吉林长白山保护开发区高一数第三章技能训练342新必修五

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3-4-2技能训练
基础巩固强化 一、选择题
1.已知正数a ,b 满足ab =10,则a +b 的最小值是( ) A .10 B .25
C .5
D .210
2.已知m ,n ∈R ,m2+n2=100,则mn 的最大值是( ) A .100 B .50 C .20 D .10
3.设x 、y 满足x +4y =40,且x ,y 都是正数,则lgx +lgy 的最大值为( ) A .40 B .10 C .4 D .2
4.实数x ,y 满足x +2y =4,则3x +9y 的最小值为( ) A .18 B .12 C .2 3
D.43
5.(2011·东北育才期末、辽宁大连市联考、辽宁省实验中学期末)若a>0,b>0且a +b =4,则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a +1b ≤1 C.ab ≥2
D.1a2+b2
≤18 6.设a ,b 是实数,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( ) A .6 B .4 2 C .2 6 D .8 二、填空题
7.在4×+9×=60的两个中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应
分别填上________和________.
8.已知不等式(x +y)(1x +a
y )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为________. 9.已知:a ,b ,x ,y 都是正实数,且1a +1
b =1,x2+y2=8,则ab 与xy 的大小关系是________. 三、解答题
10.已知正常数a 、b 和正变数x 、y ,满足a +b =10,a x +b
y =1,x +y 的最小值为18,求a 、b 的值.
能力拓展提升 一、选择题
11.若直线ax +by +1=0(a 、b>0)过圆x2+y2+8x +2y +1=0的圆心,则1a +4
b 的最小值为( ) A .8 B .12 C .16 D .20
12.已知a>0,b>0,且a +b =1,则⎝⎛⎭⎫1a2-1⎝⎛⎭
⎫1b2-1的最小值为( ) A .6 B .7
C .8
D .9
13.若直线2ax -by +2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x -4y +1=0截得的弦长为4,则1a +1
b 的最小值为( ) A.14 B.12 C .2
D .4
14.(2009·天津)设x ,y ∈R ,a >1,b >1.若ax =by =3,a +b =23,则1x +1
y 的最大值为( ) A .2 B.32 C .1 D.1
2 二、填空题
15.已知x ,y 为正数,且x2+y2
2=1,则x 1+y2的最大值是______.
16.一批救灾物资随17列火车以v 千米/小时的速度匀速直达400千米以外的灾区,为了安全起见,两列火车的间距不得小于(v
20)2千米,则这批物资全部运送到灾区最少需__________小时.
三、解答题
17.设x +y ≤k x +y 对一切x ,y ∈R +都成立,求k 的最小值.
18.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.试求:
(1)仓库面积S 的取值范围是多少?
(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长?
详解答案 1[答案] D
[解析] a +b≥2ab =210,等号在a =b =10时成立,∴选D. 2[答案] B
[解析] 由m2+n2≥2mn 得,mn≤m2+n2
2=50,等号在m =n =52时成立,故选B. 3[答案] D
[解析] ∵x ,y ∈R +,∴40=x +4y≥24xy =4xy ∴xy≤100.
∴lgx +lgy =lg(xy)≤lg100=2.等号在x =4y =20,即x =20,y =5时成立. 4[答案] A
[解析] ∵x +2y =4,∴3x +9y =3x +32y ≥23x·32y =23x +2y =234=18, 等号在3x =32y 即x =2y 时成立.
∵x +2y =4,∴x =2,y =1时取到最小值18. 5[答案] D
[解析] ∵a>0,b>0,a +b =4,∴ab ≤a +b
2=2, ∴ab≤4,∴1ab ≥1
4,
∴1a +1b =a +b ab =4
ab ≥1,故A 、B 、C 均错,选D.
[点评] 对于D 有,a2+b2=(a +b)2-2ab =16-2ab≥16-2×4=8,∴1a2+b2≤1
8.
6[答案] B
[解析] ∵2a>0,2b>0,a +b =3,
∴2a +2b≥22a·2b =22a +b =223=42,
等号成立时,2a =2b ,∴a =b =3
2. 7[答案] 6 4
[解析] 设两数为x ,y ,即4x +9y =60. 1x +1y =(1x +1y )·4x +9y 60 =160(13+4x y +9y x ) ≥1
60(13+2
4x y ·9y x )=160×(13+12)=512.当且仅当4x y =9y x ,且4x +9y =60,即x =6且y =4时等
号成立,故应填6和4.
8[答案] 4
[解析] ∵a>0,∴(x +y)(1x +a
y ) =1+a +y x +xa
y ≥1+a +2a , 由条件知a +2a +1=9,∴a =4. 9[答案] ab≥xy
[解析] ab =ab·(1a +1
b )=a +b≥2ab , ∴ab≥4,等号在a =2,b =2时成立,
xy≤x2+y2
2=4,等号在x =y =2时成立,∴ab≥xy. 10[解析] x +y =(x +y)·1=(x +y)·(a x +b
y ) =a +b +ay x +bx
y ≥a +b +2ab =(a +b)2, 等号在ay x =bx y 即y x =
b
a 时成立,
∴x +y 的最小值为(a +b)2=18, 又a +b =10,
∴ab =16.
∴a ,b 是方程x2-10x +16=0的两根, ∴a =2,b =8或a =8,b =2. 11[答案] C
[解析] ∵圆心(-4,-1)在所给直线上, ∴4a +b =1.
∴1a +4b =(1a +4b )(4a +b)=8+b a +16a b
≥8+216=16.
等号在b a =16a b ,即a =18,b =1
2时成立,故选C. 12[答案] D
[解析] ∵a +b =1,a>0,b>0, ∴ab≤14,等号在a =b =1
2时成立.
∴⎝⎛⎭⎫1a2-1⎝⎛⎭
⎫1b2-1=1-a2a2·1-b2b2 =

