数学思想方法在有理数中的体现与应用
“有理数”教学中数学思想方法的渗透
０ ０
【 １ 若 口 ，＞０ 且 ｉ ｌ ｌＪ 例 】 ＜０ ６ ， 口 ＜ 试用＜ “ ” 连 ｂ ＜ 号
接 口 ｂ －ａ 一６ ，， ， ．
分析 ： 由于 ａ ，＞０ 我们可 以知道 ｎ在原点 的左 ｄｏ６ ， 边， ｂ 而 在原点的右边． 同时 由于 ｌ ｊ 则 ｎ到原 点 ｌ Ｊ ｎ＜ ｂ， 的距离小 于 ｂ到原点的距离 ， 以它们 在数轴 上 的位 置 所
一
转 化思想 就是在研究解决 数学 问题 时 ， 人们通 常将 个未知的新 问题转化为一个 我们 已经熟 悉 的旧问题 ， 将一个 复杂的问题转化为一个 简单 的问题 ， 将难于理 解
是数形结合 思 想． 国著名 数 学 家华 罗 庚先 生 说 得 好 我 “ 数缺形时少知 观 ， 少数 时难 入微 ， 形结 合百 般 好 ， 形 数
可用 图 １ 示 ． 表
【 ３ 计算（ 例 】 一号） 一－） ＋１ ÷（ ７ ÷（ Ｃ ×（ 詈） － ）
分析 ： 这里既有乘法 ， 又有 除法 ， 常是利用转 化思 通
想， 将所 有 的除法转化 为乘法 ， 然后利 用乘法 运算 法则 进行运算．
０ ７ １
解： 原式一（ 专） （ 一 × ～昔） （ × ＋亡） 一 ×（ 号）
中学 教 学 参 考
教 学经 纬 … …
“ 理 数 ” 学 中数 学 思 想 方 法 的渗 透 有 教
安徽 长丰 县杨庙 中学 （３ １ １ 俞登超 ２ １４ ）
“ 有理数” 是沪科版七年级数学教 材的第 一章 ， 也是 同学们进入初 中以来最先接触 的数 学 内容 ， 它是整个初 中数学阶段最基础和最重要 的 内容 之一 ， 中蕴 含 了很 其 多重要 的数学思想． 所谓数学思想是对数学 知识 的本质认识 ， 是对数学 题 的结果 ， 这种数学思想方法 ， 我们 称之为 “ 分类讨论思
例谈数学思想在《有理数》中的运用
例谈数学思想在《有理数》中的运用数学思想是数学的精髓，是解决问题的制胜法宝．新教材七年级数学中蕴涵着许多十分经典的数学思想，这些数学思想在学生今后漫长的数学学习中将起到十分重要的奠基作用．下面就有理数内容里的数学思想作简单的归纳介绍．一、分类讨论思想在“有理数”这一章中，许多概念都是运用分类讨论的思想方法阐明的．整数和分数统称有理数，而整数又分为正整数、零、负整数，分数分为正分数和负分数．另外有理数又可分为正有理数、零和负有理数，这样的文字表达显得比较烦琐，实际教学中不妨使用分类图表示，则一目了然．绝对值概念用分类讨论思想来理解，则分为正数、负数和零三个方面．（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0．分类讨论思想同样运用在有理数的运算中，例如有理数的加法法则就是通过四种情形的讨论而概括出来的，它分同号两数、绝对值不相等的异号两数、互为相反数的两个数和任何一个数与0相加．另外，有理数的乘法、除法及乘方法则都是运用了分类讨论思想概括的．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行分类讨论．如比较和2a的大小，必须分a为正数、负数和0三种情况讨论．如已知求的值，本题应分a与b同号和异号两种情况讨论．二、数形结合思想在解决问题时，选择用图形来直观体现数量的关系，或用数量来体现图形的关系，这就是数形结合思想．比如，数轴上的点表示有理数，就是最简单的数形结合思想的运用，关于相反数的概念，课本中给出了定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，而由此定义，学生只能从形式上强行记忆概念，很难真正理解相反数的实质意义．如果运用数轴，则能形象地反映相反数的概念．在数轴上画出﹣2与2所对应的点，它们分别位于原点的两旁，且到原点的距离相等，由此学生就有了直观形象的认识．例如：已知a>0, b<0, 试比较a, b,﹣a,﹣b．此种类型的题目借助数轴来分析，在数轴上可表示出a, b,﹣a,﹣b的位置关系，可使问题条理清楚，形象生动．三、化归思想将所要解决的复杂问题转化为另一个较易解决的简单问题或已经解决的问题即为化归思想．有理数的运算都是先确定符号，再计算绝对值，在符号确定后，绝对值的计算实际上就是小学里学过的算术．有理数的加法、乘法，化归为两个算术数的加法、乘法，例如，-1.2+(-5)=-(1.2+5),这是有理数的加法转化为小学算术中的加法．通过这样的化归思想训练，学生对有理数的各种运算关系就能透彻的理解，同时形成解决问题的转化意识．从以上可以看到，数学思想在有理数的学习中得到了充分的运用，我们教师在教学中应更好地理解和运用数学思想方法，加强对学生数学思想方法和思维能力的综合培养，让学生在学习数学的过程中逐步领悟、掌握和学会运用，促进学生思维方法和能力的全面提高．。
数学思想方法在有理数教学中的渗透
２ ０ １ ３ － ０ １
： ｒ ３ － 用 实 验 现 象 理 解 物 理 概 念
文／ 张 帆
摘
要： 初 中生刚接触物理 学科 ， 不好理解物理现 象和概念。农村学生受条件制约， 理解起来更难。所 以， 在农村教 学中， 利用常见
器材 ， 做实验， 效 果 会 更好 。
实验二 ： 浮力是浸在液体里 的物体 下表面和上表面受 到向上 以利用身边 的常见物体补充这样 的演示实验 ，使 学生对难 以理解
的压力和 向下的压力 的压力差产生的。 那 么， 浸在液体里 的物体就 的物理现象有 了具 体的感性认识 ， 变难 为易 ， 循序渐进 ； 对物理 知
一
定会受到液体 的浮力吗？ 我们来做如下实验 ： 取一个塑料矿泉水 识 的错误理解 ， 通过直观 、 形象 的动手操作加 以 自我 纠正 ， 这样 既
瓶子 ， 把底 和盖子去掉 ， 倒置后 ， 往里面放上一个乒 乓球 ， 再往里倒 能让学生学到知识又能提高他们 的动手能力。 水， 发现乒乓球并不 浮起来 ， 如 用盖子或手把瓶 口一堵 ， 乒乓球就
、 、 ． 、 、 、 、 、 ． 、 、 、 、 ． ’ ． ‘
教学中
实验三 ： 在比较用电器的电功率时 ， 关键要看它们两端的电压。
用电器电压与它 的电阻成反比， 因此 ， 两个用 电器 电功率 的大小不
做了一些实验 ， 通过实验帮助学生理解和掌握这些现象 和概念 ， 效 在 串联 电路 中， 用电器的 电压 与它 的电阻成 正 比， 在并联 电路 中 ， 我的具体做法是 ： ．
摘
要： 有理数是初中学生学习的第一个知识 ， 它的运算更是初 中数学的基本运算 ， 教师在授 课时除加 强数
有理数中的数学思想
运用数学思想解决有理数问题桂平市石咀二中 梁智华在数学的学习中，掌握一些必备的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学，更好的解题. 下面针对有理数中涉及的数学思想作简单举例分析。
希望对大家能有所帮助。
一、分类讨论思想.在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整。
