《2.3.1等差数列的前n项和》-课件ppt
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《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n
2.3.1《等差数列的前n项和》课件
你知道高斯是怎样计算的吗？
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …… 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101
第50项与倒数第50项的和: 50+51=101 于是所求的和是：101× =5050
2.3《等差数列的前n项和》
教学目标 1、等差数列前n项和公式． 2、等差数列前n项和公式及其获取思路； 3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题． 4、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项 和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它 们解决一些相关问题； 二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、 推导及应用；熟练应用等差数列的求和公式。 教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一 些简单的有关问题。
高斯的算法实际上法解决了等差数列：1， 2，3·· ，·的前n项和问题 · ，n · · ·
探究发现
问题 ： 如何求等差数列an 的前n项和 ?
等差数列an 的前n项和,用Sn 表示， 记作：
Sn a1 a2 a3 an1 an
S n an an1 an2 a2 a1
例2. 己知一个等差数列｛an｝前10项的和 是310,前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
a1 an 解：由题意知 S10 10 310 2
得
a1 a10 62；
①
a1 a20 S20 20 1220 2
所以
a1 a20 122； ② ②-①，得 10d 60 则 d 6
1+2+3+ …… +100 = ？
高斯的算法是： 首项与末项的和： 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …… 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101
第50项与倒数第50项的和: 50+51=101 于是所求的和是：101× =5050
2.3《等差数列的前n项和》
教学目标 1、等差数列前n项和公式． 2、等差数列前n项和公式及其获取思路； 3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的 与前n项和有关的问题． 4、进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项 和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它 们解决一些相关问题； 二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、 推导及应用；熟练应用等差数列的求和公式。 教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一 些简单的有关问题。
高斯的算法实际上法解决了等差数列：1， 2，3·· ，·的前n项和问题 · ，n · · ·
探究发现
问题 ： 如何求等差数列an 的前n项和 ?
等差数列an 的前n项和,用Sn 表示， 记作：
Sn a1 a2 a3 an1 an
S n an an1 an2 a2 a1
例2. 己知一个等差数列｛an｝前10项的和 是310,前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
a1 an 解：由题意知 S10 10 310 2
得
a1 a10 62；
①
a1 a20 S20 20 1220 2
所以
a1 a20 122； ② ②-①，得 10d 60 则 d 6
高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学 必修5
第二章 数列
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学 必修5
第二章 数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方 法就是解方程组．
数学 必修5
第二章 数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢 管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层 等腰梯形
数学 必修5
第二章 数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如 图所示，则这样共有多少钢管？
数学 必修5
第二章 数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0， 从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)， 当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
高中数学：2.3《等差数列前n项和》课件 (共21张PPT)
例2:等差数列-10，-6，-2，2，…前多 少项的和是54 ？
例3：在等差数列an 中，已知
a10 29, S10 155 ,求 a1 .
五、当堂题A１（1）、２； 选做题：课本46页，习题A,1（3）、（4）
备用: 例6.在等差数列{an}中，
等差数列的前n项和(一）
和硕县高级中学 王建刚
学习目标：
1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；
2、初步掌握公式的简单运用。
教学重点、难点：
重点是等差数列前n项和公式，难点是获
得推导公式的思路。[克服难点的关键是 通过具体例子发现一般规律]
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
(1)已知d=3,an=20,Sn=65,
求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
例6. 已知一个等差数列的前10项的和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和的公式.
EX.1.若一个等差数列前3项和为34， 最后三项和为146，且所有项的和为 390，则这个数列共有______项。
问题二:
泰姬陵被称为世界七大奇迹之一，传说陵寝中有 一个梯形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有8层(见下图)，你知道这个图案一共用了多少 宝石吗？
三.问题探究： 问题三:如何求等差数列an的前n项和Sn ?
a1
an
an
a1
问题三：设等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d， 如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
例3：在等差数列an 中，已知
a10 29, S10 155 ,求 a1 .
