1-3 n 阶行列式的定义
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行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
线性代数1-3n阶行列式的定义
要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不一定为零
第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此
D(1)N(123 n)a11a22a33 ann a11a22a33 ann
结论 下三角行列式 上三角行列式 对角行列式
定理13 （可选内容） n阶行列式D|aij|的一般项可以记为
(1)N (i1i2in)N( a a j1 j2 jn) i1 j1 i2 j2 ain jn 其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
(1)N( j1 j2 jn)a1 j1a2 j2 anjn
பைடு நூலகம்
提问
a11 a12 a13 a14
对于四阶行列式
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
问
a41 a42 a43 a44
四阶行列式表示的代数和有多少项? 有4!24项
(1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项? 是 (1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项? 不是
例1 计算n阶下三角形行列式
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 D a31 a32 a33 0 an1 an2 an3 ann 的值 其中aii0(i1 2 n) 解 我们要求出展开式中非零的乘积项
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此
D(1)N(123 n)a11a22a33 ann a11a22a33 ann
结论 下三角行列式 上三角行列式 对角行列式
定理13 （可选内容） n阶行列式D|aij|的一般项可以记为
(1)N (i1i2in)N( a a j1 j2 jn) i1 j1 i2 j2 ain jn 其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
(1)N( j1 j2 jn)a1 j1a2 j2 anjn
பைடு நூலகம்
提问
a11 a12 a13 a14
对于四阶行列式
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
问
a41 a42 a43 a44
四阶行列式表示的代数和有多少项? 有4!24项
(1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项? 是 (1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项? 不是
例1 计算n阶下三角形行列式
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 D a31 a32 a33 0 an1 an2 an3 ann 的值 其中aii0(i1 2 n) 解 我们要求出展开式中非零的乘积项
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
1.3n阶行列式的定义及性质
一、n阶行列式的定义
为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列 式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
❖三阶行列式的结构一： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a a a 1p1 2 p2 3p3
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零 即
ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij)
或
a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij)
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a
❖三阶行列式的结构二：
为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一 步研究三阶行列式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律?
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则
6
AT 2
3
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列 式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
❖三阶行列式的结构一： (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 a a a 1p1 2 p2 3p3
(2)设n阶方阵A满足|A|≠0, 且A经过有限次初等行变换变 成行简化阶梯矩阵R, 则R=En.
❖性质7
行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代
数余子式乘积之和等于零 即
ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij)
或
a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij)
在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元
特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a
❖三阶行列式的结构二：
为了给出n阶行列式的第二种定义方式 我们再进一 步研究三阶行列式的结构
观察与想考 三阶行列式存在什么规律?
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
1 2 3 4
1 0 7 2
例
设
A
0
7
9 1
2 4
5
,
则
6
AT 2
3
9 2
1 4
1. 8
2
1
8
3
4 5 6 3
(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素; (2)A的第3列元素的余子式
行列式1-3
b11 b12 b13 ( p1 p2 p3 ) b21 b22 b23 ( 1) b1 p1 b2 p2 b3 p3 . b31 b32 b33
下面我们改写此和式的一般项 :
b1 p1 b2 p2 b3 p3 a p1 1a p2 2 a p3 3 ;
b1 p1 b2 p2 b3 p3 a p1 1a p2 2 a p3 3
( 1) ( p1 p2 p3 ) b1 p1 b2 p2 b3 p3 ( 1) ( p1 p2 p3 ) a1q1 a2q2 a3q3
( 1) ( q1q2q3 ) a1q1 a2q2 a3q3
很明显, 当 p1 p2 p3 取遍一切 3 元排列时, q1q2 q3 也取遍 一切 3 元排列:
§3
本节主要内容:
n 阶行列式
n 阶行列式的定义 行列式的转置
1. n 阶行列式的定义
我们先观察三阶行列式的特点 :
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a31 a32 a33 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
p1 p2 pn An
( 1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a2 p2 anpn
为 n 阶行列式, 简记为 | aij |n , 数 ai j 称为第 i 行第 j 列 的元素.
