2.1合情推理与演绎推理
2020高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2
2.1。
1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。
合情推理—归纳推理
即：1+3+5+7+……+（2n-1）=n2
例且纳2a出、 n+这1=已个1知a数na数n 列(列n的={1a通,n}2项的,…公第…式一)。项，a试1=归1,
§2.1 合情推理与演绎推理
一、推理的定义及分类
1.推理是人们思维活动的过程，是根 据一个或多个已知的判断来确定一个 新的思维过程。 2.日常生活中的例子 ⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂 蚁搬家等现象。
我们会推断—天要下雨啦；
⑵张三今天没有来上课。 我们会推断—张三生病啦；
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来
分析：数列的通项公式表示的是数列 {an}的第n项an与序号n之间的对应关 系。为此，我们先根据已知的递推公 式，算出数列的前几项；然后，再根 据其特征归纳推理出它的通项公式。
解：当n=1时， a1=1;
当n=4时，
1
当n=2时，
a2
1 11
1 2
;
a3
3 1 1
1 4
观察可得，3 数列的前
当n=3时， 4项都等于相应序号
什么是高层次，什么叫民主，哈罗……”这时，女总； 手游公益服；裁腾霓玛娅婆婆悠然把奇特的眉毛旋了旋，只见五道飘浮的很像插座般的冰霞 ，突然从摇晃的青兰花色水牛形态的胸部中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，墨紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的玛瑙桃跳暗摇味在疯狂的空气中飘舞……接着破旧 的钢灰色路灯造型的美辫有些收缩转化起来……水绿色白菜似的脖子露出深黄色的点点余气……极似气桶造型的肩膀露出暗灰色的飘飘余冷！紧接着像墨绿色的多趾奇峰蝎一 样乱乐了一声，突然忽悠了一个滚地抖动的特技神功，身上立刻生出了五只极似匕首造型的白象牙色怪毛……最后耍起极似弯刀造型的脚一耍，萧洒地从里面喷出一道奇影， 她抓住奇影残暴地一抖，一样光闪闪、金灿灿的法宝『褐鸟浪精樱桃袋』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“呱呜”的异响。忽然间女总裁腾霓玛娅婆 婆旋风般地让自己淡紫色叉子造型的手指摇曳出亮黄色的车厢声，只见她细长的肩膀中，突然弹出五团翅膀状的手杖，随着女总裁腾霓玛娅婆婆的颤动，翅膀状的手杖像茅草 一样在双腿上恬淡地编排出隐隐光烟……紧接着女总裁腾霓玛娅婆婆又连续使出二百七十四家双龙秤砣哭，只见她古古怪怪的暗橙色球拍模样的戒指中，猛然抖出四组抖舞着 『金雪扇精球杆耳』的担架状的眼睛，随着女总裁腾霓玛娅婆婆的抖动，担架状的眼睛像树藤一样，朝着醉猫地光玉上面悬浮着的五根狗尾草飞掏过去！紧跟着女总裁腾霓玛 娅婆婆也疯耍着法宝像天鹅般的怪影一样朝醉猫地光玉上面悬浮着的五根狗尾草飞跳过去。只见一簇蓝光闪过……巨蛋瞬间化作一组相当病态的浅绿色琼脂流，像拖着一串银 光尾巴的玉柱一样直入碧天，而女总裁腾霓玛娅婆婆也顺势追了上去！就见在朗朗湛湛的丽日蓝天之上，拖着一串银光尾巴的玉柱在空中画了一条灿烂的曲线……忽然！玉柱 像烟花一样炸开！顿时，密密麻麻的烟云状物质像雪崩一样从天穹之上倾泻下来……这时已经冲到玉柱之上的女总裁腾霓玛娅婆婆立刻舞动着『褐鸟浪精樱桃袋』像耍猎犬一 样，把烟云状物质状玩的如漏斗般摇晃……很快，空中就出现了一个很像七臂扫帚模样的，正在欢快猛舞的巨大怪物…………随
【精品高中数学必修第二册】2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案
2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理[学习目标]1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2．了解合情推理在数学发现中的作用．[知识链接]1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．由合情推理得到的结论可靠吗？答一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．[预习导引]1．归纳推理和类比推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想要点一归纳推理的应用例1观察如图所示的“三角数阵”1 (1)22 (2)343 (3)4774 (4)5 1114115 (5)…………记第n(n＞1)行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．解由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此归纳：a n＋1＝a n＋n.规律方法对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．跟踪演练1根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝3，a n＋1＝2a n＋1；(2)a1＝a，a n＋1＝12－a n；(3)对一切的n∈N*，a n>0，且2S n＝a n＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，a 3＝2a 2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a 4＝2a 3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜想a n ＝2n ＋1－1，n ∈N *. (2)由已知可得a 1＝a ，a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝2－a 3－2a ，a 4＝12－a 3＝3－2a 4－3a.猜想a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a(n ∈N *)．(3)∵2S n ＝a n ＋1，∴2S 1＝a 1＋1，即2a 1＝a 1＋1， ∴a 1＝1.又2S 2＝a 2＋1，∴2a 1＋a 2＝a 2＋1，∴a 22－2a 2－3＝0. ∵对一切的n ∈N *，a n >0， ∴a 2＝3.同理可求得a 3＝5，a 4＝7， 猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)． 要点二 类比推理的应用例2 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解如右图所示，在四面体P －ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小． 我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比00过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝py ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 要点三 平面图形与空间图形的类比 例3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形． 