数列与不等式知识点及练习唐

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数列与不等式知识点及练习(唐)

数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )(2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ；⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”；迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n （)(1n f a a n n +=+).(1n f a a n n =+q pa a n n +=+1n n n q pa a +=+1)(1n f pa a n n +=+n n n a q a p a ⋅+⋅=++12n S n 1322-+=n n S n 12+=nn S n )2(12,211≥-+==-n n a a a n n n S n 11=a n n a n S ⋅=2)(1n f a a n n +=+)(1n f a a n n ⋅=+11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----② . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.数列求和的常用方法一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

专题复习六必修五《数列与不等式》知识要点

《等比数列与不等式》知识要点一．数列的概念与简单表示法．(1)数列是定义域为(或它的有限子集{1，2，…，n})的特殊函数，(2)数列的表示方法：解析法(通项公式法)；列表法；图象法；递推法（递推公式法）．(3)a n与S n的关系式：a n＝二．等差数列(1)定义：．（(2)公差为d的等差数列{a n}的通项公式：，等差数列中任意两项的关系：. 即：d ＝(3)等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，可表示成．(4)前n项和公式S n＝＝．(5)等差数列的判断：定义法:等差中项法：<通项公式法：形如求和公式法：形如(6)等差数列的性质①若公差，则{a n}是递增等差数列；若公差，则{a n }是递减等差数列；若，则{a n }是常数列．②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则．%若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则③若{a n }是等差数列，则S n ，S 2n －S n ，，…仍成等差数列，公差(7) 若{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项的和，T n 是{|a n |}的前n 项的和，若0n a 是正负项的分界项，它与1a 的符号一致。

前正后负：T n = ；前负后正：T n = （8）等差数列前n 项和的最值 ①等差数列{a n }中，[a 1>0，d <0时，S n 有；a 1 ，d ，S n 有最小值． ②最值的求法配方或求二次函数最值的方法：等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋nn －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝An 2＋Bn ，可通过求得．邻项变号法：．}当a 1>0，d <0时，满足的n ，使S n 取最大值；当a1<0，d>0时，满足的n，使S n取最小值．三．等比数列(1)定义：(q为常数，且q≠0)．(2)公比为q(q≠0)的等比数列{a n}的通项公式：，'等比数列中任意两项的关系：.(3)等比中项：若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，可以表示成.(4)前n项和公式S n＝(5)等比数列的判断: 定义法:等差中项法：&通项公式法：形如求和公式法：形如S n=(6)等比数列的性质①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则；若m＋n＝2(m，n，p∈N*)，则；②若{a n}是等比数列，则S n，，，…仍成等比数列(当S n≠0时)，且公比为（q≠－1)．③如果{a n}，{b n}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，·那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{ka n }(k ∈R ，且k ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为，，，， .(7)在等比数列{a n }中，若q >0，则{a n }中的项；若q >0，则{a n }中的项的符号(8) 在等比数列{a n }中，q =1时，{a n }是。

数列与不等式(解析版)

数列与不等式一．知识汇总*经典提炼二．核心解读*方法重温1.已知数列的前n 项和S n 求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示.事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1.[回扣问题1] 在数列{a n }中，a 1＋a 22＋a 33＋…＋a nn＝2n －1(n ∈N *)，则a n ＝________.解析依题意得，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的前n 项和为2n －1，当n≥2时，a n n＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 11＝21－1＝1＝21－1，因此a n n ＝2n －1(n ∈N *)，故a n ＝n·2n －1. 答案 n·2n －12.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n时，无法正确赋值求解.[回扣问题2] 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 8b 8＝________.解析a 8b 8＝2a 82b 8＝a 1＋a 15b 1＋b 15＝S 15T 15＝3×15－12×15＋3＝43. 答案 433.运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q ＝1和q≠1两种情况进行讨论.[回扣问题3] 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 6＝2S 3与题设矛盾，∴q≠1.则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 324.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a n －a n －1＝d(常数)中，n≥2，n ∈N *的限制，类似地，在等比数列中，b nb n －1＝q(常数且q≠0)，忽视n≥2，n ∈N *的条件限制. [回扣问题4] 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.解析由a 2＝1，a n ＋1＝a n ＋12(n≥2)，∴数列{a n }从第2项起是公差为12的等差数列，∴S 9＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9 ＝1＋8a 2＋8（8－1）2×12＝23.答案 235.利用错位相减法求和，切忌漏掉第一项和最后一项；裂项相消求和，相消后剩余的前、后项数要相等. [回扣问题5] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝6，S 4＝20. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝6，S 4＝20，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝6，2a 1＋3d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，因此a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)由(1)知S n ＝（2＋2n ）n 2＝n(n ＋1)，从而1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 6.对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求S n 时，切莫忘记讨论n 为奇数、偶数；遇到已知a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1a n －1＝q(n≥2)，求{a n }的通项公式时，要注意对n 的讨论.[回扣问题6] 若a n ＝2n －1，b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________. 解析 b n ＝(－1)n －1a n ＝(－1)n －1(2n －1).当n 为偶数时，T n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(－2)×n2＝－n.当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋b n ＝－(n －1)＋a n ＝n.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，n ，n 为奇数.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，n ，n 为奇数7.解形如ax 2＋bx ＋c>0的一元二次不等式时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0，a ＝0进行讨论.[回扣问题7] 设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a<1，则命题甲是命题乙成立的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析由命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 可知，当a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a≠0时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（2a ）2－4a<0，解得0<a<1，所以0≤a<1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件. 答案 C8.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值. [回扣问题8] 若直线x a ＋yb ＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.解析依题意1a ＋2b ＝1(a>0，b>0)，∴2a ＋b ＝(2a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab ≥8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时，取等号.故2a ＋b 的最小值为8. 答案 89.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y)到点(1，1)的距离的平方等. [回扣问题9] 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.12解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，2x －3y≤9，x≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上的动点(x ，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.答案 C10.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.[回扣问题10] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－2，或x>－12，则ax 2－bx ＋c>0的解集为________.解析 ∵ax 2＋bx ＋c<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－2，或x>－12， ∴a<0，且c a ＝1，－b a ＝－52，∴b ＝52a ，c ＝a ，故ax 2－bx ＋c>0化为ax 2－52ax ＋a>0，由于a<0，得x 2－52x ＋1<0，解得12<x<2.答案 ⎝⎛⎭⎫12，2三．新题好题*保持手感1．（2020·涡阳县第九中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，则{}na 的通项公式为（） A ．21n a n =+ B ．21n a n =- C ．41n a n =+ D ．41n a n =-【答案】C【解析】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立，所以41n a n =+，故选C.2．（2020·湖南省长郡中学高三三模）若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足2131n n A n B n -=+，则371159a a ab b +++的值为（） A ．3944B ．58C ．1516D ．1322【答案】C【解析】11337117131135971313()3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C.3．（2020·曲靖市第二中学高三二模）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（） A ．18 B ．10C ．-14D ．-22【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由求和公式可得()212121a q S q-==-①，()313161a q S q-==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-，代回①可得12a =-，()()()55152********a q S q⎡⎤----⎣⎦∴===----，故选D ．4．（2020·全国高三三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足33a =，()21223n n n S S S n --+=+≥，则（）A ．2n n S na n -= B ．2n n S na n +=C ．21n n S a n-=D ．21n n S a n+=【答案】B【解析】由已知得31222S S S +=+，即123222222a a a a a ++=++，所以2321a a =-=，则公差322d a a =-=，所以()33223n a a n n =+-⨯=-，即11a =-，()()1122n n n n a a n a S +-==，得2n nS na n +=．故选：B. 5．（2020·海口市第四中学高三三模）当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（） A ．(0,)+∞ B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C.6．（2020·甘肃省张掖市第二中学高三三模）若直线l ：20(0,0)ax by a b -+=>>过点(1,2)-，当21a b+取最小值时直线l 的斜率为（） A ．2 B ．12CD ．【答案】A【解析】因为直线l 过点()1,2-，所以220a b --+=，即212a b+=，所以21212141()(4)(44222a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=g 当且仅当4b aa b =，即2a b =时取等号所以斜率2ab=，故选A7．（2020·安徽省高三二模）已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中，11a =，1121n n n a a +=+-，1n n b n a =+，11n n nc a b =-. （1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】(1) 12n n a n =-,2nn b =.(2) 222nnn S +=- 【解析】(1)因为1121n n n a a +=+-,故1121122n n n n n n a a a +⎛⎫++=+=+ ⎪⎝⎭,即12n n b b +=,故{}n b 是以1112a +=为首项,2为公比的等比数列.故2n n b =. 所以1122n n n n n a a n +=⇒=-. 故12n na n=-,2n n b =. (2)由(1) 12112222n n n n nn n nc n-=-=-=-.所以123123...2222n nS n=++++23411231 (22222)12n n n n n S +-=+++++ 相减可得123411111111...2222222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++- 故111122111222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--,1112122n n nS n +=--.化简得222n n n S +=-8．（2020·山东省高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为0121n n n n n n S C C C C -=++++L ，数列{}n b 满足2log n n b a =，（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求()12222212341n n nT b b b b b +=-+-++-L . 【答案】（1）12n n a -=；1n b n =-（2）22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）012121n nn n n n n S C C C C -=++++=-L ，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，当1n =时，11a =也满足12n n a -=，所以12n n a -=，又数列{}n b 满足2log n n b a =，所以1n b n =-.（2）当2n k =，*k N ∈时，()()()2222221234212n k k T b b b b b b -=-+-++-L()122k b b b =-+++L ()()1221k ⎡⎤=-+++-⎣⎦L 22k k =-+；当21n k =-，*k N ∈时，()()()22222221234232221n k k k T b b b b b b b ---=-+-++-+L()()()2122341k k ⎡⎤=-+++-+-⎣⎦L 2231k k =-+.所以()()222,2231,21n k k n k T k k n k ⎧-+=⎪=⎨-+=-⎪⎩，*k N ∈，即22,2,2n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数为奇数.。