例1、在数轴上与点3距离5个单位长度的点是__________。
解答的时候往往比较多的学生只是注意到点3的右边的点，而忽略了另一个点，应该分在点3的左边或右边来解求才完整。
例2、已知│a-5│=3，│b+3│=5,求a+b 的值。
析解：此题主要考查绝对值的意义. 因为│a │= 所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数，所以此题需要分为以下四种情况讨论求值：解：（1）、当a-5》0，b+3》0时，a+b=10（2）、当a-5》0，b+3《0时，a+b=0（3）、当a-5《0, b+3》0时，a+b=4（4）、当a-5《0, b+3《0时，a+b=-10例3、如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c b b a a ++的值. 析解：同样此题也是主要考查绝对值的意义。
因为a 、b 、c 是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值：（1）、当a 、b 、c 的绝对值都取本身时，原式为3.（2）、当a 、b 、c 的绝对值有两个取本身时，原式为1.（3）、当a 、b 、c 的绝对值有一个取本身时，原式为1-.（4）、当a 、b 、c 的绝对值都取相反数时，原式为3-.a a 》0-a a 《0c b a 0例4、已知｜x ｜=3，()412=+y , 且xy ＜0 ， 求x －y 的值。
偶次幂与绝对值一样都是非负数，所以同样要分类进行讨论，再结合所给的条件进行解决问题。
有理数中的数学思想方法
例 ２ 观 察 下列 按 顺 序 排 列 的 等 式 ： ａ ＝ 的路 程是 无方 向的 ， 指
．
１
１
１
１
１
１
３’ 一 ２一 一 ４’ 锄 Ｔ一 了’ ａ ４ ＝ 一 ４一 一 ６’ …’
．
解： （ １ ） 依题意得 ， 数轴为 ：
Ｄ Ｃ
Ｊ － — － － ． ． Ｊ Ｌ ． ． ． ． － Ｊ Ｌ ． ． ． ． ． ． Ｌ ． ． — － － － ● ． ． ． ． ． Ｊ ． — － － ＿ Ｌ
２， …， ， 故 一 ＿ ——一— — ， ｏ ＝一 ， … 以 １ ” ＝——一— — ２． ２ 一 ２ ＋２ ０ ３ ＝ ３一 ３＋
ｎ ＋
解 ：通 过 分 析 数 据 可 知 第 ｉ ｔ ／ ， 个等 式为 ：
１
（ ＝ 一
１
．
四 、算 法 思 想
思维 与形象思维 的结合 ， 使 复 杂 问 题 简 单 相 反 数 和 绝 对 值 的几 何 意 义 ， 巧 妙 运 用 数
化， 抽 象 问题具 体 化 ， 从 而 起 到 优 化 解 题 形 结 合 的思想 方 法 可起 到 事 半 功倍 的效 果 ．
２ ８
Ｔ １ ■ ｎ ｔ ｅ 慧 ｌ ｌ ｉ ｇ 数 ｅ ｎ 学 ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
数形结 合 的重点是研 究 “ 以形 助 数 ” ， 使 用 日村 ， 然 后 向 北骑 行 ９ ｋ ｍ￣ １ ］ 达Ｇ 村， 最 后 回 数 形 结 合 的方 法 ， 很 多 问题 便 能 迎 刃 而 解 ， 到 邮局 ．
且解法简捷 ．
二 、归 纳 思 想
（ １ ）以 邮局 为 原 点 ， 以向 北 方 向 为正 方
数学思想在有理数学习中的体现
数学思想在有理数学习中的体现卓立波在数学学习中，我们不仅要重视知识的形成过程，还要十分重视挖掘数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。
从初一开始养成在问题解决中自觉运用数学思想方法的意识，有着不可估量的意义，本文谈谈有理数学习中几种数学思想的体现。
一. 建模思想数学建模是指根据具体问题，在一定假设条件下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。
例1. 一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队。
老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何），能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？如果能够的话，请你设计一种方案：如果不能够，请说明理由。
分析：问题似乎与数学无关，却又难以入手。
注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转有可想象为进行一次运算，或者说改变一次符号。
我们能否设法联系有理数的知识进行讨论？让我们再发挥一下想象力：假设每个学生胸前一块号码布，上写“＋1”，背后有一块号码布，上写“－1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个“＋1”的“乘积”是“＋1”。
如果最后全部背向老师，则45个“－1”的“乘积”是“－1”。
再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”。
我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以（－1）”。
这样问题就解决了：每次“运算”乘上了6个（－1），即乘上了（＋1），故45个数的“乘积”不变，始终是（＋1）。
所以要乘积为（－1）是不可能的。
一道难题，通过构建数学模型––––被有理数的简单的运算别出心栽地解决了。
例2. 一艘轮船从A岛出发，向北偏东40度的方向航行，行至B处发现前方有暗礁，转向北偏西30度的方向航行至C处，欲使轮船回到原来的航向，轮船应（）A. 顺时针转10度B. 逆时针转10度C. 顺时针转70度D. 逆时针转70度分析：按常规思路，本题需待到学习了平行线有关知识后方能解答，但能由顺时针转，逆时针转联想到两个具有相反意义的量，如规定轮船逆时针转为“＋”，则轮船顺时针转为“－”，这样运用有理数加法较易得出正确答案为C。
“有理数”教学中要渗透四种数学思想方法
转化思想是解决数学 问题 的一种重要方法 ． 它在 于将 陌生的 、 复杂的问题转化为熟悉 的 、 简单 的问题 ． 有理数 的运算 中处处 体现 了转化思想 ． 如在有理 数的
加法基 础上 ， 利用 相反数概 念 ， 将有理数 减法转化 成 有理数加法 ， 使加减 法统一起来 ， 到代数 和的概念． 得 比如将 （ １ ） 一１ ） ＋ ） 化 成 １ ＋ ２ 一（ ０ 一（２ 转 ２＋１ ２同 ０— ．
果 发现它们在 某些方 面有相 同或类似之 处 ，那么 就 推 断它 们在其 他方 面也 可能 有相 同或 类似 之处 ， 这
就 是类 比思想方 法． 学生掌 握 的知识越来 越多 ， 要善 于比较不 同知识 之间的联系和 区别． 例 ３ 计算 ： １ 一 １ 一 ） 一 ０ ． ： （ ×（ ３ ）
