王者家教：高一必修二专题强化训练精品――直线、平面垂直的判定及性质

王者家教：高一必修二专题强化训练精品――直线、平面垂直的判定及性质1.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个. 答案 22.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是 （写出你认为正确的序号）. ①相等 ②互补 ③相等或互补 ④不确定答案 ④3.(2008·湖南文)已知直线m 、n 和平面α、β满足m ⊥n ，m ⊥α，α⊥β，则n 与平面α的关系为 . 答案 n ∥α,或n ⊂α4.已知a 、b 是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β;②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;③α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则a ∥b ;④若α∥β，α∩γ=a , β∩γ=b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是 . 答案 ①④5.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 （填序号）. ①m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥β ②α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n ③α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n ④α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ⇒n ⊥β 答案 ②例1 如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点. （1）求证：MN ⊥CD ；（2）若∠PDA =45°.求证：MN ⊥平面PCD . 证明 （1）连接AC ，AN ，BN ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ， 在Rt △PAC 中，N 为PC 中点， ∴AN =21PC . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，PA ∩AB =A ，基础自测∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB ，从而在Rt △PBC 中，BN 为斜边PC 上的中线， ∴BN =21PC . ∴AN =BN ，∴△ABN 为等腰三角形， 又M 为底边的中点，∴MN ⊥AB ， 又∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .（2）连接PM 、CM ,∵∠PDA =45°，PA ⊥AD ，∴AP =AD . ∵四边形ABCD 为矩形. ∴AD =BC ，∴PA =BC .又∵M 为AB 的中点，∴AM =BM . 而∠PAM =∠CBM =90°,∴PM =CM . 又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC . 由（1）知，MN ⊥CD ，PC ∩CD =C , ∴MN ⊥平面PCD .例2 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB =60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所 在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点，（1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.（1）证明 在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以BG ⊥平面PAD .（2）证明 连接PG ，因为△PAD 为正三角形， G 为AD 的中点，得PG ⊥AD ，由（1）知BG ⊥AD ， PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，PG ∩BG =G ， 所以AD ⊥平面PGB ，因为PB ⊂平面PGB ， 所以AD ⊥PB .（3）解 当F 为PC 的中点时， 满足平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下： 取PC 的中点F ，连接DE 、EF 、DF ， 在△PBC 中，FE ∥PB ，在菱形ABCD 中， GB ∥DE ，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， EF ∩DE =E ，所以平面DEF ∥平面PGB ， 因为BG ⊥平面PAD ，所以BG ⊥PG 又因为PG ⊥AD ，AD ∩BG =G ，∴PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， 所以平面PGB ⊥平面ABCD ， 所以平面DEF ⊥平面ABCD .例3 （14分）如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD =90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（1）求证：PB⊥DM；（1）证明∵N是PB的中点，PA=PB，∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°，∴AD⊥AB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB. 4分又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.∵DM⊂平面ADMN，∴PB⊥DM. 7分14分例4 如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；（2）求证：A1B⊥AM；（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；（1）证明方法一由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1，又∵C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1.又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.方法二由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B.（2）证明由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1，∴A1B⊥平面AMC1，又AM⊂平面AMC1，∴A1B⊥AM.（3）证明方法一由棱柱性质知四边形AA1B1B是矩形，M、N分别是A1B1、AB的中点，∴AN B1M.∴四边形AMB1N是平行四边形.∴AM∥B1N.连接MN，在矩形AA1B1B中有A1B1 AB.∴MB1 BN，∴四边形BB1MN是平行四边形.∴BB1 MN.又由BB1 CC1，知MN CC1.∴四边形MNCC1是平行四边形.∴C1M CN.又C1M∩AM=M，CN∩NB1=N，∴平面AMC1∥平面NB1C.方法二由（1）知C1M⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理可证，A1B⊥平面B1NC.∴平面AMC1∥平面B1NC.1.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点.证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .证明 （1）在四棱锥P -ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵AC ⊥CD ,PA ∩AC =A ，∴CD ⊥平面PAC . 而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .（2）由PA =AB =BC ， ∠ABC =60°，可得AC =PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ,且PC ∩CD =C ,∴AE ⊥平面PCD . 而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD . ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB . 又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD =A ,∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD . 又∵AB ∩AE =A ,综上得PD ⊥平面ABE .2.如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC . （1）若D 是BC 的中点.求证：AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .证明 （1）∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，交线为BC . ∴由面面垂直的性质定理， 可知AD ⊥平面BB 1C 1C . 又∵CC 1⊂平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥CC 1.（2）取BC 1的中点E ，连接DE 、ME . 在△BCC 1中，D 、E 分别是BC 、BC 1的中点，∴DE21CC 1.又AA 1 CC 1，∴DE 21AA 1.∵M 是AA 1的中点（由AM =MA 1知），∴DE AM . ∴四边形AMED 是平行四边形，∴AD ME . 由（1）知AD ⊥平面BB 1C 1C . ∴ME ⊥平面BB 1C 1C . 