高考数学总复习考点知识专题讲解35---数列与不等式

[题型专练]
1．(2019·湖南湘潭一模)已知数列{an}满足Sn＝2an－1(n ∈N*)，{bn}是等差数列，且b1＝a1，b4＝a3.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝a1n－bnb2n＋1(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)∵Sn＝2an－1，∴n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，∴
f(x)在x＝1处取到极小值，且f(1)＝2a－12.
②当a＝1时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
所以f(x)没有极大值也没有极小值． ③当a>1时，令f′(x)>0，则x>a或0<x<1；令f′(x)<0，则1<x<a. 所以f(x)在(0,1)，(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减，
[规范解答]
(1)由f(x)＝(x2－2ax)lnx＋2ax－
1 2
x2，可得
f′(x)＝(2x－2a)lnx(x>0)．
①当0<a<1时，令f′(x)>0，则x>1或0<x<a；令
f′(x)<0，则a<x<1.
所以f(x)在(0，a)，(1，＋∞)上单调递增，在(a,1)上单
调递减，
所以f(x)在x＝a处取到极大值，且f(a)＝－a2lna＋32a2，
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练]
3．数列{an}满足an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1.
(1)证明：数列a1n是等差数列；
(2)求数列
1 an
的前n项和Sn，并证明
1 S1
＋
1 S2
＋…＋

数列与不等式证明方法归纳(练习版)

数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类， 16 种放缩技巧， 28 道典型练习题，供日后学习使用。

一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和（2）放缩成差比数列再错位相减求和（3）放缩成可裂项相消再求和（4）数列和比大小可比较单项二、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二项式定理（3）利用不动点定理（4）利用二次函数性质三、累加、累乘（1）累加法（2）利用类等比数列累乘四、证明不等式常用方法1）反证法（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论五、其它方法（1）构造新数列（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（4）符号不同分项放缩［典例1］已知数列a n , a n2 2 * 0, a i 0, a n i a. i 1 a n (n N )。

(I)求证：当n N*时：a n a. i;(n)记T n1 1 a11(1 a1)(1 a2)(1 aj(1 a2)，求证T n(1 a) 3(n N*)。

、数列求和(1 )放缩成等比数列再求和2 2a［典例2］已知数列a n满足a i , a. i 'nN5 3 a n(I)求丄的通项公式;a n(n)设a n的前n项和为S n，求证：S n1 * ［典例3］设数列a n满足a i 1, a* i a n (n N )。

a n(I)证明：2n 1 a n 、3n 2(n N*)；(n)求正整数m，使a20i7 m最小。

(2)放缩成差比数列再错位相减求和n *a n［典例1］已知数列a n满足：a i 1,a ni (1 — )a n(n N )，求证：a. i［典例2］已知数列a n与其前n项和S n满足一」(1 (a 2)。

a n 1 a 1 S n(I)求数列a n的通项公式；(n)证明：n k *3(n N )。

k i a k 1(3)放缩成可裂项相消再求和n *［典例1］已知a n 2 1(n N )。

求证: aa2a2a3a na n 11(n［典例2］已知数a n 满足a1 2 , a n 1 2( S n n 1)(n N )。

高三数列不等式知识点归纳

高三数列不等式知识点归纳一、引言高中数学中的数列不等式是一个重要的知识点，它涉及到数列和不等式两个概念的结合与运用。

通过学习数列不等式，不仅可以加深对数列和不等式的理解，还能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

