排列组合与二项式定理中职数学拓展模块31课件1人教版
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最新语文版中职数学拓展模块3.1排列、组合1课件PPT.ppt
动 脑 思 考
= n(n 1)(n 2) (n m 1) 21 (n m) 21
（n
n! m)!
探
索 新
即
Pnm
（n
n! m)!
知
例2 计算 P52 和 P44．
解 P52 =5×4=20， P44 4！ 4 3 2 1 24．
巩
例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有 k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有 kn 种方法，那么完 成这件事的方法共有
创
N k1 k2 kn（种）．
设
上面的计数原理叫做分类计数原理．
导
北京→重庆，北京→上海， 重庆→北京，
入
重庆→上海，上海→北京， 上海→重庆．
我们将被取的对象（如上面问题中的民航站）叫做元素，那么上面的
动
问题就是：从3个不同元素中，任取2个，按照一定的顺序排成一列，可以
脑
得到多少种不同的排列．
思
考
一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个不同元素，按照一定的顺
北京、重庆、上海3个民航站之间的直达航线，要准备多少种不同的机票？
创
这个问题就是从北京、重庆、上海3个民航站中，每次取出2个站，按照起
设 点在前，终点在后的顺序排列，求不同的排列方法的总数．
情
境
首先确定机票的起点，从3个民航站中任意选取1个，有3种不同的方法；然
兴 后确定机票的终点，从剩余的2个民航站中任意选取1个，有2种不同的方法． 趣 根据分步计数原理，有3×2=6种不同的方法，即需要准备6种不同的飞机票：
排列、组合、二项式定理精选教学PPT课件
当我们爱自己的孩子的时候，可曾想过，我们把爱孩子的十分之一去爱母亲，她就足矣，往往这一点也做不到，说句心里话，我们欠母亲的无法补偿，更无法用语言表达。 我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
数有多少？
5×5=25
练习2
1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
P122
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
C122
3.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重 复数字的正整数
P41 P42 P43 P44
练习3
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 C150 ；
名称
排列
组合
一个~ ~~数
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有组合的个数
符号
种数 公式 关系
性质
Pnm
C
m n
Pnm
Pnm
n(n 1) (n m
n! (n m)! Pnn n!
1)
0!
1
排列、组合、二项式定理
知识结构网络图：
排列与组合
二项式定理
《排列、组合》中职数学拓展模块3.1ppt课件1【语文版】
• 要如何做到上课认真听讲？
•
我们都知道一个人的注意力集中时间是有限的，一节课45分钟如何保持时时刻刻都能认真听讲不走神呢？
•
1、往前坐
•
坐的位置越靠后，注意力就越难集中。老师不会注意到你的事实可以让你不再紧张，放心去做别的事情。坐在后面，视线分散，哪怕你是在看老师，如果有人移动，你的视线就会飘到那个同学的后脑勺上去，也就无法集中注意力。 而且，坐在后面很
（n
n! m)!
探
索 新
即
Pnm
（n
n! m)!
