27.4直线和圆的位置关系 (1)
直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图 例题8图 例题9图 •A B P C EF •O 例题10图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图） （第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（ ） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图） （第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。
圆与直线的位置关系
直线与圆的位置关系27.4 直线与圆的位置关系一、知识要点：要点1：直线与圆的位置关系相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离相切：当直线与圆有唯一的公共点时，叫做直线与圆相切. 直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线 设⊙O 的半径为R ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则 直线l 与⊙O 相交R d >⇔直线l 与⊙O 相切R d =⇔ 直线l 与⊙O 相离R d <⇔要点2：切线的判定定理经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线二、例题讲解例1：在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，∠A=30°，AC=3cm ，O 为AB 上一点，BO=m ，⊙O 的半径21=r . 当m 在什么范围内变化时，BC 与⊙O 相离、相切、相交？例2：已知折线ABCD ，作∠ABC 、∠DCB 的平分线相交于点I ，又作IE ⊥BC ，E 是垂足. 以I 为圆心、IE 为半径作⊙I （1）请说明⊙I 与BC 必相切（2）⊙I 与AB 、CD 都相切吗？为什么？OABCIDA例3：已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，且BC=OB（1）如图I，过点C作射线CD，使∠ACD=30°，求证：CD是⊙O的切线（1）如图II，作弦AP，使∠PAC=30°，联结CP. CP是不是⊙O的切线？并说明理由巩固练习1：△ABC内接于⊙O，过点B作射线BP，使∠CBP=∠BAC. 求证：BP是⊙O的切线2：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边CB上自点C向点B移动，设CD=x，以CD为直径作⊙O（1）当x取何值时，⊙O与直线AB仅有一个交点？（2）当x取何值时，⊙O与直线AB有两个交点？没有公共点？3：已知两等圆⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，联结AB. 在⊙O1上作弦BC与弦AB相等，联结AC. 请判断直线AC是不是⊙O2的切线，并证明你的结论？BI IIO B OCDCA APOBPACODBACEAO1O24：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AD ＋BC=CD. 求证：以AB 为直径的⊙O 与CD 相切27.5 圆与圆的位置关系一、知识要点：要点1：圆与圆的位置关系外离：两个圆没有公共点时，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部叫做这两个圆外离 外切：两个圆有唯一公共点时，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部叫做这两个圆外切相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交内切：两个圆有唯一公共点时，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部叫做这两个圆内切内含：两个圆没有公共点时，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部叫做这两个圆内含 设两圆的半径分别为R 1和R 2，圆心距为d ，则：两圆外离21R R d +>⇔两圆外切21R R d +=⇔ 两圆相交2121R R d R R +<<-⇔两圆内切210R R d -=<⇔ 两圆内含210R R d -<≤⇔注意：（1）当R 1=R 2时，两圆不可能内切或内含（2）两圆外离或内含时，也可叫做两圆相离；两圆外切或内切时，也可叫做两圆O DCAB相切要点2：相交两圆连心线的性质相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦要点3：相切两圆连心线的性质相切两圆的连心线经过切点二、例题讲解例1：填空：（1）已知两圆的半径分别为5与2，且圆心距是3，那么这两个圆的位置关系是（2）已知两圆的半径分别为8与4，且圆心距是3，那么这两个圆的位置关系是（3）如果两圆的圆心距是7，且这两个圆的直径分别为6与8，那么这两个圆的位置关系是（4）直径分别为10与8，且圆心距是10的两个圆的位置关系是（5）已知一个圆的半径为4，另一个圆的直径为6，而圆心距是5，那么这两个圆的位置关系是（6）直径分别为8与6的两个圆相切，这两个圆的圆心距是例2：已知R、r（R>r）分别是⊙O1、⊙O2的半径，O1O2=d，且02222=-+-rdRdR，确定两圆的位置关系巩固练习1：若⊙O1、⊙O2的圆心距2=d，且⊙O2的半径r2=3,则⊙O1的半径r1为何值时，这两个圆：（1）内切（2）内含2：已知⊙O1 与⊙O2相交于点A、B，⊙O1的半径为15cm，⊙O2的半径为13cm，公共弦AB的长为24cm，求△AO1O2的面积3：△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=8（1）以AC 为直径，作⊙0，以B 为圆心、4为半径作⊙B.求证：（1）⊙0与⊙B 外切（2）设⊙B 的半径为R ，试就R 的变化范围说明⊙B 与⊙O 的位置关系课后练习1、△ABC 内接于⊙O ，AB=AC.已知⊙O 的半径为7，且圆心O 到BC 的距离为3.求腰AB 的长2、如图I ，在⊙O 中，CD 是弦，AB 是直径. AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F （1）求证：EC=DF（2）若将CD 向上平移，使它与直径AB 相交，其他条件不变，如图II ，试问（1）中结论是否成立？OBCAOBOD A CABE F3、已知AB为⊙O的弦，从圆上任意一点C引弦CD⊥AB，作∠OCD的平分线交⊙O于点P，联结PA、PB.求证：PA=PB4、在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6，BC=3，D在AC上，⊙D切AB于点E （1）求证：ADE∆～ABC∆（2）若⊙D与BC相交于点F，CF=2.求：CD的长（3）设CD=a，若⊙D与BC无公共点，求a的取值范围OB ACDPFED CBA。
直线与圆的位置关系(复习讲义)01(教师版)
直线与圆的位置关系（复习讲义）01 重点突破知识点一直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：直线与相离直线与相切直线与相交性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．知识点三三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心和外心的区别：外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。
作法：做三角形三边垂直平分线，取交点即为外接圆圆心。
性质：外接圆圆心到三角形三个顶点距离相等。
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。
作法：做三角形三角的角平分线，取交点即为内接圆圆心。
性质：内接圆圆心到三角形三边距离相离。
直角三角形三边和内切圆半径之间的关系：【考查题型】考查题型一判断直线与圆的位置关系【典例1】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定变式1-1．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、2为半径的圆，一定（）A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴相切，与y轴相离C．与x轴相离，与y轴相切D．与x轴相离，与y轴相离变式1-2．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定变式1-3在△ABC中，AB=13cm，AC=12cm，BC=5cm，以点B为圆心，5cm为半径作⊙B，则边AC所在的直线和⊙B的位置关系（）A．相切B．相交C．相离D．都有可能考查题型二已知直线和圆的位置关系求半径的取值【典例2】直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为3，则r的取值范围是( )rA．r<3 B．r=3 C．r>3 D．3变式2-1．若点B(a ，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为( )A ．a<－1B ．a ＞3C ．－1 <a < 3D ．a ≥－1且0a ≠考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离【典例3】已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，那么点O 到直线l 的距离是( )A ．2.5B ．3C ．5D ．10变式3-1．