高等数学B资料：数项级数补充例题
高等数学B(2)普通教学班考试大纲
《高等数学B2》考试大纲（普通教学班）适用专业：经济与管理各专业教材：《经济数学-微积分新编》，侯吉成主编，清华大学出版社，2014年参考书目：《经济数学-微积分》（第二版），吴传生主编，高等教育出版社，2009年。
一、考试的方式与题型考试方式：闭卷，考试时间120分钟题型：选择（15%）、简答题（15%）、计算题（49%）、应用题（14%）、证明题（7%）单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。
简答题只要求简单地写出解题过程和结果。
计算题、应用题和证明题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。
难度：基础题（1个知识点）：提高题（2个知识点）：综合题（3个及以上知识点）=5:3:2内容: 常微分方程（20%）；差分方程（14%）；无穷级数（20%）；向量代数与空间解析几何（12%）；多元函数微分学（22%）；多元函数积分学（12%）二、考试的目的和要求依据课程教学大纲要求，通过本课程的学习，要求学生比较系统地理解经济数学的基本概念和基本理论，掌握经济数学的基本方法，要求学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、考试的内容和要求（一）常微分方程（一）一阶微分方程考试内容：（1）微分方程的定义阶解通解初始条件特解；（2）可分离变量的方程；（3）一阶线性方程。
考试要求：（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解；（2）掌握可分离变量方程的解法；（3）掌握一阶线性方程的解法。
（二）二阶线性微分方程考试内容：（1）二阶线性微分方程解的结构（2）二阶常系数齐次线性微分方程（3）二阶常系数非齐次线性微分方程考试要求：（1）了解二阶线性微分方程解的结构。
（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（非齐次项限定为ax n e x P x f )()(=，其中)(x P n 为x 的n 次多项式。
高等数学：第二讲 数项级数的性质
目录
01 数项级数的性质
02
例题
1. 数项级数的性质
性质 1(1) 若级数 un 收敛， 其和为S ，则对 任意常数k ，
n1
级数 kun 也收敛， 其数项级数的性质
性质 1(2) 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与T ，
n1
n1
n1
性质 2 在级数中去掉或加上有限多项，不改变 级数的敛散性。
1. 数项级数的性质
性质 3 若级数 un 收敛，则不改变它的各项次序任意
n1
添加括号后构成的新级数 vm 仍然收敛且其和不变。 m 1
性质4 （级数收敛的必要条件）
若 un收敛， 则lim un 0
n1
n
（即
lim
n
un
0
un 发散）
n1
2. 例题
例1
讨论级数
3 2n 2 3n
n1
6n
的敛散性，若收敛求其和：
解
un
3
2n 2 3n 6n
3(1)n 2(1)n
3
2
因为级数
3(1)n n1 3
收敛,
其和为
1 1 1
3 2
级数 2 (1)n
n1
2
收敛, 其和为
1 1 1
3 2
2 所以由性质1（2）得原级数收敛，其和为
n1
n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为 S T 。
n1
两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
推论1：若级数 un 收敛，而级数 vn发散，
n1
n1
则级数 un vn 必发散。
n1
高等数学训练教程第二版课后练习题含答案
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08-09(2)高等数学B
江汉大学 2008——2009 学年第 2 学期一、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）1. =⎰4][dx x x ，其中][x 表示不超过x 的最大整数；2. 过点A(1,-2,3)且与平面2x +y -5z = 9垂直的直线的方程为 。
3. yxz arctan=, 则 =dz . 4. 设可微函数z = f (x 2-y 2 ,e xy ), 则xz∂∂= ，y z ∂∂= 。
5. 若⎰+=xdt t f x f 0)(21)(，则=)(x f .。
6. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n =_______________.7. 幂级数∑∞=+-0)1(3)1(n n nnx n 的收敛区域为 . 8. 若交换积分顺序，则=⎰⎰+-2212),(x x dy y x f dx。
9. 微分方程y ' =xyy x +的通解为 。