知
例2 计算 P52 和 P44．
解 P52 =5×4=20， P44 4！ 4 3 2 1 24．
巩
例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙
固
3位同学，每人1本，共有多少种选法？
知
解 不同的送法的种数是
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
基础模块中，曾经学习了两个计数原理．
一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有 k1种方法， 第2类方式有 k2 种方法，……，第n类方式有 kn 种方法，那么完
成这件事的方法共有
创
N k1 k2 kn（种）．
设
上面的计数原理叫做分类计数原理．
探
序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个排列．
索
新
当m＜n时叫做选排列，当m=n时叫做全排列．
知
例1 写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列．
解 所有排列为
巩
ab, ac, ad,ba,bc,bd, ca, cb, cd, da.db, dc
固
排列、组合 和二项式定理幻灯片PPT
组合
组合数的概念和推导 组合数公式 组合数性质
CnmCnnm C n m 1C n mC n m 1
kCnk nCnk1
C k k C k k 1 C k k 2 C n k C n k 1 1
计数综合问题
先选后排
7.从3名男生和3名女生中，选出3名分别担 任语文、数学、英语的课代表，要求至少 有1名女生，则选派方案共有（ ）
其中能被5整除的四位数共有
个
二维：有5有0，有5无0，无5有0
主元：个位为0，个位为5（再根据需要细 分，选0与不选0）
在6名内科医生和4名外科医生中，内科主 任和外科主任各一名，现在要组成人医疗 小组送医下乡，依下列条件各有多少种方 法：
既有内科医生又有外科医生（间接考察）
既有主任又有外科医生
排列数应用
组合 组合数
组合数应用
二项式定理
教学内容
不仅有着许多直接应用，还是学习概率理 论的准备知识，而且由于其思维方法的新 颖性与独特性，因此它也是培养学生思维 能力的不可多得的好素材；作为初中多项 式乘法公式的推广——二项式定理，不仅 使前面组合等知识的学习得到强化，而且 与后面概率中的二项分布有着密切联系。
排列、组合 和二项式定理 幻灯片PPT
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知识结构
分类计数原理、分步计数原理
排列 排列数
3．展开式的每一项由若干个a和若干个b的乘积 构成，a和b的个数之和等于n，它可以表示为ankbk．
人教版中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》word教案
排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。
排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。
考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测20XX年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。
排列组合二项式定理PPT教学课件(1)
答：从书架上任取一本书有11种不同的取法。
（2）从书架上任取数学书语文书各1本，可以分成两个步骤 完成。第一步，取1本数学书有6种方法。第二步，取1语文 书有5种方法。根据乘法原理得到不同的取法种数为： N=m1.m2=6×5=30
答：从书架上任取数学书语文书各1本有30种不同的取法。
作业
棱锥、圆锥的体积
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
1
V锥体＝ 3 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
作业：
1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。
2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求 三棱锥的体积。
甲
乙
甲 丙
乙
思考？
不 可 以 重 复 的 三 位 数 ？
可 以 组 成 多 少 个 各 位 数 字
由 数 字 1 、 2 、 3 、 4 、
5
练习1
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘轮 船，还可以乘汽车。一天中火车有4班，汽 车有2班，轮船有3班。问：一天中乘坐这 些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同 走法？
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
（2）从书架上任取数学书语文书各1本，可以分成两个步骤 完成。第一步，取1本数学书有6种方法。第二步，取1语文 书有5种方法。根据乘法原理得到不同的取法种数为： N=m1.m2=6×5=30
答：从书架上任取数学书语文书各1本有30种不同的取法。
作业
棱锥、圆锥的体积
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
1
V锥体＝ 3 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
作业：
1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。
2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求 三棱锥的体积。
甲
乙
甲 丙
乙
思考？
不 可 以 重 复 的 三 位 数 ？
可 以 组 成 多 少 个 各 位 数 字
由 数 字 1 、 2 、 3 、 4 、
5
练习1
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘轮 船，还可以乘汽车。一天中火车有4班，汽 车有2班，轮船有3班。问：一天中乘坐这 些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同 走法？
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
排列组合与二项式定理PPT课件
(1)C0n＋Cn1
＋
…＋
Crn＋…
＋
Cnn＝ 2n；
C0n＋
Cn2
＋
…＝
Cn1
＋
C
3 n
＋…＝2n－1.
(2) 应 用 “ 赋 值 法 ” 可 求 得 二 项 展 开 式 中 各项 系 数 和 为
f(1)．“奇数(偶次)项”系数和为12[f(1)＋f(－1)]，“偶数(奇次)
项”系数和为12[f(1)－f(－1)]．
第18讲 │ 要点热点探究
要点热点探究
► 探究点一 计数原理及其应用
例1(1)在任意两个正整数m和n间定义某种运算，用⊗表 示运算符号，并规定，当m和n都为奇数或都为偶数时，m⊗n ＝m＋n；当m和n中有一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n ＝mn，设集合M＝{(a，b)|a⊗b＝36，a、b∈N＋}，则集合M 中共有________个元素；
第18讲 │ 要点热点探究
41 【解析】 一类：当 m、n 都为奇数时，由 m＋n＝36， 可知 m＝1,3,5，…，35，相应的 n 随之确定，共有 18 个不同 数对(a，b)；
二类：当 m 和 n 都为偶数时，由 m＋n＝36，可知 m＝ 2,4,6，…，34，相应的 n 随之确定，共有 17与D”看成一个整体，故有2A
3 4
＝
48种涂法．
故不同的涂法共有24＋48＝72种，选A.
