2016高中数学人教B版必修四2.2.2《向量的正交分解与向量的直角坐标运算》精选习题

第二章 2.2 2.2.2

一、选择题

1．(2014·广东文，3)已知向量a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)

[答案] B

[解析] ∵a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，∴b －a ＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．

2．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →

相等，已知A (1,2)、B (3，2)，则x 的值为( ) A ．－1 B ．－1或4 C ．4 D ．1或4

[答案] A

[解析] ∵A (1,2)、B (3,2)，

∴AB →＝(2,0)，又∵AB →

＝a ，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3＝2x 2－3x －4＝0，

∴x ＝－1.

3．(2014·北京文，3)已知向量a ＝(2,4)、b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)

[答案] A

[解析] 2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)

4．已知AB →＝(5，－3)、C (－1,3)、CD →＝2AB →

，则点D 的坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3) D ．(9，－3)

[答案] D

[解析] ∵AB →＝(5，－3)，∴CD →＝2AB →

＝(10，－6)， 设D (x ，y )，又C (－1,3)， ∴CD →

＝(x ＋1，y －3)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝10y －3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝9y ＝－3

. 5．已知两点A (4,1)、B (7，－3)，则与向量AB →

同向的单位向量是( )

A ．15A

B →

B ．－15AB →

C ．125AB →

D ．－125

AB →

[答案] A

[解析] AB →＝(3，－4)，∴|AB →|＝32＋(－4)2

＝5，故与向量AB →同向的单位向量是AB →|AB →|＝

15

AB →. 6．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →

＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则点A 位于( )

A ．第一、二象限

B ．第二、三象限

C ．第三象限

D ．第四象限

[答案] D

[解析] ∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0， ∴点A 位于第四象限． 二、填空题

7．若点O (0,0)、A (1,2)、B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →

，则点A ′的坐标为________．点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→

的坐标为________．

[答案] (2,4) (－3,9) (－5,5) [解析] ∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA →＝(1,2)，OB →

＝(－1,3)，

OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→

＝3×(－1,3)＝(－3,9)． ∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→

＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．

8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →

＝________. [答案] (－3，－5)

[解析] AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →

＝(－3，－5)． 三、解答题

9．(1)设向量a 、b 的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b,2a ＋3b 的坐标； (2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a －b ＋c 的坐标． [解析] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．

(2)3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．

10．设已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →

.求t 为何值时， (1)P 在x 轴上？ (2)P 在y 轴上？ (3)P 在第二象限？

[解析] ∵AB →＝(3,3)，∴OP →＝OA →＋tAB →

＝(1,2)＋t (3，3)＝(1＋3t,2＋3t )． (1)当点P 在x 轴上时，2＋3t ＝0，t ＝－2

3.

(2)当点P 在y 轴上时，1＋3t ＝0，∴t ＝－1

3

.

(3)当点P 在第二象限时，⎩

⎪⎨⎪⎧

1＋3t <0

2＋3t >0，

∴－23

3

.

一、选择题

1．已知a ＝(5，－2)、b ＝(－4，－3)、c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( ) A ．(－2，73)

B ．(2，7

3)

C ．(2，－7

3)

D ．(－2，－7

3

)

[答案] C

[解析] 2a ＋b －3c ＝(10，－4)＋(－4，－3)－(3x,3y )＝(6－3x ，－7－3y )，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

6－3x ＝0

－7－3y ＝0，∴⎩⎪

⎨⎪⎧

x ＝2

y ＝－73

.

2．点A (m ，n )关于点B (a ，b )的对称点坐标为( ) A ．(－m ，－n ) B ．(a －m ，b －n ) C ．(a －2m ，b －2n ) D ．(2a －m,2b －n )

[答案] D

[解析] 设点A (m ，n )关于点B (a ，b )的对称点为A ′(x ，y )，