本文将对高三数列不等式的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、数列不等式的基本概念数列不等式是指数列中的元素之间存在着不等关系的数学命题。

在数列不等式的求解过程中，我们需要运用数列的性质和不等式的性质，以及数学推理的方法。

通常，我们需要通过数列的通项公式求解数列不等式，以便得到数值解。

三、数列不等式的求解方法1. 改变不等式符号当我们求解数列不等式时，有时需改变不等式的方向，例如将不等式由大于等于改为小于等于。

这是因为不等式符号的改变会对不等式的求解产生一定的影响，我们需要根据具体情况进行判断。

2. 利用数列的性质在求解数列不等式时，我们可以运用数列的性质来简化问题。

例如，对于递增数列，我们可以通过数列元素的比较关系来简化不等式的求解过程。

3. 运用数学推理数列不等式的求解过程中，我们需要灵活运用数学推理方法，例如化简、分析、换元等。

通过合理地运用数学推理，我们可以将原复杂的不等式转化为简单的等价不等式，从而得到更方便求解的结果。

四、数列不等式的应用数列不等式的应用范围很广，涉及到很多实际问题和数学证明。

在高中数学中，我们通常会遇到一些典型的数列不等式应用题。

例如，通过推导数列不等式，可以证明某一数列的性质；通过求解数列不等式，可以确定数列的最值、推断数列的收敛性等。

五、数列不等式的扩展除了常见的数列不等式之外，还存在着许多有趣的数列不等式扩展问题。

例如，广义费马不等式、柯西不等式等。

这些扩展问题可以进一步拓展我们的思维，加深对不等式的理解。

六、数列不等式的实践意义与应用前景数列不等式作为数学知识的重要组成部分，具有广泛的实践意义和应用前景。

在实际问题中，我们可以通过研究数列不等式来解决一些实际生活中的优化问题、极值问题等。

数列和不等式的综合复习题新版

数列和不等式的综合复习I♦知识回顾1. 等差数列的定义(1) 文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. —(2) 符号语言：a n +1 — a n = d(n € N). 2. 等差数列的通项公式若等差数列｛a n ｝的首项为a i ,公差为d,则其通项公式为 a n = a i + (n — 1)d . 推广：a n = a m + (n — m)d.3. 等差中项a + b如果三个数a, A, b 成等差数列，贝U A 叫a 和b 的等差中项，且有 A= =+^ . 4. 等差数列的前n 项和公式5. 等差数列的性质(1) 等差数列｛a n ｝中，对任意的 m n, p, q € N,若m+ n = p+ q,贝Ua m + a n = a + a q .特殊的，若 m+n= 2p ，贝U a m + a n = 2a p .(2) 等差数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和仍成等差数列，即 S m , Sm — S m , S 3m — S 2m ,…仍成等差数列.S 禺 a n +1 S (禺6. 当项数为2n(n € N+),则S 偶一 S 奇=nd , = ------ ;当项数为2n — 1(n € N+),则S 奇一 S 偶=an,'=S t a n S 奇n — 1 n♦ 基础练习：1. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1= 2, S= 12，贝U a 6= _____________________________ .2. 在等差数列｛a n ｝中，(1) 已知 a 4 + a 14= 2,贝U S 17=___________ ;(2) 已知 Sn = 55,贝U a 6 = _____________________ ;(3) 已知 S= 100, Si 6= 392，贝U S 24= ___________ .3、已知｛a n ｝是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a ?a 3= a 4a 5, S= 1,则3的值是 ________________4、设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 2= 7, S 7=— 7,则a ?的值为 _____________ .♦ 判断或证明一个数列是否是等差数列已知数列｛a n ｝的各项均为正数，前 n 项和为S ，且满足2S = a 2+ n — 4. (1) 求证：｛a n ｝为等差数列； (2) 求｛a n ｝的通项公式.♦等差数列的性质1、已知｛a n ｝是等差数列，｛S n ｝是其前n 项和.若a 1+ a 2=— 3, S 5= 10,则a g 的值是 _____________2、在等差数列｛a n ｝中，若 a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a ?= 25,贝U a 2+ a 8= ____________ ;3、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，且So= 10, So= 30,则So= _______________ .♦等差数列中的最值问题)(1)若等差数列｛a n ｝满足a ?+ a 8 + a g >0, a ? + ae<0，当n 取何值时，｛a n ｝的前n 项和最大？数列部分(一)、等差数列(1) Sn= na 1 + n ( n —1)d . (2) Sn (a + a n )⑵已知数列｛a n｝为等差数列.若田<—1，且｛a n｝的前n项和S n有最大值，求使 S>0时n的最大值. a6(二)、等比数列♦知识回顾1. 等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. — —a “+1 *⑵ 符号语言：一=q(n € N, q 是等比数列的公比). a n 2. 等比数列的通项公式设｛a n ｝是首项为a i ，公比为q 的等比数列，则第 n 项a n = a i q n _1 推广：a n = amf m. 3. 等比中项若a, G, b 成等比数列，则 G 为a 和b 的等比中项且 G=± ab. 4.等比数列的前n 项和公式 ’(1)当 q= 1 时，S= na 1., , a 1 (1 — q n) ⑵当q z 1时，S== = 1 — q 5. 等比数列的性质(1) 等比数列｛a n ｝中，对任意的 m, n, p, q € N*，若m+ n = p + q,贝Ua m a n =a p a .特殊的，若 m+ n= 2p,贝y a m a n = a p .(2) 等比数列｛a n ｝中，依次每 m 项的和(非零)仍成等比数列，即 S m , S 2m — Sn, S m — $m,…仍成等比数列，其公比为 q m(q — 1).(其中S m z 0)♦基础练习:1. 设S 是等比数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1= 1, a §= 32，则0= ____________ .2. 若一1, x, y, z ，— 3成等比数列，则y 的值为 ___________ .3. 等比数列｛a n ｝中，a 1>0, 8284+ 2a 3a 5+ a 4a 6= 36,贝U a 3+ a 5= ___________ .4. 在各项均为正数的等比数列 __________________________ ｛a n ｝中，若a 2= 1, a 8= a 6+ 2a 4，贝U a 6的值是5. _____________________________________________________________________ 设等比数列｛a n ｝满足a 1+ a 3 = 10, a 2+ a 4= 5，贝U aa 2a 3…a n 的最大值为 _____________________________________ .♦等比数列的判定与证明已知数列｛a n ｝的前n 项和为 S, 3S n = a n — 1(n € N *).(1) 求 a 1, a 2；(2) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； (3)求 a n 和 S.♦等比数列的性质已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且满足 af 9 = 4,则数列｛log 2a n ｝的前9项之和为 __________♦等比数列的应用设数列｛a n ｝的前n 项和为S,已知a 1= 1, S+1 = 4a n + 2. (1) 设b n = a n + 1— 2a n ,求证：数列｛b n ｝是等比数列； (2) 求数列｛a n ｝的通项公式.a 1 — a n q1 — q♦知识回顾1. 已知数列｛a n ｝，满足a n +i — a n = f(n)，且f ⑴ + f(2) +…+ f(n)可求，则可用累加法求数列的通项 a n ・ a n +1 ..2. 