中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题附答案解析

中考数学压轴题专题圆与相似的经典综合题附答案解析

一、相似

1．如图，在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，连接BO，以AB为斜边向三角内部作Rt△ABE，且∠AEB=90°，连接EO．求证：

（1）∠OAE=∠OBE；

（2）AE=BE+ OE．

【答案】（1）证明：在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

∴OB⊥AC，

∴∠AOB=90°，

∵∠AEB=90°，

∴A，B，E，O四点共圆，

∴∠OAE=∠OBE

（2）证明：在AE上截取EF=BE，

则△EFB是等腰直角三角形，

∴，∠FBE=45°，

∵在等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，

∴∠ABO=45°，

∴∠ABF=∠OBE，

∵，

∴，

∴△ABF∽△BOE，

∴ = ，

∴AF= OE，

∵AE=AF+EF，

∴AE=BE+ OE．

【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，可证得∠AOB=∠AEB=90°，可得出A，B，E，O四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得结论。

（2）在AE上截取EF=BE，易证△EFB是等腰直角三角形，可得出BF与BE的比值为，再证明∠ABF=∠OBE，AB与BO的比值为，就可证得AB、BO、BF、BE四条线段成比例，然后利用两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABF∽△BOE，可证得AF= OE，由AE=AF+EF，可证得结论。

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．

【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，

在中，

分别是的中点，

（2）解：如图1，过点作于，

（舍）或秒

（3）解：四边形为矩形时,如图所示：

解得：

（4）解：当点在上时，如图2，

当点在上时，如图3，时，如图4，

时，如图5，

综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。

（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A （-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；

（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.

【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，

∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，

∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，

∴抛物线解析式为，顶点C（-1,4）；

（2）解：如图1，∵A(-3，0)，D(0，3),

∴直线AD的解析式为y=x+3，

设直线AD与CH交点为F，则点F的坐标为(-1，2)

∴CF=FH，

分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，

由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，△ADE与△ACD面积相等，

∴直线EC的解析式为y=x+5，

直线EH的解析式为y=x+1，

分别与抛物线解析式联立，得，，

解得点E坐标为(-2，3)，，；（3）解：①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，

∴，

分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N，

由△CQM∽△QPN，

得 =2，

∵∠MCQ=45°，

设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，

∴P点坐标为(-m-1，4-3m)，

将点P坐标代入抛物线解析式，得，

解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去)

∴P点坐标为(-4，-5)；

②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

∴，

延长CD交x轴于M，∴M(3，0)

过点M作CM垂线，交CP延长线于点F，作FN x轴于点N，

∴，

∵∠MCH=45°，CH=MH=4

∴MN=FN=2，

∴F点坐标为(5，2)，

∴直线CF的解析式为y= ，

联立抛物线解析式，得，解得点P坐标为( ， )，

综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，( ， ).

【解析】【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，利用△ADE与△ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3) （3）分两种情况讨论：①点P在对称轴左侧；②点P在对称轴右侧.