通性通法难解压 数形结合显威力——从新课标全国卷压轴题看数形结合思想
高中数学解题方法谈 解读高考中的数形结合思想
解读高考中的数学思想——数形结合篇数形结合是一种重要的数学思想方法，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观来表明数之间的联系，即“以形助数”；二是借助于数的精确和严密来阐明形的某些属性，即“以数辅形”．这种思想方法在求解选择题和填空题的时候非常有用，对寻找解答题的求解思路也很有帮助．以下举例说明．一、用数形结合思想解决集合问题处理集合与集合的关系，借助图形进行直观思考，不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，而且也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合问题，形象直观的得解． 例1 设22{()|(1)1}{()|0}A x y x y B x y x y m =+-==++，，，≥，则使A B ⊆成立的实数m 的取值范围是_____．解析：由于集合A ，B 都是点的集合，故可结合图形进行分析．集合A 是圆22(1)1x y +-=上的点的集合，集合B 是不等式0x y m ++≥表示的平面区域内的点的集合，要使A B ⊆，则应使圆被平面区域所包含（如图1），知直线0x y m ++=应与圆相切或相离且在圆的下方，即0m >．1=，解得1m =，故m的取值范围是1m ． 评述：如果所给集合是点的集合，那么在研究它们之间的关系时，可以借助数形结合思想，将问题转化为函数图象或曲线之间的关系求解．二、用数形结合思想解决方程问题在研究某些方程的根的个数问题、根的大小问题以及根的取值范围等问题时，都可以将方程进行恰当的变形，通过引进函数，转化为两个或几个函数图象之间的关系来解决． 例2 已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）．（A ）a b αβ<<< （B ）a b αβ<<<（C ）a b αβ<<< （D ）a b αβ<<<解析：若令()()()g x x a x b =--，显然函数()g x 的两个零点是a 、b ，函数()f x 的两个零点是αβ，，而函数()f x 的图象是由函数()g x 的图象沿y 轴向上平移两个单位得到的，结合图象可知a b αβ<<<，故应选（B ）．例3 若方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为_____． 解析：将方程化为24x x m -=，构造函数2()4()f x x x g x m =-=，，则方程240x x m --=恰有4个不同的实数根，亦即两个函数()f x 与()g x 的图象恰好有4个不同的交点，如图2，易知当-4＜m ＜0时方程有4个根．三、用数形结合思想解决函数问题我们学过的一些初等函数，如：正比例、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等都蕴含着丰富的数形结合的思想，因此，在处理函数问题时，要充分联系函数图象．例4 （2006年辽宁高考题）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是（ ）．（A ）[11]-， （B）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）12⎡-⎢⎣⎦， （D）12⎡--⎢⎣⎦， 解析：cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ⎧=+--=⎨<⎩≥，，，即等价于min {sin cos }x x ，，因此在同一坐标系下分别画出函数sin cos y x y x ==，的图象，在两个图象的每两个交点之间取位于下方的图象，就是函数()f x 的图象，从而容易得到()f x 的值域是12⎡-⎢⎣⎦，，故答案为（C ）． 四、数形结合思想解决数列问题由于数列的通项公式和前n 项和公式都可以看成n 的函数，因此，许多数列问题可以借助函数的图象解决．例5 设{}()n a n *∈N 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项的和，且56678S S S S S <=>，，则下列结论错误的是（ ）． （A ）0d < （B ）70a =（C ）95S S > （D ）6S 和7S 均为n S 的最大值解析：可以把等差数列的前n 项和2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭看成是关于n的二次函数，结合图形可知，答案为（C ）．例6 已知在等差数列{}n a 中，312a =，前n 项和为n S ，且121300S S ><，．则当n S 取到最值时，n 等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）13解析：由于121300S S ><，，所以130a <，而3120a =>，所以数列的公差d ＜0，即数列是递减数列．则2(0)n S an bn a b a =+∈<R ，，，如图3，可以把n S看成关于n 的二次函数，其图象是一条抛物线，经过原点，开口向下，又121300S S ><，，所以若设抛物线和x 正半轴的交点为(0)M m ，，则12＜m ＜13，于是抛物线的对称轴为(66.5)2m x =∈，，因此当n =6时n S 取到最大值，选（A ）． 编者注：数列的有关问题用函数的观点来解决是一种较好的方法，但要注意，他们并非真正意义上的一次、二次函数！五、用数形结合思想解决不等式问题例7 如图4，请你观察图形以及图形中线段的位置关系及其数量关系，说明如何通过该图形来说明不等式2a b +成立．你还能构造另外的图形来说明这个不等式成立吗？解析：在圆O 中，AB 是一条直径，M 是圆上任意一点，过M 点作MC ⊥AB 交AB 于C ，令CA =a ，CB =b ，则容易得到2a b MC MO +==，由于在Rt △MCO 中，MO 是斜边，MC是直角边，所以有2a b +>C 点与O点重合时，有2a b +=2a b +．由于问题的本质上是在Rt △AMB 中处理问题，所以可构造类似的图形如图5所示（注：CN a BN b ==，．）． 评述：几何图形的直观解释和证明，真正体现了代数和几何的有机统一，可谓“无字的证明”．六、用数形结合思想解决最值或范围问题例8 已知a 、b 、c 是某一直角三角形的三边的长，其中c 为斜边，若点（m ，n ）在直线ax +by +2c=0上，则22m n +的最小值等于_____．解析：令d ==d 表示点（m ，n ）与坐标原点之间的距离．由于点（m ，n ）在直线ax +by +2c =0上，所以d 的最小值就是坐标原点到直线ax +by +2c =022c c==，即22m n +的最小值等于4． 例9 在区间[01]，上给定曲线2y x =，试在此区间内确定点t的值，使图6中的阴影部分的面积1S 与2S 之和最小．解：1S 面积等于边长为t 与2t 的矩形的面积去掉曲线2y x =与x 轴、直线x t =围成的面积，即22312023tS t t x dx t S =-=⎰；的面积等于曲线2y x =与x 轴、1x t x ==，围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为2(1)t t -，，即12232221(1)33t S x dx t t t t =--=-+⎰． 所以阴影部分面积S 为：321241(01)33S S S t t t =+=-+≤≤ 由21()42402S t t t t t ⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭，得 t =0，或12t =． 经验证知，当12t =时，S 最小．。
数形结合百般好——数形结合思想在解题中的应用
用 计 算 的方 法 ， 要 解 决 的 形 的 问 题 转 化 为 对 数 量 关 系 的 把
标 系 这一 舞 台来 进 行 着 数 与 形 最 完 美 的结 合 ．
例 ２ 已 知 一 次 函 数 Ｙ＝ｈ ＋ｂ的 图 像 经 过 （一１ ｍ） 。 ， （ １ 两 点 ， ｍ ＞１ 则 ， 满 足 的 条 件 是 （ ｍ。 ） 且 ， ６应
读 题 一 边 用 图示 或 图 表 来 直 观 地 表 示 其 中 的 量 ， 可 方 便 就
地 发 现 等 量 关 系 ， 而解 决 问题 ． 从
４ ．利 用 几 何 定 理 、 型 来 反 映 数 量 关 系 模
。
是 指 把 代 数 的 精 确 刻 画 与 几 何 的 形 象 直 观 相 统 一 ， 抽 象 将 思 维 与 形 象 直 观 相 结 合 的 一 种 思 想 方 法 ． 学 家 华 罗 庚 教 数
三角 形 的三边 关 系 ， 口＋ Ｃ的 最小 值 就 是线 段 Ｂ Ｐ Ｐ Ｃ的 长． 长 延 Ｂ ， ｃ 作 ｃ 上 Ｂ ， ＡＢ Ｃ 中 ， ｃ ＝ Ｂ ｃ ２＝ Ａ过 Ｅ Ｅ 在 Ｅ Ｂ Ｅ ＋ Ｅ
：
、
用 形 来 反 映 数 量 关 系
１ ．数
轴
数 轴 是初 中数 学 教 材 中 数 形 结 合 的 第 一 个 实 例 ， 充 它 分发 挥 了数 的准 确 、 的 直 观． 的 建 立 ， 仅 使 直 线 上 的 形 它 不 点 与 实数 间建 立 了 一 一 对 应 关 系 ， 揭 示 了数 形 之 间 的 内 还 在联 系 ， 实 数 的 许 多 性 质 可 由数 轴 上 相 应 点 的 位 置 关 系 使 得 到形 象 生 动 的说 明 ， 为 以 后 学 习 相 反 数 、 对 值 、 理 也 绝 有
“数形结合”在压轴题中的作用,适用于中考数学(特别是上海的)
