2020年重庆一中高一(上)期中数学试卷

高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合A ={1,3，4}，B ={2,4}，则(∁U A)∩B =( )
A. {2}
B. {2,4}
C. {1,2，4}
D. ⌀
2. 函数f(x)=a x−1−1(a >0且a ≠1)的图象必经过定点( )
A. (0,−1)
B. (1,−1)
C. (−1,0)
D. (1,0)
3. 在0到2π范围内，与角−4π3
终边相同的角是( )
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 4π
3
4. 函数f(x)=√3−2x +lg(x +2)的定义域是( )
A. (−2,3
2)
B. (−2,3
2]
C. (−2,+∞)
D. (3
2,+∞)
5. 已知a =0.42.1，b =20.3，c =log 50.3，则( )
A. c <a <b
B. a <b <c
C. c <b <a
D. a <c <b
6. 函数f(x)=lnx −1
x 的零点所在的大致区间是 ( )
A. (1
e ,1)
B. (1,e)
C. (e,e 2)
D. (e 2,e 3)
7. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)3x (x ≤0)
，则f[f(1
8)]的值是( )
A. 27
B. 1
27
C. −27
D. −1
27
8. 函数y =
x⋅e x |x|
的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数f(x)=log1
2
(3x2−ax+5)在[−1,+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()
A. [−8,−6]
B. (−∞,−6]
C. (−8,−6]
D. (−∞,−2√15)
10.已知关于x的方程|2x−m|=1有两个不等实根，则实数m的取值范围是()
A. (−∞,−1]
B. (−∞,−1)
C. [1,+∞)
D. (1,+∞)
11.已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)+a x
a x−1(a>0且a≠1)，若f(lg(log23))=1
3
，则
f(lg(log32))=()
A. 0
B. 1
3C. 2
3
D. 1
12.设函数f(x)=e x+2x−a(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使
f(f(b))=b成立，则a的取值范围是()
A. [1,e]
B. [1,1+e]
C. [e,1+e]
D. [0,1]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0,+∞)上为增函数，则m=．
14.已知扇形的周长为8cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______cm2．
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，则当x<0时，
f(x)=______．
16.已知函数f(x)=log1
3
(−|x|+3)定义域是[a,b](a，b∈Z)，值域是[−1,0]，则满足条件的整数对(a,b)有______对．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.化简：
(1)(21
4)12−(√3−π)0+log31
3
+712log74；
(2)lg5⋅lg20+(lg2)2+
−√6−2√5．
√5+2
≤0}，18.已知集合A为函数f(x)=x2+2x−1，x∈[1,2]的值域，集合B={x|x−4
x−1则
(1)求A∩B；
(2)若集合C={x|a<x<a+1}，A∩C=C，求实数a的取值范围．
19.已知函数y=f(x)为二次函数，f(0)=4，且关于x的不等式f(x)−2<0解集为
{x|1<x<2}，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)−a=0有一实根大于1，一实根小于1，求实数a的取值
范围．
20. 已知函数f(x)=
2x −a⋅2−x 2x +2−x
是定义在R 上的奇函数．
(1)求实数a 的值，并求函数f(x)的值域；
(2)判断函数y =f(x)的单调性(不需要说明理由)，并解关于x 的不等式5f(2x +1)−3≥0．
21. 已知函数f(x)={2−(1
2
)x ,x ≤0
12
x 2
−x +1,x >0，
(1)画出函数f(x)的草图并由图象写出该函数的单调区间； (2)若g(x)=3x
2−x
−a ，对于任意的x 1∈[−1,1]，存在x 2∈[−1,1]，使得f(x 1)≤
g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．
22. 对于在区间[m,n]上有意义的函数f(x)，满足对任意的x 1，x 2∈[m,n]，有|f(x 1)−
f(x 2)≤1|恒成立，则称f(x)在[m,n]上是“友好”的，否则就称f(x)在[m,n]上是“不友好”的，现有函数f(x)=log 3
1+ax x
．
(1)若函数f(x)在区间[m,m +1](1≤m ≤2)上是“友好”的，求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程f(x)
log 3[(a−3)x+2a−4]
=1的解集中有且只有一个元素，求实数a 的取
值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：U={1,2，3，4}，A={1,3，4}，B={2,4}，
∴∁U A={2}，(∁U A)∩B={2}．
故选：A．
进行交集、补集的运算即可．
本题考查了列举法的定义，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：令x−1=0，解得x=1，
此时y=a0−1=0，故得(1,0)
此点与底数a的取值无关，
故函数y=a x−1−1(a>0且a≠1)的图象必经过定点(1,0)
故选：D．
由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x−1=0，解得x=1，y=0，故得定点(1,0)．
本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查终边相同的角的定义和表示方法，属于基础题．