【评注】 (1) n 阶行列式 | aij |n 是一个数值, 在定义上它是 n ! 项 单项式的和, 其中一般项 a1 p1 a2 p2 anpn 的每个因子
a1n a2 n . ann
【解】
pn n :
下面我们改写此和式的一般项 :
b1 p1 b2 p2 b3 p3 a p1 1a p2 2 a p3 3 ;
b1 p1 b2 p2 b3 p3 a p1 1a p2 2 a p3 3
( 1) ( p1 p2 p3 ) b1 p1 b2 p2 b3 p3 ( 1) ( p1 p2 p3 ) a1q1 a2q2 a3q3
( 1) ( q1q2q3 ) a1q1 a2q2 a3q3
很明显, 当 p1 p2 p3 取遍一切 3 元排列时, q1q2 q3 也取遍 一切 3 元排列:
§3
本节主要内容:
n 阶行列式
n 阶行列式的定义 行列式的转置
1. n 阶行列式的定义
我们先观察三阶行列式的特点 :
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a31 a32 a33 a11a23 a32 a12 a21a33 a13 a22 a31
p1 p2 pn An
( 1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a2 p2 anpn
为 n 阶行列式, 简记为 | aij |n , 数 ai j 称为第 i 行第 j 列 的元素.
【评注】 (1) n 阶行列式 | aij |n 是一个数值, 在定义上它是 n ! 项 单项式的和, 其中一般项 a1 p1 a2 p2 anpn 的每个因子
a1n a2 n . ann
【解】
pn n :
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
09级第1章行列式n阶行列式
证
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
= (−1)τ (123) a11a22a33 +(−1)τ(132) a11a23a32
+(−1)
τ (213)
τ (312)
a12a21a33 +(−1)
τ (231)
τ (321)
a12a23a31
a13a22a31
+(−1)
τ(i1 i L in )+τ(j1 j L jn )
2 2
τ(i1i L in ) 奇->偶
2
τ(i1i L in ) 偶->奇
2
τ(j1 j L jn )
2
奇->偶 偶->奇
偶->偶 奇->奇
奇->奇 偶->偶
τ(j1 j L jn )
2
则 τ(i1 i 2 L in )+τ(j1 j 2 L jn )的奇偶性不改变，于是
= ( −1 )
τ ( 12Ln )
1 ⋅ 2L ⋅ n
= n!
例2
计算行列式 (1) 计算行列式
6
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1 2 3 4 D=
解
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
1 2 3 4 0 4 2 1 D= 0 0 5 6 0 0 0 8
= ( −1 )
τ ( 1234 )
1 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 8 = 160.
22
跳转到第一页
*证 证
由定理二
τ ( i1i2 Lin ) +τ ( j1 j2L jn )
D = ∑ ( −1 )
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
线性代数1-3n阶行列式的定义
响其值。
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
THANKS
感谢观看
线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
THANKS
感谢观看
线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
线性代数课件PPT第一章 行列式 S1_3 行列式定义
任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故 左端＝ a11 B =右端.
14
回顾： 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解： （分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12
1-3 n阶行列式的定义
解
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
1-3n阶行列式的定义
不 全 为 〇
解
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn 。
由于当i>j时，aij=0，所以一般项不为零的条件是 各元素的下标满足 pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1 ， p2 ≥ 2 ，…
pn ≥ n 。 因此，有p1=1，p2=2…pn=n。
所以不为零的项只有a11a22…ann。
a11 a21b D2 = a n 1b n − 1 =
19
a1nb1− n a2 n b 2− n ann a1 p1 a2 p2 anpn b(
1+ 2++ n ) − ( p1 + p2 ++ pn )
2016/12/24
p1 p2 pn
∑
( −1 )
t ( p1 p2 pn )
排列的逆序数
3.每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个 元素的下标排列。
例如
a13a21a32 列标排列的逆序数
t ( 312 ) = 1 + 1 = 2 t ( 132 ) = 1 + 0 = 1
偶排列， +正号 奇排列，－负号
2016/12/24
a11a23a32 列标排列的逆序数
3
n阶行列式的定义
a1 p1 a2 p2 anpn = D1
20
2016/12/24
小结
1. n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的n个元素的乘积，正负号由下标排 列的逆序数决定。 2.会使用行列式的定义求解特殊行列式，掌 握几种特殊行列式的计算方法，如上下三角行列 式，对角行列式等。