“数形结合”在压轴题中的作用一般性数学试卷的最后一题在测试学生的数学素养的基础上，本着适度区分的原则，最后一题的三个小题的坡度逐渐提升，达到分层的效果．这些试题一般性取材于课本但高于课本，强调知识的灵活运用，综合性较强，原创题较少，大多属于改编体，它们的基本图形在几何画板中加以研究，达到推陈出新的效果，绝大多数属于改编题．下面以08年静安、杨浦两区模拟考最后一题为例，进行归纳分析．它们的难度略低于中考的压轴题．例1．（08静安）如图，在四边形ABC D 中，∠B =90°，AD //BC ，AB =4，BC =12，点E 在边BA 的延长线上，AE =2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG =x , DF =y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当AD =11时，求AG 的长； （3）如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径． 分析：本题以直角梯形为载体，第1小题梯形结合相似形知识来研究两条线段的数量关系，探求函数关系式和定义域;第2小题在研究特殊情况下知道函数值AD =11求自变量AG 的值，第三小题结合圆的内容以两圆相切（外切和内切）这一知识点来压轴．其实如果学生基础扎实，利用两圆相切关系建立等式：当⊙E 与⊙F 外切时，EF =EG +FD =EG +FG ，当⊙E 与⊙F 内切时，EF = FD –EG ，相关的量都用含自便量的代数式来表示，从而利用关系等式建立方程，解方程求出自便量的值，再求出两个圆的半径，考察了方程思想．略解：（1）∵AD //BC ，∠B =90º，∴∠EAG =∠B =90º，∴EG =.42x +∵,AEEG AB FG = ∴FG =2242244x x AE EG AB +=+⋅=⋅． ∵∠DFG =∠EAG =90º，∠EGA =∠DGF ， ∴△DFG ∽△EAG ．∴AG AE GF DF =，∴xx y 2422=+，∴y 关于x 的函数解析式为xx y 244+=，定义域为40≤<x ． （2）∵△DFG ∽△EAG ，∴,AGFG EG GD =∴GD =x x 228+． 当AD =11时，11282=++x x x ， 38,121==x x ．经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以AG 的长为1或38． （3）当⊙E 与⊙F 外切时，EF =EG +FD =EG +FG ，∴FD =FG ，∵△DFG ∽△EAG ， ∴∠E =∠AGE =∠FGD =∠GDF ．∴AG =AE =2； ∴⊙E 的半径EG =22，⊙F 的半径FD =24．当⊙E 与⊙F 内切时，EF = FD –EG ，∴32224444x x x x +-+=+，∴1=x ∴⊙E 的半径EG =514=+，⊙F 的半径FD =54． 所以⊙E 的半径为22，⊙F 的半径为42；或⊙E 的半径为5，⊙F 的半径为45．例2．（08杨浦）如图，Rt △ABO 在直角坐标系中，∠ABO =900，点A （-25，0），∠A 的正切值为34，直线AB 与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标；（2）将△ABO 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在x 轴正半轴上的B /处。
对数学高考压轴题“通法”不通的问题理解与处理策略
对数学高考压轴题“通法”不通的问题理解与处理策略作者：张治中来源：《广东教育·高中》2020年第02期一些数学高考压轴题，用基本的数学思想方法不能有效指导应试情景下的解题，用数学“通法”不能生成结论. 给应考和备考，造成了很大的困惑. 论题从题目的个案出发，从教育的可接受性的原则，从实用和创新的角度，结合给出的几种个案解答样式，体会通法的本质及相应的解题策略.题目1.; f（x）= x3-a（x2+x+1）. （1）若a=3，求f（x）的单调区间.（2）证明：f（x）只有一个零点.1.1 理论上的通法与不通的问题. 题设函数是三次项系数大于零的三次函数，定义域及值域都是实数集. 通过对a的控制，一般可使函数为恒增函数或增、减、增型函数. 当参数a一旦确定，f（x）位置及数量就完全确定. 对于题设（1），若a=3，求f（x）的单调区间. 导数的正、负形态，决定函数增、减区间. 无论是题目在试卷中的位置，还是三次项系数特征，都启示直接求导的方法. f ′（x）恰好是开口向上的二次函数，导数的正负所在的区间容易求得，完成了函数单调区间的判断. 若对题设（1）内含进一步分析，函数还存在着零点数量问题、极值问题、中心对称问题、凸凹问题. 在题目所求（2）中，证明函数只有一个零点，恰好是对题设（1）的进一步研究. 在导函数中数，通过对△≤0及△>0限制，实现对a在实数域分类，当函数为恒增时，三次函数自然一个零点;当函数为增、减、增时，存在两个极值点，且同在x轴的上方或下方，与函数只有一个零点是等价命题. 用极值数量特征，描述三次函数的零点数量. 因此，直接求导是解题的通法.但是，用通法引领（2）的解题，在考场，不能完成f（x）max>0，f（x）min0.用符合数学基本思想方法，预设，得不到的应有结果. 成了通法不通的一类问题.1.2 通法，對快速推进解题和正确的结论生成是应有的担当. 因为通法是在解题实践中认同的基本的思想原则方法. 当我们确认，用三次函数极值的正负特征与题设要求为等价条件是正确时，在没有岁月可回头的前提下，坚定对数学基本理论的自信. 用先验性的正确结论，替代计算结果，是实用、睿智的处理策略.1.3 对题目1的解答（法一）解（1）：当a=3时，f ′（x）=x2-6x-3. 令f ′（x）=0. x1=3-2 ，x2=3+2 .x∈（-∞， x1）∪x∈（x2，+∞），f ′（x）>0，f（x）↑.x∈（x1，; x2），f ′（x）（2）：f ′（x）=x2-2ax-a. 当△=4a2+4a≤0，即-1≤a≤0时，f ′（x）≥0，f（x）↑. 又∵; f（x）∈R. ∴ f（x）只有一个零点.当△>0时，a>0或af（x）max= f（x1）=f（a- ）= [-a3+（a2+a） ]-（a2+a）f（x）min= f（x2）=f（a+ ）=- [a3+（a2+a） ]-（a2+a）>0.∴; f（x）只有一个零点.1.4 评价. 法一解题，展示了数学应有的逻辑层次. 不能把通法产生繁难无果的计算，消极地看作是人为的陷阱. 数学的基本思想与基本方法，已经是人类博大、精妙的厚重文化.它不是刻意于雕虫小技. 坚定用数学的基本思想与基本方法分析和解决问题. 一方面，是适应新时代文化自信的要求. 另一方面，按先验性的直觉判断，在计算的尽头给出正确结论. 是考场解题快与稳的保证，也是学子自信力量形成与飞跃的机会.1.5 稳中求进，是国家高考命题的总的原则. 进，就是在通法所凝聚的思想方法上，对经验解题的技术超越. 本质与现象的内在联系，就是把握了数学等价转化的解题技术. 但是，内在联系是多方面的. 从个人局限认知的意义来说，“通法”，是经验主义的结果，仅能抱住“通法”，不通是必然，是教条，是懒汉. 当“通法”不通时，尝试向“复杂”形式的等价转化. 即使做答有风险，也不能无为. 是我们面对压轴题应有的态度.1.6;; 为什么选择g（x） = -3a等价形态的转化？g（x）把参量与变量从积的形式转化成和的形态. 通过求导，化二元为一元，表面复杂本质简单. 同时，选择g（x），是因为我们期待函数单调递增，它的渐近线是一次增函数，这种期待，是有数量感觉支撑的. 一旦求导计算陷入繁杂状态，而求导所得不能明确为非负量，按逻辑形式的需要. 仍然可用先验性的判断代替计算结果.1.7 对题目1的证明.证明（法二）：∵ x2+x+1>0，f（x）一个零点等价于方程 -3a=0一个零点.设g（x）= -3a，则f（x）与g（x）零点存在及个数等价的.g ′（x）= ≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，∴; g（x）在（-∞，+∞）单调递增.∴; g（x）至多一个零点.g（x）= -3a，当x→+∞时，g（x）= -3a=x-3a. 且x>3a时. g（x）>0.当x→-∞时，g（x）= -3a=x-3a. 且x1.8 评析. 对等价函数g（x），是三次函数比二次函数较复杂的函数形式，由整体贯通局部. 分子、分母同除x2，运用精确就是无限的近似的数学核心理念. 用无穷小的微观驾驭宏观趋势. 获得g（x）以y=x-3a为条渐近线，在总趋势层面上，直观地把握了求零点所需要的正负状态. 是中学阶段在纵向上的易于接受及操作的创新. 同时，对三次函数至少存在一个零点的证明，又得到了一种愉快的可接受的方法.在局部层面上，从g（x）主体裂项得到y= =x-1+ . 其中y1=x-1导数为1，y2= 是二次函数的倒数，由《高中数学·必修·1》B版（人民教育出版社）第32頁，例2，f（x）= 的图像启示. 在x∈（- ，+∞）上，y2是减函数. 且x∈[- ，0]，平均变率 =- . x∈[0， ]，平均变化率是-;x∈[ ，1]平均变化率- ;x∈[1，+∞），平均变化率是0-. 用y2的平均变化率，估价y2的导数大于-1，而y1 的导数总是1. 两者数量的和为正量，g ′（x）是非负量，是对g（x）为增函数的期待根据. 敢于从g（x）求导切入，胆量，来源于对教材基本函数认知与加工的质量. 这种化简为“繁”的转化，也是数形结合功力的体现. 在解得函数只有一个零点题过程中，还进一步理解题设，不仅与a取值无关，还与三次项系数无关（3a在求导的过程中被化为0）;未知量x 次数高来高走. 心中有图，化生为熟. 图中有量，直觉得当. 使得解题更有力量.题目2. 已知函数f（x）=ex-ax2.（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1;（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a.2.1 通法的确立与不通的问题. 对（1），从整体（x∈R）到局部（x≥0）考察函数特征. 根据函数不同区域的数量合成，前期，当x∈（-∞，0+），函数为增;后期x→+∞，函数为增;中期，若函数也为增函数，则函数为恒增，又因为f（0）=1. 所以f（x）≥1，就得证了. 若中期，存在一个减区间，函数为增、减、增型，需要证极小值大于或等于1. 用导数的正负来判断势在必行. 求导成为解题的通法.对于（2），是（1）可能存在增、减、增型函数极小值的前提下，进一步的考察. 对a的控制分类. 在（0，+∞）内，当极小值等于零时，与f（x）只有一个零点为等价条件. 是数学基本理论指导下的通法方法.（1）的问题f ′（x）=ex-2x>0，在逻辑层面表达出现了障碍. 