浙教版七年级下册数学：阅读材料 《九章算术中的“方程”
阅读材料 《九章算术》中的“方程”教学设计
本题选自“方
甲得乙半而钱五十，乙得甲太半(2/3)而钱亦五十。
程”章中二元
问甲、乙持钱各几何？
一次方程组问
（限时 3 分钟，列方程求解）
题系列的第十
(利用手机投屏功能，及时将学生解题过程评价反馈) 题，“复制式”
呈现，是首个
自
含分数系数的
主
二元一次方程 组问题。
练
归纳处理含分
习
数方程一般测 量：
“分数化整”
三、教学重难点：
教学重点：利用二元一次方程组解决《九章算术》中的简单实际问题
教学难点：部分题目稍有文言表述，学生对题意理解可能稍有困难； 数学文化、数学思想方法的渗透
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四、教学过程：
教学 过程
教学内容
师：在源远流长的人类数学发展史上，中国古代数学 一直扮演着一个重要的角色。今天，让我们一起穿越 历史，品味中国古典数学的神奇魅力。
二元一次方程 组应用的基础 之上，自然地 类比延伸到三
元一次方程组
延 师：本题是“方程”章的第一题，是本章思想方法的 问题。在解法
伸
典型体现。对于这个方程组，你有信心可以解决么？ 上也是类比二 生：可以通过“消元”，转化为二元一次方程组再解 元一次方程组，
凸显“消元”
和“转化”的
思想。
问题七：（畜牧问题）（列方程）
师：像这类含有分数的方程，一般我们求解时会怎么
处理？
“附加式”地
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生：先将其变形，转化为整数再求解 师：没错，事实上在古典数学中也是类似处理。值得 骄傲的是，《九章算术》在数学史中首次系统讨论了分 数，而本题是则是其中第一个含分数的方程应用。
九章算术方程题目解析
九章算术方程题目解析
在九章算术中，方程题目是数学中的重要部分。
方程题目要求我们找到一个或
多个未知数的值，使得方程两边相等。
下面将对九章算术中一些常见的方程题目进行解析。
1. 一元一次方程
一元一次方程是形如ax + b = c的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解
这类方程可以采用平衡法，移项得到x = (c - b) / a。
注意，当a等于0时，方程没
有解或有无数解。
2. 一元二次方程
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。
解这类方程可以利用求根公式，即x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
注意，当判别式(b^2 - 4ac)小于0时，方程无解。
3. 分式方程
分式方程是含有分式的方程。
解这类方程的关键是化简分式，将分母消去或通分，使得方程化为整式方程。
然后按照一元一次方程或一元二次方程的方法解。
4. 线性方程组
线性方程组是包含多个方程的方程组，每个方程中包含相同的未知数。
解线性
方程组可以通过消元法、代入法或矩阵法等方法。
目标是找到使得所有方程都成立的未知数的值。
总结来说，九章算术中的方程题目可分为一元一次方程、一元二次方程、分式
方程和线性方程组。
解这些方程题目的关键是灵活应用解方程的方法，将问题转化为求解未知数的表达式。
掌握这些解题方法有助于我们更好地理解和应用数学知识。
《九章算术》中的“方程”优秀教案
《九章算术》中的“方程”——基于HPM视角的拓展课一、教材分析：本节课源自浙教版七年级下册第2章二元一次方程组第53页阅读材料，这是在学生学习了二元一次方程组后对方程内容的拓展。
学生在此之前，已经有解一元一次方程、二元一次方程组甚至三元一次方程组的经验，主要通过加减或者代入消元，但是学生对更多元的方程还缺乏经验，对数学文化的了解比较欠缺。
而九章算术中有丰富的方程应用内容，包括从“一元”到“五元”的线性方程应用，题目来源于生活，应用于生活，具有趣味性，是基于HPM视角向学生作知识拓展的良好素材。
二、教学目标：（一）知识与技能目标：1、了解《九章算术》的历史意义、主要内容及其独特成就，了解古人的算筹技法；2、能利用方程思想解决《九章算术》中的简单方程实际问题；（二）过程与方法目标：1、重点经历二元一次方程组甚至多元线性方程的求解过程，体会“方程”思想在解决实际问题中的重要性，再次体验“消元”思想的实际应用。
2、让学生经历求解《九章算术》中由“一元”到“五元”的过程，了解线性方程的发展，体验类比探究的思想。
（三）情感态度与价值观目标：1、通过了解中国古代数学名著《九章算术》的背景和内容，渗透数学文化，培养学生形成正确数学史观。
2、激发学生学习兴趣，拓宽知识视野，感受数学的悠久历史，感悟数学文化多元性。
三、教学重难点：教学重点：利用二元一次方程组解决《九章算术》中的简单实际问题教学难点：部分题目稍有文言表述，学生对题意理解可能稍有困难；数学文化、数学思想方法的渗透四、教学过程：例题尝试生：代入消元师：对于这个题目，比较两种解法，你更喜欢哪一个？为什么？生：加减消元，因为代入消元此时会出现分数师：所以我们在解方程时，也是遵循方便原则。
问题三：（亩产问题）今有甲乙两块地共6亩，甲地亩产4担粮，乙地亩产3担粮，甲地的总产量比乙地总产量多10担。
问：甲乙两地面积各多少亩？（限时3分钟，列方程求解）师：请一位同学来阐述一下你的解题过程生：设甲x亩，乙y亩，列二元一次方程组=643=10x yx y+⎧⎨-⎩……师：他采用的是什么方法？那用代入（加减）消元是不是也很方便？这两种解法，在计算过程上看似不同，但是它们的本质上是一样的，不管是利用代入还是加减，主要想达到怎样的目的？生：实现消元。
九章算术中的一元一次方程问题
