导数与微分计算题1
(高等数学)导数与微分习题
一. 填空题(理工类)1. , 则= _______.解. , 假设, 则, 所以2. 设, 则______.解. ,3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以4. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______.解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以所以5. 设f(x)可导, 则_______.解.=+=6. 设, 则k = ________.解. , 所以所以7. 已知, 则_______.解. , 所以. 令x2= 2, 所以8. 设f为可导函数, , 则_______.解.9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率. 法线斜率为, 法线方程为, 即 x－2y + 2 = 0.二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件(d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以=, 于是======所以, 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以========所以存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d)解. , 假设=, 所以=, 按数学归纳法=对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且 a(c) f(x)在x = 1处可导, 且 b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.4. 设, 则使存在的最高阶导数n为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. .所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0+ ∆x时, 记∆y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞解. 由微分定义∆y = dy + o(∆x), 所以. (b)是答案.6. 设在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以, 所以b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案.7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在.(c) h)存在. (d) 存在.解. 由存在可推出(a)中的极限值为, (b)中的极限值为 , (d)中的极限值为, 而(c)中的极限为:;反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定存在, 举反例如下: , 排除(d). 所以(b)是答案.由(b)推出存在证明如下:==所以存在.8. 设函数f(x)在(－∞, +∞)上可导, 则(a) 当时, 必有(b) 当时, 必有(c) 当时, 必有(d) 当时, 必有解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为, 所以对于充分大的x,单增. 如果, 则证明结束, 否则单增有上界, 则存在(k为有限数). 任取x, 在区间[x, x + 1]上用拉格朗日定理(x < ξ < x + 1)令x → +∞, 于是0 = +∞, 矛盾. 所以.9. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是(a) f(a) = 0且. (b) f(a) = 0且.(c) f(a) > 0且. (d) f(a) < 0且.解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a); (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0, , |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明不存在.不妨假设. . 所以存在δ, 当x ∈ (a－δ, a + δ)时. 所以当x> a时, f(x) > 0. 于是. 当x < a时f(x) < 0. 于是. 所以不存在.三. 计算题(理工类)1.解.2. 已知f(u)可导,解.=3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求. 解., 所以4. 已知, 求.解. ,5. 设, 求解. ,6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, .解. , 所以=3.所以7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.解. . 所以所以.所以. 在t = 1的曲率为四. 已知, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求.解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以,所以, 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以=(2) 方法1:=== (0 < ξ < x)=所以方法2:====五. 已知当x≤ 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且存在, 所以, 所以, 所以六. 已知.解., k = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, …七. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式=所以。
导数与微分练习题及解析
导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。
它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。
为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。
练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。
f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。
f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。
根据导数的定义，导数即为切线的斜率。
所以切线的斜率为m = 7。
将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。
2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。
练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。
解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。
乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。
根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。
解析：首先，我们求函数f(x)的导数。
根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。
设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。
外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。
根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。
导数与微分练习卷