【点评】 本题的涂色问题是一类典型应用两个计数原理解决的 计数问题，在高考中多次出现这类问题，解决的基本思路有两条：一 是按照颜色的种类进行分类；二是按区域一个一个地涂色．在具体填 涂的过程中应用计数原理，找到问题的解决方案．
第18讲 │ 要点热点探究
【点评】 分清是分类还是分步，是决定用分类计算原理 还是分步计算原理的必要条件；分类时标准统一，做到不重不 漏．分步时程序清晰，做到独立、完整．如果题目中既要用到 分类计数原理，又要用到分步计数原理，一般应遵循“先分 类，再分步”的原则．
【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》课件
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有5×4×4×4×4=1280 种，应填1280.
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x、 y∈Z)， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12， 当 y取 11时 ， x=1,2,3,…,11,有 11个 ;当 y取 10时 ， x=2,3,…,10,有 ９ 个 ;当 y 取9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有 1个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
为了参加学校的元旦文艺会演，某 班决定从爱好唱歌的４名男同学和５名女 同学中选派４名参加小合唱节目，如果要 求男女同学至少各选派１名，那么不同的 选派方法有多少种？
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法数
例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有5×4×4×4×4=1280 种，应填1280.
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x、 y∈Z)， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12， 当 y取 11时 ， x=1,2,3,…,11,有 11个 ;当 y取 10时 ， x=2,3,…,10,有 ９ 个 ;当 y 取9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有 1个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
为了参加学校的元旦文艺会演，某 班决定从爱好唱歌的４名男同学和５名女 同学中选派４名参加小合唱节目，如果要 求男女同学至少各选派１名，那么不同的 选派方法有多少种？
【高教版】中职数学拓展模块：3.1《排列与组合》ppt课件(2)
第三章 概率与统计
3.1 排列与组合
例7 从5名学生中，选出2名学生． （1）去参加一个调查会，有多少种不同的选法？ （2）担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）不同的选法共有
2 C5
分析 人担 任两项不同的工 作，是有序的， 是排列问题．
2 C100
100 99 98 161700． 3 2 1
巩 固 知 识 典 型 例 题
例8 100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检 查．问 （1）一共有多少种不同的抽取方法？ （2）抽取的3件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多 少种？ （3）抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有 多少种？ （2）分成两步来完成．第一本从2件次品中抽出1件，第二步从98 件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有1件次品的不同抽取 方法的种数为
自 我 反 思 目 标 检 测
袋中共有10个不同的球，其中白色球友8个，红色球有2 个．从中任意取出3个球， （1）取出的3个球全部是白球的取法共有多少种？ （2）取出的3个球中恰好有1个是红球的方法共有多少种？ （3）取出的3个球中至少有1个是红球的方法共有多少种？
56； 56； 64．
继续探索 活动探究
3 3 C100 C98 161700 152096 9604．
例9 如果7名学生照集体像，要排成一列，有两名学生必须 要相邻，那么共有多少种不同的排法？ 解 不同的排法共有
巩 固 知 识 典 型 例 题
P22 P66 2 1 6 5 4 3 2 1 1440 （种）． 要注意“先 考虑特殊元素 分析 或特殊位置， 分成两步来 再考虑一般元 排队．第一步， 素或位置”这 将这两个人的顺 种分步骤研究 序排好；第二步， 方法的使用． 将这两个人作为 一个总体，与剩 下的5名学生一 起排队．
