：因为//AD BC ，AD ⊄平面EBC ，BC ⊂平面EBC ， 所以直线AD 到平面EBC 的距离即为点D 到平面EBC 的距离， 由（2）得，平面BCE 的法向量(0,1,1)n =，(0,2,0)DC =， 则2cos ,22n DC nDC n DC⋅==⋅即直线DC 与平面BCE所以点D 到平面EBC的距离为DC 即直线AD 到平面EBC18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【解析】（Ⅰ）证明1,BC AC BC D C ⊥⊥后可得线面垂直；（Ⅱ）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．（Ⅰ）证明：如图，连接1D C ，则1D C ⊥平面ABCD ， ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴1BC D C ⊥．在等腰梯形ABCD 中，连接AC ， 过点C 作CG AB ⊥于点G ，∵4AB =，2BC CD ==，//AB CD ，则3AG =，1BG =，CG∴AC ==因此满足22216AC BC AB +==，∴BC AC ⊥， 又1D C ，AC ⊂平面1AD C ，1D C AC C =，∴BC ⊥平面1AD C ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC ，BC ，1D C 两两垂直， ∵1D C ⊥平面ABCD ，∴1π4D DC =∠，∴12D C CD ==．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，()A ，()0,2,0B ，()10,0,2D ，∴()AB =-，()12AD =-． 设平面11ABC D 的法向量(),,n x y z =， 由10,0,AB n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20,20,y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩可得平面11ABC D的一个法向量(1,3,n =． 又()10,0,2CD =为平面ABCD 的一个法向量， 设平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，则1123cos 727CD nCD n θ==⋅= 因此平面11ABC D 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为7． 19．（1）2arcsin 3；（2）作图见解析；1arccos 3；（3）⎣． 【解析】（1）如图以A 为坐标原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，1AA 为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）利用空间向量求出平面1D AE 的法向量和侧面11ADD A 的法向量，利用空间向量求解，或取1AA的中点M ，过点M 作1AD 的垂线，垂足为N ，连接ME ，NE ，可证得MNE ∠为面1D AE 与侧面11ADD A 所成的锐二面角，然后在MNE 中求解即可，（3）设(),,0P x y ，则()2,2,1FP x y =---，由//FP 平面1D AE ，可得10FP n ⋅=，求出,x y 的关系，再用距离公式可表示出1C P ，结合,x y 的范围可得结果解：以A 为坐标原点，AD 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，1AA 为z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()12,0,2D ，()0,2,1E ，()10,0,2A（1）()10,0,2AA =，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =设平面1D AE 的法向量()1,,n x y z =，直线1AA 与平面1D AE 所成角为θ则22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()12,1,2n =-∴112sin 32||AA n AA n θ⋅===⋅⋅∴直线1AA 与平面1D AE 所成角2arcsin 3（2）如图过1D ，A ，E 三点的平面截正方体所得的截面为平面1AEFD ， 法一：取侧面11ADD A 的法向量()20,1,0n =，由（1）可知平面1D AE 的法向量()12,1,2n =-， 设平面1D AE 与侧面11ADD A 所成的锐二面角为α则12121cos 3n n a n n ⋅==⋅∴平面1D AE 与侧面11ADD A 所成的锐二面角为1arccos 3．法二：取1AA 的中点M ，过点M 作1AD 的垂线，垂足为N ，连接ME ，NE ， ∵//ME AB ，∴ME ⊥平面11ADD A ∴1ME AD ⊥ 又∵1AD MN ⊥，MN ME M =∴1AD ⊥平面MNE ∴1AD EN ⊥∴MNE ∠为面1D AE 与侧面11ADD A 所成的锐二面角在MNE 中，MN =2ME =，90EMN ∠=︒∴an t MNE ∠=所以平面1D AE 与侧面11ADD A 所成的锐二面角为arctan（3）()2,2,1F ，()12,2,2C ，设(),,0P x y ，则()2,2,1FP x y =---∵//FP 平面1D AE ，∴10FP n ⋅=即24x y +=∵0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，∴020422x x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩，∴12x ≤≤ ∴)112C P x =≤≤∴1C P ∈⎣20．（1；（2）13. 【解析】以O 为原点，,,OA OB OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法进行求解即可.以O 为原点，,,OA OB OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()4,0,0,0,3,0,4,0,0,0,3,0,0,0,4,A B C D P --则()()()4,0,4,0,6,0,4,3,0PA DB AB =-==-,设(),,M x y z ，则()(),,4,4,,PM x y z MC x y z =-=----, （1）因为13PM MC =，所以()()()14313143x x y y z z ⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，解得：103x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()1,0,3M -，()1,3,3MB =-.设平面BDM 的一个法向量(),,n x y z =，则()()()()·0,6,0?,,60·1,3,3?,,330DB n x y z y MB n x y z x y z ⎧===⎪⎨=-=+-=⎪⎩， 不妨设z =1，则()3,0,1n =设直线PA 与平面BDM 所成角为θ，则：2sin cos ,3PA n PA n PA nθ====⨯ 即直线PA 与平面BDM . （2）显然平面ABC 的一个法向量为()10,0,1n =.设(),,M x y z ，由(0)PM MC λλ=>，可得：()()()44x x y y z z λλλ⎧=--⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得：41041x y z λλλ-⎧=⎪+⎪=⎨⎪⎪=+⎩，所以44,3,11MB λλλ-⎛⎫= ⎪++⎝⎭. 设平面ABM 的一个法向量为()2,,n x y z =，则：22·0·0AB n MB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即430443011x y x y z λλλ-+=⎧⎪⎨+-=⎪++⎩， 不妨令x =1，则241,,213n λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由二面角M AB C --的大小为4π，可得： 12coscos ,4n n π==解得：1433λ=或-.因为0λ>，所以13λ=.21．（1）证明见解析；（2【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ，证四边形OFED 为平行四边形即可得证；（2）令2PA =，由条件可得ABC 为等边三角形，作Ax AD ⊥，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量即可作答.（1）连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ，因四边形ABCD 是菱形，则O 为AC 的中点，于是有//OF PA ，12OF PA =， 而//DE PA ，且12DE PA =，从而得//OF DE 且OF DE =，则四边形OFED 为平行四边形，即//OD EF ，//BD EF ，又EF ⊂平面PCE ，BD ⊄平面PCE ， 所以//BD 平面PCE ；（2）令2PA =，则1AD DE ==，而PA ⊥底面ABCD ，即PC 与平面ABCD 所成角为PCA ∠，于是得tan 2PAPCA AC∠==， 则1AC =，AC AD CD ==，从而得ABC 为等边三角形，在平面ABCD 内过A 作Ax AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以射线Ax ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则()002P ,,，1,0)2C ，()0,1,1E ，()0,1,0D ，31(,2)22PC =-，1(,1)22CE =-，()0,0,1DE =，设平面PCE 的一个法向量为()111,,n x y z =，由00n PC n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111111202102x y z y z +-=⎨⎪++=⎪⎩，令11y =，得()3,1,1n =，设平面CDE 的一个法向量为()222,,m x y z =，由00m CE m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22221020x y z z ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，取21x =，则()1,3,0m =.因此有23cos ,5n m n m n m⋅〈〉===⨯⋅ 所以二面角DCE P --,1n m 〈〉=-. 22．（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）通过证明AC ⊥平面1D DB ，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求解.（1）连BD ，设=BD AC O ⋂，连1D O .由ABCD 为菱形知AC BD ⊥，又11D A D C =，所以1AC D O ⊥， 又1D O DB O ⋂=，1D O ，DB ⊂平面1D DB ，所以AC ⊥平面1D DB ， 而1BD ⊂平面1D DB ，所以1AC BD ⊥；（2）由（1）知可如图建系（其中Oz 轴在平面1D DB 内），得各点坐标为()0,1,0A ，()0,1,0C -，)D，并设()1,0,D a b ，由1D A =14D D =， 得22112a b ++=，(2216a b +=，。
第1章 空间向量与立体几何 章末测试(提升)(解析版)