在进行绝对值的教学时 ，应 充分借 助数轴这个工具 ， 或 一１ 因此求 ａ ， ＋ｂ的值应分类 讨论 ： 加强数形结合能力 的培养和训练 ， 以提高学生的解题
能力．
例 １ 已知有理数 ａ ｂＣ在数轴 上的对应位 置如 ： ，，
下 图 所 示 ， 简 ： 一 Ｉｌ Ｃ ｌ ｂ 化 ｔ １ ａ Ｉａ １ ｃ ＋—＋—．
分析： 小学 中 ， 我们 已掌握乘法分 配律 的运算 法
则 ， 中学 所学 的有 理数乘法 中， 在 我们 仍然可 以采用 同样 的方法． 理数 的乘法虽包 含 了小学 阶段 学过的 有 乘法 ， 但又有 区别 ， 特别 是如何处理 负号最为关键 ． 通
样 ， 有理数乘法 的基础上 ， 在 利用倒数 的概念将有理
常 的方 法是运算 中首先确定 计算结果 的符号 ，把 计 数的除法转化成乘法． 比如将（ ２ ÷（ 斗 ） 一 ） 一÷ 转化成 算转 回到小学 的正数运算 上 ， 得出计 算结果． 最后
有理数数学思想方法
“有理数”一章中的数学思想和数学方法数学知识内含着丰富的数学思想和数学方法，数学思想方法是数学的灵魂．只有掌握了数学思想方法，才能体会数学的奥妙，真正领会数学的精髓．数学思想方法，对形成一个人的数学素养是至关重要的．现归纳渗透在初中 “有理数”一章中的数学思想方法，供同学们参考．1．分类的思想方法在学习有理数、绝对值时，都体现了分类的分类的思想方法．如⎪⎩⎪⎨⎧负有理数零正有理数有理数 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0( )0( 0 )0( a a a a a a ⎩⎨⎧-=-)( 1)( 11为负整数为正整数）（n n n 有了分类思想，掌握了“不重不漏”的分类原则，能使思维变得更加严密，考虑问题更加全面．例1 （1）设a 是有理数，则|a |＋a （ ）．A ．是负数B ．是非负数C ．是正数D ．可能是正数，也可能是负数（2）若|a |＞a ，那么a 是 数．析解：上述两题中含有表示有理数的字母a ，可将a 分成正数、零、负数三种情况来考虑，得出（1）的答案应选B ；（2）应填“负”字．练习：已知|x |＝3，|y |＝3，且xy ＜0，则x ＋y 的值等于（ ）．A ．5或－5B ．1或－1C ．5或1D ．－5或－12．数形结合的思想方法数轴是理解有理数概念与有理数运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想．数轴的引进首次把数和形紧密结合起来，使我们能够生动、直观、简洁底阐明事物的本质．如相反数、绝对值，以及数的大小等概念在数轴上的几何解释，使这些抽象的代数概念变得易懂、易记、易掌握．有了数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示．数轴的应用很广泛，解决数的问题时要注意借助数轴来思考，它能使许多问题得到圆满的解答．有意识地形成“脑中有形，心中有数”，这对进一步学习数学是很有益处的．例2 已知a ＜0＜c ，ab ＞0，︱b ︱＞︱c ︱＞︱a ︱，化简︱a ＋c ︱＋︱b ＋c ︱－︱a －b ︱．析解：解这个题目的关键是确定a ＋c 、b ＋c 、a －b 的符号．根据a ＜0＜c 和ab ＞0，知b ＜0，又︱b ︱＞︱c ︱＞︱a ︱，于是可确定a 、b 、c 在数轴上对应的大致位置（如下图）． · ·· · · · 有数轴可知a ＋c ＞0，b ＋c ＞0，a －b ＞0．∴︱a ＋c ︱＋︱b ＋c ︱－︱a －b ︱= a ＋c –b －c －a ＋b ．例3 如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 离城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在一村庄建一个活动中心，使各村庄到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ）．城市A ．A 处 B ．C 处 C ．G 处 D ．E 处解：由题意得G 点离城市得距离为(20－4)÷2＋4=12 (千米)．把题图视为以城市处为原点，向右为正方形的数轴，假设活动中心设在P 点（P 为动点），则数轴上A 、B 、G 、C 、D 、E 、F 、P 分别表示数4、10、12、15、17、20、x ，于是七村庄到活动中心的距离之和为2019171512104-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x ．分别求出x =4、10、12、15、17、19、20时，上式的值分别为69、39、32、30、32、38、43．可见，当x =15时，上式的值最小．这说明活动中心应建在离城市15千米处的C 村．故应选B ．练习：a 、b 为有理数，且a ＜b ＜0，试比较a ＋b 、b －a 、a －b 、－a －b 的大小．3．化归转化的思想方法将所要研究和解决的问题化为已经学过的老问题加以处理的一种数学思想方法即化归转化的思想方法，它是研究和解决数学问题的一种基本思想方法．如在有理数加法的基础上， 利用相反数的概念化归出有理数的减法法则——减去一个数等于加上这个数的相反数，从而使有理数的加法与减法得到统一；又如在有理数的乘法基础上，利用倒数的概念化归出有理数的除法法则——除以一个数等于乘以这个数的倒数，从而使有理数的乘法与除法得到统一；再如利用绝对值的概念将有理数的运算化归为算术数的运算．可见，化归转化的思想方法是解决新问题、获得新知识的重要数学思想方法．b c - a O a - c数学思想和数学方法在以后的学习（不仅在中学，也不仅在数学课）中，会经常用到．我们还要继续学习一些新的数学思想方法，认真学好了，同学们将变得更聪明、更能干、更有数学头脑．牢固掌握了，同学们将终生受益．。
(人七)《有理数》中的数学思想
《有理数》中的数学思想安徽李庆社同学们在《有理数》一章的学习中，不仅要掌握数学知识和数学方法，同时也不能忽视蕴含于其中的数学思想．本文就《有理数》一章为中的主要数学思想的领悟和学习．举例说明如下。
