高三数学一轮复习9平面向量及其线性运算学案文(无答案)

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高三数学一轮复习第4篇平面向量的概念及线性运算学案理

第三十八课时向量的线性运算课前预习案1.了解向量的实际背景。

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

3.理解向量的几何表示。

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义。

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。

12.3.共线向量定理 a r 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得=b a λr r ，则向量b r 与非零向量a r共线．1.设a r 、b r 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =r rr r 成立的充分条件是( )A ．a b =-r rB ．//a b r rC ．2a b =r rD ．//a b r r 且||||a b =r r2.（2013四川（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AOλ+=u u u r u u u r u u u r,则λ=_________.3．（2013江苏）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.课堂探究案考点1 向量的有关概念【典例1】判断下列各命题是否正确.（1）若||a r =||b r，则a r =b r ;（2）若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =u u u r u u u r是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件；（3）若a r ∥b r ,b r ∥c r ，则a r ∥c r;（4）两向量a r ,b r 相等的充要条件是：|a r |=|b r |且a r ∥b r；【变式1】判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a r 与b r 平行，则a r 与b r的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；其中假命题的个数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5考点2 平面向量的线性运算【典例2】设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0【变式2】平行四边形OADB 对角线交点C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a r ，OB →＝b r ，用a r 、b r 表示OM →、ON →、MN →.考点3 平面向量共线定理及应用【典例3】设两个非零向量1e ρ和2e ur 不共线．(1)如果AB →＝1e ρ－2e u r ，BC →＝31e ρ＋22e u r ，CD →＝－81e ρ－22e u r ，求证：A 、C 、D 三点共线； (2)如果AB →＝1e ρ＋2e u r ，BC →＝21e ρ－32e u r ，CD →＝21e ρ－k 2e u r ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．【变式3】设1e ρ，2e ρ是两个不共线的向量，则向量m u r ＝－1e ρ＋k 2e ρ(k ∈R)与向量n r ＝2e ρ－21e ρ共线的充要条件是 ( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝21当堂检测1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝3BP →，则 ( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝02．已知向量a r ，b r 不共线，c r ＝k a r ＋b r (k ∈R )，d u r ＝a r －b r .如果c r ∥d u r，那么( )A ．k ＝1且c r 与d u r 同向 B.k ＝1且c r 与d u r反向C ．k ＝－1且c r 与d u r 同向D ．k ＝－1且c r 与d u r反向课后拓展案 A 组全员必做题1．给出下列命题：①两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；②λa r＝0 (λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa r ＝μb r ，则a r 与b r共线．其中错误命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．02．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a r ，AD →＝b r ，则BE →＝____________.3．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中正确命题的序号是________．组提高选做题1.（2012（大纲理））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===u u u r r u u u r r r r r r ,则AD =u u u r（）A ．1133a b -r rB ．2233a b -r rC ．3355a b -r rD ．4455a b -r r2.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．参考答案1.C2.23.12；【典例1】（1）不正确；（2）正确；（3）不正确；（4）不正确. 【变式1】B 【典例2】B【变式2】1566OM a b =+u u u u r r r ，2233ON a b =+u u u r r r ，1126MN a b =-u u u u r r r .【典例3】（1）略；（2）43.【变式3】D1.D2.D组全员必做题1.B2. 12a b -+r r3. ④组提高选做题1.D2.-2。

高考一轮复习：平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算【2015年高考会这样考】1．考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)叫做a 与b 的差三角形法则3.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )．A ．－BC→＋12BA → B ．－BC→－12BA → C.BC→－12BA →D.BC→＋12BA → 解析如图，CD→＝CB →＋BD →＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析只有④正确．答案 A3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF→＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 解析 EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →.答案 B4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA→＋CD →＋EF →＝( )．A ．0 B.BE → C.AD→D.CF→ 解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.答案 D5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12.答案－12考向一平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( )． A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否．解析由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C. 答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同．【训练1】给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确命题的序号是________．解析 ①②正确，③④错误．答案 ①②考向二平面向量的线性运算【例2】►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )． A.AD→＋BE →＋CF →＝0 B.BD→－CF →＋DF →＝0 C.AD→＋CE →－CF →＝0 D.BD→－BE →－FC →＝0 [审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求．解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴2AD →＋2BE →＋2CF →＝0，即AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 A三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则．【训练2】在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )．A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD→＝2AC →＋AB → ∴AD→＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A考向三共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )． A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1解析由AB→＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得：AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选D.答案 D难点突破11——有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大．这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在．【示例1】► (2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )． A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2【示例2】► (2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上。

平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习

+ + = ,所以 = −,所以为的中点. 又因为为
的中点，所以△ =

△
=

,
△
△
则
△
= .
考点一平面向量的有关概念
例1 （多选）下列命题中的真命题是(
)
A.若 = ，则 =
B.若,,,是不共线的四点，则“ = ”是“四边形为平行四边
√
形”的充要条件
C.若 = , = ��,则 =
√
D. = 的充要条件是 = 且//
解析：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确;因为
= ,所以 = 且//,又,,,是不共线的四点，所以四
边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则
2025届高考数学一轮复习讲义
平面向量、复数之
平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
方向
（1）向量：既有大小又有①______的量叫做向量，向量的大小叫做向量
模
的②____.
0
（2）零向量：长度为③___的向量，其方向是任意的.
1个单位长度
（3）单位向量：长度等于④_____________的向量.
定义
法则（或几何意义）
运算律

=⑩______，当
> 时,

=⑭_______;
相同
求实数
与的方向⑪______；
+ =⑮
数乘与向量的当 < 时,与的方向⑫
+
_________;
相反
积的运算 ______；
+