第1章 空间向量与立体几何章末测试（提升）一．单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2021·全国高二课时练习）已知平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（ ）A ．()4,22-，B ．()2,0,4C ．()215--，，D ．()42,2-，【答案】D【解析】平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，设平面β的法向量为(),,x y z ， 则()(2,1,1),,,0x y z λλ=≠-，对比四个选项可知，只有D 符合要求，故选：D. 2．（2021·福建）若,a b 是平面α内的两个向量，则（ ） A ．α内任一向量p a b λμ=+(λ，μ∈R) B ．若存在λ，μ∈R 使a b λμ+＝0，则λ＝μ＝0C ．若,a b 不共线，则空间任一向量p a b λμ=+ (λ，μ∈R)D ．若,a b 不共线，则α内任一向量p a b λμ=+ (λ，μ∈R) 【答案】D【解析】当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，a b λμ+＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则与a 、b 共面的任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定， 故C 项不正确，D 项正确．故选：D ．3．（2021·浙江高二单元测试）已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题意可知：()()2,,,1,21,0a t t b t t ==-- 所以()1,1,b a t t t -=---- ，则：(b a t -=--= ，当且仅当0t =时取等号．即b a -故选：A4．（2021·湖北鄂州市·高二期末）已知空间三点()1,0,3A ，()1,1,4B -，()2,1,3C -，若//AP BC ，且14AP =P 的坐标为（ ） A ．()4,2,2-B ．()2,2,4-C ．()4,2,2-或()2,2,4-D ．()4,2,2-- 或()2,2,4-【答案】C【解析】设(),,P x y z ，则()1,,3AP x y z =--，()3,2,1BC =--，因为//AP BC ，所以()3,2,AP BC λλλλ==--，1323x y z λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，3123x y z λλλ=+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，所以()31,2,3P λλλ+--+，又14AP ==解得1λ=或1λ=-，所以()4,2,2P -或()2,2,4-，故选:C5．（2021·浙江高二单元测试）已知(),(3,0,1),(131,2,3,1),55a b c =-==--给出下列等式： ①||||a b c a b c ++=--；②()()a b c a b c +⋅=⋅+；③2222()a b c b c a =++++ ④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】由题设可得197(,3,)55a b c ++=，则635255a b c ++== 923(,1,)55a b c --=-，63525a b c --=，则①正确；因1346()(4,2,2)(,1,)205555a b c +⋅=⋅--=-+-=， 1481424()(1,2,3)(,1,)205555a b c ⋅+=⋅-=+-=，故②正确；又因2635127()255a b c ++==，而22235714,10,255a b c ====，所以22271272455a b c ++=+=，即③正确； 又3030a b ⋅=+-=，则()0a b c ⋅⋅=， 而330055b c ⋅=-++=，故()0a b c ⋅⋅=，也即④正确. 故选：D ．6．（2021·苏州）在平形六面体ABCD A B C D ''''-，其中1AB =，2AD =，3AA '=，90BAD ∠=，60BAA DAA ''∠==，则AC '的长为（ ）A B C D 【答案】B【解析】设AB a =，AD b =，AA c '=，因为六面体ABCD A B C D ''''-是平行六面体， 所以AC AC CC AB AD AA a b c '''=+=++=++， 所以()22222222AC a b ca b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅，即22222cos902cos602cos60AC a b c a b b c a c '=+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅所以2222111232232132322AC '=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以AC ' 故选：B7．（2021·江苏南京市·高二开学考试）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB =∠A 1AC =60，∠BAC =90，A 1A =3，AB =AC =2，则线段AO 的长度为（ ）A B C D 【答案】A【解析】因为四边形11BCC B 是平行四边形，()111122BO BC BC BB ∴==+, 111111122222AO AB BO AB BC AA AC AB AA ∴=+=++=++11160,90,3,2,A AB A AC BAC A A AB AC ︒︒∠=∠=∠====22214,9,0AB AC AA AB AC ∴===⋅=,1132cos603AB AA AC AA ⋅=⋅=⨯⨯=,()22114AO AB AC AA ∴=++,()22211112224AB AC AA AB AC AB AA AC AA =+++⋅+⋅+⋅ 294=||AO →∴=，即AO =. 故选：A8．（2021·天津市）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体1111ABCD A BC D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）A ．2B ．3C ．12D ．13【答案】B【解析】设M 为直线AC 上任意一点，过M 作1MN BC ⊥，垂足为N ， 设AM AC AB AD λλλ==+，11BN BC AD AA μμμ==+， 则1(1)()MN AN AM AB BN AM AB AD AA λμλμ=-=+-=-+-+， 11BC AA AD =+，1MN BC ⊥，∴1·0MN BC =，即11[(1)()]()0AB AD AA AD AA λμλμ-+-+⋅+=， 221()0AD AA μλμ∴-+=，即0μλμ-+=， 2λμ∴=，∴1(12)MN AB AD AA μμμ=--+，(1MN ∴==∴当13μ=时，||MN ，故直线AC 与1BC 之间的距离是3. 故选：B.二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分） 9．（2021·全国高二单元测试）在以下命题中，不正确的命题有（ ） A ．a b a b -=+是a 、b 共线的充要条件 B ．若//a b ，则存在唯一的实数λ，使λabC ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底 【答案】ABC【解析】对于A 选项，充分性：若a b a b -=+，则a 、b 方向相反，且a b ≥，充分性成立； 必要性：若a 、b 共线且方向相同，则a b a b +=+，即必要性不成立， 所以，a b a b -=+是a 、b 共线的充分不必要条件，A 选项错误； 对于B 选项，若0b =，0a ≠，则//a b ，但不存在实数λ，使得λa b ，B 选项错误；对于C 选项，对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若P 、A 、B 、C 四点共面，可设AP xAB yAC =+，其中x 、y R ∈，则()()OP OA x OB OA y OC OA -=-+-，可得()1OP x y OA xOB yOC =--++， 由于22OP OA OB OC =--，22111--=-≠，此时，P 、A 、B 、C 四点不共面，C 选项错误；对于D 选项，假设a b +、b c +、c a +共面，可设()()()a b m b c n c a na mb m n c +=+++=+++，由于{},,a b c 为空间的一个基底，可得110m n m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，该方程组无解，假设不成立，所以，{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，D 选项正确. 故选：ABC.10．（2021·江苏常州市）下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ） A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB【解析】对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面.对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面.故选：AB11．（2021·湖南）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．1AC BD ⊥B ．1APC ．1//A P 平面1ACDD ．异面直线1AP 与1AD，所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】ABC【解析】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，所以()1,1,0AC =-，()11,1,1BD =--，()10,1,1A B =-，()11,0,1BC =-，所以10AC BD =，所以1AC BD ⊥，故A 正确；因为P 是线段1BC 上一动点，所以1B B C P λ=()01λ≤≤，所以()()()110,1,11,0,1,1,1A P B B A P λλλ=+=-+-=--，所以21A P λ==12λ=时m 1in A P =，故B 正确； 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n AC n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n =，因为1110n P A λλ=-++-=，即1n A P⊥，因为1A P ⊄平面1ACD ，所以1//A P 平面1ACD ，故C 正确；设直线1AP 与1AD 所成的角为θ，因为11//AD BC ，当P 在线段1BC 的端点处时，3πθ=，P 在线段1BC 的中点时，2πθ=，所以,32ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误； 故选：ABC12．（2021·辽宁）已知直四棱柱1111ABCD A BC D -，底面ABCD 为矩形，2AB =，BC =，侧棱长为3，设P 为侧面11AA DD 所 在平面内且与D 不重合的任意一点，则直线1BD 与直线PD 所成角的余弦值可能为（ ） A ．12-B ．12C．2D ．78【答案】BC【解析】以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图，则)B ，()10,0,3D，则()12,3BD =--，设点(),0,P x z ，则(),0,DP x z =.