一、分类讨论的数学思想方法根据问题的特点和要求，按照一定的标准，把所要研究和解决的问题分为几种情况或几个部分，然后再逐一进行研究和解决的一种数学思想叫做分类讨论思想．在《有理数》中，有理数加法法则和乘法法则就是运用这种思想总结出来的．这两个法则都是分两数同号、两数异号、两数中至少有一个是零三种情况进行探求的．掌握这些法则时也要领悟其中的数学思想，并能用这种思想指导自己的数学实践活动．例1 比较大小①2a和3a；②|a|+|b|和|a+b|．解：①当a＞0时，2a＜3a；当a＝0时，2a＝3a；当a＜0时，2a＞3a．②当a、b同号时，|a|+|b|＝|a+b|；当a、b异号时，|a|+|b|＞|a+b|；当a、b中至少有一个是零时，|a|+|b|＝|a+b|．故|a|+|b|≥|a+b|．例2 化简|x-1|．解：当x≥1时，|x-1|＝x-1；当x＜1时，|x-1|＝-(x-1)＝1-x．运用分类讨论思想解有关问题之所以有效，首先是化整为零，化大为小，使得每个小问题都变得容易；其次是分类标准本身提供了一个条件．应该注意的是，分类必须遵循两条原则：①分类标准必须统一；②既不重复也不遗漏．例3五个有理数a、b、c、d、e满足|abcde|＝-abcde，解由题设条件知，abcde＜0，而a、b、c、d、e满足abcde ＜0仅有三种情况：①二正三负；②四正一负；③五负．又因为对于任意非零有理数a，有二、数形结合思想方法利用数量关系来研究图形性质，利用图形性质来研究数量关系，即借助数与形的相互转化来研究和解决问题的一种数学思想叫做数形结合思想．在《有理数》中，数轴的引入使得数与形(直线上的点)联系起来了，这是数与形的初步结合．本章中体现这种思想的地方还很多．如利用数轴来说明相反数和绝对值的意义，从而使我们对相反数和绝对值有更深刻、更本质的认识；又如有理数大小比较的方法，有理数加法法则和乘法法则等都是结合数轴归纳总结出来的．例4若a＞0，b＜0，且a+b＜0，则a、-a、b、-b从小到大的顺序是______．分析：若由已知条件直接从“数”的关系上入手，则较为困难；若由已知条件借助于“形”(数轴)来解决，则极为简便．解：由已知可得|a|＜|b|，故a、-a、b、-b在数轴上可表示为于是，它们从小到大的顺序是b＜-a＜a＜-b．例5已知a＜0＜c，ab＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．解分析这个题目的关键是确定a+c、b+c、a-b的符号，根据已知可在数轴上标出a、b、c的大致位置，如图所示：很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0．用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想．“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识联系，激发学习的兴趣，培养思维品质，提高解题能力．三、逆向思考的数学思想方法采用与传统和习惯相反的方法来思考问题，从而找到解题途径的一种数学思想叫做逆向探求思想．学习数学只会顺向思考问题，顺向使用公式、法则等是远远不够的，还要善于逆向思考问题，逆向使用公式、法则等，这样可冲破习惯势力的束缚，消除思维定势的影响，跳出常规方法的圈子，从而合理巧妙地解题．如在《有理数》中所学的乘法分配律，我们既要重视其顺向运用，又要注意其逆向应用．例6计算下列各题：例7计算：分析：对于乘法分配律a（b＋c）＝ab＋ac有两种运用方法，一种是顺用公式，如上题中的（1），另一种是逆用公式，如上题中的（2），在做题时，应具体问题具体分析．解略。
有理数教学中如何渗透数学思想方法
观察视角新课程NEW CURRICULUM随着社会的日益进步和发展,数学所发挥的作用日益明显。
初中数学教学的最终目的是让学生会学,而不仅仅只是学会。
因此,在初中数学教学中,很有必要给学生渗透数学思想方法。
一、分类讨论思想的渗透分类讨论是一种较为重要的数学思想、逻辑方法,也是极为重要的解题策略,能够将归类整理的方法以及“积零为整、化整为零”的数学思想体现出来。
例1.比较a与2a的大小分析:本题是有理数教学中的典型例题,能够较好地体现分类讨论思想。
新生刚步入中学,他们通常只有正数的概念,很容易就会得出答案“2a跃a”,而这个答案并不一定正确,老师务必要合理引导学生分类讨论a的取值,以便能够对a与2a的大小进行正确的判断。
(1)当a<0时,a>2a;(2)当a=0时,a=2a;(3)当a>0时,a<2a。
例2.a=5,b=3,求a+b的值。
分析:学生如果没有建立起分类讨论思想,那么往往会脱口而出答案为8,但是8仅仅只是本题四个答案中的一个。
由绝对值的意义得知,a=5或-5,b=3或-3,因此a+b的值对应有四种情况。
(1)当a=5,b=3时,a+b=8;(2)当a=-5,b=3时,a+b=-2; (3)当a=5,b=-3时,a+b=2;(4)当a=-5,b=-3时,a+b=-8;所以a+b的值为8,-8,2或-2。
说明:当问题中的可能情况较多时,那么就应该全面、分类考虑到各种情况,分别得出相应的结论,切忌一概而论。
值得注意的是,各种情况分别讨论时应该注意不互相矛盾、不重不漏。
二、化归思想的渗透化归思想是一种解决有理数问题的重要思想方法,化归思想在有理数运算法则中处处有所体现。
例如,可以利用倒数概念,在有理数的乘法基础上化归出除法法则,并且统一有理数的乘除法,最终给学生演变出算术数的运算;可以利用相反数概念,在有理数加法的基础上化归出减法法则,并且统一有理数的加、减法,最终给学生演变出代数和的概念。
有理数中的思想方法
有理数中的数学思想方法有理数是整个代数的基础，有理数的运算是初等数学的基本运算，可以说有理数一章是整个初等数学的奠基石，它所蕴含的丰富内容深刻地反映了中学阶段许多重要基本数学思想方法。
同学们在学习有理数时除了数学基础知识和基本技能外，还应重视数学思想方法的认识。
这对今后的数学学习有很大的用处。
现就有理数内容里的几个数学思想方法分别给予说明。
一、比较思想方法所谓比较就是在思维中确定研究对象的相同点和不同点。
同学们要掌握的越来越多的知识，就要善于比较知识之间的联系和区别。
比如，有理数乘法和小学学习的乘法有什么联系呢？有理数的乘法包含了小学里学过的乘法，但又有区别，关键是如何处理好负数。
我们通常是运算中首先确定计算结果的数值符号，把计算转回到小学的正数运算上，最后得出有理数的计算结果。
而小学里做乘法运算只需直接进行计算。
这就是新旧知识的比较，在学习中我们要不断搞清新旧知识的联系、区别和解决的办法，好不断地推“陈”出“新”，比较最能帮助我们记忆。
二、逆向思想方法有理数内容里有好多知识存在着互逆的关系。
因而我们在学习知识的过程中，也应该逐步学会用逆向思维的方法去理解和巩固所学的知识，并能自觉地运用到解答问题后的检查中去，养成良好的自我检查习惯。
比如学习加法以后，就要研究加法的逆运算——减法。
类似的，除法是乘法的逆运算。
学了乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac，自然也会想到分配律的逆用，ab+ac=a(b+c)。
在学习了有理数的新运算——乘方以后，就会想到乘方是否有逆运算呢？例如2的平方是4，它的逆问题是：“什么数的平方等于4？“答案有两个，+2和－2”。
经常这样思考问题就有利于逆向思维的能力的提高。
三、化归思想方法化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。
在有理数运算法则中处处体现了这种化归思想。
在有理数的加法基础上，利用相反数概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到代数和的概念。
同样在有理数乘法的基础上。
在《有理数》教学中如何渗透数学思想方法
．
— 一 ，
－ 在《 有理 数 》 教 学 中如 何渗 透数
