推荐学习K12七年级数学下册课后补习班辅导有理数的混合运算_简便运算技巧1讲学案苏科版
教育最新K12七年级数学下册课后补习班辅导有理数的运算加减运算讲学案苏科版
有理数的运算（加减运算）【本讲教育信息】 一. 教学内容：有理数的加减及加减混合运算由于负数的引入，使数的范围扩大到了有理数，这样对有理数运算的研究就成为我们要进行的主要课题。
下面我们将逐一进行研究。
二. 重点、难点：1. 掌握有理数的加、减及加减混合运算。
2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
三. 知识要点 1. 有理数的加法 （1）有理数加法法则：a ）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
b ）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c ）一个数同0相加，仍得这个数。
（2）有理数加法运算律： a ）交换律：a b b a +=+b ）结合律：)()(c b a c b a ++=++ [注意]：①对三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以把其中的几个数相加。
②利用加法的运算律可以简便运算，除了小学已经知道的凑整、同分母先算外，还可以正、负数分别先算，互为相反数结合在一起后再相加等。
如：2. 有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
即a －b ＝a+（－b ）， a －（－b ）＝a+b 。
①减法是加法的逆运算。
如：a－b＝c就是已知两个数的和a与一个加数b，求另一个加数c的运算。
②“－”号在小学时已经知道它是运算符号“减”，学习了正负数的概念后，“－”号又是性质符号“负”。
根据减法法则，对（－8）－（－7）+（－2）－（+1）可以转化为（－8）+（+7）+（－2）+（－1），象这种把加减统一写成加法的式子叫做有理数的代数和。
上面（－8）+（+7）+（－2）+（－1）又可以写为－8+7－2－1叫做省略加号的代数和，即各个加号省略不写，每个数的括号也可以省略，读作“负8、正7、负2、负1的和”或“负8加7减2减1”。
③运用加法交换律交换加数的位置时要连同前面的符号一起交换。
有理数的混合运算知识点
有理数的混合运算知识点有理数的混合运算在数学学习中是一个重要的内容，它涉及到加、减、乘、除、乘方等多种运算。
掌握好有理数的混合运算，对于我们解决数学问题、提高数学思维能力都有着至关重要的作用。
首先，我们来了解一下有理数的基本概念。
有理数包括整数和分数，整数可以分为正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
例如，3 是正整数，－5 是负整数，05 是正分数，－2/3 是负分数。
在进行有理数混合运算时，要遵循一定的运算顺序。
先算乘方，再算乘除，最后算加减。
如果有括号，先算括号里面的。
先来说说乘方运算。
乘方是指同一个数连续相乘的运算。
例如，2的 3 次方表示 2×2×2 ＝ 8。
在计算乘方时，要注意负数的乘方。
当指数为偶数时，负数的乘方结果为正数；当指数为奇数时，负数的乘方结果为负数。
比如，（－2)的 2 次方等于 4，（－2)的 3 次方等于－8。
乘除运算相对较为简单，但也需要注意符号问题。
两数相乘，同号得正，异号得负。
例如，2×3 ＝ 6，（－2)×（－3) ＝ 6，2×（－3) ＝－6。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
比如，6÷2＝ 3，（－6)÷（－2) ＝ 3，6÷（－2) ＝－3。
在进行加减运算时，要将有理数化为同号相加或异号相减。
例如，2 ＋3 ＝ 5，（－2) ＋（－3) ＝－5，2 ＋（－3) ＝－1。
接下来，我们通过一些具体的例子来加深对有理数混合运算的理解。
例 1：计算 2 ＋ 3×（－4)按照运算顺序，先算乘法：3×（－4) ＝－12，然后再算加法：2 ＋（－12) ＝－10例 2：计算（－2)的 2 次方＋（－3)÷（－1/3)先算乘方：（－2)的 2 次方＝ 4，再算除法：（－3)÷（－1/3) ＝（－3)×（－3) ＝ 9，最后算加法：4 ＋ 9 ＝ 13例 3：计算 2 3 （5 2×3)先算小括号里的乘法：2×3 ＝ 6，然后算小括号里的减法：5 6 ＝－1，接着算中括号里的减法：3 （－1) ＝ 3 ＋ 1 ＝ 4，最后算括号外的减法：2 4 ＝－2为了提高有理数混合运算的准确性和速度，我们可以采用一些技巧。
推荐学习K12七年级数学下册课后补习班辅导因式分解讲学案苏科版
因式分解【本讲教育信息】一. 教学内容：因式分解因式分解是中学代数课程的一种重要的恒等变形，不仅在后面的分式通分、约分时有着直接的应用，而且在解方程以及将三角函数式变形时，也经常用到它，也正是因为因式分解以其广泛的应用性在初中数学中占有特殊重要地位，所以学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
二. 重、难点：1. 理解因式分解的意义2. 掌握因式分解的方法——提公因式法、公式法。
三. 知识要点：1. 因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。
1）因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。
2）因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。
3）因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解。
4）并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。
2. 因式分解的基本方法1）提公因式法。
形如)(c b a m mc mb ma ++=++2）运用公式法： 平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±3. 因式分解中的四大注意1）首项有负常提负；2）各项有“公”先提“公”；如：把4222++--ab b a 分解因式。
解：原式=)42(22-+--b ab a =]4)[(2---b a =)2)(2(--+--b a b a这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
防止学生出现诸如2222)2()3(49y x y x --=+-)23)(23(y x y x --+-=)23)(23(y x y x +-=的错误（错在哪里？）；这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。
【配套K12】七年级数学下册课后补习班辅导有理数的加减乘除乘方及混合运算讲学案苏科版
有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算【本讲教育信息】 一. 教学内容： 有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算二. 重点、难点：1. 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。
2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
