(人教版)高中数学选修2-1课件:本章归纳整合3
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数学 选修2-1
第三章 空间向量与立体几何
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
(3)线面平行:用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面内找到的一个向量与直线的方向向量是共 线向量. (4)线面垂直:用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
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第三章 空间向量与立体几何
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
⑤a∥b(b≠0)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),或ab11= ab22=ab33;
⑥a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0; ⑦|a|= a·a= a12+a22+a33; ⑧cos〈a,b〉=|aa|·|bb|= a21+a1ba122+ +aa322b2b+21+a3bb223+b23(a≠0, b≠0).
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第三章 空间向量与立体几何
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热点考点例析
阶段质量评估
热点考点例析
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第三章 空间向量与立体几何
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
空间向量的概念及其运算
1.空间向量及其加减运算 (1)空间向量可以看作是平面向量的推广.它们之间有许多 共同性质.如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等 都是一致的. (2)空间向量的加减法是用几何方式引入的.向量的加法满 足交换律及结合律.对于加法的平行四边形法则和三角形法 则,以及减法的三角形法则要注意灵活运用.
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第三章 空间向量与立体几何
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热点考点例析
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1.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若C→A=a,C→B=b,C→C1=
c,则A→1B等于( )
A.a+b-c
B.a-b+c
C.-a+b+c
D.-a+b-c
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热点考点例析
热点考点例析
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4.明晰两个向量含义,灵活判断位置关系
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分
别为u,v,则
线线平行
l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R
线面平行
l∥α⇔a⊥u⇔a·u=0
面面平行
α∥β⇔u∥v⇔u=kv,k∈R
线线垂直
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0
线面垂直
l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R
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第三章 空间向量与立体几何
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热点考点例析
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面面垂直
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0
线线夹角
l,m 的夹角为 θ0≤θ≤π2,cos θ=||aa|·|bb||
线面夹角
l,α 的夹角为 θ0≤θ≤π2,sin θ=||aa|·|uu||
面面夹角
α,β 的夹角为 θ0≤θ≤π2,cos θ=||uu|·|vv||
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热点考点例析
阶段质量评估
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC= 90° , BC = 2 , CC1 = 4 , EB1 = 1 , D , F , G 分 别 为 CC1 , B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.
(1)求证:B1D⊥平面ABD; (2)求证:平面EGF∥平面ABD.
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(3)在空间直角坐标系中,若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
则
A,B
两点间的距离
dAB
=
|
→ AB
|
=
x2-x12+y2-y12+z2-z12.
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第三章 空间向量与立体几何
知能整合提升
空间向量基本定理是实现空间任意向量的基底化表示、空 间向量的坐标化表示的理论基础.
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3.重视数量积学习,加强向量运算与坐标表示的结合 (1)空间两个向量的数量积是a·b=|a||b|cos〈a,b〉,数量 积满足运算律: ①与数乘的结合律,即λ(a·b)=(λa)·b(λ∈R); ②交换律,即a·b=b·a; ③分配律,即(a+b)·c=a·c+b·c.
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(5)面面平行:①证明两个平面的法向量平行(即是共线向 量);
②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直:①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题.
Hale Waihona Puke Baidu
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2 . 如 图 , 在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中 , M , N 分 别 为 AB,B1C的中点.
(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1; (2)用向量法证明MN⊥面A1BD.
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(2)空间向量运算的坐标表示:若 a=(a1,a2,a3),b=(b1, b2,b3),则
①a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); ②a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); ③λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R); ④a·b=(a1b1,a2b2,a3b3);
则 B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4), B(0,0,4),D(0,2,2),Ga2,1,0.
∴B→1D=(0,2,2),A→B=(-a,0,0), B→D=(0,2,-2).
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已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|= 29, 且 λ>0,则 λ 的值为________.
思维点击: 利用向量的模的计算公式和数量积运算, 化简|λa+b|= 29,得出关于 λ 的方程,求 λ 的值.
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2.准确把握三个定理,顺利解决向量平行、共面、分解 问题
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
共线向量定理是证明线线平行的主要依据,也是解决三点 共线问题的重要方法.