甲
想 方 法
徐 国 文
（ 安 庆 市 石 化 第 一 中学 ， 安徽 安庆 摘 要 ： 《 有理数》 是 沪科 版 初 一 数 学教 材 的 第 一 章 ， 有 些 重 要 的 数 学 思 想 方 法 蕴 藏 于其 中。 在 初 中数 学 学 习开 始 阶段 ， 就 有 意识 地 将 数 学 思 想 方 法 渗 透 于 日常教 学 中， 会 为学 生整 个 中学 阶段 的 学 习打好 基 础 。 关键词 ： 初 中数 学教 学 有 理 数 数 学 思 想 方 法
ｋ
， ｌ 口 — ｎ 办
于是有－ ｂ ＜ ａ ＜ 一 ａ ＜ ｂ 。 三、 归纳 递 推 的方 法 数 学 中的 归 纳 递 推 法 ， 尽管不全 面， 得 出 的 结 论 也 不 一 定 准确 ， 但 限 于 现 阶段 学 生 的 知 识 基 础 ， 对 于有些 问题 ， 既 没有 可 能 又 没 有 必 要进 行 严 密 论 证 。 如有理数的加法法则 。 就 是 从
们 原 来 所 熟 悉 的 旧解 法 。 这 就是 推 陈 出新 ． 例５ ： 求 函 数ｖ ＝ （ １ ＋ ｓ ｉ ｎ ｘ ） （ １ ＋ ｃ ｏ ｓ ｘ ） 的最 大 值 和 最 小 值． 析： 将 函 数式 右边 展 开 会 发 现 ， 解 析式 中 含 有 ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｃ ｏ ｓ ｘ 与 ｓ ｉ ｎ ｘ ・ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ 这 样 特 定 的两 项 ， 而 两 者 是 可 以相 互 转 化 的 ， 故 可 考 虑用ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｃ ｏ ｓ ｘ 表示ｓ ｉ ｎ ｘ ・ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ ． 从 而将 三角 函数 最 值 化 归 为 二 次 函数 的最 值 解 决． 解： ｙ ＝ （ １ ＋ ｓ ｉ ｎ ｘ ） （ １ ＋ ｃ ｏ ｓ ｘ ） ＝ １ ＋ ８ ｉ ｎ ｘ ＋ ｃ ｏ ｓ ｘ ＋ ｓ ｉ ｎ ｘ ・ Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ 令ｔ ＝ ｓ ｉ ｎ ｘ ＋ ｃ ｏ ｓ ｘ
数学当开“并蒂花”——数学思想与方法在《有理数》中的体现
否 则通 分硬 算是 很麻烦 的 ， 第３ 比得 出 ， 并 概 括 出有 理数 的加 法 法 则 ， 将 数 量 和 ， 过 程为 ： 先观察乘法算式 ３ ｘ 关 系 和 空 间形 式 巧妙 结 合 ， 让 学 生对 问也 许 学 生 不 借 助 数 形 结 合 思 想 根 ３ ＝ ９ ， ３ ｘ ２ ＝ ６ ， ３ ｘ １ ＝ ３ ， ３ ｘ Ｏ ＝ Ｏ ， 得 出 如下 本 就 做 不 出来 。 利 用 数 形 结 合 的思 抽 象 的 法则 深 信 不 疑 ， 容 易 理 解并 掌 规律 ： 随着后一乘数 逐次递减一 ， 积
握应用 。
想 方 法 求 解 一 定 要 充 分 发 挥 数 与 形 逐 次 递 减 三 。 然 后 类 比 得 出 ３ × （ 一
不 断 进 行 数 与 形之 间 的 １ 同时 ， 教 师 在 教 学 这 一部 分 时也 各 自的 优 势 ， ） ＝ 一 ３ ， ３ × （ 一 ２ ） ＝ 一 ６ ， ３ ｘ （ 一 ３ ） ＝ 一 ９ 。然 交换 ， 从 而方 便 、 快 捷 、 正 确 地 求解 。 应 时刻 注意 数 形 结 合 的应 用 ， 站在 学 后 再 观 察 下 面 的乘 法算 式 ： ３ ｘ ３ ＝ ９ ， ２ ｘ 生 的角 度 去 思 考 问题 ， 引 导学 生 在 运 用 这 一 数 学 思 想 时 要 充 分 考 查 数 学 问题 的条 件 和 结 论 之 间 的 内在 联 系 ，
字 母 取值 的所 有 可 能 情 况 ， 然 后 分类
讨论 。 再根 据 绝 对 值 的性 质 化简 。
三、 类 比
这 里 即使 没 有 指 明 用 数 形 结 合 的思 想 计 算 ， 教师 也 应 该 从 这 些 分数
在 教 材 中对 于 有 理 数 的乘 方 ， 可
数学思想方法在《有理数》中的渗透
探索篇•方法展示数学思想方法在《有理数》中的渗透杨海德（甘肃省武威市民勤实验中学，甘肃武威）摘要：数学思想方法对于学生学习数学具有非常重要的作用，所以在教学的过程中，教师不但要重视基础知识和基本技能的教学，更要关注数学思想方法的教学，让数学思想方法伴随学生一生。
关键词：数学；思想方法；渗透《义务教育数学课程标准》指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
”“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。
”所以在数学教学中渗透数学思想方法的教学显得尤为重要。
下面笔者就人教版七年级数学第一章《有理数》，谈谈其中对数学思想方法的一些渗透。
一、分类思想分类思想是初中数学教学中常用的一种数学思想方法，例如：有理数的分类、几何图形的分类等。
掌握分类思想方法，对于帮助学生理解知识的内涵和外延，加深对知识的理解的深度和广度具有非常重要的作用。
例如：试比较2a与a的大小关系。
本题对于刚刚将数域扩大到有理数范围的七年级学生来说，具有一定的难度，在他们的原有认知中只有a>0的概念，所以很容易做出2a>a的错误判断。
在解题过程中，教师应引导学生认识到在本题中，a可以是正数、负数，也可以是0。
所以本题应该分三种情况进行讨论，既当a>0时，2a>a；当a=0时，2a=a；当a<0时，2a<a。
在解题的过程中，只有引导学生根据问题的所有可能进行分类讨论才能使问题得以正确解决，但是也应该注意解决问题时不能相互重合与矛盾。
二、数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。
”数形结合是将数的抽象与形的直观相结合的最有效的方法，它将抽象的数具象化，有助于把握问题的实质。
例如：已知a、b互为相反数，它们之间的距离是8，且a>b，试求a、b的值。
本题的解答过程中，学生容易根据绝对值的概念，错误地给出±8的错误答案，如果教师引导学生画图分析，则可避免此类错误。
《有理数》教案设计中数学思想和学习方法的融合与转化
《有理数》教案设计中数学思想和学习方法的融合与转化作为中学数学的重要组成部分，有理数的学习对于学生掌握数学基本概念和方法，培养逻辑思维能力具有重要的意义。
而针对教师而言，设计具有创新性、针对性和可操作性的教案，则是保证学生有效学习和提升教学质量的必要途径。
如何在教案设计中充分融合数学思想和学习方法，实现知识的深度转化，具有很大的实际意义。
本文将围绕如何实现教案设计中数学思想和学习方法的融合与转化，从教学目标、教学方法、教学手段、教学工具和教学环节等方面进行分析和探讨。
