一元非线性回归分析
一元非线性回归分析
模型，并预测第14年的销售额预测值。
年序号 t
1 2 3 4 5 6 7
年销售额 Y
年序号t
3
8
8
9
12
10
10
11
25
12
14
13
18
年销售额 Y
36 32 57 70 115 150
预测结果：
年销售额的指数拟合结果
年销售额Y
年销售额估计值
160
140
120
100
80
60
40
20
0
年
0
2
4
6
8
10
X
3
二.指数函数
指数函数 Y aebX 设 V ln Y 则 V ln a (b ln e)X
Y
Y
a
O
X
(b> 0)
a
O
X
(b< 0)
4
三.对数函数
对数函数 Y a bln X 设 U ln X 则 Y a bU
Y
Y
O
X
(b> 0)
O (b< 0)
X
5
四.双曲线函数
双曲线函数
一元非线性回归分析
• 非线性回归分析方法就是用一条曲线来拟合因变 量对于自变量的依赖关系。根据问题的性质，拟 合曲线可以是指数曲线、对数曲线、平方根曲线 以及多项式曲线等。具体采用何种曲线主要由两 方面的因素决定。一方面就是自变量与因变量之 间本来就存在着一种内在函数依赖关系，而这种 依赖关系是分析者根据自己的知识背景和经验已 经了解的。另一方面，根据由自变量和因变量观 测值作出的散点图，可以看出它们之间的依赖关 系。
《非线性回归分析》课件
封装式
• 基于模型的错误率和复 杂性进行特征选择。
• 常用的封装方法包括递 归特征消除法和遗传算 法等。
嵌入式
• 特征选择和模型训练同 时进行。
• 与算法结合在一起的特 征选择方法，例如正则 化（Lasso、Ridge）。
数据处理方法：缺失值填充、异常值 处理等
1
网格搜索
通过预定义的参数空间中的方格进行搜
随机搜索
2
索。
在预定义的参数空间中进行随机搜索。
3
贝叶斯调参
使用贝叶斯优化方法对超参数进行优化。
集成学习在非线性回归中的应用
集成学习是一种将若干个基学习器集成在一起以获得更好分类效果的方法，也可以用于非线性回归建模中。
1 堆叠
使用多层模型来组成一个 超级学习器，每个模型继 承前一模型的输出做为自 己的输入。
不可避免地存在数据缺失、异常值等问题，需要使用相应的方法对其进行处理。这是非线性回归 分析中至关重要的一环。
1 缺失值填充
常见的方法包括插值法、代入法和主成分分析等。
2 异常值处理
常见的方法包括删除、截尾、平滑等。
3 特征缩放和标准化
为了提高模型的计算速度和准确性，需要对特征进行缩放和标准化。
偏差-方差平衡与模型复杂度
一种广泛用于图像识别和计算机 视觉领域的神经网络。
循环神经网络
一种用于处理序列数据的神经网 络，如自然语言处理。
sklearn库在非线性回归中的应用
scikit-learn是Python中最受欢迎的机器学习库之一，可以用于非线性回归的建模、评估和调参。
1 模型建立
scikit-learn提供各种非线 性回归算法的实现，如 KNN回归、决策树回归和 支持向量机回归等。
非线性回归分析常见曲线及方程
非线性回归分析常见曲线及方程Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1.双曲线1bay x =+2.二次曲线3.三次曲线4.幂函数曲线5.指数函数曲线(Gompertz)6.倒指数曲线y=a/e b x其中a>0，7.S型曲线(Logistic)1e x ya b-=+8.对数曲线y=a+b log x,x>09.指数曲线y=a e bx其中参数a>01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程2ˆct=.+btas+解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[ 10];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y＝＝＝ u c bv +＝bx y ae ＝ln ln c a u y＝＝u c bv +＝b xe y a＝1ln ln x c a v u y=＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y＝＝ u bv +＝a。
一元非线性回归分析
y
x
0.00082917 0.00896663x
第八章 方差分析与回归分析
第22页
三种方法的拟合效果比较：
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
R2 =0.97292374957556 R2 =0.87731500489620
第八章 方差分析与回归分析
第9页
format long
x=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18 19];
