4.1成比例线段(二)
4.1比例线段(2)
A
B
D
做一做.
1.如图，已知AD，CE是△ABC中BC、AB 上的高线，求证：AD：CE=AB：BC
A E
B
Dபைடு நூலகம்
C
DE 2.如图在平行四边形ABCD中，
AB, DF BC
找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说 明理由． D c A E a d Ｂ C
F b
拓展与提高：
1.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC，对角线BD 与AC交于点O。试判断线段AE，AO，BD，BC 是否成比例，并说明理由。 2.如图，已知
4.1.2比例线段
要点
线段比 比例线段 面积法
比例尺
1 1 B′
A′
AB=
2 AC= 5
A
2 5 两条线段的长度比 叫做这两条线段的比
AB AC =
B
C A B ∴
A′B′
A B
A′B′
1 2 = = 2 2 2 1 5 = = 2 2 5
C′
A C
A′C′
=
A C
A′C′
1 1 B′ A
A′
请再找出左图的2 组比例线段，并写 出比例式
A B
A′B′
=
A C
A′C′
B
C C′
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的
a c 比．即 那么这四条线段叫做成比例线段，简 b d
称比例线段．
例1 判断下列各组线段是否成比例，若成比例写出比 例式 （1）4cm、6cm、8cm、2cm；
（2）1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm；
（3）1.1cm、2.2cm、3.3cm、6.6cm；
浙教版九年级上数学4.1比例线段(2)含答案
浙教版九年级上数学4.1比例线段（2）含答案求线段的比要注意统一长度单位，特别在地图问题中单位的转换是易错点．1.C 是线段AB 上的一点，且AC ∶CB=2∶3，那么AB ∶BC 等于(B).A.2∶3B.5∶3C.3∶2D.3∶52.在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm ，则两地的实际距离是(C).A.30kmB.300kmC.3000kmD.30000km3.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是(C).A.2，5，10，25B.4，7，4，7C.2, 21,21，4 D. 2,5,25，52 4.给出下列各组线段，其中成比例线段是(D).A.a=2cm ，b=4cm ，c=6cm ，d=8cmB.a=21cm ，b=41cm ，c=61cm ，d=81cm C.a=2cm ，b=3cm ，c=10cm ，d=25cmD.a=2cm ，b=5cm ，c=23cm ，d=15cm5.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105km ，在一张比例尺为1∶2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于(A).A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度6.已知线段a=2cm ，b=（2-1）cm ，c=（2-2）cm ，则线段a ，b ，c 的第四比例项是2423 cm ．7.C 是线段AB 上一点，BC=2AC ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，那么MN ∶BC= 43 ． （第8题）8.在某地图册上，连结甲、乙、丙三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示.如果飞机从丙直飞甲的距离约为1290km ，那么飞机从丙绕道乙再到甲的空中飞行距离约是 3870 km ．9.如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F.找出图中的一组比例线段，并说明理由．（第9题）【答案】∵S ABCD =BC ·AE=CD ·AF ，∴CD BC =AEAF . （第10题）10.如图所示，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°．（1）求ACAB 的值． （2）求AB ∶AC ∶BC.（第10题答图）【答案】(1)如答图所示，作AD ⊥BC 于点D.在Rt △ABD 中，∵∠B=30°，∴AD=21AB,BD=3AD.在Rt △ADC 中，∵∠C=45°，∴AD=22AC,CD=AD.∴21AB=22AC.∴AC AB =2. (2)∵AB=2AD ，AC=2AD ，BD=3AD ，CD=AD ，∴BC=BD+CD=（3+1）AD.∴AB ∶AC ∶BC=2∶2∶（3+1）.11.已知甲、乙两幅地图的比例尺分别为1∶5000和1∶20000，如果甲图上A ，B 两地的距离与乙图上C ，D 两地的距离恰好相等，那么A ，B 两地的实际距离与C ，D 两地的实际距离之比为(C).A.5∶2B.2∶5C.1∶4D.4∶112.如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是(C).（第12题）A.19.4B.19.5C.19.6D.19.713.如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于(A).（第13题） A. 2∶1 B.1∶2 C. 3∶1 D.1∶314.已知AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的三等分点，则BC AC = 3或33 ． 15.李老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应线段AB ，对折后（点A 与B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作，在第一次操作后，原线段AB 上的41，43均变成21，21变成1.那么在线段AB 上的点中（点A ，B 除外），在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是 1 ．