圆O 的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O 到该直线的距离可能是（ ）A ．2.5BC ．5D ．6变式3-2．设⊙O 的直径为m,直线L 与⊙O 相离,点O 到直线L 的距离为d,则d 与m 的关系是( )A ．d=mB ．d>mC ．d>2mD ．d<2m 变式3-3．O 的圆心到直线a 的距离为3cm ，O 的半径为1cm ，将直线a 向垂直于a 的方向平移，使a 与O相切，则平移的距离是（ ） A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．2cm 或4cm 考查题型四 切线定理【典例4】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°变式4-1．如图，已知AB 是O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O 的半径为4，6BC =，则PA 的长为（ ）A ．4B ．C ．3D ．2.5变式4-2．如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5，CD=8，则弦AC 的长为（ ）A ．10B ．8C ．D ．变式4-3．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上,且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于( )A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°变式4-4．如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70考查题型五 证明某条直线是圆的切线【典例5】如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上(异于点A ，B)，AD ⊥CD ．(1)若BC ＝3，AB ＝5，求AC 的长；(2)若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．变式5-1．如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O 交⊙O 于点C ，∠A ＝∠B ＝30°，连接BD ．求证：BD 是⊙O 的切线．变式5-2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，∠CAD=∠ABC ．判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．考查题型六 应用切线长定理求解【典例6】如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是( )A ．PA ＝PB B ．∠BPD ＝∠APDC ．AB ⊥PD D ．AB 平分PD变式6-1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝6，则△PCD 的周长为（ ）A ．8B ．6C ．12D ．10 变式6-2．如图，O 为ABC 的内切圆，10AC =，8AB =，9BC =，点D ，E 分别为BC ，AC 上的点，且DE 为O 的切线，则CDE 的周长为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．8变式6-3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，若∠A=25°，，若使DC 切⊙O 于点C ，则∠D 等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°考查题型七 应用切线长定理求证【典例7】如图，△ABC 中，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ．（1）已知∠C ＝90°．①若BD ＝6，AD ＝4，则⊙O 的半径r 为 ，△ABC 的面积为 ；②若BD ＝m ，AD ＝n ，请用含m 、n 的代数式表示△ABC 的面积；（2）若2AC BC BD AD ⋅=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由。
市北资优九年级分册 第27章 27.4 直线和圆的位置关系+黄世桥
27.4直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有几种上？我们通过从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？通过观察可以看到，直线与圆的公共点的个数有三种情况：没有公共点，有唯一公共点，有两个公共点．当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离，如图27.4.1(3)所示．当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，直线叫做圆的割线，如图27.4.1(1)所示． 当直线和圆有唯一公共点点，叫做直线和圆相切，如图27.4.1(2)所示．这时直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．我们知道，点到直线l 的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足的距离，按照这个定义，作出圆心O 到l 的距离的三种情况．图27.4.1设⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，与点和圆的位置关系类似，得到以下结论．图27.4.2直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ，如图27.4.2(1)所示； 直线l 和⊙O 相交⇔d ＝r ，如图27.4.2(2)所示； 直线l 和⊙O 相交⇔d ＞r ，如图27.4.2(3)所示； 通过直线与圆相切的关系，我们可以看到：切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．OllOAlO(1)(2)(3)O llO lO (1)(2)(3)dr d r dr A例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？(1)r ＝2 cm ；(2)r ＝2.4 cm ；(3)r ＝3 cm ．图27.4.3解：如图27.4.3，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在△ABC 中，AB5()cm ==． 根据三角形的面积公式有：12CD ×AB ＝12AC ×BC ， 所以，CD ＝34 2.45AC BC AB ⨯⨯==(cm)． 即圆心C 到AB 的距离d ＝2.4 cm ．(1)当r ＝2 cm 时，有d ＞r ，因此△C 和AB 相离． (2)当r ＝2.4 cm 时，有d ＝r ，因此△C 和AB 相切． (3)当r ＝2 cm 时，有d ＜r ，因此△C 和AB 相交．例2 如图27.4.4，在射线OA 上取一点A ，使OA ＝4cm ，以A 为圆心，作一个直径为4cm 的圆．问射线OB 与OA 所夹锐角α取怎样的值时，OB 与△O 相离、相切、相交？图27.4.4解：如图27.4.4，作AC ⊥OB 于C ．当相离时有A ＞2，α＞30°； 当相切时有AC ＝2，α＝30°； 当相交时有AC ＜2，0°＜α＜30°．ACB例3已知：如图27.4.5，在梯形ABCD 中，AD △CB ，△C ＝90°，且AD ＋BC ＝AB ，AB 为⊙O 的直径．求证：⊙O 与CD 相切．分析 欲证⊙O 与CD 相切，只需证明圆心O 到CD 的距离等于⊙O 的半径即可，故应过O 作OE △CD于E ．图27.4.5证明 过O 作OE △CD 于E ．∵AD ∥CB ，∠C ＝90°， ∴∠D ＝90°． ∴AD ∥OE ∥BC ． ∵O 为AB 中点， ∴E 为CD 中点． ∴OE ＝12(AD ＋BC )． ∵AD ＋BC ＝AB ， ∴OE ＝12AB ＝△O 的半径． ∴△O 与CD 相切(经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．ED练习27.4(1)1．直线l与半径为r的△O相交，且点O到直线l的距离为5，则r的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．2．在△ABC中，AB＝4，AC＝，若以A为圆心，2为半径的圆与直线BC相切，则△ABC的度数为＿＿＿＿．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是＿＿＿＿．4．在△ABC中，BC＝6，∠B＝30°，∠C＝45°，以A为圆心，当半径多长时所作的⊙A与BC直线相切？相交？相离？5．已知：如图，△O的半径为6cm，OD△AB，垂足为点D，△AOD＝∠B，AD＝12cm，BD＝3cm．求证：AB是△O的切线．第5题练习27.4(1)答案1．r＞52．105°提示：作AF△BC于F．△BAF＝60°，△CAF＝45°，所以△BAC＝△BAF＋△CAF＝60°＋45°＝105°3．0＜R＜6013或R＞124．提示：如图，过A作AF△BC于点F．在Rt△ABF中，BF＝AF·cotB，在Rt△CF A中，CF＝AF·cotC．又BF＋CF＝BC＝6，＋AF＝6，∴AF ＝3．第4题当以A 为圆心，半径r ＝3时，圆与BC 相切；当半径r ＞3时，圆与BC 相交；当0＜r ＜3时，圆与BC 相离5．提示：△OD △AB ，△△OAD 与△OBD 是直角三角形，又△AOD ＝∠B ， ∴△OAD ∽△BOD ，∴OD ADBD OD，即OD 2＝AD ·BD ． ∴OD ＝6cm ，∴OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线切线的判定定理的逆例题是真命题吗？圆的切线有什么性质？切线的判定定理的逆命题可以表述为：如果一条直线与一个圆相切，那么这条直线垂直于过切点的半径．我们来证明这个是真命题．已知：如图27.4.6，直线l 是△O 的切线，切点是A ． 求证：直线l ⊥半径OA ．图27.4.6证明 过圆心点O 作OB ⊥l ，垂足为点B ，则圆心O 到直线l 的距离等于OB 的长． ∵直线l 是⊙O 的切线， ∴OB 的长等于⊙O 的半径长．可知点B 在⊙O 上，即点B 是直线l 与⊙O 的公共点． ∵直线l 与⊙O 只有唯一的公共点，即切点A ， ∴点B 一定与点A 重合，得OB 与OA 重合． ∴直线l ⊥半径OA ．上面用同一法证明了圆的切线有如下性质：切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径．AB CF l。