已知数列｛a n ｝，满足 =f(n)，且f(1) f (2)…f (n)可求，则可用累乘法求数列的通项a n .a n 3. 数列求和的常见方法(1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和； (3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和； (4) 倒序相加：如等差数列前 n 项和公式的推导方法. 4.常见的拆项公式♦基础练习:1. ____________________________________________________ 在数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, x, 21, 34, 55 中，x= ________________________________________________________… 1 1 12. 求和：1X 2 + 2x 3+ …+ ( n — 1) n =------------ ' 3. 等比数列1 , 2, 4, 8,…中从第5项到第10项的和为♦分组转化法求和1 1 1 求数列1+1, a +4,孑+7尹10,♦错位相减法求和设等差数列｛a n ｝的公差为d,前n 项和为S,等比数列｛b n ｝的公比为q.已知b = a 1, b 2= 2, q= d, S 10 =100.(1) 求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；a n(2) 当d>1时，记C n =「，求数列｛c n ｝的前n 项和T n .b n♦裂项相消法求和在数列｛a n ｝中，a = 1,当n 》2时，其前n 项和S 满足&= an?—* (1) 求S 的表达式；S n(2) 设b n = 2n+1 求｛b n ｝的前n 项和T n .(三)、数列求和(1) 1n (n + 1) 1 1 n — n+7； (2) 1 (2n — 1)_( 2n + 1) 1( 1 — 1 、 2 2n — 1 2n + 1 ；_______ 11(n+1) (n +2)4. 已知数列｛a n ｝的通项公式a n =5. 数列｛a n ｝中，a n = (2n — 1)3n —1则该数列的前项之和等于9.，则数列｛a n ｝的前n 项和S= 1e + (3n — 2)的前n 项和.(四)、数列的综合应用a 21. 若等差数列｛a n ｝和等比数列蚀满足十“ 一 1,十b 4= 8,则百2. )记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和.若a 4+ a 5= 24, 48,则｛a n ｝的公差为 _________ .3. 北京市决定从2016年到2020年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年45递增10%则2016年底更新的车辆数约为现有总车辆数的 _______________ .(参考数据：1.1〜1.46 , 1.1〜1.61)4. (设数列｛a n ｝满足 a 1+ 3a 2 + …+ (2n — 1)a n = 2n. (1) 求｛a n ｝的通项公式；(2) 求数列%： [ f 的前n 项和.5. (2017 苏锡常镇一模)已知n 为正整数，数列｛a n ｝满足a n >0, 4(n + 1)a 2— na 2+1 = 0,设数列｛b n ｝满 2a n^足 b n = j~n.a n 、求证：数列*不『等比数列；若数列｛b n ｝是等差数列，求实数t 的值；若数列｛b n ｝是等差数列，前 n 项和为S,对任意的n € N ,均存在m € N *,使得8a 2S n — a 1n 2= 16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1的值.6、已知数列｛a n ｝是首项为1,公差为d 的等差数列，数列｛b n ｝是首项为1,公比为q(q > 1)的等比数列. (1)若a 5= b 5, q= 3,求数列｛a n • b n ｝的前n 项和；⑵ 若存在正整数k(k >2)，使得a k = b k ,试比较a n 与b n 的大小，并说明理由.不等式部分(一)一元二次不等式♦一元二次不等式及其解法1. 不等式3x 2— x — 4 < 0的解集是 ________ . 2. 不等式2x 2— x — 1>0的解集是 ______ .3. ____________________________________ 不等式—x 2— 2x+ 3>0的解集为2.. r x — 2x + 2 —冃 t ..2、若—4 v x v 1,求的最大值.2x — 2(1) ⑵ ⑶♦含参的一元二次不等式的解法1 解关于x的不等式：ax2 + (a — 2)x — 2>0.♦2 一元二次不等式的恒成立问题1、设函数 f(x) = mx— mx- 1.(1) 若对于一切实数 x, f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2) 若对于x € [1 , 3] , f(x)< — m+ 5恒成立，求 m的取值范围.♦3三个二次之间的关系已知函数f(x) = x2+ ax + b(a , b € R)的值域为[0 , + ^),若关于x的不等式f(x)<c 的解集为｛x|m<x<m + 6｝，则实数c的值为___________ ;♦课后作业1. 函数y=羞的定义域为 ________________ .22. 已知集合 U= {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7} , W {x|x — 6x+ 5< 0, x € Z}，则？鳩___________ .—x2— 2x, x>0, “3. 已知函数f(x) =* 2若f(3 — a2) v f(2a)，则实数a的取值范围是________x —2x , x v 0,(二)基本不等式♦基础练习1. 若实数a, b满足a + b= 2，贝U 3a+ 3b的最小值是_________ .12. 若 f(x) = x + -—2(x v 0)，贝U f(x)的最大值为 ___ .x2 1 m3. 已知a>0, b>0,若不等式- +丄恒成立，则 m的最大值为 a b 2a + b♦通过配凑法利用基本不等式求最值5 11、已知XU，贝U f(x) = 4x— 2+ —的最大值为；44x — 5 --------♦通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值8 21、已知x>0, y>0且x+ y = 1,^卜+ -的最小值为x y2、已知 x>0 , y>0, x+ 3y + xy = 9,贝U x + 3y 的最小值为 _______♦基本不等式与函数的综合应用♦课后作业1、 3 1o< x v ,则x+y^3的最小值是 ___________ •4 12.已知正数x, y 满足x + y= 1,则x^2 + R 的最小值为 _______________ •y 43. __________________________________________________ 若正实数x, y 满足x + y= 1,则j + y 的最小值是 __________________________________________________ . a 22 14. 已知a, b 均为正数，且 ab — a — 2b = 0,则-+ b 2—；-的最小值为4 a b--------1 25. ______________________________________________________ 已知x>0, y>0,且+ y = 1,贝U x + y 的最小值是 ___________________________________________________ ;3函数y = 1 — 2x — -(x < 0)的最小值为 _____ .x 19 —6. 已知正数a, b 满足-+厂=3面一5，贝U ab 的最小值为a b * 1 |ai7. 已知a + b = 2, b>0,当亍厂+丫一取最小值时，实数a 的值是2|a| b--------Q Q QQa QK8. 已知a, b, c 为正实数，且 a + 2b< 8c, - + r<-，则 --------- 的取值范围是a b c cac c c\[5，亠9. 已知 a>0, b>0, c>2，且 a+ b = 2,则的最小值为b ab 2c — 2(三)不等式的综合应用4 1.函数y = x + _(x 丰0)的值域是 ________ .—，若不等式f(x) + f(2x) < k 对于任意的(已知函数f(x)2 —x + ax + 11 x + 1(a € R),若对于任意 x € N , f(x) > 3恒成立，则a 的取值范围是x € R 恒成立，贝U 实数k 的取值范围?2 8 3. 已知x>0, y>0且满足- + -= 1，则x+ y 的最小值是.x y4. 若正数a, b 满足ab= a+ b+ 3，贝U ab 的取值范围是 __________2. 设 x € R,f(x)。