一、引言九章算术是我国古代著名的数学经典之一，涵盖了广泛的数学内容，其中包括一元一次方程问题。
一元一次方程在数学中占有重要的地位，解决现实生活中的问题，也是数学学习中的重点内容。
本文将从九章算术中的一元一次方程问题入手，探讨其解法和应用。
二、一元一次方程的概念1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a≠0，a和b是已知数，x是未知数，且x的最高次数为1。
例如2x+3=5就是一个一元一次方程。
2. 一元一次方程的解对于一元一次方程ax+b=0，可以使用反运算的原则，将方程化简为x=-b/a，因此方程的解为x=-b/a。
三、九章算术中的一元一次方程问题1. 《九章算术》中的具体问题《九章算术》是我国古代数学经典之一，其内容包含了丰富的数学问题和方法。
在《九章算术》中，有许多关于一元一次方程的问题，如田甲申数问题、城市水井修建问题等。
这些问题都是现实生活中的数学表达，通过一元一次方程的方法可以求解。
2. 举例分析以田甲申数问题为例，题目是这样的：田积之甲、丁之申，问积之何？这是一个典型的一元一次方程问题，通过变量的设定和方程的建立，可以得到方程的解，从而求得问题的答案。
3. 解法探讨《九章算术》中的一元一次方程问题，通常都可以通过设立变量、建立方程、解方程等步骤来求解。
这些问题在古代的《九章算术》中被提出，不仅具有数学意义，还对古代生产生活有着实际的指导作用。
四、一元一次方程在现实生活中的应用1. 求职择业在现实生活中，一元一次方程常常被用于求职择业过程中的问题。
关于工资的问题、工作时间的问题等，都可以建立成一元一次方程进行求解。
2. 购物计算在日常的购物消费中，一元一次方程也有着广泛的应用。
折扣问题、商品打折后的价格计算等都可以用一元一次方程进行求解。
3. 金融投资在金融投资领域，一元一次方程也有着重要的作用。
计算利息、投资收益率等问题都可以转化为一元一次方程进行求解。
五、一元一次方程问题的解法和技巧1. 设立方程的关键在解一元一次方程问题时，最关键的是能够正确地设立方程，将现实生活中的问题转化为数学表达式。
浙教版数学七年级下册《阅读材料 《九章算术》中的“方程”》教学设计2
浙教版数学七年级下册《阅读材料《九章算术》中的“方程”》教学设计2一. 教材分析《九章算术》是中国古代数学的经典著作之一，其中的“方程”部分是代数学的重要内容。
浙教版数学七年级下册的《阅读材料《九章算术》中的“方程”》选材精炼，语言通俗易懂，适合七年级学生阅读理解。
本节课通过学习《九章算术》中的方程，让学生了解中国古代数学的发展，感受数学文化的魅力，同时掌握一元一次方程的解法。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了代数基础知识，对一元一次方程有一定的了解。
但对于《九章算术》这部古代数学著作，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生了解《九章算术》的历史背景，激发学生的学习兴趣，同时注重对学生阅读理解能力的培养。
三. 教学目标1.了解《九章算术》的历史背景，感受数学文化的魅力。
2.掌握一元一次方程的解法。
3.培养学生的阅读理解能力，提高学生对数学问题的分析能力。
四. 教学重难点1.教学重点：《九章算术》中的方程及其解法。
2.教学难点：理解《九章算术》中的古代数学思想，运用一元一次方程解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入《九章算术》的历史背景，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：引导学生主动思考，分析问题，解决问题。
3.合作学习法：鼓励学生之间相互讨论，共同探讨问题的解决方法。
4.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对一元一次方程解法的理解。
六. 教学准备1.教师准备：《九章算术》的相关资料，一元一次方程的案例。
2.学生准备：预习《九章算术》中的方程部分，了解一元一次方程的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师简要介绍《九章算术》的历史背景，引导学生了解这部古代数学著作的重要性。
2.呈现（10分钟）教师展示《九章算术》中的方程案例，让学生阅读并理解方程的含义。
3.操练（10分钟）教师提出一组实际问题，引导学生运用阅读材料中所学的一元一次方程进行解答。
学生分组讨论，共同探讨解题方法。
参考资料：九章算术中的二元一次方程组
参考资料：《九章算术》中的二元一次方程组大自然充满了未知领域，是人类的智慧架起了一座座从已知通向未知的桥梁，构筑了灿烂的科学文化。
线性方程组及其求解，无疑就是这些桥梁中最美丽的几座。
代数学发展的一条主要方向就是方程理论。
大约在3600年前，自埃及祭司阿莫斯用象形文字在纸草书上写下史上第一个一元一次方程后，相关理论研究逐渐向两个方向延伸：增高未知数的次数，衍生出一元高次方程理论；增加未知项的个数，创造了线性方程组理论。
值得骄傲的是，早在《九章算术》成书时代，中国古人已对较为复杂的线性方程组问题展开了研究。
而西方直至17世纪相关研究尚处于初级阶段。
1. 中国古代的线性方程组今天教科书中“方程”术语源于英文Equation之翻译(清代数学家李善兰首译)，然而中国古代数学中的“方程”并非现代“含有未知数的等式”之涵义。
成书早于《九章算术》的江陵张家山竹简《算数书》记载，“方程”是由“程禾”算法发展而来。
“程禾”就是考核粮食作物的产量。
在《九章算术》的方程章，其前六题皆是测算粮食产量问题，可见一斑。
如第1题：今有上禾(上等稻)三秉(捆)，中禾二秉，下禾一秉，实(谷子) 三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。
问上、中、下禾一秉各几何？“方程”的明确定义由刘徽在《九章算术》方程章开篇诠释道：程，课程也。
群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率。
二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。
其中“数”乃群物之数，即诸未知项的系数，“实”是“数”与“物”的线性组合，相当于常数项，“总”则暗示了等量关系。
因而“方程”的每行都可以看作是一个多元一次方程，“方程”各行联立起来就组成了一个线性方程组。
因此，中国古代的“方程”就是现在的线性方程组。
《九章算术》中的算筹图是竖排的(从左至右)。
若用印度-阿拉伯数码，方程章第1题则可表示为：实乃现代线性方程组的系数排列而成的数表。
最新数学文化之《九章算术》—方程
《九章算术》—方程“方程”史话：我们研究许多数学问题时，可以发现其中的未知数不是孤立的，它们与一些已知数之间有确定的联系，这种联系常常表现为一定的相等关系，把这种关系用数学形式写出来就是含有未知数的等式，这种等式的数学专有名称是方程.人们对方程的研究可以上溯到很早以前，公园820年左右，中亚细亚的数学家阿尔花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法，这本书对后来数学发展产生了很大的影响.在很长时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们，17世纪时，法国数学家笛卡尔最早提出用x,y,z这样的字母表示未知数，把这样的字母与普通数字同样看待，用运算符合和等号将字母与数字连接起来，就形成含有未知数的等式，后来经过不断的简化改进，方程逐渐演变成现在的表达形式，例如-+==+yx等.xx7453,0416,52=中国人对方程的研究有悠久的历史，汉语中“方程”一词最初源于讨论多个未知数的问题.著名中国古代著作《九章算术》大约成书于公元前200~前50年，其中有专门以“方程”命名的一章，其中以一些实际应用问题为例，给出了列由几个方程组成的方程组的解题方法.中国古代数学家表示方程时，只用算筹表示各未知数的系数，而没有使用专门的记法来表示未知数，按照这样的表示法，方程组被排列成长方形的数字阵，这与现在代数学中的矩阵非常接近，宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程，这种方法的代表作是“立天元一”相当于现在的“设未知数x”.1859年，中国清代数学家李善兰翻译外国数学著作时，开始讲equation(指含有未知数的等式)一词译为方程，即将含有未知数的一个等式称为方程，而将含有未知数的多个等式的组合称为方程组，至今一直这样沿用.随着数学的研究范围不断扩充，方程被普遍使用，它的作用越来越重要，从初等数学中的简单代数方程，到高等数学中的微分方程、积分方程，方程的类型由简单到复杂不断地发展.但是，无论方程的类型如何变化，形形色色的方程都是含有未知数的等式，都表述涉及未知数的相等关系；解方程的基本思想都是依据相等关系使未知数逐步化归为用已知数表达的形式.这正是方程的本质所在.《九章算术》方程：《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代的记法．设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ 26323432 323z y x z y x z y x其他国家或民族给出联立一次方程组的解法比中国晚不少年，如在印度最早出现在婆罗摩笈多(Brahmagupta ，598-660)的著作《婆罗摩修正体系》之中；而欧洲最早提出三元一次方程组解法者是法国数学家布丢(J.Buteo ，1485-1572).《九章算术》方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致.如第2、10题就是典型的二元一次方程组.今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？这里的“损实”就是减去，“益实”就是加上，故而“益实”和“损实”是一对互为相反意义的正负概念.同时在“术”中还给出移项的概念.解按术计算有：设上禾每捆打谷斗，下禾每捆打谷斗.据题意可得方程组(71)2102(81)10x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得35264152x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？ 据题意可得15022503x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得37.525x y =⎧⎨=⎩.。
《九章算术》中的“方程”