导数与微分练习卷一、选择题1、设()(3)tan f x x =+x ，则()f x 在0x =处（ ）(A) (B) (C)(0)3f ′=(0)0f ′=(0)1f ′=(D)不可导 2、设()f x 为可导函数且满足0(1)(1)lim 1x f f x x→−−=−，则曲线()y f x =在点[1,(1)]f 处的切线斜率为（ ）(A)2 (B)-1 (C)1 (D)-23、若函数,有()y f x =0()0,1f x k ′=≠,则当0x Δ→时，()f x 在点0x x =处微分是（ ）dy (A)与x Δ等价的无穷小(B)与x Δ同阶的无穷小，但不是等价的无穷小 (C)比x Δ高阶的无穷小(D)比x Δ低阶的无穷小4、下列命题中有（ ）个是错误的。
①若0()f x ′不存在，则在()y f x =00(,)x y 处切线也不存在；②()[()]f a f a ′′=；③若()()f x g x >，则()()f x g x ′′>；④设21sin ,0()0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，故当时，0x ≠11()2sin cos f x x x x′=−。
因为0lim ()x f x →′ 不存在，故()f x 在0x =处不可导。
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题1、设0(3)(0)lim 1ln(12)x f x f x →−=+，则= (0)f ′； 2、若00()()y f x x f x Δ=+Δ−(tan sec )与x x x −ΔΔΔ为0x Δ→时的等价无穷小，则0()f x ′= ；x ，则= y ′；3、设2ln lg ln 2log y x x =⋅−⋅4、设sin 2log 3x x y =，= y ′；5、设()y f x =具有连续的一阶导数，已知(2)1f =，(2)f e ′=，则11()x f x −=′⎡⎤⎣⎦= ； 6、若()f x 在1x =处具有连续的一阶导数，且(1)2f ′=−，则0lim [x d f dx+→= ； 7、设1ln 1x y x−=+，则y ′′= ； 8、设作直线运动的质点的运动规律为，则它速度开始增加的时刻为t 312s t t =−2=。
MPA公共管理硕士综合知识数学微积分(导数与微分)-试卷1
MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（导数与微分）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、数学部分(总题数：30，分数：54.00)1.选择题__________________________________________________________________________________________2.已知g(x)=且复合函数f(g(x))对x的导数为，那么．A.1√D.2由已知条件[f(g(x))]’=f"(g(x)).g’(x)=f"(g(x)).即(C)．3.f(x)在(一∞，+∞)内可导，若一x)]，则( )是奇函数．A.g(x)B.g(一x)C.g’(x) √D.1+∫0x g(t)dt由已知得g(一x)=g(x)，故g(x) g’(x)=一g’(一x) 故g’(x)是奇函数．4.设函数f(x)可导，则的导数y’等于( )A.B.C.D. √5.设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有|f(x)|≤x 2，则x=0必是f(x)的( )．A.间断点B.连续但不可导的点C.可导的点，且f"(0)=0 √D.可导的点，且f’(0)≠0令x=0，由|f(0)|≤0知f(0)=0．而0≤|f(x)一f(0)|=|f(x)|≤x 2，由夹逼定理可知所以f(x)在x=0处连续．再讨论f(x)在x=0处的左、右导数，由|f(x)|≤x 2，得一x 2≤f(x)≤x 2．6.设f"(x)=(x一1)(2x+1)，x∈(一∞，+∞)，则在区间1)内有( )．A.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凹的√B.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凹的C.函数f(x)单调减少，且曲线y=f(x)为凸的D.函数f(x)单调增加，且曲线y=f(x)为凸的因为时，f"(x)=(x一1)(2x+1)＜0，f"(x)=4x一1＞0 f(x)单调减少且曲线y=f(x)为凹的．7.设函数f(x)对任意的x均满足f(1+x)=af(x)，且有f"(0)=b，其中a，b为非零常数，则f(x)在x=1处( )．A.不可导B.可导且f"(1)=aC.可导且f"(1)=bD.可导且f"(1)=ab √在f(1+x)=af(x)中，令x=0，得f(1)=af(0)8.设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且．则A.存在且等于零B.存在但不一定为零C.一定不存在D.不一定存在√举反例说明．比如φ(x)=e -|x|，f(x)=2e -|x|，g(x)=3e -|x|，则有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且存在．但若取φ(x)=e -|x| +x，f(x)=2e -|x| +x，g(x)=3e -|x| +x，则有9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0，则当x∈(a，b)时，有( )．A.f(x)g(x)＞f(b)g(a)B.f(x)g(x)＞f(b)g(a)C.f(a)g(b)＞f(b)g(a)D.f(x)g(x)＞f(b)g(b) √令F(x)=f(x)g(x)，则由题设可知 F’(x)=f"(x)g(x)+f(x)g’(x)＜0 (a≤x≤b)．于是，F(x)在[a，b]上单调减少，故当x∈(a，b)时，F(x)＞F(b)，即f(x)g(x)＞f(b)g(b)．10.下述极限中，等于e的是( )A.B. √C.D.11.设函数f(x)在(a，b)内可微，则( )．A.在[a，b]上连续B.若f(x)在(a，b)上严格单调递增，则f"(x)≠0C.若f(x)严格单调递增，且f(x)≠0√D.在(a，b)内f(x)必存在极限．因为f(x)严格递增，所以f"(x)≥012.填空题__________________________________________________________________________________________13.若函数f(x)在x 0点可导，则填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3f"(x 0 )．）0 )+2f"(x 0 ) =3f"(x 0 )．14.设函数f(x)在x 0点可导，填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不能确定．）因为由f"(x 0 )存在，可知因此，若f(x 0 )=0，则有若f(x 0 )≠0，则有原极限值不能确定．15.设函数f(x)在(一∞，+∞)上满足2f(1+x)+f(1一x)=e x，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）先求f(x)的表达式．令x=一t，则等式变为由此可解得 3f(1+t)=2e t—e -t，再令1+t=x，可得于是有16.函数f(x)=(x 2 +2x-3)|x 4 -x|的不可导的点的个数是 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）由|x 4一x|=|x||x一1|(x 2 +x+1)，可知f(x)的不可导点至多有两个点：x 1 =0，x 2 =1．下面我们来分析这两点是否不可导．在x 1=0点处，在x 2=1点处所以f(x)在x 2=1点可导，因此f(x)的不可导点只有一个．17.函数y=y(x)是由方程e xy +x一y一2=0所确定，则y’(0)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）在等式e xy +x—y一2=0两边求导，有 e xy (y+xy’)+1一y’=0，由此可得又由方程知y(0)=一1，于是有18.设函数y=y(x)由方程x y =y x所确定，则y’(1)= 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）利用对数求导法，有ylnx=xlny，上式两边对x x=1时，可解得y(1)=1，代入上式，有y’(1)=1．