设直线1BD 与直线PD 所成的角为θ，则111cos cos ,4BD DP BD DP BD DPθ-⋅===⋅，令cos x r α=，sin z r α=，其中0r >， 则cos62πθα⎛⎫===-≤ ⎪⎝⎭， 所以，cosθ⎡∈⎢⎣⎦. 显然，12⎡∈⎢⎣⎦⎡⎢⎣⎦.故选：BC三．填空题（每题5分，4题共20分）13．（2021·全国高二课时练习）已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基底{,,OA OB OC }表示向量OG ，有OG =x OA +y OB +z OC ，则x ，y ，z 的值分别为____．【答案】x=16，y=13，z=13． 【解析】∵OG =OM +MG =12OA +23MN =12OA +()23ON OM -12OA =+()211322OB OC OA ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=111633OA OB OC ++∴x=16，y=13，z=13． 故答案为：x=16，y=13，z=13．14．（2021·全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有______． ①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b ； ②若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ； ③若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面； ④若向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底．【答案】①③④【解析】对于①：若向量a ， b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b ，故①正确；对于②：若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 不一定共线，故②错误；对于③：若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++， 则11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AD AB AC =+， 可得到,,A B C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，则空间任意一个向量d ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++， 由,,x y z 的唯一性，则x z +，x y +，y z +也是唯一的则a ，b ，c 也是空间的一组基底，故④正确．故答案为：①③④ 15．（2021·河南高二三模（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB DC ，2DC PD AB AD ===，Q 为PC 的中点，则直线PC 与平面BDQ 所成角的正弦值为__________．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设2DC =，则1PD AB AD ===，PC =()()()10,0,1,0,2,0,1,1,0,0,1,2P C B Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()10,2,1,1,1,0,0,1,2PC DB DQ ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设平面BDQ 的法向量为(),,n x y z =，则00DB n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则()1,1,2n =-， 直线PC 与平面BDQ 所成角为α，sin 2n PCn PC α⋅===⋅. 16．（2021·新疆乌鲁木齐市）如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<则下列结论：则下列结论：①CN ME =； ②当12a =时，ME 与CN 相交； ③MN 始终与平面BCE 平行；④异面直线AC 与BF 所成的角为45.正确的序号是___________.【答案】③【解析】如图建立空间坐标系，则(1A ，0，0)，(0C ，0，1)，(1F ，1，0)，(0E ，1，0)， CM BN a ==，M ∴0，1，N 0)．∴CN ME === 显然CN ME ≠，故①错误；若ME 与CN 相交，则四点共面，又∵M C E 、、在平面ACE ，∴当且仅当N 在平面ACE 时，ME 与CN 相交，此时a =故②错误； 平面BCE 的法向量为()1,0,0BA = ，1MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 此时0BA MN ⋅=，∴MN 始终与平面BCE 平行，故③正确；()()1,0,1,1,1,0,AC BF =-=设异面直线AC 与BF 所成的角为θ，∴1cos 22AC BFAC BF θ⋅===⋅， ∴异面直线AC 与BF 所成的角为60.故④错误.故答案为：③四．解答题（17题10分，其余每题12分，7题共70分）17．（2021·全国高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，2PA =．（Ⅰ）求证：AE PD ⊥；（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅰ）证明见解析.【解析】证明：以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．（Ⅰ）因为E 是PC 的中点，所以E 的坐标为()1,1,1，所以(1,1,1)AE =，又因为()0,2,2PD =-，所以10121(2)0AE PD ⋅=⨯+⨯+⨯-=，所以AE PD ⊥，即有AE PD ⊥；（Ⅰ）因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD AP ⊥，因为AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()2,2,0BD =-，设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(2,0,2)PB =-，(0,2,2)PD =-，由220220n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，1x =，1y =，所以平面PBD 的一个法向量为(1,1,1)n =，因为1(2)12000n BD ⋅=⨯-+⨯+⨯=，所以n BD ⊥，所以平面PBD ⊥平面PAC .18．（2021·河南高二月考（理））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//,3,2AD BC AD AB BC ===，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，2DM MP =，点N 为BC 中点.（1）证明：直线//MN 平面PAB ；（2）求二面角C PD N --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】如图，以A 为原点，分别以,,AB AD AP 方向为,x y ，z 轴方向建立空间直角坐标系.由题意，可得()0,0,0A ，()()()()()2,0,0,2,2,0,0,3,0,0,0,3,0,1,2B C D P M ，()2,1,0N（1）显然，()0,3,0AD =是平面ABP 的一个法向量，()2,0,2MN =-，故0MN AD ⋅=，即MN AD ⊥.又因为MN ⊄平面PAB ，故直线MN //平面PAB .（2）设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，由()()2,1,0,0,3,3DC DP =-=-，有 0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,330,x y y z -=⎧⎨-+=⎩不妨取2z =，可得()1,2,2n =. 由已知可得()()2,2,0,0,3,3ND DP =-=-.同理可求平面PDN 的一个法向量为()1,1,1m =.所以，12cos ,3m nm n m n ++===⨯ 因此2sin ,1cos ,19m n m n ⎛=-=-= 所以，二面角C PD N -- 19．（2021·浙江高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：//CF 平面PAB ； （2）求直线PA 与平面BPD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】（1）作//FH AD 交PA 于H ，连接BH13PF PD = 113HF AD ∴== 又//AD BC 且1BC = //HF BC ∴且HF BC = ∴四边形HFCB 为平行四边形 //CF BH ∴ BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB //CF ∴平面PAB （2）PB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD PB BC ∴⊥ 又AD AB ⊥，//AD BC AB BC ∴⊥则可以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0B ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,3,0A ()3,3,3PD ∴=-，()0,3,3PA =-，()3,3,0BD = 设平面PBD 的法向量(),,n x y z →= 则3330330n PD x y z n BD x y ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，令1x =，则1y =-，0z = ()1,1,0n →∴=-设直线PA 与平面BPD 所成角为θ||1sin |cos ,|2PA n PA n PA n θ→→→→→→⋅∴=<>=== 20．（2021·全国高二专题练习）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，1// 22AD BC AB AD AB AD AA BC ⊥====，，（1）求二面角111C BC D --的余弦值；（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1BC 与平面1B PQ 求AQ 的长．