圆和直线的位置关系公式
圆和直线的位置关系公式圆和直线的位置关系公式是数学中最重要的公式之一，用于计算圆和直线之间的位置关系。
圆和直线的关系可以用几何图形来表示，它们的位置关系可以用几何学方法来表达，这就是圆和直线的位置关系公式。
一、圆和直线的位置关系圆和直线之间的位置关系可以分为三种：相交、相切和内切。
1. 相交：圆和直线的位置关系，当圆和直线的位置关系是相交时，圆和直线有两个公共点，这两个点就是它们的交点。
2. 相切：当圆和直线的位置关系是相切时，它们有一个公共点，这个点就是它们的切点。
3. 内切：当圆和直线的位置关系是内切时，它们有一个公共点，这个点就是它们的内切点。
二、圆和直线的位置关系公式既然已经了解了圆和直线之间的位置关系，那么下面就要介绍圆和直线的位置关系公式。
1. 相交的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^22. 相切的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^23. 内切的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2上面的公式中，a，b是圆心的坐标，r是圆的半径。
三、应用圆和直线的位置关系公式不仅可以用来计算圆和直线之间的位置关系，还可以用来计算圆的面积和周长、求解三角形等。
1. 求圆的面积根据面积公式：面积=πr^2，可以算出圆的面积。
2. 求圆的周长根据周长公式：周长=2πr，可以算出圆的周长。
3. 求解三角形根据圆和直线的位置关系公式，可以求出三角形的三条边长，然后根据三角形的定理，可以求出三角形的其他属性。
四、总结从上面的介绍可以看出，圆和直线的位置关系公式是一个非常重要的公式，它可以用来计算圆和直线之间的位置关系，也可以用来计算圆的面积和周长，还可以用来求解三角形等。
因此，圆和直线的位置关系公式在几何学中具有重要的意义，是学习数学的重要基础。
直线与圆的位置关系
当直线与圆的位置关系是相交时，
知识梳理：
直线和圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 d 与 r 名称 的关系 直线 名称
相离 相切
没有
d>r
切点
一个
d=r d<r
切线
相交
两个
割线
练一练！
1、已知圆的直径为13cm，如果直线和圆心的距离分别为 （1）d=4.5cm （2）d=6.5cm （3）d=8cm，
d=r
时，直线与圆的位置关系是相离
时，直线与圆的位置关系是相切
当
d<r
时，直线与圆的位置关系是相交
想一想！
如果已知直线l与圆的位置关系分别是相离、相切、相
交时，圆心O到直线l的距离d与圆的半径r有什么关系？
r d
o l
r d
o l
d>r d=r d<r
r
o
d
l
设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r： 当直线与圆的位置关系是相离时， 当直线与圆的位置关系是相切时，
试猜想在BC是否存在一点P，使得⊙P与线段CD、
AB都相切，如存在，请确定⊙P的半径.
A D
B
30
C
；/sanreqi/weiyu/ 卫生间暖气片 卫浴暖气片 卫浴散热器 钢制铜铝小背篓暖气片 ；
向仲零王尪,道：“仲零王尪,难道你没有告诉鞠言战申,界碑世界内の禁区之地,是绝对不能进入の吗?那个地方,进去了就是死啊！据说,便是天庭大王,也不愿承受那样の恐怖.”“仲零王尪,鞠言战申进入界碑世界之前,你没与他说禁区之地呐个地方?”毕微王尪凝了凝眉,也出声问道, 不过他不是像秋阳王尪那样幸灾乐祸の申态.“俺确实是忽略了呐一点.”仲零王尪摇摇头,有些懊恼の说道.“鞠言战申误入禁区之地,恐怕要凶多吉少了.”天轮王国の万江王尪一脸惋惜表情说道.“也未必！鞠言战申实历极强,连伍拾分凶兽都能够斩杀！只要……他谨慎一些,意识到 禁区之地の非同寻常后立刻退出来,那应该没哪个问题.”仲零王尪说道,他似乎是在给自身打气.在场の几位王尪之中,他绝对是最不希望看到鞠言陨落の一个.“呵呵……”秋阳王尪不置可否の笑了一声.听到秋阳王尪の笑声,仲零王尪便是心中升腾怒吙,他很想抽秋阳王尪几巴掌.他很 着急.但是,没哪个办法,此事再与鞠言战申传讯,那于事无补,已经晚了.一切,就只能看鞠言战申自身,是否能及事の退出禁区之地.……界碑世界,禁区之地.鞠言の身影,快速の移动着,忽上忽下,忽左忽右.他,是在刻意の聚集禁地子兽.大量の绿色子兽和蓝色子兽,夹着少量黑色子兽,层 层叠叠の向鞠言扑杀.鞠言の动作很灵巧,总是能避开呐些凶兽の扑杀.偶尔被击中几次,以他强大の肉身防御,也能轻松扛得住.“鞠言战申在做哪个?”“呐是要干哪个?他是嫌自身四周の凶兽数量太少了吗?俺怎么感觉,他是在故意の聚集那些凶兽?他四周の凶兽,越来越多了.”几名混 元无上级善王,都瞪着眼睛不可思议の表情望着鞠言.“依俺看,他是绝望到疯狂了.他知道自身即将被吞吃,所以最后の呐点事间,再在俺们面前表演一下.”尹红战申嘴角挂着冷笑,阴声说道.“看他上蹿下跳の那样子！”尹红战申凶狠の又说道：“俺倒要看看他,还能蹦跶多久.”第三 零七八章一杀一片第三零七八章一杀一片(第一/一页)鞠言保持着身体极速移动,在他四周,大量禁区之地の子兽宛若滚滚洪流.那等恐怖の威势,即便是在远端の倪炯老祖、祝桦老祖等人都难免产生一种琛琛の无历感！鞠言战申,必死无疑！而由于引动の子兽数量实在是太多,所以哪怕 鞠言极历の闪避腾挪,他所遭受の攻击也是越来越多.哪怕是绿色子兽の攻击能历,都非常凶悍.鞠言能清楚の感知到,自身微子世界历量正在快速消逝着,他要抵挡子兽の攻击,所以要用微子世界の历量维持着肉身の防御能量.“差不多了！”鞠言眼申凝了凝.眼前,密密麻麻全是嘶鸣の子 兽,数量不知多少.“乾坤千叠击！”鞠言口中低沉の喝道.冰炎剑の剑身之上,层层剑幕凝现而出.每一层剑幕,都化为一个空间世界.“杀！”随着鞠言低喝声传出,剑幕空间,向着那一大片禁地子兽,镇杀了过去.而面对鞠言の乾坤千叠击善术,那些禁地子兽毫无退之意,它们保持着原有 の冲刺速度,继续疯狂の向着鞠言扑杀.顷刻之间,大量の禁地子兽,便冲入了乾坤千叠击の镇杀范围.每一层剑幕空间,都蕴含无穷の杀机.每一个空间世界,都充斥无数の剑芒,剑芒蕴含可怖历量.当呐些禁地子兽一头冲了进来,便立刻被绞杀.禁地子兽の凶残,在于其数量和攻击能历.若是 论防御,便是黑色の子兽,也不能与正常の拾分子兽相比.而拾分子兽,在鞠言の善术乾坤千叠击之下也撑不住两个回合.所以,只要是被笼罩进去の子兽,几乎是全军覆没.在远端,倪炯老祖、祝桦老祖等人,都能看到,那些本是冲向鞠言战申の子兽,成批量の倒在剑幕之中,而后化为世界内 の道则之历.仅仅是眨眼间,鞠言战申身前の大量凶兽,就空了一片.那一片凶兽,全部被斩杀掉了,死在乾坤千叠击呐一善术之下.“呐是怎么了?”倪炯老祖,目瞪口呆望着前方.“祝桦道友,你看到了吗?”倪炯老祖似乎是怀疑自身看花了眼或者产生了幻觉.祝桦老祖,则是对倪炯老祖叠叠 の点了点头,说道：“只是……呐怎么可能发生?鞠言战申,为何能一下子斩杀如此之多の禁地子兽?”祝桦老祖曾亲身与绿色子兽厮杀过,知道绿色子兽の真正实历,所以对于自身所看到の呐一幕,祝桦老祖比别人更为震惊和不解.“鞠言战申,已强大到呐种程度了吗?”倪炯老祖低声呢喃, 向是自言自语.若非亲眼所见,叫人实难信任.呐混元空间,竟然还有修行者,能够一招灭杀上百头禁地子兽！“狗屁の实历！俺看,是呐禁地子兽太弱！”尹红战申从愣申之中恢复过来,恶狠狠の说道.他开始怀疑关于界碑世界禁区之地の传言了.或许,禁区之地の凶兽,根本就没有想象中 の那名强大.或许,禁区之地凶兽の攻击能历还不错,但防御一定非常の弱.只要用群体杀伤善术,就能大量の斩杀禁区之地の凶兽.对,一定是呐样！“禁区之地の凶兽,防御一定极差.所以,那鞠言小儿才能如此大量の斩杀呐些凶兽.便是俺们,也能做到呐一点.”尹红战申再次开口对其他 人说道.而他说の话,竟也令在场多位混元无上级善王暗暗点头.显然,他们认为尹红战申说得有道理.否则,实在是无法解释他们所看到の呐一幕.如果禁区之地の凶兽真如传闻中那样恐怖,鞠言战申又怎么可能做到呐种程度の斩杀?鞠言战申实历再强,又能强到哪里去?千年之前,战申榜排 位
直线与圆的位置关系(1)