三. 知识要点 1. 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：a ） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
b ） 任何数同0相乘，都得0。
［注意］：①对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：a ）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
即确定符号后把绝对值相乘。
b ） 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
② 在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。
③ 乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。
对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。
如：“5×4”可以写成“5·4”但不能写为“54”；“1×”不能写成“1”。
（2） 有理数乘法运算律 a ） 交换律：a b b a ⨯=⨯ b ） 结合律：)c b (a c )b a (⨯⨯=⨯⨯ c ） 分配律：c a b a )c b (a ⨯+⨯=+⨯ ［注意］：在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。
如：4621221126112)2161(-=-=⨯-⨯=⨯-2. 有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。
即a ÷b=a ×b1（b ≠0）。
有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则： a ） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
b ） 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
［注意］：除法是乘法的逆运算，在a ×b=c 中，如果已知乘数c 和一个因数b 求另一个因数a ，或已知乘数c 和一个因数a 求另一个因数b 的运算都是除法。
【K12学习】《有理数的混合运算》质量检测讲评教学设计
《有理数的混合运算》质量检测讲评教学设计《有理数的混合运算》讲评课教学设计学习目标：1.通过试卷分析，了解到自己的知识漏洞，及时查漏补缺．2.经历自我反思与归纳，通过对同类问题的变式训练，形成解答一类数学问题的经验．3.通过小组合作，理清解题思路，提高合作意识和探究精神. 教材分析：本节课是在学生学习完了有理数的混合运算后对混合运算进行的测试后的讲评课，在本节课之前学生已经学习了有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，有理数的混合运算的学习，不但可以让学生复习巩固之前所学习的基本四则运算，而且使学生巩固有理数混合运算的方法，并按照正确的运算顺序进行解题，为以后知识的学习打下坚实的基础。
所以，本节课的教学重点是有理数概念和有理数运算。
学情分析：学生在此之前已经学习了有理数的基本运算，对有理数有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于有理数的知识的理解，于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以，教学中应进行简单明白、深入浅出的分析。
于六年级学生的理解能力和思维特征和生理特征，学生好动性，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬等特点，所以在教学中应抓住学生这一生理心理特点，一方面要运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
所以，本节课的教学难点为负数和有理数法则的理解和运用。
教学过程：环节一：检测分析 1、试卷整体分析：本次检测题的形式与平常要求一致，考查的知识点全面具体，重难点突出，难易结合，整体而言难度系数偏低.2、公布考试结果：对考试情况进行总体分析：全班共49人参加考试，多数同学成绩比较理想，其中达到A级的有21人，B级的10人，C级的16人，D级的2人.3、表扬成绩特别突出的：小珂、浩东、晓宇、佳诗、子玉、嘉乐等进步明显的：：晓月、家旺、博雅、千一他们取得这样优异的成绩，源于他们平时上课认真听讲、积极思考，希望大家能向他们学习. 也希望你们不要骄傲，保持住这种向上的势头。
七年级有理数加减乘除混合运算
七年级有理数加减乘除混合运算在我们的日常生活中，有理数的加减乘除混合运算是非常重要的一种技能。
无论是在学校还是在工作中，我们都会经常遇到这样的问题。
那么，如何正确地进行有理数的加减乘除混合运算呢？本文将从理论和实践两个方面来进行探讨。
一、理论部分1.1 有理数的基本概念我们需要了解有理数的基本概念。
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，即a/b(其中a和b都是整数，b≠0)。
有理数包括正有理数、负有理数和零。
例如，1/2、-3/4、0都是有理数。
1.2 有理数的加法法则有理数的加法法则是：同号两数相加，取相同的符号；异号两数相加，绝对值较大的数的符号不变，并把较小的绝对值减去较大的绝对值。
例如，(1/2)+(3/4)=5/4,(-1/2)+(-3/4)=-5/4。
1.3 有理数的减法法则有理数的减法法则是：减去一个数等于加上这个数的相反数。
例如，(1/2)-(3/4)=1/2+(-3/4)=-1/4。
1.4 有理数的乘法法则有理数的乘法法则是：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
例如，(1/2)*(3/4)=3/8,(-1/2)*(-3/4)=1/8。
1.5 有理数的除法法则有理数的除法法则是：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
例如，(1/2)/(3/4)=1/2*4/3=2/3,(-1/2)/(-3/4)=1/2*4/3=2/3。
需要注意的是，除法运算中不能出现0作为除数。
二、实践部分2.1 实际问题的举例让我们通过一个具体的例子来理解有理数的加减乘除混合运算。
假设我们要计算以下表达式的值：(7+6)×(8-5)÷(9+1)。
我们可以按照先乘除后加减的顺序来进行计算：(7+6)×(8-5)÷(9+1) = (13×3)÷(10) = 39÷10 = 3.9所以，表达式的值为3.9。
通过这个例子，我们可以看到有理数的加减乘除混合运算可以帮助我们解决实际问题。
有理数混合运算的解题技巧与策略
有理数混合运算的解题技巧与策略有理数混合运算是数学中常见的一种运算形式，它涉及到整数、小数、分数等多种数的运算。
为了解决这类题目，我们可以采用以下的解题技巧和策略。
一、熟悉有理数的基本运算规则在进行有理数的混合运算之前，我们需要熟悉有理数的基本运算规则，包括加法、减法、乘法和除法。
例如，在进行混合运算时，我们需要注意乘法和除法的优先级高于加法和减法，可以利用括号改变运算顺序。
二、化简操作在有理数混合运算中，有时我们会遇到复杂的表达式，这时可以通过化简操作来简化计算过程。
例如，我们可以对分数进行通分，将小数和分数化为同一类型的有理数，以便进行运算。