五、当堂题A１（1）、２； 选做题：课本46页，习题A,1（3）、（4）
备用: 例6.在等差数列{an}中，
等差数列的前n项和(一）
和硕县高级中学 王建刚
学习目标：
1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程；
2、初步掌握公式的简单运用。
教学重点、难点：
重点是等差数列前n项和公式，难点是获
得推导公式的思路。[克服难点的关键是 通过具体例子发现一般规律]
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
一.预习反馈：
(1)已知d=3,an=20,Sn=65,
求a1和n以及此数列的后6项和； (2) 已知an=11-3n,求Sn.
(3)已知a11=-1，求S21.
例6. 已知一个等差数列的前10项的和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和的公式.
EX.1.若一个等差数列前3项和为34， 最后三项和为146，且所有项的和为 390，则这个数列共有______项。
问题二:
泰姬陵被称为世界七大奇迹之一，传说陵寝中有 一个梯形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有8层(见下图)，你知道这个图案一共用了多少 宝石吗？
三.问题探究： 问题三:如何求等差数列an的前n项和Sn ?
a1
an
an
a1
问题三：设等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d， 如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
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习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
高中数学优质课件 2.3.1等差数列的前n项和(一)
10(10−1) × 50
2
=
7250
(元)．
∴ 从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250
万元．
典例突破 （一）等差数列的前n项和公式的应用
【解题反思】如何建立等差数列模型？
答：建立等差数列的模型，要根据题意找准首项、公差和项 数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找 准n的取值与年份的对应．
② ������奇 − ������偶 = ������������；
③
������奇 ������偶
=
���������+��� 1.
自主探究 （二）深层探究
（2）当 ������������ 的项数为偶数 2������ 时， ① ������2������ = ������ ������1 + ������2������ = ������ ������2 + ������2������−1 = ⋯ = ������ ������������ + ������������+1
第二章 数列 §2.3.1 等差数列的前n项和
目标定位 学习目标和重难点
【学习目标】 1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 2．经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验 从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思； 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系， 能够由其中三个求另外两个．
行驶了多少km.
典例突破 （一）等差数列的前n项和公式的应用
【解析】(1) 依题意，从第2辆车到最后一辆车，每辆车都比
前一辆车少行驶
1 6
小时.
∴ 建立等差数列{an}，用an表示第n辆车的行驶时间，则
等差数列的前n项和课件
详细描述
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
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等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常 数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项 公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关 系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各 项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首 项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列 相关的问题，如求和、比较大小等。 此外，该公式还可以用于解决一些实 际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列，其中首项a=1，公差d=1；负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列，其中首项a=-1，公差d=-1；斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列，其中首项a=0，公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”，其 中a是首项，n是项数，d是公差 （任意两个相邻项的差）。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等，即a_n=a_(n+2m)，其中 m是整数；递增性是指如果公差d>0，则数列是递增的；递减性是指如果公差 d<0，则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$
高中数学人教A版必修5课件：2.3.1 等差数列的前n项和
-4-
第1课时 等差数列的 前n项和
1 2
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
2.等差数列{an}的前 n 项和 设等差数列{an}的公差是 d,则 Sn=
������(������1+������������ ) 2
������(������1 +������������ ) 2
=
������ 6-2 2
53
= −5, 解得n=15.∴a15 =
=
8(4+������8 ) 2
= 172, 解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 ������������ = ������1 + (������-1)������, ������������ = ������������1 + ������ = 7, ������ = 5, 解方程组得 或 ������1 = 3 ������1 = -1.
-12-
第1课时 等差数列的 前n项和
题型一 题型二 题型三
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题型四
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D典例透析
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(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点
������
������������ ������, ������
D典例透析
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【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7,������ = 1, ∴an= 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2. 7,������ = 1, 答案: 3· 2������ -1 ,������ ≥ 2
2.3.1_等差数列的前n项和(一).ppt
共同点:须知a1和n, 不同点:前者还需知an , 后者还需知d , 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
二、练习 1.若等差数列{an}满足下列条件，求前n项和Sn： （1）a1=5，an=95，n=10； 500 （2）a1=100，d=-2，n=50；2550 （3）a1=12，a8=26，n=20；620 （4）a7=8，d=3，n=15； 165 （5）若a8=5，你能求出S15吗？
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. 设 Sn= 54, 即 10n n( n 1) 4 54 2 2 整理得n -6n-27=0 ∴n1=9, n2=-3(舍去）。 ∴等差数列 －10，－6，－2，2， · · · 前9项和是54
n-1 2 (n+1) + n + 1 + (n+1)
对公差为d的等差数列{an} ，有 Sn=a1+a2+…+an=？
Sn=an+an-1+…+a1
一、新课
n(a1 an ) 等差数列的前n项和公式： S n 2
n( n 1) S n na1 d 2
比较以上两个公式的共同点与不同点
n(n 1) d 将它们代入公式 S n na1 2 10a1+45d=310
得
n(n 1) S n 4n 6 3n 2 n 2
练习：等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？
20a1+190d=1220 解得 a1=4，d=6
二、练习
3.等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？
注：在等差数列的通项公式与前 n 项和公式中 , 含有 a1 , d , n , an , S n 五个量, 只要已知其中三个量, 就可以求 出余下的两个量 .