直线与圆的位置关系知识点睛一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：1.切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l⊥．②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB过圆心，AB l⊥，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l⊥，AB过切点M，则AB过圆心．l 2.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l3. 切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb cbaO F ED CBACBAC B A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-． 例题精讲一、直线与圆位置关系的确定【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是 A ．0≤xB．xC ．－1≤x ≤1D ．x【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？⑴ 9cm r =；⑵10cm r =；⑶9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且A B A D B C >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【巩固】如图，BC 是半圆O 的直径，点D 是半圆上的一点，过点D 作O 的切线AD ，BA DA ⊥，10BC =，4AD =，那么直线CE 与以点O 为圆心，52为半径的圆的位置关系是 ．二、切线的性质及判定【例4】 已知：O 为BAC ∠平分线上一点，OD AB ⊥于D ，以O 为圆心．以OD 为半径作圆O ．求证：O ⊙与AC 相切．【巩固】如图，ABC⊙与腰AB相切于点D，求证AC=，O是底边BC的中点，O∆为等腰三角形，AB AC与O⊙相切．【例5】已知：如图，ABC∠=∠．求证：AD是O的∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD切线．【巩固】已知：如图，AB是O∠．求⊙的直径，C为O⊥于D，AC平分DAB⊙上一点，MN过C点，AD MN证：MN为O⊙的切线．【例6】如下图所示，以Rt ABC∥交AB于E，⑴∆的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OE AC 求证：DE是O⊙的切线；【巩固】如下图所示，以Rt ABC∥交AB于E，求∆的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D，OE AC 证：DE是O⊙的切线．【例7】如图，已知OA是O=．求⊥，P是OA延长线上一点，且PA AC⊙的半径，B是OA中点，BC OA证：PC是O⊙的切线．【巩固】如图，AB是O∠=∠．求⊥于D．P在BA延长线上，且PCA ACD ⊙的直径，C点在圆上，CD AB证：PC是O⊙的切线．BP【例8】如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．【例9】 如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．【例10】 如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且P A P B =．（1）求证：PB 是O ⊙的切线．（2）已知1PA BC =，求O ⊙的半径．【例11】 如图，AB 为O ⊙的直径，D 是BC 的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于E ，O ⊙的切线BF 交AD 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）若3DE =，O ⊙的半径为5，求BF 的长．FAB【例12】 已知，如图在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的圆O 与AD AC 、分别交于点E F 、，ACB DCE ∠=∠．（1）判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan 2ACB BC ∠==，求O ⊙的半径．【巩固】如图，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的O⊙与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．（1）求证：CD与O⊙相切．（2）若正方形ABCD的边长为1，求O⊙的半径．【例13】已知：在O中，AB是直径，AC是弦，OE AC∠=∠，⊥于点E，过点C作直线FC，使F C A A O E 交AB的延长线于点D．（1）求证：FD是O的切线；（2）设OC 与BE相交于点G，若2OG=，求O半径的长；（3）在（2）的条件下，当3OE=时，求图中阴影部分的面积．【例14】如图，AB BC⊥，垂足为E．=，以AB为直径的O⊙交AC于点D，过D作DE BC（1）求证：DE是O⊙的切线；（2）作DG AB⊙于G，垂足为F，若308⊥交O，，求弦DG的长．A AB∠=︒=【巩固】如图，在ABC ∆中，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙与AC 交于点D ，过D 作DF BC ⊥，交AB 的延长线于E ，垂足为F ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）当58AB AC ==，时，求cos E 的值．【例15】 如图，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．EB【巩固】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点． （1）求证：BC 是O ⊙的切线； （2）EM M F =．D CB A【巩固】如图，AB 是O ⊙的的直径，BC AB ⊥于点B ，连接OC 交O ⊙于点E ，弦AD O C ∥，弦D F A B⊥于点G ．（1）求证：点E 是BD 的中点；（2）求证：CD 是O ⊙的切线；（3）若4sin 5BAD ∠=，O ⊙的半径为5，求DF 的长．【例16】 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且ECF E ∠=∠． （1）证明CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为1，且AC CE =，求MO 的长．A【巩固】如图，A 是以BC 为直径的O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．（1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O 的切线；（3）若FGBF =，且O 的半径长为，求BD 和FG 的长度．C课后作业1. 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O 与BC 的位置关系是________．2.如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B，3cm AB BC =，，则AOC ∠的度数是 ．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．EB4.已知：如图，C 为O ⊙上一点，DA 交O ⊙于B ，连结AC BC 、，且DCB CAB ∠=∠．求证：（1）DC 为O ⊙的切线；（2）2CD AD BD =⋅．- 11 - （1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．6.如图，等腰三角形ABC 中，10AC BC ==，12AB =．以BC 为直径作O ⊙交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O ⊙的切线； （2）求sin E ∠的值．AEC7.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分ACB ∠． ⑴ 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； ⑵ 试判断线段AC AD BC 、、之间的数量关系，并说明理由；⑶ 若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．。
27.4 直线与圆的位置关系(作业)(解析版)
27.4 直线与圆的位置关系（作业）一、单选题1．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）下列命题中真命题是（）A．平分弦的半径垂直于弦B．垂直平分弦的直线必经过圆心C．相等的圆心角所对的弦相等D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】B【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，切线的判定定理判断即可．【详解】A.平分弦（不是直径）的半径垂直于弦，本选项说法是假命题；B.垂直平分弦的直线必经过圆心，本选项说法是真命题；C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本选项说法是假命题；D.经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，本选项说法是假命题；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中相关命题正误的判断，熟练掌握垂径定理，圆心角、弦、弧的关系定理，切线的判定定理等知识是解决本题的关键．2．（2020·上海大学附属学校九年级三模）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线；B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线；C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线；D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线．【答案】B【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可．【详解】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合，故选：B．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，属于基础性题目，难度不大．3．