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单位向量长度等于 1 个单位长度的向量
高考一轮总复习•数学
第6页
名称
定义
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又
平行向量叫共线向量．
规定：零向量与任意向量平行
相等向量长度相等且方向相同的向量
相反向量长度相等且方向相反的向量
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二向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
E，F，G 是函数的图象与 x 轴的交点，则(O→A ＋O→B )·(O→C ＋O→D )＝__1_2_π_2___.
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解析：(1)因为|A→B |＝|A→C |＝|A→B －A→C |＝2，所以△ABC 是边长为 2 的正三角形，所以
|A→B ＋A→C |为△ABC 的边 BC 上的高的 2 倍，所以|A→B ＋A→C |＝2 3.
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对点练 1(多选)(2024·山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为( ) A．向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 B．向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反 C．|a|＋|b|＝|a－b|⇔a 与 b 方向相反 D．若非零向量 a 与非零向量 b 的方向相同或相反，则 a＋b 与 a，b 之一的方向相同解析：A 正确，A→B与B→A是相反向量，长度相等；B，C 错误，当 a，b 其中之一为 0 时，不成立；D 错误，当 a＋b＝0 时，不成立．故选 BCD．
01 理清教材强基固本 02 重难题型全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材强基固本
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2019-2020年高三数学一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算教案新人教A版

2019-2020年高三数学一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算教案新人教A 版自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示． (3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___ |a |__或____．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是__任意的___． (5)单位向量：长度为_1个___单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝__±a|a|___. (6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___ 共线向量_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量_平行 __．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 a ＋b ，即 a ＋b =AB →+BC →= AC →，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 . （2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 .(3)加法运算律a ＋b ＝___ b ＋a _____ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝__ a ＋(b ＋c )__________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做a 的相反向量，记作__－a ____． (2)向量的减法① 定义a －b ＝a ＋__(－b ) __，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____．② 图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ a ＋b ，DB →＝__ a －b ____.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作__λa ____，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝___|λ||a | ___；②当λ>0时，λa 与a 的方向__相同____；当λ<0时，λa 与a 的方向__相反______；当λ＝0时，λa ＝____. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则① λ(μa )＝__(λμ)a ___.(结合律)② (λ＋μ)a ＝__λa ＋μa ___.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__λa ＋λb ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的___重心__；PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的___重心___．3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___ b =λa _. 自我检测1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，|，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 1.2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ；③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．] 3.如图，正六边形ABCDEF 中，＋＋＝( )A ．0 B. C. D .４．设P 是△ABC 所在平面内的一点，＋＝2，则( )A.＝0 B .＋＝0 C.＋＝0 D.＋＝0５．在平行ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34bA [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .] ６.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m 成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.]７.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.解析设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .⑤a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .以上命题中正确的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0 [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a |是a 方向上的单位向量.变式训练1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0； ④若 a ＝b ，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa ＝0；⑥若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上．变式训练1解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③ 只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确．故应选②③④⑤⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (7)任一向量与它的相反向量不相等.解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 变式训练２ (1)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝＝＝ .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .(2)如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →题型三共线向量问题例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.变式训练３ (1) 设两个非零向量e 1和e 2不共线．①如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；②如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．（1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2＝4e 1＋e 2＝（－8e 1－2e 2) ＝CD →． ∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD → 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.（2）如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值. 解:∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.(3)如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.证明在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线．(4)设，不共线，点P 在AB 上，求证：＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R . 证明：∵P 在AB 上，∴与共线． ∴＝t .∴－＝t (－)． ∴＝＋t －t ＝(1－t )＋t .设1－t ＝λ，t ＝μ，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →， OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ， OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线.∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .变式训练4综合问题如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是 ________；当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：由题意得：OP →＝a ·OM →＋b ·OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ·λAB →＋b ·OB → (λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋b ·OB ＝－αλ·OA →＋(αλ＋b )·OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得：y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32变式训练5如图,平面内有三个向量其中的夹角为1200,的夹角为300, 且||1,|23,OA OB OC ===|||则的值是_6__.在△ABC 中, O 是△ABC 的重心.∠A,∠B, ∠C 的对边分别为a ,b ,c,若求证△ABC 是等边三角形.λμ+平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A .AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →3．如图，正六边形 ABCDEF 中，＋＋＝ ( ) A ．0 B ． C ．D ．4. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，＋＝2，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向 D .k ＝－1且c 与d 反向6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（）A .23 B.13 C ．－13 D ．－237. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( ) A .12B.13C.14D ．18．在四边形ABCD 中，＝，且·＝0，则四边形ABCD 是 ( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为 ( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 210．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是 ( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]11．化简：(1)AB →＋BC →＋CD →＝________； (2)AB →－AD →－DC →＝________；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.12．已知在平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝__2______.13.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______.14.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为_____－2____.15．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是____ __．解析：∵a ＝λb ，∴a 与b 共线，λ＝±35.16．已知a ，b 是不共线的向量，若＝λ1a ＋b ，＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为_____．解析：A 、B 、C 三点共线⇔∥⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1.17．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝__10______.18．已知3x ＋4y ＝a,2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则向量x ＝________，y ＝________.答案：317a ＋417b 217a －317b19．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线． (2) 试判断A 、C 、D 三点是否共线，并说明理由． (3)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解 (1)∵＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )， ∴＝＋＝2a ＋8b ＋3(a －b )，＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5.∴、共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线． (2)解：A 、C 、D 三点不共线． ∵＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， ∴＝＋＝a ＋b ＋2a ＋8b ＝3a ＋9b . 而＝3a －3b ，假设存在λ∈R ，使得＝λ，即3a ＋9b ＝3λa －3λb .则⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，9＝－3λ显然满足上述条件的实数λ不存在，故A 、C 、D 三点不共线．(3)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.20．设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果＝e 1＋e 2，＝2e 1－3e 2，＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．＝＋＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2 C .3 D.42．平面向量a ，b 共线的充要条件是 ( ) A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为0C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0解析：a ，b 共线时，a ，b 方向相同或相反，故A 错．a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，故B 错．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立，故C 错．排除A 、B 、C.3．下列命题是假命题的是 ( ) A ．对于两个非零向量a 、b ，若存在一个实数k 满足a ＝k b ，则a 、b 共线 B ．若a ＝b ，则|a |＝|b | C ．若a 、b 为两个非零向量，则|a ＋b |＞|a －b | D ．若a 、b 为两个方向相同的向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |4．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ；②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b .其中正确的结论有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心解析：由||＝||＝||知，O 为△ABC 的外心；＋＋＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案：C6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若＝λ (λ＞0)，＝μ (μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92解析：由题意得，＋＝2＝λ＋μ⇔＝λ2＋μ2，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D7.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足＋＋＝，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵＋＋＝， ∴＋＋＝－，∴＝－2＝2， ∴P 是AC 边的一个三等分点．8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心9.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B .AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上10.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A.外心B .内心 C.重心D.垂心解：由条件得＝λ，因与都是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心．选B.11．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D .23a ＋13b 解析：∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.12.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为___－1_______.13.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是_________(将正确的序号填在横线上).①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线. 14.已知＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .15.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b ).∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b .16.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上.平面向量的概念及线性运算练习三1．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状必定为 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q: a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( ) A.13 B.12 C .23 D.344．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ (λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有＝λ，＝μ，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有＝12，此时λ＝12.又1μ＋1λ＝2，∴1μ＝0，不可能成立．因此选项A 不正确，同理B 也不正确．若C ，D 同时在线段AB 上，由＝λ，＝μ知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，因此选项C 不正确．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则＝λ时，λ＞1，＝μ时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．5.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__±4______. 解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.6．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a ＋b ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ________0，b ________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且＝a ＋b ，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0. 答案：＞＜7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为_(－4，－2)_______．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若＝a 1＋a 200，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S200＝_100_____9.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为____311_____.10.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为____.解析方法一若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2＝＋＝m ＋n ，＝m 2＝m 2.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2. 11. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为___±2_____.12．如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32，所以BF →＝32AB →FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（）AB →＋32AC →.14．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.解析：如图所示，连接BO ，并延长交圆O 于点D ，连接CH ，CD ，AD ，则∠BCD ＝∠BAD ＝90°，∴CD ⊥BC ，AD ⊥AB .又H 为△ABC的垂心，∴AH ⊥BC ，CH ⊥AB . ∴CD ∥AH ，AD ∥HC .∴四边形AHCD 为平行四边形． ∴AH →＝DC →＝OC →－OD →.∵O 为BD 的中点，∴OB →＝－OD →.∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋OC →－OD →＝OA →＋OB →＋OC →. ∴m ＝1.故填1.15．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为___12_____．三、解答题16．如图，在△ABC 中，，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b .用a ，b 表示AP →.解析：由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb ，∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb 而AP →＝AP →，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .17已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b ).因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ).由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.。

