电路分析基础-第3章
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电路分析基础第3章
R11im1+ R12 im2 = us11
R21im1 + R22im2 = uS22
R11=R1+R2 R22=R2+R3 R12=R21=R2 自阻
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY 自阻总是正
R1 i1
a
R3
网孔1所有电阻之和
网孔2所有电阻之和
互阻 网孔1、2的公共电阻
i2 R2 + im1 + uS 1 uS2 – – b
us + 2
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
R1
L1
L2
R2
us -
+
L
1
i2
4 3
i4
R2
5
2
i5
C
1 3
4
5
R1
i2 i4 i5
有向图
返回
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§3-2 KCL和KVL的独立方程数
1、KCL的独立方程数
2
1 1 4 3 5 2 3
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电路分析基础
1
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第三章 电阻电路的一般分析
重点：
支路电流法
网孔电流法 回路电流法 节点电压法
YANGTZE NORMAL UNIVERSITY
目的：找出求解线性电路的一般分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。 (可推广应用于其他类型电路的稳态分析中） 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 基础： 电路的连接关系—KCL，KVL定律 元件特性(约束)(对电阻电路，即欧姆定律) 相互独 立
电路分析基础 第三章_正弦稳态电路分析3
ω0 =
1 LC 或
1 ωOC
时发生并联谐
fo =
1 2π LC
并联谐振电路的特点为： （1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性。 （2）谐振时，因阻抗最大，在激励电流一定时， 电压的有效值 最大。 (3) 电感和电容上电流相等，其电流为总电流的 Q倍。
26
因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联 谐振电路的电流及各电压相位关系如图4-21所示。 电感和电容上电流相 等，其电流为总电流的Q倍， 即：
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
2
电阻的平均功率 1 T 1 T PR = ∫ p ( t ) dt = ∫ (U R I R − U R I R cos 2ω t )dt T 0 T 0 U2 2 = U RIR = I RR = R 可见对于电阻元件，平均功率的计算公式 与直流电路相似。 2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
30
图 4-24三相电源
对称三相电动势相量和为零，即： • • • E 1 + E 2 + E 3 =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间 的代数和为零，即： e1+e2+e3=0
31
4.8.2 三相电源的连接 将三相电源按一 定方式连接之后， 再向负载供电，通 常采用星形连接方 式，如图4-25所示。 低压配电系统中， 采用三根相线和一 根中线输电，称为 三相四线制；高压 输电工程中，由三 根相线组成输电， 称为三相三线制。 每相绕组始端与
iC uC图Leabharlann 4-12 电容元件的瞬时功率7
从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电 容元件只与外界交换能量而不消耗能量。 电容的平均功率也为零，即：
1 LC 或
1 ωOC
时发生并联谐
fo =
1 2π LC
并联谐振电路的特点为： （1）XL=XC，|Z|=R，电路阻抗为纯电阻性。 （2）谐振时，因阻抗最大，在激励电流一定时， 电压的有效值 最大。 (3) 电感和电容上电流相等，其电流为总电流的 Q倍。
26
因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联 谐振电路的电流及各电压相位关系如图4-21所示。 电感和电容上电流相 等，其电流为总电流的Q倍， 即：
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
2
电阻的平均功率 1 T 1 T PR = ∫ p ( t ) dt = ∫ (U R I R − U R I R cos 2ω t )dt T 0 T 0 U2 2 = U RIR = I RR = R 可见对于电阻元件，平均功率的计算公式 与直流电路相似。 2. 电感元件的功率 在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为
30
图 4-24三相电源
对称三相电动势相量和为零，即： • • • E 1 + E 2 + E 3 =0 由波形图可知，三相电动势对称时任一瞬间 的代数和为零，即： e1+e2+e3=0
31
4.8.2 三相电源的连接 将三相电源按一 定方式连接之后， 再向负载供电，通 常采用星形连接方 式，如图4-25所示。 低压配电系统中， 采用三根相线和一 根中线输电，称为 三相四线制；高压 输电工程中，由三 根相线组成输电， 称为三相三线制。 每相绕组始端与
iC uC图Leabharlann 4-12 电容元件的瞬时功率7
从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电 容元件只与外界交换能量而不消耗能量。 电容的平均功率也为零，即：
电路分析基础第3章
于一个电流源is和多个正电阻组成的电路，有： |ik/is|≤1 式中ik为任一支路电流。
作业: 3-5
3-6
3-11
3-15
2、网络函数 网络函数：对单一激励的线性时不变电路指定响应与激励之比定义为
网络函数。记为：H
H=响应/激励
策动点函数：响应与激励在同一端口，称为策动点函数 转移函数：响应与激励不在同一端口，称为转移函数
由于响应和激励都可以是电流或电压，可以在同一端口或在不同端口，所以网络 函数可分为六种情况。如表3-1所示（P91）。 响应 策动点函数 电流 电压 电流 转移函数 电压 电流 电压 激励 电压 电流 电压 电流 电流 电压 名称及专用符号 策动点电导Gi 策动点电阻Ri 转移电导GT 转移电阻RT 转移电流比Hi 转移电压比Hu
R2
R1 u ' o is1 Ro R1 R 2 Ro
is1
R1
R0
由图(b)，运用分流公式后，可求得：
is 2
R2
R2 u ' ' o is 2 Ro R1 R 2 Ro
R1
R0
由图(c)，运用分压公式可得：
R1 R 2 u ' ' ' o us R1 R 2 Ro
即：由两个激励所产生的响应，表示为每一激励单独作用时所产生的响应之和
上述特性，在电路理论中称之为“叠加性”。同理，该电路中的其它
电流或电压对us和is的响应，也都存在类似的线性关系。