（2020·上海九年级一模）已知在矩形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是（ ）A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内【答案】D【分析】根据点和圆的位置关系及直线和圆的位置关系判断即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝13，AB＝5，∴BC＝12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确，∵CD＝AB＝5＜12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确，∵AC＝13＞12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确，∵CD＝5＜12，∴点D在⊙C内，故D选项正确，故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的判定及点与圆的位置关系是解题的关键．4．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线【答案】C【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故A，B，D选项不正确，C选项正确，故选：C．【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．5．（2020·上海九年级一模）下列四个选项中的表述，一定正确的是（）A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；D．经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【答案】C【分析】逐一对选项进行分析即可.【详解】A选项中圆的切线不是经过半径上任一点，而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项错误；B选项中，必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.故该选项错误；C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项正确；D选项中，不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项错误.故选C【点睛】本题主要考查切线的意义和性质，掌握切线的性质是解题的关键.6．（2020·上海九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）A．4＜OC≤133B．4≤OC≤133C．4＜OC143£D．4≤OC143£【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，当⊙O与边AD相切时，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝133；即可得出结论．【详解】作DE⊥BC于E，如图所示：则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝133；∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤133；故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角梯形的性质，分情况讨论是解题的关键．7．（2020·上海九年级专题练习）在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<【答案】D【分析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，∴r 的取值范围是3＜r ＜4，故选：D ．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．8．（2020·上海九年级专题练习）已知⊙O 1与⊙O 2内切于点A ，⊙O 1的半径等于5，O 1 O 2=3,那么O 2A 的长等于（ ）A ．2B ．3C ．8D ．2或8【答案】D【分析】根据题意可知分两种情况讨论即可求解.【详解】根据题意可知分两种情况讨论：①O 1A ＞O 2A ，∵O 1A =5，O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A-O 1 O 2=2①O 2A ＞O 1A ，∵O 1A =5，O 1 O 2=3,∴O 2A= O 1A+O 1 O 2=8故选D.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是根据题意分情况讨论.9．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）如图，O e 的半径为4，点A ，B 在O e 上，点P 在O e 内，3sin APB 5Ð=，AB PB ^，如果OP OA ^，那么OP 的长为( )A ．53B ．3C ．95D ．43【答案】D【分析】如图，连接OB ，作BM OP ^交OP 的延长线于M ，作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形，推出A 、O 、P 、B 四点共圆，根据圆周角定理得到BOP BAP ÐÐ=，根据三角函数的定义设BM 4k =，OM 3k =，根据勾股定理得到4k (5=负根已经舍弃)，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，连接OB ，作BM OP ^交OP 的延长线于M ，作AN MB ^交MB 的延长线于N.则四边形AOMN 是矩形，AOP ABP 90ÐÐ==o Q ，A \、O 、P 、B 四点共圆，BOP BAP ÐÐ\=，3sin APB 5Q Ð=，4tan BAP 3Ð\=，4BM tan BOM tan BAP 3OM ÐÐ===，设BM 4k =，OM 3k =，在Rt OMB V 中，222(4k)(3k)4+=，解得4k (5=负根已经舍弃)，16BM 5\=，12OM 5=，4BN MN BM 5=-=，MBP BPM 90o Q ÐÐ+=，MBP ABN 90ÐÐ+=o ，BPM ABN ÐÐ\=，BMP ANB 90ÐÐ==o Q ，BMP \V ∽ANB V ，PB PM AB BN\=，4PM 435\=，16PM 15\=，4OP OM PM 3\=-=．故选D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．二、填空题10．（2020·上海市建平中学西校九年级月考）在Rt ABC V 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，若以点C 为圆心，以2cm 长为半径的圆与斜边AB 相切，那么BC 的长等于_____．【答案】【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得CD AB ^，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得45B Ð=°，然后在Rt BCD V 中，根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．【详解】如图，设圆与斜边AB 的切点为点D ，连接CD ，则2CD cm=由圆的切线的性质得：CD AB^90,C AC BCÐ=°=Q Rt ABC \V 是等腰直角三角形，45B Ð=°Rt BCD \V 是等腰直角三角形2,CD BD cm BC \====故答案为：．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，掌握理解圆的切线的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级一模）两圆的半径之比为3:1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为__________．【答案】2【分析】只需根据两圆的半径比以及两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，列方程求得两圆的半径；再根据两圆内切时，圆心距等于两圆半径之差求解．【详解】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R＋r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3−1＝2．故答案为：2．【点睛】此题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．解题的关键是正确的求出两个半径．12．（2020·上海九年级专题练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为______.【答案】12 5【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD.【详解】设切点为D，连接CD，如图所示∵∠C=90º，AC=3，BC=4，∴AB5 ===又∵⊙C与斜边AB相切，∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径∴1122ABCS BC AC AB CD =×=×△∴125 CD=故答案为12 5 .【点睛】此题主要考查圆相切的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.13．（2019·上海九年级其他模拟）在△ABC中，AB = AC = 5，tanB =43. 若⊙O的半径为，且⊙O经过点B与C，那么线段OA的长等于________.