等差数列的前n项和PPT优秀课件12
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(ad)2a2(ad)2
解得 a4d
从而这三边的长是 3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提 出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起 用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园 网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从 2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
S1010 (5 29)550. 0
(2 )a 1 1,0 d 0 2 ,n 5;0
S50 5 0 10 5 0 （ 5 0 2 0 1 )( 2)2550
( 3 ) a 1 1 4 .5 ,d 0 .7 ,a n 3 2 .
n320.174.5126, S26 2 6(12 .5 43)2 60 .5.4
反思 反思:（1）“倒序相加求和”法
常巳
（2）两公式中涉及到a，an，Sn，n, d五个量，通 知其中三个，就可以求出另外两个（知三求二），
而且方法 就是解方程组，这是等差数列求和的基本问题。
（3）具体应用时还常结合等差数列的性质。
例1:根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn
(1 )a 1 5 ,a n 9,n 5 1;0
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少 颗宝石？
这是求奇数个项的和的问 题，能不能直接用高斯的办 法呢求和呢？
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少 颗宝石？
由勾股定理，得到
(ad)2a2(ad)2
解得 a4d
从而这三边的长是 3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提 出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起 用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园 网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从 2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程 中的总投入是多少？
S1010 (5 29)550. 0
(2 )a 1 1,0 d 0 2 ,n 5;0
S50 5 0 10 5 0 （ 5 0 2 0 1 )( 2)2550
( 3 ) a 1 1 4 .5 ,d 0 .7 ,a n 3 2 .
n320.174.5126, S26 2 6(12 .5 43)2 60 .5.4
反思 反思:（1）“倒序相加求和”法
常巳
（2）两公式中涉及到a，an，Sn，n, d五个量，通 知其中三个，就可以求出另外两个（知三求二），
而且方法 就是解方程组，这是等差数列求和的基本问题。
（3）具体应用时还常结合等差数列的性质。
例1:根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn
(1 )a 1 5 ,a n 9,n 5 1;0
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少 颗宝石？
这是求奇数个项的和的问 题，能不能直接用高斯的办 法呢求和呢？
问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少 颗宝石？
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a1
(n-1)d
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
根公据式下应列用条件，求出相应等差数列{Sann}中 的n(前an12项 和anS)n
(1)a1= - 4, an= - 18, n=8
Sn
na1
n（n 2
1)
d
(2) a1=10, d= - 2, n=5
(3) a1=14.5, d= 0.7, an =32
作业
一.课本 P46习题2.3A组：2
二.活页作业 P17随堂巩固：1,2,4,5
谢谢！ 不足之处敬请批评指正
求等差数列 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋8 ＋ 9的和。
1和9 2和8 3和7 4和6 5？
显然，首尾配对相加法的条件是等差数列的项数是偶数
一题多解
已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前
（五(12）3()个解32)解： 解元：1S:n4由S素.n5naan:1n(an(an1a1(,12n1a2)an1n),n0)dn.7,18d5d,n得1-S04n 22（“56知（-1258三-）1） 求--828二 3”0
Sn
n(a1 an ) 2
26 (14.5 32) 2
604.5
合作探究——等差数列的前n项和公式
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
Q Sn a1 a2 a3 L an ①
Sn an a n1an2 L a1 ②
2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 L an a1
又2QSna1na(na1 a2ana) n1 a3 an2 L an a1
倒序 相加法
高斯启发—倒序相加法
求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和？
Sn 1 2 3 (n 1) n ①
Sn = n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋ 1 ②
分析：这
其实2S是n=求(n
1)
(n
1)
...