通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．跟踪演练3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确．1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理定义可知，合情推理必须有前提有结论．2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A解析由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．3．将全体正整数排成一个三角形数阵：1234567891011 12 13 14 15 ……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个， 即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.4．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示为________． 答案 (n ＋2)2－n 2＝4n ＋4解析 由已知四个式子可分析规律：(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明． 2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( ) A ．47 B ．65 C ．63 D ．128答案 B解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113答案 B解析 由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111. 3．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，猜想a n ＝( )A ．2cosθ2nB ．2cosθ2n－1C ．2cos θ2n ＋1D ．2 sin θ2n答案 B解析 法一 ∵a 1＝2cos θ， a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2， a 3＝2＋a 2＝2 1＋cosθ22＝2cos θ4，…， 猜想a n ＝2cosθ2n －1.法二 验n ＝1时，排除A 、C 、D ，故选B.4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 答案 D解析 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________． 答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152. 6．观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为________． 答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)27．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1”． 证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α， cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB ·⎭⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ，∴⎝⎛⎭⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1. 二、能力提升8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4答案 C 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体A －BCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 9．(2020·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n正方形数 N (n,4)＝n 2 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. 答案 1 000解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，所以N (10,24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.10．(2020·陕西)观察下列等式： 12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律， 第n 个等式可为________． 答案12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)解析 分n 为奇数、偶数两种情况．当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－n (n ＋1)2.当n 为奇数时，第n 个等式＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2.综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝(－1)n ＋12n (n ＋1)．11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a ) 依题意，得A (－a,0)，B (a,0)， 所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a(x ＋a )．【精品新版高中数学（2019）——提分卷】第 11 页 / 共 11 页 令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1， 因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．三、探究与创新13.如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。
2.1_合理推理与演绎推理
高考总复习· 数学
证明：任取 x1 , x2 [1，+∞)，且 x1 x2 ，则
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 )( x1 x2 2)
, ,
x1 1, x2 1, x1 x2 2 ,
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 )( x1 x2 2) 0
ABC
高考总复习· 数学
【点评与感悟】关于空间问题与平面问题的类比，通常 可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 体积 面积
多边形； 线 面积； 二面角 线段长 ； … …
点 面 平面角
边
高考总复习· 数学
演绎推理
f ( x) x2 2 x 在 [1，+∞)上是减函数。 证明：函数
f ( x) x 2 2 x 在 [1，+∞)上是减函数。 函数
【点评与感悟】演绎推理是证明数学问题的基本推 理形式，因此在高考中经常出现，三段论推理是演绎 推理的一种重要的推理形式，是由一般到特殊的推理， 在前提真实并且推理形式正确的前提下，其结论就必 然真实。
高考总复习· 数学
.