一、教学目标在教案设计中，教学目标是非常重要的。
选定好合适的学习目标，有助于教师制定针对性教学流程，帮助学生掌握重要知识点，提高学生学习效率和兴趣。
在确定有理数教学目标时，教师应考虑学生已经具备的数学知识和学习能力，充分考虑学生的现实需要和未来发展需求，以便将目标设置到符合学生实际情况并能达到教学要求的范围内。
这里举一个例子，比如在教学有理数的四则运算（加、减、乘、除）时，目标的设置应该从以下几个方面考虑：1、对学生掌握有理数四则运算法则进行复习，并形成固定的计算步骤，避免出现疏漏和错误。
2、通过思考和解决相关问题，提高学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
3、加强学生关于数学语言表述和符号运用的能力，提高数学交流中的效率和精确度。
只有在考虑到这些问题后，教师才可以依据实际条件安排合理的教学内容和方式。
二、教学方法为了实现数学思想和教学方法的融合与转化，教学方法的选择非常重要。
为此，我们应该改变以往教学方式，引入多种有效教学方法，发挥各种教学方法的特点，利用不同教学方法之间的互补性，有助于促进学生的深度学习。
1、以运用性为主要特点的教学方法有理数的学习是一个漫长并需要进行大量练习的过程。
以运用性为主要特点的教学方法是非常重要的。
教师可以结合具体的教学内容，设计相应的数学思维题，让学生进行大量的实践练习，帮助学生掌握基本的运算法则和运算技巧，获取数学知识储备。
感受有理数中的思想方法
学生培养２０２４年１月下半月㊀㊀㊀感受有理数中的思想方法◉广西百色市田阳区实验中学㊀李肖华㊀㊀数学思想方法是数学学科的精髓,它蕴含在数学知识中,只有领悟了数学思想方法,才能真正体会数学的奥妙,才能触摸到数学的灵魂．掌握数学思想方法,有助于学生形成数学素养,在学习 有理数 时,主要有下面一些数学思想方法．１数形结合思想借助数形结合思想,能达到形象地理解㊁认识㊁处理代数问题的目的．我国著名数学家华罗庚曾说: 数缺形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休． 在数学中,数与形是我们主要的研究对象,它们的联系十分密切,且在一定条件下,数与形能互相转化,相互渗透．在 有理数 的学习中引入数轴,就是数形结合最简单的实例,用数轴上的点表示有理数,使学生对相反数㊁绝对值的意义有更直观的理解,也给学生比较有理数的大小提供了直观的方法;同时,用数轴来解释有理数的加法与乘法,学生也易于接受和理解．例１㊀如图１所示,数轴上A,B,C三点所表示的数分别为a,b,c,且A,B两点到原点的距离相等．计算:(１)a＋b,a b;(２)将a,b,c,－a,－b,－c按从小到大的顺序排列,并用小于号(等号)连接起来．图１分析:(１)观察数轴确定a,b的正负号及它们绝对值的大小,然后根据有理数加法法则确定a＋b的正负号,根据有理数除法法则确定ab的正负;(２)根据a与－a互为相反数,在数轴上画出－a的位置,同理确定－b,－c的位置,然后按照数轴上表示的数, 左边的数总比右边的数小 ,比较大小．解:(１)因为a,b在原点两侧,且到原点的距离相等,所以a,b互为相反数．故a＋b＝０,ab＝－１．(２)因为a与－a互为相反数,b与－b互为相反数,c与－c互为相反数,所以在数轴上表示它们的位置如图２所示．因为数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大,所以c＜b＝－a＜a＝－b＜－c ．图２例２㊀如图３,观察数轴,我们发现:数轴上表示３和２的两点之间的距离是１;表示－２和１两点之间的距离是３;一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m－n|．图３(１)如果|x＋１|＝２,那么x＝;(２)若数轴上表示数a的点位于－３与５之间,则|a＋３|＋|a－５|＝．分析:(１)先把绝对值内部化为差的形式,然后根据|m－n|表示数m和数n的两点之间的距离,在数轴上找到与表示－１的点距离为２的点;(２)将绝对值内部化为差的形式,在数轴上把数a放在－３与５之间,求两个距离和．解:(１)|x＋１|＝|x－(－１)|＝２,它表示数轴上表示数x和－１的点之间的距离是２．如图４,观察数轴可以发现表示－３和１的点到表示－１的点之间的距离是２,所以x＝－３或１．图４(２)|a＋３|＋|a－５|＝|a－(－３)|＋|a－５|,这个式子表示数轴上表示数a和－３两点之间的距离,与数轴上表示数a和５的两点之间的距离的和．如图５,当表示数a的点在－３与５之间时,这两个距离和为８,所以|a＋３|＋|a－５|＝８．图５点评:与绝对值有关的计算问题,可以利用绝对值的代数意义求解,解答过程比较麻烦,但借助数轴,运用数形结合思想,解答非常简单,有利于学生理解和掌握,这或许就是数形结合的魅力吧．２转化与化归思想转化与化归思想,就是将一个复杂的问题转化为一个简单的问题,或者将新问题转化为旧问题,将陌生的问题转化熟悉的问题,从而实现问题的简单化处理．在有理数的运算中,处处体现了化归思想,如将减４４２０２４年１月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀法转化为加法,将除法转化为乘法,将乘方转化为乘法,在确定运算结果时,先确定符号再确定绝对值,将有理数运算转化为正数运算．例３㊀计算下列各式:(１)－２４－７;㊀(２)２０ː(－１６);(３)(－２)３．分析:(１)按有理数减法法则运算;(２)按有理数除法法则运算;(３)按有理数乘方法则运算．解:(１)－２４－７＝－２４＋(－７)(将减法转化为加法)＝－(２４＋７)(将有理数运算转化为正数运算)＝－３１．(２)２０ː(－１６)＝２０ˑ(－６)(将除法转化为乘法)＝－(２０ˑ６)(将有理数运算转化为正数运算)＝－１２０．(３)(－２)３＝(－２)(－２)(－２)(将乘方转化为乘法)＝－(２ˑ２ˑ２)(将有理数运算转化为正数运算)＝－８．例４㊀计算５０ː(１３－１４＋１１２)有以下三种解法:解法一:原式＝５０ː１３－５０ː１４＋５０ː１１２＝５０ˑ３－５０ˑ４＋５０ˑ１２＝５５０．解法二:原式＝５０ː(４１２－３１２＋１１２)＝５０ː２１２＝５０ˑ６＝３００．解法三:原式的倒数为(１３－１４＋１１２)ː５０＝(１３－１４＋１１２)ˑ１５０＝１３ˑ１５０－１４ˑ１５０＋１１２ˑ１５０＝１３００．故原式＝３００．在上述解法中,你认为哪种解法是错误的．请你选择正确的解法解答下列问题:计算:(－１４２)ː(１６－３１４＋２３－２７)．分析:乘法有分配律,但是除法没有分配律,所以解法一是错误的．解法二是先算括里面的,再算括号外面的;解法三是先算原式的倒数,再得原式的值．解:因为除法没有分配律,所以解法一错误．故原式＝(－１４２)ː(５６－３６)＝(－１４２)ˑ３＝－１１４．点评:解答数学问题的过程是将问题不断转化的过程,这种化归思想将伴随学生整个数学学习过程,即将学习的代数运算㊁方程与不等式的求解都涉及转化与化归思想的运用,在教学中,要引导学生不断体会这种数学思想．