此外，我们还可以利用分配律、结合律和交换律等数学性质，通过合并同类项、化简分子分母等方式来简化运算。
三、借位与借位还原在进行有理数减法时，可能会出现被减数小于减数的情况。
这时，我们可以利用借位的方法，将减法问题转化为加法问题。
具体操作为，从相邻的高位向低位借位，将被减数的某一位的值增加10，然后进行加法运算。
同样，在进行加法运算时，可能会出现需要借位还原的情况，我们可以利用借位还原法来进行运算。
四、小数的运算在有理数混合运算中，小数的运算也是常见的。
对于小数的加减法，我们需要将小数点对齐，然后按照整数的加减法运算规则进行计算；对于小数的乘法和除法，我们可以将小数转化为分数形式，然后进行分数的乘除法运算。
五、注意运算顺序在进行有理数混合运算时，我们需要遵循正确的运算顺序，例如，先进行括号内的计算，再进行乘法和除法，最后进行加法和减法。
如果没有括号，我们可以根据乘除法的优先级高于加减法的规则，将计算顺序进行调整。
六、画图与辅助线有时，我们可以通过画图或者辅助线的方式来解决有理数混合运算问题。
例如，在解决复杂的多步运算时，我们可以通过画图将问题拆解成多个简单的运算步骤，然后逐步解决；在解决几何问题或者应用题时，我们可以利用辅助线帮助我们理清思路，找到解题的关键点。
有理数加减混合运算的五种运算技巧
有理数加减混合运算的五种运算技巧理数加减混合运算是数学中非常常见和重要的运算。
下面将介绍五种运算技巧，帮助学生掌握这一技巧。
技巧一：整理运算顺序在进行理数加减混合运算时，首先要整理运算顺序。
首先进行加减法运算，然后再进行乘除法运算。
对于括号中的运算，应该优先计算，以保证得到正确的结果。
例如：计算式3+（5-2）×4÷2首先，根据括号中的运算，计算得到3+3×4÷2然后，按照乘除法优先于加减法的原则，计算得到3+6÷2最后，进行加法运算，得到最终结果6技巧二：分数的化简和通分在进行理数加减混合运算时，经常会遇到分数的加减运算。
为了计算方便，需要将分数化简和通分。
分数化简的原则是将分子和分母的公因数约去。
例如，对于分数12/8，可以将分子和分母都除以4得到3/2通分是将两个分数的分母改为相同的数，使得计算更加方便。
例如，计算1/2+1/3，需要将两个分数的分母都改为6，得到3/6+2/6=5/6技巧三：加减法的运算法则在进行理数加减混合运算时，需要根据加减法的运算法则进行计算。
对于同号数相加，直接将它们的绝对值相加，然后保持符号不变。
例如，计算-3+(-5)=-8对于异号数相加，首先将它们转化为同号数相减，然后按照同号数相减的方式计算。
例如，计算5+(-2)=5-2=3技巧四：小数的运算在进行理数加减混合运算时，经常会遇到小数的运算。
对于小数的加减，需要保持小数位数一致，以免出现误差。
例如，计算4.5+1.7，首先对小数进行对齐，然后按照整数加法进行运算，最后在结果中保留相同的小数位数，得到6.2技巧五：对数进行合并和拆分有时候，在进行理数加减混合运算时，数学表达式中可能存在一些可以进行合并或拆分的数。
例如，计算2/3-1/5-1/15，可以将2/3拆分为1/3+1/3，然后进行运算，得到1/3-1/5-1/15=(5/15)-(3/15)-(1/15)=1/15综上所述，掌握这五种运算技巧对于理数加减混合运算非常重要。
推荐学习K12七年级数学下册课后补习班辅导整式的运算讲学案苏科版
整式的运算【本讲教育信息】一. 教学内容：整式的运算用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程。
具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值。
下面结合例题初步看一看整式运算求值的常用技巧。
二. 重、难点：1. 熟练进行整式运算。
2. 理解求代数式的值中由一般到特殊的过程。
【典型例题】例1. 求下列代数式的值：5432214122145)1(22323---+--b a ab b a ab b a ab ， 其中2,1-==b a ；)]}354(3[4)2({3)2(22222xyz z x xyz y x z x z x xyz xyz y x ---+----，其中3,2,1-==-=z y x分析：上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错。
我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性。
解：5)21214(4324125)1(22323--+-+--=b a b a b a ab ab ab ）（原式540223---=b a b a5)2(1)2(14223--⨯--⨯⨯-=195216-=-+-=(2)原式＝)]5(3[4)2(322222z x xyz y x z x z x xyz xyz y x ---+-+-＝)5(342322222z x xyz y x z x z x xyz xyz y x -+-+-+-＝)z x 5z x 4z x ()xyz xyz 2xyz ()y x 3y x 3(22222-+-+++-+-＝z x xyz 222-＝)3()1(2)3(2)1(22-⨯-⨯--⨯⨯-⨯＝12＋6＝18说明：本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值。
教育最新K12七年级数学下册课后补习班辅导期末复习讲学案苏科版
期末复习【本讲教育信息】一. 教学内容：期末复习二、教学目标与要求：1、总结平行是直线间的基本关系，直线平行的条件和性质，图形平移的性质2、回顾三角形以及任意多边形的内角、外角和公式及探索过程3、回顾幂的运算法则进行运算的过程及其应用4、回顾整式乘法运算法则进行运算的过程及其应用5、总结运算的基本方法以及整式变形的技能6、总结因式分解的基本方法，比较因式分解与整式乘法运算的区别和联系7、总结解二元一次方程组的基本方法8、回顾从丰富情景中抽象出二元一次方程组的过程，并能用二元一次方程组解决现实问题．9、总结回顾三角形全等的判断方法及其应用10、总结收集数据的方式及其应用对象11、总结三种统计图的特征，及其如果根据实际问题选择合适的统计图12、区分条形统计图和频率分布直方图13、回顾确定事件、随机事件的概念，总结区分这两类事件的方法14、总结判断不同事件发生可能性大小的方法，并思考用试验来估计随机事件发生的概率时需要注意的问题三、教学重、难点：1、直线平行的判断与条件2、三角形的认识及其全等判定3、幂的运算、整式的运算、因式分解与二元一次方程组的解法4、统计与概率的应用四、知识结构总结：1、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧平分线、中线、高三角形中特殊线段：角角和定理任意多边形的内角、外系三角形边、角之间的关角三角形、直角三角形分类：锐角三角形、钝认识三角形平移的简单应用平移的性质概念图形的平移互补两直线平行，同旁内角等两直线平行，内错角相等两直线平行，同位角相直线平行的性质平行同旁内角互补，两直线行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平直线平行的条件两直线平行平面图形的认识 2、⎪⎩⎪⎨⎧零指数幂、负指数幂—同底数幂的除法幂的乘方与积的乘方同底数幂的乘法幂的运算3、⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯⨯运用公式法提公因式法因式分解乘法公式多项式多项式多项式单项式单项式单项式整式的乘法4、二元一次方程（1）二元一次方程的定义（含有二个未知数，并且未知数的次数都是1）（2）二元一次方程的解法：代入消元法，加减消元法． （3）二元一次方程组的一般式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 解的情况： ①当2121b b a a ≠时，方程组有唯一解； ②当212121c c b b a a ==时，方程组有无数组解； ③当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解． 