《九章算术》中的“方程”一、教材分析阅读材料《九章算术》中的“方程”，位于浙教版七年级下册第二章二元一次方程组的章末，本材料之前有一元一次方程、二元一次方程及三元一次方程的知识，而三元一次方程作为选学材料编排于教材之中，故此阅读材料一方面是进行三元一次方程的简单应用，另一方面是了解数学史，认识《九章算术》中的“方程”及此著作对于人类数学发展的作用. 二、学情分析学生在之前已经学习了一元一次方程、二元一次方程及三元一次方程的知识，对于解三元一次方程组有一定的基础，所以已经具备学习本节课的基础，另一方面，学生对于如何在应用题中使用方程及有针对性地消元存在一定的困难，是本节课学生在三元一次方程知识上的生长点.而对于《九章算术》著作，基本上学生一无所知，所以通过了解《九章算术》这本书，引入方程，认识方程的发展对学生来说是一件有趣数学文化拓展课.三、教学目标1.通过观看视频《九章算术》，了解它在代数学上的作用.2.经历用解方程组的方法解决历史问题的过程，巩固三元一次方程的解法.3.经历古人用“方程术”解决问题的过程，对比古今解方程的方法，理解在方程上数学的发展和传承，提高学生的数学发展意识.4.经历“方程术”的解法，了解古人的智慧，提升学生的数学学习兴趣.四、教学重难点教学重点：三元一次方程组的应用、古今解方程方法的对比教学难点：理解“方程术”五、课前准备“方程术”阅读材料、《九章算术》简介微视频一个、学生录制对“方程术”讲解的微课一个.六、教学过程环节一：了解名著，引出课题导语：同学们你们听说过《九章算术》这本书吗？预设：有听过孩子说一说，没听过看一段小视频进行了解.活动一：观看《九章算术简介》问题1:你了解到《九章算术》是讲什么吗？引出课题：今天我们来学习《九章算术》中的“方程”.设计意图：通过视频学习，了解《九章算术》在历史上的地位，提高学生数学学习兴趣，并以此引出课题.环节二：今法解历史的“方程”活动二：呈现历史上的一个“方程”问题.今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上，中，下禾实一秉共几何？任务：尝试翻译.呈现翻译后的问题：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗；问上、中、下三种稻，每一束的出谷量各是多少斗？问题1：你们能解决这个问题吗？预设：学生能解决，列方程解应用题.问题2：这个方程组你会解吗？问题3：你是用什么模型来解决这个问题？问题4：这个方程组你们现在会解吗？请同学讲一讲，你是用什么方法解方程组的？问题5：那你是如何进行消元的？设计意图：经历利用三元一次方程组解决实际问题的过程，回顾三元一次方程组的求解的过程，体会将三元一次方程组通过消元变为二元一次方程组的方法.指出对三条方程的处理都应先集中力量消某一元.环节三：合作学习古法“方程术”问题1：我们是通过方程组进行消元进行转化，你知道古人是怎么解决这个问题的吗？预设：学生是不知道的，且难以猜测.活动三：呈现古人“方程术材料”，介绍古代“方”、“程”概念及“方程术”.问题2：这份材料中你能揣摩古人是怎么解决这个问题的吗？活动四：请大家阅读材料，学习古人是如何利用“方程术”来解决这个问题.任务1：阅读过程中将遇到的问题记录下来.合作学习：小组讨论，尝试解决阅读过程中遇到的问题.任务2：共同解决小组讨论后遗留的问题.设计意图：通过接触材料，猜想“方程术”，到阅读材料尝试验证猜想的过程，渐渐了解古人思维，提高学生获取信息的能力，而在阅读过程中记录阅读的问题，提高学生提出问题的能力，尝试通过小组合作一起解决它，并在小组合作后共同解决难点问题.环节四：微课学习，对比归纳活动五：观看学生录制的微视频《九章算术》中的方程组解法.任务：尝试解决阅读时遇见的问题.思考：解方程组和“方程术”有哪些联系和不同？问题1：现在解方程组与“方程术”相比，优势在哪里？问题2：对比古今对方程的解法，发展的是什么？不变的是什么？设计意图：通过微视频学习“方程术”全过程，梳理其中的数学本质，古今对比关注数学的发展与传承.环节五：回看历史，展望未来总结：《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作． “方程”是其中的一章．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．宋元时期 ，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程．这种方法的代表作是数学家李治写的《测圆海镜》（1248 年），书中所说的“立天元一 ” 相当于现在的 “设未知数x ”.介绍算筹体系在计算机上的应用.课后研讨：现在有5只羊，4只狗，3只鸡，2只兔，值1496钱；4只羊，2只狗，6只鸡，3只兔，值1175钱；3只羊，1只狗，7只鸡，5只兔，值958钱；2只羊，3只狗，5只鸡，1只兔，值861钱.问羊、狗、鸡、兔每只钱各为多少？ 设计意图：通过了解历史的发展，体会数学发展的进程，了解计算机中算筹体系的使用，看今朝古人智慧依然发光发亮，留下一道同类问题供同学思考研究.七、板书设计解：设上等稻出谷x 斗，中等y 斗，下等z 斗.求解过程本质：消元 课题：《九章算术》中的“方程” ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++263234323923z y x z y x z y x 阅读后 提出的问题 两者联系： 消元等量关系。
浙教版数学七年级下册《阅读材料 《九章算术》中的“方程”》教学设计1
浙教版数学七年级下册《阅读材料《九章算术》中的“方程”》教学设计1一. 教材分析《九章算术》是中国古代著名的数学著作，其中的“方程”篇是研究线性方程的一篇重要内容。
浙教版数学七年级下册将这部分内容作为阅读材料，旨在让学生了解中国古代数学的发展和方程思想的应用。
本文将结合教材内容，设计一份详细的教学设计文档。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了代数基础知识，对一元一次方程有了初步的了解。
但针对《九章算术》中的方程内容，学生可能对古代文化和方法有一定的陌生感。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解古代数学家的思维方式，激发学生对古代数学的兴趣。
三. 教学目标1.了解《九章算术》中的方程内容，感受古代数学家的智慧。
2.掌握《九章算术》中解方程的方法，并能运用到实际问题中。