【答案】（1）23，（2）1=AQ 【解析】（1）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以11,,AB AA AD AA ⊥⊥因为AB AD ⊥，所以以A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为122AB AD AA BC ====，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),A B C D 1111(0,0,2),(2,0,2),(2,1,2),(0,2,2)A B C D , 所以111(2,2,0),(0,1,2)B D BC =-=-，设平面11B CD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则 11122020n B D x y n B C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2x =，则(2,2,1)n =， 因为AB ⊥平面11B C C ，所以平面11B C C 的一个法向量为(2,0,0)AB =，设二面角111C BC D --的平面角为α，由图可知α为锐角， 所以二面角111C BC D --的余弦值为42cos 323n ABn AB α⋅===⨯ （2）设(02)AQ λλ=≤≤，则(,0,0)Q λ， 因为点P 为AD 的中点，所以(0,1,0)P ， 则1(,1,0),(2,0,2)PQ BQ λλ=-=--， 设平面1B PQ 的一个法向量为111(,,)z m x y =，则 111110(2)20m PQ x y m B Q x z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令12x =，则(2,2,2)m λλ=-， 设直线1BC 与平面1B PQ 所成角的大小为β， 因为直线1BC 与平面1B PQ所以11sin 5B C mB C m β⋅===， 解得1λ=或15λ=-（舍去） 所以1=AQ21．（2021·山东）在正六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -中，122AA AB ==.（1）求BC 到平面11ADC B 的距离； （2）求二面角11B AD E --的余弦值.【答案】（1；（2）1319.【解析】（1）连接AE ，因为六边形ABCDEF 为正六边形，则120AFE DEF ∠=∠=， 因为AF EF =，则30AEF ∠=，故90AED ∠=，因为1EE ⊥底面ABCDEF ，不妨以点E 为坐标原点，EA 、ED 、1EE 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则)A、)B、1,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、()0,1,0D、)12B、11,222C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、()10,0,2E ，在正六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -中，11//BB CC 且11BB CC =， 所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC BC ， 因为BC ⊄平面11ADC B ，11BC ⊂平面11ADC B ，所以，//BC 平面11ADC B ，所以，BC 到平面11ADC B 的距离等于点B 到平面11ADC B 的距离，设平面11ADC B 的法向量为()111,,m x y z =，()AD =-，()10,1,2AB =，由111113020m ADy m AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =(m =， ()0,1,0AB =，所以，直线BC 到平面11ADC B 的距离为21919AB m d m⋅===；（2）设平面1ADE 的法向量为()222,,n x y z =，()AD =-，()10,1,2DE =-， 由221223020n ADy n DE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取2y =(2,23,n =，13cos ,19m n m n m n⋅<>==⋅， 由图可知，二面角11B AD E --为锐角，所以，二面角11B AD E --的余弦值为1319.22．（2021·江西（理））在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =.（1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（2）若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值； （3）若二面角M BQ C --大小为60，求QM 的长.【答案】（1）证明见解析；（2；（3. 【解析】（1）Q 为AD 的中点，且2AD BC =，则DQ BC =，又因为//BC AD ，则//BC DQ ，故四边形BCDQ 为平行四边形， 因为90ADC ∠=，故四边形BCDQ 为矩形，所以，BQ AD ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BQ ⊂平面ABCD ，BQ ∴⊥平面PAD ，BQ ⊂平面MBQ ，因此，平面MQB ⊥平面PAD ；（2）连接PQ ，由（1）可知，BQ ⊥平面PAD ，PA PD =，Q 为AD 的中点，则PQ AD ⊥，以点Q 为坐标原点，QA 、QB 、QP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A、(P、()B、()C -、()1,0,0D -，设(()(),01PM PC λλλλ==-=-≤≤，(()()0,,BM BP PM λλ=+=+-=-，因为BM PC ⊥，则3333760BM PC λλλλ⋅=+--+=-=，解得67λ=，6,7BM ⎛=- ∴⎝⎭，(AP =-，则9cos ,2AP BM AP BM AP BM⋅<>===⋅⨯. 因此，直线AP 与BM 所成角的余弦值为28； （3）易知平面BQC 的一个法向量是()0,0,1n =，设(()()0,,0,3QM QP PM λλ=+-==+-，()QB =，设平面MBQ 的法向量为(),,m x y z =，由)30m QM x y zm QB y λ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅==⎩，取x =，可得()3,0,m λ=-，由题意可得(1cos ,231m n m n m n⋅<>===⋅，解得12λ=，所以，1,222QM ⎛=- ⎝⎭，因此，72QM =.。
高考数学专题复习：空间向量在立体几何中的应用
高考数学专题复习：空间向量在立体几何中的应用一、单选题1．如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB =5,AC =3，AA 1=4，则异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为（ ）A ．√55B ．2√55C ．√155D ．2√252．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 的中点，则直线1A E 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．13D ．233．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB PA =，则平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角的余弦值为（ ）A ．13B C D 4．在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱1DD 的中点，P 是底面ABCD 内(包括边界)的一个动点，若//MP 平面11A BC ，则异面直线MP 与11AC 所成角的取值范围是（ ）A ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11AC 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）．A ．⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．如图在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，三角形ADE 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，90HDC FAB ∠∠==，则四棱锥P ABCD -外接球的球心到面PBC 的距离为（ ）A B C D 7．三棱锥D ABC -中，2120ACD ACB ∠=∠=︒，2CD BC =，则异面直线AC 与BD 所成的角可能是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°8．已知四边形ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，PD ⊥AD ，PD ＝AD ＝2，二面角P -AD -C 为60°，则P 到AB 的距离是（ ）A ．B ．C ．2D ． 9．四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AA 1＝3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点，则点E 到平面O 1BC 的距离为（ ）A ．2B ．1C ．32D ．310．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面,αβ的法向量分别为12,n n ，则|cos |θ=（ ） A ．1212||||⋅n n n nB ．1212||||||n n n n ⋅C ．1212||||n n n n ⋅ D ．1212||||||n n n n ⋅11．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ） A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直12．如图，单位正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列说法错误的是（ ）A ．BD 1⊥B 1CB ．若111,33DP DD DE DC ==，则PE ∥A 1BC ．若点B 1、A 、D 、C 在球心为O 的球面上，则点A 、C 13D ．若111,33DP DD DE DC ==，则A 1P 、BE 、AD 三线共点二、填空题13．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是_______.14．在正四面体P ABC -中，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD上（包括端点），记直线BE 与平面ABC 所成角为θ，则sin θ的取值范围为________．15．三棱锥A ﹣BCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，则二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角的正切值是________．16．下列关于空间向量的命题中，正确的有________． ①若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b ； ②若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ；③若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底． 三、解答题17．如图//AD BC ，且2AD BC =，//AD EG ，且AD EG =，//CD FG ，且2CD FG =，AD CD ⊥，DG ⊥平面ABCD ，2AD CD DG ===．（1）求二面角E BC F --的余弦值；（2）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为4π，求线段DP 的长．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，侧面11BCC B 是正方形，2AC BC ==，160A AC ∠=︒，M 是11B C 的中点.