对（2），方程f ′（x）=ex-2ax=0，只能定性知道x1∈（0， ln 2a），x2∈（ln 2a，+∞）. 无法定量得到x2. 使完成题设要求受阻. 理论应有的方法，实践中无法生成.2.2 加大对基本思想方法运用力度. 在理论不严谨的情况下. 对（1），试值探索、用先验超越. 使用二次求导，都是对不通情况突破的有效果的方法. 对（2）把满足极值点的条件ex-2ax=0代入有零点的f（x）中. 在理论上应得f（x）max与f（x）min两个值. 2ax-ax2=0，x1=0，x2=2;事实上，x=0，也不是函数的极大值点，把极大值点丢失了. 而得到认定x=2是极小值点，虽然没有确切的逻辑根据，而是对期待数量试验. 可理解为假说的探索，任何真理，都是从假说开始，才有真说. 在考场解题，推理不严谨，也应拼一拼，“兰舟催发”之际，“捞不成那捞饭，咱就焖成粥”. 总可以向数学真理方向推进. 一旦成功，是数学对探索者的奖赏，是顶端设计对勇于探索学子的人文关怀.2.3 对题目2解答（法一）.解：（1）f ′（x）=ex-2x;f ″（x）=ex-2;令f ″（x）=0，x=ln 2.当x∈（0，ln 2），f ″（x）0，f ″（x）↑;∴ f ′（x）min=f; ′（ln 2）=2-2ln 2>0，∴ f ′（x）>0 ∴ f（x）↑. 又f（0）=1 ∴ f（x）≥1.（2）当a=0时，f（x）=ex>0，f（x）无零点.当a当a>0时，f（x）只有一个零点与方程ex=ax2只有一个零点等价.f ′（x）=ex-2ax，令f ′（x）=0，把ex=2ax代入ex=ax2得2ax-ax2=0，x=2;x=0（舍），把x=2代入ex=ax2，a= .2.4 评析. 对严格推理，可作灵活变通. 在数学史上，形成了一种崇尚用严格推理收获必然的风格，对初级思维训练收到的一些实效. 但是，人类的真实的认知，是从误试开始，任何真正的数学发现，都是对“严格推理”突破. 国家要求创新与个人追逐功利一致的. 考场这个人生节点，不能无为，更不能羞涩地打着朵儿，坚定沿着数学基本思想指引的方向，勇于试验与猜想，让思维的花朵怒放.2.5 对通法不通存在性的理解. 考试的主体对象是学生，而主导命题顶层设计. 两者是对立统一的关系. 两者都在为发展思考力方面是统一的. 用创新，去检验对数学认知的层次及能力. 学生在规定的时间解答大量并有一定难度的题目，就首先要求有速度. 按数学基本思想、基本方法、经验等组织各种题材，以类型的方式，从认知到技能的训练，实现自动化的程度，形成“套路”. 这使学生在考场有限时间内，经过少许的思考，完成大量的题目解答. 而命题原则是稳中求进，“稳”，就是对大部分“套路”的认同与支持. 使学生解题获得节约时间成本的效益. 并且准备的越充分，考试效果越好. 同时，通过这种学习方式，也形成了教条的经验的应考套路，并称之为“通法”. 使僵化的教学与学习方式有了存在的社会基础.这种学习方式，机械强化成分多，使课业负担过重，有损身心健康;探索思考含量少，有悖于教育的初心. 以个体形成“套路”解题为目标，总是从有限的经验出发，而数学本质的外在联系是无限的. 用有限博无限，苦海无边. 经验发展最高成就不过是经验主义. 认识论告诉我们，经验论必然导致不可知论.“通法”，是经验主义的结果，仅能抱住“通法”，“不通”是必然.2.6 有没有一扇窗，让你面对创新型压轴题不绝望？国家发展的策略的稳中求进，“进”，就是真正发展思考力，“进”有助于减轻课业负担，有益于身心健康发展. 命题中“进”，原本是对数学与生命的关怀. 而习惯于“套路”的人们，总是“望题兴叹”，成了人们忘不掉的痛. 有没有一种爱，能让你不受伤害？是教材. 化繁为简的转化，是数学根本方向和手段. 对题设所求（1），转化成等价函数g（x）= ≥1，高中教材《数学》（必修·1·B版32页，例2中的）“ ”是g（x）的一个因式，在x正向，是减函数，是个正量，本质是幂函数类，且减的较缓;而ex，在x正向，是增函数，是个正量，且增的较猛，本质是指数函数超越类. 两者乘积构成的函数，产生了增函数并增向正无穷的感觉. 因此，期待g′（x）≥0.对（2）f（x）只有一个零点，等价于方程ex=ax2？圳 ex=a只有一个零点. 高中教材《数学》（必修·1·B版）第48页例2中，研究函數y= 的性质，并作出它们的图像”，函数反比例函数的比较，初步了解它的单调性的陡缓差别及程度;通过导数手段，用数量形态与指数函数比较. 能真正了解及ex的类本质，对组合型y1= ex，在x轴的正向，从y1单调性合成角度，前期（x→0+），随，为减函数，后期（x→+∞），虽然减的很缓，ex是超越感觉的函数，增得更猛，y1随ex，为增函数，y1是个先减后增型的函数. 这样，先验的、快速的判断出存在一个过度的极小值点. 令y2=a，是平行x轴的直线. 当y2在y1下方极值点处相切时，与题设要求为等价条件. 即a=y1min.2.7 对题目2解答（法二）.证明（1）：假设f（x）≥1成立？圳ex-x2≥1？圳≥1. 设g（x）= ，g ′（x）= = ≥0，∴ g（x）↑. 又∴ gmin（0）=1，g（x）≥1. 即f（x）≥1.（2）：f（x）只有一个零点，等价于方程ex=ax2？圳 ex=a只有一个零点.设y1= ex，y2=a. ;=ex . 令 =0，x=2，且x∈（0，2）， ;0，y1↑. ∴y1min=y1（2）= . 又当y2在y1下方极值点处相切时，与题设要求为等价条件. ∴y1=y2. 即a= .2.8 评析. 题目2的题材，取于教材基本函数指数函数与二次函数差的关系. 转化后，是指数函数与简单的二次函数商的关系，本质上都是比较. 由数的变化，合成的图形;又通过形存在的关键节点，推动数的形成. 得到了最简单的解法.这种创新命题与创新解题，有益于引导巩固基础、减轻负担，促进思考. 代表着数学教育与学科发展的进步方向.题目3. 已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为- . 记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线.（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE垂直x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于G. ①证明：△PQG是直角三角形;②求△PQG面积的最大值.3.1 解析几何代数计算问题. 在解析几何用代数计算的方法研究几何性质的基本思想和方法，使现代数学得到了充分的发展，成为数学的通法. 但是，这一通法，在数学高考压轴题的解题实践中，常有不通情形的存在. 在解题环节的主要表现：（1）真实是通过认知教育的阶段性逐步实现的. C的方程中. x是否可以等于±2？在x=±2的邻域内，从无限的角度k1·k2是存在的.（2）kQG= 是本题目特例，所有椭圆固有的几何性质？（3）直线PQ与椭圆C方程联立，获得关于x的一元二次方程有没有固定的模式平台？使代入整理缩短时间？（4）用两根之和求坐标xG，为什么能有效率推进解题进程？（5）把面积转化为f（k）后，由增减的过度点确定最大值，其中的增、区间的证明，是否是数学逻辑的必须？3.2 对解题时间远超越考场规定时的间理解与策略. 用代数式模式化. 如何把理论指向构筑成实际解题操作的技能平台？基本的思想、方法有效果地指导实际解题，是它应有的担当. 在备考中，对教材核心内含研究并实现的计算结构及结果，就是相应条件下的通法. 如直线与曲线的位置系，直线一般可划分四类. 一类是过焦点，二类过x轴一点，三类过y轴一点，四类过平面内不在轴上的一点. 它们每一种直线与对应曲线联立，所得的二次方程、两根的积与和、交点坐标、弦长、△、切线判别式都有固定结构和结论的表式，并且各个对应要素之间有着内在的联系，有利于理解和记忆. 如“探圆锥曲线二类弦长结构促进计算能力升级”一文（《数学学习与研究》2016.1期第88页）：“一、对椭圆中的二类弦长（及所在的直线）数学结构和结论的认知. 把过（m， 0）轴上一点的直线截圆锥曲线得的弦长称为二类弦长.（一）在椭圆二类的一般结构与结论形态.过（m， 0）的直线与椭圆 + =1（a>b>0）交于A（x1， y1）， B（x2， y2）. 求AB=？解：y=k（x-m），b2x2+a2y2=a2b2？圯（b2+a2k2）x2-2a2k2mx+a2k2m2-a2b2=0 (1)x1+x2= ，x1.x2= ; (2)AB= =2ab ;……（3）”3.3 对题目3的解答.解（1）： · =- ，2y2=-x2+4， + =1.（x≠±2）C：中心在原点，焦点在x轴上，除去左右端点的椭圆.（2）①：由中心对称图形的性质，设p（m， km），C∩PQ={P（m， km）， Q（-m， -km）};E（m， 0）.KQG =KPE = = .QG∶ y =t（x-m），（t= ）;C∶ b2x2+a2y2=a2b2，（a=2， b= ）.PG∩C？圯（b2+a2t2）x2-2a2t2mx+a2t2m2-a2b2=0.x1+x2 =-m+xG = = ;xG = ;yG = [ -m]= .KPG = =- ;∴ PQ⊥PG. 即△PQG是Rt△.（2）②y=kx，b2x2+a2y2=a2b2？圯（b2+a2k2）x2-a2b2=0，xp=m= ，xQ =-m，PQ=2m ，PQ=xG - xP =，S△PQG = PQ·PG= . 记f（k）= .f ′（k）= = =.令f ′（k）=0;1-k2=0，k1=-1（舍去），k2=1.龙源期刊网 k∈（0，1），f ′（k）>0，f （k）↑;k∈（1，+∞），f ′（k）∴ f （k）max =f （1）= . 即：S△PQGmax = .3.4 评析：解题（1），当曲线上各别点的不存在，与真实存在发生冲突时，依从阶段性的数学教材规定. 是受教育阶段应有的规矩. 对（2）①，P点坐标设而不求，直线QG斜率顺利获得，是几何法优先策略的结果. 若对二类弦与曲线联立的结构、形态、数量形成了稳定的表象. 解题的代入过程及计算结果，可从二类弦中独立出来. 借用二类弦的结构与结论，对于及G 坐标求得，对简化运算起到的一定的功效. 面积S△PQG 表达式;转化为f（k）;用导数的正负，明确函数的单调区间;展示出逻辑上必须的式子. 表现出对题目的思想方法的理解及对数学逻辑环节的虔诚. 把理论指向构筑了操作的技能平台，是解题制胜的功力.