数列与不等式知识点及练习(唐)

数列与不等式知识点及练习(唐)-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII数列与不等式一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+01m ma a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：①11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----② 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+；③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .例4已知数列{}n a 中，n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为：“q pa a n n +=+1”或“n n n n f a a )(1+=+求解.数列求和的常用方法一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

高考数学数列和不等式知识点与典型例题

高考数学数列和不等式知识点与典型例题数列对数列相关的问题要有特殊到一般（归纳）的意识和一般到特殊的意识（演绎）。

31.()()⎩⎨⎧≥-=-2111n S S n S a n nn ，注意一定要验证1a 是否包含在n a 中，从而考虑要不要分段。

提醒：处理数列问题一定不要忘了数列下标的取值范围。

32.{}n a 等差d a a n n =-⇔-1（常数）()*∈≥+=⇔-+N n n a a a n n n ,2211 Bn An S b an a n n +=⇔+=⇔2；{}n a 等比()⎩⎨⎧≠∈≥⋅=⇔+-.0,,2112n n n n a N n n a a a q a a n n =⇔-1（定值）()01≠a 1-⋅⇔n n q an n q m m s ⋅-=⇔33.常见性质：等差数列中：()();;11d m n a a d n a a m n n -+=-+=若,q p n m +=+则q p n m a a a a +=+；()()()d n n na d n n na n a a s n n n --+=-+=+=2121211；等比数列中：m n m n n n q a a q a a --==;11；若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅；当1,1na S q n ==；当()qq a a q q a S q n nn --=--=≠111,111。

34.求和常法：公式、分组、裂项相消、错位相减法、倒序相加当，关键是要找准通项结构。

差数列求和一定要确定首项、末项和项数。

你还记得常用裂项形式吗？【例】数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n 的n 项和为________________。

【答案】111+-n 【例】数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n 11的n 项和为______________。

【答案】11-+n【例】求和：12321-++++=n n nx x x S【答案】()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+=1,1111,212x xnx x x x n n S n n n 提醒：求和最后一步一定要检验哦！（通常检验3,2,1=n ）35.求通项常法：（1）公式法（即等差等比数列通项）（2）先猜后证。

高三数列与不等式知识点

高三数列与不等式知识点在高中数学中，数列和不等式是数学学科中非常重要的知识点。

它们在解题过程中经常出现，具有广泛的应用价值。

本文将详细介绍高三数列与不等式的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、数列数列是按照一定顺序排序的一组数。

我们常见的数列包括等差数列、等比数列和递推数列等。

接下来将依次介绍这些数列的特点和求解方法。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。

对于等差数列，我们常常需要求其前n项和Sn。

求解方法有两种常见的方式：一种是利用求和公式，如果数列的首项为a₁，末项为an，共有n项，则等差数列前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ + an) * n / 2另一种是利用递推关系式，通过依次累加求得：S₁ = a₁S₂ = a₁ + a₂S₃ = a₁ + a₂ + a₃...Sn = a₁ + a₂ + ... + an2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n - 1)等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)需要注意的是，当公比q为1时，等比数列将退化为等差数列。

3. 递推数列递推数列是一种通过前一项或前几项直接得到下一项的数列。

递推数列无法使用通项公式表示，但可以根据题目给出的递推关系式逐步求解。

以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推关系式为：Fn = Fn−1 + Fn−2其中，F₁ = 1，F₂ = 1为斐波那契数列的前两项。

二、不等式不等式是数学中用于表示数之间大小关系的一种符号组合。

常见的不等式包括一元一次不等式、二次不等式和绝对值不等式等。

下面将分别介绍这些不等式的解集表示法和求解方法。

数列与不等式

②
①×② 得
Tn2 (t1tn2 ) (t2tn1) (tn1t2 ) (tn2t1) ，
100n2 102(n2)
故 Tn 10n2 ，
所以 an lg Tn n 2, n 1.
第（Ⅱ）问：设 bn tan an tan an1, 求数列{bn} 的前 n 项和 Sn .
an
n
4
2
-
n 1 =
4
1 4
，故数列 an 是等差数列
．
第（Ⅲ）问：令 bn
4 4an
1
,
Tn
b12 + b22 +…+ bn2 ,
Sn
32
16 , n
试比较Tn 与 S n 的大小．
解：（Ⅲ） bn
4 4an 1
4. n
故 Tn
b12
+
b22
+…+
bn2
=16（1+
1 22
+1 32
+…+ 1 n2
一、核心考点分析二、典型问题精讲三、本讲总结提升
一、核心考点分析
数列与不等式是高中数学的重要内容之一，也是历年高考必考的重点内容之一．核心考点是：数列通项与
前 n 项和的关系，等差数列和等比数
列的定义，等差数列和等比数列的通
项公式及前 n 项和的公式，不等式的
性质和证明，不等式的求解和应用．
例 2 等比数列 an 中， a1, a2 , a3 分别是下表第一、
二、三行中的某一个数，且 a1, a2 , a3 中的任何两个数不
在下表的同一列.
第一列第二列第三列
第一行
3