y=[106.42 108.20 109.58 109.5 110 109.93 110.49 110.59 110.60 110.9 110.76 111 111.20];
y 106.3147 3.9466ln x
y 106.3013 1.1947 x y 100 11.7506e1.1256/ x
第八章 方差分析与回归分析
第16页
三种方法的拟合效果比较：
112 散点图 回归函数
111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
plot(x,y,‘k+’);%数据的散点图
非线性回归分析
非线性回归分析随着数据科学和机器学习的发展，回归分析成为了数据分析领域中一种常用的统计分析方法。
线性回归和非线性回归是回归分析的两种主要方法，本文将重点探讨非线性回归分析的原理、应用以及实现方法。
一、非线性回归分析原理非线性回归是指因变量和自变量之间的关系不能用线性方程来描述的情况。
在非线性回归分析中，自变量可以是任意类型的变量，包括数值型变量和分类变量。
而因变量的关系通常通过非线性函数来建模，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
非线性回归模型的一般形式如下：Y = f(X, β) + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β表示回归系数，f表示非线性函数，ε表示误差。
二、非线性回归分析的应用非线性回归分析在实际应用中非常广泛，以下是几个常见的应用领域：1. 生物科学领域：非线性回归可用于研究生物学中的生长过程、药物剂量与效应之间的关系等。
2. 经济学领域：非线性回归可用于经济学中的生产函数、消费函数等的建模与分析。
3. 医学领域：非线性回归可用于医学中的病理学研究、药物研发等方面。
4. 金融领域：非线性回归可用于金融学中的股票价格预测、风险控制等问题。
三、非线性回归分析的实现方法非线性回归分析的实现通常涉及到模型选择、参数估计和模型诊断等步骤。
1. 模型选择：在进行非线性回归分析前，首先需选择适合的非线性模型来拟合数据。
可以根据领域知识或者采用试错法进行模型选择。
2. 参数估计：参数估计是非线性回归分析的核心步骤。
常用的参数估计方法有最小二乘法、最大似然估计法等。
3. 模型诊断：模型诊断主要用于评估拟合模型的质量。
通过分析残差、偏差、方差等指标来评估模型的拟合程度，进而判断模型是否适合。
四、总结非线性回归分析是一种常用的统计分析方法，可应用于各个领域的数据分析任务中。
通过选择适合的非线性模型，进行参数估计和模型诊断，可以有效地拟合和分析非线性关系。
在实际应用中，需要根据具体领域和问题的特点来选择合适的非线性回归方法，以提高分析结果的准确性和可解释性。
非线性回归分析常见曲线及方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S 型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1. 双曲线1b a y x =+2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a /e b x 其中a>0， 7.S 型曲线(Logistic) 1e x y a b -=+ 8.对数曲线 y=a+b log x,x >0 9. 指数曲线y =a e bx 其中参数a >01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta ，r ，J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool （x ，y ，’model’, beta0，alpha ）2．预测和预测误差估计：[Y ，DELTA]=nlpredci （’model’, x，beta ，r ，J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性水平为1-alpha 的置信区间Y ，DELTA.例2 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a /e b x ，建立M 文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。
非线性回归分析
2．向前选择法（Forward Selection）
（1）算出因变量和每个自变量的相关系数，选择具有最大 相关系数的自变量进入回归模型；
（2）对回归系数进行检验，如果检验结果是回归系数为零 ，则放弃回归方程，否则进入下一步；