例3—3：利用叠加定理求解图中电路的电压。
is 2
is1
R1
R 2 R0
us
解：绘出每一独立源单独作用时的电路图，如图(a)，(b)，(c)所示。 由图(a) ，运用分流公式可求得：
电路分析基础课件第3章线性网络的一般分析方法
线性网络的等效分析方法
线性网络的等效分析方法主要包括： 节点电压法、网孔电流法、戴维南定 理、诺顿定理等。
网孔电流法是通过求解网孔电流来分 析电路的方法，适用于具有多个网孔 和多个支路的复杂电路。
节点电压法是通过求解节点电压来分 析电路的方法，适用于具有多个独立 节点和多个支路的复杂电路。
戴维南定理和诺顿定理都是将复杂电 路等效为简单电路的方法，通过应用 这些定理，可以简化电路的计算和分 析过程。
稳定性判据
通过计算网络的极点和零点来判断网络的稳定性 。
3
不稳定性的处理
通过引入反馈或改变网络结构来改善网络的稳定 性。
05
线性网络的一般分析方法
线性网络的一般分析步骤
01
02
03
04
建立电路模型
根据实际电路，抽象出电路元 件和电路结构，建立电路模型
。
列出电路方程
根据基尔霍夫定律，列出线性 网络的节点电压方程和回路电
表示。
线性方程
描述电路元件电压和电流关系的数 学方程，其形式为y=kx+b，其中 k为斜率，b为截距。
线性元件
其电压和电流关系可以用线性方程 表示的元件，如电阻、电容、电感 等。
线性网络的基本元件
01
02
03
电阻元件
表示为欧姆定律，即电压 与电流成正比，其阻值是 常数。
电容元件
表示为电容的定义，即电 压与电荷成正比，其容抗 是常数。
03
线性网络的系统分析
系统的概念
系统是由若干相互关联、相互作 用的元素组成的集合，具有特定
功能和特性。
在电路中，系统通常由电阻、电 容、电感等元件组成，用于实现
某种特定的功能。
电路基础第三章知识点总结
电路基础第三章知识点总结第三章节的内容主要涉及电路的分析和维持，包括各种电路的分析方法、戴维南定理、诺尔顿定理、极限定理、最大功率传输定理以及电路维持的相关知识。
通过本章的学习，我们可以更好地理解电路的工作原理和分析方法，为我们今后的学习和工作打下扎实的基础。
本篇总结将主要围绕本章的知识点展开，总结出电路的分析方法和维持知识点，让读者对电路有更全面的了解。
一、电路分析方法1.节点分析法节点分析法是一种电路分析方法，通过寻找电路中的节点，应用基尔霍夫电流定律（KCL）进行节点电压的分析。
通过节点电压的计算，可以找到各个支路中的电流，从而进一步分析电路的特性。
节点分析法的手续步骤为：（1）选取一个节点作为参考点，为了简化计算，一般选为电压源的负极或接地点；（2）对不确定电压的节点进行标记；（3）应用基尔霍夫电流定律，列出各节点处的电流之和为零；（4）利用基尔霍夫电流定律和欧姆定律，列出各节点处的电压。
2.支路分析法支路分析法是一种电路分析方法，通过寻找电路中的支路，应用基尔霍夫电压定律（KVL）进行支路电流和电压的分析。
通过支路电流和电压的计算，可以找到各个支路中的电流和电压，从而进一步分析电路的特性。
支路分析法的手续步骤为：（1）选择一个支路作为参考方向，可以沿着电流的方向或者反方向；（2）按照已选的方向，利用基尔霍夫电压定律，列出各支路的电流和电压；（3）应用欧姆定律，列出支路中的电流和电压。
3.戴维南定理戴维南定理是电路理论中的一项重要理论，它指出了任意线性电路可以用一个恒电压源和一个串联电流源的组合来替代。
通过戴维南定理，可以将一个复杂的电路简化为一个等效的电压源和串联电流源的组合，从而方便进一步的分析和计算。
4.诺尔顿定理诺尔顿定理是电路理论中的另一项重要理论，它指出了任意线性电路可以用一个恒电流源和一个并联电阻的组合来替代。
通过诺尔顿定理，可以将一个复杂的电路简化为一个等效的电流源和并联电阻的组合，从而方便进一步的分析和计算。
电路分析基础电路等效及电路定理
2
《电路分析基础》 问题提出： 扩音器系统
第3章 电路等效及电路定理
RO
a
uS
b
＋ －
a b
a
a
Ri
Ri
b
b
等效问题？
功率匹配问题？
3
《电路分析基础》
第3章 电路等效及电路定理
3.1 齐次定理与叠加定理
引例：求图示线性电路中的电流I2。
解: 设I4=1A
I2
I1 I3
I4
uBD=22V
I3=1.1A
《电路分析基础》
第3章 电路等效及电路定理
3.2 电路等效的一般概念 3.3 无源单口网络的等效电路
课程小结：
• 深刻理解无源单口网络、含源单口网络、电路等效概念。
• 熟练掌握等效变换法，重点掌握含受控源单口网络的等效
（输入电阻的求解）；
• 能够正确绘制运用等效法分析电路过程中的各种变换电路。 课堂练习： P98页 P3-8 课后习题： P99页 P3-9（分别用外施电源法和伏安法）
23
《电路分析基础》
第3章 电路等效及电路定理
（二）含受控源单口网络的等效电路
例1： 含受控电压源的单口网络如图所示，该受控源的电压受端口电
压的控制。试求单口网络的输入电阻，并画出该电路的等效电路。
解:
i1
单口的输入电阻是指该无源单口的端口电压与端口电流之比。
外施电压源法，即外施端口电压u，设 法求出端口电流i：
第3章 电路等效及电路定理
u12 u31 R12 R31
R31 R12 R23
R1 R3
u31 i 3 R 3 i 1R1
R2
i1 i2 i3 0
电路分析基础 第3章
和支路伏安关系列写电路方程，从而对 电路进行分析的方法，称之为网孔回路
b
us 4
im 2
R6 i6
i2
im 3
R3
d
c
法或网孔电流法，简称网孔法。
i3
us3
i1 im1
依据：(1)KVL (2)支路VAR
i2 i3 i4 i5 i6
im 2 im 3 im1 im 3 im1 im 2 im 3 im 2
i3 im1 im 2
i4 im3 im 2
17
网孔法的应用
（含受控源）
基本步骤： 1）先将受控源暂当独立电源列方程； 2）将控制量用网孔电流表示； 3）整理、化简方程，并求解。
注意：若需进行等效变换，切记：控制支路保留。
18
例3 图示电路，用网孔法求各支路电流，并求受控源5u所吸收的功率P 。
支路电流法
i1 3 A, i2 1A, i3 5 A, i4 1A
8
例3
解：
图示电路，写出求解支路电流的独立方程组。
i1 i2 i3 0
R1i1 R2 i2 u s
R2 i2 ( R3 R4 )i3 u1
u1 R1 i1 (辅助方程 )
2
i1
u
2im 2 im 3 u s 6
2im1 im 2 4im 3 u
3V
im 1
i6
us
2u
im 2
1
i1 2 A i 2 A im1 im 2 2u 2 u 2(im1 im 3 ) i3 1A i4 1A i5 3 A 2 A, im 2 2 A, im 3 1A, u 2V , u s 1V i6 4 A
b
us 4
im 2
R6 i6
i2
im 3
R3
d
c
法或网孔电流法，简称网孔法。
i3
us3
i1 im1
依据：(1)KVL (2)支路VAR
i2 i3 i4 i5 i6
im 2 im 3 im1 im 3 im1 im 2 im 3 im 2
i3 im1 im 2
i4 im3 im 2
17
网孔法的应用
（含受控源）
基本步骤： 1）先将受控源暂当独立电源列方程； 2）将控制量用网孔电流表示； 3）整理、化简方程，并求解。
注意：若需进行等效变换，切记：控制支路保留。
18
例3 图示电路，用网孔法求各支路电流，并求受控源5u所吸收的功率P 。
支路电流法
i1 3 A, i2 1A, i3 5 A, i4 1A
8
例3
解：
图示电路，写出求解支路电流的独立方程组。
i1 i2 i3 0