高一数列和不等式知识点

高一数列和不等式知识点数列和不等式是高一数学学习中重要的知识点，对于理解和解决实际问题有着重要的应用价值。

下面将分别介绍数列和不等式的基本概念、性质及其应用。

一、数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。

通常用{a1, a2,a3, ... , an}表示，其中ai称为数列的第i个项。

数列中的规律可以通过等差数列和等比数列来体现。

1. 等差数列等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。

设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。

设首项为a1，公比为r，则等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)，当|r|<1时成立。

二、不等式的概念和性质不等式是含有不等关系的数学式子。

常见的不等关系有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。

不等式的解称为不等式的解集，是使不等式成立的所有实数的集合。

1. 不等式的解集表示不等式的解集用集合的形式来表示，例如解集A={x | x > 1}表示满足x > 1的所有实数x的集合。

2. 不等式的性质- 加减性：不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；- 乘除性：不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；若乘（除）同一个负数，不等号方向改变；- 同底指数幂的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则a^n<b^n，若0<a<b<1，则a^n>b^n；- 平方根的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则√a<√b；- 倒数的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则1/b<1/a。

数列不等式知识点

数列不等式知识点在数学中，不等式是一种比较数值大小关系的表示方法。

而数列不等式则是指涉及数列的不等式问题。

1. 数列的定义数列是由按照一定规律排列的一系列数所组成的集合。

数列通常用{a₀, a₁, a₂, a₃, ...}来表示，其中a₀, a₁, a₂, a₃, ...是数列的项。

数列可以是有穷的，也可以是无穷的。

2. 数列不等式的基本概念数列不等式是指涉及数列的不等式问题。

其基本概念包括以下几点：- 第n项：数列中的第n个数，记作aₙ。

- 通项公式：数列中第n项的计算公式，记作aₙ = f(n)。

- 收敛：数列的项随着n的增大逐渐趋近于一个确定的数，称为收敛数列。

- 发散：数列的项没有趋近于一个确定的数，称为发散数列。

3. 数列不等式的解法解数列不等式的关键是找到数列的通项公式。

根据不等式的性质，我们可以采用以下几种方法求解数列不等式：- 猜想法：根据数列的观察和猜想，推导出数列的通项公式，然后通过数学推导求解不等式。

- 数学归纳法：通过数学归纳法证明数列不等式的正确性。

- 数列性质法：利用数列的性质和特点，推导出数列的通项公式，并进一步求解不等式。

4. 数列不等式的常见形式数列不等式有多种常见形式，包括以下几个方面：- 随机数列不等式：数列的项之间没有明确的规律，需要通过观察和推导来解决。

- 递推数列不等式：数列的项之间存在递推关系，可以通过递推公式和递推关系求解。

- 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和，可用于解决一些特殊的数列不等式问题。

5. 数列不等式的应用数列不等式在数学中有着广泛的应用。

一些典型的应用包括：- 研究数列的收敛性和发散性。

- 证明数列的性质和特征。

- 解决数学中的一些优化问题，如求最大值、最小值等。

- 解决一些实际问题，如经济学中的消费模型、物理学中的运动模型等。

总之，数列不等式是数学中一个重要的研究方向，通过解决数列不等式可以培养我们的思维能力和数学分析能力。

文科高考数学热点07 数列与不等式(解析版)