5、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→）（斜边和直角边对应相等—条件两个直角三角形全等的）边边边（）角角边（）角边角（）边角边（两个三角形全等的条件等对应边相等，对应角相全等三角形图形的全等HL SSS AAS ASA SAS6、7、【典型例题】例1、如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连结AE 、BE 并延长交BC 于点 F ．给出下列五个关系式：①AD ∥BC ； ②DE=EC ； ③ ∠1=∠2； ④∠3＝∠4； ⑤AD+BC=AB 将其中的三个关系式作为已知条件．另外两个作为结论，构成正确的结论．（1）用序号写出三个正确的结论（书写形式如：如果x x x ，那么x x ）； A ：如果①那么 B ： C ：（2）我选择 进行说明其中的道理．分析：本题涉及到①两直线平行的条件与性质②等腰三角形的性质③全等三角形的判定与性质．把握好这些条件之间的关系是解题的关键．解：（1）A ：如果①②③，那么④⑤ B ：如果①②④，那么③⑤ C ：如果①②⑤，那么③④（2）我选择A 进行说明其中的道理：如果①AD ∥BC ；②DE=EC ；③∠1=∠2；那么④∠3＝∠4；⑤AD+BC=AB 证明：∵AD ∥BC ∴∠1=∠F （两直线平行，内错角相等） 又∵∠1=∠2 ∴ ∠F=∠2∴ ΔBAF 为等腰三角形而⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EC DE FEC AED F )(1对顶角相等 ∴ΔAED ≌ΔFEC （AAS ） ∴AE=FE ，CF=DA ∴BE 为等腰ΔBAF 中线 ∴BE 也为等腰ΔBAF 的角平分线∴∠3＝∠4∵BF=BC+CF，CF=DA而AB=BF∴AD+BC=AB说明：此题答案并不唯一，只要利用充分即可．例2、如图，△ABC是等边三角形，又DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，问△DEF是等边三角形吗？请简要说明理由．分析：判定等边三角形的方法：①三条边相等②三个内角相等③有一个角为60°的等腰三角形．这里我们采用②三个内角相等答：△DEF是等边三角形．证明：∵∠A=60°又∵FD⊥AB∴∠AFD=30°而EF⊥AC∴∠DFE+∠AFD＝90°∴∠DFE＝60°，同理∠FED＝∠EDF＝60°，∴△DEF是等边三角形．说明：直角三角形的两锐角互余．例3、求010110410011100.753 2.13 (3)0.37--⨯⨯⨯-⨯⨯的值解：原式=101104100103 2.1330.3(0.37)--⨯⨯⨯⨯⨯=14330.3-⨯=330.3=90说明：灵活运用乘法法则可使得我们在运算中简便很多．例4、王老师让同学们计算：“当31,21-==b a 时，求()()()()b a a b a b a b a +-++-+22的值”．小明同学指出题目中所给的条件“31,21-==b a ”是多余的，他们的说法有道理吗？为什么？答：有道理．∵()()()()b a a b a b a b a +-++-+22=022222222=--+++-ab a b ab a b a∴无论b a ，取何值，()()()()b a a b a b a b a +-++-+22都为0例5、已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-k y x ky x 2332的解满足方程13=+y x ，求k 的值．分析：把k 看成是一个数，用它表示出y x ，，代入后面的方程中就能得到一个关于k 的一元一次方程． 解：⎩⎨⎧=+-=-）（）（223132k y x k y x由（1）－2（2）得：k y 77-=- ∴k y =代入（2）得：k x -= ∵13=+y x ∴13=+-k k ∴21=k 说明：此题也可用消元法解方程．例6、学校书法兴趣小组准备到文具店购买A 、B 两种类型的毛笔，请你根据下面三位同学的对话，求出文具店的A 、B 两种类型毛笔的零售价各是多少？解：设文具店的A 种类型毛笔的零售价是x 元，B 种类型毛笔的零售价是y 元，由题意得：⎩⎨⎧=⨯--+⨯--=⨯--+1296.0)1520(204.0)2040(401456.0)1540(4020y x y x 上面二元一次方程组可化为：⎩⎨⎧=-+=-+072082y x y x 解得：⎩⎨⎧==32y x答：文具店的A 种类型毛笔的零售价是2元，B 种类型毛笔的零售价是3元例7、某中学组织初一同学春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元，试问：（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？ （2）要使每个同学都有座位，怎样租用车辆更合算？ 解：（1）设原计划租用45座客车x 辆，由题意得：)1(601545-=+x x解得：5=x而初一年级人数是240)15(60)1(60=-⨯=-x （人） （2）设45座的租y 辆，60座的租z 辆更合算2406045=+z y求非负整数解得：⎩⎨⎧==40z y 或⎩⎨⎧==14z y当⎩⎨⎧==4z y 时，1200300220=+z y当⎩⎨⎧==14z y 时，1180300220=+z y∵1180<1200∴45座的租4辆，60座的租1辆更合算答：（1）初一学生240人，计划租5辆（2）45座的租4辆，60座的租1辆．例8、近年来，某市旅游事业蓬勃发展，吸引大批海内外游客前来观光旅游、购物度假，下面两图分别反映了该市2001－2004年游客总人数和旅游业总收入情况． 根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）2004年游客总人数为 ________万人次，旅游业总收入为________万元；（2）在2002年，2003年，2004年这三年中，旅游业总收入增长幅度最大的是_________年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率为_______（精确到0.1%）；（3）2004年的游客中，有国内游客和国外游客，据统计，国内游客的人均消费约为700元，国外游客人均消费约为4000元，问国内和国外游客各多少人？（注：旅游收入＝游客人数×游客的人均消费）解：（1）由图①知：2004年游客总人数为1225万人次，由图②知：旅游业总收入为940000万元；（2）观察图②的趋势知：在2002年，2003年，2004年这三年中，旅游业总收入增长幅度最大的是2004年，这一年的旅游业总收入比上一年增长的百分率为41.4%%4.41%100665000665000940000=⨯-（3）设国内游客x 万人，国外游客y 万人，由题意得：⎩⎨⎧=+=+94000040007001225y x y x 解得：⎩⎨⎧==251200y x答：国内游客1200万人，国外游客25万人．例9、为了让学生了解环保知识，增强环保意识．