（第15题）16.如图所示，C 是线段AB 上的点，D 是AB 延长线上的点，且AD ∶BD=3∶2，AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，求AD 的长．（第16题）【答案】∵AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，∴AB=6.∵AD ∶BD=3∶2，∴AB ∶AD=1∶3.∴AD=18.17.如图所示，四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2.（1）求下列各线段的比：BC CD ，CF EF ，ABBF . （2）指出AB ，BC ，CF ，CD ，EF ，BF 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）.（第17题）【答案】(1)∵四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2，∴CD=EF=AB=3，BC=AD=6.5，CF=BC-BF=4.5.∴BC CD =5.63=136，CF EF =5.43=32，AB BF =32. (2)成比例线段有CF EF =ABBF (答案不唯一).18.【娄底】若在比例尺为1∶6700000的地图上量得我国南北的图上距离是82.09cm ，则我国南北的实际距离大约是 5500 km （结果精确到1km ）.19.已知点P 在线段AB 上，且AP ∶BP=2∶3，则AB ∶PB= 5∶3 .20.在线段AB 上存在一点C ，满足AC ∶CB=CB ∶AB=k ．（1）求k 的值．（2）如果三条线段a ，b ，c 满足a ∶b=b ∶c=k ，这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．（第20题）【答案】(1)设AB=x,则CB=kx,AC=k 2x.∵AC+BC=AB ，∴k 2x+kx=x.∴k=251±-. ∵k ＞0，∴k=215-.(2)不能.理由如下：∵a ∶b=b ∶c=k ，∴b=kc=215-c,a=kb=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2152c=253- c.∴a+b=c.∴线段a ，b ，c 不能构成三角形.。
4.1线段成比例
一.知识要点：
（一）比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或
，那么线段ｂ叫做线段ａ和
ｃ的比例中项．
（二）比例的性质：
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质:
或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 二、例题：
1.已知线段a=2，b=3，c=6，线段d 是a ，b ，c 的第四比例项，求d 的值。
2.已知3
2f e d c b a ===，且4f d 3-b 2=+，求e c 3-a 2+的值。
3.四边形ABCD 和四边形EFGH 中，AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE=3：2，若四边形ABCD 的周长为15，求四边形EFGH 的周长。
4.已知：线段a ，b ，c ，且
4c 3b 2a ==（1）求b b a +的值；（2）如线段a ，b ，c 满足a+b+c=27，求a ，b ，c 的值。
5.如果k z
y x y x z x z y =+=+=+，求k 的值。
北师大版九年级上册数学教案：4.1成比例线段
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识与实际操作相结合，加深了对成比例线段的理解。但我也发现，部分小组在讨论过程中存在依赖思想，个别成员不够积极参与。为了提高学生的参与度，我打算在下次活动中增加一些互动环节，鼓励每个学生都发表自己的观点。
-掌握比例的基本性质：包括比例的倒数性质（如果a:b=c:d，则b:a=d:c）、交叉相乘性质（如果a:b=c:d，则ad=bc）等。这些性质是解决比例问题的关键，需要在教学中反复强调，并通过练习题巩固。
-应用比例知识解决实际问题：培养学生将比例知识应用于实际情境中，如计算线段长度、解决比例分配问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了成比例线段的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对成比例线段的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解成比例线段的基本概念。成比例线段指的是两条线段之间存在一个常数k，使得一条线段的长度是另一条线段长度的k倍。它在几何图形的相似性、比例尺的计算等方面具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设图中有两条线段AB和CD，已知AB的长度是CD的两倍，我们将通过这个案例来展示成比例线段在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
4.1 成比例线段 (二)
第1节 成比例线段（二）
温故知新
1、线段的比及比例尺
2、成比例线段
3、比例的性质
例1：
如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按 照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩 旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸
AE AD 布的长与宽的比相同，即 ,那么a AD AB
练习：如图，已知每个小方格的边长均为1， 求AB,DE,BC,DC,AC,EC的长，并计算△ABC 与△EDC的周长比。
1、你有什么感想、收获…？ 2、你有什么发现、探索…？
的值应当是多少？
问题解决 如图，将一张矩形纸片沿它 的长边对折（EF为折痕），得到 两个全等的小矩形。如果小矩形 长边与短边的比等于原来矩形长
边与短边的比，那么原来矩形的
长边与短边的比是多少?