3.培养学生对古代数学的兴趣，提高学生的文献阅读能力。
四. 教学重难点1.重点：《九章算术》中方程的理解和应用。
2.难点：古代数学家的解方程方法与现代数学的差异。
五. 教学方法1.讲授法：讲解《九章算术》中的方程理论。
2.案例分析法：分析古代数学家解方程的方法。
3.讨论法：引导学生探讨古代数学家的思维方式。
4.实践法：让学生尝试运用《九章算术》中的方法解实际问题。
六. 教学准备1.教材：《浙教版数学七年级下册》。
2.课件：制作与教学内容相关的课件。
3.练习题：设计针对性的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）简要介绍《九章算术》的背景和地位，引导学生关注古代数学家的智慧。
2.呈现（10分钟）讲解《九章算术》中的方程内容，让学生了解古代数学家是如何定义方程的，以及他们是如何解方程的。
3.操练（10分钟）让学生尝试运用《九章算术》中的方法解方程，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用所学的方程知识解决。
通过练习，巩固学生对《九章算术》中方程的理解。
5.拓展（10分钟）引导学生探讨古代数学家的解方程方法与现代数学的差异，以及这种差异背后的原因。
《九章算术》中的方程-
《九章算术》﹝约公元50-100年﹞《九章算术》的成书年代各说不一，约在公元50至100年间，书中系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国古代数学著作中影响最大的一部。
下面介绍书中各章的内容。
第一章，「方田」：平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等田地的求积公式，及分数算法，包括分数的加、减、乘、除运算，约分﹝将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。
第二章，「粟米」：各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。
第三章，「衰分」：比例分配问题。
第四章，「少广」：多位数开平方，开立方的法则。
第五章，「商功」：立体形体积的计算。
第六章，「均输」：处理行程和合理解决征税的问题。
还有一些与按人口征税有关的问题。
其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。
第七章，「盈不足」：算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。
第八章，「方程」：有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。
将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。
在本章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。
第九章，「勾股」：专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。
《九章算术》的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，它有以下的一些特点：1.是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；2.以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，"术"是主要需阐述的内容；3.以算筹为工具。
《九章算术》取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。
《九章算术》的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。
九章算术关于方程的论述
九章算术关于方程的论述
九章算术是中国古代数学的经典著作之一，其涵盖了许多数学领域的知识，包括方程。
在九章算术中，方程被称为“方程术”，并被广泛应用于商业、土地测量和其他实际问题的解决。
九章算术中的方程术主要涉及到一元二次方程和一元三次方程的解法。
其中，一元二次方程的一般形式为ax²+bx=c，而一元三次方程的一般形式为ax³+bx²=cx+d。
在解这些方程时，九章算术提供了多种方法，如“正平方解法”、“方程合并解法”、“方程正负解法”等。
在“正平方解法”中，九章算术通过将一元二次方程转化为完全平方形式来求解。
例如，对于方程x²+10x=39，可以将其转化为(x+5)²=64，然后求出x的值。
这种方法在解决商业问题和土地测量问题时特别有用。
在“方程合并解法”中，九章算术将方程中的同类项合并，然后通过移项来求解。
例如，对于方程3x²-5x+2=0，可以将其转化为3x²=5x-2，然后通过移项得到x的值。
这种方法在解决一些实际问题时特别有用，如计算利息等。
在“方程正负解法”中，九章算术通过判断方程的根的正负性来求解。
例如，对于方程x²-5x+6=0，可以通过判断其根的正负性来得到解x=2或x=3。
这种方法在解决一些实际问题时也特别有用，如计算两个数之间的差等。
总的来说，九章算术对方程的解法进行了深入的研究和总结，为后世的数学发展奠定了坚实的基础。
数学文化之《九章算术》—方程
数学文化之《九章算术》—方程《九章算术》是中国古代最早的数学著作之一，约成书于公元前2世纪。
这部古代数学经典以其周密精确的推理和发现方法而闻名于世，对数学文化的发展起到了重要作用。
其中，方程是《九章算术》中的重要内容之一方程是指包含未知数和已知数之间关系的数学语句。