10. 微分方程 y"+y = x 的特解的形式可设为: 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 下列积分中，积分值为0的是（ ）.⎰-2 22cos .ππxdx x A ⎰202cos .πxdx x B ⎰-2 22sin .ππxdx x C ⎰2 02sin .πxdx x D2. 设f (x+y, x -y)=x 2 – y 2, 则=∂∂+∂∂yf x f （ ）。
(A) 2x –2y (B) 2x+2y(C) x+y (D) x-y3. 设),(y x f 在D 上连续，⎰⎰+=Ddxdy y x f x y x F ),(2),(，则=∂∂x F（ ）.A 2B ),(2y x f +C ),(2y x f x '+D ),(2y x f y '+ 4. 对于幂级数∑∞=13n n n x a ,有0lim1≠=+∞→a a a nn n , 则其收敛半径为( )A. aB. a 1C.3a D.31a5. 若21,y y 是某二阶线性齐次微分方程的解,则2211y c y c +是此方程的( )A.通解B.特解C. 解D. 全部解三、计算题（本大题共7小题，每题8分，共56分）1. 计算⎰-20|cos sin |πdx x x .2. 设z=z(x,y)是由方程z=f (x+y+z)所确定的隐函数, 其中f 具有二阶连续导数,求x z ∂∂,22x z∂∂3. 试求函数z = x 2 + y 2 在x + y = 1条件下的极值。
级数补充题——精选推荐
级数补充题⽆穷级数1. 已知数列{}n na 收敛，求证级数∑∞=--11)(n n na an 收敛的充要条件是级数∑∞=1n n a 收敛。
分析：考虑∑∞=--11)(n n na an 与∑∞=1n n a 的部分和n S 与n σ，验证n S n n na a +--=-01σ。
2. 设{}n u 是单调增加的正数数列，试证当{}n u 有界时级数∑∞=+-111n n n u u 收敛。
分析：11n 11n 0u u u u u u a n n n n -≤-=≤+++，验证级数∑∞=+-11)(n n n u u 收敛。
3. 设∑∞=1n nu为正项级数，{}n v 为正实数列，记11++-=n n n∑∞=1n nu收敛。
分析：验证级数∑∞=++-111)(n n n nn v u vu 收敛，使⽤⽐较判别法。
4. 设 3,2,1),1(21,211=+==+n a a ?a a nnn ，证明：（1）n n a ∞→lim 存在；（2）级数∑∞=+-111n n n a a 收敛。
5. 设n F 为斐波那契数列，10=F ，11=F ，n F 21--+=n n F F ，1>n 。
（1）证明11223--≤≤??n n n F ；（2）级数∑∞=01n nF 收敛，级数∑∞=2ln 1n n F 发散。
6. 设{}n a 满⾜不等式n k a a 1000≤≤，其中 ,2,1,2=≤≤?n n k n ，⼜级数∑∞=1n na→n n na 。
7. 若正项级数∑∞=1n na收敛，且{}n a 单调减少，证明：0lim =∞→n n na 。
(利⽤Cauchy 收敛原理)8. 若正项级数∑∞=1n na收敛，且{}n a 单调减少，证明：∑∞=+-11)(n n na an 收敛。
(⽤第1和上题)9. 设级数∑∞=>1)0(n n n u ?u 发散，⼜n n u u u S +++= 21，证明：（1）∑∞=1n nnS u 发散；（2）∑∞=12n nnS u 收敛。
数学分析12数项级数总练习题
第十二章 数项级数总练习题1、证明：若正项级数∑n u 收敛，且数列{u n }单调，则n ∞n nu lim +→=0.证：∵级数∑n u 收敛，∴n ∞n u lim +→=0，∴单调数列{u n }必递减.由柯西准则知，任给正数ε，存在N ，对n>N ，有0<u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 又当n>N 时，u N+i ≥u n , i=1,2,…,n-N ，从而当n>N 时，0<(n-N)u n ≤u N+1+u N+2+…+u n <2ε. 取n>2N ，则0<2n u n ≤(n-N)u n <2ε， 即0<nu n <ε (n>2N)，故n ∞n nu lim +→=0.2、若级数∑n a 与∑n c 都收敛，且不等式a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)成立. 证明级数∑n b 也收敛. 若∑n a 与∑n c 都发散，问∑n b 一定发散吗？ 证：∵a n ≤b n ≤c n ，∴ 0≤b n -a n ≤c n -a n ，又级数∑n a 与∑n c 都收敛， ∴正项级数∑)a -(c n n 收敛，根据比较原则，正项级数∑)a -(b n n 收敛， ∴∑n b =∑)a -(b n n +∑n a 收敛.若∑n a 与∑n c 都发散，∑n b 不一定发散，如：当∑n a =∑)n1(-,∑n c =∑n 1时，∑n a 与∑n c 都发散， 而∑n b =∑2n1满足a n ≤b n ≤c n (n=1,2,…)，但∑n b 收敛.3、若nn∞n b a lim+→=k ≠0, 且级数∑n b 绝对收敛，证明∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，能推得∑n a 收敛吗？