高三数学一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算教案新人教A版

平面向量的概念及线性运算自主梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有__大小____又有__方向____的量叫做向量．平面向量是自由向量（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 用字母a ，b ，…或用AB →，BC →，…表示．(3)模：向量的__长度____叫向量的模，记作___ |a |__或__AB__．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是__任意的___． (5)单位向量：长度为_1个___单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝__±a|a|___. (6)平行向量：方向__相同___或__相反__的__非零___向量；平行向量又叫___ 共线向量_________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量_平行 __．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.(7)相等向量：长度___相等___且方向__相同___的向量．2．向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作 a ＋b ，即 a ＋b =AB →+BC →= AC →，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 . （2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OA →就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 .(3)加法运算律a ＋b ＝___ b ＋a _____ (交换律)；(a ＋b )＋c ＝__ a ＋(b ＋c )__________(结合律)． 3．向量的减法及其几何意义 (1)相反向量与a ____长度相等__、____方向相反__的向量，叫做a 的相反向量，记作__－a ____． (2)向量的减法① 定义a －b ＝a ＋__(－b ) __，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相反向量____．② 图，AB →＝a ，，AD →＝b ，则AC →＝ a ＋b ，DB →＝__ a －b ____.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作__λa ____，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝___|λ||a | ___；②当λ>0时，λa 与a 的方向__相同____；当λ<0时，λa 与a 的方向__相反______；当λ＝0时，λa ＝____. (2)运算律设λ，μ是两个实数，则① λ(μa )＝__(λμ)a ___.(结合律)② (λ＋μ)a ＝__λa ＋μa ___.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__λa ＋λb ____.(第二分配律) (3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .5．重要结论PG →＝13(PA →＋PB →＋PC →)⇔G 为△ABC 的___重心__；PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的___重心___．3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得___ b =λa _. 自我检测1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC =16 ，|AB AC AB AC +-＝，|则|AM →|等于 ( )A ．8B ．4C ．2D ．1 1.2．下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ；②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ；③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．C [①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]3.如图，正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF＝( )A ．0 B.BE C.AD D .CF４．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( )A.PA PB + ＝0 B .PC ＋PA ＝0C.PB ＋PC ＝0D.PA PB + ＋PC＝0５．在平行ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →等于 ( )A ．－14a ＋14bB ．－12a ＋12bC ．a ＋12bD ．－34a ＋34bA [由AN →＝3NC →得4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，又AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .] ６.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m AM 成立，则m 等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 B [由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，①因为AD 为中线，AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →，② 联立①②可得m ＝3.]７.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.解析设AB →＝a ，AD →＝b ，那么AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ，又∵AC →＝a ＋b ，AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c .⑤a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .以上命题中正确的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．0 [①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行．探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a|a |是a 方向上的单位向量.变式训练1 (1)下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0； ④若 a ＝b ，则|a|＝|b|；⑤若λ＝0，则λa ＝0；⑥若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →⇔四边形ABCD 是平行四边形．⑦若将所有的单位向量都平移到同一个起点，则它们的终点在同一个单位圆上．变式训练1解析 ①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确； ③ 只有零向量的模才为0，故③正确；⑥④AB →＝DC →，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故⑥正确．故应选②③④⑤⑥⑦.(2)判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (7)任一向量与它的相反向量不相等.解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二向量的线性运算例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →.解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 变式训练２ (1)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝1()2AB BA AC λ++＝1()2AB AB AC λ+-+ ＝ 1(1)2a b λ-+ .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .(2)如图所示，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、N 分别是DC 、AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a 、b 、c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.变式迁移2 解 BC →＝BA →＋AD →＋DC →题型三共线向量问题例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.探究提高 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.变式训练３ (1) 设两个非零向量e 1和e 2不共线．①如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；②如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．（1）证明∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝e 1－e 2＋3e 1＋2e 2＝4e 1＋e 2＝12-（－8e 1－2e 2) ＝12-CD →．∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．（2）AC →＝AB →＋BC →＝（e 1＋e 2)＋（2e 1－3e 2) ＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线．从而存在实数λ使得AC →＝λCD → 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)．由平面向量的基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk .解之，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝43.∴k 的值为43.（2）如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值.解:∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.(3)如图所示，平行四边形ABCD 中，AD →＝b ，AB →＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线.证明在△ABD 中BD →＝AD →－AB →.因为AB →＝a, AD →＝b ，所以BD →＝b －a .由共线向量定理知：CM →∥CN →，又∵CM →与CN →有公共点C ，∴M 、N 、C 三点共线． (4)设OA ，OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP ＝λOA＋μOB 且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .证明：∵P 在AB 上，∴AP 与AB共线．∴AP ＝t AB .∴OP －OA＝t (OB －OA )．∴OP ＝OA ＋t OB－t OA ＝(1－t )OA ＋t OB .设1－t ＝λ，t ＝μ，则OP＝λOA ＋μOB 且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →， OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA →＝a ， OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线.∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .变式训练4综合问题如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是 ________；当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：由题意得：OP →＝a ²OM →＋b ²OB →(a ，b ∈R ＋，0<b <1)＝a ²λAB →＋b ²OB → (λ>0)＝a λ(OB →－OA →)＋b ²OB ＝－αλ²OA →＋(αλ＋b )²OB →.由－a λ<0，求得x ∈(－∞，0)．又由OP →＝xOA →＋yOB →，则有0<x ＋y <1，当x ＝－12时，有0<－12＋y <1，求得：y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32变式训练5如图,平面内有三个向量其中OA OB 与的夹角为1200,OA OC与的夹角为300,且||1,|OA OB OC === |||则的值是_6__.在△ABC 中, O 是△ABC 的重心.∠A,∠B, ∠C 的对边分别为a ,b ,c,若求证△ABC 是等边三角形.,,OA OB OC ,(,R),OB μλμ∈+λμ+OC OA λ= λμ+0,aOA bOB cOC ++=平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D. EF →＝－OF →－OE →2. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A .AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D.2AO →＝OD →3．如图，正六边形 ABCDEF 中，BA ＋CD＋EF ＝ ( )A ．0B ．BEC ．AD D ．CF4. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP，则( ) A ．P 、A 、B 三点共线 B ．P 、A 、C 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线D ．以上均不正确5．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向 D .k ＝－1且c 与d 反向6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于（）A .23 B.13 C ．－13 D ．－237. 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点， AN ＝λAB＋μAC ，则λ＋μ的值为( ) A .12B.13C.14D ．18．在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且AC ²BD＝0，则四边形ABCD 是 ( )A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．如图，e1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为 ( ) A ．3e 2－e 1 B ．－2e 1－4e 2 C ．e 1－3e 2 D ．3e 1－e 210．已知向量p ＝a |a |＋b|b |，其中a 、b 均为非零向量，则|p |的取值范围是 ( )A ．[0，2]B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]11．化简：(1)AB →＋BC →＋CD →＝___AD _____；(2)AB →－AD →－DC →＝___CB _____；(3)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____0 ____.12．已知在平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|＝__2______.13.