《九章算术》中的方程主要分为一元方程和二元方程两种类型。
一元方程是指只含有一个未知数的方程，例如，"a+2=5"，其中a为未知数。
而二元方程则包含两个未知数，例如，"x+y=10"，其中x和y均为未知数。
在《九章算术》中，方程的解法主要基于推导、变形和运算等数学操作。
例如，对于一元方程"a+2=5"，可以通过推导和变形得到a的解是3、具体步骤是：先将方程变形为"a=5-2"，再进行计算"a=3"，得到结果a等于3、类似地，对于二元方程"x+y=10"，可以通过变形和运算得到x和y的解。
例如，假设x=3，则根据方程可得出y=7方程的解法包括了各种运算和推理方法，如加减乘除、变量代入、整理方程等。
这些方法不仅展示了古代中国人民对数学的深刻思考和智慧，也为后世数学家提供了基本的解题思路和方法。
《九章算术》的方程解法不仅适用于具体数值，还可以用于代数表达式和未知数的推导。
这种解题思维的推广和应用，对于后世数学的发展起到了积极的促进作用。
方程在数学中有着广泛的应用。
在代数学中，方程是研究未知数和已知数关系的重要工具。
它不仅用于数学领域的证明和推导，还广泛应用于物理学、化学、经济学等各个学科的问题中。
方程的解法和推理方法也成为数学学习的重要部分，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
总而言之，方程是《九章算术》中的重要内容之一，它展示了古代中国人民对数学的独特思考和智慧。
方程的解法和推理方法不仅为古代和现代数学的发展做出了重要贡献，而且在各个学科的实际应用中发挥着不可替代的作用。
九章算术第八章方程
九章算术第八章方程方程(Equation)是数学的基础，九章算术的第八章讨论的就是方程。
方程是一个把未知量和已知量关联起来的表达式，一般可以解决具体问题，并获得相应的结果。
九章算术第八章方程，也叫可求解方程，主要介绍了如何求解一元一次方程、一元二次方程、三角形面积公式、椭圆方程和其它方程的解法，以及如何处理一些涉及其他方程的问题。
一元一次方程是数学中最原始的一种方程，它的解可以表示为一个未知数的一个值。
它的形式为一元一次不等式，如：ax + b = 0，其中a和b都是常数，而x是未知量。
根据求解方程的原理，可以快速求出此方程的解。
一元二次方程是一种比较复杂的方程，它的形式为ax2 + bx + c = 0，其中a、b、c都是常数，而x是未知量。
根据一元二次方程的求解法，可以求解出此方程的两个解。
三角形面积公式是依据三角形两边长和角度，利用数学公式求解三角形面积的方法。
例如，给定三角形的三个边a、b、c，以及它们两个内角A、B，则三角形的面积可以用公式 S=ab sin C/2得，其中C为两边的夹角。
椭圆方程是一种可以表示椭圆的数学表达式，它的形式一般为Ax2 + By2 + Cx + Ey + F = 0，其中A、B、C、E、F都是常数，而x、y为未知量。
椭圆方程是可以用于求解椭圆面积、半径和周长等等问题的方程。
九章算术第八章方程还有一些特殊的方程，例如立方方程、指数方程和微分方程等等，其解法不是很常见，但是也很重要。
以上就是九章算术第八章方程的主要内容。
虽然九章算术第八章方程的内容很多，但是通过仔细的学习和实践，可以很快掌握方程的求解方法，并熟练掌握数学中的各种方程解决问题的能力。
九章算术第八章方程虽然了解起来有些困难，但是也是数学中比较重要的一章，学习这一章对于理解数学中更深层次的概念是非常有帮助的。
初中数学精品教案：九章算术》中的方程
《0208〈九章算术〉中的方程》微设计学习目标:1. 了解九章算术的基本内容；2.掌握三元一次方程组的解法；3.培养学生的荣誉感和爱国情操.学习重点：会熟练解三元一次方程组.学习难点：灵活选择代入法或加减法.教学过程：一、趣味探索《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就. 同时《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章,分别是：“方田”、“粟米”、“衰分”、“衰分”、“商功”、“均输”、“盈不足”、“方程”和“勾股”.方程章中共计18道题目，其中关于二元一次方程组的有8题，三元的6题，四元、五元的各2题皆是用直除法求解，该演算法是我国古代求解线性方程组的基本方法，其理论上和现在加减消元法基本一致. 《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.二、例题解析例1 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”用现代语言表述为：质量相等的五只雀和六只燕共重500克，雀重燕子轻，若将一只燕与一只雀交换过来，那么一燕四雀和一雀五燕质量相等，问，雀、燕每只各多少克？ 解：设每只雀、燕的重量各为x 克，y 克，由题意得：解方程组得： 所以每只雀、燕的重量各为191000克，19750克. 例2 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾一秉各几何？用现代语言表述：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗.问上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？若设上、中、下三种稻的出谷量分别为x 、y 、z ；可用方程组表述为：在《九章算术中》中，这个方程组用算筹布成的（如下图）.《九章算术》给出的解法是“偏乘直除”法，“偏”即“遍”，“除”即“减”，类似于现在方程组的加减消元法，只不过较为繁琐.在书中，这种解法还用来解四元一次方程组和五元一次方程组.当时的这种解法比印度婆什伽罗的解法早五百多年.三、感悟提升提炼代入加减⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++263z 2y x 34z 3y 2x 39 z 2y 3x ⎩⎨⎧+=+=+x y y x y x 5450065⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==19750191000y x。