3.1 排列与组合
例7 从5名学生中，选出2名学生． （1）去参加一个调查会，有多少种不同的选法？ （2）担任两项不同的工作，有多少种不同的选法？
巩 固 知 识 典 型 例 题
解 （1）不同的选法共有
2 C5
分析 人担 任两项不同的工 作，是有序的， 是排列问题．
2 C100
100 99 98 161700． 3 2 1
巩 固 知 识 典 型 例 题
例8 100件产品中有两件次品，从中任意抽取3件产品进行检 查．问 （1）一共有多少种不同的抽取方法？ （2）抽取的3件产品中，恰有一件是次品的不同抽取方法有多 少种？ （3）抽取的3件产品中，至少有一件是次品的不同抽取方法有 多少种？ （2）分成两步来完成．第一本从2件次品中抽出1件，第二步从98 件正品中抽出的2件中.由分步计数原理知，恰有1件次品的不同抽取 方法的种数为
自 我 反 思 目 标 检 测
袋中共有10个不同的球，其中白色球友8个，红色球有2 个．从中任意取出3个球， （1）取出的3个球全部是白球的取法共有多少种？ （2）取出的3个球中恰好有1个是红球的方法共有多少种？ （3）取出的3个球中至少有1个是红球的方法共有多少种？
56； 56； 64．
继续探索 活动探究
3 3 C100 C98 161700 152096 9604．
例9 如果7名学生照集体像，要排成一列，有两名学生必须 要相邻，那么共有多少种不同的排法？ 解 不同的排法共有
巩 固 知 识 典 型 例 题
P22 P66 2 1 6 5 4 3 2 1 1440 （种）． 要注意“先 考虑特殊元素 分析 或特殊位置， 分成两步来 再考虑一般元 排队．第一步， 素或位置”这 将这两个人的顺 种分步骤研究 序排好；第二步， 方法的使用． 将这两个人作为 一个总体，与剩 下的5名学生一 起排队．
人教版中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》ppt课件1
m n
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
1 C 3 先排末位共有___ 1 C4 然后排首位共有___
（1）是分步问题，用分步计数原 点评
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个 不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。 m P 所有排列的个数叫做 排列数 ，用 n 表示。
n! P n(n 1)(n 2) (n m 1) (n m)!
故满足条件的五位偶数共有
1 1 3 60- A3 A3 A2 -1=39(个).
(2)（方法一）可分两类: 0是末位数，有 A A =4（个）；
2 2 2 2
２或４是末位数，有 A A =4(个).
2 2
1 2
故共有4+4=8(个).
( 方法二 ) 第二位、第四位从奇数 1 ， 3中取， 1 2 有 个A ;首位从２ , ４中取，有 个；余下 A 2 2 2 排在剩下的两位，有 个,A 故共有 2
当正面求解较为困难时，也可采用正难则 反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准 对立面.
能力提高
球台上有 4 个黄球， 6 个红球，击 黄球入袋记 2 分，击红球入袋记 1 分 . 欲 将此１0个球中的4个球击入袋中，但总 分不低于5分，则击球方法有几种？
设击入黄球x个,红球y个符合要求, x+y=4 则有 2x+y≥5 x,y∈N*, 解得 x=1 y=3, x=2 y=2 , x=3 y=1 , x=4 y=0.
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
1 C 3 先排末位共有___ 1 C4 然后排首位共有___
（1）是分步问题，用分步计数原 点评
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个 不同的元素中取出M个元素的一个 排 列。 m P 所有排列的个数叫做 排列数 ，用 n 表示。
n! P n(n 1)(n 2) (n m 1) (n m)!
故满足条件的五位偶数共有
1 1 3 60- A3 A3 A2 -1=39(个).
(2)（方法一）可分两类: 0是末位数，有 A A =4（个）；
2 2 2 2
２或４是末位数，有 A A =4(个).
2 2
1 2
故共有4+4=8(个).
( 方法二 ) 第二位、第四位从奇数 1 ， 3中取， 1 2 有 个A ;首位从２ , ４中取，有 个；余下 A 2 2 2 排在剩下的两位，有 个,A 故共有 2
当正面求解较为困难时，也可采用正难则 反的思想，用“间接法”求解，但要注意找准 对立面.
能力提高
球台上有 4 个黄球， 6 个红球，击 黄球入袋记 2 分，击红球入袋记 1 分 . 欲 将此１0个球中的4个球击入袋中，但总 分不低于5分，则击球方法有几种？
设击入黄球x个,红球y个符合要求, x+y=4 则有 2x+y≥5 x,y∈N*, 解得 x=1 y=3, x=2 y=2 , x=3 y=1 , x=4 y=0.