（1）证明：11AC B C ⊥；（2）求直线1A M 与平面1A BC 所成角的正弦值.19．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，13,4,AB AA M ==为1AA 的中点，P 是BC 上的一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到M 设这条最短路线与1CC 的交点为N 求：（1）NC 的长；（2）求二面角P MN A --的正弦值.20．如图1，在边长为2等边ABC 中，点D ､E 分别为边AB ､AC 上的中点.将ADE 沿DE 翻折到MDE 的位置并使得平面MDE ⊥平面DECB ，连接MB ，MC 得到图2，点N 为MC 的中点.（1）证明：//EN 平面MBD ；（2）求二面角B MD E --的余弦值大小.21．已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ︒∠=且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE折起使AD ②所示的四棱锥A BCDE -，在四棱锥A BCDE -中，求解下列问题：（1）求证：BC ⊥平面ABE ；（2）若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.-，底面是边长为2的正方形，PAD是以AD为斜边的等22．如图，已知四棱锥P ABCD腰直角三角形，PB=E、O分别为PA，BD中点．OE面PDC（1）求证：//（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．参考答案1．D【分析】以C 为坐标原点，向量CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】由题意可得，BC =√AB 2−AC 2=4，以C 为坐标原点，向量CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 方向分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，C (0,0,0)，B 1(0,4,4)，所以AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,0,4)，CB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,4,4)，AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =16，|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=5，|CB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=4√2，因此异面直线AC 1与BC 1所成角的余弦值等于|cos <AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ >|=|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|CB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=5×4√2=2√25. 故选：D. 2．D 【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解直线1A E 与BC 所成的角即可． 【详解】解：设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系， 则1(2A ，0，2)，(0E ，1，0)，(0C ，2，0)，(2B ，2，0)， 则1(2,1,2),(2,0,0)A E BC =--=- 所以111cos ,||||A E BC A E BC A E BC ⋅<>=42323==⨯，所以异面直线1A E 与直线BC 所成角的余弦值为23，故选：D ．3．B【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角的余弦值． 【详解】解：设1AP AB ==，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0P ，0，1)，(0D ，1，0)，(1C ，1，0)，(1PC =，1，1)-，(0PD =，1，1)-，设平面PCD 的法向量(m x =，y ，)z ，则·0·0m PC x y z m PD y z ⎧=+-=⎨=-=⎩，取1y =，得(0m =，1，1)，平面ABP 的法向量(0n =，1，0)，设平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为θ，则||1cos ||||21m n m n θ===⨯， 故选：B ．4．C【分析】以1,,DA DC DD 不,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，得出各点坐标，取AD 中点E ，DC 中点F ，利用向量共线得出直线平行1//C B ME ，同理11//EF AC ，得线面平行后再得面面平行，从而得P 在线段EF 上，由异面直线所成角的定义得MP 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线所成的角，易得其范围．【详解】如图，以1,,DA DC DD 不,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则111(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C A C D ，(0,0,1)M ，取AD 中点E ，DC 中点F ，连接,,ME EF MF ，则(1,0,0)E ，(0,1,0)F ，(1,0,1)ME =-，1(2,0,2)2C B ME =-=， 所以1//C B ME ，同理11//EF AC ，又1C B ⊄平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，所以1//C B 平面11A BC ， 同理//MF 平面11A BC ，而MF ME M =，,MF ME ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面11A BC ，P 是底面ABCD 内(包括边界)的一个动点，若//MP 平面11A BC ，则P 在线段EF 上． 因为11//EF AC ，所以MP 与11AC 所成的角，就是MP 与EF 所成的锐角或直角． MEF 是等边三角形，MP 与EF 所平角最大为2π（P 为EF 中点时），最小为3π（P 与E 或F 重合时），所以所求角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：C ．5．A 【分析】 先设棱长为1，()11101A PAC λλ=≤≤，建立如图坐标系，根据111A P AC λ=计算点P 坐标和向量OP ，再写出平面11A BC 的一个法向量1DB 的坐标，根据1sin cos ,OP DB θ=构建关系，求其值域即可. 【详解】如图，设正方体棱长为1，()11101A PAC λλ=≤≤，则111A P AC λ=，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则()()111,0,0,0,1,0,,,022A C O ⎛⎫⎪⎝⎭，故()111,1,0AC AC ==-，()1,,0A P λλ=-，又()11,0,1A ，则()1,,1P λλ-，所以11,,122OP λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．在正方体1111ABCD A BC D -中，可知体对角线1B D ⊥平面11A BC ， 所以()11,1,1DB =是平面11A BC 的一个法向量，所以1sin cos ,OP DB θ===所以当12λ=时，sin θ0λ=或1时，sin θ取得最小值3所以sinθ∈⎣⎦.故选：A ．【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值. 6．C 【分析】先由线面垂直判定定理证明PO ⊥平面ABCD ，进而建立空间直角坐标系，根据球心的性质列出方程得出球心坐标，再求出平面PBC 的法向量，最后由向量法得出四棱锥P ABCD-外接球的球心到面PBC 的距离. 【详解】该几何体的直观图如下图所示分别取,AD BC 的中点,O M ，连接,OM PM1,2,PO OM PM ===222,OP OM PM OP OM ∴+=∴⊥ 又PO AD ⊥，∴由线面垂直的判定定理得出PO ⊥平面ABCD以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系 (1,0,0),(1,2,0),(1,2,0)A B C -，(1,0,0),(0,0,1)D P -设四棱锥P ABCD -外接球的球心()0,1,N a PN NA =，()221111a a ∴+-=++，解得0a =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =(1,2,1),(1,2,1),(0,1,1)PB PC NP =-=--=-020200PB n x y z x y z PC n ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩，取2z =，则(0,1,2)n = 四棱锥P ABCD -外接球的球心到面PBC 的距离为1cos ,5n NP d NP n NP NP n NP⋅=⋅=⋅==故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于建立空间直角坐标系求出球心坐标，进而由向量法得出点到平面的距离. 7．B 【分析】首先先求向量数量积AC BD ⋅，再求解BD 的范围，最后求cos AC BD AC BDθ⋅=的范围，即可求角. 【详解】设22CD BC m ==.()3cos 60cos 602AC BD AC BC CD AC BC AC CD m AC ⋅=⋅+=⋅︒+⋅︒=. 由于180ACB ACD ∠+∠=︒，将侧面ACD 沿AC 展开到平面ABC ， 则三点B ､C ､D 共线，又此三棱锥可看成将ACD △沿直线AC 翻折而成的，3BD m <<. 设异面直线AC 与BD 所成的角为θ，则31cos ,22AC BD mAC BDBD θ⋅⎛==∈ ⎝⎭，即()30,60θ∈︒︒. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量解决角的问题，本题的关键是根据180ACB ACD ∠+∠=︒，求解BD 的范围. 8．D 【分析】先作出P 到AB 的距离PE ,再解三角形求出PE. 【详解】因为ABCD 为正方形，所以AD ⊥DC. 由DC AD PD AD ⊥⎫⎬⊥⎭⇒∠PDC 为二面角P -AD -C 的平面角，即∠PDC ＝60°. 如图所示，过P 作PH ⊥DC 于H .∵=DC AD PD AD DC PD D ⊥⊥，，,∴AD ⊥面PDC.,∴AD ⊥面PH.又PH ⊥DC, =ADDC D ,∴PH ⊥面ABCD,在平面AC 内过H 作HE ⊥AB 于E ，连接PE ，则PE ⊥AB ， 所以线段PE 即为所求．以H 为坐标原点建立空间直角坐标系H xyz -，则()()()()(0,0,0,1,2,0,1,2,0,0,2,0,H A B E P -所以(0,2,PE =,∴0PE =+故选:D.【点睛】距离的计算方法有两类： （1）几何法：利用几何图形求值；（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算. 9．