均值不等式求最值的解法总结(学生)

均值不等式

一、 基本知识梳理

1.算术平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的算术平均值.

2.几何平均值：如果a ﹑b ∈R +，那么 叫做这两个正数的几何平均值

3.重要不等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时，取“=”)

均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2

a b +≥ (当且仅当a=b 时，取“=”) 均值定理可叙述为：

4．变式变形：

()()

()()()()()22

22221;2

2;230;4252.a b ab a b b a ab a b

a b a b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤+；

5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。

注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：

（1）各项或各因式非负；

（2）和或积为定值；

（3）各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

二、利用基本不等式求最值的技巧：

技巧一：直接法

例1 已知,x y R +∈，且满足

134x y +=，则xy 的最大值为 ________。

变式：若44log log 2x y +=，求

11x y

+的最小值.并求x,y 的值

例2：已知5

4x <，求函数1

4245y x x =-+-的最大值。

例3. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三：“1”的巧妙利用

例4. 已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值

变式： 设0,0.a b >>若11

333a b a b +是与的等比中项，则的最小值为（ ）．

A ．8

B ．4

C ． 1

D ． 1

4

扩展：

例.设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，求3

21111

a a a S ++=的最小值。

例5. 已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.

变式: 求函数152152()22

y x x x =-+-<<的最大值。

技巧五：裂项 法

分式函数求最值，把)(x f y =表示为B x g A x mg y ++=)

()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 再运用均值不等式来求最值。

例6.求函数)01(1

12>->+++=a x x x ax y 且的最小值。

变式: 已知1x >-，求函数

()()521x x y x ++=+的最小值.

注意：求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+

的单调性。 例：求函数2254x y x +=

+的值域。

例7.已知正数x、y满足81

1

x y

+=，求2

x y

+的最小值。

技巧七：换元法

例8. 求函数

2

25

x

y

x

+

=

+的最大值.

技巧八：取倒数

例9. 已知

1

2

x

<<

，求函数

2

(1)

(12)

x

y

x x

+

=

-的最小值.

三．均值不等式能力训练题

一、选择题

1、已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )

A．最大值为0 B．最小值为0

C．最大值为－4 D．最小值为－4

2、若0＜x＜1，则f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x的值为 ( )

A. B. C. D.

3、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )

A. B. C.5 D.6

4、已知为正整数，实数的最大值为40，则满足条件的数对（a，b）的个数

为( ) A．1 B．3 C．5 D．7

二、填空题

5、若,且，则的最小值为.

6、已知，则的最小值为________。

7、已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

三、简答题

8、已知，求的最小值

9、已知，且，求的最小值

10、设，求函数的最小值。

11、若a>0，b>0，且＋＝.

(1)求a3＋b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．