热点07 数列与不等式【命题趋势】在目前高考卷的考点中，数列主要以两小或一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题与三角函数，解三角形的内容交替考查，早在2014年和2015年卷中，以数列的通项与求和为主，而近3年的第17题（即解答题的第1题的位置），完全是考查解三角形.但是数列仍然作为解答题第一题的热点.由于三角函数与数列均属于解答题第一题，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目，对于不等式一般以线性规划以及作为一个工具配合其他知识点出现.主要是以基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等本.专题针对高考中数列，不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式.请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结.【知识点分析以及满分技巧】等差数列如果记住基本的通项公式以及求和公式，所有的等差数列问题都可以解决. 数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案，本专题有相应的题目供参考.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.一元二次不等式的解是全体实数（或在实数集上恒成立），一般分析二次项系数的符R 号以及判别式的符号，设，求解原则如下：()()20f x ax bx c a =++≠（1）在上恒成立，则；()0f x >R 00a >⎧⎨∆<⎩（2）在上恒成立，则；()0f x <R 00a <⎧⎨∆<⎩（3）在上恒成立，则；()0f x ≥R 00a >⎧⎨∆≤⎩（4）在上恒成立，则.()0f x ≤R 00a <⎧⎨∆≤⎩线性规划类题目技巧是可以直接采用边界点代入解析式求出最值即可.对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件.【考查题型】选择，填空，解答题（数列）【限时检测】（建议用时：50分钟）1．（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，{}n a 1231a a a ++=234+2a a a +=则（）678a a a ++=A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【分析】设等比数列的公比为，则，{}n a q ()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==因此，.()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==故选：D.2．（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记{}n a 19a =-51a =-，则数列（）．12(1,2,)n n T a a a n ==……{}n T A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B【分析】由题意可知，等差数列的公差，511925151a a d --+===--则其通项公式为：，()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-注意到，123456701a a a a a a a <<<<<<=<< 且由可知，50T <()06,i T i i N <≥∈由可知数列不存在最小项，()117,ii i T a i i N T -=>≥∈{}n T 由于，1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=故数列中的正项只有有限项：，.{}n T 263T =46315945T =⨯=故数列中存在最大项，且最大项为.{}n T 4T 故选：B.3．（2020·江西省临川第二中学高三二模（文））设等差数列的前项和为，且{}n a n n S ，则（）3944a a a +=+15S =A ．45B ．50C ．60D ．80【答案】C【分析】是等差数列，，，{}n a 3944a a a +=+4844a a a ∴+=+84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C4．（2020·进贤县第一中学高三其他模拟（文））定义为个正数的1nii nu=∑n 123,,,n u u u u ⋅⋅⋅“快乐数”.若已知正项数列的前项的“快乐数”为，则数列{}n a n 131n +的前项和为（）136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭2019A ．B ．C ．D ．20182019201920202019201820191010【答案】B【分析】设为数列的前项和n S {}n a n 由“快乐数”定义可知：，即131n n S n =+23n S n n =+当时，1n =114a S ==当且时，2n ≥n *∈N 162nn n a S S n -=-=-经验证可知满足 14a =62na n =-()62n a n n N*∴=-∈()()()()136361112266611n n a a n n n n n n +∴===-++⋅+++数列的前项和为：∴()()13622nn a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭20191111120191223201920202020-+-+⋅⋅⋅+-=本题正确选项：B5．（2020·武威第六中学高三二模（文））已知等比数列，，，且{}n a 11a =418a =，则的取值范围是（）12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<k A ．B ．C ．D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则，解得，{}n a q 34118a q a ==12q =∴，112n n a -=∴，1121111222n n n n n a a +--=⨯=∴数列是首项为，公比为的等比数列，1{}n n a a +1214∴，1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<- ∴．故的取值范围是．选D ．23k ≥k 2[,)3+∞6．（2020·四川省内江市第六中学高三其他模拟（文））已知等比数列中，公比为{}n a q，，且，，成等差数列，又，数列的前项和为，则23a =1-q 73log n n b a ={}n b n n T 9T =（）A ．B ．C ．D ．36284532【答案】A【分析】因为，，成等差数列，所以，解得：1-q7217q =-+3q =又，所以23a =2212333n n n n a a q ---==⨯=所以313log log 31n n n b a n -===-所以()()1991299911913622b b T b b b +-+-=+++=== 故选A7．（2020·安徽高三三模（文））数列的前项和为，若，且{}n a n n S ()212n S n an =--，，成等比数列，则该数列的通项公式为（）2a 4a 5a A ．B ．C ．D ．72n a n =-61n a n =-23n a n =+6n a n=-【答案】D【分析】：因为()212n S n an =--所以当时，．由，，成等比数列，则2n ≥()11212n n n a S S n a -=-=---2a 4a 5a ，解得，此时；当时，()()()2739a a a -=--11a =()516n a n n =--=-1n =满足上式，所以，()21111152n a S ==--=6na n =-故选：D ．8．（2020·全国高三专题练习（文））设为正项递增等比数列的前项和，且n S {}n a n ，则的值为（）3241522,16a a a a a +=+=6S A ．63B ．64C ．127D ．128【答案】A【分析】因为，132516a a a ==所以，34a =又，32422,a a a +=+所以，4824q q +=+即，22520q q -+=解得或（舍去），2q =12q =所以，3121a a q ==所以.()()6616111263112a q S q-⨯-===--故选：A9．（2020·全国高三专题练习（文））已知两正数、满足，则x y 1x y +=的最小值为（）．11z x y x y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭AB ．C ．D．2-4254【答案】D 【分析】由题意，，21111()222y x x y xy z x y xy xy xy x y xy x y xy xy xy ⎛⎫+-⎛⎫=++=+++=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，则，当且仅当时，等号成立，t xy =21024x y t xy +⎛⎫<=≤= ⎪⎝⎭12x y ==又函数在上单调递减，22y t t =+-10,4⎛⎤ ⎝⎦所以当时，函数取最小值，14t =22y t t =+-1258244+-=所以的最小值为.z 254故选：D ．10．（2020·全国高三专题练习（文））若对任意的、，不等式x y R ∈恒成立，则实数的取值范围为（）()223x y xy x y a ++≥+-a A ．B ．C ．D ．(],1-∞-(],1-∞[)1,-+∞[)1,+∞【答案】D【分析】不等式对任意恒成立等价于223()x y xy x y a ++≥+-x y ∈R 、不等式对任意恒成立，()223330x y x y y a +-+-+≥x y ∈R 、，()()2223433369120y y y a y y a ∴∆=---+=-++-≤，()2242314a y y y ∴≥-++=--+当时，取得最大值，，解得.1y =223y y -++444a ∴≥1a ≥因此，实数的取值范围是.a [)1,+∞故选：D.11．（2020·全国高三专题练习（文））设、为实数，若，则x y 2241x y xy ++=2x y +的最大值为（）AB ．C ．D．14【答案】A【分析】，∴，2241x y xy ++= 224431x y xy xy ++-=由基本不等式可得，即()()2223322213222382x y y x y xy x x y +==⎛⎫+-=⋅⋅≤⋅ ⎪+⎝⎭，()2285x y +≤当且仅当时取等号，，2x y =2x y ∴+故选：A.12．（2020·全国高三专题练习（文））若关于的不等式()的解x 210x bx c a ++<1ab >集为空集，则的最小值为（）1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--AB ．C ．D．24【答案】D【分析】关于的不等式()的解集为空集x 210x bx c a ++<1ab >所以，，得，10a >240c b a -≤24ab c ≥∴，221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---令，则，1ab m -=0m >∴，212(1)(1)22422m m m T m m ++++≥=++≥当且仅当时，等号成立，2m =即的最小值为4，1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--故选：D.13．（2020·全国高三专题练习（文））设，.与的等比中项，则0a >0b >3a3b 的最小值为（）12a b+A ．3B ．C ．D ．2+3+【答案】D【分析】是与的等比中项，3a3b∴，2333a b⋅==∴.1a b +=∵，.0a >0b >∴，()12122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当时取等号.2b ==∴的最小值为.12a b+3+故选：D.14．（2020·全国高三月考（理））已知实数、满足约束条件，则x y 10220220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩的取值范围为（）31z y x =--A ．B ．C ．D ．(][),12,-∞-⋃+∞[]1,2-[]0,3(][),03,-∞⋃+∞【答案】A【分析】画出如图所示的可行域，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率.31z y x =--()(,1)P x y x ≠()1,3M 联立，解得，可得点，同理可得点.10220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩01x y =⎧⎨=⎩()0,1A ()2,2C 如图易知，，所以或.31210MA k -==-32112MC k -==--1z ≤-2z ≥故选：A.15．（2020·全国高三专题练习（文））已知，，当时，不等式0m >0xy >2x y +=恒成立，则的取值范围是（）12m x y +≥m AB ．C ．D ．2m ≤<m 1≥01m <≤12m <≤【答案】B【分析】因为，，，0m >0xy >2x y +=所以，()1111122m m my x x y m x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(111122m m ⎛≥++=++ ⎝当且仅当，即时，取等号，2x y my x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ==又因为不等式恒成立，12mx y +≥所以，(1122m ++≥即，230+≥，即，1≥m 1≥故选：B16．（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则=（）n n S a A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B【分析】设等比数列的公比为，q由可得：，536412,24a a a a -=-=421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩所以，1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---因此.1121222n n n n n S a ---==-故选：B.17．（2020·江西高三期中（文））在区间上，不等式有解，则m 1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦2410mx x -+<的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．4m ≤74m <4m <3m <【答案】C【分析】解：令()241f x mx x =-+当时，原不等式为，解得，满足条件；0m =410x -+<14x >当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有0m <20x m =<2410mx x -+<1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦解，只需，即解得()20f <4700m m -<⎧⎨<⎩0m <当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有0m >20x m =>2410mx x -+<1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦解，当，即时，只需，即无解；2103m <<6m >103f ⎛⎫< ⎪⎝⎭110936m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩当，即时，只需，即解得；22m >01m <<()20f <47001m m -<⎧⎨<<⎩01m <<当，即时，只需，即解得；1223m ≤≤16m ≤≤20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭481016m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩14m ≤<综上可得4m <故选：C18．（2020·全国高考真题（文））设等比数列{a n }满足，．124a a +=318a a -=（1）求{a n }的通项公式；（2）记为数列{log 3a n}的前n 项和．若，求m ．n S 13m m m S S S +++=【答案】（1）；（2）.13-=n n a 6m =【分析】（1）设等比数列的公比为，{}n a q 根据题意，有，解得，1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩113a q =⎧⎨=⎩所以；13-=n n a （2）令，313log log 31n n n b a n -===-所以，(01)(1)22n n n n n S +--==根据，可得，13m m m S S S +++=(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=整理得，因为，所以，2560m m --=0m >6m =19．（2020·四川宜宾市·高三一模（文））已知是递增的等差数列，且是方程{}n a 24,a a 的两根.210210x x -+=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）记，数列的前项和为，求证：.21n n n c a a +={}n c n n T 13n T <【答案】（1）；（2）证明见解析.21n a n =-【分析】（1）因为方程两根为或7，210210x x -+=3x =又､是方程的两根，数列是递增的等差数列，2a 4a 210210x x -+={}n a ，，设公差为，则，解得，.23a ∴=47a =d 11337a d a d +=⎧⎨+=⎩11a =2d =1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-（2）由（1）知，，21n a n =-211111(21)(23)42123n n n c a a n n n n +===--+-+（∴1111111111(1)(1)45372123432123n T n n n n =-+-++-=+---+++ 11111(3421233n n =-+<++）20．（2020·全国高三其他模拟（文））已知数列的前项和，数列{}n a n 2n S n ={}nn b a -是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列和数列的通项公式；{}n a {}n n b a -（2）求数列的前项和．{}n b n nT【答案】（1）；；（2）.21n a n =-2n n n b a -=n T 1222n n +=-+【分析】（1）由题意知111a S ==当时，，符合2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-11a =21n a n =-所以，21n a n =-由题意知．2nn n b a -=（2）由（1）可知，，221nn b n =+-()()()()12122121212221321122nn n n n n T b b b n -+-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-=+-1222n n +=-+21．（2020·贵州安顺市·高三其他模拟（文））已知数列的前项和满足{}n a n n S ，且.123n n a S +=+13a =（1）求数列的通项公式；{}n a （2）已知数列满足，求数列的前项和.{}n b n n b na ={}n b n nT【答案】（1）；（2）.3nn a =1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭【分析】（1）∵，∴时，，123n n a S +=+2n ≥123n n a S -=+∴，∴，112()2n n n n n a a S S a +-=-=-()132n n a a n +=≥又∵，∴，∴是以3为首项，3为公比的等比数列，∴21239a S =+=213a a ={}n a ；1333n n n a -=⨯=（2）由（1）知，，所以，3n n a =3nn b n =⋅∴①，213233nn T n =⨯+⨯++⋅ ∴②，231313233n n T n +=⨯+⨯++⋅ 由①②得：-231233333n n n T n +-=++++-⋅ ()11313132331322n n n n T n n ++-⎛⎫-=-⨯=-⋅-⎪-⎝⎭1213344n n n T +-⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭22．（2020·全国高三专题练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，{}n a 92a =-，且满足，，成等比数列.3a 13a 8a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为，求使得最小的的值.12n n n n b a a a ++={}n b n n S n S n 【答案】（1）；（2）7329n a n =-【分析】（1）设数列的公差为，{}n a d ()0d ≠因为，，，成等比数列，所以，92a =-3a 13a 8a 21338a a a =即，整理得，解得或（舍去）.()()()224262d d d -+=----230d d -=3d =0d =故.()99329n a a n d n =+-=-（2）当时，，当时，，19n ≤≤0n a <10n ≥0n a >因为，12n n n n b a a a ++=当时，，当时，，17n ≤≤0n b <10n ≥0n b >而且，，()()8891052110b a a a ==-⨯-⨯=9910112148b a a a =-⨯⨯==-因此，所以使得最小的为7.97S S >n S n。