《排列、组合》中职数学拓展模块3.1ppt课件3【语文版】
S {a, a,b,c, c, c} {2a,1b,3c}
其中2,1,3是元素的重复数。当元素可以无限多次使 用时，重复数为无穷。 多重集S中选出r个元素进行有序排放，构成一个 多重集的r-排列。
acbc，cbcc,abac都是S个元素4 –排列。
定理3.4.1 设 多 重 集S有k个 不 同 元 素 ， 每 个 元 素有
定理3.2.2
环形r - 排列数 = P(n, r) = n! r r(n - r)!
环形n - 排列数 = P(n, n) = (n - 1)! n
证明： r个r-线性排列对应1个r-环形排列.
例5 将12种记号标在旋转的圆鼓上，有多少种 标法？
n=P(12,12)/12=11!
例6 10个人为圆桌任意就坐，求指定的两个人 A与B不相邻的概率。
去 除a : 去 除b :
na
8! 2!2!4!
420
8! nb 3!1!4! 280
420 280 560 1260
去 除c :
8! nc 3!2!3! 560
例4 8*8棋盘上，非攻击车的放法。
8个 颜 色相 同 的 车: n 8！ 8个颜色各不相同的车n： 8！8!
第三章 排列与组合
§3.1 加法原理与乘法原理
1.加法原理
设集合S剖分成S1,,Sn ,则 S S1 Sn
A到B有三种交通方式： 空：m 种选择
陆：n 种选择
A
海：k 种选择
则共有 m+n+k 种走法
m
n
B
k
§3.1 加法原理与乘法原理
2、乘法原理
设集合S {(a, b),a A, b B},则 S A B
其中2,1,3是元素的重复数。当元素可以无限多次使 用时，重复数为无穷。 多重集S中选出r个元素进行有序排放，构成一个 多重集的r-排列。
acbc，cbcc,abac都是S个元素4 –排列。
定理3.4.1 设 多 重 集S有k个 不 同 元 素 ， 每 个 元 素有
定理3.2.2
环形r - 排列数 = P(n, r) = n! r r(n - r)!
环形n - 排列数 = P(n, n) = (n - 1)! n
证明： r个r-线性排列对应1个r-环形排列.
例5 将12种记号标在旋转的圆鼓上，有多少种 标法？
n=P(12,12)/12=11!
例6 10个人为圆桌任意就坐，求指定的两个人 A与B不相邻的概率。
去 除a : 去 除b :
na
8! 2!2!4!
420
8! nb 3!1!4! 280
420 280 560 1260
去 除c :
8! nc 3!2!3! 560
例4 8*8棋盘上，非攻击车的放法。
8个 颜 色相 同 的 车: n 8！ 8个颜色各不相同的车n： 8！8!
第三章 排列与组合
§3.1 加法原理与乘法原理
1.加法原理
设集合S剖分成S1,,Sn ,则 S S1 Sn
A到B有三种交通方式： 空：m 种选择
陆：n 种选择
A
海：k 种选择
则共有 m+n+k 种走法
m
n
B
k
§3.1 加法原理与乘法原理
2、乘法原理
设集合S {(a, b),a A, b B},则 S A B
高教版中职数学(拓展模块)3.1《排列与组合》ppt课件3
用符号Amn表示。
当两个排列的元素完全相同,且元素的排列 顺序相同称两个排列相同
判断下列问题是否是排列问题： 1、从2,3,4,5中任取两个数进行如下运算，分别有多少 种结果 A、相加 B、相减 C、相乘 D、相除
2、某班50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写 多少信？
3、若把上题中写信改为通电话，共需通电话多少次？
排列数为： A53
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的 顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排 列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的 方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关， 也就是说与位置有关的问题才能归纳为排列问 题。当元素较少时，可以根据排列的意义写出 所有的排列．（树形图）
求从4个不同的元素中取出 3个元素的排列数
思考：从n个不同的元素中取出2个元素的排 列数 An2 是
多少？ An3 呢？
求从A、B、C、D四个元素中任取两个元 素的所有排列以及排列数．
解：所有排列有： AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、
CD、DA、DB、DC．
排列数为： A42
排列数与排列是两个不同的概念：
注意： 定义中包含两个基本内容：
取出元素 按照一定的顺序排列
判断一个问题是否 是排列的标志
排列
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列(arrangement).