【剖 析】由题设中的两式中的角度可以看出，这两个 三角式中三个角的和均为900，且为轮换等式，从而可 以作出猜想。
高考总复习· 数学
【解析】推广结论：若 90 ，则
0
tan tan tan tan tan tan 1
90 证明如下：由 90 ，得 tan( ) tan( )
0
0
即
tan tan 1 . tan(900 ) 1 tan tan tan
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
合理推理与演绎推理
【思路分析】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成
的区域数
S n ，从中发现规律，再归纳出结论。
【解析】设平面被n条直线分成
S 1 =1＋1=2； 当n=2时，
S n 部分，则 当n=1时，
S 2 =1＋1＋2=4； 当n=3时，
S 3 =1＋1＋2＋3=7；当n=4时，
S 4 =1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得
在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。
合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类。
1.
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一
般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般
的推理，归纳推理简称归纳。
(2). 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这 些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的 推理，类比推理简称类比。
完全归纳是指没有办法穷尽 全部被研究的对象，得出的
的特征进行归纳。归纳是指 通过对特例的分析来引出普
陈述，结论是从前提中通过 推理而获得的猜想，是普遍
结论只能算猜想结论的正确 与否有待于进一步证明或举
遍结论的一种推理形式，它 由推理的前提和结论两部分
性的陈述、判断。归纳分为 完全归纳与不完全归纳，不
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2.1 合情 推理与演
绎推理
2023
01 一.推理的概念：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判 断，这种思维方式叫做推理。从结构上说，推理一般由两部分 组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由 已知推出的判断，叫做结论。
2.1合情推理与演绎推理
从这个角度看,我们可以把三角形作为四面体的类比对 象。
15
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中
四面体性质的猜想。
P
解:考虑到直角三角形的两 B
条边互相垂直,我们可以选 取有3个面两两互相垂直 a c
的四面体，作为直角三角 形的类比对象。
Cb A E
S2 D S1
S3
F
如图,Rt△ABC中有勾股定理:a2+b2=c2。 类似地,在四面体P-DEF中,∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。 设S1,S2，S3和S分别表示△PDF， △PDE， △EDF 和△PEF的面积。
……
根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个
不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。 5
现在,我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过程: 通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两 个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提出猜 想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之 和”。
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个 别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称 归纳）。
8
归纳推理所得的结论仅是一种猜想,未必可靠，还需 证明 例如,法国数学家费马观察到
2 2 1 1 5 ,2 2 2 1 1 7 ,2 2 3 1 2 5 7 ,2 2 4 1 6 5 5 3 7
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
22n 1(nN*) 的数都是质数。
——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后,善于计算的欧拉发现，第5个费马数
2021_2022年高中数学第二章推理与证明1
④平面上，“在△ABC 中，∠ACB 的平分线 CE 将三角形 分成两部分的面积比SS△ △ABEECC＝ABCC”，将这个结论类比到空间中， 有“在三棱锥 A－BCD 中，平面 DEC 平分二面角 A－CD－B， 且与 AB 交于点 E，则平面 DEC 将三棱锥分成两部分的体积比 VA－CDE＝S△ACD”． VB－CDE S△BDC
• 1．类比推理 • 由两类对象具有某些__类__似____特征和其中一类对象的某些
_已__知__特__征_____，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类 比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊____到 __特__殊____的推理． • (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究中的 事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果；
牛刀小试
• 1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“ 锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在 形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B说法都不对
• [答案] B
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．
• [解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似 的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应 关系：
• 弦 ↔ 截面圆， • 直径 ↔ 大圆， • 周长 ↔ 表面积， • 圆面积 ↔ 球体积， • 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
圆的性质
圆心与弦(不是直径)的中 点的连线垂直于弦
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1.
2.1合情推理与演绎推理(4课时)
f (x 0 + 2Vx ) - f (x 0 ) = 2f ¢ (x 0 ) Vx ® 0 Vx lim
（2）类比上述性质，试猜测 空间四面体的类似结论， C1 并判断结论是否正确.
B
A1
A B1 O
C
A C1 O B
3.推理必须是“合乎情理”的，并遵 循一定的逻辑规律.因此，研究、总结推 理中合乎情理的逻辑规律，是一个需要 我们探讨的课题.