证：∵n n ∞n b a lim+→=k ≠0, ∴nn∞n b a lim +→=|k|>0, 又∑|b |n 收敛， 根据比较原则知∑|a |n 收敛，∴∑n a 也收敛. 若只知道∑n b 收敛，则∑n a 不一定收敛. 如：取a n =n (-1)n+n 1，b n =n (-1)n ，则nn ∞n b a lim +→=n(-1)n1n (-1)lim n n∞n ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→n (-1)1lim n ∞n =1≠0, 且∑n b =∑n (-1)n收敛，但∑n a =∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n 1n(-1)n 却发散.4、(1)设∑n u 为正项级数，且n1n u u +<1，能否断定∑n u 收敛？ (2)对于级数∑n u ，有n1n u u +≥1，能否断定级数∑n u 不绝对收敛，但可能条件收敛?(3)设∑n u 为收敛的正项级数，能否存在一个正数ε，使得ε1n∞n n 1u lim++→=c>0. 解：(1)不能. 如取u n =n1，则n 1n u u +=1n n +<1，但∑n u =∑n1却发散. (2)不能. ∵n1n u u +≥1，∴|u n+1|≥|u n |≥|u 1|>0. ∴|u |lim n ∞n +→≠0，从而n ∞n u lim +→≠0，∴级数∑n u 发散.(3)不一定. 如：对收敛的正项级数∑p n1(p>1)，则总存在ε=p-1>0，有1)-p (1p ∞n n 1n 1lim ++→=1>0.但对收敛的正项级数∑n n1，却对任何正数ε，有ε1n ∞n n 1n 1l i m ++→=ε-1-n ∞n n 1lim +→=0.5、证明：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则级数∑n n b a 也收敛.证：若级数∑n a 收敛，)b (b n 1n ∑-+绝对收敛，则任给正数ε， 存在N 1，使当n>N 1时，对任何自然数p ，都有∑+=pn n k k a <ε，且存在N 2，使当n>N 2时，对任何自然数p ，都有|b b |k pn nk 1k ∑+=+-<ε.由)b (b n 1n ∑-+收敛知：其部分和数列)b (b k n1k 1k ∑=+-=b n+1-b 1有界，即|b n |<M(n=1,2,…).由阿贝尔变换知：当n>N=max{N 1,N 2}时，对任何自然数p 有：∑+=pn nk k kb a=∑∑∑+=+-+=+-++=++++-+⋯+-+-pn nk kp n 1p n nk k p n 1p n 1n nk k 2n 1n n 1n n a b a )b b (a )b b (a )b b (≤|b n -b n+1||a n |+|b n+1-b n+2|∑+=1n nk k a +…+|b n+p-1-b n+p |∑-+=1p n nk ka+|b n+p |∑+=pn nk ka≤ε∑-+=+-1p n nk k 1k b b+εM ≤ε(ε+M). 根据柯西准则，级数∑n n b a 收敛.6、设a n >0，证明级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是收敛的.证：∵a n >0，∴级数∑+⋯++)a 1()a 1)(a 1(a n 21n是正项级数，其部分和S n =∑=+⋯++n1k k 21k )a 1()a 1)(a 1(a =∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋯++-+⋯+n 1k k 211-k 1)a 1()a 1)(a 1(1)a 1()a 1(1 =1-)a 1()a 1)(a 1(1n 21+⋯++<1，即{S n }有界，∴该级数收敛.7、证明：若级数∑2n a 与∑2n b 收敛，则级数∑n n b a 和级数∑+2n n )b (a 也收敛，且(∑n n b a )2≤∑2n a ·∑2n b ，∑+2n n)b (a≤∑2na+∑2nb.证：∵|a n b n |≤2b a 2n2n +，且∑2n a 与∑2n b 收敛，∴∑n n b a 绝对收敛. 从而∑+2n n )b (a =)b b a 2(a 2n n n 2n ∑++也收敛.由柯西—旋瓦兹不等式：(∑=n1k k k b a )2≤∑=n 1k 2ka ·∑=n1k 2k b ，及明可夫斯基不等式：∑=+n1k 2k k)b (a≤∑=n1k 2ka+∑=n1k 2kb，令n →∞取极限，得证！。
高等数学b上教材习题答案