19.当x≠0时，函数f(x)满足f(x 3，则f"(1)= 1.填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）先求函数f(x)的表达式：令等式化为 f"(1)=一1．20.已知填空项1:__________________因f"(x)=而21.计算题__________________________________________________________________________________________22.设f(x)与φ(x)在x=0处均连续，求φ(0)和φ’(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为f(x)在x=023.求函数x=0点处的左、右导数f - "(0)与f + "(0)．__________________________________________________________________________________________正确答案：(y=|x|在x=0点处左、右导数都存在，但不相等．因此，此函数在x=0点处导数不存在．)24.已知f"(a)=a 2，__________________________________________________________________________________________正确答案：(25.__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：先将函数化为简单函数的和差，再用导数的四则运算计算更为简单，即所以可得)26.求函数y=ln|x|的导数。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
掌握函数的导数与微分练习题
掌握函数的导数与微分练习题函数的导数与微分是微积分的重要内容，对于学习者而言，掌握这一部分知识对于提高解题能力和理解数学概念非常重要。
本文将通过练习题的方式，帮助读者巩固对函数的导数与微分的理解，并培养解题的思维能力。
1. 求解下列函数的导数：(1) f(x) = 3x² - 2x + 1解答：f'(x) = 6x - 2(2) g(x) = 5sin(x) + 2cos(x)解答：g'(x) = 5cos(x) - 2sin(x)2. 对下列函数进行微分：(1) h(x) = x³ - 4x² + 2x解答：dh(x) = 3x² - 8x + 2(2) k(x) = 2e^x + 3ln(x)解答：dk(x) = 2e^x + 3/x3. 求解给定函数在指定点的导数：(1) y = 2x³，求导数在x=2处的值。
解答：y' = 6x²y'(2) = 6(2)² = 24(2) y = x^4 - 2x²，求导数在x=-1处的值。
解答：y' = 4x³ - 4xy'(-1) = 4(-1)³ - 4(-1) = -44. 求解给定函数的极值点：(1) y = x³ - 12x² + 36x解答：为求取极值点，先求导数：y' = 3x² - 24x + 36令y' = 0，求解方程得：x = 2 或 x = 6将以上两个x值代入原函数求y值得到极值点：当x=2时，y = 2³ - 12(2)² + 36(2) = 16 - 48 + 72 = 40当x=6时，y = 6³ - 12(6)² + 36(6) = 216 - 432 + 216 = 0因此，函数y = x³ - 12x² + 36x在x = 2处有极小值，极小值为40，在x = 6处有极大值，极大值为0。
导数与微分习题及答案
导数与微分习题及答案导数与微分习题及答案在数学学科中，导数与微分是非常重要的概念。
它们不仅在数学分析中有广泛的应用，还在物理、经济学等领域中起着重要的作用。
本文将为大家提供一些导数与微分的习题，并附上详细的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 习题一：求函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数。
解答：根据导数的定义，我们有f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 和 x = 2，得到f'(2) = lim(h→0) [(2+h)^2 + 3(2+h) - 2 - (2^2 + 3(2) - 2)] / h。
化简后得到f'(2) = lim(h→0) [4h + h^2 + 6h] / h = lim(h→0) (h^2 + 10h) / h = lim(h→0) (h + 10) = 10。
因此，函数 f(x) = x^2 + 3x - 2 在点 x = 2 处的导数为 10。
2. 习题二：求函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 在点x = π/4 处的导数。
解答：同样地，我们可以利用导数的定义来求解。
根据定义，g'(x) = lim(h→0) [g(x+h) - g(x)] / h。
代入函数 g(x) = 2sin(x) + cos(x) 和x = π/4，得到g'(π/4) = lim(h→0) [2sin(π/4+h) + cos(π/4+h) - (2sin(π/4) + cos(π/4))] / h。
化简后得到g'(π/4) = lim(h→0) [2(sin(π/4)cos(h) + cos(π/4)sin(h)) + (cos(π/4)cos(h) -sin(π/4)sin(h))] / h。
导数与微分练习题及习题详细解答
第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。
导数与微分测试题
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测 验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分 一、填空题 (每题 分，共12分) 每题 分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点 为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式： 三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处 ， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)
导数与微分真题答案及解析
导数与微分真题答案及解析一、基础概念在微积分中，导数与微分是非常重要的概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
了解导数与微分的概念对于解决数学问题至关重要，下面就是一些导数与微分的真题及其答案解析。
二、导数计算真题1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解析：根据导数的定义，可以使用求导法则来计算导数。
对于多项式函数f(x) = ax^n + bx^m + cx^l + ...，其导数可以通过对每一项求导后再相加的方式得到。
根据此法则，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，求导后得到f'(x) = 6x - 2。
2. 求函数f(x) = sin(2x)的导数。
解析：根据导数的链式法则，对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过对外层函数求导后再乘以内层函数的导数得到。
对于f(x) = sin(2x)，将外层函数设为f(u) = sin(u)，内层函数设为g(x) = 2x，则f'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)。
三、微分计算真题1. 求函数f(x) = e^x的微分。
解析：对于指数函数f(x) = e^x，其微分可以通过导数乘以微小变化量dx的方式得到。
由于f'(x) = e^x，所以微分df = f'(x) * dx = e^x * dx。
2. 求函数f(x) = ln(x)的微分。
解析：对于对数函数f(x) = ln(x)，其微分可以通过导数除以x的方式得到。
由于f'(x) = 1/x，所以微分df = f'(x) / x = 1 / (x * dx)。
四、综合计算真题1. 求函数f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)在点x = 2处的导数和微分。