某中学进行一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解此次竞赛成绩，从中抽取了部分学生的成绩（得分为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成频数分布表和频数分布直方图．回答下列问题（将答案直接填在横线上，单位：分）：（1）填充频数分布表的空格；（2）补全频数分布直方图，并在频数分布直方图中绘制频数分布折线图；（3）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（4）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约有多少人？解：（1）（2）图略（3）由频率分布直方图知：竞赛成绩落在80.5~90.5的人数最多（4）该校成绩优秀的约有900×0.24=216人说明：（4）是由样本估计总体情况．例10、求出下列事件发生的概率，并标在图中：⑴投掷一枚普通骰子，投出7点的概率P（1）；⑵“月亮绕着地球转”的概率P（2）；⑶任掷一枚硬币，正面朝上的概率P（3）．解：P（1）=0（普通骰子只有1－6六种点数，没有7，所以此为不可能事件）P（2）=1（此为自然现象，为必然事件）1P（3）=2如图三点从左往右依次为P（1），P（3），P（2）．例11、杂题：（1）如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，又知AC＝18，△CDB的周长为28，那么BD的长为（）A、7B、8C、9D、10（2）下图中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（）A 、一个锐角 一个钝角；B 、两个锐角；C 、一个锐角 一个直角；D 、一个直角 一个钝角（3）三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是 （ ） A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形（4）光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．若已知∠1=55°，∠3=75°，那么∠2等与（ ）A 、50°B 、55°C 、66°D 、65°（5）“抢30”游戏规则是：第一个人先说“1”或“1、2”，第二个要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就得胜，若改成抢“32”，那么采取适当策略，其结果是（ ）A 、先报数者胜B 、后报数者胜C 、两者都可能胜D 、很难预料（6）有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们11个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”、“08”，和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励．假设该婴儿不能辨别字块中的内容，但能将字块横着正排．现让该婴儿随机地拼排2次，那么他能得到奖励的概率是 （ ） A 、32B 、21 C 、1 D 、以上都不对（7）如图，有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制成的，黑皮可以看作正五边形，白皮可看作正六边形．设白皮有x 块，黑皮有y 块，每块白皮有3条边和黑皮连在一起，依据题意，可列出方程组为 ．分析：（1）∵∠DAB=∠DBA ∴BD=AD=AC －CD=18－CD ① ∵CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ∴△CDB 为等腰三角形 ∴CD=BC而CD+BC+BD=28，即2CD+BD=28② 由①②得：BD=8 （2）直角+钝角>180° （3）直角三角形特点（4）∠6=∠1=55°，∠5=∠3=75° ∴180°－∠2－∠4=180°－∠5－∠6 又∠2=∠4∴∠2=（55°+75°）÷2=65°（5）“抢30”游戏只要保证自己所说的个数+前面所说的个数=3的倍数即可获胜．而“32”不是3的倍数，因此是无法确定的．（6）“20”、“08”，和“北京”拼起来有6种可能，而“2008北京”或者“北京2008”占了2种，所以拼到的可能性为3162=．又婴儿拼两次，只要有一次对就可得到奖励，所以能得到奖励的概率是323131=+ （7）抓住两个等量关系：总块数和黑白相邻的边数． 答：（1）B （2）D （3）A （4） D（5）D（6）A（7）⎩⎨⎧==+yx y x 5332例12、下图从左到右：图1，把△ABC 沿直线CB 平行移动线段CB 的长度，可以变到△EDB 的位置； 图2，以BC 为轴把△ABC 翻折90°，可以变到△DBC 的位置； 图3，以点Ｂ为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△FBD 的位置．像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改．．变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做全等变换．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．解答下列各问题：①图4中，△ABC 为等腰直角三角形，AB=AC ，AD ⊥AE ，且AD=AE ，请问△ACD 与△ABE 全等吗？为什么？②图4中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，如何变换才能使△ACD 变换到△ABE 的位置？③指出上面图4中，线段BE 与CD 之间的关系，为什么？ 解：①△ACD 与△ABE 全等∵△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥AE ∴∠CAD=90°－∠MAB ，∠BAE=90°－∠MAB ∴∠CAD=∠BAE而)(SAS ABE ACD AE AD BAE CAD BACA ∆=∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠= ②旋转 过程略 ③由①知：BE=CD【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一、选择题1、下面式子正确的是（ ） A 、623x x x =⋅B 、1055x x x =+C 、236x x x =÷D 、933)(x x =2、下列不是等腰三角形的对称轴是（ ） A 、顶角的平分线B 、一边的中线C 、底边上的中线D 、底边上的高线3、下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A 、)2)(2(a b b a -+ B 、)121)(121(--+x x C 、))((n m n m +---D 、)3)(3(y x y x +--4、纳米是一种长度单位，1纳米= 109-米．已知某种植物的花粉的直径约为45000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）米。
初中一对一精品辅导讲义：有理数的混合运算
课题有理数的混合运算授课日期及时段1. 知道有理数混合运算法则教学目的2. 掌握有理数混合运算法则，并能进行有理数的混合运算的计算。