高等数学b上教材习题答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念与计算1.2 导数的几何意义与应用第二章：微分中值定理与导数的应用2.1 微分中值定理2.2 泰勒展开式2.3 各种形式的不定型2.4 一元函数的单调性与极值2.5 导数的应用第三章：不定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式3.3 第一类换元法3.4 第二类换元法3.5 分部积分法3.6 有理函数的积分3.7 函数的定积分与微积分基本定理3.8 第一类曲线积分与换元法第四章：定积分的应用4.1 轴线分割法与几何量的计算4.2 平面图形的面积4.3 等面积曲线第五章：定积分与微分方程5.1 不定积分与常微分方程5.2 可分离变量方程5.3 齐次方程5.4 一阶线性微分方程5.5 高阶线性非齐次微分方程5.6 简单常系数线性微分方程第六章：向量与多元函数的微分学6.1 向量的概念与运算6.2 曲线的切线与法线6.3 多元函数的极限与连续6.4 多元函数的偏导数6.5 隐函数与参数方程求导6.6 多元复合函数的导数6.7 多元函数的微分6.8 多元函数的极值与条件极值6.9 向量场与梯度第七章：多元函数的积分学7.1 重积分的概念与性质7.2 重积分的计算方法7.3 重积分的应用7.4 曲线与曲面积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数8.2 无穷级数的收敛性8.3 正项级数的审敛法8.4 幂级数的收敛性8.5 幂级数的和函数与展开式8.6 幂级数的运算8.7 幂级数的收敛半径与收敛区间第九章：多元函数积分学的应用9.1 空间曲线与空间曲线积分9.2 向量场与曲面积分9.3 散度与环量9.4 斯托克斯公式9.5 高斯公式第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 含有分离变量的一阶方程10.3 齐次方程与可降阶的齐次方程10.4 一阶线性微分方程10.5 二阶常系数齐次线性微分方程10.6 二阶常系数非齐次线性微分方程10.7 可降阶的线性微分方程10.8 二阶线性微分方程的振动方程以上是《高等数学B上教材》的习题答案，包括了各章节的主要内容和格式。
高等数学习题册 第十二章 参考答案
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
高等数学B2习(讲稿)例题解答
高等数学（B Ⅱ）复习例题解答第六章： 空间解析几何初步（1）向量平行和垂直的充要条件：例1 求{3,2,1}=a ，{6,4,}k =b ，若//a b ，则k = ；若⊥a b ，则k = 。
【解】//a b 32164k⇔==，故2k =；⊥a b 362410k ⇔⨯+⨯+⨯=，故26k =- 例2 求与{1,2,3}=a 及=+b i j 都垂直的单位向量。
【解】设{,,}x y z =c 与,a b 都垂直，则2300x y z x y ++=⎧⎨+=⎩ 或 33x zy z=⎧⎨=-⎩故与a 及b 都垂直的单位向量为03,1}===-c c c（2）求向量的模、方向余弦及方向角和两向量的夹角的方法：例1已知两点1}M =和2{3,0,2}M =，试求向量12M M 的模、方向余弦及方向角。
【解】由于12{34,01}{1,}M M =--=-，则 12(2M M =-=又因为1212111{1,}{,}222M M M M =-=-故方向余弦为 11cos ,cos cos 222αβγ=-=-= 方向角为 23,cos ,cos 343πππαβγ===例2 已知向量a 与b 的夹角为23π，又3,4==a b ，计算(32)(2)-⋅+a b a b 。
【解】22(32)(2)344-⋅+=-+⋅a b a b a b a b22222344cos(,)3344434cos613π=-+=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-a b a b a b 例3 设0++=a b c ，又3,1,2===a b c ，则⋅++=a b bc ca （ ） A. 1 B. 7 C. 1- D.7- 【解】选D. 注意到()()2()++⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅++a b c a b c a a b b c c a b bc ca（3）求平面方程的方法：例1 已知平面π与平面204570x y z --+=平行且相距6个单位，求π的方程。
数项级数部分(201308)习题及解答
¥ 1 发散，则 å un 也发散； n=1 cn n=1 ¥ ¥ 1 ³a （ a > 0 为常数） ， 且 å 收敛， 则 å un n=1 cn n=1 ¥
也收敛。 20.求级数 å
x 1
k +2 的和。 k ! ( k 1)!+ (k + 2)! + + k =1
17. 已知 lim nun 存在,
n ¥
å n(un - un-1 ) 收敛,证明: å un
n=1 ¥ n=1 ¥ n=1 n=1
¥
¥
收敛.
18.设数列 {an } 是单调的，而且 å an 收敛，试证： å n(an - an +1 ) 收敛。 19.设有正实数数列 {un },{cn } ，试证明： （1）若对于所有的正整数 n 满足： cn un - cn +1un +1 £ 0 ，且 å