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______.14.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为_____－2____.15．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是____ __．解析：∵a ＝λb ，∴a 与b 共线，λ＝±35.16．已知a ，b 是不共线的向量，若AB ＝λ1a ＋b ，AC＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为_____．解析：A 、B 、C 三点共线⇔AB ∥AC⇔λ1λ2－1³1＝0⇔λ1λ2＝1.17．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝__10______.18．已知3x ＋4y ＝a,2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，则向量x ＝________，y ＝________.答案：317a ＋417b 217a －317b19．设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC＝2a ＋8b ，CD＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线． (2) 试判断A 、C 、D 三点是否共线，并说明理由． (3)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．解 (1)∵AB ＝a ＋b ，BC＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， ∴BD ＝BC ＋CD＝2a ＋8b ＋3(a －b )，＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．(2)解：A 、C 、D 三点不共线．∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ， ∴AC ＝AB ＋BC＝a ＋b ＋2a ＋8b ＝3a ＋9b .而CD＝3a －3b ，假设存在λ∈R ，使得AC＝λCD ，即3a ＋9b ＝3λa －3λb .则⎩⎪⎨⎪⎧3＝3λ，9＝－3λ显然满足上述条件的实数λ不存在，故A 、C 、D 三点不共线．(3)∵ka ＋b 与a ＋kb 共线，∴存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即ka ＋b ＝λa ＋λkb . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a 、b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.20．设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，CD＝2e 1－ke 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．AC ＝AB＋BC ＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线，∴AC 与CD共线，从而存在实数λ使得AC ＝λCD ，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－ke 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2 C .3 D.42．平面向量a ，b 共线的充要条件是 ( ) A ．a ，b 方向相同 B ．a ，b 两向量中至少有一个为0C ．存在λ∈R ，使b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0解析：a ，b 共线时，a ，b 方向相同或相反，故A 错．a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，故B 错．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 不成立，故C 错．排除A 、B 、C.3．下列命题是假命题的是 ( ) A ．对于两个非零向量a 、b ，若存在一个实数k 满足a ＝k b ，则a 、b 共线 B ．若a ＝b ，则|a |＝|b | C ．若a 、b 为两个非零向量，则|a ＋b |＞|a －b | D ．若a 、b 为两个方向相同的向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |4．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ；②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b .其中正确的结论有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．②③④5．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA |＝|OB |＝|OC |，NA ＋NB ＋NC＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心外心B ．重心内心C ．外心重心D ．外心内心解析：由|OA |＝|OB |＝|OC |知，O 为△ABC 的外心；NA ＋NB ＋NC＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案：C6．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB＝λAE (λ＞0)，AC ＝μAF (μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9B.72 C ．5 D.92解析：由题意得，AB ＋AC ＝2AD ＝λAE ＋μAF ⇔AD ＝λ2AE ＋μ2AF，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝(λ2＋μ2)(1λ＋4μ)＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D7.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA ＋ PB ＋PC ＝AB，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵PA ＋PB ＋PC ＝AB ，∴PA ＋PB ＋PC ＝PB－PA ，∴PC ＝－2PA ＝2AP ，∴P 是AC 边的一个三等分点．8．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心 B ．垂心 C ．内心 D ．重心9.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B .AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上10.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( )A.外心B .内心 C.重心D.垂心解：由条件得＝λ，因与都是单位向量，故点P 在∠BAC 的平分线上，所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心．选B.11．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝ ( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D .23a ＋13b 解析：∵AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .故选D.12.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为___－1_______.13.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是_________(将正确的序号填在横线上).①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ²a ＋μ²b ＝0； ③x ²a ＋y ²b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线.14.已知1OP ＝a ，OP 2→＝b ，P 1P 2→＝λPP 2→，则OP →＝_________.1λa ＋λ－1λb＝a ＋λ－1λ(b －a )＝1λa ＋λ－1λb .15.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b ).∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b .16.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？解设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →. 即－23a ＋13b ＝λt b －λa .∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上.平面向量的概念及线性运算练习三1．若△ABC 满足|CB →|＝|AB →＋AC →|，则△ABC 的形状必定为 ( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2.命题p ：a 与b 是方向相同的非零向量，命题q: a 与b 是两平行向量，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．在△ABC 所在平面上有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12 C .23 D.34 4．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13AA ＝λ12A A(λ∈R)，14A A ＝μ12A A(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2.若C 是线段AB 的中点，则有AC ＝12AB，此时λ＝12.又1μ＋1λ＝2，∴1μ＝0，不可能成立．因此选项A 不正确，同理B 也不正确．若C ，D 同时在线段AB 上，由AC＝λAB ，AD＝μAB 知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时1λ＋1μ＞2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，因此选项C 不正确．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC＝λAB 时，λ＞1，AD ＝μAB 时，μ＞1，此时1λ＋1μ＜2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．5.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__±4______. 解析：因为8a ＋kb 与ka ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋kb ＝λ(ka ＋2b )，即(8－λk )a＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎪⎨⎪⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.6．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若OP ＝a 1OP ＋b 2OP，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a ________0，b ________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP ＝a 1OP ＋b 2OP，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0. 答案：＞＜7．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为_(－4，－2)_______．解析：设a ＝(x ，y )，x ＜0，y ＜0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB ＝a 1OA＋a 200OC ，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S200＝_100_____9.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为____311_____.10.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为____.解析方法一若M 与B 重合，N 与C 重合，则m ＋n ＝2.方法二 ∵2＝＋＝m ＋n ，＝m 2＝m 2.∵O 、M 、N 共线，∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2. 11. 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为___±2_____.12．如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝______，y ＝__________.作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，设AB ＝AC ＝1⇒BC ＝DE ＝2，∵∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62³22＝32，所以BF →＝32AB →⋅FD →＝32AC →，所以AD →＝AB →＋BF →＋FD →＝（12+）AB →＋32AC →.14．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.解析：如图所示，连接BO ，并延长交圆O 于点D ，连接CH ，CD ，AD ，则∠BCD ＝∠BAD ＝90°，∴CD ⊥BC ，AD ⊥AB .又H 为△ABC的垂心，∴AH ⊥BC ，CH ⊥AB . ∴CD ∥AH ，AD ∥HC .∴四边形AHCD 为平行四边形． ∴AH →＝DC →＝OC →－OD →.∵O 为BD 的中点，∴OB →＝－OD →.∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋OC →－OD →＝OA →＋OB →＋OC →. ∴m ＝1.故填1.15．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为___12_____．三、解答题16．如图，在△ABC 中，AMAN 11AB 3AC 4==，，，BN 与CM 交于P 点，且AB →＝a ，AC →＝b .用a ，b 表示AP →.解析：由题意知：AM →＝13AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b ，BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b .设PN →＝λBN →，PM →＝μCM →，则PN →＝λ4b －λa ，PM →＝μ3a －μb ，∴AP →＝AN →－PN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AP →＝AM →－PM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb 而AP →＝AP →，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AP →＝311a ＋211b .17已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明显然OM →＝12(a ＋b ).因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ).由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a 、b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.。

