(人教版)高中数学选修2-1课件：本章归纳整合3

数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共 线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
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第三章 空间向量与立体几何
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⑤a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，或ab11＝ ab22＝ab33；
⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ⑦|a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a33； ⑧cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a21＋a1ba122＋ ＋aa322b2b＋21＋a3bb223＋b23(a≠0， b≠0)．
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第三章 空间向量与立体几何
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热点考点例析
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第三章 空间向量与立体几何
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空间向量的概念及其运算
1．空间向量及其加减运算 (1)空间向量可以看作是平面向量的推广．它们之间有许多 共同性质．如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等 都是一致的． (2)空间向量的加减法是用几何方式引入的．向量的加法满 足交换律及结合律．对于加法的平行四边形法则和三角形法 则，以及减法的三角形法则要注意灵活运用．
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第三章 空间向量与立体几何
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1．直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若C→A＝a，C→B＝b，C→C1＝
c，则A→1B等于( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
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4．明晰两个向量含义，灵活判断位置关系
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分
别为u，v，则
线线平行
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0
面面平行
α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R
线线垂直
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0
线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R
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面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0
线线夹角
l，m 的夹角为 θ0≤θ≤π2，cos θ＝||aa|·|bb||
线面夹角
l，α 的夹角为 θ0≤θ≤π2，sin θ＝||aa|·|uu||
面面夹角
α，β 的夹角为 θ0≤θ≤π2，cos θ＝||uu|·|vv||
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阶段质量评估
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝ 90° ， BC ＝ 2 ， CC1 ＝ 4 ， EB1 ＝ 1 ， D ， F ， G 分 别 为 CC1 ， B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
(1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD.
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(3)在空间直角坐标系中，若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则
A，B
两点间的距离
dAB
＝
|
→ AB
|
＝
x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
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第三章 空间向量与立体几何
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空间向量基本定理是实现空间任意向量的基底化表示、空 间向量的坐标化表示的理论基础．
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3．重视数量积学习，加强向量运算与坐标表示的结合 (1)空间两个向量的数量积是a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，数量 积满足运算律： ①与数乘的结合律，即λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)； ②交换律，即a·b＝b·a； ③分配律，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
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(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向 量)；
②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
Hale Waihona Puke Baidu
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2 ． 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， M ， N 分 别 为 AB，B1C的中点．
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1； (2)用向量法证明MN⊥面A1BD.
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(2)空间向量运算的坐标表示：若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1， b2，b3)，则
①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； ②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； ③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)； ④a·b＝(a1b1，a2b2，a3b3)；
则 B1(0,0,0)，C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0，0,1)，A(a,0,4)， B(0,0,4)，D(0,2,2)，Ga2，1，0.
∴B→1D＝(0,2,2)，A→B＝(－a,0,0)， B→D＝(0,2，－2)．
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第三章 空间向量与立体几何
知能整合提升
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已知向量 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ 29， 且 λ>0，则 λ 的值为________．
思维点击： 利用向量的模的计算公式和数量积运算， 化简|λa＋b|＝ 29，得出关于 λ 的方程，求 λ 的值．
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第三章 空间向量与立体几何
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2．准确把握三个定理，顺利解决向量平行、共面、分解 问题
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
共线向量定理是证明线线平行的主要依据，也是解决三点 共线问题的重要方法．
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第三章 空间向量与立体几何
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思维点击： 建系 → 写出各点的坐标 → 写出B→1D，A→B，B→D的坐标 → 证明垂直 → 写出G→F，E→F坐标 → 证明平行
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证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系， 设 A1(a,0,0)，
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特别提醒：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间 任一点 P，都存在唯一的有序数组{x，y，z}，使O→P＝xO→A＋ yO→B＋zO→C，当且仅当 x＋y＋z＝1 时，P，A，B，C 四点共 面．
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第三章 空间向量与立体几何
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(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使 p＝xa＋yb.
特别地，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存 在有序实数对(x，y)，使A→P＝xA→B＋yA→C；或对空间任意一点 O，有O→P＝O→A＋xA→B＋yA→C，此结论常用来证明四点共面问 题．
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阶段质量评估
∴B→1D·A→B＝0＋0＋0＝0，B→1D·B→D＝0＋4－4＝0. ∴B1D⊥AB，B1D⊥BD. 又 AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面 ABD.
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第三章 空间向量与立体几何
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(2)∵A→B＝(－a,0,0)，B→D＝(0,2，－2)， G→F＝－a2，0，0，E→F＝(0,1，－1)， ∴G→F＝12A→B，E→F＝12B→D. ∴GF∥AB，EF∥BD， 又 GF∩EF＝F，AB∩BD＝B， ∴平面 EGF∥平面 ABD.
阶段质量评估
解析： 如图，A→1B＝A→B－A→A1＝C→B－C→A－A→A1＝C→B－C→A －C→C1＝b－a－c.
答案： D
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空间向量与线面位置关系
用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方 向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方 向向量垂直，即a⊥b⇔a·b＝0.
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方法一：由|λa＋b|＝ 29得， λ2|a|2＋|b|2＋2λa·b＝29， 又|a|＝ 02＋－12＋12＝ 2， |b|＝ 42＋12＋02＝ 17， a·b＝(0，－1,1)·(4,1,0)＝0×4＋(－1)×1＋1×0＝－1， 代入上式得 2λ2－2λ＋17＝29， 即 λ2－λ－6＝0，解得 λ＝3 或 λ＝－2， 又 λ>0，∴λ＝3.
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1．类比平面向量，理解空间向量 (1)空间向量是平面向量的推广，所涉及的内容，如模、零 向量、单位向量、自由向量、相等向量、平行向量等与平面向 量基本相似，平面向量的运算律和运算法则同样适用于空间向 量，因此要充分利用这两种向量间的内在联系，运用类比的数 学思想进行学习． (2)空间向量的加、减、数乘运算都可以通过平移使其转化 为平面向量，并利用平面向量的加、减运算法则及有关运算律 等知识来解决，因此要注意强化这种空间问题平面化的解题意 识．
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方法二：由于 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)， 所以 λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)， |λa＋b|＝ 29， ∴42＋(1－λ)2＋λ2＝29， 整理得 λ2－λ－6＝0，解得 λ＝3 或 λ＝－2， 又∵λ>0，∴λ＝3. 答案： 3
其中，线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，
面面平行包括面面重合．
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第三章 空间向量与立体几何
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5．三法解决立体几何问题，强化坐标法意识 (1)综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量 的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问 题．一般情况下，我们遵循的原则是：以综合法为基础，以向 量法为主导，以坐标法为中心． (2)将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，可以简 单地处理线线、线面、面面的夹角及点到面的距离等计算问 题．
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第三章 空间向量与立体几何
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(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那 么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋ yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基 向量．由定理可知，空间任一向量都可以用三个不共面的向量 表示出来．
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第三章 空间向量与立体几何
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2．空间向量的数乘运算及平面向量基本定理 (1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念，向量平行的 充要条件与平面向量的性质一致． (2)共面向量基本定理，可以判断空间中一向量 p 与不共 线向量 a，b 的关系．特别地，空间一点 P 位于平面 ABC 内 的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使A→P＝xA→B＋yA→C.