静电场习题课

E
Q 4 0 r
2
V
b
a
b E dr
a
Q 1 1 dr 2 4 0 a b 4 0 r Q
1 1 Q 4 0V a b
V E r 2 1 4 0 r 2 1 r a b

Eq

E外
EQ
E外
qd i 2 2 3/ 2 2 0 ( d y )
q
Q
d O
X
qd E外 2 2 3/ 2 0 2 ( d y )
E外 E q EQ
5 一半径为 R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度 为 ρ= A r （ r ≤ R ），式中 A 为常数。求 （1）圆柱体内、外各点场强大小分布； （2）选距离轴线为 l （ l ＞R ）处为电势零点，计算圆 柱体内、外各点的电势分布。
E＝Eq＋EQ

q
Q d

EQ
Eq
E内=0

Eq E外 EQ
q
Q d
q
Q d
E内 E q EQ 0
E外 E q EQ 0
解：由分析可知
E q EQ
Y
E外 2 E q cos q d 2 2 2 4 0 ( d y ) d 2 y 2
分析1：设带电板的电势为U， q=0 时，U＝？ 分析2：第三块电板的厚度对U 有影响吗？
(q+q1) -q1 -(q+q1) q1 C2 C1
提示 q1 C1 V U q q1 C2 U C1 C 2 (1)
1 qd ) (2) U ( V 2 2 0 A
q
V
0 A
r
l

l
r
AR AR l dr ln 3 0 r 3 0 r
3
3
6. 电荷面密度分别为 +σ和 -σ的两块“无限大”均匀 带电平行平面，处于与平面垂直的 X 轴上的 +a 和 a 的位置上。设坐标原点 O 处电势为零。求空间的 电势分布表示式并画出其曲线。 解：由高斯定理得场强分布


解:（1）取高斯面，由高斯定理
E dS
S

V
dV 0
R
r
h
r R
E 2rh
1
r
0
Ar 2rhdr
0
2Ahr3 3 0
E1 Ar
r R E2
2
3 0
R 0
R
2rh
Ar 2rhdr
r
2AhR3 3 0
h
0
E 2 AR
r 1
2d
0V 2 S 0
3.黄铜球浮在相对介电常数为r 的油槽中,球的一 半浸在油中,球的上半在空气中,已知球上净电荷 Q,问球的上下部分各有多少电荷?(10.29)
分析：设上、下半球的电容和电量分 别为（C1、Q1）、 （C2、Q2），并假 设没槽足够大，可忽略边缘影响。 C1 Q1
静电场习题课
• • • • • 电势的计算 电势能，电场能的计算 电势和电场的相互推算 导体的静电平衡，电容的计算 有介质时高斯定理的应用，P，D，E，’ 的计算
1.两块面积为A的大平行导体板，相距为d，且有固定的电 势值，分别为0与V伏，若把第三块同样大小的均匀带 电薄板放置在现两板的正中央，此带电板所带电量为q. 则此带电板的电势为多少？
显然（1）=（2），即
2
Q0 Q0 Qx Q0 1 1 Q 4 0 rB 4 0 rA 4 0 a 4 0 R 4 0 r r A B
得
aQ Qx R
解法2:由静电屏蔽可知，对于A球壳外表面的总电 量而言，球壳A等效于实心导体球。
3
3 0 r
（2）由定义：
R
Ur
l R
l
r
E dr
r R U E1dr E2 dr
r

R
r
3 l AR Ar 2 A 3 3 AR3 l dr dr R r ln R 3 r 3 0 9 0 3 0 R 0


r R U E2 dr
W= A3
（2）K闭合，V恒定
Q ，W <0 ，A2 >0，A3>0
A3= W + A2
2.平行板电容器 S d r V 恒定,将电容器中介质全 部抽出,则此过程中(1)电容器贮能的改变量 W?(2)电场力克服电源非静电力作功A2=? (3)外力作功A3=?
解：介质抽出，C
0 r S
E 0
E0
源自文库
a x a
a
O
a X
xa, a x
(1) x a :
a U Edx 0 dx dx x x a 0 0 (2) a x a :
0 a 0
U
C2 r C1 1 (1) Q1 Q Q1 Q2 1 Q ε (2) r
ε r Q Q 1 2 Q 2 V 1ε C1 C2
C2 Q2
Q (3)
r
4.有一无限大接地金属板,在板前d处有一电量为q 的点电荷.试计算(1)金属板表面附近的电场强 度.(2)金属板表面上感应电荷面密度.
Q
V Vb E a 1 ab a 2 2 1 a a b
dEa 当 0时 da

b a 2
4V Emin a b
作业: 作业: 10.18 10.6 10.19 10.14 10.25 10.15 10.27 10.18
0
x
x Edx dx x 0 0
0
(3)a x :
U
0 a 0 x
a
O
a X
a Edx 0 dx dx x a 0 0
7. 在一接地导体球壳 A 内有一同心带电导体球 B ， A 外有电量为 Q 的点电荷。已知点电荷与体球壳 A 的球心距离为 R ，球壳 A 的外表面半径为 a。求 A 外表面的总电量。 解:设 B 球外表面带电为 Q，则 A 球内表面带电 0 为 Q0 ，A 球外表面带电为 Qx
d/2
(3)
1 q(d t ) 若第三块板厚为t , 则U [V ] 2 2 0 A
2.平行板电容器 S d r V 恒定,将电容器中介质全 部抽出,则此过程中(1)电容器贮能的改变量 W?(2)电场力克服电源非静电力作功A2=? (3)外力作功A3=? 分析：（1）K断开时， Q恒定 V，W>0， A2 =0，A3 >0
球心电势为
U0 U0 U A
rA
rA
rB
E dl
Q
rA
R
B
rB
A
a
Q0 Q0 1 1 dr 1 2 rB 4 r 4 0 rB rA 0
又球心电势为各带电体电势的代数和，则
Q0 Q0 Qx Q U0 4 0 rB 4 0 rA 4 0 a 4 0 R
球心的电势 U0 Qx 4 0 a Q 4 0 R ＝0
Q
rA
R
B
rB
A
a
aQ Qx R
8. 两半径为 a 、b （a＜b）的同心金属球面之间有电 势差 V ，问内球面的半径多大才能使这一表面附近的 电场最小(10.14作业题)。 解：设内球面带电量 Q， 则
a r b
d
C0
0S
d
, q CV q0 C0V
1 1 1 r 2 2 （ 1 ）电容器贮能改变：W＝ C0V － CV ＝ 0V 2 S 0 2 2 2d
(2) A2 (q q0 )V
r 1
d
0V 2 S 0
(3) A3 A2 W