R1i1 R2 i2 u s
R2 i2 ( R3 R4 )i3 u1
u1 R1 i1 (辅助方程 )
2
i1
u
2im 2 im 3 u s 6
2im1 im 2 4im 3 u
3V
im 1
i6
us
2u
im 2
1
i1 2 A i 2 A im1 im 2 2u 2 u 2(im1 im 3 ) i3 1A i4 1A i5 3 A 2 A, im 2 2 A, im 3 1A, u 2V , u s 1V i6 4 A
电路分析基础第三章(李瀚荪)ppt课件
US US US 5V 2.5V 7.5V
编辑版pppt
9
例2 求电压Us 。
I1 6
+ 10 I1 –
+ 10V
–
+
4
Us 4A
–
解: (1) 10V电压源单独作用：
I1' 6
+ 10 I1'–
+
10V –
+
+
4 U1' Us'
–
–
(2) 4A电流源单独作用：
I1'' 6
+10 I1''–
编辑版pppt
7
例1：电路如图，已知 E =10V、IS=1A ，R1=10 ,
R2= R3= 5 ，试用叠加原理求流过 R2的电流 I2和理
想电流源 IS 两端的电压 US。
R2
R2
R2
+
I2
++
I2'
+
E –
R1
R3 IS
–US –
R1
R3
US'
–
I2
R1
R3
IS
+ U– S
(a)
解：由图( b)
+ RL UL
–
iL
ห้องสมุดไป่ตู้
R2
us
R2
R3
RL
R1
R2 (R3 RL ) R2 R3 RL
R2us
R2 R3
R
2
R
＋
L
R1
R
2
R1
R
＋
3
电路分析基础章 (3)
量，三者是相互关联的，我们只要已知其中之一，就可得知另 外两个。在我国和其他大多数国家都规定电力系统供电的标准 频率是50Hz
一般交流电机、照明负载及家用电器等都使用工频交流电。 但在其他不同的领域内则需使用各种不同的频率，以满足工程
18 例3.2.1
解 因为f=50Hz，故有
T 1 1 0.02 s f 50
5
如果电路中含有一个或几个频率相同并按正弦规律变化的 交流电源，就称这种电路为正弦交流电路。本章主要以单相正 弦交流电路为例来阐述正弦交流电的一些基本概念、定
6
3.1.2 由于正弦交流电压或电流的大小和方向都在随时间作正弦
规律变化，它的实际方向经常都在变动，如果不规定电压、电 流的参考方向就很难用一个表达式来确切地表达出任何时刻电 压、电流的大小及其实际方向。参考方向的规定和前述 直流电路中一样，电流的参考方向可用箭标或双下标表示，电 压的参考方向可用“+”、“-”极性来表示。例如图3.1.1(a) 为一个正弦电流的波形图，图3.1.1(b)为假定电压、电流的参
初相角的单位可以用弧度或度来表示，初相角ψ的大小与 计时起点的选择有关。另外，初相角通常在|ψ|≤π的主值范
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦量
之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和流过 的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ
25
例3.2.3已知正弦电压u=100sin(628t-30°)V，求该正弦 电压的幅值Um、有效值U、角频率ω、周期T和初相角ψ。
解 Um=100V， U U m 70.7V 2
一般交流电机、照明负载及家用电器等都使用工频交流电。 但在其他不同的领域内则需使用各种不同的频率，以满足工程
18 例3.2.1
解 因为f=50Hz，故有
T 1 1 0.02 s f 50
5
如果电路中含有一个或几个频率相同并按正弦规律变化的 交流电源，就称这种电路为正弦交流电路。本章主要以单相正 弦交流电路为例来阐述正弦交流电的一些基本概念、定
6
3.1.2 由于正弦交流电压或电流的大小和方向都在随时间作正弦
规律变化，它的实际方向经常都在变动，如果不规定电压、电 流的参考方向就很难用一个表达式来确切地表达出任何时刻电 压、电流的大小及其实际方向。参考方向的规定和前述 直流电路中一样，电流的参考方向可用箭标或双下标表示，电 压的参考方向可用“+”、“-”极性来表示。例如图3.1.1(a) 为一个正弦电流的波形图，图3.1.1(b)为假定电压、电流的参
初相角的单位可以用弧度或度来表示，初相角ψ的大小与 计时起点的选择有关。另外，初相角通常在|ψ|≤π的主值范
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦量
之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和流过 的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ
25
例3.2.3已知正弦电压u=100sin(628t-30°)V，求该正弦 电压的幅值Um、有效值U、角频率ω、周期T和初相角ψ。
解 Um=100V， U U m 70.7V 2
电路分析基础第三章 电路的等效变换
1 R1 ⋅ 1 R2 R1 R2 Req = = 1 R1 + 1 R2 R1 + R2
1 R1 R2 i i1 = i= 1 R1 + 1 R2 R1 + R2
− 1 R2 − R1 i i2 = i= = − ( i − i1 ) 1 R1 + 1 R2 R1 + R2
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3. 电阻的串并联（混联） 要求：弄清楚串、并联的概念。
上 页 上页
对外等效！
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2. 理想电流源的串联并联
并联
注意参考方向
i s = i s 1 + i s 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + i sn =
∑i
sk
iS º 等效电路 iS1
串联
º
iS2
iSn º
电路 等效
iS
º
iS1 i
iS2
i s = i s1 = i s 2
电流不等的独立电 流源串联是“病态电 路”，违背KCL。
n
du i=C 图(b) dt 比较上两式可知，并联等效电容等于并联电容 n 之和，即 C = ∑ Ck
k =1
值得指出的是：电容并联时并未考虑各并联电容的 初始电压，如各电容的初始电压相等，则并联等效电 容的初始电压与各电容的初始电压相同； 如各电容的uk(0)不等，则在并联的瞬间，各电容上 的电荷将重新分配，使各电容的初始电压相等，等效 电容的初始电压为该初始电压。
电压源与支路的串、并联等效
+ i +
uS1 _
R1
+
uS2 _
R2
uS _ R + _ i + u _
电路分析基础(邱关源 罗先觉 著) 第三章汇总
2A
解
i2
2A i1
1 3A ＋ 3 i4 U
2 +
I
i3
4V
－
–
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3.6 结点电压法
1.结点电压法
以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的 方法。适用于结点较少的电路。 基本思想：
选结点电压为未知量，则KVL自动满足，无 需列写KVL方程。各支路电流、电压可视为结点 电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地 得到各支路电压、电流。