又∵ME ⊂平面BMC 1， ∴平面BMC 1⊥平面BB 1C 1C .3.（2008·山东理，20）如图所示，已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =60°,E ,F 分别是BC ,PC 的中点.(1)证明:AE ⊥PD ;(1)证明 由四边形ABCD 为菱形,∠ABC =60°, 可得△ABC 为正三角形.因为E 为BC 的中点,所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ,因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,所以PA ⊥AE . 而PA ⊂平面PAD ,AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ,所以AE ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD , 所以AE ⊥PD .4.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点， 又二面角P —CD —B 为45°.（1）求证：AF ∥平面PEC ； （2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ；（3）设AD =2，CD =22,求点A 到平面PEC 的距离. (1)证明 取PC 的中点G ， 连接EG 、FG ， ∵F 为PD 的中点，∴GF21CD . ∵CD AB ，又E 为AB 的中点， ∴AE GF .∴四边形AEGF 为平行四边形.∴AF ∥GE ，且AF ⊄平面PEC ，因此AF ∥平面PEC . (2)证明 PA ⊥平面ABCD ，则AD 是PD 在底面上的射影.又ABCD 为矩形， ∴CD ⊥AD ，则CD ⊥PD .因此CD ⊥AF ，∠PDA 为二面角P -CD -B 的平面角，即∠PDA =45°. F 为Rt △PAD 斜边PD 的中点， AF ⊥PD ，PD ∩CD =D ，∴AF ⊥平面PCD . 由（1）知AF ∥EG .∴EG ⊥平面PCD . ∵EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD .（3）解 由（1）（2）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 交PC 于H ，则FH ⊥平面PEC . ∴FH 的长度为F 到平面PEC 的距离， 即A 到平面PEC 的距离.在△PFH 与△PCD 中，∠P 为公共角， ∠FHP =∠CDP =90°， ∴△PFH ∽△PCD ，∴CD FH =PCPF. ∵AD =2，PF =2，PC =22PD CD +=88+=4， ∴FH =42×22=1. ∴A 到平面PEC 的距离为1.一、填空题1.①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直； ②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直； ③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直； ④一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；⑤两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面. 上述命题中，正确的命题有 个. 答案 42.（2008·上海理）给定空间中的直线l 及平面α.条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 条件. 答案 必要非充分3.写出平面α⊥平面β的一个充分条件是 .（写出一个你认为正确的即可） 答案 存在一条直线l ,l ⊥α,l ∥β4.平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 . 答案 一条直线5.（2008·安徽理）已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列正确命题的序号是 . ①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β ④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n 答案 ④6.设P 是60°的二面角α—l —β内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 为垂足，PA =4，PB =2，则AB 的长为 . 答案 277.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱PA =a ，PB =PD =2a ，则它的5个面中，互相垂直的面有 对. 答案 58.a 、b 表示直线，α、β、γ表示平面. ①若α∩β=a ,b ⊂α,a ⊥b ，则α⊥β;②若a ⊂α,a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩γ=a , β∩γ=b ,则a ⊥b ;④若a 不垂直于平面α，则a 不可能垂直于平面α内无数条直线； ⑤若a ⊥α,b ⊥β,a ∥b ,则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是 . 答案 ②⑤ 二、解答题9.四面体ABCD 中，AC =BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF =22AC ，∠BDC =90°.求证： BD ⊥平面ACD .证明 如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF . ∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴EG21AC ，FG 21BD . 又AC =BD ，∴EG =FG =21AC . ∴在△EFG 中，EG 2+FG 2=21AC 2=EF 2. ∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC =90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD =C ， ∴BD ⊥平面ACD .10.如图所示，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，△PAD 是等腰三角形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. 求证：MN ⊥平面PCD .证明 如图所示，取PD 的中点E ，连接AE 、NE ， ∵N 、E 分别为PC ，PD 的中点， ∴NE 为△PCD 的中位线，∴NE ∥CD 且NE =21CD . 又M 为AB 的中点， ∴AM ∥CD 且AM =21CD ， ∴AM ∥NE 且AM =NE ，∴四边形AENM 为平行四边形，∴AE ∥MN . 又△PAD 为等腰三角形，∴AE ⊥PD ，∴MN ⊥PD . 连接PM 、MC ，设AD =a ，AB =2b ， ∴PM 2=a 2+b 2，CM 2=a 2+b 2， ∴CM =PM ，∴MN ⊥PC .∵PC ∩PD =P ，∴MN ⊥平面PCD .11.如图所示，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点. （1）证明：平面PBE ⊥平面PAC ；（2）如何在BC 上找一点F ，使AD ∥平面PEF ？并说明理由. （1）证明 因为PA ⊥底面ABC ，所以PA ⊥BE . 又因为△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点， 所以BE ⊥CA .又PA ∩CA =A ，所以BE ⊥平面PAC .因为BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAC . （2）解 取CD 的中点F ，则点F 即为所求. 因为E 、F 分别为CA 、CD 的中点，所以EF ∥AD . 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ， 所以AD ∥平面PEF .12.（2008·四川文，19）如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯 形，∠BAD =∠FAB =90°,BC21AD ,BE 21FA ,G 、H 分别为FA 、FD 的中点. （1）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （2）C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ （3）设AB =BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 方法一 (1)证明 由题设知,FG =GA , FH =HD ,所以GH 21AD . 又BC21AD ,故GH BC . 所以四边形BCHG 是平行四边形. (2)解 C 、D 、F 、E 四点共面. 理由如下：由BE21AF ，G 是FA 的中点知， BE GF ，所以EF ∥BG .由（1）知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面. 又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面.（3）证明 如图，连接EG ，由AB =BE ，BE AG 及∠BAG =90°知ABEG 是正方形,故BG ⊥EA . 由题设知,FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ，因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，根据三垂线定理，BG ⊥ED . 又ED ∩EA =E ,所以BG ⊥平面ADE . 由(1)知,CH ∥BG ,所以CH ⊥平面ADE .由(2)知CH 平面CDE ,得平面ADE ⊥平面CDE .。