初中数学精品教学设计：九章算术中的方程
《0105九章算术中的方程》微设计学习目标：1.了解《九章算术》的历史地位、作用和价值.2.简单理解九章算术中方程的算筹法.3.会用方程思想解决九章算术中的实际问题.学习重点：学会运用方程思想解决实际问题，并感受数学方程思想在解决数学问题时的简便性.学习难点：感受《九章算术》在代数方面的历史贡献，学会运用方程思想解决数学问题.教学过程一、历史追踪《九章算术》经历代各家增补修订，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本，是《算经十书》中最重要的一种，是中国古代第一部数学专著，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，最早提到分数问题，首先记录了盈不足等问题. 丢番图被认为是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜。
丢番图有几种著作，最重要的是《算术》，还有一部是《多角数》，另外一些已遗失.《九章算术》的书名由其内容有九章而来，全书九章共246题，其中卷八专论“方程”，是有史以来首次提出“方程”的著作。
不过，这里的方程与现代数学中的方程概念有所不同，“方”是指把一个算题用算筹列成方阵的形式，“程”是度量的总称.二、数学问题1《九章算术》方程卷第一问：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”？欣赏古人的智慧：用算筹摆成“方阵”，采用遍乘直除（减）法我们的方法：设x、y、z依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组 .对比遍乘直除法，类似于现在方程组的加减消元法，在《九章算术》中这种解法还用来解四元、五元一次方程组，而且比印度婆什伽罗的解法早500多年.三、数学问题2现代考题中的《九章算术》知识：在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）解析：由图1可知，第一列算筹数表示x的系数，第二列算筹数表示y的系数，第三列算筹数表示方程等号另一边数值.∴本题应选A.三、数学解决《九章算术》中有这样一个问题（用现代语言表述）：用卖2头牛、5头羊的钱来买13头猪，还余1000；用卖3头牛、3头猪的钱来买9头羊，钱刚好够；用卖6头羊、8头猪的钱来买5头牛，钱还差600.问每头牛、羊、猪的售价是多少？分析：问1，运用哪种数学知识来解决问题比较恰当？方程组问2，你能找到反应等量关系的语句吗？三个问3，如何设未知数能把等量关系转化为等式？设每头牛售价x，眉头羊售价y，每头猪售价z.解：设每头牛售价x，眉头羊售价y，每头猪售价z.根据题意可得解得，答：每头牛、羊、猪的售价分别为1200,500,300.四、历史影响《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作,其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造,“方程”章还在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则. 现在高中讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同.该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲.《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．五、感悟提升。
浙教版七年级下册第2章 二元一次方程组 阅读材料 《九章算术》中的“方程”
线性方程（组）
8x 3 4
2x 5 y 9 6 x 2 y 11
9 x 7 y 3z 2u 5v 140 7 x 6 y 4 z 5u 3v 128 3x 5 y 7 z 6u 4v 116 2 x 5 y 3z 9u 4v 112 x 3 y 2 z 8u 5v 95
本节课你有哪些收获？
思维拓展
七（3）班某同学参加某项测试，试卷一共10题，
答对1题得4分，不答题得1分，答错得0分。 某同学最终成绩为20分。
请问他答对几道题？未答几道题？答错几道题？
3x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3z 26
五羊、四犬、三鸡、二兔直钱一千四百九十六； 四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五； 三羊、一犬、七鸡、五兔直钱九百五十八； 二羊、三犬、五鸡、一兔直钱八百六十一； 问：羊、犬、鸡、兔各几何？
《九章算术》 中的方程
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。
问：人数、物价各几何？
今有牛？
今有甲乙两块地共6亩， 甲地亩产4担粮，乙地亩产3担粮， 甲地的总产量比乙地总产量多10担。 问：甲乙两地面积各多少亩？
今有甲乙二人持钱不知其数。 甲得乙半而钱五十，乙得甲太半(2/3)而钱亦五十。 问甲、乙持钱各几何？