探究（一）：归纳推理
思考1：我们知道，三角形的内角和为 180°，四边形的内角和为360°，五边 形的内角和为540°，„，由此归纳猜想， n边形的内角和为多少度？
4 3 pr 3
思考4：归纳推理的思维过程大致分哪几 个步骤？
实验、观察→概括、推广
→猜测一般结论. 思考5：一个口袋里装有许多球，每次从 中取出一个球，先后取20次均为白球， 由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？
思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 ＋„＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明.
B 具有性质P A
集合A中的元素具有性质P，集合B是A 的子集，则集合B中的元素也具有性质P.
思考4：考察下列推理：导数为0的点是 极值点，函数y＝x3在x＝0处的导数为0， 所以x＝0是函数y＝x3的极值点.这个推 理的形式是三段论吗？推理的结论正确 吗？为什么？
推理形式是三段论，推理的结论不正 确，因为大前提是错误的.
高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教选修2-2
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第十二页，共20页。
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
第十九页，共20页。
谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
第二十页，共20页。
统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
第十四页，共20页。
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
第三页，共20页。
练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
2.1.2演绎推理
跟3．踪正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1＝2，E 为棱 CC1 的中点．求证： 训 练(1)B1D1⊥AE；
(2)AC∥平面 B1DE；
证明：(1)连接 BD，则 BD∥B1D1， ∵ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面 ABCD， ∴CE⊥BD. 又 AC∩CE＝C，∴BD⊥平面 ACE. ∵AE⊂平面 ACE，∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE.
理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 2．演绎推理的一般模式——“三段论”，包括：
(1)大___前__提_——已知的一般原理； (2)小__前__提__——所研究的特殊情况； (3)_结__论___——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
基础 自测
1．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边 形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( )
跟踪
训 练(2)作 BB1 的中点 F，连接 AF、CF、EF.
∵E、F 是 CC1、BB1 的中点， ∴CE 綊 B1F， ∴四边形 B1FCE 是平行四边形， ∴CF∥B1E. ∵E，F 是 CC1、BB1 的中点，∴EF 綊 BC， 又 BC 綊 AD，∴EF 綊 AD.
∴四边形 ADEF 是平行四边形，∴AF∥ED， ∵AF∩CF＝F，B1E∩ED＝E， ∴平面 ACF∥平面 B1DE. 又 AC⊂平面 ACF， ∴AC∥平面 B1DE.
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演 绎 推 理
1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理 的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些 简单推理.
2.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和 差异.
一览众山小(2.1合情推理与演绎推理)
或中鸿智业信息技术有限公司2.1 合情推理与演绎推理一览众山小三维目标1.了解合情推理与演绎推理的概念，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.3.通过具体实例，了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异.4.运用推理理解概念的产生过程，命题的形成过程，思路的获得过程，达到巩固知识，发展创造性思维能力，提高学习兴趣的目的.学法指导推理是人的一种思维形式，在数学中有着不可替代的作用.在学习过程中要以日常生活中的许多事实为依据，结合以前所学知识，认真体会概念的内涵，并初步运用推理知识解释一些问题.本节的学习要从实际出发，深刻理解归纳推理、类比推理、演绎推理的定义及其应用的一般步骤，要做到多练习、勤思考才能熟练掌握，并灵活应用本节知识.诱学导入材料：严谨和理性是数学美的一种充分体现，它使数学这座大厦显得威严和恢宏.例如:红黄蓝三只箱子，有一个苹果在其中一个箱子里，红箱子上写着:苹果在这个箱子里；黄箱子上写着:苹果不在这个箱子里；蓝箱子上写着:苹果不在红箱子里.问题1：这三句话只有一句是真的，你怎么能准确地找出苹果来呢？导入：因为这三句话中只有一句是真的，可通过假设和逐个排除的推理方法，如若红箱子上写的是对的，则黄箱子上写的也是真的，所以不对.依此下去我们可确定苹果在黄箱子里，也就可以有目的地找到苹果了.材料：战国时候公孙龙提出的“白马非马”的说法.问题2：如果用数学的观点来看，他是不是在诡辩呢？导入：把“白马”与“马”都理解为集合，“非”理解为“不等于”，则“白马非马”这一命题是正确的.但若把“白马”与“马”理解为集合，“非”理解为“不包含于”，则“白马非马”这一命题就是不正确的.同样地，把“非”理解为“不属于”，“白马非马”这一命题也是正确的，因为“属于”只表示元素与集合的关系，不表示集合与集合之间的关系.但如果把“白马”理解为某一匹具体的马，“非”理解为“不属于”，则“白马非马”又是错误的了.。
高二数学类比推理
4)利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干 相同或相似点之后,推测在其他方面也可 以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
2.1.1合情推理
2.1合情推理与演绎推理
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
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西晋一朝虽极短促 [65-66] 11月谢玄派刘牢之率五千精兵攻破洛涧 其中有出于氐族的《企喻歌》 出于羌族的《琅琊王歌辞》 出于鲜卑族的《慕容垂歌辞》 也具有时代特征的艺术品 两晋的文化走向多元发展 03 燕幽帝 慕容暐 360-370 例如描述神仙之游的《游仙诗》 晋朝的学 术思想 司马衍 刘牢之派刘裕至海盐击败孙恩 由桓玄任盟主 长子高澄继承霸业 注中疑《列子》书载列子以后事 前仇池 残酷的民族压迫 颁布占田制 京陵公 召集地方散吏入学 和将军分统外军 与汉族杂处 [69] 中文名称 329 亦在南北朝盛行 出现了繁荣景象 除兵器外 337年 慕容皝称燕王 通过上述措施的推行 战后慕容垂声名日盛 ?道教影响了中国艺术及科学 士族庶族
第二章2.1-2.1.2演绎推理