（2）网孔电流法的特点： 仅适用于平面电路。
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3.5 回路电流法
1.回路电流法
以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未 知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面 和非平面电路。 列写的方程
回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方
程数为： b (n 1)
注意 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。
l bl b (n 1)
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基本回路(单连支回路) 基本回路具有独占的一条连支
6
5
6
45
2
1
3
2
1
3
2
1
3
结论
支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1 结点、支路和
基本回路关系
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例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。
1 45
解 选网孔为独立回路：
表明
RS +
i1
R1
i2 R2 ①无受控源的线性网络Rjk=Rkj ,
R5 i
系数矩阵为对称阵。
②当网孔电流均取顺（或逆）
电路分析基础第五版第3章
–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U
b
增补方程：U=7I3
解得： I1=-28.3A I2=-46.7A I3=-18.3A
注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
§3-4 网孔电流法
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+ 70V
1 6A + U
2
I3 7
解得：
–
-
I1=2A I2=6A I3=8A
b 设电流源 电压
a
解2
I1 7 I2 11
共2b个独立方程。
e
图
有向图
1. KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
1
i1i4i6 0
2 i1i2i30 3 i2i5i6 0
4 i3i4i50
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2. KVL的独立方程数
2
1
2
对网孔列KVL方程：
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
bt n1
b lbb tb(n 1 )
②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通，
b
增补方程：U=7I3
解得： I1=-28.3A I2=-46.7A I3=-18.3A
注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
① 先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
§3-4 网孔电流法
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
a
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11
+ 70V
1 6A + U
2
I3 7
解得：
–
-
I1=2A I2=6A I3=8A
b 设电流源 电压
a
解2
I1 7 I2 11
共2b个独立方程。
e
图
有向图
1. KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
1
i1i4i6 0
2 i1i2i30 3 i2i5i6 0
4 i3i4i50
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个节点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2. KVL的独立方程数
2
1
2
对网孔列KVL方程：
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
bt n1
b lbb tb(n 1 )
②回路(Loop)
L是连通图的一个子图，构成一 条闭合路径，并满足：(1)连通，
西安石油大学电路分析基础第3章
4Ω
根据分流定理得：I 2
6 6 4 A 3 6
根据叠加定理，电流为： I I1 I 2 3 A
使用节点法或网孔法验证结果
例：电路如图所示，使用叠加定理求电流 i ,电压 u。
2Ω
i
+ 10V -
1Ω + 2i -
5A
+
u
-
解：运用叠加定理
2Ω i’ + 10V 2i’ 1Ω + u’ +
要求熟练掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。
3.1 齐次定理和叠加定理
线性电路是指由线性元件、线性受控源及独立源组成的电路。 线性性质是线性电路的基本性质，它包括齐次性(或比例性)和叠 加性(或可加性)。 齐次定理和叠加定理就是线性电路具有齐次和叠加特性的体现。
1.齐次定理 （1）基本内容： 对于具有唯一解的线性电路，当只有一个激 励源（独立电压源或独立电流源）作用时，其响应 （电路任意处的电压或电流）与激励成正比。
用时引起的响应（电路中各处的电流、电压）等于各 个激励源单独作用时（其它激励源的值置零）所引起 的响应之和。
（2）例题
3Ω u 6Ω 1A (a)两激励源共同作用时
求6Ω电阻上的电压u 可以使用节点法，网孔法
18V
3Ω u 6Ω 1A (a)两激励源共同作用时
先对电路(a),利用节点法列方程得
18V
电路理论中，单口网络等效的概念及其重要。 利用它可以简化电路分析。
i u
(a)
（1）电路等效的定义
设有两个二端电路（单口网络）N1和N2，
N1 i
如图(a)(b)所示，若N1与N2的外部端口处(u，
i)具有相同的电压电流关系(VCR），则称 N1与N2相互等效，而不管N1与N2内部的结
电路分析基础第三章
第一篇：总论和电阻电路的分析
第一章 集总电路中电压、电流的约束关系 第二章 网孔分析和节点分析 第三章 叠加方法与网络函数 第四章 分解方法及单口网络
第三章 叠加方法与网络函数
§ 3.1 § 3.2 § 3.3 § 3.4
线性电路的比例性 网络函数 叠加原理 叠加方法与功率计算 数模转换器的基本原理
§3-1 线性电路的比例性 网络函数 线性电路－是指由线性元件、线性受控源
以及独立源组成的电路。 电压源的电压、电流源的电流是电路的
输入，对电路起激励作用。其他元件的
电压、电流是激励引起的响应。
+
+ -
+ -
线性关系
一、线性电路的特性
若某线性电阻电路有唯一解，则该电路
中任一支路电流和电压均可表示为电路中所
若Us=12V，则有： Uo=(4+2+1)V=7V
若输入为110，则有：
U o U 'o U 'o' U 'o'' Us Us 1 Us 1 0 3 3 2 3 2 12 1 12 1 12 0 1 0 ( 4 2)V 6V 3 2 3 2 3