C 【分析】因为OO 1⊥平面ABCD ，所以OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，又OA ⊥OB ，建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，利用点面距公式求解即可． 【详解】因为OO 1⊥平面ABCD ，所以OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB .又OA ⊥OB ，所以可建立如图所示的空间直角坐标系．因为底面ABCD 是边长为4，∠DAB ＝60°的菱形，所以OA ＝OB ＝2.则A 0，0)，B (0，2，0)，C (－0，0)，O 1(0，0，3)． 设平面O 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥1O B ，n ⊥1OC ，1(0,2,3)O B =-，1(3)OC =--所以23030y z z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，若z ＝2，则x y ＝3，所以n ＝(3，2)是平面O 1BC 的一个法向量．设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，因为E 是O 1A 的中点，所以132EO ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则d ＝1EO n n⋅＝32， 所以点E 到平面O 1BC 的距离等于32.故选：C 10．B 【分析】两个平面的夹角与其法向量的夹角相等或者互补，结合向量夹角数量积公式而得. 【详解】由题意，121212cos ,||||n n n n n n ⋅〈〉=，因平面α与平面β的夹角θ与其法向量12,n n 的夹角12,n n 〈〉相等或互补， 所以1212121212|||cos ||cos ,|||||||||||n n n n n n n n n n θ⋅⋅=〈〉==.故选：B 11．C 【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合． 故选：C ． 12．C 【分析】以D 点为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用直线所在向量的数量积判定两直线是否垂直，是否平行，利用余弦定理求圆心角，以及利用两平面的公共点肯定在交线上进行判定即可． 【详解】以D 点为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 则111(1,0,1),(0,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,1,0)A D B B C选项A ：11(1,1,1),(1,0,1)BD BC =--=--，则11110,B BD B D C BC ⋅=∴⊥选项B ：若111,33DP DD DE DC ==，则110,0,,0,,033P E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1110,,,(0,1,1)33PE A B ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭则111,//3PE A B PE A B =-∴选项C ：若点B 1、A 、D 、C 在球心为O的球面上，则该球为正方体的外接球，OA OC AC ===2221cos 3AOC +-∠==-，则AC 所对的圆心角为1arccos 3π-，∴点A 、C1arccos 3π⎫-⎪⎝⎭，则选项C 不正确； 选项D ：由选项B 可知PE ∥A 1B ，且113PE A B =，∴A 1P 、BE 共面且相交，假设交点为Q ，Q ∈A 1P ，A 1P ⊂面A 1PD ，Q ∈BE ，BE ⊂面BED ，∴Q ∈面A 1PD ，Q ∈面BED ，而面A 1PD ∩面BED ＝AD ，∴Q ∈AD ，即A 1P 、BE 、AD 三线共点于Q ． 故选：C ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是建立坐标系利用向量法得出直线与直线的位置关系以及利用平面的基本性质证明三线共点问题.13． 【分析】建立空间直角坐标系，设点(,,0)P x y ，(01,01)x y <<<<，求出平面1A BM 的法向量(2,1,1)n →=--，1B P 的方向向量1(1,1,1)B P x y →=---，由题意可知，1n B P →→⊥即2y x =，1(,1,1)C P x y →=--，则1||C P →.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系如图，则1(,0,0)2M ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，1(0,1,1)C .设(,,0)P x y (01,01)x y <<<<，则1B P 的方向向量1(1,1,1)B P x y →=---设平面1A BM 的法向量，111(,,)n x y z →=，11(,0,1)2MA →=，1(,1,0)2MB →=，111111·021·02n MA x z n MB x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即11111212z x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取12x =，则(2,1,1)n →=-- 若1B P平面1A BM ，则1n B P →→⊥即12(1)(1)120n B P x y x y →→=---+=-=，则2y x =. 又1(,1,1)CP x y →=-- ∴1(,21,1)C P x x →=--即1||C P→==01x <<，01y <<，2y x =∴102x <<∴26265()2555x ≤-+<1||C P →≤<故答案为：14．⎡⎢⎣⎦【分析】建立空间直角坐标系，计算出sin θ的表达式，由此求得sin θ的取值范围. 【详解】设正四面体P ABC -底面中心为O ，F 是BC 中点，连接AF ，则O 在AF 上. 设正四面体P ABC -的棱长为2，AF PO =. 以F 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()0,,1,0,0,0,A C P ⎛- ⎝，()1,0,0B ，D 为PC 中点，所以1,2D ⎛- ⎝， 设(),,E x y z ，()01AE AD λλ=≤≤，即()11,22x y z λλ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，则1,,2x y z λ=-==，则12E λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则12BE λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，所以sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅=当0λ=时，sin 0θ=，当01λ<≤时，sin θ==由于101,1λλ<≤≥，所以2211142412322λ⎛⎫⎛⎫-+≥-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⎛ ⎝⎦. 综上所述，sin θ的取值范围是⎡⎢⎣⎦.故答案为：⎡⎢⎣⎦【点睛】有关线面角的问题，可建立空间直角坐标系，利用向量法来解决. 15．-2 【分析】作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，求出平面CBD 的一个法向量为1n →以及平面ABD 的一个法向量为2n →,求出两法向量的余弦值即可得到平面CDF 与平面ABCD 所成角的余弦值．然后即可求出正切值． 【详解】解：∵平面ABC ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，∴设AB ＝1，作AO ⊥BC 于点O ，连DO ，以点O 为原点，OD ，OC ，OA 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向，建立坐标系，得下列坐标：O （0，0，0），D 0，0），B （0，12，0），C （0，32，0），A （0，0，AD →=，显然1n →=（0，0，1）为平面BCD 的一个法向量， 设平面ABD 的法向量为2n →=（x ，y ，1）则（x ，y ，1）•AB →=（x ，y ，1）1(0,2⋅＝0（x ，y ，1）•AD →=（x ，y ，1）⋅＝0解得x ＝1，y 则2n →=显然（0，0，1）为平面BCD 的法向量．设二面角A ﹣BD ﹣C 大小为θ，则θ为钝角，则|cos θ|＝1212n n n n →→→→⋅⋅即cos θ则sin θ，则tan θ＝sin cos θθ2，故答案为：﹣2． 16．①③④ 【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断①，④；对于②在空间中满足条件的a 与c 不一定共线，从而可判断;对于③，由条件结合空间向量的加减法则可得1133AD AB AC =+，从而可判断； 【详解】对于①：若向量a ， b 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b ，故①正确；对于②：若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 不一定共线，故②错误； 对于③：若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，则11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AD AB AC =+，可得到,,A B C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，则空间任意一个向量d ， 存在唯一实数组(,,)x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++， 由,,x y z 的唯一性，则x z +，x y +，y z +也是唯一的 则a ，b ，c 也是空间的一组基底，故④正确． 故答案为：①③④17．（1（2【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；（2）设点P 坐标为()0,0,p ，即可得到BP ，求出平面ADGE 的法向量，根据线与面所成角为4π得到方程，解得即可； 【详解】解：因为DG ⊥平面,ABCD DA ⊂平面,ABCD ,AD DC ⊂平面ABCD ， 所以,DG DA DG DC ⊥⊥，又AD CD ⊥故可以D 为坐标原点，,,DA DA DG 的方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系．由//AD BC 且2,//AD BC AD EG =且,//AD EG CD FG =且2CD FG =， 2AD CD DG ===可知，各点坐标为()()()()2,0,2,1,2,0,0,2,0,0,1,2E B C F ，（1）易知()()()2,2,2,1,0,0,0,1,2CE CB CF =-==-设平面EBC 的法向量为()1111,,x n y z =，则由110,0n CE n CB ⋅=⋅=可得 111122200x y z x -+=⎧⎨=⎩，故平面EBC 的一个法向量为()10,1,1n =． 设平面FBC 的法向量为()2222,,n x y z =，则由220,0n CF n CB ⋅=⋅=可得222200y z x -+=⎧⎨=⎩，故平面FBC 的一个法向量为()102,1n =,因为121212cos ,2n n n n n n ⋅===且显然二面角E BC F --为锐角． 