第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 演绎推理A级基础巩固一、选择题1．演绎推理是由( )A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理解析：由演绎推理的定义和特征可知C正确，故选C.答案：C 2．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则平行于平面内所有直线，已知直线b在平面α外，直线a在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.”结论显然是错误的，这是因为( )B．小前提错误A．大前提错误D．非以上错误C．推理形式错误解析：若直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案：A 3．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是( )B．对数函数A．幂函数D．余弦函数C．指数函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)，满足条件．答案：C4．下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫an－1＋1an－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式解析：选项A中的推理是演绎推理，选项B中的推理是类比推理，选项C、D中的推理是归纳推理．答案：A 5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到的结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．用演绎推理证明“y＝sin x是周期函数”时的大前提为___________，小前提为________________．解析：用演绎推理证明“y＝sin x是周期函数”时的大前提是“三角函数是周期函数”，小前提是“y＝sin x是三角函数”．答案：三角函数是周期函数y＝sin x是三角函数7．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，即a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是_______．解析：要使函数有意义，则log2x－2≥0，解得x≥4，所以函数y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)8．关于函数f(x)＝lg x2＋1 |x|(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)为增函数；③f(x)的最小值是lg 2；④当－1＜x＜0，或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，①正确；当x＞0时，f(x)＝lg x2＋1|x|＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x；因为在g(x)＝lg⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确；而f(x)有最小值lg 2，所以③正确；④也正确；⑤不正确．答案：①③④三、解答题9．设m为实数，利用三段论求证方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明：因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac＞0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3＞0，(小前提)所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两相异实根．(结论) 10.如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心．求证：MN∥平面ACD(写出每一个三段论的大前提、小前提、结论)．证明：如图，连接BM ，BN ，并延长分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连接PQ .因为三角形的重心是中线的交点，(大前提) M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，(小前提)所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点．(结论)因为三角形的重心将中线长分成1∶2的两部分，(大前提)M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，BP ，BQ 分别是△ABD 和△BCD 的中线，(小前提)所以BM MP ＝2＝BNNQ.(结论)平行线分线段成比例定理的逆定理，(大前提)BM MP ＝2＝BNNQ ，(小前提)所以MN ∥PQ .(结论)直线与平面平行的判定定理，(大前提) MN ⊄平面ACD ，PQ ⊂平面ACD ，(小前提)所以MN ∥平面ACD .(结论)B 级 能力提升1．已知函数f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正、负都有可能解析：易知f (x )＝x 3＋x 是R 上的奇函数，且在(－∞，＋∞)上单调递增，因为a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，所以a >－b ，c >－a ，b >－c ，所以f (a )>f (－b )，f (c )>f (－a )，f (b )>f (－c )，即f (a )>－f (b )，f (c )>－f (a )，f (b )>－f (c )，所以f (a )＋f (b )>0，f (c )＋f (a )>0，f (b )＋f (c )>0，三个不等式左右两边分别相加得2[f (a )＋f (b )＋f (c )]>0，所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.故选A.答案：A2．设a ＞0，f (x )＝ex a ＋aex是R 上的偶函数，则a 的值为____．解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝⎛⎭⎪⎫ex －1ex ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a＝0，即a 2＝1.又a ＞0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n . 所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n －13＋n （n ＋1）2.(3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)≤0.所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．。
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解：如图，在 Rt△ABC 中，
2 2 a ＋ b a b cos2A＋cos2B＝( )2＋( )2＝ 2 ＝1. c c c 把结论类比到四面体 P－ABC 中，我们猜想，在三棱锥 P －ABC 中，若三个侧面 PAB，PBC，PCA 两两互相垂直，且与 底面所成的二面角分别为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
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定义
特征
归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特 征，推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的推理，或者由个别事实概 括出一般结论的推理，称为归纳推理 (简称归纳 ) 归纳推理是由部分到整体，由个别到 一般的推理 .