高考数学一轮复习平面向量的概念及线性运算

向量所对应的复数用代数形式表示．
(3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数
相加、相减的几何意义．
平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，
也就是向量的____________(或称模)．A→B的模记作____________．
当 λ＝0 时，λa＝____________．
(2)运算律：设 λ，μ∈R，则： ①λ(μa)＝____________； ②(λ＋μ)a＝____________；
③λ(a＋b)＝____________． 4．两个向量共线定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得
量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转
化为与已知向量有直接关系的向量来求解．③在解答用已知向量
线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)
求解参数，最后得出结论．
第五章
平面向量与复数
考纲链接
1．平面向量
(1)平面向量的实际背景及基本概念
①了解向量的实际背景． ②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． ③理解向量的几何表示．
(2)向量的线性运算
①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义．
(1)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O， E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若A→C＝a，

高三数学一轮复习平面向量复习教案和学案

1、向量的概念及运算一、考纲要求：（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义；二、知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行.零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0。

由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。

（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。

由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.⑤相等向量长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。

大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 。

平面向量高三一轮复习(完整版)

题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1）（2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2）试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。

平面向量的概念及线性运算-高三新高考一轮复习(人教A版)

解析根据相等向量的定义，分析可得A→D与B→C不平行， A→C与B→D不平行，所以A→D＝B→C，A→C＝B→D均错误，P→E与P→F平行，但方向相反也不相等，只有E→P与P→F方向相同，且大小都等于线段 EF 长度的一半，所以E→P＝P→F.
(2)给出下列说法： ①非零向量 a 与 b 同向是 a＝b 的必要不充分条件； ②若A→B与B→C共线，则 A，B，C 三点在同一条直线上； ③a 与 b 是非零向量，若 a 与 b 同向，则 a 与－b 反向；
6．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－2a)共线，则λ＝__－__12____．解析依题意知向量 a＋λb 与 2a－b 共线，设 a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，
所以1k＋－λ2＝k＝0，0，解得 k＝21，λ＝－21.
核心考点·讲练互动
长__度__(或称模)
零向
长度为0_的向量
量
表示
_|_a|_或_|A→_B_| 用_0 表示
名称
定义
单位
长度等于1_个单位的向量
向量
平行方向_相_同__或相反的非零向
向量量(或称共线向量)
表示
用 e 表示，|e|＝1_
a∥b
名称
定义
表示
相等长__度__相等且方向_相_同__的向
向量量
a＝b
2．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→P ＝12(O→A＋O→B)．
3．若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C ＝0⇔P 为△ABC 的重心．
4.在△ABC 中，AD，BE，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点 G(如图所示)，易知 G 为△ABC 的重心，则有如下结论：

年高考数学(理科)一轮复习讲：平面向量及其线性运算

(1)用坐标给出的两个向量平行或共线问题的处理方法：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)一般的两个向量平行或共线问题的处理方法：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 λ，使得 b＝λa，即 b∥a⇔b＝λa(a≠0)．
【互动探究】 2．(2011 年广东广州一模)已知向量 p＝(2，－3)，q＝(x,6)，
(2)在求动点的轨迹的四大方法中，“相关点”是重要方法之一，利用向量这个载体的“相关点”求轨迹问题是常用问题．
【互动探究】
3．在平面斜坐标系 xOy 中，∠xOy＝60°，e1，e2 分别是 x 轴， y 轴的单位向量．对于坐标平面内的点 P，如果OP＝xe1＋ye2，则 (x，y)叫做 P 的斜坐标．
图 D13
图 D14
(2)如图D14，设M是圆上一个动点，坐标为(x，y)，则|OM|＝1.
在三角形OAM中，∠OAM＝120°，|O→A|＝x，|A→M|＝y， ∴ |O→A|2＋|A→M|2－2|O→A||A→M|cos∠OAM＝1. 即 x2＋y2－2xycos120°＝1. 整理得圆的方程为x2＋y2＋xy－1＝0.
(4)不正确，因为当b＝0 时，a 与 c 不一定平行． (5)正确，因为长度为零的向量就是零向量． (6)不正确，因为当λ＝0 时，λa＝0. (7)不正确，因为 A，B，C，D 可能四点共线． (8)正确，因为单位向量的长度都等于 1，若它们的起点相同，则它们的终点在同一个单位圆上．
(1)若要判定命题不正确，则只需举出一个反例．若要判定命题是正确的，则需要证明．
且 p∥q，则|p＋q|的值为( B )
A. 5
B. 13
C．5

