用射影面积法求二面角在高考中妙用

用射影面积法求二面角在高考中的妙用

广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）

立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！

定理 已知平面β内一个多边形的面积为S ，它在平面α内的射影图形的面积为'

S ，平面α和平面β

所成的二面角的大小为θ，则S

S '

cos =θ.

本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.

证明：如图，平面β内的△ABC 在平面α的射影为△BC A '，作BC AD ⊥于D ，连结

AD. α⊥'AA 于'A ，α∈D ，

AD ∴在α内的射影为D A '. 又α⊂⊥BC BC AD , ，

BC D A ⊥∴'（三垂线定理的逆定理）. 'ADA ∠∴为二面角α—BC —β的平面角.

设△ABC 和△BC A '的面积分别为S 和'

S ，θ=∠'ADA

，则D A BC S AD BC S ''2

1

,21⋅=⋅=

. S

S AD BC D

A BC AD D A '

''

2

121

cos =

⋅⋅==∴θ. 典题妙解

下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.

例1 如图

, 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是A A 1棱的中点，则

面BE C 1与面AC 所成的二面角的大小为( ) A.︒45 B. 21arctan

C. 4

2

arctan D. 32arccos

解：连结AC ，则△1EBC 在面AC 内的射影是△ABC ，设它们的 面积分别为S 和'

S ，所成的二面角为θ . 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，

.31)22(,22,52211=+===EC BC BE

.10

3

cos 1sin ,1012cos 12112

12

121=∠-=∠=⋅-+=∠EBC EBC BC BE EC BC BE EBC .3

2cos ,221,3sin 21''

11===⋅==∠⋅=∴S S BC AB S EBC BC BE S θ 32

arccos =∴θ. 故答案选D.

例2（04北京）如图, 已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为1的正方形(1) 求证:BC ⊥SC;

(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小; (3) 设棱SA 的中点为M, 求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. （1）证明： SD ⊥面AC ，

∴SC 在面AC 内的射影是SD.

又 四边形ABCD 是正方形，⊂BC 面AC ，

∴ BC ⊥SC （三垂线定理）.

'A

A B D C

α

1 C A 1 C A

（2）解： SD ⊥面AC ，⊂CD 面AC ，CD SD ⊥∴.

又 四边形ABCD 是正方形，CD AD ⊥∴. 而D SD AD = ，∴CD ⊥面ASD. 又AB ∥CD ，∴BA ⊥面ASD.

∴△SBC 在面SAD 的射影是△SAD ，设它们的面积分别为S 和'

S ，所成的二面角为θ .

,2,3,1,9022==-=∴==︒=∠SD BC SB SC SB BC SCB .2

2

cos ,2121

,2221''===⋅==⋅=∴S S SD AD S SC BC S θ 故所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为4

π

.

（3）解：取AB 的中点E ，连结DE 、ME. EB AE MS AM ==, ，∴ME ∥SB.

∴异面直线DM 与SB 所成的角就是DME ∠，设θ=∠DME .

2

5

,232122=

+===AE AD DE SB ME ， 2

2

21,222=

==+=SA MD SD AD SA . 02cos 2

22=⋅-+=∴ME

MD DE ME MD θ. 故2πθ=.

所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为2

π

.

解法二：

⊥BA 面SAD ，

∴SB 在面SAD 内的射影是SA.

又SA DM MS AM SD AD ⊥∴===,,1 . 而⊂DM 面SAD ，SB DM ⊥∴（三垂线定理）. 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为

2

π. 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面 互相垂直，AB = 2，AF = 1，M 是线段EF 的中点. (1) 求证：AM ∥平面BDE ； (2) 求证：面AE ⊥平面BDF ； (3) 求二面角A —DF —B 的大小. 证明：（1）设O BD AC = ，则AC AO 2

1

=

，连结OE. 四边形ACEF 是矩形，EF EM 2

1

=

， AO EM =∴，EM ∥AO.

∴四边形AOEM 是平行四边形，从而AM ∥EO. 又⊂EO 平面BDE ， ∴ AM ∥平面BDE.

（2） 四边形ABCD 是正方形，AC BD ⊥∴.

又 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AC EC ⊥，面BD 面AE= AC ，

∴BD EC 面⊥，从而BD EC ⊥. 而C EC AC = ，AE BD 面⊥∴.

⊂BD 平面BDF ，

∴面AE ⊥平面BDF.

M

C B

E

F

D M

C B

E

F

O