（3）在上一步的方程中选入的自变量作为控制变量，分别 计算因变量与其他自变量的偏相关系数，将具有偏相关系数 绝对值最大的自变量选入回归方程，并对相应回归系数进行 检验，如果检验结果是回归系数为零，则停止进一步选择， 有效方程为前一步所建的方程，否则进行下一步的选择；
（1）拟合优度检验 回归方程的拟合优度检验就是要检验样本数据 聚集在样本回归直线周围的密集程度，从而判断回 归方程对样本数据的代表程度。
回归方程的拟合优度检验一般用判定系数 R2
实现。该指标是建立在对总离差平方和进行分解的 基础之上。
（2）回归方程的显著性检验（F检验） 回归方程的显著性检验是对因变量与所有自变 量之间的线性关系是否显著的一种假设检验。一般 采用F检验，利用方差分析的方法进行。
回归参数显著性检验的基本步骤： ① 提出假设； ② 计算回归系数的t统计量值； ③ 根据给定的显著水平α 确定临界值，或者计算
t值所对应的p值； ④ 作出判断（t对应的显著性水平小于0.05或0.1，
认为其对应的系数不会显著为0）。
例一：已知10户居民家庭的月可支配收入和消费支出数据，试
采用一元线性回归分析方法，根据可支配收入的变化来分析
多元线性回归就是研究某一个因变量和多 个自变量之间的相互关系的理论与方法。
p
y b x a i
j ji
i
j 1
i 1, 2,.....n
多元线性回归方程中变量的选取
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
一元非线性回归分析
第八章 方差分析与回归分析
第14页
b = 0.00896662968057 0.00082917436336 R2 =0.97292374957556
112 散点图 回归函数 111
110
109
108
107
106
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
第八章 方差分析与回归分析
第15页
用类似的方法可以得出其它三个曲线回归方程， 它们分别是：
第八章 方差分析与回归分析
第6页
本例中，散点图呈现呈现一个明显的向上且上凸 的趋势，可能选择的函数关系有很多，比如，参 照图8.5.2，我们可以给出如下四个曲线函数： 1) 1/y=a+b/x 2) y=a+blnx 3) y a b x 4) y 100 a e x / b (b 0)
观测这13个点构成的散点图，我们可以看到 它们并不接近一条直线，用曲线拟合这些点 应该是更恰当的，这里就涉及如何选择曲线 函数形式的问题。
第八章 方差分析与回归分析
第5页
首先，如果可由专业知识确定回归函数形式， 则应尽可能利用专业知识。当若不能有专业 知识加以确定函数形式，则可将散点图与一 些常见的函数关系的图形进行比较，选择几 个可能的函数形式，然后使用统计方法在这 些函数形式之间进行比较，最后确定合适的 曲线回归方程。为此，必须了解常见的曲线 函数的图形，见图8.5.2 。
ˆ 0.00896663 ˆ v ub a
第八章 方差分析与回归分析
第9页
format long
x=[2 3 4 5 7 8 10 11 14 15 16 18
非线性回归分析简介
非线性回归分析简介在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的基本概念、方法和应用。
一、非线性回归分析概述1.1 非线性回归模型在回归分析中，最简单的模型是线性回归模型，即因变量和自变量之间的关系可以用一个线性方程来描述。
但是在实际问题中，很多情况下因变量和自变量之间的关系并不是线性的，而是呈现出曲线、指数、对数等非线性形式。
这时就需要使用非线性回归模型来拟合数据，通常非线性回归模型可以表示为：$$y = f(x, \beta) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$f(x, \beta)$为非线性函数，$\beta$为参数向量，$\varepsilon$为误差项。
1.2 非线性回归分析的优势与线性回归相比，非线性回归分析具有更强的灵活性和适用性。
通过使用适当的非线性函数，可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测能力。
非线性回归分析还可以揭示数据中潜在的复杂关系，帮助研究人员更好地理解数据背后的规律。
1.3 非线性回归分析的挑战然而，非线性回归分析也面临一些挑战。
首先，选择合适的非线性函数是一个关键问题，需要根据实际问题和数据特点进行合理选择。
其次，非线性回归模型的参数估计通常比线性回归模型更复杂，需要使用更为复杂的优化算法进行求解。
因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择模型和方法，以确保结果的准确性和可靠性。
二、非线性回归分析方法2.1 常见的非线性回归模型在实际应用中，有许多常见的非线性回归模型，常用的包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型等。