21
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1.1n阶行列式1.1.1二阶、三阶行列式n阶行列式的概念来源
p1 p2 p3 pn 取和。
此行列式可简记 (aij) 或 D 。aij n
记一阶行列式 a11 ；a11
例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于 主对角线上n个元素的乘积。
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann ；
0 0 ann
例1.6 负三角形行列式
j1 j2 jn
(1) (i1i2 in )
； (1) a a a ( j1 j2 jn )
i1 j1
i2 j2
in jn
j1 j2 jn
D aij n (1) ( j1 j2 i jn )
(1) a a a (i1i2 in )
i1 j1
i2 j2
in jn
i1i2 in
定义: 称
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
为三阶行列式。
例如
304 112 210 0 0 411 41 2 3 21 0 . 10
例如:自然数1，2，3的排列共有六种：
123，132，213，231，312，321．
为了方便起见，今后把自然数 1,2,视为n n个不
同的元素的代表。用 表示这np个i 不同的元素中
的一个
，(且pi 1,2时,, n于) 是 i j 便是pi p j
的一个p1排p2列p3 。 pn
1,2, n
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
此行列式可简记 (aij) 或 D 。aij n
记一阶行列式 a11 ；a11
例1.5 三角形行列式（或对角形行列式）等于 主对角线上n个元素的乘积。
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a11a22 ann ；
0 0 ann
例1.6 负三角形行列式
j1 j2 jn
(1) (i1i2 in )
； (1) a a a ( j1 j2 jn )
i1 j1
i2 j2
in jn
j1 j2 jn
D aij n (1) ( j1 j2 i jn )
(1) a a a (i1i2 in )
i1 j1
i2 j2
in jn
i1i2 in
定义: 称
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
为三阶行列式。
例如
304 112 210 0 0 411 41 2 3 21 0 . 10
例如:自然数1，2，3的排列共有六种：
123，132，213，231，312，321．
为了方便起见，今后把自然数 1,2,视为n n个不
同的元素的代表。用 表示这np个i 不同的元素中
的一个
，(且pi 1,2时,, n于) 是 i j 便是pi p j
的一个p1排p2列p3 。 pn
1,2, n
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
线性代数 第一章 第一节 n阶行列式的定义
2 当 k为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2
行列式的定义是什么
行列式的定义是什么行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。
行列式的定义是什么?以下是店铺为大家整理的关于行列式的定义，欢迎大家前来阅读!行列式的定义一个矩阵A的行列式有一个乍看之下很奇怪的定义：其中s g n(σ)是排列σ的符号差。
对于比较小的矩阵，比如说二阶和三阶的矩阵，行列式表达如下，有些像是主对角线(左上至右下)元素的乘积减去副对角线(右上至左下)元素的乘积(见图中红线和蓝线)。
2阶： 3阶：。
但对于阶数较大的矩阵，行列式有 n!项，并不是这样的形式。
二维向量组的行列式行列式是向量形成的平行四边形的面积设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。
两个向量 X和X’的行列式是：经计算可知，行列式表示的是向量 X和X ’形成的平行四边形的有向面积。
并有如下性质：行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。
如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是：平行四边形面积为正当且仅当向量X和X’逆时针排列(如图)。
行列式是一个双线性映射。
三维向量组的行列式设E是一个三维的有向欧几里得空间。
三个三维向量的行列式是：这时的行列式表示 X、X’和X’’三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。
同样的，可以观察到如下性质：行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。
这时行列式是一个“三线性映射”，也就是说，对第一个向量有，对第二、第三个向量也是如此。
基底选择在以上的行列式中，我们不加选择地将向量在所谓的正交基下分解，实际上在不同的基底之下，行列式的值并不相同。
这并不是说平行六面体的体积不唯一。
恰恰相反，基底变换可以看作线性映射对基的作用，而不同基底下的行列式代表了基底变换对“体积”的影响。
可以证明，对于所有同定向的标准正交基底，向量组的行列式的值是一样的。
也就是说，如果我们选择的基底都是“单位长度”，并且两两正交，那么在这样的基底之下，平行六面体的体积是唯一的。
微积分II课件——1-3 n阶行列式的定义
λ1
λ2
n(n−1)
= (− 1) 2 λ1λ2 λn .
λn
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 λi = ai,n−i+1, 则依行列式定义
λ1
λ2
=
a2,n−1
a1n
λn
an1
( ) =
−1
t
[n(n−1) 21]
a1na2,n−1
an1
n(n−1)
= (− 1) 2 λ1λ2 λn .
2、 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,正负号由下标排
列的逆序数决定.
思考题
x1 1 2
已知 f (x) = 1 x 1 − 1
32 x 1 1 1 2x 1 求 x3 的系数.