没有创造性的套路，就没有解题的速度. 在二类弦长所在的关于x的二次方程中，弦的中点可直接表达，以QG为直径的圆经过P点，与（2）①所求等价;二类弦长结论不含点G坐标. 在没能完成G点坐标运算的前提下，证明PQ⊥PG，可以用认同题设的结论，代替复杂的计算. 对（2）②，用两边及夹角表达求△PQG面积. 引进二类弦长的结构和结论，是解析几何基本思想的具体化，对教材中直线与曲线位置几种关系模式化，辟开了新的向度并构成的通法，是来自具体数学问题而提炼出管用的通法. 超越中间环节的计算，推进解题的进程. 也可推进解题进程. 缓解了考场上因时间不足而不通的问题.3.5 小结：数学高考压轴题，是数学教育的精品. 是巩固基本的数学思想与解题技术创新的载体. 顶层设计不公布命题的来源、立意及可接受的简单解法，是启而不发的教育原则的试验. 把易懂、简单的解题预留给考场的学子，是鼓励、激发学子创造性的萌发. 是受教育者应有的认知与积极心态.数学通法是数学理论与实践中的方法论，是对数学问题研究探索的结果. 是对数学研究的最高境界. 对我们的数学解题具有一般性的指导作用. 但是，通法不是创造性学习的出发点，而是通过以教材为主体的材料，分析总结得出通法. 数学学习，不是已知通法，去刷题. 而是根据教材的展示的引领，开发迁移功能，尝试编制题目. 题目1，命题是幂函数的差的组合，转化成商（积）的组合;两种形式都描述函数存在一个零点的一种性质. 题目2，是指数函数与幂函数差的組合，转化成商（积）的组合;差、商的本质都是比较，其立意，在于凸现两种函数不同的类本质. 题目3，前半部分强调对象是几何，后半部分是代入法及求导计算，注重代数方法. 命题中规中矩. 差别是分析的前提;比较是思维的动力. 躬身研究基本函数之间的内在联系，是通法的源泉，是联想、创新的翅膀.责任编辑;; 徐国坚。
浅析“数形结合”思想在高考解题中的应用
中文提要数形结合是数学解题的重要方法之一，在各类大型的考试尤其是中高考中都起着举足轻重的作用。
在解题中应用“数形结合”思想，可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而简化解答过程。
本论文主要研究的是数形结合在高考数学解题中的应用并对利用数形结合解题的题型进行了分类解析，总体上本文从高中数学的主干与核心知识出发，以2008年数学考试大纲为依据，重点结合2008年全国高考数学新课程试卷（理科）以及2008其他各地方的传统高考理科数学试题的典型题目，从以下几个方面具体分析“数形结合”思想在解题中的应用：（1）利用数形结合解决集合问题（2）利用数形结合解决函数（也包括三角函数）问题（3）利用数形结合解决不等式和线性规划问题（4）利用数形结合解决解析几何问题（5）利用数形结合解决立体几何问题关键词：高考数学解题数形结合ABSTRACTThe co mbi nat ion of a lge bra an d geo met ry is on e of the i mpo rta nt wa ys in ma the mat ica l p rob lem solv ing, it pl ays a pi vot al rol e in var iou s l arge sc ale, es pec ial ly i n t he c oll ege ent ran ce exam ina tio ns. In p rob lem so lvi ng, usi ng t he comb ina tio n o f al geb ra a nd geo metr y, you can sim pli fy comp lex iss ues and ma ke a bst rac t qu est ion be s pec ifi c qu est ion, T hus sim pli fyi ng t he p roc ess to answ er.T his pape r is a s tud y ab out t he ap pli cat ion o f co mbi nat ion o f alg ebr a and geo met ry in t he coll ege en tra nce exa min ati on mat hem ati cal pro ble m s olv ing by cla ssi fie d a naly sis. o n t he w hol e, this art icl e st art s fr om t he ba ckb one and the Cor e Kn owl edg e of hig h sc hoo l ma the mati cs , bas ed on 2008 Exa min ati on S yll abu s, m ain ly com bin es t he nat iona l c oll ege ent ran ce exa min ati on a nd t he new cu rri cul um of ma the mat ics e xam ina tio n pap ers (scie nce)in 2008. Wit h the t ypi cal qu est ion s, it wi ll a naly ze t he a ppl ica tio n of c omb ina tio n of alg ebr a an d geo met ry f rom the fol low ing r esp ect s:（1）Us ing th e c omb ina tio n o f a lge bra an d g eom etr y to so lve ta ggr ega te pro ble m（2）Us ing t he com bin ati on of a lge bra a nd ge ome try to s olv e fun cti ons (inc lud ing tr igo nom etr ic func tio ns) pr obl em（3）Us ing the co mbi nat ion of a lge bra an d ge ome try to sol ve i neq ual iti es and lin ear pro gra mmi ng prob lem（4）Us ing th e c omb ina tio n o f a lge bra an d g eom etr y to so lve an aly tic ge ome try pr obl em（5）Us ing th e co mbi nat ion of alg ebr a a nd geom etr y t o s olv e th ree-di men sio nal ge ome tri c pr obl em Key words:combination of algebra and geometry mathematical problem solving一、关于“数形结合”思想1、“数形结合”思想的历史“数形结合”由来已久，早在数学被抽象、分离为一门学科之前，人们在生活中，度量长度、面积和体积时，就已经把数和形结合起来了。
数形结合思想对提高学生解决问题能力的作用
数学是研究客观世界的空间形式与 数量关系的科学，数是形的抽象概括，形 是数的直观表现。华罗庚先生指出，数 缺形时少直观，形少数时难入微。数形 结合既是一个重要的数学思想，又是一 种常用的数学方法。数形结合在数学解 题 中 有 重 要 的 指 导 意 义 ，这 种“ 数 ”与 “形”的信息转换，相互渗透，即数量问题 和图像性质是可以相互转化的，这不仅 可以使一些题目的解决简捷明快，同时 还可以大大开拓我们的解题思路，为研 究和探求数学问题开辟了一条重要的 途径。
学生动手操作后，提问：通过刚才活 动，你有什么发现？（学生通过刚才的活 动会发现用上面的长方形纸片能铺满边 长是 6 厘米的正方形，不能铺满边长是 8 厘米的正方形。）
例如，在教学苏教版数学五（下）《公 倍 数 和 最 小 公 倍 数》时 ，教 师 作 了 如 下 安排：
1. 操作活动 教师在黑板上贴出（长 3 厘米、宽 2 厘米的长方形纸片和边长 6 厘米及 8 厘
两个面正好是原来圆柱体的上下两个底 面，正方体的前后两个侧面正好是原来 圆柱体的侧面，而正方体左右两个侧面 则是原来圆柱体没有的，因此只要求出 正 方 体 左 右 两 个 侧 面 ，问 题 就 解 决 了 。 因为这个圆柱高为 10 厘米，把它的底面 分成若干个相等的扇形，再把圆柱切开 拼成了一个和它等底等高的正方体，因 此可得，这个正方体的六个面均是棱长 是 10 厘米的正方形，从而可求出正方体 与圆柱体表面积相差：10×10×2＝200 （平方厘米）。
综上所述，我认为，我们每一个教育 工作者如果培养和发展了学生主动探究 的能力，可以提高学生独立地获得问题 的解决能力，并让学生掌握探索思考的 方法，由对知识的认识过程转化为对问 题的探索过程；由对知识的认知掌握转 化为对问题的探究解决。这样才能使学 生学会在复杂的社会环境中不断地用探 究科学的态度与方法去认识、发现、改变 与创造，真正使今天的学习成为明天适 应 、参 与 和 改 造 社 会 ，从 而 获 得 发 展 的 基础。
数形结合妙在其中——2014年新课标全国卷Ⅱ第21题的别解
经过充分的探讨总结 ， 总会有点滴 的发现． 总 能改进这个解答． 而且在任何情况下 ， 我们总
能 提高 自己对 这 个 解 答 的理 解 水 平 ． ” 由此 ，
当 ≠Ｏ时 ， 方程
。 一３ ＋ ｚ＋ ４ ＝ｋ ｘ
笔者就“ 参 考解答过程” 经过仔 细反 复地推 敲， 总觉得分类讨论 的依据 ， 经放缩技巧难以 想到， 思维要求高 ， 不简洁明快． 那么， 能否有
ｇ（ 一１ ） ＝（ 一１ ） ｚ －３ Ｘ（ 一１ ） ＋
—１ ＞０ ，
当 ｚ变化时， ｇ （ ｚ ） ， ｇ （ ） 的变化情况如
令ｇ （ ） 一Ｏ ， 解得 ｘ ＝２ ． 所以当 变化时， ｇ （ ｚ ） ， ｇ （ ） 的变化情 况如 表 １ ．
表 １
（ 一ｏ ｏ， Ｏ ） （ Ｏ ， ２ ）
ｇ （ ） 一 一
Ｘ 。 －３ ｘ 。 ＋４与 直线 一 （ 一１ ） 只有 一个
证法 １ 要证 明“ 当志 ＜ １时 ， 曲线 Ｙ 一
奇， 第１ 问是可 以直接利用导数 的几何意义 容易求解得 口 一１ ， 但深人探讨第 ２问后 ， 题