这些模型可以根据实际问题的特点进行选择，用于描述和预测自变量和因变量之间的非线性关系。
打括隧道监控量测结果的一元非线性回归分析
５ห้องสมุดไป่ตู้ ５
３ 一 元 非 线 性 问题 的 非 线 性 回归 分 析
３ １ 引入 三个方 程 【 ． ２ ］
（）一元 线 性模 型 １
Ｙ ＝ 口＋ Ｕ Ｘ ＝ ＋ Ｘ
（） ＂ 乘估计 ２ 最ｄ －
式 中 ＝
ｌ Ｕ ＿
＝
式 中 口 Ｕ为待定的参数 、 式 中 、 为口 Ｕ的最小二乘估计 、
施工 中开 展监控 量 测工 作 的重要 性 。
收稿 日期 ：０ ７—０ ２０ ５—１ ０ 作者简介 ： 张玉良（９ １ ． ． １７ 一）男 广西全 州人 ， 中铁二 十五局 集团柳州铁路工程 有限公 司工程 师。
维普资讯
第 ２期
张玉 良 ： 打括隧道监控量测结果 的一元 非线性回归分析
根， 按拱脚下 １ 以上范围环 向间距 ０３ ｍ ．５ｍ布设 ， 小导管外插角 ４ 。 ３间隔设置 ， ０与 。 每根 ３ ５ｍ， ． 拱部布设 ５ 中空注浆锚杆 ０ ６ｍ一环 ， ． 每环 １ 根 ， ２ 每根 ３０ｍ， ． 环向间距 ０８ｍ， ． 拱墙布设 ２ 砂浆锚杆 ｌ 根 ， ４ 每根 ３ ０ｍ， 向间距 ０ ８ｍ； 隧道 于 ２０ ． 环 ． 该 ０ ６年 ５月开 工 ， 目前 已掘进 ６ ８延米 ， １ 施工 中由于 没有 加强 隧道施 工监
∑（ 一 ）
Ｒ ：１ 一专Ｌ——～
∑ （ ／ ） Ｙ一
（）对打 括 隧道里 程 为 Ｄ ４ ｋ ＋８８ｍ） ４ Ｋ４ （ ｍ） ４ （ 断 面 Ｖ级 围岩 土质 地 段 和 Ｄ ６ ｋ ＋７８ ｒ） Ｋ４ （ｍ） ６ （ｒ 断面 １ Ⅲ级 围岩砂 岩地 段 （ １ 中 拱顶 下 沉 、 脚 水 平 净 图 ） 拱
几类一元非线性回归
02
对于决策树回归模型，假设检验可以通过比较模型的预测值与
实际值来进行。
如果模型的预测值与实际值之间的差异较小，则说明模型具有
03
较好的预测性能和可靠性。
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多项式回归模型的假设检验
线性假设检验
在多项式回归模型中，需要检验线性假设是否成立。线性假设检验通常采用残差分析法，通过分析残 差与自变量之间的关系，判断是否存在显著的线性关系。
非线性假设检验
如果线性假设不成立，则需要进一步检验非线性假设。非线性假设检验通常采用F检验或卡方检验， 通过比较不同次数的多项式回归模型的拟合效果，判断是否存在显著的非线性关系。
在逻辑回归模型中，需要对模型的假 设进行检验，以确保模型的适用性和 可靠性。
常见的假设检验包括：线性关系检验 、比例风险假设检验、独立性假设检 验等。
线性关系检验用于检验自变量与因变 量之间是否存在线性关系；比例风险 假设检验用于检验不同组之间的风险 比例是否相等；独立性假设检验用于 检验自变量之间是否存在多重共线性 问题。
05 决策树回归模型
决策树回归模型的定义
01
决策树回归模型是一种非线性回归模型，它使用决 策树的方法来预测因变量的值。
02
它通过构建一系列的决策规则来对数据进行分类和 回归分析，从而预测因变量的值。
03
决策树回归模型通常用于处理具有复杂非线性关系 的回归问题。
决策树回归模型的参数估计
决策树回归模型的参数估计通常采用梯度提升 算法或随机森林算法来进行。
几类一元非线性回归
目录
• 线性回归模型 • 非线性回归模型 • 多项式回归模型 • 逻辑回归模型 • 决策树回归模型
第4章 回归分析
r=1
r＝－1
y
y
x
x
r＜0：x与y负线性相关（negative linear correlation） r＞0：x与y正线性相关（positive linear correlation）
－1＜r＜0
0＜r＜1
y y
x
② 自由度
SST的自由度 ：dfT＝n－1 SSR的自由度 ：dfR＝1 SSe的自由度 ：dfe＝n－2 三者关系： dfT＝ dfR ＋dfe
③ 均方
MSR
SSR dfR
MSe
SSe dfe
④ F检验
F MSR MSe
F服从自由度为（1，n－2）的F分布
给定的显著性水平α下 ，查得临界值： Fα（1，n－2)
① 离差平方和
总离差平方和：
n
SST ( yi y)2 Lyy
i 1
回归平方和（regression sum of square） ：
n
SSR ( $yi y)2 b2 Lxx bLxy i 1
残差平方和 ： n SSe ( yi $yi )2 i 1
三者关系：
SST SSR SSe
性回归方程，其中b1,b2,…,bm 称为偏回归系数。。
设变量 x1, x2 , xm , y 有N组试验数据：
x11, x21, xm1, y1 x12 , x22 , xm2 , y2
回归系
数?
