离散数学2.5-6

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2-5 谓词演算的等价式与蕴含式
定义:给定任何两个谓词公式wffA和wffB, 设它们有共同的个体域E,若对A和B的任一 组变元进行赋值,所得命题的真值相同, 则称谓词公式A和B在E上是等价的,并记做 A B.
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谓词演算的等价式与蕴含式
定义:给定任意谓词公式wffA,其个体域为E, 对于A的所有赋值,wffA都为真,则称wffA 在E上是有效的(或永真的). 定义:给定任意谓词公式wffA,其个体域为E, 对于A的所有赋值,wffA都为假,则称wffA 在E上是不可满足的(或永假的). 定义:给定任意谓词公式wffA,其个体域为E, 对于A的所有赋值中至少有一种赋值为真, 则称wffA在E上是可满足的.
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前束范式
定义:一个wffA如果具有如下形式称为前束合取式. ( v1) ( v2) … ( vn)[(A11∨A12∨…∨A1l1) ∧(A21∨A22∨…∨A2l2) ∧…∧ (Am1∨Am2∨…∨Amlm)] 可能为或,Aij是原子公式或其否定. 定理:每一个wffA都可转化为与其等价的前束合取范式.
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谓词演算的等价式与蕴含式
E33 E34 E35 I17 I18 I19 (x)A(x)→B (x)(A(x)→B) A→(x)B(x) (x)(A→B(x)) A→(x)B(x) (x)(A→B(x)) (x)A(x)∨(x)B(x)=> (x)(A(x)∨B(x)) (x)(A(x)∧B(x))=> (x)A(x)∧(x)B(x) (x)A(x)→(x)B(x)=> (x)(A(x)→B(x)) A(x) ( (A(x) B(x))
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谓词演算的等价式与蕴含式 4.量词与命题联结词之间的一些等价式 (x)(A(x)∧B(x)) (x)A(x)∧(x)B(x) (x)(A(x)∨B(x)) (x)A(x)∨(x)B(x) (x)(A(x)→B(x))
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谓词演算的等价式与蕴含式 5.量词与命题联结词之间的一些蕴含式 (x)A(x)∨(x)B(x) (x)(A(x)∨B(x)) (x)(┐A(x))∨(x)(┐B(x)) (x)(┐A(x)∨┐B(x)) ┐((x)A(x)∧(x)B(x)) ┐(x)(A(x)∧B(x)) (x)(A(x)∧B(x)) (x)A(x)∧(x)B(x)
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谓词演算的等价式与蕴含式
6.多个量词的使用 全称量词与存在量词在公式中出现的次 序,不能随意更换. (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y) (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y) (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y) (x)(y)A(x,y) (y)(x)A(x,y)
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谓词演算的等价式与蕴含式
规则:将量词前面的┐移到量词的后面去时,存在量词改 为全称量词,全称量词改为存在量词,反之,若将量词 后面的否定┐移到量词的前面去时,也要作相应的改变, 这种量词与┐的关系是普遍成立的.
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谓词演算的等价式与蕴含式 3.量词作用域的扩张与收缩(1) (x)(A(x)∨B) (x)A(x)∨B (x)(A(x)∧B) (x)A(x)∧B (x)(A(x)∨B) (x)A(x)∨B (x)(A(x)∧B) (x)A(x)∧B
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前束范式 把公式( P(x)→ Q(x)转化为前束 例1 把公式(x)P(x)→(x)Q(x)转化为前束 范式 解:(x)P(x)→(x)Q(x) P(x)→ P(x)∨ ┐(x)P(x)∨(x)Q(x) P(x)∨ (x)┐P(x)∨(x)Q(x) P(x)∨ (x)(┐P(x)∨Q(x))
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谓词演算的等价式与蕴含式
谓词演算的等价式 1.命题公式的推广 将命题演算中的等价公式表和蕴含式表推广到谓 词演算中使用. 例: (x)(P(x)→Q(x)) (x)(┐P(x)∨Q(x)) (x)P(x)∨(y)R(x,y) ┐(┐(x)P(x)∧┐(y)R(x,y)) (x)H(x,y)∧┐(x)H(x,y) F (x)P(x)→Q(x)
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谓词演算的等价式与蕴含式
3.量词作用域的扩张与收缩(2) (x)A(x)→B (x)(A(x)→B) (x)A(x)→B (x)(A(x)→B) (x)(B→A(x)) B→(x)A(x) (x)(B→A(x)) B→(x)A(x)
注 当谓词的变元与量词的指导变元不同时,也能有类似于上述的公式. 例(x)(P(x)∨Q(y)) ((x)P(x)∨Q(y))
2-5 谓词演算的等价式与蕴含式 谓词公式的解释/赋值
在谓词逻辑中存在个体常量,个体变元以及函数,故不 能像命题公式那样直接通过真值指派给出解释,而是必 须考虑个体变量和函数在个体域中的取值,然后针对变 量和函数的具体取值为谓词分别指派真值. 定义:设D为谓词公式P的个体域,若对P中的个体常量, 定义 函数和谓词按照如下的规定赋值:1)为每个个体常量 指派D中的一个特定元素;2)为每个n元函数指派一个 从Dn到D的映射;3)为每个n元谓词指派一个从Dn到 {F,T}的映射.称这些指派为公式P在D上的一个解释.