【答案】3或5【分析】根据题意可得△ABC为等腰三角形，且∠A为顶角，根据tanB的值可以得出BC=8，经过B、C两点的圆的圆心在BC的中垂线上，然后根据圆心在三角形内和三角形外两种情况进行分类讨论．【详解】解：分两种情况考虑：（i）如图1所示，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO垂直平分BC，∴OA⊥BC，D为BC的中点，在Rt△ABD中，AB＝5，tan∠ABC＝43＝ADBD，设AD＝4x，BD＝3x，由勾股定理得：（3x）2＋（4x）2＝52，解得x＝1，∴BD＝3，AD＝4，在Rt△BDO中，OD1=，BD＝3，则AO＝AD＋OD＝4＋1＝5；（ii）如图2所示，AO＝AD−OD＝4−1＝3；综合上述，OA的长为3或5．故答案为：3或5．【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．三、解答题14．（2020·上海九年级二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．（1）求证：AB＝AC；（2）联结OM 、ON 、MN ，求证：MN OM AB OA=．【分析】（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；（2）联结OB ，OM ，ON ，MN ，首先证明BOM AON @V V ，然后再证明NOM BOA V :V ，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，如图所示：∵AO 平分∠BAC ．∴OD ＝OE ．222222,AD AO OD AE AO OE =-=-Q ，AD AE \=．,OD AB OE AC ^^Q ，2,2AB AD AC AE \==，∴AB ＝AC ；（2）联结OB ，OM ，ON ，MN ，如图所示，∵AM＝CN，AB＝AC∴BM＝AN．∵OA＝OB，∴∠B＝∠BAO．∵∠BAO＝∠OAN，∴∠B＝∠OAN，∴△BOM≌△AON（SAS），∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，∴∠AOB＝∠MON，∴△NOM∽△BOA，∴MN OM AB OA=．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．。
直线和圆的位置关系
《直线和圆的位置关系(一)》教学设计一、教材分析(一)主要内容及地位《直线和圆的位置关系》是人教版九年级数学上册，第24章，第二单元，第二节的第一课时内容.这节课探索了直线和圆的三种位置关系，又探索了圆的切线性质.本节课内容是点和圆的位置关系的深化与延伸，直线和圆的位置关系的运动和变化把圆与直线有机结合在一起，直线和圆的三种位置关系是研究直线与圆有关性质的基础(二)教学目标1.知识目标：使学生从具体的事例中认知和理解直线与圆的三种位置关系并能概括其定义，会用定义来判断直线与圆的位置关系，通过类比点与圆的位置关系及观察、实验等活动探究直线与圆的位置关系的数量关系及其运用。
2.过程与方法：通过观察、实验、讨论、合作研究等数学活动使学生了解探索问题的一般方法；由观察得到“圆心与直线的距离和圆半径大小的数量关系对应等价于直线和圆的位置关系”从而实现位置关系与数量关系的转化，渗透运动与转化的数学思想。
3.情感态度与价值观：创设问题情景，激发学生好奇心；体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性和数学结论的正确性，在学习活动中获得成功的体验；通过“转化”数学思想的运用，让学生认识到事物之间是普遍联系、相互转化的辨证唯物主义思想。
(三)教学重点1. 理解直线与圆的相交、相离、相切三种位置关系；2. 用数量关系表述圆的三种位置关系。
(四)教学难点通过数量关系判断直线与圆的位置关系(五)教具准备圆规，三角尺，PPT课件.(六)教法与学法1.教师通过课件演示，组织学生自主观察分析，引导学生归纳，概括.2.在教师的组织下，以学生为主体，探索性教学.二、教学过程(一) 复习提问PPT1.点与圆有几种位置关系？他们如何表示？生：有三种位置关系点在圆内点在圆上点在园外用点到圆心的距离d与圆的半径r之间的数量关系表示d<r点在圆内 d=r点在圆上 d>r点在园外师：上一节课我们探讨了点和圆的位置关系，那么直线和圆有着怎样的关系哪？本节课我将和同学们共同探讨直线和圆的位置关系(教师板书课题：直线和圆的位置关系(一)(二)实践活动，探索新知活动1：欣赏美丽的“海上日出”师：同学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识，下面老师请同学们欣赏美丽的“海上日出”播放动画“海上日出”师：从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？生：我把太阳看作圆，把海平面看作直线.师：在太阳升起的过程中，如果我们把太阳看作一个圆，海平线看作一条直线，直线与圆的公共点的个数是否发生了变化？可分为几种情况呢？活动2：再现海上日出的整个情景师：“海上日出”动画中可以看出：给定一条直线和一个运动的圆，它们之间存在着若干种不同的位置关系，请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景，在纸上画一条直线l，把硬币看做一个圆，在纸上移动硬币，在移动的过程中，你发现它与直线l的公共点个数的变化情况吗？从数学角度上分析，你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？你分类的依据是什么？生：分三类.太阳在冉冉升起的过程中，和海平面有两个公共点、一个公共点、无公共点.因此直线和圆有三种位置关系.师：分析的很好.那么一个定圆和一条运动的直线，它们之间是否也存在上述三种位置关系呢？活动3 分组实践：体会直线与圆的三种位置关系(学生分组实践，在练习本上做一个圆，把直尺的后边缘看成一条直线，圆固定，平移直尺，直观地发现直线和圆的三种位置关系，学生用自己的语言口述直观感受到的图示，从而给出相交、相切、相离的定义)邀请同学到黑板上演示说明生：在平移直尺过程中，开始直尺和圆没有公共点，由于直尺不断向上平移，移动到这个位置时，直尺与圆有一个公共点；再将尺向上平移，直尺和圆有两个公共点；再向上平移，直尺与圆有一个公共点；再向上平移，直尺和圆没有公共点.在整个过程中，直线和圆就有三种位置关系：直线和圆没有公共点、有一个公共点、有两个公共点.师：说的非常好.我们可以从公共点的个数来定义直线和圆的三种位置关系.当直线和圆没有公共点时，我们称直线和圆相离；当直线和圆有惟一公共点时，我们称直线和圆相切；当直线和圆有两个公共点时，我们称直线和圆相交. PPT 9( 教师边口述定义边板书)师：直线和圆相切时，我们把惟一的公共点称为切点，把这条直线称为切线.(从圆动、直线动两方面探索直线和圆的位置关系，学生从观察到动手操作进而总结直线和圆的三种位置关系，整个教学活动中，充分地发挥了学生的主体性.)师：你能举出生活中直线和圆相交、相切、相离的实例吗？(课堂气氛一下活跃了，学生纷纷举手)生1：自行车在马路上行驶，把车轮看作一个圆，马路看作一条直线，直线和圆相切.生2：杂技演员骑独轮车走钢丝，把车轮看作一个圆，地面看作一条直线，直线和圆相离.生3：碗看作一个圆，筷子看作一条直线，直线和圆相交。
专题20 直线与圆的位置关系(1)
专题20直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有：1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径.熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于点B，CD切⊙O于点D，交BA的延长线于E.若AB＝3，DE＝2，则BC的长为()（青岛市中考试题）A．2B．3C．3.5D．4例1题图例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C点看可应用切线长定理，从E点看可应用切割线定理，又EC为⊙O的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB＝45°，∠ABC＝120°，⊙O的半径为1.(1)求弦AC，AB的长;(2)若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论.（哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB与BC，或PC与BC的关系，或求得PB或PC的长，点P的位置即可确定.【例3】已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点.过点P 作BC 的平行线交BT 于点E ，交直线AC 于点F .(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA •PB ＝PE •PF ；(2)当点P 为线段BA 的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边DC 上的动点P 重合（P 不与点D ，C 重合），MN 为折痕，点M ，N 分别在边BC ，AD 上.连接AP ，MP ，AM ，AP 与MN 相较于点F ，⊙O 过点M ，C ，P .(1)请你在图1中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；(2)AF AN 与AP AD是否相等？请说明理由；(3)随着点P 的运动，若⊙O 与AM 相切于点M 时，⊙O 又与AD 相切于点H .设AB 为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.（宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB 的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C ＝90°，⊙O 过点M ，C ，P ，故将画出矩形的条件转化为求出CP （或MP ）的长.