例2：
aBC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
北师大数学九上课件4.1成比例线段(2)
b
c
d
d
,
你认为这个结论正确吗？为什么？
由 a c k 得 a kb, c kd bd
ab b
kb b b
(k
1)b b
k
1
cd d
k
d
d
(k
1)d d
k 1
a
b
b
c
d
d
你能证明吗a ？b b
c
d
d
a
b
b
c
d
e f
a b
a b
c d
e f
设 a c e k 得 a kb, c kd, e kf bd f
a c e kb kd kf k(b d f ) k
bd f bd f
bd f
ace a bd f b
e f
m n
(b
d
n 0)
。a b
c d
m n
a b
2、合比性质：
如果，那么a 。 c bd
ab cd bd
合作交流
ⅰ、已知：如图，在矩形ABCD和矩形HEFG中，
A
D
H
G
B
C
E
F
AB HE
BC EF
CD FG
AD HG
2,
你能求出
AB BC CD AD HE EF FG HG
的值吗？由此你能得出什么结论？
4.1.2 比例线段 课件(共27张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
=
.
，
要点提醒
(1)求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与
单位的大小无关.
(2)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总
是正数.
由右图我们还可以看到，线段OC与OC′
的比和线段AB与A′B′的比相等，也就是
′
=
.
′
′
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，
第4章
4.1
相似三角形
比例线段
第2课时 比例线段
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
了解两条线段的比和成比例线段的概念.
会计算两条线段的比，并会判断四条线段是否成比例.
了解比例尺的概念，并能解决相关的实际问题.
重要提示：1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常
用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两
设实际距离为s，则
=
台北 基隆
，
∴s=35×9000000=315000000(mm)，
即s=315(km).
量得图中∠a=28°.
答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向，
到高雄市的实际距离约为315 km.
北
台中
α
台南
高雄
比例尺 1∶9000000
练2 现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不
长度之比.
(3)判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段；
若这两个比值不相等，则这四条线段不是成比例线段.
4.1成比例线段(2)
n
b
复习回顾
运用两条线段的比要注意
1.两条线段比是一个正数,它没有单位. 2.两条线段比与所选的长度单位无关. 3.求两条线段比时.如果单位不同.那么必 须先化成同一单位.再求它们的比 .
生活常识: 同一时刻物高与影长成比例. 图上长度与实际长度的比通常称为比例 尺.
知识回顾
四条线段a,b,c,d中,如果 a与b的比等于c 与d的比, 即 a/b=c/d, 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段.
两条线段的比实际上就是两个数的比.
探究新知
如图，已知
，你能求出
的值吗？如果
,那么
有怎
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
探究新知
如图，
的值相等吗？
的值又是多少？在求解过 程中，你有什么发现？
议一议
已知a，b，c，d，e，f六个数.
比例的性质
如果
a b
=
c d
=
e f
,
那么
a+c b+d
4.1 成比例线段 （2）
学习方法报 数学周刊
复习回顾 什么叫做两条线段的比呢?
如果选用一个长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ,n .那么两条线段的比 a∶b = m∶n 或 a m
bn
其中a，b分别叫做这个线段比的前项和后项.