得到与角−4π
3终边相同的角是2kπ+(−4π
3
)，k∈Z是解题的关键．
【解答】
解：与角−4π
3终边相同的角是2kπ+(−4π
3
)，k∈Z，
令k=1，可得与角−4π
3终边相同的角是2π
3
，
故选：C．4.【答案】A
【解析】解：由{3−2x >0
x +2>0
，解得−2<x <32．
∴函数f(x)=√3−2x +lg(x +2)的定义域是(−2,3
2). 故选：A ．
由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵0<a =0.42.1<0.40=1， b =20.3>20=1， c =log 50.3<log 51=0． ∴c <a <b ． 故选：A ．
利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a ，b ，c 与0和1的大小得答案． 本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由于连续函数f(x)=lnx −1
x 满足f(1)=−1<0，f(1)=1−1
e >0， 且函数在区间(0,e)上单调递增，故函数f(x)=lnx −1
x 的零点所在的区间为( 1,e)． 故选：B ．
由于连续函数f(x)=lnx −1
x 满足f(1)<0，f(e)>0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．
本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：∵f(x)={log 2x(x >0)
3x (x ≤0)
∴f[f(18)]=f(−3)=1
27
故选B ．
由已知中的函数的解析式，我们将1
8代入，即可求出f(1
8)的值，再代入即可得到f[f(1
8)]的值．
本题考查的知识点是分段函数的函数值，根据分析函数的解析式，由内到外，依次代入求解，即可得到答案．
8.【答案】B
【解析】解：当x>0时，y=e x，排除C，D．
当x<0时，y=−e x，为减函数，排除A．
故选：B．
根据绝对值的应用，分别求出当x>0和当x<0时的解析式，结合指数函数的图象和性质进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数的性质是解决本题的关键．比较基础．
9.【答案】C
【解析】解：令t=3x2−ax+5，则t=3x2−ax+5在[−1,+∞)上是增函数，且t>0
∴{a
6
≤−1
3+a+5>0
，∴−8<a≤−6
故选：C．
令t=3x2−ax+5，则t=3x2−ax+5在[−1,+∞)上是增函数，且t>0，故可建立不等式组，即可得到结论．
本题考查复合函数的单调性，解题的关键是确定内函数的单调性，属于中档题．10.【答案】D
【解析】解：2x−m=1或2x−m=−1，即m=2x−1，或者m=2x+1，
当m=2x−1>−1时，有一个解，
当m=2x+1>1时，有一个解，
所以m>1时，方程|2x−m|=1有两个不等实根，
故选：D．
分离参数，再根据指数函数性质求出．
考查方程根的个数问题，利用了分类讨论法，分离参数法，中档题．
11.【答案】C
【解析】解：f(x)=ln(√x 2+1+x)+
a x
a x −1
，则f(−x)=ln(√x 2
+1−x)+
a −x
a −x −1
，
∴f(x)+f(−x)=ln(√x 2+1+x)+ln(√x 2+1−x)+a x a x −1+1
1−a x =ln1+a x −1
a x −1=1， lg(log 23)=lg
1log 32
=−lg(log 32)，
∴f(lg(log 23))+f(lg(log 32))=f(−lg(log 32))+f(lg(log 32))=1， ∵f(lg(log 23))=1
3，
∴f(lg(log 32))=1−f(lg(log 23))=1−1
3=2
3．
故选：C ．
可以求出f(x)+f(−x)=1，从而可求出f(lg(log 23))+f(lg(log 32))=1，根据f(lg(log 23))=1
3
即可求出答案．
本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】解：由f(f(b))=b ，可得f(b)=f −1(b) 其中f −1(x)是函数f(x)的反函数
因此命题“存在b ∈[0,1]使f(f(b))=b 成立”，转化为 “存在b ∈[0,1]，使f(b)=f −1(b)”，
即y =f(x)的图象与函数y =f −1(x)的图象有交点， 且交点的横坐标b ∈[0,1]，
∵y =f(x)的图象与y =f −1(x)的图象关于直线y =x 对称，
∴y =f(x)的图象与函数y =f −1(x)的图象的交点必定在直线y =x 上， 由此可得，y =f(x)的图象与直线y =x 有交点，且交点横坐标b ∈[0,1]， ∴e x +2x −a =x ∴a =e x +x 设g(x)=e x +x
则g′(x)=e x +1>0在[0,1]上恒成立， ∴g(x)=e x +x 在[0,1]上递增， ∴g(0)=1+0=1，g(1)=e +1 ∴a 的取值范围是[1,1+e]， 故选：B ．
利用反函数将问题进行转化，再将解方程问题转化为函数的图象交点问题．
本题主要考察了复合函数的性质，综合性较强，属于难题．
13.【答案】2
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性，属于基础题．
根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．【解答】
解：∵函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数
∴可得m2−m−1=1
解得m=−1或2，
当m=−1时，函数为f(x)=x−3在区间(0,+∞)上单调递减，不满足题意；
当m=2时，函数为f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增，满足条件．
故答案为：2．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】
解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α，
由于α=2弧度，可得：l=Rα=2R，
由于扇形的周长为8=l+2R，
所以：2R+2R=8，
所以解得：R=2，扇形的弧长l=2×2=4，
扇形的面积为：S=1
2lR=1
2
×4×2=4(cm2).
故答案为4．
15.【答案】−x2+2x
【解析】解：当x<0时，−x>0，
则f(−x)=(−x)2+2(−x)=x2−2x．
又f(x)是R上的奇函数，
∴当x<0时f(x)=−f(−x)=−x2+2x．
故答案为：−x2+2x．
当x<0时，−x>0，由已知表达式可求得f(−x)，由奇函数的性质可得f(x)与f(−x)的关系，从而可求出f(x)．
本题考查函数解析式的求解及奇函数的性质，属基础题．
16.【答案】5
【解析】解：t=−|x|+3，值域是[−1,0]，
∵1≤t≤3，∴1≤−|x|+3≤3，
−2≤−|x|≤0，−2≤x≤2，
a=−2，0≤b≤2满足条件，
−2≤a≤0，b=2满足条件，
(−2,0)(−2,1)(−2,2)
(−1,2)(0,2)
一共有5对．
故答案为：5．
由函数f(x)=log1
3
(−|x|+3)的定义域，知−2≤x≤2，由a=−2，0≤b≤2满足条件，−2≤a≤0，b=2满足条件，知满足条件的整数对(a,b)有5对．
本题考查对数函数的定义域和应用，解题时要注意对数函数定义域的限制．
17.【答案】解：(1)(21
4)12−(√3−π)0+log31
3
+712log74 =(
9
)
1
2−1+log33−1+7log72 =
3
2
−1−1+2
=3
2
；
(2)lg5⋅lg20+(lg2)2+
1
√5+2
√6−2√5
=lg5(lg10+lg2)+(lg2)2+√5−2−√(√5−1)2
=lg5+lg2(lg5+lg2)−1
=0．
【解析】(1)化带分数为假分数，化0指数幂为1，再由有理指数幂与对数的运算性质化简求值；
(2)把分式分母有理化，把根式开方，再由有理指数幂与对数的运算性质化简求值．
本题考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础的计算题．
18.【答案】解：(1)f(x)=(x+1)2−2，x∈[1,2]，
∴f(x)的值域A=[2,7]，且B=(1,4]，
∴A∩B=[2,4]；
(2)∵A∩C=C，
∴C⊆A，且C={x|a<x<a+1}，A=[2,7]，
∴{a≥2
a+1≤7，解得2≤a≤6，
∴a的取值范围为[2,6]．
【解析】(1)可看出f(x)在[1,2]上单调递增，从而可求出A=[2,7]，并且求出B=(1,4]，然后进行交集的运算即可；
(2)根据A∩C=C即可得出C⊆A，从而可得出{a≥2
a+1≤7，解出a的范围即可．
本题考查了函数值域的定义及求法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)∵设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，f(0)=c=4；
由于关于x的不等式f(x)−2<0解集为{x|1<x<2}，
所以f(x)<2即ax2+bx+2<0的解集为{x|1<x<2}，且1+2=−b
a ，1×2=2
a
；
∴解得a=1，b=−3；
∴函数f(x)的解析式为：f(x)=x2−3x+4．
(2)设g(x)=x2−3x+4−a则g(1)=1−3+4−a=2−a<0，故a>2．
所以实数a的取值范围为(2,+∞)．
【解析】(1)根据给出的条件，用待定系数法求出函数解析式即可；
(2)设g(x)=f(x)−a，则关于x的方程f(x)−a=0有一实根大于1，一实根小于1，转化为g(1)<0，解出a的取值范围即可．
本题考查了三个“二次”的关系，待定系数法求函数解析式，数形结合的思想方法，属于基础题．
20.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=2x−a⋅2−x
2x+2−x
是定义在R上的奇函数，
则有f(0)=20−a⋅2020+20
=
1−a 2
=0，变形可得a =1．
故f(x)=
2x −2−x 2x +2−x
=
22x −122x +1
，为奇函数，符合题意， 又由f(x)=
2x −2−x 2x +2−x
=
22x −122x +1
，变形可得a 2x =y+1
1−y ，
则有a 2x =y+1
1−y >0，解可得−1<y <1， 即函数的值域为(−1,1)；
(2)根据题意，由(1)的结论，f(x)=
2x −2−x 2x +2
−x =
22x −122x +1=1−
2