３分类讨论思想分类讨论是指当一个问题难以用统一的方法去解决时,将研究对象按一定的标准分解为几个小问题,然后逐一解决,通过小问题的解决从而实现大问题的解答．实际上,分类讨论是先将问题 化整为零 ,再将问题 积零为整 ．有理数中,绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,０的绝对值是０．有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数与０相乘仍得０．这些都是分类讨论．例５㊀若|x |＝３,|y |＝５,且x y ＜０,求２x ＋y 的值．分析:根据绝对值的意义,分别求出字母x ,y 的值,再根据它们的乘积为负,得到它们异号,进而确定x ,y 的值,代入代数式２x ＋y 求值．解:因为|x |＝３,|ʃ３|＝３,所以x ＝ʃ３．同理|y |＝５,|ʃ５|＝５,所以y ＝ʃ５．因为x y ＜０,所以x ,y 异号,因此x ,y 的值有以下两种情况:①x ＝３,y ＝－５,２x ＋y ＝２ˑ３＋(－５)＝１;②x ＝－３,y ＝５,２x ＋y ＝２ˑ(－３)＋５＝－１．例６㊀有理数a ,b ,c 满足a ＋b ＋c ＞０,a b c ＜０,则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＋|a b c |a b c＝．分析:根据三个数和为正,积为负,分析这三个数的正负号可能出现的情况,然后逐一讨论进行计算．解:因为a b c ＜０,所以负因数有１个或３个．因为a ＋b ＋c ＞０,所以至少有１个正数,因此符合条件的只有一种情况,即其中一个为负数,其余两个为正数,分为以下三种情况:①当a ＜０,b ＞０,c ＞０时,|a |a＋|b |b ＋|c |c ＝|a b c |a b c＝－１＋１＋１－１＝０;②当b ＜０,a ＞０,c ＞０时,|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝|a b c |a b c ＝１－１＋１－１＝０;③当c ＜０,a ＞０,b ＞０时,|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝|a b c |a b c＝１＋１－１－１＝０．故答案为０．点评:此题如果没有前面的两个限制条件,最后的结果可能有ʃ４,０三种情况,分类讨论的目的是克服思维的片面性,防止漏解,能使要解决的问题由大变小,由笼统变为具体,从而使问题得以解决．总之,在学习有理数有关知识的过程中,教师应积极引导学生加强对数学思想的学习和领悟,使学生能从较高的高度去认识数学知识,更本质地学数学㊁做数学㊁用数学．Z５４。
解析有理数中蕴涵的数学思想
解析《有理数》中蕴涵的数学思想同学们可能已经知道，我们所学习的数学知识好比是一棵大树的枝叶，而数学思想和数学思想方法就好比是这棵大树的树干.树干为枝叶的良好生长提高了丰富、充足的养分，同样数学思想和方法是数学知识的灵魂和纽带，它可以把若干的数学知识串联起来.因此，在平时的数学学习过程中，我们不仅要牢固掌握基础的数学知识，而且还要明晰其中蕴涵的数学思想和方法.这样，可以使得我们对数学知识有更加系统、深刻的了解和认识，同时也能做到对数学知识的高瞻远瞩、综观全局.下面就和同学们一起对《有理数》一章中的数学思想进行回顾、总结.一、分类讨论的思想我们在研究解决有关问题的时候，常常根据问题的特点和具体要求，按照一定的标准，把这个问题分为若干种互不重复的情形，然后加以处理的一种数学思想就称为分类讨论的思想.分类讨论的思想在本章中体现得比较多，也比较充分.比如，对有理数的分类，我们可以有不同的分类标准，常见的有：（1）按照正负性分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负数正分数正整数正数有理数0；（2）按照整数、分数分：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0.在给出绝对值的意义时，也是分类说明的：正数的绝对值等于其本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0.同样，在给出有理数的加法法则时，也是通过分类的形式确定的：同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；两个数中有一个为0，和等于另一个加数.运用分类讨论的思想研究问题是非常有效的，它可以使得解决的对象更加清晰明了，把问题变大为小，变笼统为具体，最根本的是达到了容易解决问题的目的.当然，我们也要清楚，分类时必须遵循标准统一，不能重复也不能遗漏的原则.【例1】若a是有理数，|a|-a能不能是负数?为什么?思路分析：a是有理数．它可能是正有理数、负有理数或0，故需分a>0，a=0,a<0三种情况讨论。
有理数的数学思想总结
有理数的数学思想总结有理数是数学中一类重要的数，其思想涵盖了从整数到有理数的扩展，是我们日常生活中最常接触到的数。
有理数的数学思想包含了以下几个方面：首先，有理数的概念是通过将整数进行扩展得到的。
整数中包括了正整数、负整数和零，而有理数则在整数的基础上引入了分数。
有理数由一个分子和一个非零分母组成，其中分子可以是任何整数，分母是一个非零整数。
这种扩展使得数的表示更加灵活，能够更好地描述现实生活中的各种情况。
比如，有理数可以用来表示多种比例关系，如物品的价格、体积的比例等。
其次，有理数的数学思想还包含了分数的运算。
分数的运算包括了加法、减法、乘法和除法。
通过对分数的运算，我们可以进行更复杂的数学计算，并在实际问题中得到准确的答案。
分数运算的基本原则是分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；同时，分子与分母之间的关系保持不变。
比如，在分数的加减法中，我们需要先将两个分数的分母取公倍数，然后再按照相同的比例进行计算。
然后，有理数的数学思想还涉及到有理数的大小比较。
对于任意两个有理数，我们可以通过其分子和分母的关系来判断它们的大小。
当两个有理数的分子和分母都相等时，它们是相等的；当两个有理数的分子相等，但分母不同时，分母较小的数更大；当两个有理数的分母相等，但分子不同时，分子较大的数更大。
通过这种比较方式，我们可以对有理数进行排序，从而对现实生活中的各种情况进行比较和评估。
最后，有理数的数学思想还包含了有理数的分解与约分。
对于一个有理数，我们可以将其分解为整数部分和分数部分的和。
这种分解可以更好地理解和应用有理数，在实际问题中更精确地进行计算。
另外，有理数还可以进行约分，即将分子和分母同时除以同一个非零整数，以得到一个更简化的有理数。
约分使得数的表达更加简洁，更方便计算。
总的来说，有理数是数学中一类重要的数，其思想涵盖了从整数到有理数的扩展，包括了分数运算、大小比较、分解与约分等方面。
有理数的引入使得数的表达更加灵活，能够更好地应用于现实生活和数学问题中。