3x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3z 26
5 x 4 y 3z 2u 1496 4 x 2 y 6 z 3u 1175 3x y 7 z 5u 958 2 x 3 y 5 z u 861
《九章算术》方程
亦以直除。
然以中行中禾不尽者遍乘 左行而以直除。左方下禾 不尽者，上为法，下为实。 以中行中禾数5遍乘左行各 数
实即下禾之实 99为下禾36秉之实
求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。 法 为36，中行下实为24，中秉之数为5，中 禾之实为（36x24-99）÷5=153
余如中禾秉数而一，即中禾之 实。
左
中
右
左
中
右
左
中
右
行
行
行
行
行
行
行
行
行
置上禾三秉，中禾二秉，下 禾一秉，实三十九斗，于右 方。中、左禾列如右方。
以右行上禾遍乘 中行：即以右行 上方的3，遍乘 中行各项
而以直除：即由中行 连续减去右行各对应 项的若干倍数，直到 中行头位数为0
又乘其次，亦以直 除：中行头位消除 后，以右行上禾3 遍乘左行各项，连 续减去右行各对应 项，消去右行头位
7x -1+2y=10 8y+1+2x=10
7x+2y=10+1（移损得益） 8y+2x=10 -1（移益得损）
正负术：
术曰：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除， 同名相益，正无入正之，负无入负之”
同名：同为正数或同为负数 异名：一正一负 相除：相减 相益：相加
Hale Waihona Puke 同名相除（±a）-（±b）=±（a-b）
求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。 39x36-2x153-99=999
9
余如上禾秉数而一，即上禾之实。 余数为999，右边上禾秉数是3，按 术“上禾之实”，999÷3=333 实皆如法，各得一斗。
损益数
九章算术方程
九章算术方程一、什么是九章算术方程？九章算术方程是中国古代汉族民间数学在《九章算术》中所记载的一种方程解法。
《九章算术》是中国古代重要的数学著作之一，其中包含了各种数学问题的解法和应用。
九章算术方程是其中的一项重要内容，它为解决方程问题提供了一种系统的方法。
二、九章算术方程的特点九章算术方程有以下几个特点： ### 1. 分类详细九章算术方程根据方程中未知数的个数和方程中各项的次数，将方程问题进行了详细的分类。
这种分类使得我们能够根据方程的特点选择相应的解法，从而更加高效地解决问题。
2. 精确解法九章算术方程提供了一套精确的解法，可以确切地求解方程的根。
这种解法在当时是相当先进的，为解决实际问题提供了重要的支持。
3. 注重实用性九章算术方程不仅仅是一种理论的推导，更注重于实际问题的解决。
在解题过程中，九章算术方程经常紧密结合实际问题，通过具体的例子说明解题方法。
这种注重实用性的特点使得九章算术方程成为了实际问题求解的重要工具。
三、九章算术方程的解题步骤九章算术方程的解题步骤包括： ### 1. 整理方程首先需要将方程中的各项整理到一边，将方程化为标准形式。
这一步的目的是为了方便后续的计算和处理。
2. 特征归一接下来，需要对方程进行特征归一。
特征归一是通过变换，将方程中的系数归一化，以简化计算的复杂性。
常见的特征归一方法包括倍数、倒数、平方等变换。
3. 分类解法在完成特征归一后，按照九章算术方程的分类进行分别解法。
根据方程的类型和特点，选择相应的解法进行求解。
4. 验证解最后，需要验证所求解是否满足原方程。
通过将求得的根代入原方程，检验方程两边是否相等，以确保解的准确性。
四、九章算术方程的应用九章算术方程的应用非常广泛，包括但不限于以下几个领域： ### 1. 经济学在经济学中，方程是经济模型的基本组成部分。
九章算术方程能够帮助经济学家解决各种经济问题，如供求关系、价格弹性等。
通过建立合适的方程模型，并运用九章算术方程的解题方法，可以更好地理解和分析经济现象。
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第一章
“方田”何为九章第二章“粟米”第三章
“衰分”
第四章
“少广”
第五章
“商功”
第六章
“均输”
何为九章
第七章 “盈不足”
第八章
“方程”
第九章
“勾股”
今有牛五、羊二、直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛羊 各直金几何. 答曰：牛一，直金一两、二十一分两之一十三，羊一，直 金二十一分两之二十.
（选自《九章算术》第八章第七题）
术曰：
请尝试用“偏乘直除”法解二一次方程组：
x 2 y 8 3x 7 y 27
阅读材料
“偏乘直除”法
偏乘
直除
偏乘 9
直除
0
偏乘
直除 99
195
请尝试用“偏乘直除”法解三元一次方程组：
x 4 y 24z 54 2 x 5 y 24z 57 x 2 y 9 z 22
《九章算术》中的“方程”
——二元一次方程组的“前世今生”
桐庐县三合初级中学 冯盼盼
《九章算术》第八章第七题: 原文： 今有牛五、羊二、直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛羊各直金几何.
今文： 5头牛、2只羊共值10两，5只羊、2头牛共值8两，每头牛、每只羊各值多少钱？
同学们， 你们知道“方程”是从哪里来的吗？
挑战极限 解四元一次方程组：
27a 9b 3c d 0 27a 6b c 0 a b c d 8 3a 2b c 4
在学习中要敢于做减法，就是减去前人已 经解决的部分，看看还有哪些问题没有解 决，需要我们去探索解决……——华罗庚
谢谢指导