教学内容一、日校问题解决 二、知识点梳理（一）有理数混合运算的顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的， 同 级运算按从左到右顺序进行 （二）注意结果中的负号不能丢 重点难点： 重点：有理数的混合运算 难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题． 教学手段 现代课堂教学手段三、典型例题例 1. 计算：(1)(-3)×(-5)2； (3)(-3)2-(-6)；(2)［(-3)×(-5)］2； (4)(-4×32)-(-4×3)2．解：(1)(-3)×(-5)2=(-3)×25=-75． (2)［(-3)×(-5)］2=(15)2=225． (3)(-3)2-(-6)=9-(-6)=9+6=15． (4)(-4×32)-(-4×3)2 =(-4×9)-(-12)2 =-36-144 =-180． 注意：搞清(1)，(2)的运算顺序，(1)中先乘方，再相乘，(2)中先计算括号内的，然后再乘方．(3) 中先乘方，再相减，(4)中的运算顺序要分清，第一项(-4×32)里，先乘方再相乘，第二项(-4×3)2 中， 小括号里先相乘，再乘方，最后相减．例 2. 计算：(-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4．审题：(1)存在哪几级运算？ (2)运算顺序如何确定？ 解： (-2)2-(-52)×(-1)5+87÷(-3)×(-1)4 =4-(-25)×(-1)+87÷(-3)×1(先乘方) =4-25-29(再乘除) =-50．(最后相加) 注意：(-2)2=4，-52=-25，(-1)5=-1，(-1)4=1．例 3. 半径是 10cm ， 高为 30cm 的圆柱形水桶中装满水， 小明先将桶中的水倒满 2 个底面半径为 3cm高为 6 cm 的圆柱形杯子，再把剩下的水倒入长,宽,高分别为 40cm ,30cm 和 20cm 的长方体容器内, 长方体容器内水的高度大约是多少?( Л 取 3 容器厚度不算) 解：水桶内水的体积为π ×102×30cm3，倒满 2 个杯子后，剩下的水的体积为 （π ×102×30-2×π ×32×6）cm3 （π ×102×30－2×π ×32×6）÷（50×30） =(9000-324) ÷1500 = 8676÷1500≈6(cm) 答：容器内水的高度大约为 6cm。
有理数混合运算的方法技巧
有理数混合运算的方法技巧
1. 先算乘除后算加减，这可是铁律呀！就像你走路先迈左腿还是右腿，顺序不能错哟！比如3+2×5，那得先算2×5=10，再加上 3 等于 13，可别搞错啦！
2. 注意符号呀，符号可不能丢！这就像你出门不能忘了带钥匙一样重要呢！比如-3×(-4)，负负得正，结果就是 12。
3. 括号里的要先算，这就好比你进家门得先开门一样理所当然呀！像(5+3)×2，先算括号里的 5+3=8，再乘以 2 就是 16。
4. 约分能让计算变简单哦，就像给计算减肥一样！比如说12÷4/3，可以变成12×3/4=9。
5. 找规律呀，有理数运算里也有很多规律等你发现呢，就像在宝藏堆里找宝贝！比如算 2+4+6+8，不就可以找到两两相加相等的规律嘛。
6. 转换思路很重要呀，不要死脑筋！这跟你走路遇到石头得绕过去一样嘛！像计算5×19，可以变成5×(20-1)呀。
7. 别粗心大意呀，要仔细仔细再仔细！不然就像在森林里迷路一样啦！比如把 3 看成 8 可不行哦。
8. 多练习才能更熟练呀，这和你学骑自行车是一个道理！只有多练，才能在有理数混合运算的道路上畅通无阻呀！
我的观点结论就是：掌握好有理数混合运算的方法技巧真的太重要啦，能让我们算得又快又准！大家一定要好好记住这些哦！。
有理数加减混合运算简便方法
有理数加减混合运算简便方法1. 引言在我们的日常生活中，数学其实无处不在，尤其是有理数的加减运算，简直就像吃饭一样常见。
不过，说实话，很多人一提到数学就像见了鬼，心里不免打个冷颤。
其实，有理数加减混合运算并没有那么可怕，咱们可以用一些简便的方法来解决，让这项看似复杂的工作变得轻松幽默，直击你的小心脏。
2. 理清概念2.1 什么是有理数？先来说说什么是有理数。
简单来说，有理数就是可以表示成分数的数，比如说( frac{1{2 ) 或者 3，都是有理数。
记住了，它们可都是“亲戚”，只要能够整除就能亲密接触。
2.2 加减运算的基本原则接下来，咱们要明白加减运算的基本原则。
比如说，正负相结合的原则就像交朋友一样，两个正数在一起肯定是热火朝天，而一个正数和一个负数则像是争吵的朋友，得找到个折中的办法。
3. 加减混合运算的简便方法3.1 分步走，别着急当你遇到复杂的加减混合运算时，记得分步走，别心急。
比如你看到 ( 5 3 + 2 )，可以先算 ( 5 3 )，得 2，然后再加 2，最终结果就是 4。
这就像吃一块蛋糕，先切一块，再慢慢享用，才不会呛着。
3.2 利用相反数另一个绝招就是利用相反数。
如果你有个负数，比如说 4，遇到加法时就可以想成减去相同绝对值的正数。
比如 ( 3 + (4) ) 可以想成 ( 3 4 )，最终结果就是 1。
运用相反数，数学题就像变魔术一样，简简单单！4. 实际应用4.1 日常生活中的例子在日常生活中，你可能会用到这些运算，比如说买东西的时候，打折和找钱。
这时候，你可以把打折的金额当成负数，来计算最终的支出。
例如，原价100元，打8折，实际花费就是 ( 100 80 = 20 ) 元。
看看，生活中的数学可真是活学活用。
4.2 培养良好的习惯当然，想要熟练掌握这些方法，还得培养良好的习惯。
每天花点时间练习，就像每天锻炼身体一样，逐渐增强“数学肌肉”。
当你在运算时，脑海中就会自然浮现出这些简便的方法，轻松应对各种题目，绝对是“步步为营，胜券在握”。
七年级下册数学有理数的加减混合运算
七年级下册数学有理数的加减混合运算在七年级的数学课程中，有理数的加减混合运算是一个常见且重要的内容。
本文将从简到繁，由浅入深地探讨这一主题，帮助你更深入地理解有理数的加减混合运算。
1. 有理数的基础概念在开始讨论有理数的加减混合运算之前，让我们先回顾一下有理数的基础概念。
有理数包括正整数、负整数、零以及所有的分数，它们可以用分数的形式表示，例如1/2、3/4，也可以用整数的形式表示，例如-3、5。
有理数可以在数轴上表示出来，数轴的右侧是正数，左侧是负数，而零处于中间。
有理数之间可以进行加、减、乘、除等运算。
2. 有理数的加法有理数的加法是最基础的运算之一。
当两个有理数同号时，它们的绝对值相加，然后取相同的符号；当两个有理数异号时，它们的绝对值相减，然后取绝对值较大的数的符号。
-3+5=2，-3+(-5)=-8。
3. 有理数的减法有理数的减法可以转化为加法，即a-b可以看作a+(-b)。
7-3可以转化为7+(-3)=4。
这样，减法就变成了加法，符号的判断和计算都更加直观和方便了。
4. 有理数的混合运算有理数的混合运算指的是在一个表达式中同时包含加法和减法。
在进行混合运算时，我们需要遵循“先乘除后加减，同级运算从左到右”的原则。
首先计算括号里的内容，然后计算乘除法，最后计算加减法。
5-3+6-2可以按照从左到右的原则计算，得出的结果为6。
5. 个人观点和理解对于有理数的加减混合运算，我个人觉得最重要的是掌握基本的加法和减法规则，同时要善于转化问题，将减法转化为加法来计算，这样可以避免混合运算带来的困惑。
另外，在进行混合运算时，一定要注意运算顺序，遵循先乘除后加减的原则，以免出现计算错误。
多做练习题也是掌握有理数混合运算的关键，通过大量练习可以加深对这一内容的理解和掌握程度。