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，
用排列原理解决问题
求从3个不同的元素中取 出2个元素的排列数。
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一
当两个排列的元素完全相同,且元素的排列 顺序相同称两个排列相同
判断下列问题是否是排列问题： 1、从2,3,4,5中任取两个数进行如下运算，分别有多少 种结果 A、相加 B、相减 C、相乘 D、相除
2、某班50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写 多少信？
3、若把上题中写信改为通电话，共需通电话多少次？
排列数为： A53
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的 顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排 列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的 方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关， 也就是说与位置有关的问题才能归纳为排列问 题。当元素较少时，可以根据排列的意义写出 所有的排列．（树形图）
求从4个不同的元素中取出 3个元素的排列数
思考：从n个不同的元素中取出2个元素的排 列数 An2 是
多少？ An3 呢？
求从A、B、C、D四个元素中任取两个元 素的所有排列以及排列数．
解：所有排列有： AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、
CD、DA、DB、DC．
排列数为： A42
排列数与排列是两个不同的概念：
注意： 定义中包含两个基本内容：
取出元素 按照一定的顺序排列
判断一个问题是否 是排列的标志
排列
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按 照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列(arrangement).
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 排列数，
用排列原理解决问题
求从3个不同的元素中取 出2个元素的排列数。
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一
排列组合及二项式定理复习计数原理(课件)2022-2023学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册
组合数性质：
C
m n
C nm n
C
m n
C
m n
1
Cm n1
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题主置最,排先然需分常,排后以先析用末排免安法也位首不排和是共位合特元最有共要殊素基_有求元_分本_的_素_析的_元,法方再素C是法处占31C解,理了若41 决其这以排它两元列元个素组素位分合.置析若问为以
三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 A55 种，第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法 由分步计数原理,节目的 不同顺序共有A55 A64 种
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有C__52种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_A__44__种方法.
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
中职数学拓展模块课件-二项式定理
解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
高教版中职数学(拓展模块)3.2《二项式定理》ppt课件1
C24；恰有3个取b的
趣 导 入
情况有 C34 种，所以 a b3的系数是 C34；恰有4个取b的情况有 所以 b 4的系数是 C44．
C
4 4
种，
因此
（a b)4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34ab3 C44b4．
利用这种方法可以得到二项式定理： 设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2019/8/29
最新中小学教学课件
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2019/8/29
最新中小学教学课件
设
乘积，因而各项都是4次式，其所含字母的形式分别为
情 境
a 4，a 3b，a 2b 2，ab3，b 4
在上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即
C04种，所以
a 4的系数是 C04；恰有1个取b的情况有 C14 种，所以 a3b的系数是 C14；
兴
恰有2个取b的情况有
C
2 4
种，所以
a 2b 2 的系数是
典
所以二项式展开式中第5项是常数项，为题的一般方法．
型 例
C150
1098 7 6 5 43 21
252．
题
1． 用二项式定理展开下列各式：
（1） (1 x)8 ； （2） (x 1)6 ； x
运 用
（3） (2a b)5 ；（4） ( x 2 )4 ． 2x
探 式的通项为
索
Tm1 =Cnmanmbm
新
知
由二项式定理可以得到：
(a b)1
…………
11
(a b)2
…………
121
动
(a b)3
新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理3-1-1-1基本计数原理课件新人教B版选择性必修第二册
知识点二 分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，且：做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步 有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝_m_1_×__m_2_×__…__×__m_n_ 种不同的方法．
[基础自测]
1．下列说法不正确的是( ) A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相 同． B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这 件事． C．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中 飞机每天有 3 班，轮船有 4 班．若李先生从甲地去乙地，则不同 的交通方式共有 7 种． D．某校高一年级共 8 个班，高二年级共 6 个班，从中选一 个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有 14 种．
(3)正确，因为 x 从集合{2,3,7}中任取一个值共有 3 个不同的值， y 从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有 3 个不同的值，且对应 x·y 的值各不相同，故 x·y 可表示 3×3＝9 个不同的值．
(4)错误，因为每个项目中的冠军都有 3 种可能的情况，根据分 步乘法计数原理共有 34 种不同的夺冠情况．
答案：B
4．从 A 地到 B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具， 如果一天内汽车发 3 次，火车发 4 次，轮船发 2 次，那么一天内 乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对
解析：分三类：第一类，乘汽车，从 3 次中选 1 次有 3 种走法； 第二类，乘火车，从 4 次中选 1 次有 4 种走法；第三类，乘轮船， 从 2 次中选 1 次有 2 种走法．所以，共有 3＋4＋2＝9 种不同的走 法．
