特殊四边形中的最值

特殊四边形中的最值

1．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A．B．3C．4D．2

解：连接BD，与AC交于点F．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD＝PB，

∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．

∵正方形ABCD的面积为4，

∴AB＝2．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE＝AB＝2．

∴所求最小值为2．

故选：D．

2．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上一动点，则DN+MN 的最小值为（）

A．6B．8C．12D．10

解：如图，连接BM，

∵点B和点D关于直线AC对称，

∴NB＝ND，

则BM就是DN+MN的最小值，

∵正方形ABCD的边长是8，DM＝2，

∴CM＝6，

∴BM＝＝10，

∴DN+MN的最小值是10．

故选：D．

3．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝（）

A．60°B．90°C．45°D．75°

解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，

连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，

∴∠PCD＝45°．

故选：C．

4．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；

（2）求出（1）中PC+PD的最小值．

解：（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求，此时PC+PD ＝PC+PD′＝CD′，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．

（2）作D′E⊥BC于E，则EB＝D′A＝AD，

∵CD＝2AD，

∴DD′＝CD，

∴∠DCD′＝∠DD′C，

∵∠DAB＝∠ABC＝90°，

∴四边形ABED′是矩形，

∴DD′∥EC，D′E＝AB＝4，

∴∠D′CE＝∠DD′C，

∴∠D′CE＝∠DCD′，

∵∠DCB＝60°，

∴∠D′CE＝30°，

∴D′C＝2D′E＝2AB＝2×4＝8；

∴PC+PD的最小值为8．

5．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点．

（1）求菱形ABCD的面积．

（2）求PM+PN的最小值．

解：（1）∵菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，

∴菱形ABCD的面积为：×6×8＝24；

（2）作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，

即Q在AB上，

∵MQ⊥BD，

∴AC∥MQ，

∵M为BC中点，

∴Q为AB中点，

∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，

∴BQ∥CD，BQ＝CN，

∴四边形BQNC是平行四边形，

∴NQ＝BC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，

即NQ＝5，

∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，

∴PM+PN的最小值为：5．

6．已知，菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AD＝6，E是AB的中点，P是对角线AC上一点，求PE+PB的最小值，并在AC上找出此时点P的位置（保留作图痕迹）

解：连接DE交AC于P（点P即为所求）；如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，PB＝PD，

∵E是AB的中点，

∴DE是△ABD的中位线，

∵∠BAD＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴DE＝3，

∴PE+PB的最小值为3．

7．如图，一菱形ABCD的边长为2，且∠ABC＝120°，点E是BC的中点，点P为BD上一点，且△PCE的周长最小．

（1）求∠ADE的度数；

（2）在BD上画出点P的位置，并写出作法；

（3）求△PCE周长的最小值．

解：（1）∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，

∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，

∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，△BCD是等边三角形，

∵点E是BC的中点，

∴∠BDE＝∠BDC＝30°，

∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°；

（2）如图，连接AE，交BD于点P；

（3）∵DE＝CD•sin60°＝，CE＝BC＝1，

∴在Rt△ADE中，AE＝＝，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴P A＝PC，

∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝P A+PE+CE＝AE+CE＝+1．

8．如图，四边形ABCD是菱形，点E为AB的中点，延长CD至F，使得DF＝CD，连接EF分别交AD，AC于点M，N．

（1）求证：AC⊥EF；

（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，且P为AC上一点（P与点A不重合），连接PB和PE 可得△PBE，求△PBE周长的最小值．