2017届广东省梅州市高三3月总复习质检(一模)文科数学试题及答案

梅州市2017届高三3月总复习质检（一模）数学文试题本试卷共4页，21小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1、设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合A ＝{1，2，4}，B ＝{3，4，5}，则下图中的阴影部分表示的集合为A 、{4}B 、{5}C 、{1，2}D 、{3，5}2、i 是虚数单位，若(1)z i i +=，则||z 等于 A 、1 B、 C、D 、123、下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是 A 、1y x =+ B 、tan y x = C 、2log y x = D 、3y x =4、已知实数,x y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则x y +的最小值为 A 、2 B 、3 C 、4 D 、55、已知向量(1,cos ),(1,2cos )a b θθ=-= a b ⊥，则cos 2θ等于A、0B、－1C、12D、6、对任意非零实数a，b，若的运算法则如右图的框图所示，则的值等于A、14B、52C、12D、947、已知l，m，n是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥mC．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m8、若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A、30B、12C、24D、49、动圆M 经过双曲线2213y x -=学科网的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是A 、2y ＝8xB 、2y ＝－8xC 、2y ＝4xD 、2y ＝－4x 10、定义在R 上的函数f （x ），若对任意12x x ≠，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称f （x ）为“Z 函数”，给出下列函数，其中是“Z 函数”的个数为A 、1B 、2C 、3D 、4二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）11、已知等比数列{n a }的公比为正数，且239522,1a a a a == 学科网，则1a ＝＿＿＿12、已知,,a b c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若1,a b ==A ＋C ＝2B ，则sinA ＝＿＿＿＿13、以F 1（－1,0）、F 2（1,0）为焦点，且经过点M （1，－32）的椭圆的标准方程为＿＿＿（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则2tan 2θ学科网＝＿＿＿15. （坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，圆C 的参轴为极轴建立极坐标系，则圆心C 的极坐标为＿＿＿三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知()sin()1f x A x ωϕ=++（,0,0,02x R A πωϕ∈>><<）的周期开为π，且图象上的一个最低点为M （23π，－1）。

（1）求f （x ）的解析式；（2）已知1(),[0,]23f ααπ=∈，求cos α的值。

17．（本小题满分12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数的值；（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组抽取的员工的人数分别是多少？ （3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.18．（本小题满分14分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2a ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，得到如图所示的四棱锥'A BCDE -，F 是'A B 的中点。

（1）求证：平面'A DE ⊥平面BCDE ； （2）求证：EF ∥平面'A CD ；（2）求四棱锥'A BCDE -体积的最大值时。

19．（本小题满分14分）数列{n a }中，148,2a a ==，且满足212n n n a a a ++=-，*n N ∈。

（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设，求；（3）设121(*),(*),(12)n n n n b n N T b b b n N n a =∈=++⋅⋅⋅+∈-是否存在最大的整数m ，使得对任意*n N ∈，均有32n m T >成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）已知函数()(,,)x x f x ae be cx a b c R -=--∈的导函数'()f x 为偶函数，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 年的切线的斜率为2－c 。

（1）确定,a b 的值；（2）当c ＝1时，判断f （x ）的单调性； （3）若f （x ）有极值，求c 的取值范围。

21．（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴于点D ，且有丨FA|＝|FD|，当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形。

(1) 求C 的方程,(2) 若直线l 1//l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E, ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标 ；②△ABE 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由。