如果把 m 表示成比值k , 那么 a k , 或a k b.
y
4
4
B.
y x
2 4
y 4
C.
2
2
x
y4 4
D.
2 x
y x
4.1.2成比例线段教学设计浙教版数学九年级上册
如果dcb a =，那么ad=bc. 如果ad=bc ，那么dcb a =.注意：a ，b ，c ，d 都不为0.活动意图说明：通过复习，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。
环节二：探究成比例线段 教师活动2：如图：有两条线段，AB 的长度是m ，CD 的长度是n ，线段AB 与CD 的比是多少？AB CD mnAB ：CD ＝m ：n 两条线段的比两条线段的长度的比叫做这两条线段的比.如图，线段OC=2，OC'=4，线段OC 与OC'的比是2：4=21 ，记作;21OC'OC = .21B'A'AB ，记作212：22的比是B'，线段AB与A'22B'，A'2线段AB ====通过计算上述两条线段的比，你能发现什么？线段OC 与OC'的比和线段AB 与A'B'的比相等， 也就是.B'A'AB OC'OC =四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c学生活动2：学生思考，求出线段AB 与CD 的比。
师生总结两条线段的比的定义。
学生在教师的引导下总结什么叫成比例线段。
与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫作成比例线段，简称比例线段. 例如，图中OC ，OC'，AB ，A'B'是比例线段. 注意：求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关.活动意图说明：学生在教师引导下探索成比例线段的定义，在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。
环节三：例题讲解 教师活动3：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 请找出一组比例线段，并说明理由.分析：根据 ad=bcdc b a =， 问题可转化为找出四条线段，使其中两条线段的乘积等于另两条线段的乘积.解：记Rt △ABC 的面积为S ，则 AC · BC=2S ，CD · AB=2S ， ∴ AC · BC=CD · AB ，,BCAB CD AC =∴∴AC ，CD ，AB ，BC 是一组比例线段. 下图表示我国台湾省几个城市的位置关系，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少千学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。
4.1 成比例线段 第2课时 等比性质
例题解析：
a 2 a b a -b (1)、已知 , 求 与 ； b 3 b b AB BC CA 3 (2)、在ABC 与DEF中，若 , DE EF FD 4 且ABC 的周长为18cm，求DEF的周长。
A
BE CF 如图，已知 = ， AB AC E AE AF 那么 AB = AC ， 理由： B BE CF AC CF AC –CF = = = AB AC AB BE AB –BE AC–CF AC AF AC = = AB–BE AB AE AB AB–BE≠0 AF AE AE AF = = . AC AB AB AC
么样的关系？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c a b cd (1)如果 , 那么 和 b d b d a b c d 成立吗？为什么？ b d
(2)
AB BC CD AD 如图， , , , HE EF FG HG
AB BC CD AD 的值相等吗？ HE EF FG HG
第三 章
图形的相似
第2课时 等比性质
1、成比例线段定义
2、比例的基本性质 3、若 3m = 2n
n 呢？ m
m ，你可以得到 n
的值吗？
(1)、如图已知
BD CE 1 ，你能求出 BD AD 与 CE AE AD AE 2 AD AE
AB AB AB BD AC CE有怎 的值吗？如果 , 那么 与 BC CE BD CE
的值又是多少？在求解过程中，你有什么发现？
已知，a，b，c，d，e，f六个数。
a c e (2)如果 (b d f 0), b d f ace a 那么 成立吗？为什么？ bd f b
北师大版-数学-九年级上册-教案4.1 成比例线段
4．1 成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1．了解线段的比和比例线段的概念．2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)阅读教材P76～79，完成下列内容：(一)知识探究1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n.其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________．3．比例的基本性质如果a b ＝c d，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b＝________. (二)自学反馈1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( )A.m p ＝q nB.p m ＝n qC.q m ＝n pD.m n ＝p q活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB，那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB，得 13a 1＝1a， 即13a 2＝1. ∴a 2＝3.开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)．