解析：首先，求导数。
利用求导法则，对于f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1)，可以通过分子分母求导再计算商的导数的方式来求得导数。
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
导数与微分测试题及答案
导数与微分测试题（一）一、选择题（每小题4分，共20分）1、设函数10()102x x f x x ≠⎪=⎨⎪=⎪⎩ 在0x =处（ ）A 、不连续；B 、连续但不可导；C 、二阶可导；D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（ ） A 、1； B 、12； C 、12e； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A 、1；B 、2e ； C 、2e； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x→+--等于（ ）A 、0；B 、()f a '；C 、2()f a '；D 、(2)f a '；5、设函数()f x 可微，则当0x ∆→时，y dy ∆-与x ∆相比是（ ） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小；C 、低阶无穷小；D 、高阶无穷小； 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、 设函数()xf x xe =，则(0)f ''=______；3、 设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则01lim ()n nf x n→∞+=______； 4、 曲线228y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的切线与x 轴正向的交角为4π。
5、 d ______ = xe dx - 三、解答题1、（7分）设函数()()(),()f x x a x x ϕϕ=-在x a =处连续，求()f a '； 2、（7分）设函数()aaxa x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩ 在 6t π= 处的切线方程和法线方程；4、（7分）求由方程 1sin 02x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数22d y dx5、（7分）设函数1212()()()n aaan y x a x a x a =---L ，求 y '6、（10分）设函数212()12x x f x ax b x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12x =处可导 7（7分）若22()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足()()0,()()0f a f b f a f b +-''==•>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c =导数与微分测试题及答案（一）一、1－5 CCBCD二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(,)24； 5. x e --； 三、1. 解：()()()()()limlim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x aϕϕ→→--'===--；2. 解：112()ln ln aa xa a a x x a f x a x ax a a a a a --'=++；3. 解：当6t π=时，曲线上的点为 11(,)22；切线的斜率6662sin 22cos t t t dydy t dt k dx dx t dt πππ===-====-， 所以，切线方程 112()22y x -=--， 即 4230x y +-=；法线方程 111()222y x -=- ， 即 2410x y -+=；4. 解：方程的两边对x 求121cos 022cos dy dy dy y dx dx dx y-+=⇒=- 继续求导 222324sin sin (2cos )(cos 2)d y dy yy dx y dx y =-=-- 5. 解：两边取对数 1122ln ln()ln()ln()n n y a x a a x a a x a =-+-++-L 方程的两边对x 求导12121n na a a y y x a x a x a '=+++---L ，则 121112()(())()in na n i i i i n i a a a a y y x a x a x a x a x a =='=+++=-----∑∏L6. 解：因为 可导一定连续，则211221111(0)lim(),(0)lim 2224x x f ax b a b f x →→+=+=+-==所以1111,2442a b b a +==- 由可导知11122211111()144242()lim lim lim 1112222x x x ax b ax a a x f a x x x +→→→+-+---'====---212114()lim1122x x f x -→-'==- 所以 11,4a b ==- 即当11,4a b ==-时，函数()f x 在12x =处可导。
高等数学题库第02章(导数与微分)
第二章 导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（ ） （1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（ ） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量 二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。
第二章一元函数微分学例题练习
第二章、一元函数微分学题型一、导数与微分的计算【例题2.2】设函数f (x )在(0,+∞)内有定义，且对任意的x >0,y >0，都有f (xy )=f (x )+f (y ),又f (1)存在且等于a ,求f ′(x )和f (x )【例题2.4】设函数f (x )=g (x )−cos x x,x =00,x =0其中，g (x )具有二阶连续导数,且g (0)=1,确定a 的值，使得f (x )在点x 0=0处连续，并求出f ′(x ),同时讨论f ′(x )在点x =0处的连续性【例题2.11】(利用Taylor 公式求高阶导数)设函数f (x )=sin 6x +cos 6x ,求f (n )(x )【例题2.13】设函数f (x )=11−x −x2求f (n )(0)题型二、微分中值定理的应用【例题2.21】求极限lim n →∞n n √n +1−n +1√n n √2−1 ln n 【例题2.22】求极限I =limx →0+e (1+x )1x−(1+x )exx 2【例题2.23】设函数f (x ),g (x )均为(0,+∞)上的非常数可导函数,且对任意的x,y ∈(−∞,+∞),恒有f (x +y )=f (x )f (y )−g (x )g (y ),g (x +y )=f (x )g (y )+g (x )f (y )已知f ′(0)=0,证明：对一切x ∈(−∞,+∞),恒有f 2(x )+g 2(x )=1【例题2.25】设n 为正整数，证明：对任意实数λ≥1,有nk =11(1+k )k√λ<λ【例题2.28】设f (x )在区间[−a,a ]上具有二阶连续导数，f (0)=0，(1)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：在区间[a,a ]上至少存在一点η，使得a 3f ′′(η)=3a−a f(x )dx【例题2.29】设函数y =f (x )((−1,1)内具有二阶连续导数，且f ′′(x )=0，证明：(1)对于(−1,1)内任意x =0，存在唯一的θ(x )，使得f (x )=f (0)+xf ′(θ(x )x )(2)lim x →0θ(x )=12题型三、导数的应用【例题2.30】设在(−∞,+∞)上f ′′(x )>0,f (0)<0，证明：f (x )x分别在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增【例题2.31】设函数f (x )=(1+x )1x ,x >0确定常数A,B,C ，使得当x →0+时，f (x )=Ax 2+Bx +C +o x 2【例题2.43】设函数f (x )在区间(−π,π)内连续可导，且满足f ′′(x )=sin 2x −[f ′(x )]2=13xg (x )，其中g (x )为连续函数，满足当x =0，g (x )x >0且lim x →0g (x )x =34，证明：(1)点x =0是f (x )在区间(−π,π)内唯一的极值点，且是极小值点；(2)曲线g =f (x )在区间(−π,π)内是向上凹的题型四、介值定理的论证方法【例题2.54】设函数f (x )在[0,1]上连续，(0,1)可导，并且f (0)=f (1)=0，已知对任意的x ∈(0,1)，都有f ′′(x )>0，且f (x )在[0,1]上的最小值m <0，求证：(1)对任意正整数n 都存在唯一的x n ∈(0,1)，使得f ′(x n )=m n；(2)数列{x n }收敛，且flim n →∞x n=m【例题2.58】设0<a <b,f (x )在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，求证：存在ξ,ηϵ(a,b )，使得f ′(ξ)=a +b 2ηf ′(η)【例题2.60】设函数f (x )在[a,b ]上连续， ba f (x )dx =b a f (x )e x dx =0，求证：f (x )在(a,b )内至少存在两个零点【例题2.61】f (x )在区间[a,b ]上连续，在(0,1)内可导，f ′(x )>0，f (0)=0,f (1)=1，证明：对任意给定的正数λ1,λ2,λ3···λn ，在(0,1)内存在不同的数，x 1,x 2,x 3···x n 使得ni =1λif ′(x i )=ni =1λi【例题2.62】设函数f (x )=x n +x −1，其中n 为正整数，证明：(1)若n 为奇数，则存在唯一的正实数x n ，使得f (x n )=0(2)若n 为奇数，则存在两个实数根x n ,y n ，且x n <0,y n >0(3)极限lim n →∞x n ,lim n →∞y 2n 都存在，并求出它们的值【例题2.63】设实数a,b ，满足b −a >π，函数f (x )在开区间(a,b )内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b )，使得f 2(ξ)+1>f ′(ξ)。
导数和微分练习题(答案版)
1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。
4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。
9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。
第2章 导数与微分(题库)(1)
第2章 导数与微分本章知识点1. 函数()f x 在点0x x =导数()0f x '= . 左导数()0f x -'= ；右导数()0f x +'= . 2. 导数存在的判别定理： .3. 导数几何意义：函数()f x 在点()()00,x f x 处的切线斜率k = . 切线方程为： ；法线方程为 .4. 函数()f x 在点0x x =处可导是连续的_____________条件；可微是可导的_____________条件；连续是可微的_____________条件.5. 复合函数()y f g x =⎡⎤⎣⎦的导数d d yx = . 6. 隐函数(),0F x y =的求导步骤为：将y 视为函数()y x ，⑴在(),0F x y =_________________________；⑵利用“解方程”的思想，_________________________.7. 对数求导法适用形式： ；求导方法： .8. 由参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩确定得函数()y y x =的导数d d y x = .9. 函数()y f x =的微分计算公式为d y = . 10. 导数运算法则（和、差、积、商）：()()f x g x '±=⎡⎤⎣⎦ ； ()()f x g x '⋅=⎡⎤⎣⎦ ；()()f x g x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.2.1 导数概念A 组1. 函数()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 2. ()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 3. 设()0f x '存在，则()()0003limh f x h f x h→+-=（ ）.A. ()0f x 'B. ()03f x 'C. ()03f x '-D. 3 4. 如果函数()f x 在点x 处可导，则()f x '=（ ）.A. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆-∆ B. ()()0lim 2x f x x f x x ∆→-∆-∆C. ()()0limx f x x f x x ∆→-∆--∆ D. ()()0lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆5. 设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处（ ）.A. 左、右导数都存在B. 左导数存在，但右导数不存在C. 左导数不存在，但右导数存在D. 左.右导数都不存在6. 已知()03f x '=，则()()000limx f x x f x x∆→-∆-=∆______________________.7. 曲线x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛02，π处的切线方程为______________________. 8. 曲线e x y =在()0,1处的切线方程为______________________.9. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______________________. 10. 曲线x y 1=在点1,22⎛⎫⎪⎝⎭处的法线方程为______________________. 11. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程为________________.12. 曲线2sin 2x x y +=上横坐标为0=x 的点处的法线方程为________________.B 组13. 设函数()2,1,, 1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩为了使函数()f x 在1=x 处连续且可导，b a 、应取什么值？2.2 函数的求导法则A 组1. 设x y -=2，则='y （ ）.A. x -2B. x --2C. 2ln 2x --D. 2ln 2x -2. 设xxy ln =，则='y . 3. 设x y 2sin =，则='y .4. 设22x a y -=，则='y .5. 设2)(arcsin x y =，则='y .6. 设xy 1cos ln =，则='y .7. 设xxy -+=11arctan ，则='y .8. 已知物体的运动规律为()3m s t =，则该物体在()2s t =时的加速度=a __________2m /s .2.3 高阶导数A 组1. 函数x x y ln 22+=的二阶导数=''y ____________________.2. 函数21e x y -=的二阶导数=''y ____________________.3. 函数x y tan =的二阶导数=''y ____________________.4. 函数x x y cos =的二阶导数=''y ____________________.5. 求函数x a y =的n 阶导数=)(n y ____________________.6. 函数e x y =的n 阶导数=)(n y ____________________.7. 函数x y sin =的n 阶导数=)(n y ____________________.