x1k , x2k , xmk , yk (k 1,2, , N )( N m)
回归系数的确定
根据最小二乘法原理 ：求偏差平方和最小时的回归系数。
可线性化的一元非线性回归2
列表计算
y
序号
x
y
y'
X2
y'2
xy'
1
2
0.3
2.131
4
4.541 4.262
2
4
0.86
0.827
16
0.684 3.309
3
6
1.73 -0.456
36
0.208 -2.733
4
8
2.2
-1.255
64
1.576 -10.042
5
10
2.47 -1.934
100
3.741 -19.342
6
12
多重线性回归模型
随机变量 y 与 x1,x2, ,xk之间的线性关系 y 0 1 x 1 2 x 2 k x k (1)
其中 ~N0,2
0 ,1 ,2 ,,k, 未知
则（1）式称为多重线性回归模型。
多重线性回归模型
若对变量 y 与 x1,x2, ,xk分别作n次观测，则可得
一个容量为n的子样
x i 1 ,x i 2 ,,x i k ,y i, i 1 ,2 ,,n
则有 y i 0 1 x i 1 2 x i 2 k x i k i(2)
其中 i~ N 0 ,2, (i 1 ,2 , ,n )
,,,, 为待定参数，称为回归系数。
012
k
（2）式含有k+1个参数，故观测次数应满足n>k+1。
ayx2.993762
Aea19.96063 所以所求曲线方程为 y119.926.80267e0.51997x
上机操作 输入原始数据
上机操作
计算 y* ln 2.827 y y
非线性回归分析简介
非线性回归分析简介非线性回归分析是一种用于建立非线性关系模型的统计方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更好地拟合非线性数据，提供更准确的预测结果。
在许多实际问题中，数据往往呈现出非线性的趋势，因此非线性回归分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
一、非线性回归模型的基本形式非线性回归模型的基本形式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，y是因变量，x是自变量，β是模型参数，f(x, β)是非线性函数，ε是误差项。
非线性函数可以是任意形式的函数，如指数函数、对数函数、幂函数等。
二、非线性回归模型的参数估计与线性回归不同，非线性回归模型的参数估计不能直接使用最小二乘法。
常见的非线性回归参数估计方法有以下几种：1. 非线性最小二乘法（NLS）非线性最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化残差平方和来估计模型参数。
具体而言，通过迭代的方式不断调整参数，使得残差平方和最小化。
2. 非线性广义最小二乘法（GNLS）非线性广义最小二乘法是对非线性最小二乘法的改进，它在最小化残差平方和的同时，还考虑了误差项的方差结构。
通过引入权重矩阵，可以更好地处理异方差性的数据。
3. 非线性加权最小二乘法（WNLS）非线性加权最小二乘法是对非线性广义最小二乘法的进一步改进，它通过引入加权矩阵，对不同数据点赋予不同的权重。
可以根据数据的特点，调整权重矩阵，提高模型的拟合效果。
三、非线性回归模型的评估指标在进行非线性回归分析时，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合效果。
常见的评估指标有以下几种：1. 残差分析残差分析是一种常用的评估方法，通过分析残差的分布情况，判断模型是否符合数据的分布特征。
如果残差呈现随机分布，说明模型拟合效果较好；如果残差呈现一定的规律性，说明模型存在一定的问题。
2. 决定系数（R-squared）决定系数是衡量模型拟合优度的指标，其取值范围为0到1。
决定系数越接近1，说明模型对数据的解释能力越强；决定系数越接近0，说明模型对数据的解释能力越弱。
一元非线性回归分析例题
【一元非线性回归分析例题】商店销售额与流通率的非线性回归分析下列数据是九个商店的销售额与流通率的有关数据表销售额与流通费率数据MATLAB数据处理与分析1.绘制散点图x=[1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];y=[7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];sdt(x,y)2.拟合倒幂函数曲线nlin1(x,y)拟合曲线方程是y=2.2254+7.6213/x剩余标准误差Sy=0.42851可决系数R=0.96733'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' 'F临界值''显著性''回归' [18.7146] [ 1] [18.7146] [101.9186] [ 5.5914]'* *''剩余' [ 1.2854] [ 7] [ 0.1836] [] [12.2464] []'总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []3.拟合幂函数曲线nlin3(x,y)拟合曲线方程是y=8.5173x^-0.42589剩余标准误差Sy=0.146可决系数R=0.99626'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' ' F临界值''显著性''回归' [19.8508] [ 1] [19.8508] [931.2285] [ 5.5914]'* *''剩余' [ 0.1492] [ 7] [ 0.0213] [] [12.2464] []'总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []4.