干简单但内涵丰富 ， 命题者提供的参考解答
过程经过分类讨论、 不等式放缩 ， 重新构造新 的函数， 再 由函数零点存在定理证得． 曾记得， 波利亚说 过 ： “ 没有任何一道题
’
， （ ） 与直线 ＝愚 ｚ 一２ 只有一个交点” ， 可转 化为“ 方程 ｚ 。 －３ ｘ 。 ＋Ｘ ＋２ ＝ｋ ｘ －２只有一 个解” ， 再转化为证明“ －３ ｘ ＋４ 一（ 愚 一１ ）
只 有 一个 解 ’ ’ ， 进 一 步 转 化 为证 明 “ 曲线 ｙ
－ ￣ －
浅谈全国卷背景下数学通性通法的教学
浅谈全国卷背景下数学通性通法的教学作者：廖宗云来源：《师道·教研》2017年第12期纵观近几年全国新课标卷和大纲卷的数学所有考题，从内容到形式，尽管它们精彩纷呈，各有特色，但唯一共同的特点是对通性通法的考查力度均占绝对的比例优势。
所以全国卷下我们中学数学的教学应该是注重数学思想和数学基本方法的培养，但是在实际教学中，我们往往跑偏了，喜欢追求花哨的特殊解题技巧，喜欢让学生接触一些华丽的所谓“压轴题”和“好题”，而忽视了通性通法的培养。
所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。
近几年来一直是高考考查的核心，因而在日常教学中我们一定要重视数学思想方法的渗透，让学生切实领悟数学思想方法的实质，会用数学思想方法解决问题。
在新课程中强化通性通法教学，淡化特殊技巧用于的要求，因此高中数学新课程中，删减了烦琐的计算，淡化了人为技巧化的难题，突出对分析、解决问题能力的要求。
现在高考比较重视的就是这种具有普遍意义的方法和相关的知识。
一、紧扣新课标和考试大纲，避开怪难偏在教学过程中，应该以新课标为准线，吃准和吃透新课标的要求，不要盲目地追求课堂的标新立异，在高三的复习中，更是要深入研读考纲，避免出现超纲的教学内容。
例如，在函数的教学，新课标就提出“在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于烦琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题”。
又如在推理与证明的复习，大纲明确提出“本模块（指推理与证明）中设置的证明是对学生已学过的基本证明方法的总结。
在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。
对证明的技巧性不宜作过高的要求。
”二、结合学生实际，优化教学内容在以往的教学中对于一些特殊技巧解答问题提出过一定的要求，但是这类题目学生得分率较低。
技巧性问题难度大，应用面窄，适合于数学竞赛，并不适合用于高考。
数形结合思想在高中数学解题中的应用
2020 年第 1 期
理科看台
数形结合思想在高中数学解题中的应用
刘经标
（广昌县第一中学，江西 抚州 344900）
[摘 要] 在高中数学解题时，运用数形结合的思想对解题有很大的帮助，可以有效缩短解题时间，提高解决数学难题的效率，降 低了问题的难度。运用数形结合思想，可以快速的解决一些疑难问题，扩展学生的思维空间，增强应变能力，让学生对学习数学具有 信心。
一、利用数形结合解集合问题
在数学学习中集合问题虽然较为简单，但它是数 学语言学习与运用的基础，对集合语言进行掌握，可以 帮助学生更好地进行数学表达。教师要提醒学生对集 合学习进行重视。在解答集合问题时，学生要完成答 题需要一定的空间构思能力，也会有一定的难度。在 集合问题中应用数形结合思想，可以让问题变得更加 直观，提高学生解题效率，降低错误率。[1]
AB 为直径的圆，所以 | c| 的最小
C B
值为：|OM | - r =
32
1
，所 以
|
c |
的 最 大 值 为 ：|OM | + r =
3+ 2
1
。
故选 D。
O
•M •A
【点评】此题运用代数法计算量大，且易出错，但用
数形结合法简单明了，结论易得且易理解。很多求代
数式的值或取值范围的题目，都可以赋形来求解。
第一次联考）函数 （f x）=
ï
íîï12
f
æ è
x
-
πö 2ø
（x > 0），则函数
h(x) = f (x) - log4 x 的零点个数为（ ）。
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
【答案】D
数形结合思想在高考真题解题教学中的实践
数形结合思想在高考真题解题教学中的实践作者：毛正燕来源：《家长·下》2019年第03期我国大数学家华罗庚先生曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
”此言一针见血地点出了“数形结合”的重要性，也简明而深刻地阐释了“数”与“形”的内在关系。
作为高中数学中最基本的数学思想之一，数形结合在很多高考真题中有着重要应用。
本文拟先对高中阶段数学结合思想作简要概述，而后结合2018贵州省考卷（即2018全国卷3）中的典型题例探讨数学结合思想的具体应用，希望对相关教学工作者有所启示。
一、高中数学数形结合思想简述所谓数形结合，概括来说即为按照数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来顺利解决问题，其作用和优势主要是在于通过“以形助数，以数解形”简化较为复杂的思维量和运算量较大的问题，从而大大提高解题效率和正确率。
通常来说，在高中数学解题中涉及数形结合的情形主要包括：包含实数与数轴上的点的对应关系；包含函数与图像的对应关系；包含曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显意义。
在日常教学中，教师要注重培养学生灵活应用数形结合思想的能力，在解题过程中做到“胸中有图，见数想图”，最终顺利而高效地得到正确答案。
以下我们结合高考题例对此进行较为具体的探讨。
二、例谈数形结合思想高考真题解题中的应用例1：函数f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零点个数为（）。
该题为2018理科全国卷3中的第15题，难度不大，但较具典型性，主要考察三角函数图像性质与函数零点问题的结合。
在不同的解法中，除了数形结合思想外，也体现了方程思想、换元转化思想、方程思想。
我们先来看该题的三种基本解法：解法一：取点作图，画出函数f（x）=cos（3x+π/6）的图像然后观察和分析[0，π]的零点个数，该解法突出体现数形结合思想，也是最容易想到的方法。
数形结合思想在解立体几何题中绽放——兼谈2022_年全国高考立体几何解答题
数形结合思想在解立体几何题中绽放兼谈２０２２年全国高考立体几何解答题洪昌强(浙江省台州市第一中学ꎬ浙江台州３１８０００)摘㊀要:几何体的特性既是研究几何的对象ꎬ也是处理几何问题的重要依据.在直观想象下获得几何体的特性ꎬ然后挖掘内蕴于特性中的数量关系ꎬ再化归为代数问题.反之ꎬ几何体中各几何元素的数量决定了几何体的特性ꎬ可以从数量关系中推断几何体的特性.运用数形结合思想处理立体几何问题ꎬ可将复杂问题简单化ꎬ有利于提高学生的空间想象能力.关键词:数形结合思想ꎻ数量关系ꎻ几何特性中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００１２－０４收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:洪昌强(１９６３－)ꎬ男ꎬ浙江省台州人ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀纵观２０２２年全国各地高考立体几何解答题ꎬ常以三棱锥㊁三棱柱等几何体为背景ꎬ如北京高考卷第１７题㊁全国新高考Ⅰ卷第１９题㊁２０２２年浙江高考卷第１９题㊁全国高考乙卷理科第１８题等.在处理这些空间问题时ꎬ通过建立形与数的联系ꎬ探索解决问题的思路.高考以此考查学生运用数形结合思想的能力ꎬ检测学生的直观想象素养.下面以２０２２年全国各地高考立体几何解答题部分试题为例ꎬ对解题思路进行剖析.１由形定性ꎬ以性助数例１㊀(２０２２年北京高考卷第１７题)如图１ꎬ三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬ侧面ＢＣＣ１Ｂ１为正方形ꎬ平面ＢＣＣ１Ｂ１ʅ平面ＡＢＢ１Ａ１ꎬＡＢ＝ＢＣ＝２ꎬＭꎬＮ分别是Ａ１Ｂ１ꎬＡＣ的中点.(１)求证:ＭＮʊ平面ＢＣＣ１Ｂ１ꎻ(２)从以下两个条件①ＡＢʅＭＮꎻ②ＢＭ＝ＭＮ中选一个作为已知ꎬ求直线ＡＢ与平面ＢＭＮ所成角的正弦值.图１㊀２０２２年北京高考卷第１７题图㊀㊀图２㊀例１解析图(ａ)图３㊀例１解析图(ｂ)分析㊀考查三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的结构特征:从侧面ＢＣＣ１Ｂ１为正方形得ＣＢʅＢＢ１且ＣＢ＝ＢＢ１ꎬ得知这个三棱柱的底面是等腰三角形ꎬ一个侧面是正方形.条件 平面ＢＣＣ１Ｂ１ʅ平面ＡＢＢ１Ａ１ 有何作用?此时自然想到平面与平面垂直的性质.并由此得øＣＢＡ＝９０ʎ.又因为ＡＢ＝ＢＣ＝２ꎬ所以底面ＣＢＡ是等腰直角三角形.表明三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１虽然还没有确定ꎬ但可以将三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１视为由等腰ＲｔәＣＢＡ和等腰ＲｔәＣ１Ｂ１Ａ１分别沿ＢＣ和Ｂ１Ｃ１翻折而成ꎬ如图２ꎬ并且三棱柱随二面角Ｃ１－ＣＢ－Ａ的平面角øＢ１ＢＡ大小而变动.对于第(１)问ꎬ虽然三棱柱还没确定ꎬ但几何体的一些特征可以确定ꎬ取ＡＢ中点为Ｏꎬ因为Ｎ为ＡＣ中点ꎬＭ为Ａ１Ｂ１中点ꎬ则ＭＯʊＢＢ１ꎬＮＯʊＢＣ.因此ꎬ平面ＭＮＯʊ平面ＢＣＣ１Ｂ１ꎬ即得ＭＮʊ平面ＢＣＣ１Ｂ１.对于第(２)问ꎬ若①ＡＢʅＭＮꎬ此条件有什么作用?由第(１)问知三棱柱随二面角Ｃ１－ＣＢ－Ａ的平面角øＢ１ＢＡ大小而变动ꎬ由此表明条件 ＡＢʅＭＮ 是起到决定二面角Ｃ１－ＣＢ－Ａ的大小作用.因为Ｎ为ＡＣ中点ꎬ则ＮＯʅ平面ＡＢＢ１Ａ１.又因为ＡＢʅＭＮꎬ则ＡＢʅＭＯꎬ即得øＡＢＢ１＝９０ʎꎬ可知三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的底面是腰长为２的等腰直角三角形ꎬ侧面ＢＣＣ１Ｂ１和侧面ＡＢＢ１Ａ１都是正方形ꎬ高为２的直棱柱.