专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)

专题21 数列与不等式结合的问题(解析版)数列与不等式结合的问题在数学中，数列和不等式是常见的概念。

数列是按照一定规律排列的数的序列，而不等式是数与数之间的大小关系。

本文将探讨数列与不等式结合的问题，并给出相关解析。

一、等差数列与不等式等差数列是一种数列，其中相邻项之间的差值都相同。

一般表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

在等差数列中，不等式也起到重要作用。

在等差数列an = a1 + (n-1)d中，假设首项为a1，公差为d，项数为n，若满足a1 < an，即首项小于末项，那么根据等差数列的性质可知，d > 0。

反之，若a1 > an，则d < 0。

二、等比数列与不等式等比数列是一种数列，其中相邻项之间的比值都相同。

一般表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

在等比数列中，不等式也有其独特的应用。

在等比数列an = a1 * r^(n-1)中，假设首项为a1，公比为r，项数为n，若满足a1 < an，则根据等比数列的性质可知，r > 1。

反之，若a1 > an，则r < 1。

三、综合运用数列和不等式在实际问题中，数列和不等式可以结合起来，解决更为复杂的数学难题。

下面以一个具体的例子来说明。

【例】已知数列an满足an = 2^n - 1，求n满足不等式an > 1000。

解析：首先，根据已知条件an = 2^n - 1，我们可列出部分项如下：a1 = 2^1 - 1 = 1a2 = 2^2 - 1 = 3a3 = 2^3 - 1 = 7a4 = 2^4 - 1 = 15...我们发现随着n的增大，an的值呈指数增长。

接下来，我们需要找到满足an > 1000的n。

我们尝试逐项计算，直至找到满足条件的n。

当n = 1时，a1 = 1，不满足条件；当n = 2时，a2 = 3，不满足条件；当n = 3时，a3 = 7，不满足条件；当n = 4时，a4 = 15，不满足条件；...随着n的增大，我们发现在n = 10时，a10 = 1023，刚好满足条件an > 1000。