a2
·
+b2



ab
=2+ab ab =2ab +1≥2
14
+1=9,故选D.
13[答案] D
[解析] 圆的标准方程为(x +1)2+(y -2)2=4,∴圆的直径为4,而直线被圆截得的弦长为4,则直线应过圆心(-1,2),∴-2a -2b +2=0,即a +b =1, ∴1a +1b =⎝⎛⎭
⎫1a +1b (a +b)=1+1+b a +a b
≥2+2
b a ×a b =4 (等号在a =b =12时成立).
故所求最小值为4,选D.
14[答案] C
[解析] ∵ax =by =3,∴x =loga3,y =logb3, 又a +b≥2ab ,∴ab≤(a +b
2)2=3. ∴1x +1
y =log3a +log3b =log3(ab)≤1.故选C. 15[答案]
324
[解析] 解法1:∵x2+y2
2=1,∴y2=2-2x2. 又x ,y ∈R +, ∴x 1+y2=+



12
-≤22·2x2+-2
=324,
等号在2x2=3-2x2,即x =32,y =2
2时成立. 解法2 :∵x >0,∴x 1+y2=2·12+y22),
又x2+(12+y22)=(x2+y22)+12=3
2,
12+y22≤x2+12+y22
2
=34,
∴x 1+y2≤32
4.
等号在x2=12+y22,即y =22,x =3
2时成立. 即(x 1+y2)max =32
4. 16[答案] 8
[解析] 物资全部运到灾区需t =
400+
v 20v
=400v +v 25≥8小时,等号成立时,400v =v
25,即v =100. 故最少要用8小时
17[解析] ∵x ,y ∈R +时,x +y ≤k x +y 恒成立,即k≥x +y x +y
恒成立,令p =
x +y x +y
,只
要k≥pmax 即可,下面求pmax , ∵p2=x +y +2xy
x +y
≤2(等号在x =y 时成立)
∴p≤2,从而k≥ 2.∴k 的最小值为 2.
18[解析] (1)设正面铁栅长xm ,侧面长为ym ,总造价为z 元,则z =40x +2×45y +20xy =40x +90y +20xy ,仓库面积S =xy.
由条件知z≤3 200,即4x +9y +2xy≤320. ∵x>0,y>0,
∴4x +9y≥24x·9y =12xy.
∴6S +S≤160,即(S)2+6S -160≤0. ∴0<S ≤10,∴0<S≤100. 故S 的取值范围是(0,100].
(2)当S =100m2时,4x =9y ,且xy =100. 解之得x =15(m),y =20
3(m).
答:仓库面积S 的取值范围是(0,100],当S 取到最大允许值100m2时,正面铁栅长15m.。

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