如图３ꎬ建立空间直角坐标系ꎬ易求Ｏ０ꎬ０ꎬ０()ꎬＢ(０ꎬ－１ꎬ０)ꎬＮ(１ꎬ０ꎬ０)ꎬＭ(０ꎬ０ꎬ２)ꎬ及平面ＢＭＮ的法向量(２ꎬ－２ꎬ－１)ꎬ即得直线ＡＢ与平面ＢＮＭ所成角的正弦值为２３.本题还可以利用等积法ꎬ或利用平面与平面垂直的性质定理ꎬ直接找点Ｏ在平面ＢＭＮ上的投影.评注㊀一个几何体的特征ꎬ常常在点㊁线㊁面之间位置关系中体现ꎬ而点㊁线㊁面之间位置关系必定存在相对应的数量关系.本题的关键是由条件 侧面ＢＣＣ１Ｂ１为正方形ꎬ平面ＢＣＣ１Ｂ１ʅ平面ＡＢＢ１Ａ１ 和平面与平面垂直的性质定理推断出 øＣＢＡ＝９０ʎ .由条件 ＡＢʅＭＮ(或ＢＭ＝ＭＮ) 推断出 øＡＢＢ１＝９０ʎ .由形得数的过程ꎬ就是从观察几何图形中点㊁线㊁面的位置关系着手ꎬ寻找几何特性ꎬ从中挖掘有价值的数量关系ꎬ然后将各个信息联合在一起ꎬ通过逻辑推理ꎬ推断出有价值的结论.２以数养性ꎬ以性定形例２㊀(２０２２年全国新高考Ⅰ卷第１９题)如图４ꎬ直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积为４ꎬΔＡ１ＢＣ的面积为２２.(１)求Ａ到平面Ａ１ＢＣ的距离ꎻ(２)设Ｄ为Ａ１Ｃ的中点ꎬＡＡ１＝ＡＢꎬ平面Ａ１ＢＣʅ平面ＡＢＢ１Ａ１ꎬ求二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的正弦值.图４㊀２０２２年全国新高考Ⅰ卷第１９题图㊀㊀图５㊀例２解析图分析㊀对于第(１)问ꎬ设点Ａ到平面Ａ１ＢＣ的距离为ｄꎬ由Ｖ锥＝１３Ｓ侧ｄ＝１３Ｖ柱ꎬ得ｄ＝２.对于第(２)问ꎬ由ＡＡ１＝ＡＢ得直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的侧面ＡＡ１Ｂ１Ｂ是正方形.那么三棱柱的底面形状及高是处于变动还是确定?若确定ꎬ相关的边㊁角的大小又为多少?条件 әＡ１ＢＣ的面积为２２ 除了求点Ａ到平面Ａ１ＢＣ的距离的作用外ꎬ还有什么其他的作用?如图５ꎬ因为侧面ＡＡ１Ｂ１Ｂ是正方形ꎬ连接ＡＢ１ꎬ则ＡＢ１ʅＡ１Ｂ.由平面与平面垂直的性质定理知ＡＢ１ʅ平面Ａ１ＢＣꎬ即得２ｄ＝ＡＢ１＝２２ꎬ故三棱柱的高为２.接下去探究底面的形状ꎬ由ＡＢ１ʅ平面Ａ１ＢＣ不难得到ＡＢ１ʅＢＣꎬＢＣʅ侧面ＡＡ１Ｂ１Ｂꎬ即得ＡＢʅＢＣ.因此底面әＡＢＣ和截面Ａ１ＢＣ都是直角三角形ꎬ再从ΔＡ１ＢＣ的面积为２２得ＢＣ＝２ꎬ故三棱柱的底面是腰长为２的等腰直角三角形.不仅三棱柱完全确定ꎬ而这个三棱柱比较熟悉ꎬ是长方体割出的一部分.接下来是如何求二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的正弦值.多数学生会使用向量坐标法进行解决ꎬ而向量法只是为解决立体几何问题提供了一种工具ꎬ多一种渠道而已.对一些立体几何能力强的学生ꎬ当得知三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的特征后ꎬ根据条件ꎬ设Ｄ为Ａ１Ｃ的中点ꎬ取ＢＤ中点为Ｏꎬ由对称性ꎬ不难证明øＡＯＣ就是二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角ꎬ易得ｓｉｎøＡＯＣ＝３２.评注㊀本题只给出三棱柱是直棱柱ꎬ其它条件与三棱柱的形状特征联系并不明显.第(２)问的难点是如何发挥 点Ａ到平面Ａ１ＢＣ的距离ｄ＝２ 和 әＡ１ＢＣ的面积为２２ 的作用.通过先以数得性ꎬ再以性定形的思维过程ꎬ确定直棱柱的高及底面әＡＢＣ和截面Ａ１ＢＣ都是直角三角形.试题突出了对直观想象㊁逻辑推理等核心素养的考查.３数形互化ꎬ以性制胜例３㊀(２０２２年浙江高考数学第１９题)如图６ꎬ已知梯形ＡＢＣＤ和ＣＤＥＦ都是直角梯形ꎬＡＢʊＤＣꎬＤＣʊＥＦꎬＡＢ＝５ꎬＤＣ＝３ꎬＥＦ＝１ꎬøＢＡＤ＝øＣＤＥ＝６０ʎꎬ二面角Ｆ－ＤＣ－Ｂ的平面角为６０ʎ.设ＭꎬＮ分别为ＡＥꎬＢＣ的中点.(１)证明:ＦＮʅＡＤꎻ(２)求直线ＢＭ与平面ＡＤＥ所成角的正弦值.㊀图６㊀２０２２年浙江高考数学㊀㊀㊀㊀图７㊀例３解析图第１９题图分析㊀本题的几何体是一个五面体ꎬ从已知条件得知直角梯形ＡＢＣＤ和ＣＤＥＦ是确定的ꎬ并且øＦＣＢ是二面角Ｆ－ＤＣ－Ｂ的平面角ꎬ即øＦＣＢ＝６０ʎ.也就是说五面体ＡＢＣＤＥＦ的形状是完全确定的.对于第(２)问ꎬ多数学生使用向量坐标法进行处理ꎬ此法思路比较简单ꎬ但需要建立空间直角坐标系ꎬ并求平面ＡＤＥ的法向量坐标和线段ＢＭ的向量坐标.而且还需要一定的运算量ꎬ对于运算能力较弱的学生ꎬ容易造成失分.若用几何综合法进行处理ꎬ要求直线ＢＭ与平面ＡＤＥ所成角的正弦值ꎬ关键是找点Ｂ在平面ＡＤＥ的射影位置.若从条件所提供数量特征的角度去审视图形ꎬ如图７ꎬ由ＡＢ＝５ꎬＥＦ＝１ꎬ得直角梯形ＡＢＦＥ的中位线长为３ꎬ而ＣＤ＝３.现取ＢＦ中点为Ｏꎬ连接ＭＯꎬＣＯꎬ不难得到ＣＤＭＯ是平行四边形.又因为ＯＣʅ平面ＡＢＦＥꎬ所以ＤＭʅ平面ＡＢＦＥꎬ即得平面ＡＤＥʅ平面ＡＢＦＥ.现过点Ｂ作ＢＨʅＡＥꎬ点Ｈ为垂足ꎬ则ＢＨʅ平面ＡＤＥꎬøＢＭＨ就是直线ＢＭ与平面ＡＤＥ所成角.在直角梯形ＡＢＦＥ中ꎬ因为ＡＢ＝５ꎬＢＦ＝２３ꎬＦＥ＝１ꎬøＡＢＦ＝９０ʎꎬ所以ｓｉｎøＢＡＥ＝２１７ꎬＢＭ＝２３ꎬ即得ｓｉｎøＢＭＨ＝５７１４.由于条件中各个数量有良好的关系ꎬ本题可以通过补形方法ꎬ将五面体补形成一个正三棱柱ꎬ让几何体形状由 丑 变 美 .评注㊀利用几何综合法求直线与平面所成角大小ꎬ关键是寻找直线在平面上的射影.在研究比较复杂的几何体时ꎬ几何体的一些重要几何特征常被遮掩ꎬ导致解题思路受阻.本题条件给出的几何体是一个五面体ꎬ点Ｂ在平面ＡＤＥ上的投影点位置较难发现.根据条件所提供的数量关系ꎬ通过数形结合思想ꎬ感知ＢＭ与平面ＡＤＥ有特殊位置关系ꎬ由此获得有价值的重要解题信息ꎬ被隐藏的直线与平面所成角才显露出来.试题给学生提供了较大的思考空间ꎬ对知识之间的联系㊁直观想象等素养做了深入的考查ꎬ突出了对发散性思维和创新性思维的考查.例４㊀(２０２２年全国高考数学乙卷理科第１８题)如图８ꎬ四面体ＡＢＣＤ中ꎬＡＤʅＣＤꎬＡＤ＝ＣＤꎬøＡＤＢ＝øＢＤＣꎬＥ为ＡＣ中点.(１)证明:平面ＢＥＤʅ平面ＡＣＤꎻ(２)设ＡＢ＝ＢＤ＝２ꎬøＡＣＢ＝６０ʎꎬ点Ｆ在ＢＤ上ꎬ当әＡＦＣ的面积最小时ꎬ求ＣＦ与平面ＡＢＤ所成角的正弦值.分析㊀对于第(１)问ꎬ以形定性ꎬ由ＡＤ＝ＣＤꎬøＡＤＢ＝øＢＤＣꎬ得әＡＤＢɸәＣＤＢꎬ四面体具有对称性.又因为Ｅ为ＡＣ中点ꎬＡＢ＝ＣＢꎬ所以ꎬＢＥʅＡＣꎬＤＥʅＡＣꎬ即ＡＣʅ平面ＢＤＥꎬ故平面ＢＥＤʅ平面ＡＣＤ.图８㊀２０２２年全国高考数学㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例４解析图㊀㊀㊀乙卷理科第１８题图对于第(２)问ꎬ以数定性ꎬ由ＡＢ＝２ꎬøＡＣＢ＝６０ʎꎬ可知四面体ＡＢＣＤ形状是确定ꎬ即әＡＢＣ是边长为２的正三角形ꎬәＡＤＣ是等腰直角三角形ꎬ腰长ＡＤ＝ＣＤ＝２.又因为ＢＤ＝２ꎬ所以øＤＥＢ＝９０ʎꎬ即平面ＡＣＢʅ平面ＡＣＤ.不难发现四面体ＡＢＣＤ不仅形状确定ꎬ且具有对称性ꎬ比较 端正 ꎬ如图９.这样建立空间直角坐标系就比较方便ꎬ并且各关键点的坐标也易求.多数学生是使用向量坐标法求ＣＦ与平面ＡＢＤ所成角的正弦值.若从几何角度去观察思考ꎬ要使әＡＦＣ的面积最小ꎬ必须ＥＦʅＢＤꎬ即ＢＤʅ平面ＡＣＦꎬ平面ＢＡＦʅ平面ＣＡＦꎬ有了这个 良性 的结果ꎬ现过点Ｃ作ＣＨʅＡＦ(或ＡＦ延长线)ꎬ点Ｈ为垂足ꎬ根据平面与平面垂直的性质定理ꎬ知ＣＨʅ平面ＡＦＢꎬ即得øＣＦＨ是ＣＦ与平面ＡＢＤ所成角.在ＲｔәＢＤＥ中ꎬ求得ＦＥ＝３２ꎬ在等腰әＡＣＦ中ꎬ不难求得ｓｉｎøＡＦＣ＝４３７ꎬ即ＣＦ与平面ＡＢＤ所成角的正弦值４３７.评注㊀本题的几何体特征没有直接给出ꎬ而是从条件所提供的有关各个数量关系中ꎬ发现几何体中相关的点㊁线㊁面所处的位置有良好的特性ꎬ受这些特性的启发ꎬ激活了解题思路.在研究空间几何体各种距离和角时ꎬ如何找到平面垂线的合适位置ꎬ是解决问题的关键ꎬ而平面与平面垂直的性质定理在找平面的垂线中可以发挥重要作用.在处理立体几何一些问题中ꎬ以数定性㊁由性求数㊁数形互化ꎬ是解题常用的重要思想方法.如何灵活运用数形结合思想ꎬ提高空间想象能力?首先ꎬ需要扎实的几何基本知识.合理㊁有效的想象需要一定知识和经验积累支撑ꎬ几何概念㊁公理㊁定理和性质是想象的根基ꎬ也是直观想象合法保障.具有扎实的几何基本知识ꎬ才能使几何直观想象有理有据ꎬ使空间想象力合乎理性㊁有逻辑.其次ꎬ准确把握几何体的结构特征.数量关系是空间结构不可或缺的重要组成部分ꎬ无非是我们眼睛不能直视ꎬ需要我们进行抽象概括ꎬ然后以纯粹的形式进行演算㊁推理与证明.因此ꎬ在解决立体几何题时ꎬ既要挖掘隐含在几何体中的数量关系ꎬ又能从数量关系中推断几何特性.最后ꎬ重视从动态思维审视几何体.由于几何图形为了直观性ꎬ图形中数量有 失真 ꎬ其中的一些数量从表面上看与真实的数量并不相符ꎬ直接影响对几何体的正确认识和理解.可以通过 拆 解几何体ꎬ将空间图形转化为平面图形ꎬ为数形结合提供良好的环境[１].参考文献:[１]洪昌强.高考试题的 稳 与 活 :以２０２０年和２０２１年浙江省高考压轴题为例[Ｊ].理科考试研究ꎬ２０２２ꎬ２９(１９):２５－２７.[责任编辑:李㊀璟]。
十年全国卷压轴题中的数形结合思想研究综述
