插值问题的提出
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2. 有的函数虽然有表达式,但比较复杂, 计算函数 f ( x ) 很 不经济且不利于在计算机上进行计算.
这两种情况下, 都希望用简单的函数 P( x) 来逼近原函数 f ( x).
一、插值问题的数学提法
插值：已知[a, b]上的函数y= f (x)在n+1个互异点处的函数值:
x f(x) x0 f0 x1 f1 x2 f2 xn fn
虽然线性方程组(1)推出的插值多项式存在且唯一,
但通过解线性方程组(1)求插值多项式却不是好方法.
Will be continuous!
1. 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x); 即插值多项式的常用构造方法有哪些？ 3. 用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计； 4. 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 f(xபைடு நூலகம்。
二、插值多项式的存在唯一性
设函数 y f ( x) 在区间 [a, b] 上的代数插值多项式为
--------(1)
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1 x0
2 n x0 x0 2 1 n 1
xi x j 1 x1 x x ( x j xi ) 0 V i 0 j i 1
n 1
n
1 xn
2 n xn xn
0.9 0.8 0.7
0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4
0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1
00 0 0
0
0.5
0.5
1
1
1.5
1.5 1.5
2 2
2
2.5 2.5
2.5
3 3
3
3.5 3.5
x x x x
3.5
对于被插函数 f ( x) 和插值函数 P( x)
在节点 xi 处的函数值必然相等
但在节点外 P( x) 的值可能就会偏离 f ( x)
因此 P( x) 近似代替 f ( x) 必然存在着误差
整体误差的大小反映了插值函数的好坏. 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般 插值函数都使用代数多项式或有理函数.
本章讨论的就是(代数)多项式插值.
对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：
求简单函数 P (x)，使得
P( xi ) fi
i 0,1,, n
(*)
f(x) P (x)
计算 f (x)可通过计算 P (x)来近似代替。如下图所示。 y
f0 x0
f1 x1
f2 x2
fi
xi
fi+1
xi+1
fn-1 xn-1
fn
xn
x
这就是插值问题, (*)式为插值条件,
称函数P( x)为函数f ( x)的 插值函数
如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2,, n, 称为插值节点
区间 [a, b]称为插值区间 如函数y sin x, 若给定 [0, ]上5个等分点
其插值函数的图象如图
sinxµ IJ å Öµ
1
sinxµ IJ å Öµ
y yy
1 0.9 0.8 0.7
第二章
函数近似计算的插值法
§
2.1 插值问题的提出
插值问题的提出
1. 在工程实际问题中,某些变量之间的函数关系是存在的, 但通常不能用式子表示,只能由实验或观测得到y f ( x ) 在一系列离散点 xi 上的函数值 f i .
希望通过这些数据 ( xi , fi ) 计算函数y f ( x)在其他 指定点处的近似值或获取其他信息.
P n ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
且满足
Pn ( xi ) fi
i 0,1,2,, n,
其中ai是n+1个待定的系数.
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1, a2 ,, an满足线性方程组
2 n a a x a x a x f 0 1 0 2 0 n 0 0 2 n a0 a1x1 a2 x1 an x1 f1 a a x a x2 a xn f 0 1 n 2 n n n n
由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解 定理1. 若插值节点 xi x j (i j ),
Pn ( xi ) fi i 0,1,2,, n
则满足插值条件
--------(2) --------(3)
的次数≤ n 的插值多项式 2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n 存在且唯一.
这两种情况下, 都希望用简单的函数 P( x) 来逼近原函数 f ( x).
一、插值问题的数学提法
插值：已知[a, b]上的函数y= f (x)在n+1个互异点处的函数值:
x f(x) x0 f0 x1 f1 x2 f2 xn fn
虽然线性方程组(1)推出的插值多项式存在且唯一,
但通过解线性方程组(1)求插值多项式却不是好方法.
Will be continuous!
1. 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x); 即插值多项式的常用构造方法有哪些？ 3. 用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计； 4. 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 f(xபைடு நூலகம்。
二、插值多项式的存在唯一性
设函数 y f ( x) 在区间 [a, b] 上的代数插值多项式为
--------(1)
上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式
1 x0
2 n x0 x0 2 1 n 1
xi x j 1 x1 x x ( x j xi ) 0 V i 0 j i 1
n 1
n
1 xn
2 n xn xn
0.9 0.8 0.7
0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4
0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1
00 0 0
0
0.5
0.5
1
1
1.5
1.5 1.5
2 2
2
2.5 2.5
2.5
3 3
3
3.5 3.5
x x x x
3.5
对于被插函数 f ( x) 和插值函数 P( x)
在节点 xi 处的函数值必然相等
但在节点外 P( x) 的值可能就会偏离 f ( x)
因此 P( x) 近似代替 f ( x) 必然存在着误差
整体误差的大小反映了插值函数的好坏. 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般 插值函数都使用代数多项式或有理函数.
本章讨论的就是(代数)多项式插值.
对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题：
求简单函数 P (x)，使得
P( xi ) fi
i 0,1,, n
(*)
f(x) P (x)
计算 f (x)可通过计算 P (x)来近似代替。如下图所示。 y
f0 x0
f1 x1
f2 x2
fi
xi
fi+1
xi+1
fn-1 xn-1
fn
xn
x
这就是插值问题, (*)式为插值条件,
称函数P( x)为函数f ( x)的 插值函数
如果P( x)为多项式函数 , 则称之为插值多项式
点 xi , i 0,1,2,, n, 称为插值节点
区间 [a, b]称为插值区间 如函数y sin x, 若给定 [0, ]上5个等分点
其插值函数的图象如图
sinxµ IJ å Öµ
1
sinxµ IJ å Öµ
y yy
1 0.9 0.8 0.7
第二章
函数近似计算的插值法
§
2.1 插值问题的提出
插值问题的提出
1. 在工程实际问题中,某些变量之间的函数关系是存在的, 但通常不能用式子表示,只能由实验或观测得到y f ( x ) 在一系列离散点 xi 上的函数值 f i .
希望通过这些数据 ( xi , fi ) 计算函数y f ( x)在其他 指定点处的近似值或获取其他信息.
P n ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
且满足
Pn ( xi ) fi
i 0,1,2,, n,
其中ai是n+1个待定的系数.
即多项式Pn ( x)的系数a0 , a1, a2 ,, an满足线性方程组
2 n a a x a x a x f 0 1 0 2 0 n 0 0 2 n a0 a1x1 a2 x1 an x1 f1 a a x a x2 a xn f 0 1 n 2 n n n n
由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解 定理1. 若插值节点 xi x j (i j ),
Pn ( xi ) fi i 0,1,2,, n
则满足插值条件
--------(2) --------(3)
的次数≤ n 的插值多项式 2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n 存在且唯一.