22x +1
，
易知f(x)在R 上为增函数，且f(1)=1−2
4+1=3
5，
则5f(2x +1)−3≥0⇒f(2x +1)≥3
5⇒f(2x +1)≥f(1)， 则有2x +1≥1，解可得x ≥0， 即不等式的解集为[0,+∞)．
【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=
20−a⋅2020+20
=
1−a 2
=0，
分析可得a 的值，将函数的解析式变形可得a 2x =y+1
1−y ，则有a 2x =y+1
1−y >0，解可得y 的取值范围，即可得答案；
(2)根据题意，由函数的解析式分析函数的单调性以及f(1)的值，进而分析可得5f(2x +1)−3≥0⇒f(2x +1)≥3
5⇒f(2x +1)≥f(1)，结合函数单调性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
21.【答案】解：(1)如下图所示，易知函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间
为(−∞,0)，(1,+∞)，
(2)由(1)知f(x)max =f(0)=1， g(x)=3x
2−x
−a ，
设t =x 2−x =(x −12)2−14，x ∈[−1,12]，递减，[1
2,1]递增，因为3>1， 所以g(x)在[−1,1
2]，递减，[1
2,1]递增，g(x)max =max{g(1),g(−1)}=g(−1)=9−a ， 由题意可得f(x)max ≤g(x)max ，所以9−a ≥1，
即a ≤8．
【解析】(1)画出图象即可得到；(2)任意的x 1∈[−1,1]，存在x 2∈[−1,1]，使得f(x 1)≤g(x 2)成立相当于f(x)max ≤g(x)max ，解出最值，代入即可得到．
考查分段函数的画法，存在性问题和恒成立问题，复合函数的单调性问题，中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=log 3(a +1
x )在[m,m +1]上单调递减，
∴f(x)的最大值为f(m)=log 3(1
m +a)，f(x)的最小值为log 3(1
m+1+a). ∵函数f(x)在区间[m,m +1](1≤m ≤2)上是“友好”的， ∴log 3(1
m +a)−log 3(
1m+1+a)≤1，
即
1m +a 1
m+1
+a ≤3，∴a ≥−1
2⋅2m−1
m(m+1)．
令g(m)=−1
2⋅2m−1
m(m+1)，则g′(m)=2m 2−2m−12(m 2+m)2，
∴当1≤m ≤
1+√32
时，g′(m)<0，当
1+√32
<m ≤2时，g′(m)>0，
又g(1)=−1
4，g(2)=−1
4，∴g(m)的最大值为−1
4． ∴a ≥−1
4．
又对于任意的x ∈[m,m +1]，1
x +a >0恒成立， a >−1x 恒成立，即a >−1m+1≥−1
3，
综上，a 的取值范围是[−1
4,+∞)． (2)∵f(x)log 3
[(a−3)x+2a−4]
=1，即1
x +a =(a −3)x +2a −4>0，且(a −3)x +2a −4≠1，①
∴(a −3)x 2+(a −4)x −1=0，即[(a −3)x −1](x +1)=0，② 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立 当a =2时，方程②的解为x =−1，代入①，不成立． 当a ≠2且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1
a−3．
将x =−1代入①，则(a −3)x +2a −4=a −1>0且a −1≠1， ∴a >1且a ≠2，
将x =1
a−3代入①，则(a −3)x +2a −4=2a −3>0，且2a −3≠1， 所以a >32且a ≠2．
要使方程有且仅有一个解，则1<a≤3
，
2
综上，a的取值范围为{a|1<a≤3
或a=3}．
2
【解析】(1)根据单调性求出f(x)的最大值，根据定义列出不等式，分离参数得出a关于m的不等式，利用函数求出函数的最值得出a的范围；
(2)化简方程，讨论a的范围和方程解得出结论．
本题考查了函数单调性与最值的计算，对数的运算性质，属于中档题．。