¥ æ1ö 1ö ÷ 收敛，而 å f æ ÷ 发散。 ç ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç èn ø è nø n =1
24. 设 函 数 f (x ) 在 (-¥, +¥) 上 有 定 义 ， 在 x = 0 的 某 个 邻 域 内 有 一 阶 连 续 导 数 且
lim
x 0 ¥ f (x ) = a > 0 ，证明 å (-1)n f x n =1
当 a > 2 时， 取 b 使得 a > b > 2 ，则由于当 n 充分大时 ln(n !) ln n n n ln n ln n 1 ln n 1 < a = = a-1 = b -1 ⋅ a-b < b -1 na n na n n n n ¥ ¥ ln(n !) 1 收敛。 由 å b -1 收敛，故 å a n =1 n n =1 n 5.判别级数
数项级数经典例题大全（1）
数项级数经典例题大全（1）第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, () n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||q-11( 注意n 从0开始 ).2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 ,=n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--?-=+n n n ,) (∞→n . ? n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352?>?=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当2≥n 时,有∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11s i n n n n 的敛散性.(验证0→/n u .级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-?>+- 9、判断级数()()+-+??-+??+++??+)1(41951)1(32852951852515212n n 的敛散性.解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ?∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+?+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<="">∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ?∑+∞<. 13、判断级数∑??+21n n n 和∑??+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<="" p="" 判别法="" 时,="" 由leibniz=""> 收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈?x 收敛.证 ++??? ??-+=??+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21sin() 21sin() 21 sin(+=??--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ?∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数项级数经典例题大全
第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。
数项级数试题[整理版]
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（ —— 学年度第 学期）课程名称：数学分析(二) 试卷类型：数项级数一、填空题（每小题2分，共30分）1、交错级数()∑∞=-11n n。
2、若级数∑∞=1n n u 收敛，则nn u∞→lim = 。
3、级数∑∞=11n p n ，当p 时收敛，当p 时发散。
4、交错级数()∑∞=-21n xnn，当x 时绝对收敛，当x 时条件收敛。
5、若级数∑∞=1n n a 绝对收敛，数列{}n b 有界，则级数∑∞=1n n n b a（绝对收敛或条件收敛或发散）。
试卷不允许拆开6、若数列{}n a 收敛于a ，则级数()=-∑∞=+11n n n a a 。
7、当正数a 时，∑∞=+111n n a 收敛；当正数a 时，∑∞=+111n na发散。
8、级数()()∑∞=+-112121n n n = 。
9、级数∑∞=-1132n n = 。
10、级数nn n x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1!，当11、若∑∑∞=∞=1212,n nn n v u 收敛，则∑∞=1n nn vu （绝对收敛或条件收敛或发散）。