-2t
-4t -1 -4t-1 10 5t+10
不能确定
不能确定 不能确定 不能确定 -4 -2t-4
t+9(答案) 不能确定
第三章 叠加方法与网络函数
§ 3.1 § 3.2 § 3.3 § 3.4 线性电路的比例性 网络函数 叠加原理 叠加方法与功率计算 数模转换器的基本原理
§3-3 叠加方法与功率计算
i = auS
式中a为常数，它只与电路结构和元件参数有 关， 而与激励源无关。
第一章 集总电路中电压、电流的约束关系 第二章 网孔分析和节点分析 第三章 叠加方法与网络函数 第四章 分解方法及单口网络
第三章 叠加方法与网络函数
§ 3.1 § 3.2 § 3.3 § 3.4
线性电路的比例性 网络函数 叠加原理 叠加方法与功率计算 数模转换器的基本原理
§3-1 线性电路的比例性 网络函数 线性电路－是指由线性元件、线性受控源
以及独立源组成的电路。 电压源的电压、电流源的电流是电路的
输入，对电路起激励作用。其他元件的
电压、电流是激励引起的响应。
+
+ -
+ -
线性关系
一、线性电路的特性
若某线性电阻电路有唯一解，则该电路
中任一支路电流和电压均可表示为电路中所
若Us=12V，则有： Uo=(4+2+1)V=7V
若输入为110，则有：
U o U 'o U 'o' U 'o'' Us Us 1 Us 1 0 3 3 2 3 2 12 1 12 1 12 0 1 0 ( 4 2)V 6V 3 2 3 2 3
-2t
-4t -1 -4t-1 10 5t+10
不能确定
不能确定 不能确定 不能确定 -4 -2t-4
t+9(答案) 不能确定
第三章 叠加方法与网络函数
§ 3.1 § 3.2 § 3.3 § 3.4 线性电路的比例性 网络函数 叠加原理 叠加方法与功率计算 数模转换器的基本原理
§3-3 叠加方法与功率计算
i = auS
式中a为常数，它只与电路结构和元件参数有 关， 而与激励源无关。
《电路分析基础(史健芳)》第三章习题详细解答
4
P15A 70 15 1050W
图 3-10b
U 20V
计算题 10（ b）解用图
P1 10 10 100W P2 10 20 200W P3 20 60 1200W P10V PU P15A P1 P2 P3
4
（ b）解： 16I 6 10 U 3U 15
25 U 10I 3U 15
得到： U 30V ， I 4A P3U 12 90 1080W P6A 6 80 480W P1 10 10 100W P2 8 4 32W P3 12 4 48W P10 6 60 360W P15 2 30 60W P3 U P6A P1 P2 P3 P10 P15
制量的补充方程 D．若采用回路电流法， 对列写的方程进行化简， 在最终的表达式中互阻始终是相等的，
即： Rij =R ji
3.2 填空题
1. 对于具有 n 个结点 b 条支路的电路，可列出
n-1
个独立的 KCL 方程，可
列出 b-n+1
个独立的 KVL方程。
2. 具有两个引出端钮的电路称为
二端（单口） 网络，其内部包含电源的称为
5．对于回路电流法中的电流源，下列叙述中， （ D ）是错误的。 A ．对于有伴电流源，可利用电源等效变换转化为电压源后，再列写回路电流方程
B．对于无伴电流源，可选择合适的回路，使只有一个回路电流流过该无伴电流源，则 该回路电流为已知，可少列一个方程
C．对于无伴电流源，可添加该无伴电流源两端电压这一新的未知量，只需多列一个无 伴电流源电流与回路电流之间关系的辅助方程即可
11. 电路如图 x3.11 所示，设法分别只用一个方程求得
解： (6 2) U A 2 6 20 6
P15A 70 15 1050W
图 3-10b
U 20V
计算题 10（ b）解用图
P1 10 10 100W P2 10 20 200W P3 20 60 1200W P10V PU P15A P1 P2 P3
4
（ b）解： 16I 6 10 U 3U 15
25 U 10I 3U 15
得到： U 30V ， I 4A P3U 12 90 1080W P6A 6 80 480W P1 10 10 100W P2 8 4 32W P3 12 4 48W P10 6 60 360W P15 2 30 60W P3 U P6A P1 P2 P3 P10 P15
制量的补充方程 D．若采用回路电流法， 对列写的方程进行化简， 在最终的表达式中互阻始终是相等的，
即： Rij =R ji
3.2 填空题
1. 对于具有 n 个结点 b 条支路的电路，可列出
n-1
个独立的 KCL 方程，可
列出 b-n+1
个独立的 KVL方程。
2. 具有两个引出端钮的电路称为
二端（单口） 网络，其内部包含电源的称为
5．对于回路电流法中的电流源，下列叙述中， （ D ）是错误的。 A ．对于有伴电流源，可利用电源等效变换转化为电压源后，再列写回路电流方程
B．对于无伴电流源，可选择合适的回路，使只有一个回路电流流过该无伴电流源，则 该回路电流为已知，可少列一个方程
C．对于无伴电流源，可添加该无伴电流源两端电压这一新的未知量，只需多列一个无 伴电流源电流与回路电流之间关系的辅助方程即可
11. 电路如图 x3.11 所示，设法分别只用一个方程求得
解： (6 2) U A 2 6 20 6
《电路分析基础》_第3章-3分解
●
i’ - + ●
+
12V 3Ω 1Ω
ri’
+ u’ +
-
●
（a）
解: 用叠加的方法分别求解两电 源的电流、电压。 对于图（b）可得网孔方程
（3+1）i'' + 3i''2 = -2i'' i''2 = 6A
解得 i''= -3A
i- +
●
12V 3Ω
1Ω
+ u +
6A
ri
-
●
所以 u''=(3Ω)●(-3A+6A)=9V
电流源单独作用：
uS -
iS
u
''
is (R
//
R )
V
●
●+ i2 R2 u2
-
故电流源功率为：
两种算法结果是一致的。
P'is = －iS u2''= －9×36 =－324W 注意：叠加原理计算电源提
两电源提供的总功率为：
供的功率仅适用于无受控源 的电路，且必须将电源分为
P's = P'uS+ P'is =－324－72 =－396W电压源和电流源两组作用。
由以上两个例子可以看出，电阻的功率计算不能用叠加原 理求得，而不含受控源的电路电源对电路提供的总功率可以用 各独立源单独作用提供的功率的代数和求得。
这是因为电阻的功率计算与电路变量的平方有关，与电 路变量之间不是线性关系，故一般来说其功率不服从叠加原 理，只有在一些特殊情况下才是例外。
电路分析基础第三章讲解
IC
CUC
UC 1
UC XC
安
C
徽 职
11
X C C 2fC
业 技
XC称为容抗, 单位为Ω。
术 电流和电压之间的相位关系为正交，即电流超前电压
学
院
ui uC
iC
2
i
u
2
0
t
第三章 正弦交流电路
2.电压与电流的相量关系
安
uC UCm sin(t u )
URIR T
(T
0)
URIR
P
URIR
I
2 R
R
U
2 R
R
第三章 正弦交流电路
p u,i p
安 徽 职
P
Pm=UmIm
P=
1 2
Pm=UI
业
0
t
技
i
术
u
学
电阻元件的功率曲线图
院
例： 一只功率为100W，额定电压为220V 的电烙铁, 接在380V的交流电源上, 问此时它接受的功率为多少？ 若接到110V的交流电源上, 它的功率又为多少？
. jt
第三章 正弦交流电路
正弦量的有效值用复数的模表示，
正弦量的初相用复数的幅角来表示。
安 徽 职
该方法为相量表示法。 表示为：
业
.