故二面角E BC F -- （2）因为点P 在线段DG 上，故可设点P 坐标为()0,0,p ，其中02p << 于是()1,2,BP p =--，易知平面ADGE 的一个法向量为()0,1,0n = 因为直线BP 与平面ADGE 所成的角为4π，所以sin4π=解得p 所以线段DP 18．（1）证明见解析；（2【分析】（1）要证明“线线垂直”，不妨将其转化为证明“线面垂直”，利用题目已知条件证明BC ⊥平面11ACC A ，再由11//BC B C 即可证明；（2）①几何法：若要求线面角，则要找出直线在平面上的投影，转化为在1Rt MA F △中求1MA F ∠的正弦值即可；②坐标法：建立适当的空间直角坐标系，运用向量法直接求解平面1A BC 的法向量和1A M 的夹角余弦值，其绝对值即为直线1A M 与平面1A BC 所成角的正弦值. 【详解】（1）在平面11ACC A 内过点1A 作1A D AC ⊥，垂足为D ，∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC = ∴1A D ⊥平面ABC ，即1A D BC ⊥，又∵侧面11BCC B 是正方形，∴1C C BC ⊥，又11=C CA D D ，∴BC ⊥平面11ACC A ，即BC AC ⊥，而11//BC B C ，∴11AC B C ⊥.（2）①几何法：连1AC 交1AC 于点E ，取1A B 的中点F ，连EF ，MF ， 则//EF BC ，12EF BC =，∴1EFMC 是平行四边形， ∵12AC BC CC ===，160A AC ∠=︒，∴四边形11ACC A 是菱形，11AC AC ⊥， 又∵（1）知，BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥， ∴1AC ⊥平面1A BC ，而1//MF AC ，即M F ⊥平面1A BC ， ∴1MA F ∠就是直线1A M 与平面1A BC 所成的角，在1Rt MA F △中，1A M =1MF C E ==1MA F θ∠=，则1sin MF A M θ== 所以直线1A M 与平面1A BC②坐标法：根据（1），以点D 为原点，如图建立空间直角坐标系， ∵12AC BC CC ===，160A AC ∠=︒，且侧面11BCC B 是正方形， ∴四边形11ACC A 是菱形，设G ，H 分别是1C ，M 在底面上的射影， 连GH ，DH ，则1A MHD 为矩形，∵()0,0,0D ，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A，(1,M ， ∴()11,2,0A M =，(12,1,A B =，(10,1,AC =， 设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取()0,3,1n=，设直线1A M 与平面1A BC 所成的角为θ，则1123sin 25A M n A M nθ⋅==所以直线1A M 与平面1A BC19．（1）45NC =；（2【分析】（1）在侧面展开图中三角形MAP 是直角三角形，可以求出线段AP 的长度，进而可以求出PC 的长度，再由相似比可以求得CN 的长度．（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，从而得解； 【详解】解：（1）如图，将侧面11BB C C 绕棱1CC 旋转120︒使其与侧面11AAC C 在同一平面上，点P 运动到点1P 的位置，连接1MP ，则1MP 就是由点P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点M 的最短路线，设PC x =，则1PC x =，在1Rt MAP 中，由勾股定理得22(3)229x ++=， 解得2x =或8x =-（舍去），12PC PC ∴==， 1125PC NC MA P A==，45NC ∴=． （2）如图建立空间直角坐标系，则30,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，340,,25N ⎛⎫⎪⎝⎭，1,02P ⎫⎪⎭，则45PN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2,2PM =--，()3,2,0AP =，设面MNP 的法向量为(),,n x y z =，所以43053220PN n xy z PM n x y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=--+=⎩，令x =52z =，1y =，所以53,1,2n ⎛⎫= ⎪⎭，显然面ANM 的法向量可以为()1,0,0m =， 所以5310102n m ⋅=⨯+⨯+⨯=()23n =1m = 设二面角P MN A --为θ，则3cos42m n mnθ⋅===⋅sin θ==P MN A --20．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）证明：取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，先证//NPBC ，得到//NE DP ，然后利用线面平行的判定定理证得；（2）取DE 的中点O ，由面面垂直的性质定理得到MO ⊥平面DECB ，今后建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解. 【详解】（1）证明：取MB 的中点为P ，连接DP ，PN ，因为MN CN =，MP BP =，所以//NP BC ，即NEDP 为平行四边形， 所以//NE DP ，又DP ⊂平面MBD ,EN ⊄平面MBD ； 所以//EN 平面MBD ； （2）取DE 的中点O ，由平面MDE ⊥平面DECB ，且MO DE ⊥， 所以MO ⊥平面DECB ， 如图建立空间直角坐标系，不妨设2BC =，则M ⎛ ⎝⎭，1(,0,0)2D ，B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12MD →⎛= ⎝⎭，12DB →⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面BMD 的法向量为(,,)m x y z →=，则10221022MD mx DB m xy ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，即,x x ⎧⎪⎨=⎪⎩，令x =)1,1m →=-，又平面EMD 的法向量(0,1,0)n →=，所以cos,||||m nm nm n→→→→→→⋅〈〉==所以二面角B MD E--的余弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量方法求二面角问题，建坐标系前有主意利用有关定理进行论证，确定相关的垂直关系，才能建立空间直角坐标系.另外要注意根据实际图形考察二面角是锐角还是钝角，以实现法向量所成的角的余弦值与二面角的余弦值的转化，也可以考虑法向量的方向，若是一内一外的指向，法向量的角就等于二面角，否则是互补的关系.21．（1）证明见解析；（2）17【分析】（1）利用题中所给的条件证明AE ED⊥，BE DE⊥，因为//BC DE，所以BC BE⊥，BC AE⊥，即可证明BC⊥平面ABE；（2）先证明AE⊥平面BCDE，以E为坐标原点，EB，ED，EA的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD的一个法向量m，平面BDA的一个法向量n，利用向量的夹角公式即可求解【详解】（1）在图①中，连接BD，如图所示：因为四边形ABCD为菱形，60A∠=︒，所以ABD△是等边三角形.因为E为AD的中点，所以BE AE⊥，BE DE⊥.又2AD AB==，所以1AE DE==.在图②中，AD=222AE ED AD+=，即AE ED⊥.因为//BC DE，所以BC BE⊥，BC AE⊥.又BE AE E=，AE，BE⊂平面ABE.所以BC⊥平面ABE.（2）由（1）知，AE DE⊥，AE BE⊥.因为BE DE E⋂=，BE，DE⊂平面BCDE.所以AE⊥平面BCDE.以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A，)B，)2,0C ，()0,1,0D .因为P 为AC的中点，所以12P ⎫⎪⎪⎝⎭.所以311,2PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，12PD ⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =， 由00PB m PDm ⎧⋅=⎨⋅=⎩得102102y z z--=⎨⎪-=⎪⎩.令z =1x =-，y =(1,=-m . 设平面BDA 的一个法向量为()111,,n x y z =. 因为()BA =-，()0,1,1AD =- 由00BAn AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得11110z y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令11x =，z =y =(13n =，， 则11cos ,77m n m n m n⋅--===-⨯⨯，由图象可知二面角P BD A --为锐角， 所以二面角P BD A --的余弦值为17.22．（1）证明见解析；（2【分析】 （1）连接 AC ，可得//OE PC ，进而证明//OE 面PDC ；（2）建立空间直角坐标系，设(),,P a b c ，根据,PA PD PB ,得到方程组求出P 点坐标，再计算平面P AB 的法向量，利用向量夹角公式来求直线PC 与平面P AB 所成角的正弦值．【详解】解：（1）证明：连接 AC ，因为ABCD 为正方形，O 分别为BD 中点，所以O 为 AC 中点，故//OE PC ，因为OE ⊄面PDC ，PC ⊂面PDC ，所以//OE 面PDC ．（2）AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，过点A 且垂直底面ABCD 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，设(),,P a b c ，因为PAD △为等腰直角三角形，且斜边2AD =，所以PA PD ==由PB =即2222222222(2)2(2)8a b c a b c a b c ⎧++=⎪+-+=⎨⎪-++=⎩⇒121a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故点112P ⎛- ⎝⎭， 设平面PAB 的法向量为：(),,n x y z =，由()135********AB AP PC ⎛⎫⎛==-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，，，，，，，所以20102ABn x AP n x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y =0x =，2z =- 所以()032n =-，，， 设直线PC 与平面PAB 所成角为α，即()sin cos ,3PC nPC n PC n α=〈〉===⋅． 所以直线PC 与平面PAB ；。