12、级数∑∞=1!n nn a （绝对收敛或条件收敛或发散）（0>a ）。
13、级数()n n 11∑∞=-。
14、由正项级数收敛的必要条件知=+∞>-2)!(limn n nn 。
15、若级数∑∞=1n n a 收敛，∑∞=1n n b 发散，则级数()∑∞=+1n n n b a 。
二、 计算题（共28分）1、判别下列级数的收敛性：（14分）（1）∑∞=03sin 2n n nπ； （2）nn n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112； （3）∑∞=1!n nnn ；（4）∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11cos 1n n ；（5）∑∞=+-12121n n n ；（6）()()0111>+-∑∞=x x x n n n n n ；（7）()()0,2,0,sin 1>∈∑∞=απαx n nxn 。
高等数学数列与级数试题
高等数学数列与级数试题1. 等比数列定义：若一个数列满足每一项与前一项的比相等，则称该数列为等比数列。
1.1 公式：通项公式：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$前n项和公式：$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$1.2 例题：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前8项和。
解：根据前n项和公式，代入$a_1 = 2$，$r = 3$，$n = 8$，可得：$S_8 = \frac{2 \cdot (3^8 - 1)}{3 - 1} = 5462$2. 等差数列定义：若一个数列满足每一项与前一项的差相等，则称该数列为等差数列。
2.1 公式：通项公式：$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$前n项和公式：$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$2.2 例题：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项和。
解：根据前n项和公式，代入$a_1 = 3$，$d = 4$，$n = 10$，可得：$S_{10} = \frac{10 \cdot (3 + (3 + 9 \cdot 4))}{2} = 235$3. 级数定义：将数列的各项相加所得的和，称为级数。
3.1 等差级数定义：若等差数列的各项相加所得的和为有限值，则称该级数为等差级数。
3.1.1 公式：等差级数的前n项和公式：$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$3.1.2 例题：已知等差级数的首项为2，公差为3，求前8项的和。
解：根据等差数列的前n项和公式，代入$a_1 = 2$，$d = 3$，$n =8$，可得：$S_8 = \frac{8 \cdot (2 + (2 + 7 \cdot 3))}{2} = 110$3.2 等比级数定义：若等比数列的各项相加所得的和为有限值（且公比绝对值小于1），则称该级数为等比级数。
级数典型例题
级数典型例题一个典型的级数例题是求和项为1/n^2的无穷级数，即S = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...这个级数被称为“巴塞尔问题”，并且已经被求和为π^2/6。
解法如下：我们可以尝试使用部分和的方法来解决这个问题。
设第n个部分和为Sn = 1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/n^2然后我们考虑Sn+1与Sn之间的差异，即Sn+1 - Sn，即第n+1个部分和与第n个部分和之间的差值。
我们可以观察到：Sn+1 - Sn = (1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/n^2 + 1/(n+1)^2) - (1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/n^2)= 1/(n+1)^2也就是说，Sn+1与Sn之间的差异可以通过加上1/(n+1)^2得到。
根据这个观察结果，我们可以得出以下结论：S1 = 1/1^2S2 = S1 + 1/2^2 = 1/1^2 + 1/2^2S3 = S2 + 1/3^2 = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2...Sn = Sn-1 + 1/n^2 = 1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/n^2因此，我们可以通过逐个添加每一个1/n^2的项得到整个级数的和。
由于这个级数是无限级数，我们可以尝试求得一个足够大的部分和，作为无穷级数的近似值。