高三数学大一轮复习讲义平面向量的概念及线性运算理

城东蜊市阳光实验学校§平面向量的概念及线性运算2021高考会这样考1.考察平面向量的概念、线性运算；2.考察向量运算的几何意义，向量一一共线的应用．复习备考要这样做1.重视向量的概念，纯熟掌握向量加减法及几何意义；2.理解应用向量一一共线和点一一共线、直线平行的关系． 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或者者称模) 平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a 的单位向量为±平行向量方向一样或者者相反的非零向量 0与任一向量平行或者者一一共线一一共线向量方向一样或者者相反的非零向量又叫做一一共线向量相等向量长度相等且方向一样的向量两向量只有相等或者者不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法那么(或者者几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法那么a－b＝a＋(－b)数乘务实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向一样；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量a(a≠0)与b一一共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.[难点正本疑点清源]1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．2．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．3．证明三点一一共线问题，可用向量一一共线来解决，但应注意向量一一共线与三点一一共线的区别与联络，当两向量一一共线且有公一一共点时，才能得出三点一一共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1．假设a＝“向东走8 km〞，b＝“向北走8 km〞，那么|a＋b|＝_____；a＋b的方向是_____．答案8东北方向解析根据向量加法的几何意义，|a＋b|表示以8 km为边长的正方形的对角线长，∴|a＋b|＝8，a＋b的方向是东北方向．2.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，那么＝____________.答案b－a解析＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.3．D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，那么实数λ的值是________．答案－2解析如下列图，由＝λ，且＋＋＝0，那么P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，那么λ＝－2.4．O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么()A.＝B.＝2C.＝3 D．2＝答案A解析由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.5．(2021·)设a、b都是非零向量，以下四个条件中，使＝成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|答案C解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知C 满足题意．题型一平面向量的概念辨析例1给出以下命题：①假设|a|＝|b|，那么a＝b；②假设A，B，C，D是不一一共线的四点，那么＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③假设a＝b，b＝c，那么a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________．答案②③解析①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定一样．②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又∵A，B，C，D是不一一共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，假设四边形ABCD为平行四边形，那么∥且||＝||，因此，＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向一样；又b＝c，∴b，c的长度相等且方向一样，∴a，c的长度相等且方向一样，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b〞不是“a＝b〞的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.探究进步(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)一一共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象挪动混为一谈．(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．以下命题中正确的选项是() A．a与b一一共线，b与c一一共线，那么a与c也一一共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C．向量a与b不一一共线，那么a与b都是非零向量D．有一样起点的两个非零向量不平行答案C解析由于零向量与任一向量都一一共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向一样或者者相反，与起点是否一样无关，所以D不正确；对于C，其条件以否认形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都一一共线，可知a与b一一共线，符合条件，所以有向量a与b不一一共线，那么a与b 都是非零向量，应选C.题型二向量的线性运算例2如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.思维启迪：结合图形性质，准确灵敏运用三角形法那么和平行四边形法那么是向量加减运算的关键．解∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝a＋b.又∵＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＝a＋b，∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.探究进步(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的互相关系，能纯熟地找出图形中的相等向量，并能纯熟运用相反向量将加减法互相转化．(2)用几个根本向量表示某个向量问题的根本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或者者多边形；③运用法那么找关系；④化简结果．在△ABC中，＝c，＝b，假设点D满足＝2，那么等于()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c答案A解析∵＝2，∴－＝2(－)，∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c.题型三一一共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不一一共线，(1)假设＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点一一共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb一一共线．思维启迪：解决点一一共线或者者向量一一共线的问题，要结合向量一一共线定理进展．(1)证明∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴、一一共线，又∵它们有公一一共点B，∴A、B、D三点一一共线．(2)解∵ka＋b与a＋kb一一共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不一一共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.探究进步(1)证明三点一一共线问题，可用向量一一共线解决，但应注意向量一一共线与三点一一共线的区别与联络，当两向量一一共线且有公一一共点时，才能得出三点一一共线．(2)向量a、b一一共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，假设λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，那么向量a、b不一一共线．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，那么＋＋与()A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直答案A解析由题意，得＝＋，＝＋.又＝2，所以＋＝2(＋)．所以＝＋.同理，得＝＋，＝＋.将以上三式相加，得＋＋＝－.应选A.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(14分)如下列图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.审题视角(1)用向量来表示另外一些向量是用向量解题的根本要领，要尽可能地转化到平行四边形或者者三角形中去．(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出＝ma＋nb.(3)利用向量一一共线建立方程，用方程的思想求解．