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数A 组1. 由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==32bty atx 确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 2. 由参数方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos ln 确定的函数()y y x =的导数d d yx =_____________.3. 参数方程1ee ttx y t -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x =________________. 4. 参数方程e sin e cos tt x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数4d d t y x π==_______________. 5. 设函数()y y x =是由方程 0922=+-xy y 所确定的隐函数，求d d yx.6. 设函数()y y x =是由方程 0333=-+axy y x 所确定的隐函数，求d d y x.7. 设函数()y y x =是由方程 2sin e 0x y xy +-=所确定的隐函数，求d d y x.8. 求由方程()e e sin x y xy -=所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .9. 求由方程0e =--y y x 所确定的隐函数()y y x =的导数xy d d .10. 求由方程1e y y x =-所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.11. 设函数()y y x = 是由方程 1e x y xy ++=所确定的隐函数，求0d d x y x=.12. 求由方程22e cos()y xy x y +=+所确定的函数()y y x =的导数d d yx.13. 求由方程e cos()0x y xy ++=所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x.14. 求曲线2eettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩在0=t 相应的点处的切线方程及法线方程.15. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=321ty tx 在2=t 相应的点处的切线方程及法线方程.B 组16. 设函数()y y x =由方程122=-y x 所确定的隐函数，求22d d yx.17. 求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==t y t x 122所确定的函数()y y x =的导数221d d t y x =.18. 求参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶函数导数22d d y x ，其中()f t ''存在且不为零.19. 求由参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d yx .20. 求由参数方程3e2ettx y -⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数22d d y x .21. 用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1的导数d d y x .第2章 导数与微分（题库） 第 页 共计11页 11 2.5函数的微分A 组1. 设3e x y =，则=y d ____________________. 2. 函数x x y 2sin =的微分=y d __________ .3. 设x y sin ln =，则=y d ____________________.4. 设e cos x y x =，则=y d ____________________.5. 函数x y ln ln = 则=y d ____ __________ .6. 设)1(ln 2x y -=，则=y d ____________________.7. 设函数22e x y x =，则=y d ______________ .B 组8. 利用微分计算三角函数的近似计算：sin 29.。
导数微分练习题专升本
导数微分练习题专升本### 导数微分练习题#### 一、基础导数题1. 求导函数：设 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( f'(x) \)。
2. 复合函数求导：若 \( g(x) = (2x^3 - x)^4 \)，求 \( g'(x) \)。
3. 隐函数求导：给定 \( xy^2 - x^3 + y = 6 \)，求 \( y' \)。
4. 参数方程求导：设 \( x = t^2 \)，\( y = t^3 \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。
5. 高阶导数：若 \( f(x) = x^3 \)，求 \( f'''(x) \)。
#### 二、导数的应用6. 切线问题：已知 \( f(x) = x^2 \)，求在 \( x = 1 \) 处的切线方程。
7. 单调性：判断函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的单调性。
8. 极值问题：求函数 \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 的极值点。
9. 凹凸性：判断函数 \( k(x) = -x^4 + 4x^3 - 3x^2 \) 的凹凸性。
10. 函数的增长速度：比较 \( f(x) = e^x \) 和 \( g(x) = x^2 \) 在 \( x \) 趋于无穷大时的增长速度。
#### 三、微分练习题11. 一阶微分：设 \( z = x^2y + xy^2 \)，求 \( dz \)。
12. 隐函数微分：若 \( x^2 + y^2 = 4 \)，求 \( dy \)。
13. 参数方程微分：给定 \( x = e^{\theta} \)，\( y =e^{2\theta} \)，求 \( dy \)。
14. 函数的线性近似：使用 \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的线性近似来估计 \( \sin(0.1) \)。
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计算题（共 200 小题）1、设xe xf 3)(=，试直接利用导数定义求)(x f '。
2、设x x x f 2)(3+=，试用导数定义求)(x f '。
3、设xx f 1)(= ，试用导数定义求).1(f '。
4、设xx f 2)(=，试直接利用导数定义求)(x f '。
5、设2)(xe xf =，试利用导数定义求)(x f '。
6、设x x f 51ln )(+=，试利用导数定义求)(x f '。
7、设)(x f 在1=x 处可导且2)1(='f ，求极限xx f x f x )1()1(lim+--→。
8、设)(x f 在a x =处可导且b a f =')(，求极限hhx a f h a f x )2()(lim+--→。
9、设)(x f 在1=x 处可导，且2)1(='f ，求极限tf t f x 3sin )1()21(lim 0-+→。