有理数中的数学思想
运用数学思想解决有理数问题桂平市石咀二中 梁智华在数学的学习中，掌握一些必备的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学，更好的解题. 下面针对有理数中涉及的数学思想作简单举例分析。
希望对大家能有所帮助。
一、分类讨论思想.在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整。
例1、在数轴上与点3距离5个单位长度的点是__________。
解答的时候往往比较多的学生只是注意到点3的右边的点，而忽略了另一个点，应该分在点3的左边或右边来解求才完整。
例2、已知│a-5│=3，│b+3│=5,求a+b 的值。
析解：此题主要考查绝对值的意义. 因为│a │= 所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数，所以此题需要分为以下四种情况讨论求值：解：（1）、当a-5》0，b+3》0时，a+b=10（2）、当a-5》0，b+3《0时，a+b=0（3）、当a-5《0, b+3》0时，a+b=4（4）、当a-5《0, b+3《0时，a+b=-10例3、如果a 、b 、c 是非零有理数，求cc b b a a ++的值. 析解：同样此题也是主要考查绝对值的意义。
因为a 、b 、c 是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值：（1）、当a 、b 、c 的绝对值都取本身时，原式为3.（2）、当a 、b 、c 的绝对值有两个取本身时，原式为1.（3）、当a 、b 、c 的绝对值有一个取本身时，原式为1-.（4）、当a 、b 、c 的绝对值都取相反数时，原式为3-.例4、已知｜x ｜=3，()412=+y , 且xy ＜0 ， 求x －y 的值。
a a 》0-a a 《0偶次幂与绝对值一样都是非负数，所以同样要分类进行讨论，再结合所给的条件进行解决问题。
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数学思想方法在有理数中的体现与应用
作者：罗正刚
来源：《读与写·教育教学版》2017年第05期
中图分类号：G632 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2017）05-0107-01
数学思想方法是人们对数学科学研究的本质及规律的深刻认识，它是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、观点、策略和指导原则。
它具有导向性、统摄性、迁移性的特点，它直接支配着数学的实践活动。
有理数是整个代数的基础，有理数的运算是中学数学的基本运算，它所蕴涵的丰富内容深刻地反映了中学阶段许多重要基本数学思想方法。
下面，本文就结合《全日制数学课程标准》中“有理数”的有关内容谈谈数学思想方法在教学的运用。
1 数形结合思想
“数形结合”是把比较抽象的代数问题与适当的图形结合起来借助形象思维去认识、处理问题的一种思想方法。
“数无形、少直观，形无数，难入微”，利用数形结合，可以将问题化难为易，化繁为简，便于学生直观理解，并提高形象思维能力。
数轴上的点表示有理数就是最简的数形结合思想的运用，它对于学生理解有理数的相反数概念、经验值概念，有理数大小的比较，以及有理数的加法，有理数的乘法等都有重要的帮助。
例如：“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”。
若学生从形式上强行记忆概念，很难真正理解何为相反数。
现在运用数轴（如图），在数轴上画出-3与3、-1.5与1.5所有对应的点，然后引导学生观察这些点所在的位置特征，可以看到，表示为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，且它们离原点的距离相等，这样学生就有了形象的认识，且它们离原点的距离相等，这样学生就有了形象的认识，不难理解了。
这种由数想形、以形助数的方法不仅能提高学生的数形转换能力，还能提高学生的迁移思维能力。
2 化归思想
所谓“化归”就是将所要解决的复杂问题转化归结为另一个较易解决的简单问题或已经解决的问题。
具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“复杂”转化为“简单”，这样学生学习时就容易理解和掌握了。
有理楼的知识上有许多地方都蕴藏着“化归”的思想。
而在有理数运算中体现的最为突出。
有理数的运算都是先确定符号，再计算绝对值，在符号确定以后，绝对值的计算实际上就是小学所学过的数的运算问题。
例如：计算：① -10+（-3），② -10-（-7），③（-3）÷1/2
解：① -10+（-3）
=-（10+3）（有理数加法转化小学所学的加法）
② -10-（-7）
=-10+7（有理数减法转化为有理数加法）
=-（10-7）（有理数加法转化为小学所学的运算）
③（-3）÷1/2
=（-3）×2（有理数除法转化为有理数乘法）
=-（3×2）（有理数乘法转化小学所学乘法）
可见，数学中利用化归思想方法，可以另辟蹊径，解决新问题，获得新知识。
教师若能在此章教学中，不失时机地对学生加以启迪强化其化归思维意识，那么在今后学习代数式的运算、解方程、函数变形等知识时，运用化归思想会更加意识化。
3 分类思想
分类思想是一种逻辑划分，它把数学对象划分为不同的情形，分别进行研究，它是数学发现的重要手段。
由于很多数学问题存在一些“不确定因素”，很难用“统一的标准”去解决，因此，必须把数学问题划分成“块”，然后针对不同的“块”采取相应的解决办法。
可以说，分类讨论的策略是“化整为零”，各个击破。
在文章中对相反数、绝对值的概念都是运用了。
分类讨论的思想方法研究的。
例如，有理数的绝对值概念是从正数、负数、零三个方面讨论。
（1）一个正数的绝对值是它本身。
（2）一个负数的绝对值是它的相反数。
（3）0的绝对值是0。
即 a= a a>0 0 a=0-a a
分类讨论思想不仅运用在本章的概念中，而且还多次运用在有理数的运算中。
例如，有理数的加法法则就是通过四种情形的讨论而概括出来的。
①同号两数相加，结果取相同的符号，并把绝对值相加（这里的同号又分为两加数同为正数或同为负数的情形）。
②绝对值不等的异号两数相加，结果取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③绝对值相等的异号两数相加（即互为相反数的两数相加）结果为0。
④任何一个有理数与0相加结果仍得这个数。
另外，有理数的乘法、除法及乘方法则都是运用分类讨论思想概括的。
由以上可以看到，数学思想方法在有理数中有了一些体现，这就要求我们以此为效载体加强数学思想方法教学。
在教学中笔者体会到：在数学教学中有目的渗透教学思想方法并让学生逐步领悟、掌握和学会运用数学思想方法，学生便可本质地学数学、做数学、用数学。