固体物理学例题

2

xD
0
x 2 dx ex 1
T 0时，xD , 积分内为常数 E E T , Cv ( ) s T 2 T
3
例1：分别以定义和态密度计算自由电子的0K费米能。
• 方法1
电子 浓度
• 方法2
E 到 E+dE 间电子数 dN f ( E ) N ( E ) dE 总电子数 N dN
1 (m M ) 4mM 双原子链： 2 {1 [1 sin 2 aq]2 } mM (m M ) 2
M=m:
2
2 4 1 | cos aq | {1 | cos aq |} m m 2
得到等质量一维双原子链：
4 aq | cos | m 2

一维单原子链的振动模式密度
g ( )
2N
1


2 m
2
类似的， 一维双原子链的振动模式密度
几种简单情况下振动模式密度的表示 例2：计算三维长声学波在弹性波近似下的振动模式密度。
其中弹性波色散关系，
1.
由于波速(色散关系)与传播方向q无关， 故在q空间等频面为球面，球壳体积： 直接由态密度定义，dn = 密度*体积
0
Sk B k BT D /T e x x3 CV 2 dx =AT 2 v p 0 (e x 1)2
热容与温度平方成正比.
2
习题3.2
提示：
g ( )
2
3
V
ds q ( q )
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
补充例题 03 试做出简单立方晶格、面心立方晶格和 体心立方晶格的维格纳 — 塞茨原胞(Wingner-Seitz) WS原胞 —— 由某一个格点为中心 做出最近各点和次近 各点连线的中垂面 —— 这些包围的空间为 维格纳—塞茨原胞
补充例题 01 做出石墨烯Graphene 的原胞
Graphene

0
2 e / kBT S kB ( ) / kBT g ( )d 2 kBT (e 1)2 vp

0
2 e / kBT kB ( ) / kBT d 2 kBT (e 1)
做变量代换, x k BT
热容表示为，
SkB kBT D /T e x x3 D CV 2 dx, 其中 D v p 0 (e x 1)2 kB

0
f ( E ) N ( E ) dE
1, E EF T 0 K , f (E) 0, E EF
N
EF
0
N ( E ) dE
EF
0
VCE1 2 dE
(2m)
2
3 2
2 VC E F 3 2 3
where C
2
3
, n N /V
2
SkB kBT D /T e x x3 D 热容表示为， C dx, 其中 D V 0 2 x 2 vp (e 1) kB
2
高温时 ，
x
是小量， e x 1 x k BT
2
对积分内只保留x的一阶小量,
2
Sk B CV 2 vp
•
习题1.4
绘画石墨烯的普通原胞 和WS原胞
六角晶格特殊的晶面指数表示
- a1 a3
- a1
- a2
a2
- a2
a2
a1
[1, 1/2, 0] [2, 1, 0]
a1 [1,0,-1,0]
- a3
三指数晶向指数取与坐标轴的平 行四边形截距 (坐标)。
四指数晶向指数，取与坐标轴的垂直截距， 而非平行四边形截距。
证2：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 = vq。
• 色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维 情况下为圆环，圆环周长为： dl 2 q
qy
S g ( ) (2 ) 2
q qx

dl S 2 q 2 q (q) (2 ) v S v S g ( ) 2 v 2 v 2
Graphene (石墨烯) 的两种原胞取法， 每个原胞有2个碳原子
补充例题 02 做出石墨 Graphite的原胞
Graphite
A层
石墨原胞取法， 每层2个原子， 取两层 原胞有4个碳原子
B层
简单立方的WS原胞 ——原点和6个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体
面心立方晶格的WS原胞 —— 为原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成 的正十二面体
例3： N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S， 用徳拜模型计算比热, 证明其低温下与 T2 正比。
证：徳拜模型使用弹性波近似，色散关系为 = vq。
• 色散关系没有方向性(qx,qy 无区分), 等频率面在二维 情况下为圆环，圆环周长为： dl 2 q
qy
S g ( ) (2 ) 2
注：徳拜模型即使用弹性波 近似，色散关系为 = vq。
g ( ) 2
L 1 L 2 q (q ) v
D v