10、xe x xf f f x x f x x 220sin )tan (lim3)1(0)1(1)(+='==→，试求，可导，且在已知 11、f x x f x a n f x n f x n ()()lim ()()在处可导，且，求极限．000012'=+-⎡⎣⎢⎤⎦⎥→∞12、．处可导，求极限在设 0000)()(lim)(0x x x f x x xf x x x f x x --=→13、已知 ，求．'=----→f x xf x x f x x x ()lim()()00005214、设 ，其中在处可导，且求．f x x xe xx x f x xx ()()sin ()()(),lim ()=-==→ϕϕϕ10002015、()设 ，， ，，试确定常数使在处可导．f x x a x b x x a b f x x =+>-≤⎧⎨⎩=ln()sin (),()221111设 ， ， ，试确定常数使在处可导．f x ax x e b x a b f x x x ()sin ,,,()=≤+>⎧⎨⎩=0002 17、试确定常数的值使函数 ，，，，在处可导．a b f x x x be a x x x,,()cos =≤+>⎧⎨⎩=300018、处可导．在，，， ，的值，使求 000)(,2=⎩⎨⎧<+≥=x x b ax x e x f b a x19、设 确定的值使在处可导．f x ax b x x x a b f x x ()ln(),()=+≤+>⎧⎨⎩=01020、设 ．试直接利用导数定义求．f x x f x ()ln()()=+'1221、设 ．试直接利用导数定义求．f x x f x ()tan ()='22、设 ．试用导数定义求．f x x f x ()cos ()='323、[]设 ，且可导，求ϕϕ()lim()()sin ()()x e f x t f x tf x x t x =+-→024、[]设 ，其中二阶可导求．ϕϕ()lim()()(),()x x f x t f x tf x x t =+-'→02225、设 ，， ，，求f x x x e x f x x ()arctan ()=<-≥⎧⎨⎩'01026、设 ，， ，，求．f x x xx x f x ()cos ()=≠=⎧⎨⎪⎩⎪'21000设 ，其中在，有定义且在可导求的值．f x a bx a bx x x a f ()()()()(),()=+---∞+∞='ϕϕϕ028、设 为常数试确定的值使在处可导f x x x cax b x c c a b f x x c ()sin ,,,()=≤+>⎧⎨⎩=29、处为可导．使值常数试确定 ， ，， ，， ，设)(,,,,1100)(2232x f d c b a x x x x d cx bx ax x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<+++≤+= 30、点可微．在， 之值，使求 00,)1(0,)(,2=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=t x x b x e x f b a ax 31、设， ，，其中有连续的二阶导数求的值使在处可导并求．f xg x xxx x g x g a f x x f x ()()cos (),(),(),()=-≠=⎧⎨⎪⎩⎪=='000010 32、．．试求恒有和并对任意实数且有处可微设函数)( )()( )(,1)0(,)(x f x f e y f e y x f y x f x f y x '+=+='33、f xg x xx x g g f ()()cos ,()(),()=≠=⎧⎨⎪⎩⎪='='10000000 ，， ．且求． 34、设在点连续试求．ϕϕ(),()()ln(),()x x a f x x x a f a ==+-'135、为正整数。
其中．试求存在设n n a f n a f a f a f nn ,)1()1(lim 0)(,)(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+≠'+∞→ 36、设 ，其中在点的某邻域内连续，在点可导，且．试求．f xg x x x a g x a g a A g a f a ()()()()()(),()()='=='ϕϕ037、．．求为已知常数． 且点可导在均满足对任意设函数)1()()0(1)0(0),(2)1()(f c c f f x f x f x x f '='==+38、设y x xx=++ln 222,求y ' 39、y x x x x x y '+-+-=求设 .csc cot tan cos sin40、设 ，求y x thx y x =-'arcsin ()41、设 ．求y x x x y x =-+'arctan tan sec ()42、．．求设 )(sec 3x y x chx e y x '-=43、设 ．求．y a xx bx x y x =+-'2ln ()44、设 ．求．y x x y x =-+'ln arcsin tan 345、设 是常数．求y x a a y a x =+>'(,)046、设 ．，，求y x x a a a y x x =-+>≠'sin cos ()()0147、．求设 y a x x x ay x'>++-=),0(csc arctan 1 48、设 ．求．y x x xx y =--'cos cot 349、设＋ 求．y x xy =-'11sin ln50、设 ，求．y e x xy x x =-'(sin )ln ()3151、设 求．y x xxy x =-'sin ln ()52、设 求'=+--'y x xx x xy tan cos sin 2553、设 ．求．y x x x xe y x =++'ln ln54、设 ，求y xy x x=+'ln 43255、设 求．y t t t y t =-'sin sin ,()156、设 ，求．y t t ty t =-'cos cos ()157、设 ， 求．y x x y =+-'11cot tan58、设 ．求．y x shxy ='359、设 求．y x x e x thx y x =+⋅-'tan cos60、设 ，求．y a x xa y x=+>'sin ()061、．求，设 y b a xb a y xx '>>-=),00(62、设 ．求．x t t x t t=+'()log ()322263、设 求． y x x y x x=-+'3310log tan ()64、设．求．y e x y x x=-'sin log 265、设 求．y shx xy xx =-+-'133tan log66、． 求设 y x x x y x '⋅-⋅=2ln sec67、设 求．y x x y x =++'arctan arccos 268、设 ，求．y x arc x y x =⋅-'3csc cot69、设 ．求．y x x y x =-⋅'arccos ln 270、．求设 )(),0(arcsin ln csc x y a a x x x y x '>--⋅=71、．求设 y a x ax e a y x x '>-+=),0(tan )ln(72、设 ．求．y xx x a a y x =-+⋅->'110ln sin ()73、设 ，求．y x x x y =+++'()()()1234574、设 求．y x chx x y =-⋅'arctan sin75、设 ．求．y e x xe y x =-+'tan sin 176、设 ．求．y x x e y x =--'tan sin ()3277、．．求设 y e x x x x y x '+⋅⋅-⋅=arctan sec 2ln tan 2设 ．求． y x x xx y =+-++'ln cos113π79、设 ． 求．y thx x y =--'tan ln 380、设 ． 求．y x xy =-'sin sinπ381、设 ，求．y x x xy x =--'12()82、设 ．求．y x e xy x=+'()2183、设 ．求．y ax b cx de y x x =++-'()84、设 ，求．y x xy =+'1385、设 ，求．y x xy =-+'1186、设 ，求．y x x x xy =+-'87、设 求．y a e ch x a y x x =->'-230()()88、设 ，求．y ashx ax ay =⋅'sin89、设 ，求．y thx x y =+'35cos 90、设 ，求．y ash x ay ='设 ．求．y e x ch y x x =⋅-'sin ()()33292、设 ， 求．y x y ='csc(cot )93、设 ，求．y x f ='csc(sec )294、．．求设 y x x y '=2cos 2sin 295、设 ．求．y x x x y =-⋅+⋅'()()cos 1233296、设 ，求．y ex y x ='-22sin97、设 ，求．y x y ='tan(cos )98、设 ，求．y x x y =+-'()232299、设 ．求． y e x y x =⋅'-213tan()100、设 ，求．y x x x y =++'sin costan 352101、设 ，求．x t x t =+'321sin()()102、设 ，求．y x x y =+'232(csc )103、设 ．求．y x x x y =++'sin costan 352104、设 ，求．