2.3方程与方程组-一元二次方程-河北省中考数学试题分类汇编(2008-2017十年)-参考答案及解析

第二部分方程与方程组
2.3一元二次方程
《河北省中考数学考试说明》：数学考试对知识与技能、过程与方法的掌握程度的要求从低到高分为四个层次：用了解、理解、掌握、运用来界定。

考点1：一元二次方程
1.一元二次方程根的判别式（理解）
2.配方法、公式法、因式分解法（运用）
考点2：一元二次方程的应用
1.运用一元二次方程解决简单的实际问题（运用）
分类试题汇编
一、选择题
1.（2008-6题-2分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
2．（2012-8题-3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
3．（2015-12题-2分）若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1D．a≥1
4．（2016-14题-2分）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．有一根为0
二、填空题
1．（2010-16题-3分）已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．2.（2017-19题-4分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，
因此，min{﹣，﹣}=；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=．
三、解答题
1．（2014-21题-10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
参考答案与解析
一、选择题
1.（2008-6题-2分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元”，可以分别用x表示2007以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：依题意得2009年投入为3000（1+x）2，
∴3000（1+x）2=5000．
故选A．
【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
2．（2012-8题-3分）用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2+4x=﹣1，
配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．
故选A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
3．（2015-12题-2分）若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1D．a≥1
【考点】AA：根的判别式．
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，
解得：a＞1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．（2016-14题-2分）a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【考点】根的判别式．
【分析】利用完全平方的展开式将（a﹣c）2展开，即可得出ac＜0，再结合方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2﹣4ac，即可得出△＞0，由此即可得出结论．
【解答】解：∵（a﹣c）2=a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c=0中，
△=b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了完全平方公式以及根的判别式，解题的关键是找出△=b2﹣4ac＞0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号，得出方程实数根的个数是关键．
二、填空题
1．（2010-16题-3分）已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．【考点】A3：一元二次方程的解；4C：完全平方公式．
【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．
【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，
∴m+n+1=0，
∴m+n=﹣1，
∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．
2.（2017-19题-4分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，
因此，min{﹣，﹣}=；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x=．
【考点】一元二次方程的解法；2A：实数大小比较．
【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣}=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
【解答】解：min{﹣，﹣}=﹣，
∵min{（x﹣1）2，x2}=1，
当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2=1，
x﹣1=1，x﹣1=﹣1，
解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2=1，
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，
故答案为：；2或﹣1．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，以及一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，关键是根据x的取值进行分类讨论分析．
三、解答题
1．（2014-21题-10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
【分析】第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．
故答案是：四；x=；
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0
解：移项，得
x2﹣2x=24，
配方，得
x2﹣2x+1=24+1，
即（x﹣1）2=25，。