拟合指数函数曲线nlin5(x,y)拟合曲线方程是y=2.3957exp(1.7808/x)剩余标准误差Sy=0.6497可决系数R=0.92318'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' 'F值' ' F临界值' '显著性''回归' [17.0452] [ 1] [17.0452] [40.3812] [ 5.5914]'* *''剩余' [ 2.9548] [ 7] [ 0.4221] [] [12.2464] []'总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []5.拟合对数函数曲线nlin6(x,y)拟合曲线方程是y=1632.5-1.713log(x)剩余标准误差Sy=0.2762可决系数R=0.98656'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' ' F临界值' '显著性''回归' [19.4660] [ 1] [19.4660] [255.1773] [ 5.5914]'* *'剩余' [ 0.5340] [ 7] [ 0.0763] [] [12.2464] []'总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []【说明】函数nlin1，nlin2，nlin3，nlin4，nlin5，nlin6，nlin7分别用来拟合第一（倒幂函数）、二（双曲线）、三（幂函数）、四（指数函数）、五（倒指数函数）、六（对数函数）、七（S型曲线）种类型曲线求非线性回归的回归方程函数，并在同一个图形中绘制散点图和回归线图.这几个函数的调用方式相同，以第一个函数为例[S,Sy,r2,table]=nlin1(x,y)输入参数x,y是长度相等的两个向量.输出参数个数可选如果没有输出参数，则在命令窗口中显示回归线方程,剩余标准误差、可决系数、方差分析表，并绘制散点图和拟合曲线图.如果有输出参数，第一个输出参数是拟合曲线方程.如果有两个输出参数，第二个输出参数是剩余标准误差Sy.如果有三个输出参数，第三个输出参数是可决系数.如果有四个输出参数，第四个输出参数是方差分析表.。
非线性回归分析(教案)
非线性回归问题,知识目标：通过典型案例的探讨，进一步学习非线性回归模型的回归分析。
能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方式转化成线性化回归模型。
情感目标：体会数学知识转变无穷的魅力。
教学要求：通过典型案例的探讨，进一步了解回归分析的大体思想、方式及初步应用.教学重点：通过探讨使学生体会有些非线性模型通过变换能够转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的进程中寻觅更好的模型的方式.教学难点：了解常常利用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学方式：合作探讨 教学进程：一、温习预备：对于非线性回归问题,而且没有给出经验公式,这时咱们能够画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各类函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其取得解决. 二、教学新课：1. 探讨非线性回归方程的肯定：1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现搜集了7组观测数据列于下表中，试成立y 与x 之间的/y 个 （学生描述步骤，教师演示）2. 讨论：观察右图中的散点图，发觉样本点并无散布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来成立两个变量之间的关系.① 若是散点图中的点散布在一个直线状带形区域，能够选线性回归模型来建模；若是散点图中的点散布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 按照已有的函数知识，能够发觉样本点散布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，能够用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探讨非线性回归问题，可按“作散点图→建模→肯定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探讨例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在利用进程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请按照表格中的数据找出利用次数x 与增大的容积y 之间的关系.【解】先按如实验数据作散点图,如图所示：z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：【题后点评】作出散点图，由散点图选择适合的回归模型是解决本题的关键，在这里线性回归模型起了转化的作用.例2：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现搜集了7组观测数据列于下表中，试成立y 与x 之间的回归方程./y 个 二、讨论：观察右图中的散点图，发觉样本点并无散布在某个带状区域内，即两个变量呈非线性相关关系，所以不能直接．．．．用线性回归方程来成立两个变量之间的关系. ① 若是散点图中的点散布在一个直线状带形区域，能够选线性回归模型来建模；若是散点图中的点散布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型．．．．．．．