y x x y =+-'cos tan 2212105、设 ，求．y nx x y x n =+'sin sin ()设 ，求．y ey x='107、设 ．求．y x e y x =+-'12sin `108、设 ．求．y x x e y x =+-+'()228432109、设 ，求．x t t t t x t =⋅-+'2tan sin(ln )()110、设 ，求．y x x y =-'sintan()23111、设 求．y xx y =-'tancot 12112、设 ，求．y e ee y x x x xx =+-'log sin ()()32113、设 ，求．y x e y x =+-'sin(ln )cossin π3114、设 ，求．y xy =+'cos11115、设 ，求．y xy x =-'342116、．，求设 )()2tan(1322t y t tt y '-+=117、设 ，求．y x a xy =--'122118、设 ，，求．y a b e a b y x xx=->>'3400()119、设，求．y x xy =--'ln()231120、设 ．求．y x y ='cos sin121、设 ，求．y x y ='sin cos122、设 ，求．y th x x y =-'sin()arctan 22123、设 ，求．y x xy =-'arcsin 1124、．，求设 y b a arctge xb a y x xx '>>-+=)0,0(23 125、设 ．求．y ax b y =+'arctan()2126、设 ．求．x t t t x t =⋅+'sin sec arcsin ()2127、设 ，求，y x y =+'ln(tan )1128、设 ，求．y x y =+'ln (tan )221129、．求．设 y a x a y x '>-⋅=-),0(1ln130、设 ．求．y x x y =+'22ln cos131、设 ．求．y x y ='ln(tan ())23．求常数设 y a a x y x '>-=),0(sin cot133、．求设 y x x y x '+-⋅=,1)2ln(223134、设 ，求．y x e y x =+'ln tan 3135、设 ，求．y x y ='ln cosh136、设 ．求．y x x y =-'ln(ln )sec ()22137、设 ，求．y x y ='ln cos138、．，求设 y x ey x '-=sin ln 3139、 设 ，求．y x y ='ln 32140、设 ，求．y x x y =⋅-'ln()cos arctan232π141、 设 ，求．y x e y x =++'()tan sin 3222 142、设 ，求．y y x x x ='102tan ()143、设 ，求．y x x y x =+'sin cos 2222144、设 ．求．y y x x ='3ln145、 设 ，求．y sh x e y =++'ln()arctan 1222146、设 ，求．y x chx x y x =+⋅-'ln cos (tan )cot()()231设 ，求．y e x x y x =++-'ln cos cos csc 13148、．求 设 y a a x x y '≠++=),0()ln(22149、 设 ，求．y x x y =-'lncos 122150、 ．求设 )(,1sin)2(log 32x y x x y x '++= 151、 设 ，求．y sh e x x y x =+++'()ln()212152、 设 ，求．y x x y =+-'ln11153、 设 ，求．y x x x x x y =-+--'sin()tan 222213154、 设 ，求．y x x e y x =-++'cossec 112155、 设 ．求． y x sh x th x y =-+'tan()()1323156、 设 ，求．y t t y t =+-'231sin()cot(cos )()157、设 ，求．y x x y =++'123158、 设 ，求．y x e y x x =⋅'cosh(sinh )()3159、设 ，求．y x x x y =-'cos sin ln tan 222122160、 设 ，求．y x x e y x x =-++'lnsin sin ()tan 11161、 [][]设 ，求．y x x y =⋅'sin(cos )cos(sin )22162、 设 ，求．y x x e y x =++'21sin163、 设 ，求．y x x x y x =+++'cos ln(cos cos )241 164、设 ，求．y e e x y x x x =-+++'ln()2431165、设 ，求．y x y x x =-'(sin )cos tan 2166、． 求设 y x y x x '⋅=),2csc()(sin167、设 ，求．y x x y x =+'(cos )sec sin 3168、[][]设 ，求f x e g x xd dx f g x ddx g f x g d dx f x f d dx g x x ()()sin (())()()()==+⎡⎣⎢⎤⎦⎥+⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 169、 设 ，讨论在处的可导性并求．f x e f x x f x x ()()()=-='-102170、 []03122sin )(000)1(sin )(,)(=⎪⎩⎪⎨⎧=≠==x x x g f dx dx x xx x g e x f 求．， ， ， ，设 设 ，求函数的导数．y x x x y =>'30ln ()172、 设 ，求的函数的导数．y x y x ='3()173、．求反函数的导数设 )(),1010(5sin 3y x x x x y '<<-+=ππ 174、 ．求反函数的导数设 )(,433y x e x y x '+= 175、．求反函数的导数，设 )(,0132y x x x e y x '>++= 176、设 ，求反函数的导数．y e x x y x =-'-3()177、设 ，求函数的导数．y x x x x y =-<<'sin ,()3232ππ178、 设 ，求函数的导数，y x x x x y =-<<'cos ()50π 179、设 ，，求反函数的导数．y x x x x y =-<<'sin cos ()ππ32180、 设 ，求反函数的导数．y x xx y =-'13cos () 181、 ．求反函数的导数设 )(),0(log 2y x x y x '>=182、设 求反函数的导数．y x x x x y =+-<<'lncos cos ()()2202π183、 设，，求反函数的导数．y x x x y x =<'220()184、 ．求反函数的导数，设 )(,1000100y x x x xy '<<+=．求反函数的导数设 )(11y x e xx y x '-+-=- 186、 ．求反函数的导数，设 )(ln 2y x e x xxy '>= 187、 设 ，，求反函数的导数．y x e x x y x =<<'-12022()188、 设 ，求反函数的导数．y x e x n x y n x =<<'-()()0 189、设 求反函数的导数．y x x chx x x y =+-->'ln()()()10 190、． 求反函数的导数，设 )(,0ln y x x x x y '>+= 191、． ，求反函数的导数设 )(312334y x x arctg y '+=192、 设 ，求反函数的导数．y ex y x ='arcsin ()193、 ．求反函数的导数 ，设 )(,0ln22x y a y y y a a a x '<<-+=194、．求反函数的导数设 )(),(1y x e x x y x '>= 195、．求反函数的导数，设 )(,202sin y x x y x x'<<=π196、 ．求反函数的导数 设 )()1(11ln)2arctan(3y x x x x x y '>+-++=197、 ．求的反函数， 是设 )(,)0()2arcsin()(x x y x x φφ'-∞∈= 198、设 ， ，求及．f x x x x x x f f ()()()=≤-+>⎧⎨⎩''-+121112 199、设 ， ， 求．f x x x x x f x ()ln()sin ()100+≥<⎧⎨⎩' 200、．求， ，设 )0(000)(21f x x xe x f x '⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-。