本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．活动2 跟踪训练1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长． 活动3 课堂小结1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．3．两条线段的比在实际生活中的应用．【预习导学】(一)知识探究1．长度 前项 后项 2.a b ＝c d 比例线段 3.bc c d(二)自学反馈1．B 2.D【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.D 3.D 4.905．∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2.解得AE ＝5.6.∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．第2课时 等比性质1．理解并掌握等比性质．(重点)2．运用等比性质解决有关问题．(难点)阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：(一)知识探究等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________. 注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.(二)自学反馈如果a b ＝c d ＝52(b ＋d ≠0)，那么a ＋c b ＋d＝________.活动1 小组讨论例 在△ABC 与△DEF 中，若AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长． 解：∵AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34， ∴AB ＋BC ＋CA DE ＋EF ＋FD ＝AB DE ＝34. ∴4(AB ＋BC ＋CA)＝3(DE ＋EF ＋FD)，即DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)． 又∵△ABC 的周长为18 cm ，即AB ＋BC ＋CA ＝18 cm ，∴DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)＝43×18＝24(cm)， 即△DEF 的周长为24 cm.在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC 的周长，即三边之和为18 cm.活动2 跟踪训练1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8C ．32D ．22．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在3．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，则a ＋e b ＋f＝________. 4．如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.5．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f的值． 活动3 课堂小结等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.【预习导学】(一)知识探究 a b(二)自学反馈52【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.234.3 5．∵a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，∴a b ＝2c 2d ＝－3e －3f ＝23.∵b ＋2d －3f ≠0，∴a ＋2c －3e b ＋2d －3f ＝23.。
北师版数学九年级上册课件4.1 成比例线段(第2课时) (共17张PPT)
c , d
D
13 x y z 2x 3y 4.若 0,则 4 . 2 3 4 z
x 7 xy 5.已知 , e 2 6.已知 ,且2 b 3d f 4, b d f 3 求2 a 3c e的值.
巩固
训练
1.如果x：y=2：3，则下列各式不成立的是（ D ）
x y 5 A. y 3 x 1 C. 2y 3
yx 1 B. y 3 x1 3 D. y 1 4
a 3 ab 2.若 ,则 的值为 A b 5 b 8 A. 5 3 C. 2 3 B. 5 5 D. 8
这节课我们将进一步探究比例的其它性
质.
在图3 - 5中，已知 AB BC CD AD 2, HE EF FG HG 你能求出 AB BC CD AD 的值吗？ HE EF FG HG 由此你能得出什么结论 ？
议一议
已知 a，b，c，d，e，f 六个数 ， a c e 如果 b d f 0 , b d f a c e a 那么 成立吗？为什么？ b d f b
1 成比例线段(第2课时)
1.通过观察、猜测、举例验证、归纳等数学 活动，经历探究比例性质的过程，体验比例 性质的应用价值. 2.引导学生自主参与知识探究过程，培养学 生初步的观察、分析、比较、判断、概括的 能力，发展学生的思维.
上一节课我们学习了比例的基本性质，请 同学们回顾一下！
a c 如果 ，那么ad bc . b d a c a，b，c，d都不等于0，那么 . 如果ad bc， b d
7 x y x y 3.若 ，则 3 . 3 4 x
5 b 2 a 4.已知 ，则 7 . a 5 ab
九年级数学 第四章 图形的相似1 成比例线段第2课时 等比的性质作业
AB A′B′
＝BB′CC′
＝CC′DD′
＝DD′AA′
＝23
，且四边形 A′B′C′D′的周长
为 60 cm，则四边形 ABCD 的周长为_4_0__cm.