例如，当n取1000时，部分和S1000的结果可以近似表示为：S1000 ≈ 1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/1000^2然后，我们可以逐步增加n的值，进一步逼近级数的实际和。
实际上，通过这种方法，我们可以不断增加n的值，直到得到非常接近于级数实际和的结果。
最终，当n趋向于无穷大时，这个级数的和是π^2/6。
级数典型例题
级数典型例题（实用版）目录一、级数概念的引入二、级数的分类三、级数的性质四、级数的求和方法五、级数的应用六、典型例题解析正文一、级数概念的引入级数是数学分析中的一个重要概念，它是指一个无穷序列按照一定规则排列，并赋予其一个数值，从而构成的一个数值集合。
这个无穷序列可以是数列、函数或者更复杂的数学对象。
级数在数学的各个分支中都有广泛的应用，如在微积分、概率论、数论等领域。
二、级数的分类根据项的性质，级数可以分为有穷级数和无穷级数。
有穷级数是指项的数量是有限的级数，而无穷级数是指项的数量是无限的级数。
根据项的符号，级数可以分为正项级数和非正项级数。
正项级数是指各项都非负的级数，而非正项级数则包括了各项可能有负数的情况。
三、级数的性质级数具有许多重要的性质，如收敛性、单调性、连续性、可积性等。
这些性质为级数的研究提供了重要的理论基础。
四、级数的求和方法求和是级数研究的一个重要问题，常见的求和方法有累加法、错位相减法、比较判别法等。
这些方法为级数的求和提供了有效的工具。
五、级数的应用级数在数学的各个领域都有广泛的应用，如在微积分中，级数是求解函数的重要工具；在概率论中，级数是描述随机过程的重要手段；在数论中，级数是研究数列性质的重要工具。
六、典型例题解析以下是一道级数的典型例题：求级数 1+1/2+1/3+...+1/n 的和。
解：设 S 为级数 1+1/2+1/3+...+1/n 的和，则有：S = 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n1/2 S = 1/2 + 1/3 + 1/4 +...+ 1/n两式相减得：1/2 S = 1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(n-1) - 1/n化简得：1/2 S = 1 - 1/n因此，S = 2 - 2/n，即级数1+1/2+1/3+...+1/n的和为2 - 2/n。
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—学学期《高等数学B》期末试卷A卷及答案
浙江理工大学2008—2009学年第二学期《高等数学B〉期末试卷(A卷)一、选择题小题，每小分24分)1、下列方程线性微分方((A) dy 2、3、4、5、6、考生姓名: 学号:班级:中,程2 2x yy ( B)xyy 2y2=0 (C) 1y ysi nx =cosxxF列级数中，属于条件收敛的是(B)oo (-1『sin Zn -1(C) (D)-1nn 3n 1微分方程2y「y'-y=0的通解是(x _2x (A) y 二Ge pe□a若数项级数’•二a n收敛，(A)设D:(A)(B) y = C i e_x 2x+ c2e (C) X 丄_x/2y = c1e c2e (D) y = Ge" c2e x/2S n是此级数的部分和, 则必有((本题共 6题4分，满是一阶有一n QO、a n n =i1 <x2若lim n—$】a n 1a n"r2dr(A) 2 ( B)二、填空题(本题共1、2、(B) lim S n= 0 (C) s n有极限(D) S n是单调的(B)I l v x2y2dxdyD2 二 4 20 " J dr(C)dr ( D)2 二0 1 rdrQO则幕级数’二a n x2n的收敛半径R =n =01/2 (C) 4 (D) 1/ 45小题，每小题4分，满分20分)8z设z = sin xy cos2xy 「点y2 2 x微分方程y二y e ,满足初始条件). y(0) - -2的特解为1 x交换累次积分的顺序.dx . f (x, y)dy =0 x23 2 2 1要使级数瓦5 一1收敛，实数P必须满足条件g n p三 计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）Qin Y2、 求dxdy ，其中D 是由y =x 和y = x 2所围成•Dx3、 求方程y" • 3y ： 2y = e*的通解.x n4、 求级数v的收敛域及和函数.n 』n5、 将函数ln （1 -x-2x 2）展开成x 的幕函数，并指出其收敛域 . 