完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，且：做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步 有 mn 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝_m_1_×__m_2_×__…__×__m_n_ 种不同的方法．
[基础自测]
1．下列说法不正确的是( ) A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相 同． B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这 件事． C．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中 飞机每天有 3 班，轮船有 4 班．若李先生从甲地去乙地，则不同 的交通方式共有 7 种． D．某校高一年级共 8 个班，高二年级共 6 个班，从中选一 个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有 14 种．
(3)正确，因为 x 从集合{2,3,7}中任取一个值共有 3 个不同的值， y 从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有 3 个不同的值，且对应 x·y 的值各不相同，故 x·y 可表示 3×3＝9 个不同的值．
(4)错误，因为每个项目中的冠军都有 3 种可能的情况，根据分 步乘法计数原理共有 34 种不同的夺冠情况．
答案：B
4．从 A 地到 B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具， 如果一天内汽车发 3 次，火车发 4 次，轮船发 2 次，那么一天内 乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9 C．3×4×2＝24 D．以上都不对
解析：分三类：第一类，乘汽车，从 3 次中选 1 次有 3 种走法； 第二类，乘火车，从 4 次中选 1 次有 4 种走法；第三类，乘轮船， 从 2 次中选 1 次有 2 种走法．所以，共有 3＋4＋2＝9 种不同的走 法．
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计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 的n①类方m办法完1+法成,m在中2一+第有m件23m类 ＋事n办…种,有法+不mn中同类n种有的办不方m法同2法种,的在不方,第那同法1么类的.完办方成法法这中，件有…事m…共1种，有不在N同第=
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤： 第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有 5种选 法； 第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
题型二 排列、组合数方程问题
例2 解下列方程：
(1)
P4 2x?1
=140
Px3;
(2)
C
x?1 x? 3
=
+ C x?1 x?1
+ C C x
x? 2
x?1
x? 2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有
2.分步乘法计数原理 的种方 不法 同完的成,做方一第法件2步事,那有,么需m完要2种成分不这成同件n的个事方步共法骤有，,做…第…1步,做有第mn1步种有不m同n
N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法 .
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在 n 类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关 .分步：完成一 件事须按先后顺序分 n 步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成 .
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式 .
Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n ? m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为 全排列，记
=1·2·3·…·(n -1)·n =n !(称为n 的阶乘 )；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出 m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合.
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法 数 例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有 5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语 书各一本，有多少种不同的取法？
N=m 1×m 2×m 3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
选C. 点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排
列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm ? n(n?1)(n? 2)
(n? m?1)? n! (n? m)!
2
,
即
C1 x? 2
+
C2 x? 2
=
C2 x? 2
+
Cx4?
,
2
所以
C
1 x?
2
=C4 x?2源自，所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
点评 凡遇到解排列、组合的方程 ,
不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
所有组合的个数叫做 组合数,用符号 Cnm表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n ? 1)(n ? 2) ???(n ? m ? 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n ? m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
= Cn?m n
;
(ⅱ)
(4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x =3.
(2)由组合数的性质可得
+ + = + + C C C C C C x?1
x
x? 2
2
1
4
x?1
x?1
x? 2
x?1
x?1
x? 2
=
+ C C 2
4
x? 2
x? 2
.
又C x?1 x? 3
=
C
2 x?
3
,
所以Cx2? 3
=
C2 x? 2
+
C
4 x?
Cm n?1
=
Cnm
+ Cm?1 n
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从 n个不同元
素中，任取 m 个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）” .因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型三 结合两个计数原理 求排列、组合问题的方法数
例3用0,1,2,3,4 这五个数字，可以组
成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22+ A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个).