2020年7月1日理科考试研究•数学版• 7 •十年全国卷屈轴题中的教形结合思想斫堯综述刘再平(汉中市镇巴中学陕西汉中723600)摘要：本文以近十年全国卷中的函数与导数压轴题为载体，首先阐述了数形结合思想的内涵与类型，然后分析了 数形结合思想在近十年全国卷压轴题中的考查情况，并结合一些具体的高考压轴题进行说明，最后提出了一些针对数 形结合思想的教学建议.关键词：压轴题;数形结合思想；教学建议1数形结合思想的内涵与类型1.1 数形结合思想的内涵数形结合思想主要指数与形之间的一种对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系等结合起来，通过代数问题与图形之间的相互转化，将抽象思维与形象思维进行结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.数形结合思想是处理数学问题的重要指导思想和基本策略，也是中学阶段最典型与最重要的思想方法之一.我国著名数学家华罗庚教授对数形结合思想有着高度的评价:“数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事非.”1.2数形结合思想的类型数形结合思想主要有三种类型.(1) 以形助数.以形助数主要指将代数问题转化 为几何问题，然后用几何的方法去解决问题，具体方法有构造距离、斜率模型、构造平面图形、构造立体图形等；(2) 以数解形.以数解形主要指将几何问题转化 为代数问题，然后再用代数的方法去解决问题，具体方法有函数法、解析法、三角法等；(3) 数形互助.数形互助主要指将代数问题与几 何问题根据题目意思互相转化，最终达到问题解决目的，具体方法有面积法、体积法等.2近十年全国卷压轴题中的数形结合思想统计与分析 近十年全国卷共44套试卷，即有44道压轴题，其中37道是函数与导数压轴题，占总量的84. 1%，这也表明函数与导数问题承担了大部分全国卷压轴题的角色，所以下面主要研究近十年全国卷函数与导数压轴题中的数形结合思想，具体统计见表1.表1理科压轴题中的数形结合思想文科压轴题中的数形结合思想2018年n卷2018年m卷2019年n卷2018年I卷2017年I卷2017年n卷2017年n卷2016年I卷2017年in卷2016年I卷2016年in卷2015年I卷2015年I卷2015年n卷2015年n卷2014年n卷2014年I卷2014年n卷2013年n卷2011年课标卷2013年n卷2011年课标卷2010年课标卷从表1可以获得以下结论.首先,近十年全国卷37道函数与导数压轴题中有23道题对数形结合思想有所考查，占62. 2%，说明数形结合思想在全国卷函数与导数压轴题中考查得比较频繁，不容忽视；其次，从表1不难发现，数形结合思想在2010 ~2018年的函数与导数压轴题中考查较多，然而在2019年高考压轴题中出现较少，这是因为2019年全国I，n ,111卷的六套数学试卷的压轴题有五道变为了圆锥曲线试题，然而这并不能断定2020年高考全国卷不会以函数与导数内容命制压轴题，更不能说明高考会降低对数形结合思想的考查；最后，近十年文理科全国卷函数与导数压轴题对数形结合思想的考查频率都比较高，这说明数形结合思想要引起文理科师生的共同重视.3全国卷中数形结合思想的典型压轴题分析由于函数本身就伴随着图象，导数也有其几何意义，所以数形结合思想必然会在函数与导数压轴题中有所渗透，下面以近几年全国卷高考压轴真题为例进行阐述.例1(2018年全国I卷文科压轴题）已知函数f(x) =aex-In A：- 1.作者简介：刘再平（1987 -)，男，陕西镇巴人，教育硕士，中学二级教师，研究方向：高考与数学竞赛试题研究.理科考试研究•数学版2020年7月1日(1) 设x = 2是/U )的极值点，求a ,并求)的单 调区间；(2) 证明d a 奋丄时，/(*)>0•e解析（1)略；(2)当 a 多丄时，/(;〇 3：^- - lrw - 1 =e*_l - lrw -e e1，要证八幻彡〇，即证6*-1-11«-1彡〇.如图1，/(幻=liw 在点（1，0)处的切线为y =x - 1，即有不等式矣*-l .如图2，/(*) 在点（0,1)处的切线为y = * +1,即有不等式f &x + l .所以-1似-1多①e *'1 ^-x .②① + ②，得 e 1 — 1 -lrw -l &O •得证.例2 (2013年全国D 卷理科压轴题）已知函数f {x ) = ex -\n(x + m ).(1) 设；c =0是/(X )的极值点，求并讨论/(X ) 的单调性；(2) 当m 矣2时，证明/(x ) >0•解析（1)略；(2)如图3,知e 1 >ln U +2)，所以要证肌矣2时, /(;〇 >0,即证 e * - ln(x + m ) & - ln(x + 2) >0.得证.例3 (2014年全国]丨卷文科压轴题）已知函数/(*) =*3 -3a :2 +ax +2,曲线 y =/(；*)在点（0,2)处的 切线与x 轴交点的横坐标为-2.(1) 求的值；(2) 证明：当& <1时，曲线y =/(*)与直线y = -2只有一个交点.解析（1)略；(2)将题意转化为函数g (x ) 土^^与/Kx ):A - 1只有一个交点.因为贫，（*) ^(x ~2)(2x22+X +2) ^0,S P x =2,X则函数在（-»，0)和（0,2)单调递减，在（2,+ 〇〇)上单调递增.x- 〇〇 , g (*)—>• + 〇〇 , x —^0", g («)->- 〇〇 ,g (2) =0,&(*) <0,所以函数g (x )与/*(幻的图象如 图4，所以函数g U )与/;c )只有一个交点，得证.评注上述高考压轴题体现了数形结合思想，当 画出图象后，以形助数，展示了问题的数学本质.数形 结合思想是课程标准和考试说明中所要求掌握的核 心思想方法之一，尤其在函数试题中体现得十分明 显，具体运用时,首先需要根据题意直接或转化作出 题意所表征的图象，将数与形完美地结合起来，简化 解题过程，提高问题解决的效率.4教学建议在函数与导数问题的教学中，数形结合思想是师 生不得不重视的数学思想方法，当然同一道函数与导 数问题解决方法不同，数形结合的视角也有差异，这 需要师生的辨析与优化.那么，在函数与导数压轴题 的教学中如何渗透数形结合思想呢？笔者建议：(1)充分挖掘教材上的数形结合思想.如：教材上的指数、对数与三角函数的图象与性质等，这些教材核心内容都是培养学生数形结合思想的好素材.(2) 教师要上好数学概念课以及章末复习课.因 为数学概念的生成往往渗透着数学思想，章末复习课 不仅仅是组织学生做大量习题，而是要突出章末复习课的两个核心功能：一是构建本章节知识的思维联系;二是渗透数学思想方法.(3) 有目的、有意识地渗透、介绍和突出与函数导数压轴题有关的数形结合思想.首先展示数形结合思 想在指导数学解题方面的魅力，再通过讲练结合、合作探究与归纳等多种方式促进学生感悟数形结合思2020年7月1日想，提高学生灵活运用数形结合思想解决函数与导数 压轴题的能力.(4)有计划、有步骤循序渐进地渗透数形结合思 想.由于数学思想方法教学具有隐晦性、活动性、主观 性和差异性，所以数学思想方法的教学一般都不是一• 9 •蹴而就、一气呵成的，它需要教师长期地渗透，学生慢 慢地感悟和运用，这将是一个静等花开的过程.参考文献：[1]钱佩玲.数学思想方法与中学数学[M ].北京:北京 师范大学出版社,2008.(收稿曰期：2020 -03 -03)理科考试研究•数学版2019年全国n 卷理科教学第12题的鮮折和思考苏艺伟(龙海第一中学新校区福建龙海363100)摘要：本文以2019年全国n 卷理科第12题为例，探析试题的解法、命题方式，并进行变式，最后给出教学建议和 练习，以期更好地指导教学，达到举一反三之效.关键词：探析解法；变式；举一反三1试题呈现题目（2019年全国n 卷理科第12题）设函数/U )的定义域为/?，满足/U + 1) =2/(幻，且当;ce (〇，1]时/(x ) =•若对任意 ^ e ( - 〇〇 , m )都有八幻■，则m 的取值范围是（）•A . ( - 〇〇 ,9-1B .1 4 JC _ (- 〇〇，y ]D .2试题分析本题从知识点上看，涉及函数的解析式、函数的 图象、不等式恒成立问题;从数学思想方法上看，意在 考查分类讨论思想、数形结合思想;从核心素养上看， 主要考査直观想象素养、数学运算素养.题中给出* £ (〇，1]时的解析式，结合关系式八* + 1) =2/U ),容易 求得自变量每间隔一个单位区间时的函数表达式，最后结合不等式/(幻多■求出m 的取值范围.3试题初步解析邮(* + 1) =2/U )可得/U ) =2/(x - 1).当：《e (l ，2]时，欠 一 l e (0，l ]，/(x -l )=(x -l )• (x -2)，即/(=2(x - l )(x -2).当 x e (2,3]时，x -1 e (l ，2]，/(x -l ) 二2(：^；-2)(x —3)，艮P /(；0=4(尤一2)(尤一3)•画#(幻在(〇,3]的图象，如图1所示.令 4(% - 2)(尤-3) =-*|■，解得七=+，欠2 =结合图象可知•故选B .4试题反思根据题目条件求出各段的函数解析式，再结合图象求出满足题意的临界点|■，从而求出m 的取值范围.上述解法充分体现了分类讨论思想和数形结合思想的运用，其中关系式Ax + l ) =2/(x )起到了桥梁的 作用.那么，如果从图形的角度理解，该关系式如何体 现？观察图1不难发现，从左往右看，自变量每增加 一个单位，函数值是先前函数值的两倍，即当(0,1 ]时/U )的最小值为;当*e (1,2]时/(；〇的最小基金项目：2019年度福建省基础教育课程教学研究课题“微课在高中数学教学中的开发研究”（项目编号：MJYKT 2019 - 031). 作者简介：苏艺伟（丨986 -),男，福建龙海人，本科，中学二级教师，研究方向：高中数学教育.。
数形结合的思想方法与高考数学解题技巧
数形结合的思想方法与高考数学解题技巧摘要：高考数学最重要的就是高效率做题，时间不能浪费在解题步骤上，也不能让自己因为做题方法不正确，从而产生不好的心态。
数形结合在高考中，是难点、重点题目经常会用的方法。
数形结合的特点就是把难的转化为简单的，更直接清晰的发现问题，从而解决问题。
使用数形结合的方法，大部分数学应用题就会迎刃而解。
本文具体分析了什么是数形结合，以及如何让数形结合应用在高中的解题中做一个介绍。
关键词：数形结合；思想方法；高考；数学解题技巧一、引言高考之前，找到每一种类型题的解题方法是必须的，必须通过大量的练习总结经验，总结方法，尤其是数学解题思路。
其实，数形结合是最快最高效的解题方法。
数形结合，就是图解法，根据数与形之间的对应关系，通过图形的直观性来解决问题，是高中数学学习和解题的方法，这两之间的结合，可以把抽象的问题简单化。
有的图形简单，没有规律，把数值记录下来，更容易找出规律，有的就是数值看不到变化，画出图形就能看出是程什么趋势走向，使学生更快速的解题。
二、数形结合思想方法1.数与形有三种转换途径：①建立坐标系，把数通过图线的绘制，动态分析求解。
②通过分析数和式之间的关系、特点，转化问题思路，把复杂的问题转化成一个简单的来考虑。
③构造，根据数字的规律，联想几何图形，或者某一个函数，再或者建立一个图表。
更快速的分析解答。
2.解题的三种类型：①“由形化数”:就是根据题目中给出的图形，通过分析观察，找出图中关键的点，总结出数量关系,然后根据数的变化来判断几何图形。
②“由数化形”:这个就是根据已知条件，把数字转化成图形,包括有空间的，函数的图形。
然后在图中观察数字之间的变化情况,根据走向趋势，判断数量关系，找出数与式的本质特征.③“数形转换”:就是两个数和形状都给出，然后通过分析数的关系和观察图的形状，两者之间各自相互转换，找出隐含的数量关系。