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第三章 空间向量与立体几何
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思维点击: 建系 → 写出各点的坐标 → 写出B→1D,A→B,B→D的坐标 → 证明垂直 → 写出G→F,E→F坐标 → 证明平行
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证明:(1)如图所示,建立空间直角坐标系, 设 A1(a,0,0),
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阶段质量评估
特别提醒:设 O,A,B,C 是不共面的四点,则对空间 任一点 P,都存在唯一的有序数组{x,y,z},使O→P=xO→A+ yO→B+zO→C,当且仅当 x+y+z=1 时,P,A,B,C 四点共 面.
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(2)共面向量定理:如果两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 p=xa+yb.
特别地,空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存 在有序实数对(x,y),使A→P=xA→B+yA→C;或对空间任意一点 O,有O→P=O→A+xA→B+yA→C,此结论常用来证明四点共面问 题.
热点考点例析
阶段质量评估
∴B→1D·A→B=0+0+0=0,B→1D·B→D=0+4-4=0. ∴B1D⊥AB,B1D⊥BD. 又 AB∩BD=B,∴B1D⊥平面 ABD.
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热点考点例析
(2)∵A→B=(-a,0,0),B→D=(0,2,-2), G→F=-a2,0,0,E→F=(0,1,-1), ∴G→F=12A→B,E→F=12B→D. ∴GF∥AB,EF∥BD, 又 GF∩EF=F,AB∩BD=B, ∴平面 EGF∥平面 ABD.
阶段质量评估
解析: 如图,A→1B=A→B-A→A1=C→B-C→A-A→A1=C→B-C→A -C→C1=b-a-c.
答案: D
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空间向量与线面位置关系
用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行:证明两条直线平行,只需证明两条直线的方 向向量是共线向量. (2)线线垂直:证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方 向向量垂直,即a⊥b⇔a·b=0.
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方法一:由|λa+b|= 29得, λ2|a|2+|b|2+2λa·b=29, 又|a|= 02+-12+12= 2, |b|= 42+12+02= 17, a·b=(0,-1,1)·(4,1,0)=0×4+(-1)×1+1×0=-1, 代入上式得 2λ2-2λ+17=29, 即 λ2-λ-6=0,解得 λ=3 或 λ=-2, 又 λ>0,∴λ=3.
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1.类比平面向量,理解空间向量 (1)空间向量是平面向量的推广,所涉及的内容,如模、零 向量、单位向量、自由向量、相等向量、平行向量等与平面向 量基本相似,平面向量的运算律和运算法则同样适用于空间向 量,因此要充分利用这两种向量间的内在联系,运用类比的数 学思想进行学习. (2)空间向量的加、减、数乘运算都可以通过平移使其转化 为平面向量,并利用平面向量的加、减运算法则及有关运算律 等知识来解决,因此要注意强化这种空间问题平面化的解题意 识.
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第三章 空间向量与立体几何
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方法二:由于 a=(0,-1,1),b=(4,1,0), 所以 λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ), |λa+b|= 29, ∴42+(1-λ)2+λ2=29, 整理得 λ2-λ-6=0,解得 λ=3 或 λ=-2, 又∵λ>0,∴λ=3. 答案: 3
其中,线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,
面面平行包括面面重合.
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5.三法解决立体几何问题,强化坐标法意识 (1)综合法以逻辑推理作为工具解决问题;向量法利用向量 的概念及其运算解决问题;坐标法利用数及其运算来解决问 题.一般情况下,我们遵循的原则是:以综合法为基础,以向 量法为主导,以坐标法为中心. (2)将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来,可以简 单地处理线线、线面、面面的夹角及点到面的距离等计算问 题.
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第三章 空间向量与立体几何
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(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那 么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+ yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基 向量.由定理可知,空间任一向量都可以用三个不共面的向量 表示出来.
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第三章 空间向量与立体几何
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2.空间向量的数乘运算及平面向量基本定理 (1)空间向量的数乘运算,平行向量的概念,向量平行的 充要条件与平面向量的性质一致. (2)共面向量基本定理,可以判断空间中一向量 p 与不共 线向量 a,b 的关系.特别地,空间一点 P 位于平面 ABC 内 的充要条件是存在有序实数对(x,y),使A→P=xA→B+yA→C.