总结回顾通过本文的介绍，我们重新回顾了有理数的基础概念，包括有理数的表示方法、加法和减法规则，以及有理数的混合运算。
在混合运算中，我们要特别注意运算的顺序，遵循先乘除后加减的原则，同时要善于转化问题，将减法转化为加法来计算。
有理数的混合运算技巧
国庆放假通知范本15篇国庆放假通知范本15篇国庆放假通知范本（精选篇1）各学院，各部门、单位：根据上级关于20__年国庆节节假日安排的通知，结合我校实际，经学校校长办公会研究决定，现将放假安排通知如下：一、本学校的放假时间安排放假时间：20__年10月1日至7日放假。
调假时间：20__年9月29日、10月12日上班、上课。
二、有关教学工作安排1.9月29日补10月4日的课;2.10月12日补10月7日的课;3.10月1、2、3日(星期二、三、四)所缺课时，学校不安排统一时间补课，由任课教师采用调整教学进度并合理安排课内外学时等办法，保证教学内容的顺利实施。
三、安全和保障工作1.各单位要做好防火、防盗工作，离校前各办公室要拉闸断电，门窗关严锁好。
2.假期值班人员要严格遵守值班规定，按时到岗，不迟到、不空班，有情况及时向带班领导汇报。
3.放假期间，校机关和直属单位主要负责人外出(出京)要向主管校领导报告，并履行请假手续;各学院、北苑校区主要领导外出(出京)要向学院(校区)联系的校领导报告，并履行请假手续。
不以单位名义组织集体外出活动。
4.请各相关单位做好放假期间的'各项保障工作，对师生做好安全提示教育。
安排好京外生源学生的思想引导和在校期间生活等工作。
四、带(值)班信息报送请各学院(校区)于9月23日(星期一)下班前，将本单位领导带班及值班安排报党委(校长)办公室。
___办公司20__年__月__日国庆放假通知范本（精选篇2）各学院、部处、各单位：根据《国务院办公厅关于20__年部分节假日安排的通知》和学校校历安排，现将我校20__年中秋节、国庆节放假调休安排及有关要求通知如下：一、中秋节、国庆节：10月1日至8日放假调休，共8天。
其中10月1日、2日、3日、4日为法定节假日，9月30日(星期六)和10月1日(星期日)两个公休日调整至10月5日(星期四)和10月6日(星期五)。
二、9月30日(星期六)照常上班、上课(上星期四的'课程)。
有理数简便运算技巧
有理数简便运算技巧
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊有理数简便运算技巧，这可真是超级有趣又超级实用的东西呢！
比如说在计算 25+36 时，咱可以找“好朋友”呀，25 不是和 4 凑一起是 100 嘛，那把 36 拆分成 32 和 4，先算 25+4 等于 29，再加上 32 是不是就简单多啦！
咱在进行有理数运算时，就像是走在一条充满挑战的小路上。
有时候那些数字就像小怪兽，一个个张牙舞爪的。
但咱不怕呀，咱有妙招！就像孙悟空有金箍棒一样。
再来讲一个技巧，乘法分配律。
哎呀，这个真的是太好用啦！比如计算3×(20+5)，咱就可以把 3 分别乘进去，3×20 加上3×5，一下子就把复杂的计算变简单啦，就好像把一团乱麻给理顺了！你说神奇不神奇？要是遇到像45× 这样的，咱可以把看成，然后用乘法分配律，哇，难题瞬间迎刃而解！
还有呀，咱可以利用相反数来简化计算。
比如说在算一堆数相加时，看到互为相反数的，那就像看到好朋友一样开心呀，它们加起来就是 0 呢！这不就轻松多了嘛！
有理数的简便运算技巧真的是我们数学学习中的好帮手呀！学会了这些技巧，就像是有了一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门。
大家一定要好好掌握这些技巧哦，绝对能让你的运算能力大大提升！相信我，没错的！。
辽宁省凌海市七年级数学下册 课后补习班辅导 有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算讲学案 苏科版-苏
有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算【本讲教育信息】 一. 教学内容：有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算二. 重点、难点：1. 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。
2. 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
三. 知识要点 1. 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：a ） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
b ） 任何数同0相乘，都得0。
［注意］：①对于多个有理数相乘，由有理数的乘法法则可以推出：a ）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
即确定符号后把绝对值相乘。
b ） 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
② 在含有加减乘除的算式中，没有括号指明运算顺序时，要先算乘除，后算加减。
③ 乘号的三种形式“×”，“·”，“省略不写”。
对“·”和“省略不写”只能在适当的时候用。
如：“5×4”可以写成“5·4”但不能写为“54”；“1×”不能写成“1”。
（2） 有理数乘法运算律 a ） 交换律：a b b a ⨯=⨯ b ） 结合律：)c b (a c )b a (⨯⨯=⨯⨯ c ） 分配律：c a b a )c b (a ⨯+⨯=+⨯ ［注意］：在使用分配律时，乘时一定要带着符号乘。
如：4621221126112)2161(-=-=⨯-⨯=⨯- 2. 有理数的除法（1）有理数除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。
即a ÷b=a ×b1（b ≠0）。
有理数的除法可以化成有理数的乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则： a ） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
b ） 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
［注意］：除法是乘法的逆运算，在a ×b=c 中，如果已知乘数c 和一个因数b 求另一个因数a ，或已知乘数c 和一个因数a 求另一个因数b 的运算都是除法。
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有理数的混合运算——简便运算技巧（1）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
有理数的混合运算——简便运算技巧（1）
“算对与算巧”
求10099321+++++ 的和，从左到右逐次相加似乎很安稳的事，其实这样算下来不仅工作量很大，而且运算的次数太多，出错的可能性也大，聪明的高斯没有这样做，他把这个算式头尾倒过来写成129899100+++++ 然后将两个式子的对应项相加得到100个101，101乘100再除以2便得到所求的和。
这样不但算得对，而且算得快，这是一个脍炙人口的故事，它告诉我们数学运算不仅要算对更要算巧。
二. 重点、难点：
有理数运算是代数中最基本的运算，若能根据题目特点灵活掌握运用一些技巧，不仅可提高运算速度和准确率，还可培养学生善于思考的好习惯，有利于思维能力的培养，现介绍几种有理数运算中的解题技巧。
