高中数学选修2-3课时作业10：2.3.2 离散型随机变量的方差

2.3.2 离散型随机变量的方差

一、选择题

1．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2

D ．10和0.8

2．若离散型随机变量X 的分布列如下，则X 的均值E (X )等于( )

A.2 B ．2或1

2

C.12

D ．1

3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1

3，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )

A ．6

B ．9

C ．3

D ．4

4．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )

A.3.56 C ．3.2

D. 3.56

5．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝1

5(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于( )

A ．5

B ．8

C ．10

D ．16

6．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )

A.x ，s 2＋1002

B.x ＋100，s 2＋1002

C.x ，s 2

D.x ＋100，s 2

7．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k

，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12C.2

9D ．16

二、填空题

8．随机变量ξ的分布列如下：

其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1

3

，则D (ξ)＝____________.

9．已知某随机变量X 的分布列如下，其中x >0，y >0，随机变量X 的方差D (X )＝1

2，则x ＋y

＝________.

10.随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1

5，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.

11．已知随机变量X 的分布列如下，若E (X )＝3，则D (X )＝________.

三、解答题

12．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，均值E (X )及方差D (X )．

13．设袋子中装有a个红球、b个黄球、c个蓝球，且规定：取出1个红球得1分，取出1个黄球得2分，取出1个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列．

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)

＝5

3，D(η)＝

5

9，求a∶b∶c.

[答案]精析

1．D 2.C 3.A 4.D 5.B

6．D [设下月起每位员工的月工资增加100元后的均值和方差分别为x ′，s ′2，则 x ′＝x 1＋100＋x 2＋100＋…＋x 10＋10010

＝x ＋100.

方差s ′2＝1

10×[(x 1＋100－x －100)2＋(x 2＋100－x －100)2＋…＋(x 10＋100－x －100)2]＝

s 2.故选D.] 7．A 8.5

9

9.34

[解析] 由题意，得2x ＋y ＝1.

E (X )＝x ＋2y ＋3x ＝4x ＋2y ＝4x ＋2(1－2x )＝2， D (X )＝1

2＝(1－2)2x ＋(2－2)2(1－2x )＋(3－2)2x ，

即2x ＝12，解得x ＝1

4.

∴y ＝1－2×14＝1

2.

∴x ＋y ＝14＋12＝3

4.

10.25 11．1

12．解 (1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为

P (X ＝0)＝C 03(1－0.6)3＝0.064，

P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216， 则X 的分布列为

因为X ～B (3,0.6)方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.

13．解 (1)根据题意，得ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，

P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝1

3，

P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝5

18，

P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝1

9，

P (ξ＝6)＝1×16×6＝1

36.

所以ξ的分布列为

(2)根据题意，知η的分布列为

所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝5

3

，

D (η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59

，