来建模. ② 按照已有的函数知识，能够发觉样本点散布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待z ＝a ′＋bt ，t 、z 的数值对应表为：从图中可以看出x 与y 之间不存在线性相关关系． 但仔细分析一下，知道钢包开始使用时侵蚀速度快， 然后逐渐减慢．显然，钢包容积不会无限增大，它必 有一条平行于x 轴的渐近线．于是根据这一特点，我们试设指数型函数曲线y ＝a e bx.对它两边取对数得ln y ＝ln a ＋bx .令z ＝ln y ，t ＝1x，a ′＝ln a ，则上式可写为线性方程：定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关系如下：观察z 与x 的散点图，能够发觉变换后样本点散布在一条直线的周围，因此能够用线性回归方程来拟合.④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探讨非线性回归问题，可按“作散点图→建模→肯定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探讨非线性回归问题的方式、步骤. 3、常见的非线性回归模型 ⑴ 幂函数曲线 y=ax b处置方式：两边取自然对数得：lny=lna+blnx; 再设{yy x x ln ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再按照一次线性回归模型的方式得出lna 和b ⑵ 指数曲线 y=ae bx处置方式: 两边取自然对数得：lny=lna+bx; 再设{yy x x ln ,,==则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再按照一次线性回归模型的方式得出lna 和b⑶ 倒指数曲线 xb ae y =处置方式：两边取自然对数得：lny=lna+x b; 再设⎩⎨⎧==y y xx ln 1,,则原方程变成 y ′=lna+bx ′,再按照一次线性回归模型的方式得出lna 和b ⑷ 对数曲线 y=a+blnx 处置方式：设{yy xx ==,,ln 则原方程变成 y ′=a+bx ′,再按照一次线性回归模型的方式得出a 和b三、巩固练习：为了研究某种细菌随时刻x 转变，繁衍的个数，搜集数据如下： 1）用天数作解释变量，繁衍个数作预报变量，作出这些数据的散点图；2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.） 四、作业布置：讲义第13页的练习题。
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其实上面两个准则所选方程总是一致的， 因为 s
小必有残差平方和小， 从而 R2 必定大. 不过，这两个 量从两个角度给出我们定量的概念. R2 的大小给出了
总体上拟合程度的好坏， s 给出了观测点与回归曲线
偏离的一个量值. 所以，通常在实际问题中两者都求 出，供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归.
函数图象
线性化方法
令 v y, u 1 ,则 v a bu.
x
⑵ 双曲线函数 1 a b
y
x
函数图象
b<0
b>0
线性化方法
令
v 1, u 1,
y
x
则
v a bu.
⑶ 幂函数
函数图 象
y axb
b<0
0<b<1
b>1
线性化方法
令 v ln y , u ln x, 则 v ln a bu.
b>0
b<0
线性化方法
令 v y , u ln x, 则 v a bu.
⑺
S型曲线
y
a
1 be x
函数图象
线性化方法
令 v 1/ y , u ex,
则 v a bu.
2. 回归方程的评价方法
对于可选用回归方程形式，需要加以比 较以选出较 好的方程，常用的准则有：
⑴ 决定系数 R 2
定义
R2 1 SSE , SST
称为决定系数.显然 R2 1 . R2 大表示观测值 yi 与拟 合值 yˆi比较靠近，也就意味着从整体上看，n个点的散
布离曲线较近.因此选 R2 大的方程为好.
⑵ 剩余标准差 s
定义
s SSE /(n 2)
s 称为剩余标准差. 类似于一元线性回归方程中对 s 的估计. 可以将 看成是平均残差平方和的算术根，
使之“线性化”化为一元线性
函数 v a bu 的形式，继而利用线性最小二乘估计的
方法估计出参数a和b ，用一元线性回归方程 vˆ aˆ bˆu
来描述 v 与 u 间的统计规律性，然后再用逆变换
y v1(v)
x
u1
(u)
还原为目标函数形式的非线性回归方程.
常用非线性函数及其线性化方法
⑴ 倒幂函数 y a b x
⑷ 指数函数 y aebx
函数图象
方法
令v ln y , u x, 则 v ln a bu. ⑸ 倒指数函数 y aeb/ x
函数图象
b>0
b<0
线性化方法
令 v ln y , u 1/ x, 则 v ln a bu. ⑹ 对数函数 y a bln x
函数图象
⑶ F检验（类似与一元线性回归中的F检验）
F SSR /1 , SSE /(n 2)
其中
n
SST ( yi y)2, i 1 n
SSE ( yi yˆi )2 , i 1
SSR SST SSE.
一元非线性回归分析
1. 常用的目标函数及其线性化方法
在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的， 那时就应该用曲线去进行拟合.用曲线去拟合数据首先要 解决的问题是回归方程中的参数如何估计？
解决问题的基本思路
对于曲线回归建模的非线性目标函数 y f (x), 通过
某种数学变换
v u
v( u(
y) x)