a
CV
D

0
2 e / kBT kB ( ) / kBT g ( )d 2 kBT (e 1)
例3： N个相同原子组成二维简单晶格，面积为S， 用徳拜模型计算比热, 证明其低温下与 T2 正比。

xD
0
x 2 dx ex 1
S g ( ) 2 v 2
S E 2 2 v 2 S k BT v2 2
3
二维简单晶格共有2支格波 ：

m
0
S k BT d E0 / k BT e 1 v 22
2
3

D
0
d k BT k BT e / kBT 1
FCC: a1 a( j k ) / 2, a2 a(k i ) / 2, a3 a(i j ) / 2
•
习题1.8 证明：倒格子矢量 G h1b1 h2b2 h3b3 数为 (h1 h2 h3) 的晶面系。
垂直于密勒指
习题二
提示1) ：
提示2) ：

习题：证明 • 二维自由电子的态密度(除以单位面积)为常数 ; • 一维自由电子的态密度(除以单位长度) ~ E-1/2 ； （并求出各自费米面处态密度）
2k 2 E 2m 4 V k3 3 2 3 S Z k ( k ) k 2 2 2 L 2k 2 dZ N (E) , dE
具有相同的值
k=0
例题2 计算简单立方晶格中由原子 s 态形成的能带
能量本征值 E (k ) i J 0
Rs Nearest
ikRs J ( Rs )e
s 态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同, 对于不同方向的近邻，有相同的值 具有相同的值
s 态波函数为偶宇称
• 先确定德拜频率 D： 二维格波总模式数 2N, 2 N
D

0
S S S 2 D 2 d 0 D vp2 2 v 2 2 v 2 p p
N vp S
g ( )
D
D 4
• 把态密度和德拜频率 D带入热容公式：
S 2 v 2
CV
D
练习 3.1
解释概念 • 格波 • 色散关系 • 声子
几种简单情况下振动模式密度的表示 例1：计算一维单原子链的振动模式密度。
— 最大频率
一维情况下 单位长度里的波矢密度： 每个波矢占据宽度
dq长度里的波矢数：
振动模式密度定义：
考虑到一个频率可以有
振动模式密度
两个值
g ( )
2N
1
2 m 2
弹性波态密度呈 现抛物线形。
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方法2.
V ds 直接利用公式： g () (2 )3 q( q)
由于波速(色散关系)与传播方向q无关，故在q空间等频 面为球面，ds 积分即该球面面积：
于是：
习题3.1
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.10
g () V ds (2 )3 q( q)

4 aq | sin | m 2
等质量一维双原子链：
4 aq | cos | m 2

4 aq | sin | m 2
一维单原子链：
等价性？
2

m
sin(
aq ) 2
等质量一维双原子链相当于取单原子链原胞两倍为晶胞，对应1BZ大小 减半，单原子链超出部分的色散曲线折叠入1BZ成为光学支，保持1BZ 总格波模式为 “N=原子数”-----------这也是为什么使用原胞概念.
其中ds为该支格波的等频面， 由于题中色散关系没有方向性 ds ，故为球面：

4 q 2
推广可以证明：如果色散关系 三维 二维 一维
习题3. 3
对一维简单晶格(一维单原子链)，按照徳拜模型，求晶格热容； 并证明高温热容为常数 NkB , 低温热容正比于 T。
• 固体物理教程--王矜奉 习题 3.13
q qx

dl S 2 q 2 q (q) (2 ) v S v S g ( ) 2 v 2 v 2

二维晶格有两支格波，一支横波、一支纵波， 速度分别为vL , vT 。
2 1 1 2 2 令 v p 2 vL vT
g ( )