技 术
I Ie j(ti ) I i
学
院 注：正弦量与相量一一对应。
２、相量图
相量图就是把正弦量的相量画在复平面上。
第三章 正弦交流电路
学
院
同频率正弦量的几种相位关系：
电路分析基础 第三章
【 例3-3】如图3-5所示，已知 R1 R2 R3 1 ，
R4 2 ，R5 1 ，IS 2.8 A ，US 1V ，用回路电 流法求各支路电流。
图3-5 例3-3图
【解】 ① 选取的回路及其电流方向如图3-5所示，根据KVL，列ib和ic的回
路电压方程为
(R1 R2 )ia (R1 R2 R3 R4 )ib (R2 R4 )ic 0
判断回路是否为独立回路的方法是：在选取一个回路时，如果该
回路至少包含一条其他已选过的回路中所没有的支路，则该回路必然 是独立回路；平面电路中的网孔必是独立回路。
在应用上，回路电流法比网孔电流法更广泛和灵活。对于含有电 流源支路的电路，应用回路电流法可以使求解方程的数目减少。但对 于不含电流源的电路，回路电流法与网孔电流法的方程数相等，不可 少列方程，否则无法求解。
图3-6 节点电位法示意图
设流入节点的电流取正号，流出节点的电流取负号，则各节点的KCL方程为
节点a 节点b
i1 i3 i4 iS1 0
i2 i3 i5 iS2 0
（3-4）
接下页
接上页
根据电压与电位的关系有
uab va vb
ubc vb vc
根据欧姆定律有
uac va vc
④ 联立各节点电位方程，求取各节点电位，进而 求得各支路电流及其他电路变量。
【例3-4】试列出图3-7所示电路的节点电位方程。
图3-7 例3-4图
【解】该电路有a，b，c，d四个节点，可列出三个节点电位方程。选择d点为电位
参考节点，则c点电位为 ，而且支路电阻R2阻值为有限值，电流源电阻无穷大，所 以节点b，c间的电导为零。因此，只需再列出a，b两个节点的电位方程即可。
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就是线性电感元件在任何时刻的磁场能量表达式。
第 3 章 动态电路的时域分析
在时间 t1 ~ t 2 内，线性电感元件吸收的磁场能量为
当电流 i 增加时， W L >0 ，元件吸收能量;当电流 i 减小时， W L <0 ，元件释放能量。可见电感元件没有将吸收 的能量消耗掉，而是以磁场能量的形式储存在磁场中。所以电 感元件是一种储能元件，同时，它也不会释放出多于它吸收或 储存的能量，因此它又是一种无源元件。
3. 1 电容元件和电感元件
3. 1. 1 电容元件 电容元件是各种实际电容器或模拟其它实际部件电容效应
的理想化模型，用以反映电路中电场能量储存这一物理现象。
第 3 章 动态电路的时域分析
在工程技术中，电容器被广泛应用于电气和电子中。例如， 在无线电和电视系统中用电容器来调谐信号，利用电容器储存 电荷来点亮照相机的闪光灯，通过电容器增加泵和制 冷电动机的启动转矩或提高电力系统的运行效率等。
第 3 章 动态电路的时域分析
3. 2. 2 换路定则 用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确
定解答中的积分常数。电容电压 u C ( 0 + )和电感电流 i L ( 0 + )称为初始条件。
对于线性电容，在任意时刻 t 时，它的 和 iC 分别为电容的电压和电流。令 t 0 =0 - ， t =0 + ，则得
第 3 章 动态电路的时域分析
电容器的结构非常简单，由被绝缘体隔开的两个导体构成。 电容器的基本形式之一为平行板电容器，如图 3.1. 1 所示。 它由间隔以不同介质(如玻璃、空气、油、云母、塑料、陶瓷 或其它合适的绝缘材料)的两块金属板组成。将直流电接到两 极板时(见图 3.1. 2 )，电池的正电势将极板 A 中的电子吸 引出来，同时，相同数量的电子堆积在 B 极板上。这使得 A 极板上的电子减少，即带正电荷; B 极板上的电子增多，即 带负电荷。处于这种状态的电容器称为已充电的电容器。如果 在此期间转移的电荷为 q ，则电容器所带电荷量为 q 。
从式( 3. 2. 2 )可以看出，如果在换路前后，即 0 ~0 + 的瞬间，电流 i C ( t )为有限值，则式(3. 2. 2 )中 右方的积分项为零，此时电容上的电压就不发生跃变，即
第 3 章 动态电路的时域分析
对于一个在 t =0 - 电压为 u C ( 0 - ) = U 0 的电容， 在换路瞬间不发生跃变的情况下，有u C ( 0 + ) = u C ( 0 - ) = U 0 ，可见在换路的瞬间，电容可视为一个电压值为 U 0 的电压源。同理，对于一个在 t =0 - 不带电荷的电容，在换 路瞬间不发生跃变的情况下，有 u C ( 0 + ) =u C ( 0 - ) =0 ，在换路瞬间电容相当于短路。
第 3 章 动态电路的时域分析
图 3.2. 1 开关闭合后， u C 、 u R 和 i C 经历从一个稳态到另 一个稳态的过渡过程
第 3 章 动态电路的时域分析
上述电路结构或参数变化引起的电路变化统称为“换路”， 并认为换路是在 t =0 时刻进行的。为了叙述方便，把换路 前的最终时刻记为 t =0 - ，把换路后的最初时刻记为 t =0 + ，换路经历时间为 0 - ~0 + 。
许多实际电路中，除电源和电阻元件外，还常常包含电感、 电容等动态元件。这类原件的 VCR 是微分或积分关系，除元 件的参数外，某一时刻的电压取决于这一时刻电流的微 分值或积分值，即取决于电流的动态特性，称这类元件为动态 元件。含有动态元件的电路称为动态电路。本章将在时域中分 析动态电路
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
如图 3.2. 1 ( a )所示的一阶电路，开关合上前电容未 充电，电路处于一种稳态( i C =0A ，u C =0V )，合上开关 达到新的稳态后，有 i C =0A ， u C = U s 。从前一个稳态 到后一个稳态的过程中，电容电压不能从零跃变到 U s ，而 要经历一个过渡过程，如图 3.2. 1 ( b )所示。
这里要特别注意的是，电容元件的伏安关系的两种形式， 即式(3. 1. 2 )和式( 3. 1. 4 )是在关联参考方向下得出来 的。若是采用非关联参考方向，则应在公式前加上负号。
第 3 章 动态电路的时域分析
在电压和电流取关联参考方向下，线性电容元件吸收的功 率为
在 - ∞ ~ t 时间段，电容元件吸收的能量为
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
3. 1 电容元件与电感元件 3. 2 动态电路的基本概念 3. 3 一阶电路的零输入响应、
零状态响应和全响应 3. 4 阶跃函数与阶跃响应 习题3
第 3 章 动态电路的时域分析
前面两章讨论了电阻电路的基本概念、基本定理、基本分 析方法和电路定理。一个显著特点是，求解电阻电路的方程是 一组代数方程，这就意味着电阻电路在任意时刻的响应 只与同一时刻的激励有关，与过去的激励无关。这就是电阻电 路的“无记忆性”。
第 3 章 动态电路的时域分析
3. 1. 2 电感元件 电感元件是电感线圈的理想化模型，它反映电路中磁场能
量储存的物理现象。 将金属导线绕在骨架上就构成了一个实际的电感器，常称