5．如果ab ＝dc ＝ef ＝k(b＋d＋f≠0)，且 a＋c＋e＝3(b＋d＋f)， 那么 k＝__3__．
第五页，共十四页。
6．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且a5 ＝b4 ＝6c ≠0. (1)求2a3＋c b 的值； (2)若△ABC 的周长为 90，求各边的长． 解：(1)2a3＋c b ＝79 (2)a＝30，b＝24，c＝36
第十页，共十四页。
第十一页，共十四页。
10．阅读下面的解题过程，然后解题： 题目：已知a－x b ＝b－y c ＝c－z a (a，b，c 互相不相等)，求 x＋y＋z 的值． 解：设a－x b ＝b－y c ＝c－z a ＝k，则 x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)， ∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝k·0＝0. 依照上述方法解答下列问题：已知：y＋x z ＝z＋y x ＝x＋z y (x＋y＋z≠0)， 求xx－＋yy－＋zz 的值．
第四章 图形(túxíng)的相似 4．1 成比例(bǐlì)线段
第2课时 等比的性质
第一页，共十四页。
第二页，共十四页。
1．已知a2 ＝b3 ＝4c ，则a＋c b 的值是( D )
A．45
B．74
C．1 D．54
2．(郑州月考)若四条不相等的线段 a，b，c，d 满足ab ＝dc ，
则下列式子中，成立的是( D )
第六页，共十四页。
第七页，共十四页。
7．若 2a＝3b＝4c，且 abc≠0，则ca－＋2bb 的值是( B ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 8．若a5 ＝b7 ＝8c ，且 3a－2b＋c＝3，则 2a＋4b－3c 的值是( D ) A．14 B．42 C．7 D．134
九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.1 成比例线段 第2课时 等比性质课件
第2课时(kèshí) 等比性质
备选目标 比例性质的综合运用
例 已知△ABC 的三边长分别是 a，b，c，且(a－c)∶ (a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，试判断△ABC 的形状．
第十页，共十七页。
第2课时(kèshí) 等比性质
解：设 c－b＝k.
由(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝(－2)∶7∶1，
第2课时(kèshí) 等比性质
解：不正确．正解：当 a＋b＋c≠0 时，根据比例的等比性质， 得 k＝2 a＋b＋c ＝2；当 a＋b＋c＝0 时，a＋b＝－c，
a＋b＋c k＝a＋b＝－c＝－1.所以 k 的值是 2 或－1.
cc
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
1 成比例线段。第2课时(kèshí) 等比性质。知识点 比例的性质
2．利用等比性质求代数式的值．
第十二页，共十七页。
第 课时 2
(kèshí)
等比性质
总结反思
小结(xiǎojié)
知识点 比例的性质
如果a ＝ c ＝…＝m (b ＋d ＋…＋n ≠0)，
bd
n
那么ab＋＋cd＋＋……＋＋mn ＝ba.
我们把比例的这个性质称为比例的等比性质．
第十三页，共十七页。
第2课时(kèshí) 等比性质 [拓展] 如果ab＝cd，那么a±b b＝c±d d.
第六页，共十七页。
2 第 课时(kèshí) 等比性质
解：(1)设a5＝b7＝c8＝x，则 a＝5x，b＝7x，c＝8x. ∵3a－2b＋c＝3，∴15x－14x＋8x＝3，解得 x＝1，
3 ∴a＝5x＝53，b＝7x＝73，c＝8x＝83. ∴2a＋4b－3c＝2×5＋4×7－3×8＝14.
4.1+成比例线段(第二课时)+课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册
−
−
∵
＝
＝
，
−
−
−
（−）＋（−）＋（−）
∴
＝
＝
＝
＝0.
＋＋
∴ a － b ＝0， b － c ＝0， c － a ＝0.∴ a ＝ b ＝ c .
∴△ ABC 为等边三角形.
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数学 九年级上册 BS版
已知 a ， b ， c 满足
（2，1），
1
1, −
2
＋
＝
＋
＝
＋
＝ k ，从点
1
1，
2
，
，（1，－1）中任意取一点恰好在正比例函
数 y ＝ kx 的图象上的概率是多少？
【思路导航】根据条件先求出 k 的值，进而求得正比例函数的表
达式，再根据正比例函数图象上点的坐标特征依次判断四个
点，进而利用概率公式求解.