(n
1)
(n
1)
n
(n
1)
一个具体
的等差数 列前n项
和
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
公式应用 灵活运用
即：n=7
在等差数列an 中，已知 a2 21,a6 9,求S7.
解 : 根据an a1 n 1d得
, a1d21 a15d 9
解得
a1 -24 d3
代入公式Sn
na1
n(n 1) 2
d得
S7
7 (24)
7 (7 2
1)
3
S7 105
解：由等差数列的性质可知
a2 a6 a1 a7 30
同学们，你们准备好了吗？
Let'2项起，每一项
与它的前一项的差. 等于同.一.个. 常. 数. 。
差数列公通差项——
d=an-an-1 an=a1+(n-1)d
性质— 若 m n p q ，则 am an ap aq
(m,n,p,q∈N*)
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大 奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图 案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见 一斑。你知道这个图案一共耗费了多少宝石吗？
20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数
列的前n项和的公式吗？
另解：S10
10(a1 2
a10 )
310
a1
a10
62
①
S20
20(a1 2
a20 )
1220
a1
a20
122②
②-①得：a20 a10 60,10d 60;
d 6,
Sn a1n
（ n na11）4d
2
3n2
……
1,2,3,4，…n,…前100项的和的问题
S=1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
S=100 + 99 + 98 + … + 3 +502+ 5+1=1101
高∴斯2SG=auss.C1.0F 1 ×100=10100 德∴（国17S著7=7名~51数805学55）家0.
即Sn
n(a1 2
an
)
（等差数列的前n项和公式）
另解
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
Q Sn a1 a2 a3 L an
a1 a1 d a1 2d L a1 n 1 d ①
又Q Sn an a n1an2 L a1
n
问题情境
怎样计算有多少颗 宝石？（100层）
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋99＋100 =?
——灵山二中 韦菲菲
学习目标：
1、掌握等差数列前n项和公式及其推导过程； 2、初步掌握公式的简单运用。
学习重点、难点：
重点是等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用。 难点是获得推导公式的思路。[克服难点的关键是通
an an d an 2d L an n 1 d ②
①+ ②得
2Sn a1 an ＋a1 an ＋a1 an ＋… ＋ a1 an
2Sn
n(a1
an ),即Sn
n(a1 2
an
)
小组等讨差论数列的前n项和公式 可否含有其n 他, a表1 ,示和a形n式？
小提示：用含a1和d的表达式
含n , a1 , 和d
Sn
n(a1 2
an )
an a1 n 1d
n(n 1) Sn na1 2 d
五 个 元 素 : a1,an,n,d ,S n“知 三 求 二 ”
公式记忆
对比：我们可结合梯形的面积公式来记忆
a1 n
Sn
n(a1 2
an )
aa1n n
Sn
na1
n(n 1) 2
d
用整体思想求a1+an的值.
能力提升 （课本44页例2)
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20
项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列
的前n项和的公式吗？
分析：方
解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将
它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) 2
d
程思想和 前n项和 公式相结
合
得到
2100aa1114950dd
310 1220
解方程得 ad1
4 6
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
谈谈你的收获
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法—— 倒序相加法
3. 公式的应用 (知三求二)
过具体例子发现一般规律]
定义：
一般的，我们称
a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和，用Sn 表示，即
Sn=a1+a2+a3+…+an
问题情境
1 2 3 4 ＋ 97 98 99100 ?
＋ ＋
＋
1+100=101
50101 5050.
2+ 99=101
高斯启发实：际上高斯解决了求等差3+数98列=101
代入公式Sn
n(a1 an ) 得 2
S7
7 (a1 2
a7 )
7 (30)
2
105
高考链接
(辽宁高考)
在等差数列{an}中，已知a4+a8=16,求该数列
前11项和S11= ———
反思总结：
S11
11 (a1 2
a11 )
11
a4
2
a8
88
当已知条件不足以求出a1和d时，要认真
观察，灵活应用等差数列的性质，看能否