标准解答解设＝ma＋nb，那么＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.＝－＝－＝－a＋b.[3分]又∵A、M、D三点一一共线，∴与一一共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.[5分]∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①[7分]又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C、M、B三点一一共线，∴与一一共线．[10分]∴存在实数t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴，消去t1得，4m＋n＝1.②[12分]由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.[14分]温馨提醒(1)此题考察了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形〞的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进展分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如此题易无视A、M、D一一共线和B、M、C一一共线这个几何特征．(4)方程思想是解决此题的关键，要注意体会.方法与技巧1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是向量坐标形式的根底．2．可以运用向量一一共线证明线段平行或者者三点一一共线．如∥且AB与CD不一一共线，那么AB∥CD；假设∥，那么A、B、C三点一一共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．A组专项根底训练(时间是是：35分钟，满分是是：57分)一、选择题(每一小题5分，一一共20分)1．给出以下命题：①两个具有公一一共终点的向量，一定是一一共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，那么λ必为零；④λ，μ为实数，假设λa＝μb，那么a与b一一共线．其中错误命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4答案C解析①错，由于终点一样，两起点不一定一样，所以可以不一一共线．②对，由于模是实数，所以可以比较大小．③错，由于a＝0，λ≠0时，也可以得λa＝0.④错，当λ＝μ＝0时，虽然λa＝μb，但是a与b可以不一一共线．∴错误命题个数为3.2．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，那么()A.＋＝0B.＋＝0C.＋＝0D.＋＋＝0答案B解析如图，根据向量加法的几何意义有＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.3．向量a，b不一一共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.假设c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向答案D解析∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，∴.4．(2021·)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋等于()A．0 B.C. D.答案D解析因ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.二、填空题(每一小题5分，一一共15分)5．设a、b是两个不一一共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，假设A、B、D三点一一共线，那么实数p的值是________．答案－1解析∵＝＋＝2a－b，又A、B、D三点一一共线，∴存在实数λ，使＝λ.即，∴p＝－1.6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，那么＝____________(用a，b表示)．答案－a＋b解析由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.7．给出以下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，那么a与b的方向一样或者者相反；③两个有一一共同起点而且相等的向量，其终点必一样；④向量与向量是一一共线向量，那么点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．答案2解析命题①③正确，②④不正确．三、解答题(一一共22分)8．(10分)假设a，b是两个不一一共线的非零向量，a与b起点一样，那么当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解设＝a，＝tb，＝(a＋b)，∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.要使A、B、C三点一一共线，只需＝λ.即－a＋b＝λtb－λa.∴有⇒∴当t＝时，三向量的终点在同一条直线上．9．(12分)在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.解＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.又＝＋＝＋m＝＋(＋)＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，∴，解得λ＝m＝，∴＝a＋b.B组专项才能提升(时间是是：25分钟，满分是是：43分)一、选择题(每一小题5分，一一共15分)1．(2021·)设a，b是两个非零向量．() A．假设|a＋b|＝|a|－|b|，那么a⊥bB．假设a⊥b，那么|a＋b|＝|a|－|b|C．假设|a＋b|＝|a|－|b|，那么存在实数λ，使得b＝λaD．假设存在实数λ，使得b＝λa，那么|a＋b|＝|a|－|b|答案C解析利用向量运算法那么，特别是|a|2＝a2求解．由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|.∵a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向一一共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不一一共线，因此B错误．假设|a＋b|＝|a|－|b|，那么存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向一一共线，故C正确．假设存在实数λ，使得b＝λa，那么|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa|＝(1－|λ|)|a|，只有当－1≤λ≤0时，|a＋b|＝|a|－|b|才能成立，否那么不能成立，故D错误．2．△ABC和点M满足＋＋＝0，假设存在实数m使得＋＝m成立，那么m等于()A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析由条件得＋＝－.如图，因此延长AM交BC于D点，那么D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心．＝＝(＋)，即＋＝3，那么m＝3.3．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不一一共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，那么P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案B解析作∠BAC的平分线AD.∵＝＋λ，∴＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴＝·，∴∥.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．二、填空题(每一小题5分，一一共15分)4．向量a，b是两个非零向量，那么在以下四个条件中，能使a、b一一共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④假设四边形ABCD是梯形，那么与一一共线．答案①②解析由①得10a－b＝0，故①对．②对．对于③当x＝y＝0时，a与b不一定一一共线，故③不对．假设AB∥CD，那么与一一共线，假设AD∥BC，那么与不一一共线．5.如下列图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，假设＝m，＝n，那么m＋n的值是________．答案2解析∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋.∵M，O，N三点一一共线，∴＋＝1.那么m＋n＝2.6．在△ABC中，D是AB边上一点，假设＝2，＝＋λ，那么λ＝________.答案解析由图知＝＋，①＝＋，②且＋2＝0.①＋②×2得：3＝＋2，∴＝＋，∴λ＝.三、解答题7．(13分)点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)假设PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.(1)解因为＋＝2，又2＝－，所以＋＋＝－＋＝0.(2)证明显然＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P、G、Q三点一一共线，得∥，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a、b不一一共线，所以，消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.。