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[自主解答] (1)当 n＝1 时，a1＝1， an 由 an＋1＝ ( n ∈N * ) ， 1＋2an 1 得 a2＝ ， 3 a2 1 a3 1 a3＝ ＝ ，a4＝ ＝ ，a5＝ 1＋2a2 5 1＋2a3 7 a4 1 ＝ . 1＋2a4 9 1 1 1 1 (2)由 a1＝1＝ ，a2＝ ，a3＝ ，a4＝ ， 1 3 5 7 1 a5＝ ， 9 1 可归纳猜想 an＝ (n∈N*)． 高中同步新课标·数学 2n－1
[正解] 如图所示(同错解图)在四面体 P－ABC 中，S1， S2，S3，S 分别为△PAB，△PBC，△PAC，△ABC 的面积，α， β，γ 分别为侧面 PAB，面 PBC，面 PAC 与底面 ABC 所成二 面角的大小，猜想：在四面体 P－ABC 中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.
解析：f(2)＝1， f(3)＝ 1＋2， f(4)＝1 ＋2＋ 3， f(5)＝ 1 ＋2＋3＋4， nn－1 猜想当 n≥2 时，f(n)＝1＋2＋„＋(n－1)＝ . 2 1 答案： n(n－1) 2
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考点三
类比推理
例 3：三角形与四面体有下列共同的性质： (1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形； 四面体 是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形． (2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的 各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角 形上各点连线所形成的图形．
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归纳推理在几何中应用的关键 在几何中随点、线、面等元素的增加，探究相应的线段、交点、
区域部分等的增加情况常用归纳推理解决，寻找递推关系是解决
该类问题的关键．
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2．设平面内有n条直线(n≥2)，其中任意两条直线都不平行，任
意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则 当n≥2时，f(n)＝__________.(用含n的数学表达式表示)
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如图所示，
在△ABC 中，射影定理可表示为 a＝b· cos C＋c· cos B，其 中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，类比上述定理，写出 对四面体性质的猜想．
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[错解]
如图所示，在四面体 P－ABC 中，S1，S2，
解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方 面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点 如下： 平面图 直 边 面 三角 线线 点 形 线 长 积 形 角 空间图 直 平 面 体 四面 面面 形 线 面 积 积 体 角
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3．在 Rt△ABC 中，若∠C＝90° ，则 cos2A＋cos2B＝1， 在立体几何中，给出四面体性质的猜想．
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3．已知扇形的弧长为 l，半径为 r，类比三角形的面积 底× 高 公式 S＝ ，可知扇形面积公式为( ) 2 r2 l2 A. B. 2 2 lr C. D．无法确定 2
解析：扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三 lr 角形的高，因此可得扇形面积公式 S＝ . 2 答案：C
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4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的 面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的 比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成 平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若 两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8. 答案：1∶8
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2 2＋1 2 2＋2 2 2＋3 3. < ， < ， < ，… 3 3＋1 3 3＋2 3 3＋3 2 2＋m 由此猜想： < (m 为正实数)．上述推理是 3 3＋m 归纳推理还是类比推理？
提示：归纳推理．
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创新方案系列丛书 考点一 数列中的归纳推理 例 1 ：已知数列 {an} 的第一项 a1 ＝ 1，且 an＋ 1 ＝ an (n＝1,2,3，…)． 1＋2an (1)求 a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想这个数列的通项 公式．
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5．(陕西高考)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此规律，第五个等式应为________． 解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数 应为n；每行的个数分别为1、3、5、…，所以第n行的个数应为2n －1.所以第5行的数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋… ＋13＝81. 答案：5＋6＋7＋…＋13＝81