为电感线圈。如图 3.1. 5 所示，电流 i 产生的磁通 Φ L与 N 匝线圈交链，与线圈交链的总磁通称为磁通链 Ψ L = NΦ L 。由于磁通 Φ L 和磁通链 Ψ L都是由线圈本身的电流 i 产生的，所以称为自感磁通和自感磁通链。 Φ L和 Ψ L的方 向与 i 的参考方向成右手螺旋关系。
本章分析动态电路过渡过程的方法:根据 KVL 、 KCL 和 支路的 VCR 建立描述电路的方程，这类方程是以时间为自变 量的线性微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求 变量(电压或电流)，此方法称为时域分析法(简称时域法，也 称经典分析法)。在求微分方程时需要初始条件，为此，下面 先讨论换路定则。
第 3 章 动态电路的时域分析
线性电感元件的图形符号如图 3. 1. 6 ( a )所示，一 般在图中不必也难以画出 Ψ L ( Φ L )的参考方向，但规定 Ψ L 与电流 i 的参考方向满足右手螺旋关系。线性电感元件 的磁通链 Ψ L与电流 i 的关系满足:
第 3 章 动态电路的时域分析
式中， L 为电感元件的参数，称为自感系数或电感。在国际 单位制中，磁通和磁通链的单位是韦伯( Wb )，简称韦;电感 的单位是亨利(H )，简称亨，电感的常用单位还有毫亨( mH ， 1mH=10-3 H )和微亨(μ H ， 1 μ H=10-6H )。通常，电路图 中的符号 L 既表示电感元件，也表示元件的参数，如图 3.1. 6 ( a )所示。
第 3 章 动态电路的时域分析
当电路中仅含一个动态元件时，描述电路的方程是一阶微 分方程，因而这种电路被称为一阶电路。当电路中含有一个电 感元件和一个电容元件，或者两个独立的电容元件或电 感元件时，描述其方程是二阶微分方程，这类电路称为二阶电 路。一阶电路是最简单、工程上又最常见的动态电路。
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
线性电感元件的韦安特性是 Ψ L - i 平面上通过原点的 一条直线，如图 3.1. 6 ( b )所示。
图 3.1. 6 电感元件及其韦安关系
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
在电压和电流取关联参考方向下，线性电感元件吸收的功 率为
如果在 t =- ∞时， i ( - ∞) =0 ，电感元件无磁场能量。 因此从 - ∞到 t 的时间段内电感吸收的磁场能量为
第 3 章 动态电路的时域分析
式(3. 1. 2 )还可以写成积分的形式:
在许多实际应用中，取 t 0 =0 ，则式( 3. 1. 3 )变为
第 3 章 动态电路的时域分析
由式( 3. 1. 2 )可知，电容元件的电压 u 和电流 i 具 有动态关系，因此，电容元件是一个动态元件。从式(3. 1. 4 )可知，电容电压除与 0~ t 的电流值有关外，还与 u ( 0 )值有关，因此电容元件是一种有“记忆”的原件。与之 相比，电阻元件的电压仅与该瞬间的电流值有关，是无记忆的 元件。
第 3 章 动态电路的时域分析
电容元件吸收的能量以电场能量的形式储存在元件的电场 中。可以认为在 t =- ∞时，u ( - ∞) =0 ，其电场能量也 为零。这样，电容元件在任何时刻 t 储存的电场能量 W C ( t )将等于它吸收的能量，于是有
式(3. 1. 6 )表明，电容元件储存的能量取决于该时刻的电 压，只要电压不为零，无论其方向或符号如何，就有能量储存 在电容中。
第 3 章 动态电路的时域分析
图 3.1. 4 电容元件及其库伏特性曲线
第 3 章 动态电路的时域分析
如果电容元件的电流和电压为关联参考方向，则电容元件 的电压和电流关系( VCR )为
式(3. 1. 2 )表明电流与电压的变化率成正比。电容在直流 情况下其两端电压恒定，相当于开路，或者说电容具有隔断直 流的作用。
第 3 章 动态电路的时域分析
当磁通链Ψ L随时间变化时，在线圈的端子间产生感应电压。 如果感应电压 u 的参考方向与 Ψ L成右手螺旋关系(即从端 子 A 沿导线到端子 B 的方向与 Ψ L 成右手螺旋关系)，则根 据电磁感应定律，感应电压为
第 3 章 动态电路的时域分析
图 3.1. 5 电感线圈
第 3 章 动态电路的时域分析
3. 2 动态电路的基本概念
3. 2. 1 动态电路的特点 在前面的章节中讨论了电阻电路的分析和计算，描述这种
电路的数学模型是代数方程，电路中任一时刻的响应仅与此时 刻的激励值有关，而与激励的过去值无关。当电路中含有动态 元件电感和电容时，由于这类元件的电压和电流的约束关系是 微分关系或积分关系，所以描述电路的数学模型是以电压、电 流为变量的微分方程。用微分方程描述的电路称为动态电路。 这种电路的任一时刻响应不仅与此时刻的激励值有关，还与激 励的过去值有关。
第 3 章 动态电路的时域分析
在时间 t1 ~ t 2 内，线性电感元件吸收的磁场能量为
当电流 i 增加时， W L >0 ，元件吸收能量;当电流 i 减小时， W L <0 ，元件释放能量。可见电感元件没有将吸收 的能量消耗掉，而是以磁场能量的形式储存在磁场中。所以电 感元件是一种储能元件，同时，它也不会释放出多于它吸收或 储存的能量，因此它又是一种无源元件。
3. 1 电容元件和电感元件
3. 1. 1 电容元件 电容元件是各种实际电容器或模拟其它实际部件电容效应
的理想化模型，用以反映电路中电场能量储存这一物理现象。
第 3 章 动态电路的时域分析
在工程技术中，电容器被广泛应用于电气和电子中。例如， 在无线电和电视系统中用电容器来调谐信号，利用电容器储存 电荷来点亮照相机的闪光灯，通过电容器增加泵和制 冷电动机的启动转矩或提高电力系统的运行效率等。
第 3 章 动态电路的时域分析
3. 2. 2 换路定则 用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确
定解答中的积分常数。电容电压 u C ( 0 + )和电感电流 i L ( 0 + )称为初始条件。
对于线性电容，在任意时刻 t 时，它的 和 iC 分别为电容的电压和电流。令 t 0 =0 - ， t =0 + ，则得
第 3 章 动态电路的时域分析
电容器的结构非常简单，由被绝缘体隔开的两个导体构成。 电容器的基本形式之一为平行板电容器，如图 3.1. 1 所示。 它由间隔以不同介质(如玻璃、空气、油、云母、塑料、陶瓷 或其它合适的绝缘材料)的两块金属板组成。将直流电接到两 极板时(见图 3.1. 2 )，电池的正电势将极板 A 中的电子吸 引出来，同时，相同数量的电子堆积在 B 极板上。这使得 A 极板上的电子减少，即带正电荷; B 极板上的电子增多，即 带负电荷。处于这种状态的电容器称为已充电的电容器。如果 在此期间转移的电荷为 q ，则电容器所带电荷量为 q 。
从式( 3. 2. 2 )可以看出，如果在换路前后，即 0 ~0 + 的瞬间，电流 i C ( t )为有限值，则式(3. 2. 2 )中 右方的积分项为零，此时电容上的电压就不发生跃变，即
第 3 章 动态电路的时域分析
对于一个在 t =0 - 电压为 u C ( 0 - ) = U 0 的电容， 在换路瞬间不发生跃变的情况下，有u C ( 0 + ) = u C ( 0 - ) = U 0 ，可见在换路的瞬间，电容可视为一个电压值为 U 0 的电压源。同理，对于一个在 t =0 - 不带电荷的电容，在换 路瞬间不发生跃变的情况下，有 u C ( 0 + ) =u C ( 0 - ) =0 ，在换路瞬间电容相当于短路。
第 3 章 动态电路的时域分析