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【巩固练习】1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都2，E ，F 分别是11,AB A C 的中点，则EF 的长是（ ）A ．C 1C2. 在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离是14，那么点P 到平面ABC 的距离是（ ）A ．13B ．11C ．9D ．7 3．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（）A ．21 B ．22C ．－21D ．04．若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5(2,1,)8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =，则=z y x ::________________。
5．已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ===,,，用a ，b ，c表示N M ，则N M =_______________。
6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则直线1DA 与AC 间的距离为。
7．如图，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1B 1和B 1C 1的中点。
（1）求点D 到BE 的距离； （2）求点D 到面BEF 的距离； （3）求BD 与面BEF 所成的角。
90，PA=1，AB=3，AC=2，PA⊥面ABC，求二面8．如图，三棱锥P-ABC中，∠ABC=︒角A-PC-B的余弦值．9．如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90︒，∠ADB=30︒.E、F分别是AC，AD的中点.(1)求证：平面BEF⊥平面ABC；(2)求平面BEF和平面BCD所成的角.O的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，10．如图所示，AF、DE分别是圆O、圆1OE AD.AB AC==,//AD=.BC是圆O的直径，68--的大小；(I)求二面角B AD F(II)求直线BD与EF所成的余弦值.11．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面PAB ； (Ⅱ)当k ＝21时，求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值； 12．如图，正四棱锥-S ABCD 的高2=SO ，底边长2=AB ，求异面直线BD 和SC之间的距离.13．如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为矩形，且AB=4，AD=2，AA 1=8，M 是BC 的中点，N 是A 1D 1的中点。
(1)求证：B 1M ∥面DC 1N ；(2)在棱DD 1上是否存在一点E ，使ME ⊥DC 1？若不存在，请说明理由；若存在，求DE 的长；(3)若点F 在DD 1上，且DF=2，求二面角C 1-FM-C 的大小。
14.如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E ，F 分别是BC ，PC 的中点。
（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为62E —AF —C 的余弦值。
15. 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC ，13A A 2AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =．（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．【参考答案与解析】 1.C ；【解析】如图所示，取AC 的中点G ，连EG ，FG ，A 11C 1GFEABC则易得EG ＝2，EG ＝1，故EF 5C2.D ；【解析】点P 在平面ABC 的射影为三角形ABC 的外心，由P 到△ABC 三个顶点的距离是14和勾股定理可得点P 到平面ABC 的距离为7. 3．D ；【解析】()cos ,OA BC OA OC OB OA BC OA BCOA BC⋅⋅-<>==cos cos330OA OC OA OB OA BCππ-==4．2:3:(4)-【解析】77(1,3,),(2,1,),0,0,44AB AC AB AC αα=--=---⋅=⋅=2243,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y ⎧=⎪⎪=-=-⎨⎪=-⎪⎩5．1()2b c a +- 【解析】11()22MN ON OM b c a =-=+- 6【解析】11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A C D A AC DA ==- 设1(,,),,,0,0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t =⊥⊥+=-+==令 则(,,)MN t t t =-，而另可设(,,0),(0,,),(,,)M m m N a b MN m a m b =--1,(0,2,),21,3m ta m t N t t t t tb t-=-⎧⎪-=+==⎨⎪=⎩，1111(,,),3339MN MN =-=+= 7．【解析】（1）以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz ，∵E 、F 分别是A 1B 1和B 1C 1的中点， ∴B （4，0，0），E （2，0，4），D （0，4，0）， 则BE =（-2，0，4），BD =（-4，4，0） ∴BD 在BE 方向上的射影为5BD BE BE⋅=∴点D 到BE 的距离为22412555BD ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)设n =（x,y,1）为平面BEF 的法向量，则n ⊥BE ，n ⊥BF ， ∵BF =（0，2，4），∴n BE ⋅=-2x+4=0, n BF ⋅=2y+4=0 ∴x=2, y=-2,∴n =(2,-2,1) ∴向量BD 在n 方向上的射影为163BD n n⋅=-∴点D 到面BEF 的距离为316 . (3)设BD 与面BEF 所成的角为θ，则sin θ=|cos<BD n ⋅>|=|BD n BD n⋅⋅|=423⨯|=232∴BD 与面BEF 所成的角是arcsin232。
8．【解析】以A 为坐标原点，,分别以AB 、AP 所在直线为y 轴、z 轴,以过A 点且平行于BC 直线为x 轴建立空间直角坐标系.在直角△ABC 中,∵AB=3，AC=2，∴BC=1 A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(1,3,0)，P(0,0,1).=AB (0,3,0)，=PC (1,3,1-),设平面PAC 的法向量m =(a,b,c)，则m ⊥AP ，m ⊥AC ，且AP =(0,0,1)，AC =(1,3,0)，∴⎩⎨⎧=+=++03000b a c ，不妨取m =(3-,1,0)， 设平面PBC 的法向量n =(e,f,g)，则n ⊥PB ，n ⊥BC ，且PB =(0,3,1-)，BC =(1,0,0),∴⎩⎨⎧=++=-+000030e g f ,不妨取n =(0,1,3)， cos<m ,n >=||||n m n m ⋅⋅=310013010++⋅++++=41,故二面角A-PC-B 的余弦值为41. 9．【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，取A(0,0,a).由∠ADB=30︒可得：),0,23,23(),0,3,0(a a C a D B(0,0,0),)2,23,0(),2,43,43(a a F a a a E . ∴3333(,,0),(0,0,),(,,0)442EF a a BA a BC a a =-== ∵00EF BA EF BC ⋅=⋅=，,∴ EF ⊥AB, EF ⊥BC. ∴ EF ⊥平面ABC ，又EF ⊂平面BEF∴ 平面BEF ⊥平面ABC.(2)作EE′⊥BC 于E′，)0,43,43('a a E 作FF′⊥BD 于F′，0,23,0('a F ，2''163a S F BE =∆ 3333(,,),(,,0)44244a BE a a EF a a ==-，显然0BE EF ⋅=，∴ BE ⊥EF∴106||||44BE a EF a ==， ，∴ 215,16BEF S a ∆= ∴2231516cos 1516aa θ==, ∴515arccos =θ，即平面BEF 和平面BCD 所成的角为515arccos .10．【解析】(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF, 故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角，依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450.即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD82cos ,||||10082BD FE BD EF BD FE ⋅<>===⨯ 设异面直线BD 与EF 所成角为α，则82cos |cos ,|10BD EF α=<>=直线BD 与EF 所成的余弦值为8210。
11．【解析】∵OP ⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA ⊥OB,OA ⊥OP,OB ⊥OP. 以O 为原点,射线OP 为非负x 轴,建立空间坐标系O-xyz 如图),设AB=a,则A(22a,0,0)，B(0,22a,0),C(-22a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h). (Ⅰ)∵D 为PC 的中点,∴21(,0,),2OD h =-又21(,0,),,22PA a h OD PA OD =-=-∴∥PA , ∴OD ∥平面PAB. (Ⅱ)∵1,2k =则PA=2a,∴7,2h a = ∴27(,0,),2PA a =-可求得平面PBC 的法向量1(1,1,7n =- ∴cos 210,30||||PA n PA n PA n ⋅<>==⋅.设PA 与平面PBC 所成角为θ,刚sin θ=|cos ,PA n <>|=30. ∴PA 与平面PBC所成的角为30. 12O-xyz ，则(22-A ， 22B ，(,,0)22-C ， (22--D ，(0,0,2)S . (2,∴=DB ，2(2)=CS . 令向量(,,1)=n x y ，且,⊥⊥n DB n CS ，则00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n DB n CS ，(,,1)0)000(,,1)(,,2)022⎧⋅=+=⎧⎪⎪∴⇒⎨⎨-+=⎪⋅-=⎩⎪⎩x y x y x y x y (2,x n y ⎧=⎪∴∴=-⎨=⎪⎩，∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：OC n d n⋅====13．【解析】(1)证明：如图，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，N(1，0，8)，B 1(2，4，8)，M(1，4，0)，C 1(0，4，8)1(1,0,8),(1,0,8)B M DN ∴=--=,1B M DN ∴=-又∵111B M DC N DN DC N ⊄⊂面，面,∴B 1M ∥面DC 1N ； (2)设E(0，0，x)，则1(1,4,),(0,4,8)ME x DC =--=由1(1,4,)(0,4,8)168ME DC x x ⋅=--⋅=-+易知，当x=2时，110DC ME DC ME ⋅=⊥，此时,1ME DC .⊥即由于0<2<8，故在DD 1上存在点E ，使得ME ⊥DC 1，此时DE=2(3)∵DF=2，由(2)知点F 与点E 重合。