梅州市高三总复习质检试卷（2017.03） 数学（文科）参考答案与评分意见一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． DCDAA ,BBCBC二、 填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．三、 （一）必做题（11～13题） 11．22. 12．21. 13．13422=+y x .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. 31. 15. )6,2(π.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）由()sin()1f x A x ωϕ=++的周期为π， 则有2T ππω==，得2ω=； (1)分所以()sin(2)1f x A x ϕ=++.因为函数图像有一个最低点2(,1)3M π-，0A >，所以2A = ,且2sin(2)13πϕ⨯+=-， ……………………3分则有2322()32k k Z ππϕπ⨯+=+∈ , ……………………………4分解得2()6k k Z πϕπ=+∈， 因为02πϕ<<，所以6πϕ=. ………5分 所以()2sin(2)16f x x π=++，x R ∈ . ……………………………6分.31)6sin(,311)6sin(2,31)2()2(-=+=++=παπαα得得由f ………7分0απ≤≤ , 7666ππαπ∴≤+≤, 又sin()06πα+<,cos()6πα∴+== .………9分6sin)6sin(6cos)6cos(]6)6[cos(cos ππαππαππαα+++=-+=∴ ………11分=.6621213123322+-=⨯-⨯-………12分 17．（本小题满分12分）解:(1)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=.…………2分(2) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名员工中抽取6名员工，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=， 第2组的人数为5061300⨯=， 第3组的人数为20064300⨯=.所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ……………6分(3)设第1组的1位员工为A ，第2组的1位员工为B ，第3组的4位员工为1234,,,C C C C ，则从六位员工中抽两位员工有： 1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C 13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C共15种可能．…………10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， …………11分所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． …………12分18．（本小题满分14分） (1)证明: .,90AC BC ACB ⊥∴=∠E D ,分别为AB AC ,的中点， DE∴∥,BC .DC DE ⊥∴ …………2分沿DE 将ADE ∆折起后, ,D A DE '⊥.,DC A DE D CD D A '⊥∴=⋂'平面,BCDE DE 平面⊂.'BCDE DC A 平面平面⊥∴ …………4分（2）证明：取C A '中点G ，连接GF DG ,. 则由中位线定理可得，DE∥BC，BC DE 21=， …………5分同理GF ∥BC ，BC GF21=． 所以DE ∥GF ，=DE GF ， 从而四边形DEFG是平行四边形， …………7分EF∴∥DG ．又EF⊄面CD A '，DG ⊆平面CD A '，EF∴∥平面CD A '． …………9分 （3）在平面CD A '内作CD H A ⊥'于点H .由(1) ,'BCDE DC A 平面平面⊥,'CD BCDE DC A =⋂平面平面 故⊥H A '底面BCDE,即HA '就是四棱锥BCDEA -'的高． …………11分由AD H A ≤'知，点H 和D 重合时，四棱锥BCDE A -'的体积取最大值．…12分ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，a AC 2=， ,21,2,a BC DE a BC a CD AD D A ======'∴ 得.21)2(2131313a a a a a D A S V BCDE BCDEA =⨯⨯+⨯='⋅=-' 所以四棱锥BCDEA -'的体积的最大值为.213a …………14分19.（本小题满分14分） 解：（1）由题意，nn n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列， …………1分 设公差为d，由题意,得2382-=⇒+=d d ， (3)分nn a n 210)1(28-=--=∴.. …………4分 （2）若5,0210≤≥-n n 则，…………5分当||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-…………6分当6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765214092)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n . ………8分故⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-=.6,409,5,922n n n n n n s n…………9分 (3))111(21)1(21)12(1+-=+=-=n n n n a n b n n .…………10分得n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n.)1(2+=n n…………12分 若32mT n>对任意*N n ∈成立，即161m n n >+对任意*N n ∈成立， )(1*N n n n∈+ 单调递增，当1=n 时,取得最小值21.…………13分,2116<∴mm ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32mT n >…………14分20.（本小题满分14分） 解：（1）对()f x 求导得,c be ae x f x x -+='-)(， (1)分 由()f x '为偶函数，知()()f x f x ''-=， (2)分 即成立对R x e e b a x x ∈∀=---,0))((,所以a b =. (3)分又,2)0(c c b a f -=-+=' 解得1,1a b ==.…………4分（2）当1=c 时，x e e x f x x --=-)(，那么.01121)(>=-⋅≥-+='--x x x x e e e e x f…………6分 故()f x 在R上为增函数. (7)分 （3）由（1）知c e e x f x x -+='-)(， 而,22=⋅≥+--x x x x e e e e 当x =时,等号成立. …………8分下面分三种情况进行讨论. 当2<c 时，对任意0)(,>-+='∈-c e e x f R x x x ，此时()f x 无极值； ……9分 当2=c 时，对任意0,x ≠02)(>-+='-x x e e x f ，此时()f x 无极值； …10分 当2>c 时，令,t e x =方程01,012=+-=-+ct t c tt 即有两根，,24242221-+=<--=c c t c c t …………11分所以()0f x '=有两个根.ln ,ln 2211t x t x == 当12x x x <<时，()0f x '<；当2x x >时，()0f x '>, 从而()f x 在2x x =处取得极小值. …………13分 综上，若()f x 有极值，则c的取值范围为),2(+∞. …………14分21．（本小题满分14分）解：（1）由题意知(,0)2P F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+， 因为||||FA FD =，由抛物线的定义得：3||22p pt +=-， 解得3t p=+或3t =-（舍去）. …………2分 由是正三角形ADF ∆,可得234p t +=，解得2p =.所以抛物线C的方程为24y x =. (4)分（2）①由（1）知(1,0)F .设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为||||FA FD =， 则0|1|1D x x -=+，由0D x >,得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB的斜率为2AB y k =-， …………5分因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+，代入抛物线方程得200880by y y y +-=……① 由题意方程①的判别式264320by y ∆=+=，得02b y =-.代入①解得2004,4y x y y =-=.设(,)E E E x y ，则4E y y =-，204E x y =. …………6分当204y ≠时，0000220002044444E AB E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE的方程为00204()4y y y x x y -=--， …………7分由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE恒过点(1,0)F . …………8分当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ， 所以直线AE过定点(1,0)F . (9)分②由①知，直线AE 过焦点(1,0)F ，.4),4,4(),,(0200200x y y y E y x A =-由抛物线的定义得000011||||||(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++……10分设直线AE 的方程为+1x my =.因为点00(,)A x y 在直线AE 上，故001x m y -=， 设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--，由于00y ≠，可得22x y x y =-++.………11分代入抛物线方程得2008840y y x y +--=，所以0108y y y +=-，可求得1008y y y =--，10044x x x =++， ………12分所以点B 到直线AE 的距离为0048|4()1|x m y d ++++-===. 则ABE∆的面积00112)162S x x =⨯++≥， ………13分当且仅当001x x =,即01x =时等号成立. 所以ABE∆的面积的最小值为16. ………14分。