图 3.2. 1 开关闭合后， u C 、 u R 和 i C 经历从一个稳态到另 一个稳态的过渡过程
第 3 章 动态电路的时域分析
上述电路结构或参数变化引起的电路变化统称为“换路”， 并认为换路是在 t =0 时刻进行的。为了叙述方便，把换路 前的最终时刻记为 t =0 - ，把换路后的最初时刻记为 t =0 + ，换路经历时间为 0 - ~0 + 。
许多实际电路中，除电源和电阻元件外，还常常包含电感、 电容等动态元件。这类原件的 VCR 是微分或积分关系，除元 件的参数外，某一时刻的电压取决于这一时刻电流的微 分值或积分值，即取决于电流的动态特性，称这类元件为动态 元件。含有动态元件的电路称为动态电路。本章将在时域中分 析动态电路
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
如图 3.2. 1 ( a )所示的一阶电路，开关合上前电容未 充电，电路处于一种稳态( i C =0A ，u C =0V )，合上开关 达到新的稳态后，有 i C =0A ， u C = U s 。从前一个稳态 到后一个稳态的过程中，电容电压不能从零跃变到 U s ，而 要经历一个过渡过程，如图 3.2. 1 ( b )所示。
这里要特别注意的是，电容元件的伏安关系的两种形式， 即式(3. 1. 2 )和式( 3. 1. 4 )是在关联参考方向下得出来 的。若是采用非关联参考方向，则应在公式前加上负号。
第 3 章 动态电路的时域分析
在电压和电流取关联参考方向下，线性电容元件吸收的功 率为
在 - ∞ ~ t 时间段，电容元件吸收的能量为
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
3. 1 电容元件与电感元件 3. 2 动态电路的基本概念 3. 3 一阶电路的零输入响应、
零状态响应和全响应 3. 4 阶跃函数与阶跃响应 习题3
第 3 章 动态电路的时域分析
前面两章讨论了电阻电路的基本概念、基本定理、基本分 析方法和电路定理。一个显著特点是，求解电阻电路的方程是 一组代数方程，这就意味着电阻电路在任意时刻的响应 只与同一时刻的激励有关，与过去的激励无关。这就是电阻电 路的“无记忆性”。
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3. 1. 2 电感元件 电感元件是电感线圈的理想化模型，它反映电路中磁场能
量储存的物理现象。 将金属导线绕在骨架上就构成了一个实际的电感器，常称
为电感线圈。如图 3.1. 5 所示，电流 i 产生的磁通 Φ L与 N 匝线圈交链，与线圈交链的总磁通称为磁通链 Ψ L = NΦ L 。由于磁通 Φ L 和磁通链 Ψ L都是由线圈本身的电流 i 产生的，所以称为自感磁通和自感磁通链。 Φ L和 Ψ L的方 向与 i 的参考方向成右手螺旋关系。
本章分析动态电路过渡过程的方法:根据 KVL 、 KCL 和 支路的 VCR 建立描述电路的方程，这类方程是以时间为自变 量的线性微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求 变量(电压或电流)，此方法称为时域分析法(简称时域法，也 称经典分析法)。在求微分方程时需要初始条件，为此，下面 先讨论换路定则。
第 3 章 动态电路的时域分析
线性电感元件的图形符号如图 3. 1. 6 ( a )所示，一 般在图中不必也难以画出 Ψ L ( Φ L )的参考方向，但规定 Ψ L 与电流 i 的参考方向满足右手螺旋关系。线性电感元件 的磁通链 Ψ L与电流 i 的关系满足:
第 3 章 动态电路的时域分析
式中， L 为电感元件的参数，称为自感系数或电感。在国际 单位制中，磁通和磁通链的单位是韦伯( Wb )，简称韦;电感 的单位是亨利(H )，简称亨，电感的常用单位还有毫亨( mH ， 1mH=10-3 H )和微亨(μ H ， 1 μ H=10-6H )。通常，电路图 中的符号 L 既表示电感元件，也表示元件的参数，如图 3.1. 6 ( a )所示。
第 3 章 动态电路的时域分析
当电路中仅含一个动态元件时，描述电路的方程是一阶微 分方程，因而这种电路被称为一阶电路。当电路中含有一个电 感元件和一个电容元件，或者两个独立的电容元件或电 感元件时，描述其方程是二阶微分方程，这类电路称为二阶电 路。一阶电路是最简单、工程上又最常见的动态电路。
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
线性电感元件的韦安特性是 Ψ L - i 平面上通过原点的 一条直线，如图 3.1. 6 ( b )所示。
图 3.1. 6 电感元件及其韦安关系
第 3 章 动态电路的时域分析
第 3 章 动态电路的时域分析
在电压和电流取关联参考方向下，线性电感元件吸收的功 率为
如果在 t =- ∞时， i ( - ∞) =0 ，电感元件无磁场能量。 因此从 - ∞到 t 的时间段内电感吸收的磁场能量为
第 3 章 动态电路的时域分析
式(3. 1. 2 )还可以写成积分的形式:
在许多实际应用中，取 t 0 =0 ，则式( 3. 1. 3 )变为
第 3 章 动态电路的时域分析
由式( 3. 1. 2 )可知，电容元件的电压 u 和电流 i 具 有动态关系，因此，电容元件是一个动态元件。从式(3. 1. 4 )可知，电容电压除与 0~ t 的电流值有关外，还与 u ( 0 )值有关，因此电容元件是一种有“记忆”的原件。与之 相比，电阻元件的电压仅与该瞬间的电流值有关，是无记忆的 元件。
第 3 章 动态电路的时域分析
电容元件吸收的能量以电场能量的形式储存在元件的电场 中。可以认为在 t =- ∞时，u ( - ∞) =0 ，其电场能量也 为零。这样，电容元件在任何时刻 t 储存的电场能量 W C ( t )将等于它吸收的能量，于是有
式(3. 1. 6 )表明，电容元件储存的能量取决于该时刻的电 压，只要电压不为零，无论其方向或符号如何，就有能量储存 在电容中。
第 3 章 动态电路的时域分析
图 3.1. 4 电容元件及其库伏特性曲线
第 3 章 动态电路的时域分析
如果电容元件的电流和电压为关联参考方向，则电容元件 的电压和电流关系( VCR )为
式(3. 1. 2 )表明电流与电压的变化率成正比。电容在直流 情况下其两端电压恒定，相当于开路，或者说电容具有隔断直 流的作用。
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当磁通链Ψ L随时间变化时，在线圈的端子间产生感应电压。 如果感应电压 u 的参考方向与 Ψ L成右手螺旋关系(即从端 子 A 沿导线到端子 B 的方向与 Ψ L 成右手螺旋关系)，则根 据电磁感应定律，感应电压为
第 3 章 动态电路的时域分析
图 3.1. 5 电感线圈
第 3 章 动态电路的时域分析
3. 2 动态电路的基本概念
3. 2. 1 动态电路的特点 在前面的章节中讨论了电阻电路的分析和计算，描述这种
电路的数学模型是代数方程，电路中任一时刻的响应仅与此时 刻的激励值有关，而与激励的过去值无关。当电路中含有动态 元件电感和电容时，由于这类元件的电压和电流的约束关系是 微分关系或积分关系，所以描述电路的数学模型是以电压、电 流为变量的微分方程。用微分方程描述的电路称为动态电路。 这种电路的任一时刻响应不仅与此时刻的激励值有关，还与激 励的过去值有关。