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2-6 前束范式 定义:一个公式,如果量词均在全式的开 头,它们的作用域,延伸到整个公式的末 尾,则该公式叫做前束范式. 例:(x)(y)(z)(A(x,y)→B(z)) (y)(z)(A(y)∨B(z))
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前束范式
定理:任意一个谓词公式,均和一个前 束范式等价. 方法: 否定深入 变元换名,量词提前
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谓词演算的等价式与蕴含式
2.量词与联结词┐之间的关系 例 P(x)表示x来上课 个体域为学生 1)不是所有学生今天来上课. ┐(x)P(x) 2)存在一些学生今天没有来上课. (x)┐P(x) 3)不存在一些学生今天来上课. ┐(x)P(x) 4)所有的学生今天都没有来上课. (x)┐P(x)
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前束范式
例2 把公式 (P(x,z)∧P(y,z))→ Q(x,y,u))转化为 (x)(y)((z)(P(x,z)∧P(y,z))→(u)Q(x,y,u))转化为 前束范式 (P(x,z)∧P(y,z))→ 解:(x)(y)((z)(P(x,z)∧P(y,z))→(u)Q(x,y,u)) (P(x,z)∧P(y,z))∨ (x)(y)(┐(z)(P(x,z)∧P(y,z))∨(u)Q(x,y,u)) (P(x,z)∧P(y,z))∨ (x)(y)((z)┐(P(x,z)∧P(y,z))∨(u)Q(x,y,u)) P(x,z)∨ P(y,z))∨ (x)(y)((z)(┐P(x,z)∨┐P(y,z))∨(u)Q(x,y,u)) P(x,z)∨ P(y,z)∨ (x)(y)(z)(u)(┐P(x,z)∨┐P(y,z)∨Q(x,y,u))
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谓词演算的等价式与蕴含式
类似的有: (x)(A(x)→B(x)) (x)A(x)→(x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x)A(x)(x)B(x)
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谓词演算的等价式与蕴含式
E23 E24 E25 E26 E27 E28 E29 E30 E31 E32 (x)(A(x)∨B(x)) (x)A(x)∨(x)B(x)) (x)(A(x)∧B(x)) (x)A(x)∧(x)B(x) ┐(x)A(x) (x)┐A(x) ┐(x)A(x) (x)┐A(x) (x)(A∧B(x)) A∧(x)B(x)) (x)(A∨B(x)) A∨(x)B(x)) (x)(A∨B(x)) A∨(x)B(x)) (x)(A∧B(x)) A∧(x)B(x)) (x)(A(x)→B(x)) (x)A(x)→(x)B(x) (x)A(x)→B (x)(A(x)→B)
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前束范式
方法: 取消多余量词 换名 消去条件联结词 否定深入 量词提前
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前束范式
例3 把公式 (x)[(y)P(x)∨(z)Q(z,y)→┐(y)R(x,y)]转化为前束合取范式 ∨ 转化为前束合取范式 解: (x)[(y)P(x)∨(z)Q(z,y)→┐(y)R(x,y)] ∨ (x)[P(x)∨(z)Q(z,y)→┐(y)R(x,y)]/取消多余量词 ∨ 取消多余量词 (x)[P(x)∨(z)Q(z,y)→┐(w)R(x,w)]/换名 ∨ 换名 (x)[┐(P(x)∨(z)Q(z,y))∨┐(w)R(x,w)]/消去条件联结词 ∨ ∨ 消去条件联结词 (x)[(┐P(x)∧┐(z)Q(z,y) )∨┐(w)R(x,w)]/否定深入 ∨ 否定深入 (x)[(┐P(x)∧(z)┐Q(z,y) )∨(w) ┐R(x,w)] ∨ (x)(z)(w)[(┐P(x)∧┐Q(z,y) )∨ ┐R(x,w)]/量词提前 量词提前 ∨ (x)(z)(w)[(┐P(x)∨┐R(x,w))∧(┐Q(z,y) )∨ ┐R(x,w)] ∨ ∨
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变元的约束
个体域为D {1,2}, 公式A= x)(P(x) Q(f(x),b))在 P(x)→Q(f(x),b)) 设个体域为D={1,2},求公式A= (x)(P(x) Q(f(x),b))在D上的 某一个解释,并指出在此解释下公式A的真值. 某一个解释,并指出在此解释下公式A的真值. 由于该公式中包含有个体常量b,函数f(x)和两个谓词P和Q,所 以首先为个体常量及函数指派值: b指定为:1; f(1)=2,f(2)=1 对谓词指派的真值为: P(1)=F,P(2)=T Q(1,1)=T,Q(2,1)=F 这里由于已指派b=1,所以Q(2,2)与Q(1,2)不可能出现,故没有 给它们指派真值.
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前束范式
定义:一个wffA如果具有如下形式称为前束析取式. ( v1) ( v2) … ( vn)[(A11∧A12∧…∧A1l1) ∨(A21∧A22∧…∧A2l2)∨…∨ (Am1∧Am2∧…∧Amlm)] 可能为或, Aij是原子公式或其否定. 定理:每一个wffA都可转化为与其等价的前束析取范式.
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谓词演算的等价式与蕴含式
得到了公式: ┐(x)P(x) (x)┐P(x) (x) ┐P(x) ┐(x)P(x)
证明 在有限个体域D = {a1, a2, …, an}上证明上述 的结论
(1). (x)A(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) (2). (x)A(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)