当矩形确定后，依据线段CP 的长，就可确定P 点的位置.【例5】如图，已知△ABC内接于⊙O，AD，BD为⊙O的切线，作DE∥BC，交AC于点E，连接EO并延长交BC于点F.求证：BF＝FC.（太原市竞赛试题）解题思路：要证明BF＝FC，只需证FO⊥BC即可，连接OA，OB，OD，将问题转化为证明∠DAO＝∠EFC.【例6】如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，∠C的平分线与AB交于点P，M是△ABC的内切⊙I与边BC的切点，作MD∥AC，交⊙I于点D，求证：PD是⊙I的切线.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设⊙I切AB于点S，连接IM，IS，ID，直接证明∠PDI＝90°困难，不妨证明∠PDI＝∠PSI，即证明△PIS≌△PID.能力训练A级1.PA，PB切⊙O于A，B，∠APB＝78°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，则∠ACB＝__________.2.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.要使DE⊥AC，则△ABC的边必须满足的条件是__________.（武汉市中考试题）第2题图第3题图3.如图，PA切⊙O于点A，C是»AB上任意一点，∠PAB＝62°，则∠C的度数是__________.（荆门市中考试题）4.直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC.若腰DC上有一点P，使AP⊥BP，则这样的点（）A．不存在B．只有一个C．只有两个D．有无数个5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD，CB是⊙O的切线，D，B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD，BD，给出以下四个结论：①AD∥OC；②E为△CDB的内心；③FC＝FE.其中正确的结论是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．如图，ABCD为⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD相交于E点，CF切⊙O于点C并与AD的延长线相交于点F.图中的四个三角形①△CAF,②△ABC,③△ABD,④△BEC，其中一定相似的是（）(连云港市中考试题) A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④第5题图第6题图第7题图7．如图，△ABC内接于⊙O，AE切⊙O于点A，BC∥AE．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)设AB=10cm，BC=8cm，点P是射线AE上的点，若以A，P，C为顶点的三角形与△ABC相似，问这样的点有几个?(南昌市中考试题)8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于点E，OD∥AB．求证：(1)ED是⊙O的切线；(2)2DE2＝BE•OD.9．如图，在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c ＋2)＝(c+4)x 的两个根.点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ．(1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)若tan A ＝34时，求AE 的长.(内蒙古中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 中点，连接DE .(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)连接OC 交DE 于点F ，若OF ＝CF ，求tan ∠ACO 的值．(武汉市中考试题)11．如图，⊙O 的半径r ＝25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA ＝∠ABD ．(1)试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若tan ∠ADB ＝34，PA ＝43－33AH ，求BD 的长；(3)在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积.(成都市中考试题)B 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．若∠DAB ＝56°，∠ABC ＝64°，则∠CED ＝__________.2．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AD ，AB ，BC 分别相切于点E ，F ，G ，P 是»EG上的一点，则∠EPF ＝__________.（广州市中考试题）第1题图第2题图第3题图3．如图，直线AB ，AC 与⊙O 分别相切于点B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么P 到BC 的距离为__________cm.（全国初中数学联赛试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，圆心O 在BC 上，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径等于（）A ．abB ．a ＋b2C ．ab a ＋b D ．a ＋b ab5．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D ．若⊙O 的半径OC ＝1，BD ∥OC ，则CD 的长为()A ．1+33B ．233C ．33D ．2第4题图第5题图第6题图6．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出以下四个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④»AD ＝»BD．其中正确的结论是()(苏州市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7．如图，已知AC切⊙O于点C，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于点D，与CP的延长线交于点B.若AC＝PC.求证：(1)BD＝2BP；(2)PC＝3BP.(天津市中考试题)8.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径.动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B 以2cm/s的速度运动.P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s).(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时，PQ与⊙O相切?(呼和浩特市中考试题)9.如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AB交于，S△BCD是方程10x2－51x＋54＝0的两个根.(河南点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1.求证：S△AOD省中考试题)10.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切;(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长.(武汉市中考试题)11.如图，直线y＝4x＋4交x轴于点B，交y轴于点A，⊙O′过A，O两点.3(1)如图1，若⊙O′交AB于点C，当O′在OA上时，求弦AC的长;(2)如图2，当⊙O′与直线l相切于点A时，求圆心O′的坐标;(3)当O′A平分△AOB的外角时，请画出图形，并求⊙O′的半径的长.12.如图，AB是⊙O的直径，AB＝d，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC＝AB，连接OC 交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.求AE的长.(四川省竞赛试题)。
《直线和圆的位置关系(1)》
A
C
B
变式1：若要使圆C与线段AB只有一个公共点，这时圆C的 半径 r 有什么要求？
B
D
C
A
变式2：若要使圆C与线段AB有两个公共点，这时圆C的
半径 r 有什么要求？
B
D
C
A
变式3：若要使圆C与线段AB没有公共点，这时圆C的半
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
●
O
●
●
O
O
●
●
O
O
直线l(地平线)
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm
;
2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
;
3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm
.
3:如图，在Rt△ABC中∠C= 90°，AB=8cm，
AC=4cm.
(1)以C为圆心作圆,当半径的长为多少时，AB与 ⊙C相切？
径 r 有什么要求？
B
D
C
A
在码头Ａ的北偏东60°方向有一个海岛，离该
岛中心P点的15海里范围内是一个暗礁区。货船从 码头A由西向东方向航行，行驶了10海里到达B点，
这时岛中心P在北偏东45°方向,
（1）若货船不改变航向，你认为货船会有触礁的
危险吗?