思考题解答
解 含 x3 的项有两项,即 x1 1 2
f (x)= 1 x 1 −1
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
例如 a a a 13 21 32 列标排列的逆序数为
t(312) = 1 + 1 = 2, 偶排列 + 正号
a a a 11 23 32
列标排列的逆序数为
t(132) = 1 + 0 = 1, 奇排列 − 负号,
a11 a12 a13
(1+2++n)−( p1+ p2 ++ pn )
npn
p1 p2 pn
由于 p1 + p2 + + pn = 1 + 2 + + n,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以
∑( ) D2 =
线性代数课件-1.3n 阶行列式的定义
anpn
p1 p2 pn
an1 an2
ann
简记作det(aij) ，
1. n 阶行列式共有 n! 项；
其中aij 为行列式D的(i, j)元
2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积；
3. 每一项可以写成 a a 1 p1 2 p2 anpn（正负号除外），其中p1p2…pn
是1, 2, …, n 的某个排列；
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
a41 0 0 0
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4
a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
(1) a a a t( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和。 p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律，下面将行列式推广到一般 的情形。
二、n 阶行列式的定义
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
a pnn
( 1) t ( i1i2
i1i2 in j1 j2 jn
in )t ( j1 j2
a a jn ) i1 j1 i2 j2
ain jn
思考题：|-1|=-1成立吗？
答：符号|-1|可以有两种理解： ✓若理解成绝对值，则|-1|=+1 ； ✓若理解成一阶行列式，则|-1|=-1。
初数数学中的行列式公式详解
初数数学中的行列式公式详解行列式是初等数学中非常重要的概念之一，它在线性代数、线性方程组以及向量空间等领域具有广泛的应用。
本文将详细解析行列式的定义、性质和相关公式，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的标量量，它的值为一个数。
对于一个n阶方阵A=[a[i,j]]，它的行列式记为|A|或det(A)。
行列式的计算需要按照一定的规则进行，下面将介绍常用的行列式计算方法。
二、行列式的计算方法1. 一阶行列式对于一个1×1的行列式，例如A=[a]，它的值就是a。
2. 二阶行列式对于一个2×2的行列式，例如A=[a11,a12;a21,a22]，它的值可以通过交叉相乘再相减的方法进行计算：|A|=a11·a22-a12·a21。
3. 三阶及以上的行列式对于三阶及以上的方阵，可以使用拉普拉斯展开或三角形法则进行计算。
拉普拉斯展开的思想是：把一个n阶行列式按照某一行（或列）的元素展开，然后递归地计算这些元素的(n-1)阶行列式，直到计算到二阶行列式为止。
三、行列式的性质行列式具有多种重要的性质，下面将介绍几条常用的性质。
1. 行列互换性质行列式的值不变，当互换它的任意两行（或两列）时。
2. 行列式倍乘性质行列式中的一行（或一列）的每个元素都乘上同一个数k，行列式的值也同样乘以k。
3. 行列式的展开性质行列式可以按任意一行（或一列）展开，得到的结果相同。
4. 行列式的转置性质一个方阵与其转置阵的行列式相等。
5. 行列式的相似性质相似矩阵的行列式相等。
四、常见的行列式公式1. 三阶行列式的展开式对于一个三阶行列式A=[a[i,j]]，可以使用拉普拉斯展开进行计算：|A|=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32。
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
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行列式
第三节
n阶行列式的定义
一、概念的引入 二、n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a 21 a n1
0 a 22
0 0
a11 0 0
0
0 0
a 22 0
a11a22 ann .
a n 2 a nn
a nn
0 0 a n1
0 0 0 a 2Biblioteka , n 1 a1n 0 0
( 1)
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
这里
1 2 n
p1 p2 pn
t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2
n
表示对所有n级排列求和。 p p p
例5
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
（1）三阶行列式是由 3!项构成的代数和． （2）每一项都是位于不同行不同列的三个元素 的乘积．
（3）每一项的正负号是这样决定的： 当行指标按自 然顺序排好后，列指标排列的逆序数来决定符号， 若列指标排列是偶排列时，该项取正号； 若列指标排列是奇排列时，该项取负号． 例如 a13 a 21a 32 列标排列的逆序数为
它是n!项的代数和， 代数和的每一项取自(1)的 不同行不同列的n个元素的乘积
a1 p1 a2 p2 anp n
(2)
每一项(2)都按下列规则带有符号： 当 p1 p2 pn 是偶排列时，(2)带有正号， 当 p1 p2 pn是奇排列时，
(2)带有负号， 这一定义可写成 a11 a12 a1n
1
t 4321
1 2 3 4 24.