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学案9 平面向量及其线性运算
班级______姓名___________
【导学目标】1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．【知识梳理】 1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．
(2)表示方法：用来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB →，BC →
，…表示． (3)模：向量的______叫向量的模，记作_______．
(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．
(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝________. (6)平行向量：方向______或_______的非零向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______． (7)相等向量：长度______且方向______的向量． 2．向量的加法运算及其几何意义
（1）已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →=a ，BC →=b ，则向量AC →
叫做a 与b 的，即a+ b =AB →+BC →
=，这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.
（2）以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形OACB ，则以O 为起点的对角线OA →
就是a 与b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的. (3)加法运算律
a ＋
b ＝________ (交换律)；(a ＋b )＋
c ＝____________(结合律)．
3．向量的减法及其几何意义
(1)相反向量：与a ____________、____________的向量，叫做a 的相反向量，记作______． (2)向量的减法
①定义a －b ＝a ＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． ②若AB →＝a ，，AD →＝b ，则DB →＝____________. 4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝______；
②当λ>0时，λa 与a 的方向______；当λ<0时，λa 与a 的方向______；当λ＝0时，λa ＝______. (2)运算律
设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa )＝________.(结合律)②(λ＋μ)a ＝________.(第一分配律) ③λ(a ＋b )＝__________.(第二分配律)
(3)两个向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【自我检测】
1.在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
等于( ) A ．－14a ＋14
b
B ．－12a ＋12
b
C ．a ＋12
b
D ．－34a ＋34
b
2．下列四个命题：其中正确命题的个数为( ) ①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝m a －m b ； ②对于实数m 和向量a ，b (m ∈R )，若m a ＝m b ，则a ＝b ； ③若m a ＝n a (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n ； ④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ; A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( ) A.AO →＝OD →
B.AO →＝2OD →
C.AO →＝3OD →
D ．2AO →＝OD →
4．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
5.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝______.
探究点一平面向量的有关概念辨析
例1 ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →
共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 以上命题中正确的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
变式1 下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①|a |＝|b |⇒a ＝b ；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③|a |＝0⇒a ＝0； ④若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
⇔四边形ABCD 是平行四边形．
探究点二向量的线性运算
例2 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →
，
用a ，b 表示OM →，ON →，MN →
.
变式2 在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
等于( ) A.23b ＋13
B.53c －23
b
C.23b －1
3
c
D.13b ＋23
c
探究点三共线向量问题
例3 设两个非零向量e 1和e 2不共线．
（1）如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线；（2）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →
＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值．
【课后练习与提高】
1．设a ，b 是任意的两个向量，λ∈R ，给出下面四个结论： ①若a 与b 共线，则b ＝λa ；②若b ＝－λa ，则a 与b 共线； ③若a ＝λb ，则a 与b 共线；
④当b ≠0时，a 与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a ＝λ1b . 其中正确的结论有( ) A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．②③④
2.设a ，b 为不共线向量，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，则下列关系式中正确的是( )
A.AD →＝BC →
B.AD →＝2BC →
C.AD →＝－BC →
D.AD →＝－2BC → 3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →
，则
( )
A.PA →＋PB →
＝0
B.PC →＋PA →
＝0
C.PB →＋PC →
＝0
D.PA →＋PB →＋PC →＝0
4．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
5．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →
等于( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →
6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m 等于( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．
8．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝____________(用a ，b 表示)．
9．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →
，则λ＝________.
10.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →
＝m ，成立，则m 等于________.
11．设a ，b 是两个非零向量，给出下列命题，其中不正确的是________． ①若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b; ②若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b | ③若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |
12．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，若三向量a ，t b ，1
3(a ＋b )的终点
在同一条直线上.，求t 的值。

13.如图，在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3CP PD = ，2AP BP ⋅=
，求
AB AD ⋅
的值.。