北 暗礁区
P
600
450
A
B
H
（2）为了避开暗礁区，船
认识直线和圆的位置关系
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
直线和圆的位置关系1
直线和圆的位置关系、切线的性质定理
学习目标
1.理解直线与圆有相交、相切、 相离三种位置关系 2.理解切线的性质定理.
想一想
（1）观察上面的三幅图片，地平线与太阳 的位置关系是怎样的？ （2）画一个圆，将直尺的边缘看成一条直 线，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
结论
直线与圆的位置关系
切线的性质定理：圆的切线 半径.
于过切点的
当堂检测
1.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离
为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A.相离
B.相切
C.相交 D.无法判断
2.已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm， （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C相切？ （2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为 半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位 置关系？
直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r; d = r;
d > r;
r ●活中直线与圆相交、相切、 相离的实例。 （2）图中的三个图形是轴对称图形吗？如果 是，你能画出它们的对称轴啊
（3）如下图，直线CD与⊙O相切与点A，直
径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你 的理由。
劳动教养了身体，学习教养了心灵。 —— 史密斯
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
r ●O
d
┐ 相离
直线和圆有唯一公共点（即 直线和圆相切）时，这条直线叫 做圆的切线，这个唯一的公共点 叫做切点.
想一想
在图中，⊙O的半径为r与圆心O到直线的距离为d 的大小有什么关系？你能根据d和r的大小关系来 确定直线和圆的位置关系吗？
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系（一）一、内容综述:1、直线和圆的位置关系，以及直线和圆相切的判定和性质。
2、与圆有关的角。
3、综合运用以前所学过的知识，如垂线，角平分线，三角形和四边形，比例线段和相似三角形的知识解决问题。
二、知识讲解：1．切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
其中，以（2）、（3）在使用时最为简便，也最常用。
2、切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
注意：切线的判定与切线的性质不能混淆。
二、例题分析：例1、如图，AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B,AD∥OC交⊙O于D,连结CD. 求证:CD是⊙O的切线.分析:判定一条直线是圆的切线,当直线和圆的交点确定时,则应连半径,证垂直。
证明:连结OD。
∵AD∥OC, ∴∠3=∠A,∠1=∠2。
∵OD=OA, ∴∠A=∠2。
∴∠1=∠3。
∵OD=OB,OC=OC。
∴△COB≌△COD(SAS)。
∴∠B=∠ODC。
∵BC是⊙O切线,∴∠B=90°。
∴∠ODC=90°。
∴CD是⊙O的切线。
例2.已知:如图,△ABC中,AB=AC,O是BC中点,以O为圆心的圆与AB切于D点. 求证:AC 是⊙O的切线。
分析:题目条件中没有确定⊙O与AC有无交点,则作圆心到直线距离d，证明d=r.证明:连结OD,过O点作OE⊥AC于E点,∵AB=AC, ∴∠B=∠C。
∵O是BC中点, ∴BO=CO。
∵AB是切线, ∴OD⊥AB。
∴∠BDO=90°,∵∠OEC=90°,∴∠BDO=∠CEO。
∴△DBO≌△ECO。
∴OD=OE。
∵OD是半径,∴OE是⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、直线与圆相交
=> 0≤d<R
直线与圆的位置关系：
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ ．ｏ ．O d R ┐ . lC
d ┐
R
l
d
┐ . A
R
l
. B
相离
0 d>R
相切
1 d=R
相交
2
0≤d<R
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 R 的关系
公共点的名称 直线名称
例题分析
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3，BC=4. 当 R分别取下列值时，则以点C为圆心、R为 半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？
（1）R=3； （2）R=2； （3）R=2.4
B
4
D
C
3
A
议一议
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， BC=4，以C为圆心，R为半径作圆.
R=2.4 或 3<R≤4 4、当R满足_____________________ 时, ⊙C与线段AB只有一个公共点.
B
5
4
D
d=2.4
C
3
A
一 必做题：练习部分27.4 二 选做题：
在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东
30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴的速度为每小时
20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不 改变速度和方向，问气象站正南方60千米的沿海城市B是
R=6 d=7
3、如果⊙O的直径为12cm，点O到直线 l 的距离为7cm， 0 个. 那么直线 l 与⊙O的公共点有____
练一练
4、如果直线 l 与半径长为3的⊙O相离，如果点O到 d>3 直线 l 的距离为d，那么d的取值范围是______.
5、如果直线 l 与半径长为R的⊙O相离，如果点O到 0<R<5 直线 l 的距离为5，那么R的取值范围是______.
否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受
影响，请求出受影响的时间。
1、点和圆的位置关系有几种？ 2、怎样用数量关系判定点和圆的位置关系？
R O
点在圆内 点在圆上 点在圆外
0≤d<R d=R d>R
R
O
R O
这个动画演示反映出直线和圆的位置关系有几种?
想一想
操作
将一枚硬币放在纸上，从直线的一侧向另一侧 缓慢移动. 把硬币的边缘看作一个圆，在硬币 移动的过程中，观察直线与圆公共点的个数..Aຫໍສະໝຸດ .O.O.B
二.选择 5、直线 l 和⊙O有公共点，则直线 l 与⊙O（D ）. A. 相离； B. 相切； C. 相交； D. 相切或相交.
.
.O
.
相离
相切
相交
.O
d R
.O
d R
d R
.O
l l
l
1、直线与圆相离 2、直线与圆相切
=> d>R => d=R
思考： 当直线与圆相离、相切、 相交时，d与R有何数量 关系？
切点
切线
交点
割线
练一练
三.填空
1、如果⊙O的半径为5cm，点O到直线 l 的距离为3cm， 相交 ，直线 l 与⊙O的 那么⊙O与直线 l 的位置关系是_____ 2 个. 公共点有____
R=9 d=9 R=5 d=3
2、如果⊙O的半径是9cm，点O到直线 l 的距离是9cm， 相切 那么⊙O与直线 l 的位置关系是 ____.
直线与圆的位置关系：
图1
.O
l
图2
直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离.
直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.
.O
l
图3
.A
.O
这时直线叫做圆的切线 , 唯一公共点叫做直线与圆的切点. 直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交.
l
.
B
.
C
这时直线叫做圆的割线 , 公共点叫直线与圆的交点.
小问题：
d=2.4
0<R＜2.4 时， 1、当R满足_________ ⊙C与直线AB相离.
R=2.4 时， 2、当R满足_________ ⊙C与直线AB相切. R＞2.4 时， 3、当R满足_________ ⊙C与直线AB相交.
B 5
D
4 C 3
A
4、当R满足_______时,⊙C 与线段AB只有一个公共点.
如何根据基本概念来判断 直线与圆的位置关系？
根据 直线与圆的公共点的个数
练一练
一.判断
１.直线与圆最多有两个公共点（ √ ） ２.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内 ( × )
3 .若A是⊙O上一点，则过点A的直线与⊙O相切 ( × )
4 .若B是⊙O外一点，则过点B的直线与⊙O 相交 或相离 （ ×）