这个例子也恰说明对角线法则对4阶以上的行列式 计算不适用了。 一般地
0 0 a n1 0 0 0 a 2 , n 1 a1n 0 0
n ( n 1 ) 2
( 1)
a1n a 2 ,n1 a n1
三、小结
1. n 阶行列式的定义 n阶行列式是n!项的代数和, 其中每一项都是位 于不同行、不同列 n 个元素的乘积 a1 p1 a2 p2 anpn，
a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 1t ( p p p ) .
1 2 n
2. 几个特殊行列式
a11 0 0 a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
a11
a12 a22
a1,n1 a 2 , n 1
a1n a2 n a n 1, n ann
例6 解
计算上三角行列式 分析
0 0 0
0 a n 1, n 1 0 0
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 an1 pn1 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn2 n 2, p2 2, p1 1,
t 312 2, 偶排列 正号
a11a 23 a 32
t 132 1,
列标排列的逆序数为
奇排列 负号,
一般地
a11
a12
a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
p1 p2 p3
t ( p1 p2 p3 ) ( 1 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3 .
解
分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
若 p1 4 a1 p1 0,
从而这个项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a14a 23a 32a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
n ( n 1 ) 2
a1n a 2 ,n1 a n1
四、作业
P.26. 3
所以可能不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 0 ann
同理可得下三角行列式
a11
0
0
a21 a22 0 a a a . 11 22 nn an1 an 2 ann
二、n阶行列式的定义
定义 设有 n 2 个数，排成n行n列的数表 a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
用符号
(1)
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
表示由(1)决定的n阶行列式，
第三节
n阶行列式的定义
一、概念的引入 二、n阶行列式的定义
一、概念的引入
三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a 21 a n1
0 a 22
0 0
a11 0 0
0
0 0
a 22 0
a11a22 ann .
a n 2 a nn
a nn
0 0 a n1
0 0 0 a 2Biblioteka , n 1 a1n 0 0
( 1)
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
这里
1 2 n
p1 p2 pn
t p p p 1 a1 p a2 p anp
1 2 n 1 2
n
表示对所有n级排列求和。 p p p
例5
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
（1）三阶行列式是由 3!项构成的代数和． （2）每一项都是位于不同行不同列的三个元素 的乘积．
（3）每一项的正负号是这样决定的： 当行指标按自 然顺序排好后，列指标排列的逆序数来决定符号， 若列指标排列是偶排列时，该项取正号； 若列指标排列是奇排列时，该项取负号． 例如 a13 a 21a 32 列标排列的逆序数为
它是n!项的代数和， 代数和的每一项取自(1)的 不同行不同列的n个元素的乘积
a1 p1 a2 p2 anp n
(2)
每一项(2)都按下列规则带有符号： 当 p1 p2 pn 是偶排列时，(2)带有正号， 当 p1 p2 pn是奇排列时，
(2)带有负号， 这一定义可写成 a11 a12 a1n
1
t 4321
1 2 3 4 24.
这个例子也恰说明对角线法则对4阶以上的行列式 计算不适用了。 一般地
0 0 a n1 0 0 0 a 2 , n 1 a1n 0 0
n ( n 1 ) 2
( 1)
a1n a 2 ,n1 a n1
三、小结
1. n 阶行列式的定义 n阶行列式是n!项的代数和, 其中每一项都是位 于不同行、不同列 n 个元素的乘积 a1 p1 a2 p2 anpn，
a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 1t ( p p p ) .
1 2 n
2. 几个特殊行列式
a11 0 0 a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
a11
a12 a22
a1,n1 a 2 , n 1
a1n a2 n a n 1, n ann
例6 解
计算上三角行列式 分析
0 0 0
0 a n 1, n 1 0 0
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 an1 pn1 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn2 n 2, p2 2, p1 1,
t 312 2, 偶排列 正号
a11a 23 a 32
t 132 1,
列标排列的逆序数为
奇排列 负号,
一般地
a11
a12
a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
p1 p2 p3
t ( p1 p2 p3 ) ( 1 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3 .
解
分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
若 p1 4 a1 p1 0,
从而这个项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a14a 23a 32a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
n ( n 1 ) 2
a1n a 2 ,n1 a n1
四、作业
P.26. 3
所以可能不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n 1t 12n a a a 11 22 nn a11a22 ann . 0 0 ann
同理可得下三角行列式
a11
0
0
a21 a22 0 a a a . 11 22 nn an1 an 2 ann
二、n阶行列式的定义
定义 设有 n 2 个数，排成n行n列的数表 a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
用符号
(1)
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
表示由(1)决定的n阶行列式，