三. 基础回顾：
（1）有理数的运算法则：
① 加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。
② 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
③ 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
0乘任何数都得0。
④ 除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。
0不能作除数。
⑤ 有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
（2）运算律：
① 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 。
② 加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）。
③ 乘法交换律：ab ＝ba 。
④ 乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）。
⑤乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。
（3）运算顺序及注意事项：
①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。
这样可以防止出错。
②对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。
同级运算从左到右依次运算。
有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。
③应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。
【典型例题】
一. 符号与括号
有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。
例1. 计算
分析：不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为1或为－1，如果按照将第一与第二项，第三与第四项，……，分别配对的方式计算，就能得到一系列的－1。
解：
下面需对n的奇偶性进行讨论：
当n为偶数时，上式是个（－1）的和，
即；
当n为奇数时，上式是个（－1）的和，再加上最后一项，所以有
说明：两种情况可以合并为：
二. 巧添辅助数
例2. 计算：
解：原式
三. 巧用整体
例3．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：
那么，购买每种物品各一件共需多少元？
解：由已知表格：购买1件，3件，4件，5件，6件共需1995元；所以购买2件，6件，8件，10件，12件共需2×1995元；又因为购买1件，5件，7件，9件，11件共需2984元；所以购买每种物品各一件共需
2×1995－2984＝1006（元）
说明：设购买物品i＝1，2，3，4，5
则，①
②
由 2×①－② 得
需要指出的是：我们无法计算每个，但我们能巧算出这个整体，整体思维常常会帮助我们算对，算快和算得巧妙。
四. 巧用凑整运算
例4. 计算：
解：原式=-+-+-（）（）20920082000000002
五. 巧用公式
例5. 计算：1121131199111002222+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪
解：原式=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭
⎪1121121131131110011100 =1232234398991009999100101100
××××××××
说明：平方差公式：a b a b a b 22-=+-()()
例6. 计算：
解：原式=+-+-+()()
782278782222787822222222
××
说明：立方差公式： ))((2233b ab a b a b a ++-=-
立方和公式： ))((2233b ab a b a b a +-+=+
完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+， 2222)(b ab a b a +-=-
六. 巧用拆项法
例7. （第六届“祖冲之杯”数学竞赛题）
计算 100
32114321132112111 ++++++++++++++＝________ 分析：直接计算难上加难。
应考虑运用拆项法消去部分项，从而使运算简单易行。
利用上面介绍的反序相加法，不难求得最后两项为，，而，同理，
，那么本题就不难解决了。
解：原式＝10100
299002202122621++++++ ＝)101
11001100199141313121211(2-+-++-+-+-
说明：形如1n n a （）+的分数，可以拆成1a （）11n n a
-+的形式。
例8.
解：应用关系式
来进行“拆项”。
原式
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 计算：
12345678910111219971998199920002001+--++--+---+++--+
2. 已知0为数轴的原点，A 、B 两点对应的数分别为1、2，设P 1为AB 的中点，P 2为AP 1的中点，…，P 100为P 99的中点，求P 1，P 2，P 3，…，P 100所对应的各数之和。
3. 计算：8.36
11315544322611-+-+-- （分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。
）
4. 求和
()()()()12131415916023242525926034343635936058595960++-+++++++++++++++++ （分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。
）
5. 计算：)2005
20041200420031431321211(2005⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯
【试题答案】
1. 解法1 ：
原式
=+--++--++--++++--+=--=-+()()()()()1234567891022121997199819992000200245002001
20002000
×解法2：
原式
2. 解：设对应的数为a i a i i i i
(),,,,110011212100≤≤=+=则 所以，a a a 1210021001001121121120010112+++-+⎛⎝
⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪+++⎛⎝ ⎫⎭⎪+- 3. 解：原式
4. 解：原式
=+++++++++++1213231424341602603605960()()() =
+++++=++++=+12223242592
12
1235912159592 ()×（）× 5. 解：原式 ＝)]2005
120041()2004120031()4131()312
1
()211[(2005-+-++-+-+-⨯ ＝)200511(2005-⨯
＝2005
20042005 ＝2004。