四、应用题（本题共 2小题，每小题8分，满分16分） 1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为2 2 ——c （x, y ）二 x 2y -xy（万元）若市场调查分析，共需两种机床 8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少?x 2y 2z 2= 3a 2与抛物面x 2 y 2 = 2az （a - 0）所围公共部分立体的体积cO五、证明题（本题满分 5分）设a b n 是收敛的正项级数,n =1Q Q5、幕级数n 丄2n(x-2)n4n的收敛域为1、设函数z 二z （x,y ）由方程x y - z = e z所确定，求'及 ex"z:x ：y2、利用二重积oOQO工（a n -a n收敛， 试证工a n b,绝对收敛.n #n T2008—2009学年第二学期《高等数学 B 》期末试卷（A 卷）答案CDDCAB1 y1. xcos xy -2xcosxy sin xy2. dy f x, y dx .3.0 y5o xp 4 . _ y = -2e 5 . (-4,4)_____ 3_■- ------------------------- -----------------------------1.F(x, y, z) = x y — z — e z,则：F x =1,F y =1,F z = T — e z ............... 1 分.:z F x 1:zF y _ 1:x F z _ 1 eF z 1 e zJz _1 :x :y (1 e z )2z:z e ....................................... y.5分.2. 解:(1 e z)3'..7 分.sin x1 xsin x .--------------------------------------- 3 分x 12dx (sin x_xs in x)dxx1 1=-cosx — [ xsin xdx=1—sini ----------------------- 7 分0七3. r 2 3r 2 二0山 _ _2, r 2 _ -1 ..................................................... 1 分 对应齐次方程通解：Y ^G e ^x C 2e^. ...................................... ..3分y = bxe:b=1 ........................................................................... 5 分所求通解：y =C r e2x C 2e^ xe^. ..................................................... .7分. 4.R = lim 計 n T^ an +A Ax =1, v ( -1)2—收敛;x =「1,八 一发散•收敛域(-1 , 1] .............................. 3分nFnn T nF x = 2x _y …=0F 「= -x • 4y • ■ = 0 解得 '=-7,x = 5, y = 3(6 分)F , x y -8 =0这唯一的一组解即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为:c(5, 3) =522 32-5 3 =28 (万)(8 分)---------- 4 分..1分 S(x)八(-1)nn T x .：：：x 一 . n —}"n:—oOn」' .0(-1)(-1)n」x n」}dx 「0n 吕n =1x1dx = l n(1 x) )1 x.7分.5.由In(1 —x —2x 2) =1 n(1 x)(1 —2x) =1 n(1 x) ln(1 —2x),nn 4 xQO且 ln(1 x)二' (-1)n 吕nx (-1,1] -------------------------□a (_o x )n2nn 」 n ln(1 -2x)二' (-1) x ,— n n m nn n所以 ln( 1-x-2x 2) = = (-1严亠—x n--------- 4分1 1 x [, ) --------- 6 分 2 2 z 八 n -1 n 、丁(-1) -2 nx ,四、1.解：即求成本函数c(x, y )在条件-y =8下的最小值构造辅助函数F x, y =x 22y 2-xy " '■ (x y _8) ( 2 分)解方程组2、利用二重积分的几何意义计算球面x2y2z2=3a2与抛物面x2y^2az(a - 0)所围公共部分立体的体积-2 2 2 ^2xyz 3a 22 c ： z =axy 2az所求立体在 xoy 面上的投影区域为： D : x 2y 2 < 2a 2 -------------------------- 2分由二重积分的几何意义所求立体的体积为2—)rdr 2a=2二 a'( 3 - —) ------------------------------------------------------ 8分6::m五、证明： 因为7 (a n-a n .i )收敛，所以部分和s m(a n -a n .J =印-a m .1有界，从而数列｛a n ｝有界 n £n =1即存在常数 M 0,使 |a |：：M(n =1,2,3,)，故 |a n b nMb n ( n=1,2,3,)Q QQ Q由于7 b n 是收敛的正项级数，由比较审敛法知，7 a n b n 绝对收敛•n 土n =1解:=.(.、3a 2 —x 2 —y 2D2 2x y .. )d- 2a-------------------------------- 5------------------------------------------- 7用极坐标计算得。