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数学 九年级上册 BS版
3
＋＋
2
∴
＝ ＝ ，
3
＋＋
2
即 x ＝ y .①
3
由题意，得 y － x ＝15.②
2
将①代入②，得 y － y ＝15.
3
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解得 y ＝45.
将 y ＝45代入①，得 x ＝30.
故△ ABC 和△ DEF 的周长分别是30 cm和45 cm.
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4
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4.1比例线段(二)
3.比例式中，项的次序不可任意改变。
4.特殊图形
(1).有一锐角是 30的直角三角形中, 三边(从小到大)的比是 1: 3:2 (2).等腰直角三角形中,三边(从小 到 大)的比是 1:1: 2
x x
2x
x
30
3x
2x
作业:
p 202
习题4.1A组1
即线段a、c、d、b成比例 想一想:是否还可以写出其他几 组成比例的线段.
例4 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 想一想:是否还可以写出其他几 组成比例的线段. 答:可以. 如:
a c = d b c b = a d d b = 等 a c
例5. 已知:△ABC中,D、E分别 是AB、AC的中点，那么线段 AD、AB、DE、BC是否成比 例线段？为什么？ A
如果作为比例内项的是相同的
线段，即
a b = b c
或a:b=b:c，那么
线段b叫线段a、c的比例中项。
说明：
a c 1.式子 = 或 a:b=c:d叫比例式 b d
2.比例式中，项的次序不可任意改变。 如d是a、b、c的第四比例项与d是b、c、 a的第四比例项的意义是不同的。
a c b a 比例式分别是 = ， = b d c d
x x
2x
x
30
3x
2xLeabharlann 2.比例线段定义：在四条线段中，如果其中两条 线段的比等于另外两条线段的比，那 么这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段
a c 已知线段a、b、c、d，如果 b = d
或a:b=c:d，那么a、b、c、d叫做 组成比例的项。线段a、d叫比例 外项，线段b、c叫比例内项，线 段d叫a、b、c的第四比例项。
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先学后教 问题预设 及方法指导
2、.若
bc ab ac k ，求 k 的值。 a c b
a c m a a c m 等比性质：如果 =…= （b+d+…+n≠0）,那么 b d n b b d n
汇丰中学
班级 学生姓名
九
年级
数学
学科教案导学案
备课教师 审核人 课型 时间
教师行为 激趣明标
学习内容 学习目标 重点难点 一、自主学习
1．成比例线段（第 2 课时） 策略手段 自主探究与小组合作交流相结合 了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用 重点：让学生理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。 难点：运用比例的基本性质解决有关问题。
随笔
三、当堂训练，达标测试
a b 3 b 5
填空：1、如果
复习：(1)成比例线段定义 （2）比例的基本性质 （3）若 3m = 2n ，你可以得到 3、已知
a 1 3a b ,那么 a =________。 2、若 , 则 的值为 ____ b b 4 2b
4、已知
x 3 x y ,则 _____. y 4 y
a c e 1
2、 已知 b d f 2 , 且a c e 3, 则b d f ____
当堂训练 （题练及方 法指导）
四、小结反思 1．这一节课我们一起学习了哪些知识？ 2．我的困惑：请写出你在运算中哪些类型出错了：
【基础练习 2】小组交流，合作探究
a b c 3、已知： . 3 5 7 a bc a 2b 3c 求（ 1 ） 的值（2） 的值 b ac
1、若
ace a c 2e a c e =2，则 __________; ______________ b d f bd f bd 2f
ab 7 a ，则 ______________ ab 3 b
m n 的值吗？ 呢？ n m
二、先学后教
（一）等比性质
5、
c 2a 3e a c e 4 = ，则 ___________. b d f 5 d 2b 3 f
AB BC CD AD AB BC CD AD , , , 如图， HE EF FG HG 的值相等吗？ HE EF FG HG 的值又是多少？在求解过程中，