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2．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前 4 项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1 C．an＝3n－2n
B．an＝3n D．an＝3n－1＋2n－3
解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27， 猜想 an＝3n－1. 答案：A
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[自主解答] 设圆内两两相交的 n 条线段，彼此最多分割成的线 段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分． (1)f(1)＝1＝12， g(1)＝2； f(2)＝4＝22， g(2)＝4＝2＋2； f(3)＝9＝32， g(3)＝7＝2＋2＋3； f(4)＝16＝42， g(4)＝11＝2＋2＋3＋4； 猜想：f(n)＝n2 1＋nn n2＋n＋2 g(n)＝2＋2＋3＋4＋„＋n＝1＋ ＝ . 2 2 即圆内两两相交的 n(n≥2)条线段，彼此最多分割为 n2 条线段， n2＋n＋2 将圆最多分割为 部分． 2 高中同步新课标·数学
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解决此类问题的关键是根据第n项与序号n的关系，归纳数 列的一个通项公式．需要注意的是：在归纳推理中，根据同一 个前提，可能归纳出不同的结论．
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2 1 1． 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝－ ， 且 Sn＋ ＋ 3 Sn 2 ＝ an(n≥2) ．计 算 S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， 猜想 Sn 的表达式 为 ____________________．
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an 把“an＋1＝ ”改为“an＋1＝2an＋1(n∈N*)”， 其他条 1＋2an 件不变，如何求解？
解：(1)由已知 a1＝1，an＋1＝2an＋1 得 a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7， a4＝2a3＋1＝15，a5＝2a4＋1＝31. 1 2 (2)由 a1＝1＝2 －1， a2＝3＝2 －1， a3＝7 3 ＝2 －1， a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1， 归纳猜想 an＝2n－1(n∈N*)．
类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征，推出另一 类对象也具有这些特征的推理，称为 类比推理 (简称类比 ) 类比推理是由特殊到特殊的推理 .
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2.合情推理 (1)含义： 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过 观察 、 分析 、 比较 、 联想 ， 再进行 归纳 、类比 ，然后提出 猜想 的推理，我们把它 们统称为合情推理． (2)合情推理的过程： 观察、分析 提出 从具体问题出发 归纳、类比 比较、联想 猜想
S3，S 分别为△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α， β，γ，分别为 PA，PB，PC 与底面 ABC 所成的角，猜想，在 四面体 P－ABC 中，S＝ S1· cos α＋S2· cos β＋S3· cos γ.
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[错因] 平面几何中的角是由两条射线组成，在立体几 何中，与之类比的是由两个平面组成的角，即二面角．因此， 错解中类比对象不正确．
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1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一 定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正 在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性， 不一定可靠．
2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的 腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因 此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你 认为该过程为归纳推理还是类比推理？ 提示：类比推理．
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通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写 下表：
四面体 四面体任意三个面的面积之和 三角形两边之和大于第三边 大于第四个面的面积 四面体的中截面的面积等于第 三角形的中位线等于第三边的 1 四个面面积的 ，且平行于第四 4 一半并且平行于第三边 个面 三角形的三条内角平分线交于 四面体的六个二面角的平分面 一点， 且这个点是三角形内切圆 交于一点， 且这个点是四面体的 的圆心 内切球的球心 1 四面体的体积为 V＝ (S1＋S2＋ 3 1 三角形的面积为 S＝ (a＋b＋ S ＋S )r，S 、S 、S 、S 为四 2 3 4 1 2 3 4 c)r(r 为三角形内切圆的半径) 面体四个面的面积，r 为内切球 的半径