吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练342新必修五

3-4-2技能训练
基础巩固强化 一、选择题
1．已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是( ) A ．10 B ．25
C ．5
D ．210
2．已知m ，n ∈R ，m2＋n2＝100，则mn 的最大值是( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．10
3．设x 、y 满足x ＋4y ＝40，且x ，y 都是正数，则lgx ＋lgy 的最大值为( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2
4．实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( ) A ．18 B ．12 C ．2 3
D.43
5．(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考、辽宁省实验中学期末)若a>0，b>0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2
D.1a2＋b2
≤18 6．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 二、填空题
7．在4×＋9×＝60的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应
分别填上________和________．
8．已知不等式(x ＋y)(1x ＋a
y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________． 9．已知：a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1
b ＝1，x2＋y2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________． 三、解答题
10．已知正常数a 、b 和正变数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋b
y ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．
能力拓展提升 一、选择题
11．若直线ax ＋by ＋1＝0(a 、b>0)过圆x2＋y2＋8x ＋2y ＋1＝0的圆心，则1a ＋4
b 的最小值为( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．20
12．已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a2－1⎝⎛⎭
⎫1b2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
13．若直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1
b 的最小值为( ) A.14 B.12 C ．2
D ．4
14．(2009·天津)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1.若ax ＝by ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1
y 的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1
2 二、填空题
15．已知x ，y 为正数，且x2＋y2
2＝1，则x 1＋y2的最大值是______．
16．一批救灾物资随17列火车以v 千米/小时的速度匀速直达400千米以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v
20)2千米，则这批物资全部运送到灾区最少需__________小时．
三、解答题
17．设x ＋y ≤k x ＋y 对一切x ，y ∈R ＋都成立，求k 的最小值．
18．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S 的取值范围是多少？
(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
详解答案 1[答案] D
[解析] a ＋b≥2ab ＝210，等号在a ＝b ＝10时成立，∴选D. 2[答案] B
[解析] 由m2＋n2≥2mn 得，mn≤m2＋n2
2＝50，等号在m ＝n ＝52时成立，故选B. 3[答案] D
[解析] ∵x ，y ∈R ＋，∴40＝x ＋4y≥24xy ＝4xy ∴xy≤100.
∴lgx ＋lgy ＝lg(xy)≤lg100＝2.等号在x ＝4y ＝20，即x ＝20，y ＝5时成立． 4[答案] A
[解析] ∵x ＋2y ＝4，∴3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x·32y ＝23x ＋2y ＝234＝18， 等号在3x ＝32y 即x ＝2y 时成立．
∵x ＋2y ＝4，∴x ＝2，y ＝1时取到最小值18. 5[答案] D
[解析] ∵a>0，b>0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b
2＝2， ∴ab≤4，∴1ab ≥1
4，
∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4
ab ≥1，故A 、B 、C 均错，选D.
[点评] 对于D 有，a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴1a2＋b2≤1
8.
6[答案] B
[解析] ∵2a>0,2b>0，a ＋b ＝3，
∴2a ＋2b≥22a·2b ＝22a ＋b ＝223＝42，
等号成立时，2a ＝2b ，∴a ＝b ＝3
2. 7[答案] 6 4
[解析] 设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60. 1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·4x ＋9y 60 ＝160(13＋4x y ＋9y x ) ≥1
60(13＋2
4x y ·9y x )＝160×(13＋12)＝512.当且仅当4x y ＝9y x ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时等
号成立，故应填6和4.
8[答案] 4
[解析] ∵a>0，∴(x ＋y)(1x ＋a
y ) ＝1＋a ＋y x ＋xa
y ≥1＋a ＋2a ， 由条件知a ＋2a ＋1＝9，∴a ＝4. 9[答案] ab≥xy
[解析] ab ＝ab·(1a ＋1
b )＝a ＋b≥2ab ， ∴ab≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，
xy≤x2＋y2
2＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab≥xy. 10[解析] x ＋y ＝(x ＋y)·1＝(x ＋y)·(a x ＋b
y ) ＝a ＋b ＋ay x ＋bx
y ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b)2， 等号在ay x ＝bx y 即y x ＝
b
a 时成立，
∴x ＋y 的最小值为(a ＋b)2＝18， 又a ＋b ＝10，
∴ab ＝16.
∴a ，b 是方程x2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 11[答案] C
[解析] ∵圆心(－4，－1)在所给直线上， ∴4a ＋b ＝1.
∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(4a ＋b)＝8＋b a ＋16a b
≥8＋216＝16.
等号在b a ＝16a b ，即a ＝18，b ＝1
2时成立，故选C. 12[答案] D
[解析] ∵a ＋b ＝1，a>0，b>0， ∴ab≤14，等号在a ＝b ＝1
2时成立．
∴⎝⎛⎭⎫1a2－1⎝⎛⎭
⎫1b2－1＝1－a2a2·1－b2b2 ＝
＋
a2
·
＋b2
＝
＋
＋
ab
＝2＋ab ab ＝2ab ＋1≥2
14
＋1＝9，故选D.
13[答案] D
[解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭
⎫1a ＋1b (a ＋b)＝1＋1＋b a ＋a b
≥2＋2
b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝12时成立)．
故所求最小值为4，选D.
14[答案] C
[解析] ∵ax ＝by ＝3，∴x ＝loga3，y ＝logb3， 又a ＋b≥2ab ，∴ab≤(a ＋b
2)2＝3. ∴1x ＋1
y ＝log3a ＋log3b ＝log3(ab)≤1.故选C. 15[答案]
324
[解析] 解法1：∵x2＋y2
2＝1，∴y2＝2－2x2. 又x ，y ∈R ＋， ∴x 1＋y2＝＋
＝
－
＝
12
－≤22·2x2＋－2
＝324，
等号在2x2＝3－2x2，即x ＝32，y ＝2
2时成立． 解法2 ：∵x ＞0，∴x 1＋y2＝2·12＋y22)，
又x2＋(12＋y22)＝(x2＋y22)＋12＝3
2，
12＋y22≤x2＋12＋y22
2
＝34，
∴x 1＋y2≤32
4.
等号在x2＝12＋y22，即y ＝22，x ＝3
2时成立． 即(x 1＋y2)max ＝32
4. 16[答案] 8
[解析] 物资全部运到灾区需t ＝
400＋
v 20v
＝400v ＋v 25≥8小时，等号成立时，400v ＝v
25，即v ＝100. 故最少要用8小时
17[解析] ∵x ，y ∈R ＋时，x ＋y ≤k x ＋y 恒成立，即k≥x ＋y x ＋y
恒成立，令p ＝
x ＋y x ＋y
，只
要k≥pmax 即可，下面求pmax ， ∵p2＝x ＋y ＋2xy
x ＋y
≤2(等号在x ＝y 时成立)
∴p≤2，从而k≥ 2.∴k 的最小值为 2.
18[解析] (1)设正面铁栅长xm ，侧面长为ym ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy≤320. ∵x>0，y>0，
∴4x ＋9y≥24x·9y ＝12xy.
∴6S ＋S≤160，即(S)2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．
(2)当S ＝100m2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝20
3(m)．
答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100m2时，正面铁栅长15m.。