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数 ,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为 6，有1 个，故满足题设的三角形共有： 11+9+7+5+3+1=36个，故
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 的n①类方m办法完1+法成,m在中2一+第有m件23m类 ＋事n办…种,有法+不mn中同类n种有的办不方m法同2法种,的在不方,第那同法1么类的.完办方成法法这中，件有…事m…共1种，有不在N同第=
少种不同的取法？
N=3×5＋3×6＋
5×6=63．
一、两个原理
练习2： 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤： 第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有 5种选 法； 第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
题型二 排列、组合数方程问题
例2 解下列方程：
(1)
P4 2x?1
=140
Px3;
(2)
C
x?1 x? 3
=
+ C x?1 x?1
+ C C x
x? 2
x?1
x? 2
.
(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x+1 3≤x (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
x≥３ 则有
2.分步乘法计数原理 的种方 不法 同完的成,做方一第法件2步事,那有,么需m完要2种成分不这成同件n的个事方步共法骤有，,做…第…1步,做有第mn1步种有不m同n
N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法 .
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在 n 类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关 .分步：完成一 件事须按先后顺序分 n 步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成 .
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式 .
Anm =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n ? m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为 全排列，记
=1·2·3·…·(n -1)·n =n !(称为n 的阶乘 )；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出 m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合.
答：可以组成100个三位整数．
一、两个原理
题型一 利用两个计数原理求方法 数 例1（1）现要排一份５天的值班表，每天
有一人值班，共有５人，每人可以多天值班 或不值班，但相邻两天不准由同一人值班， 问此值班表共有 1280 种不同排法.
一、两个原理
(1)值班表须依题设一天一天的分步 完成.第一天有5人可选，有 5种排法，第二 天不能用第一天的人，有4种排法，同理， 第三天、第四天、第五天也有4种，故由分 步计数原理排值班表共有 5×4×4×4×4=1280种，应填1280.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
取法？
答案：N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．
（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语 书各一本，有多少种不同的取法？
N=m 1×m 2×m 3=90．
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多
选C. 点评（1）是分步问题，用分步计数原
理;(2)是分类问题，用分类计数原理.
二、排列与排列数
从n个不同的元素中，任取M个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个
不同的元素中取出M个元素的一个 排
列。
所有排列的个数叫做 排列数 ，用 Pnm
表示。
Pnm ? n(n?1)(n? 2)
(n? m?1)? n! (n? m)!
2
,
即
C1 x? 2
+
C2 x? 2
=
C2 x? 2
+
Cx4?
,
2
所以
C
1 x?
2
=C4 x?2源自，所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
点评 凡遇到解排列、组合的方程 ,
不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
所有组合的个数叫做 组合数,用符号 Cnm表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n ? 1)(n ? 2) ???(n ? m ? 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n ? m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
= Cn?m n
;
(ⅱ)
(4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x =3.
(2)由组合数的性质可得
+ + = + + C C C C C C x?1
x
x? 2
2
1
4
x?1
x?1
x? 2
x?1
x?1
x? 2
=
+ C C 2
4
x? 2
x? 2
.
又C x?1 x? 3
=
C
2 x?
3
,
所以Cx2? 3
=
C2 x? 2
+
C
4 x?
Cm n?1
=
Cnm
+ Cm?1 n
.
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是“从 n个不同元
素中，任取 m 个不同元素”；而不同点是
排列要“按照一定的顺序排成一列”，而
组合却是“只需组成一组（与顺序无
关）” .因此，“有序”与“无序”是排列
与组合的重有要序标志.⑨“
”为无排序列问题,
⑩“ ”为组合问题.
题型三 结合两个计数原理 求排列、组合问题的方法数
例3用0,1,2,3,4 这五个数字，可以组
成多少个满足下列条件的没有重复数 字的五位数： (1)比21034大的偶数； (2)左起第二位、第四位是奇数的偶数.
(1)（方法一）可分五类:
当末位数字是0,而首位数字是2, A21 A22+ A22=6(个); 当末位数字是0,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是2,而首位数字是3或4,有A21 A33=12(个); 当末位数字是４,而首位数字是2,有 A22 +A11 =3(个); 当末位数字是4,而首位数字是3，有 A33 =6(个).
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数 ,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为 6，有1 个，故满足题设的三角形共有： 11+9+7+5+3+1=36个，故