三、数形结合思想方法的应用策略（一）以形助数在高三的数学学习中，题量的增加，各种解题方法容易搞混，而且对于一些既复杂又抽象的问题时，学生表示没有思路，题目得多读几遍，不容易理解。
高考专题----数形结合思想浅析
高考专题----数形结合思想浅析''数形结合百般好,隔离分家万事非''——这是我国著名数学家华罗庚在谈到数形结合时的精辟论断。
数形结合是我国传统数学的基本思想方法之一，在数学教学历史中具有举足轻重的地位.从《九章算术》的“析理以辞，解体用图”，到现代数学各分支“交叉渗透，学科整合”，无不体现着数形结合长盛不衰的魅力。
数形结合是推动数学向前发展的一种比较重要手段，数学一大部分知识都是围绕其演变、发展而展开的。
数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
下面我们结合具体例子来共同学习一下数形结合的思想。
一、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数零点的范围．【类题通法】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式．【类题通法】(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．【对点训练】三、数形结合思想在解析几何中的应用构建解析几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围.【类题通法】(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．【对点训练】。
数形结合 妙在其中——2014年新课标全国卷Ⅱ第21题的别解
数形结合妙在其中——2014年新课标全国卷Ⅱ第21题的别
解
黄邦活
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2015(034)008
【摘要】1试题展现题目已知函数f（x）=x3-3x2＋ax＋2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2．
【总页数】3页(P50-52)
【作者】黄邦活
【作者单位】江西省南康中学 341400
【正文语种】中文
【相关文献】
1.通性通法难解压数形结合显威力——从新课标全国卷压轴题看数形结合思想 [J], 王耀文
2.基于课标理念的物理试题评析——2014年全国卷新课标Ⅰ卷25题的多种解法与评析 [J], 李德芳
3.2016年新课标全国卷Ⅰ理科数学第21题的研究与反思 [J], 冯克永
4.2014年新课标全国卷Ⅱ第17题的再探究与推广 [J], 叶晓斌;胡明月
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数形结合并蒂花开——浅析数形结合思想在初中数学教学中的运用
数形结合并蒂花开——浅析数形结合思想在初中数学教学中的运用发布时间：2022-09-01T03:43:04.270Z 来源：《中小学教育》2022年第469期作者：李鼎辉[导读] 数形结合既是解决问题的一个过程，又是形象思维和抽象思维相互促进、相互转化的过程。
广东省惠州市第八中学516000摘要：数与形的结合在初中数学的问题上起到了很大的作用，因为初中数学的某些知识都比较抽象，用常规的方法很难使其完全掌握，所以在初中数学教学中必须把数形结合的理念传授给学生。
因此，本文从多个角度对此进行分析与探讨。
关键词：初中数学数形结合举例数形结合既是解决问题的一个过程，又是形象思维和抽象思维相互促进、相互转化的过程。
在初中阶段，数字与形的组合，可以充分利用数与形的优点，将抽象的数学语言与图像相结合，从而使数学的学习变得容易。
因此，教师需要不断地去探究、帮助学习数形结合的方法。
一、以数助形“数(代数)”和“形(几何)”是初中数学领域的重要课题，两者有着密切的关系。
具体表现在“以数助形”、“以形助数”等几个领域。
“数”和“形”就像“左右腿”一样，都是数学学习方式中的一种。
要充分认识数字与形之间的关系，必须从“以数助形”、“以形助数”两个层面来认识，还要注意“数”“形”的优点和不足。
例如：要实现数学问题的“数形结合”，就必须把“数”与“形”的关系搞清楚，并从“以数助形”的角度，可以得到以下两种结果：1.用数轴、坐标系来代数；2.利用面积、距离、角度等几何参数。
又例如：利用勾股定理对直角进行证明，利用三角函数对角度进行分析，利用直线段的比例来验证相似性等。
已知平面直角坐标系中任意两点A(x1，y1)和B(x1，y2)之间的距离可以用公式AB= 计算。
利用这个公式计算原点到直线y=2x+10的距离。
解：设P(x，2x+10)是直线y=2x+10上的任意一点，它到原点的距离是OP= + = 当x=-4时，OP最小=2 。
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第３ ２ 卷第 １ ２ 期
２ ０ １ ３ 年１ ２ 月
通性通法难解压
— —
数形结合显威 力
从新课标全国卷压轴题看数形结合思想
王 耀 文
（ 甘肃省 陇西县第一 中学 ７ ４ ８ １ ０ ０ ）
数形结合思想是高 中数学最重要 的数学 思想方法之一 ， “ 注重通性通法 ， 强调考查数 学思想方法” 是高考命题的指导思想和命题
｜
ｔ
（ 。 ， 。 ＋ ） 处 的 切 线 为
＞ １ － ４ １ ｎ １ ＝ １ ｎ 号 ．
第３ ２卷第 １ ２期
２ ０ １ ３ 年１ ２月
数学教学研究
４ ３
例２ （ ２ ０ ０ ８年 全 国 新课 标 卷 ） 设 函 数
１
结合 导 函数 图像 ， 易得
口 ＜２ ＜ 且 ａ十 一 ２ ， 一口一 ２ ．
厂 （ ） ＝ 口 ＋ ＝ｌ ＿（ ｎ ， ｂ Ｅ ｚ ） ， 曲 线 一厂 （ ） 在
Ｆ （ ｚ） 一 一 １ —２ 口 ｚ ．
（ ３ ） 证明 ： 曲线 一厂 （ ） 上任一点处的切 线与直线 ｚ 一１ 和直线 — 所 围三角形 的 面积为定值 ， 并求 出此定值．
分 （ １ ） ， （ Ｚ ） 脚 备 ．
（ ３ ） 由（ １ ） 知，
厂（ ） 一ｚ ＋ ．
考题， 严重影响 了来年学生复习此类 问题 的 信心） ． 下面我们来欣赏数形结合思想在解决 这类问题 中的威力． 例ｌ （ ２ ０ ０ ７年全 国新课标 卷） 设 函数
，（ ） ＝ｌ ｎ （ ＋ｎ ） ＋ 。 ．
ｆ ｊ
＼
／
正 Ｃ 孕 １ ） ｜ ｜ 、 ｜ ． ｜ ‘
ｐ
＼
‘ ／
‘ Ｄ
令ｇ ） ＝ 一１ ， Ｊ ｌ （ ｚ ） ￣ － ２ ａ ｘ ．
因为 ｇ （ Ｏ ） 一１ ， 所 以 曲线 —ｇ （ ｚ ） 在 ｘ＝０处
． ＾ Ｉ ／
设 曲 线 Ｙ—ｆ（ ｚ ） 在 Ａ
／ 【 ， ｜
／ ｆ Ｊ
／ ｝
＝ｌ ｎ Ｅ ｘ ｌ ｘ ２ －ａ ４ （ ｘ １ ＋ ） ＋口 。 ］ ＋口 一１
一
② 当 △＝４ ａ 一８ ＞Ｏ时 ， ｎ ＞ ， 或ｎ ＜
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｌ ｎ （ 丢 － ａ ２ － ４ ａ ｚ － ４ ａ １
ｌ ｎ 去＋ｎ 。 一１
压．
＝
若口 ＜ 一√ ２ ， 观察 ： ＝ ： ｇ （ ｚ ） 的图像 （ 图 １ ） ， 易知图像与 轴 的两个交点 （ Ｂ ， Ｃ ） 的横
图２
图１
若ａ ＞４ Ｙ， 观察 ＝ｇ ） 的图像 （ 图２ ） ， 易知图像与 ｚ轴 的两个交点 Ｂ， Ｄ的横坐标 ｚ， 都大于一ａ （ Ｅ 点 的横 坐标 ） ， 所以
ｇ （ ｚ ） 在（ 一ｎ ， ｚ １ ） ， （ ｘ ｚ ， －∞） ４ 上恒大于 ０ ， 在 （ ， ， ｚ 。 ） 上 恒小 于 ０ ． 即口 ＞ 时， ，（ ） 在 （ 一口 ， １ ） ， （ ２ ， －ｏ ４ ｏ ） 上为增函数 ， 在（ ｚ １ ， ２ ）
所以若 ， （ ） 存在极值 ， 则 口的取值 范围为
２， ４ － ｏ ｏ ） ． 且
（ ２ ） ／（ ） 一— ２ ｘ — ２ － ４ — ＝ ２ ｒ ＿ ａ — ｘ －１ ４ ． ｚ ＞－ － ａ ）
Ｚ Ｉ —ａ
ｆ （ ｘ １ ） －ｆ ４ （ ｘ ｚ ）
＝
ｌ ｎ （ ｘ １ －口 ４ ） －ｌ ４ ｎ （ ｘ ２ －口 ４ ） －ｘ ４ ｝ ＋ｚ ；
点（ ２ ， 厂 （ ２ ） ） 处的切线方程为 一３ ． （ １ ） 求 一厂 （ ） 的解析式 ；
（ ２ ） 证 明： 曲线 一厂（ ） 的 图像是 一个 中 心对 称 图形 ， 并求 其 对称 中心 ；
由口 ＜２ ＜卢得 ｎ ＜一６ ， 所 以
ａ 一
，（ ） 一 一１ 一 一口 ｚ 。 ．
（ １ ） 若当 ＝一１ 时， ， （ ） 取得极值， 求ｎ 的值 ， 并讨论 ｚ ） 的单调性 ；
（ ２ ） 若， （ ） 存在极值 ， 求ａ 的取值范 围，
并证明所有极值之和大于 Ｉ ｎ ｅ ．
分析 （ １ ） 略．
．
上为减函数， 即， （ ｚ ） 在Ｘ ， 。 处取得极值．
一 甄
＞６ ．
例４ （ ２ ０ １ ０ 年 全国新课标卷 ） 设 函数 （ １ ） 若ａ ＝０ ， 求， （ ｚ ） 的单调区间； （ ２ ） 若当 ≥Ｏ 时厂 （ ） ≥０ ， 求 口的取值 范围． 分析 （ １ ） 略．
（ ２ ） 设 Ｆ（ ） 一 一 １ 一 —ｎ ， 则
坐标都小于一口 （ Ｅ点 的横坐标） ， 所以 ｇ （ ｘ ）
在（ 一口 ， ＋。 。 ） 上 恒大于 ０ ． 即 以 ＜ 一 时 ，
厂（ ） ＞ｏ 恒成立， 函数 厂 （ ） 无极值．
原则． 从对近 ７ 年新课标全 国卷压轴题 （ 导数 问题） 的研究发现 ， 对数形结合思想方法的考
查已达到了一定 的深度和高度． 如能在解决
｜
‘
ｆ －
ＹＣ ｊ
＼
／
｜ ｄ ｌ
Ｉ Ｖ ＝ （ ， ‘ Ｊ ‘ ｆ
这类问题中， 体现数形结合思想 ， 可以大大降 低这类问题的难度 ， 并使 问题直观 、 简单 、 明 了（ 有些参考答案技巧性太 强， 比如 ２ ０ １ ０年
设 ｇ（ ） ＝２ ｘ ４ － ２ ａ ｘ －１ ４ ．
＝
ｌ ｎ Ｅ （ ｘ １ ＋ｎ ） （ ２ ＋ａ ） ］
＋（ １ －Ｘ ４ ２ ） ０ －２ ｘ１ ｚ ２
① 当 △＝４ ａ 。 一８ ≤０ ， 即一 ≤ａ ≤
时，
） ≥ｏ 恒成立 ， 函数 厂 ） 无极值．