重难点一本过高一数学 (人教版必修3)：第四章 线性回归方程(附答案)

重点列表：

：

1．变量间的相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是确定性的函数关系，另一类是________；与函数关系不同，相关关系是一种________关系，带有随机性． 2．两个变量的线性相关

(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有

____________，这条直线叫________．

(2)从散点图上看，如果点分布在从左下角到右上角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________；如果点分布在从左上角到右下角的区域内，那么两个变量的这种相关关系称为________.

※ (3)相关系数

r ＝

∑∑∑===----n

j j

n i i

n

i i

i

y y

x x y y x x 1

2

1

2

1

)()()

)((，当r ＞0时，表示两个变量正相关；当r ＜0时，表示两个

变量负相关．r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近________，表示两个变量的线性相关性越弱．通常当r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．

3．回归直线方程

(1)通过求Q ＝

∑=--n

i i i

x y

1

2)(βα的最小值而得出回归直线的方法，即使得样本数据的点到回

归直线的距离的平方和最小的方法叫做____________．该式取最小值时的α，β的值即分别为，.

(2)两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方

程为a x b y

ˆˆˆ+=，则 ⎪⎪

⎪⎩⎪⎪⎪

⎨⎧

-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,

)())((ˆ1

2

21

121x b y a

x

n x

y x n y

x x x y y x x b n

i i

n

i i

i n i i n

i i i

【答案】

1．相关关系 非确定性

2．(1)线性相关关系 回归直线 (2)正相关 负相关 (3)1 0 3．最小二乘法

重点1：相关关系的判断 【要点解读】

在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．对于散点图，可以做出如下判断：

(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．

(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系．

(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

【考向1】确定性关系与随机关系

【例题】下列变量之间的关系不是

．．相关关系的是( )

A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac

B．光照时间和果树亩产量

C．降雪量和交通事故发生率

D．每亩施用肥料量和粮食亩产量

解：由函数关系和相关关系的定义可知，A中Δ＝b2－4ac，因为a，c是已知常数，b为自变量，所以给定一个b的值，就有唯一确定的Δ与之对应，所以Δ与b之间是一种确定的关系，是函数关系．B，C，D中两个变量之间的关系都是相关关系．故选A.

【评析】要注意函数关系与相关关系的区别：函数关系是确定性关系，而相关关系是随机的、不确定的．

重点2：线性回归方程有关概念

【要点解读】

样本中心点一定在回归直线上

【考向1】样本中心点

【例题】为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的试验数据中，变量x的平均值都等于s，变量y的平均值都等于t，那么下列说法正确的是( )

A．直线l1和l2一定有公共点(s，t)

B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t)

C．必有直线l1∥l2

D ．直线l 1和l 2必定重合

【评析】回归方程一定通过样本点的中心(，y )；中心相同的样本点的回归方程不一定相同． 【考向2】线性回归直线的理解

【例题】由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到回归直线方程a x b y

ˆˆˆ+=，那么下面说法错误．．

的是( ) A ．直线a x b y

ˆˆˆ+=必经过点(，y ) B ．直线a x b y

ˆˆˆ+=至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点 C ．直线a x b y

ˆˆˆ+=的斜率＝∑∑==--n

i i

n

i i

i x

n x

y x n y

x 1

2

21

D ．直线a x b y ˆˆˆ+=和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差∑=+-n

i i

i a x b y 1

2)]ˆˆ([是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的

重点3：散点图 【要点解读】

根据散点图可以直观判断正负相关以及数据所对应的函数模型 【考向1】正相关与负相关

【例题】(1)对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )